cours compressible

8/8/2019 Cours Compressible

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Cours de mecanique des fluides

Ecoulements compressibles

IUT - GTE - Marseille

2008-09

Table des matieres

1 Quelques rappels de thermodynamique 2

1.1 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Proprietes thermodynamiques des gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Ecoulement compressible ou incompressible ? 4

2.1 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Limite de lhypothese dincompressibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Ecoulements isentropiques unidirectionnels compressibles de fluides parfaits 6

3.1 Hyp otheses communes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Relation de Bernouilli I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Theoremes dHugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Loi de compression isentropique ou loi de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Equation de Barre de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6 Relations entre deux sections droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6.1 Relations insentropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6.2 Relations avec letat generateur ou conditions darret . . . . . . . . . . . . . . . 93.7 Notion detat critique, conditions soniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Ondes de choc 11

4.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.1 Quelques exemples dondes de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.2 Projectile P subsonique u < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.3 Projectile P supersonique u > c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Ondes de choc droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.1 Equations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.2 Lois de compression de londe de choc droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.3 Relation de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.4 Calcul du rapport des grandeurs caracteristiques en fonction du nombre de Machamont M a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.5 Variation dentropie dans une onde de choc droite . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.6 Rendement isentropique a la traversee du choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Ondes de choc obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Applications 18

5.1 Le tube de Pitot en ecoulement compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.1.1 Ecoulement compressible subsonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.1.2 Ecoulement compressible supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 Ecoulements dans une tuyere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Souffleries subsoniques et supersoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Bibliographie 23

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1 Quelques rappels de thermodynamique

1.1 Premier principe de la thermodynamique

Soit un systeme materiel ferme limite par une surface fermee au travers de laquelle ne seffec-tuent que des echanges de travail et de chaleur. Si W et Q designent le travail et la chaleur recuspar le systeme dans une transformation qui lamene de letat 1 a letat 2, le premier principe de la

thermodynamique secrit :Et2 Et1 = (W + Q)12 (1)

ou Et designe lenergie totale du systeme qui se decompose ainsi : Et = U+ Ec+ Ep, ou U est lenergieinterne, Ec lenergie cinetique et Ep lenergie potentielle. Ep peut etre associee aux forces de pesanteur,aux forces electrostatiques, aux forces electromagnetiques . . . Le travail W est celui des forces autresque celles qui derivent dun potentiel. Pour une transformation elementaire (et par unite de masse dusysteme) et en supposant que lenergie potentielle est celle de la pesanteur, on peut alors ecrire :

w + q = du + d(v2/2) + gdz (2)

Dans le cas dun systeme ouvert, lequation (2) devient :

w + q = dh + d(v2/2) + gdz (3)

ou w designe le travail autre que celui des forces de pression en entree et en sortie du systeme etdes forces qui derivent dun potentiel. w =

dP/ est appele travail de transvasement. Lorsquon

considere des grandeurs par unite de masse, lenthalpie h est reliee a lenergie interne u par la relation :h = u + p/.

1.2 Second principe de la thermodynamique

Le second principe de la thermodynamique peut senoncer ainsi :

1. il existe une fonction detat appelee entropie et notee S,

2. dans une transformation elementaire, la variation dentropie ds (par unite de masse) sexprime

comme la somme de la variation dentropie es resultant des apports exterieurs et de la variationdentropie is produite a linterieur du systeme.

Pour une transformation reelle, on a is 0. Lorsque is = 0, la transformation est reversible.Dans le cas dun systeme ferme, on a : es = q/T, ce qui donne pour le second principe et dans

le cas dune transformation reversible :q = T ds (4)

A laide des deux premiers principes (sous lhypothese que les variations denergies cinetique etpotentielle sont nulles), on obtient :

du = T ds P d(1/) (5)

On peut en deduire egalement la definition de lenthalpie :

dh = T ds + dP/ (6)

1.3 Proprietes thermodynamiques des gaz parfaits

Lequation detat dun gaz parfait (gaz ideal) est de la forme :

P = rT (7)

avec P, et T la pression, la masse volumique et la temperature absolue du gaz. r est la constantedu gaz considere et sexprime comme le rapport R/M entre la constante universelle des gaz parfaitsR = 8.3143 J/mol/Ket la masse molaire M du gaz etudie. Par exemple, pour lair, M = 28.964 g/mol

dou r = 287.06 J/kg/K. r sexprime egalement en fonction des chaleurs massiques a pression cp et

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volume cv constants : r = cp cv (relation de Mayer). On note le rapport des chaleurs specifiques : = cp/cv. On obtient ainsi :

cp =r

1 cv =r

1 (8)

Pour un gaz parfait, du = cvdT et dh = cpdT. cv nest fonction que T. Si cv est independant de

T, le gaz est caloriquement parfait. Les relations (5) et (6) deviennent alors :

ds = cvdT

T+

P

Td

1

= cv

dT

T r d

(9)

ds = cpdT

T 1

TdP = cp

dT

T r dP

P(10)

En se servant de la differentielle logarithmique de lequation detat :

dP

P=

d

+

dT

T(11)

on obtient ainsi :

ds = cvdPP (cv + r) d

(12)

ds = cv dPP cp d

= cv(

dP

P d

) (13)

Si la chaleur massique cv est constante, on a apres integration :

s = cv ln(P/) + cte (14)

Levolution isentropique dun gaz parfait seffectue donc a P/ = Cte .

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2 Ecoulement compressible ou incompressible ?

2.1 Vitesse du son

Ce qui differencie un ecoulement compressible dun ecoulement incompressible, cest le fait que despetites variations de masse volumique, de pression et de vitesse se propagent a linterieur du fluide aune vitesse qui est la celerite du son dans le milieu considere. Pour caracteriser cette celerite, il fautconsiderer une petite perturbation adiabatique reversible (isentropique) qui se deplace dans le fluideinitialement au repos contenu dans un tube de section A constante (Fig.1).

Fig. 1 Mise en evidence de la notion de celerite du son.

Dans un referentiel lie a la perturbation, les equations de conservation de la masse et de la quantitede mouvement secrivent :

c = ( + d)(c

du) (15)

dP = c2 ( + d)(c du)2 (16)

Au premier ordre, ces equations donnent : du = cd et 2cdu c2d = dP. Ainsi, on obtientc2d = dP. La perturbation consideree est isentropique, donc :

c2 = ( P )s (17)

Pour une evolution isentropique dun gaz parfait, on a P/ = Cte et P = rT, dou :

c =

P

c = rT (18)

2.2 Limite de lhypothese dincompressibilite

Dans quel cas peut-on negliger les variations de masse volumique au sein dun ecoulement ? On faitlhypothese decoulement isentropique (gradients de vitesse et de temperature suffisamment faibles).Dire que lecoulement est incompressible, cest dire que lon peut negliger, pour une particule fluide,divv devant les gradients de vitesse qui la deforment :

o(divv ) o( vixj

) =U

L |1

d

dt| U

L(19)

On a :vt

+ (v .grad)v = 1

gradP (20)

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Cette equation (20) relie les variations de pression a celles de vitesse. Il faut egalement relier lesvariations de pression a celles de masse volumique. Pour un ecoulement isentropique, on a deja montreque :

(P

)s=s0 = c

2 (21)

ou c est la vitesse du son dans le milieu considere. La condition dincompressibilite secrit donc :

| 1c2

dP

dt| U

L(22)

Si on appelle P lordre de grandeur des variations de P et le temps caracteristique de ces variationspour une particule fluide que lon suit. On obtient alors :

P

c2 U

L(23)

Pour un ecoulement stationnaire, la relation (20) se simplifie :

dvdt

= (v .grad)v = 1

gradP (24)

dou :

o(U

) = o(

U2

L) = o(

P

L) (25)

En reportant dans lequation (23), on obtient la condition dincompressibilite pour un ecoulementstationnaire :

Ma2 = (Uc )2 1 (26)

ou M a est le nombre de Mach. Dans lair, un ecoulement peut etre suppose incompressible pourdes vitesses allant jusqua u 0.3c 100 m/s.

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3 Ecoulements isentropiques unidirectionnels compressibles

de fluides parfaits

3.1 Hypotheses communes

1. Fluide non pesant : les problemes a volume massique variable ne se posent pratiquement que

pour les gaz a vitesse suffisamment elevee. Il est donc legitime de negliger les forces de gravitedevant les forces de pression et les forces dinertie.

2. Fluide parfait (non visqueux) : a grandes vitesses et fort cisaillement il est legitime de negligerles forces de viscosite devant les forces dinertie : le nombre de Reynolds qui compare ces forcesest generalement tres grand. Le fluide est donc suppose tel que les contraintes de viscosite sontnulles. En fluide parfait, la vitesse est uniforme dans une section droite de lecoulement, alorsquen realite, il existe un profil de vitesse, la vitesse etant nulle a la paroi et maximale au centre.Dans un tube, si le nombre de Reynolds est tres grand, le profil est quadratique et peut etrerepresente par un profil plat de vitesse egale a la vitesse de debit. Lhypothese du fluide parfaitest la aussi justifiable.

3. Ecoulement adiabatique : il ny a pas dechange de chaleur avec lexterieur (Q = 0). En effet, lesechelles de temps des echanges thermiques sont beaucoup plus grandes que les echelles de temps

des compressions. Les echanges de chaleur nont donc pas le temps de soperer.4. Ecoulement permanent : aucune grandeur physique ne depend du temps.

5. Pas de reaction chimique.

Lecoulement est dit isentropique sil est reversible et adiabatique. Un ecoulement est reversiblesil ny a pas donde de choc et si les forces de frottement sont negligeables.

Les ecoulements isentropiques unidirectionnels compressibles de fluides parfaits se rencontrentnotamment quand on envisage des ecoulements dans des conduites ou des ecoulements externes dansdes tubes de courant elementaires. On peut citer notamment le cas de la tuyere convergente-divergentesans onde de choc, ni transferts de chaleur ou frottements ou lecoulement autour dun profil dailedavion en dehors de la couche limite.

3.2 Relation de Bernouilli IILe premier principe de la thermodynamique secrit le long dune ligne de courant :

w + q = dh + d(u2

2) + d(gz) (27)

Le systeme etant isole mecaniquement et thermiquement, on a : w = q = 0. On note H lenthalpietotale. H est alors constante le long dune ligne de courant ou partout si lecoulement est irrotationnel :

H = h +u2

2+ gz = Cte d(h + u2

2+ gz) = 0 (28)

On dit quun ecoulement permanent adiabatique de gaz parfait est homoenergetique. Si le fluide est

non pesant, on a de plus : h + u2

/2 = Cte. Cette relation est appelee egalement equation de Thomsonou formule de Zeuner.

3.3 Theoremes dHugoniot

On suppose lecoulement permanent et le fluide isentropique (ds = 0) et non pesant. Le volume defluide pour lequel sont ecrites les relations est limite par la paroi de la conduite entre deux sectionsproches (voir fig.2). A est laire dune section.

On peut ecrire les equations suivantes : Continuite :

uA = Cte d

+du

u+

dA

A= 0 (29)

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Fig. 2

Relation de Gibbs :

dh =dP

(30)

Bernouilli II pour un fluide non pesant :

h +u2

2= Cte udu + dh = 0 (31)

Celerite du son :c2 = (

P

)s =

P

= rT (32)

En remplacant dh = dP/ (relation de Gibbs) dans la relation de Bernouilli II (Eq.31), onobtient la relation de Thomson :

udu +dP

= 0 du

dP 0 (33)

On remplace dP par c2d dans lequation de Thomson (33) :

udu + c2d

= 0 d

= ( u

c)2

du

u= Ma2 du

u(34)

On elimine alors d/ en utilisant lequation de continuite (29) :

duu dA

A= ( u

c)2

du

u(35)

On introduit le nombre de Mach, Ma = u/c :

duu (1M a2) = dAA (36)

La relation (36) est appelee relation dHugoniot. A partir de cette relation dHugoniot (Eq.36) etde lequation de Thomson (Eq.33), on en deduit :

dP

P =

1

1Ma2 (u2

P )

dA

A (37)

Premier theoreme dHugoniot : si lecoulement est subsonique (M a < 1), alors u et A varienten sens inverse lun de lautre dans un tube de courant (Fig.3a). En effet, du/dP 0 montre que u etP varient en sens inverse. 1M a2 > 0 entrane que du/dA < 0. Ainsi, u et A varient en sens inverse.Pour Ma 0 (ecoulements incompressibles), une diminution de la section produit une augmentationproportionnelle de la vitesse.

Deuxieme theoreme dHugoniot : si lecoulement est supersonique (M a > 1), alors 1 M a2devient negatif. Ainsi u et A varient dans le meme sens dans un tube de courant (Fig.3b).

Lorsque lecoulement est supersonique, levolution de la vitesse differe largement du cas incom-pressible. Aux vitesses supersoniques, la masse volumique diminue plus vite que la vitesse d/ =

Ma2du/u, de telle sorte que la section doit augmenter pour assurer la conservation de la masse.

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(a) (b)

Fig. 3 (a) Ecoulement subsonique M a < 1, (b) Ecoulement supersonique M a > 1.

(a) (b)

Fig. 4 (a) Ecoulement subsonique Ma < 1, (b) Ecoulement supersonique Ma > 1

Troisieme theoreme dHugoniot : la vitesse u de lecoulement ne peut etre egale a la celeritedu son quen section daire minimale dA = 0 (Eq.35). Il est, en effet, impossible dobtenir la vitessedu son dans une aire de section maximale (Fig.4) car, pour M a < 1 (resp. Ma > 1), la vitesse y estminimale (resp. maximale).

3.4 Loi de compression isentropique ou loi de Laplace

On considere un gaz ideal, parfait et adiabatique (isentropique). La loi detat secrit alors :

dP

P =

d

+

dT

T (38)

La variation denthalpie vaut : dh = cpdT = dP/. Ces deux relations donnent alors :

dP

P=

d

+

rdP

cprT(39)

Or P = rT, r = cp cv et = cp/cv, dou :d

=

1

dP

P(40)

On retrouve ainsi :

P/

= Cte (41)

3.5 Equation de Barre de Saint-Venant

Elle sapplique aux processus irreversibles (non isentropiques). On utilise lequation de BernouilliII (H = u2/2 + h = Cte) et la definition de lenthalpie pour un gaz ideal (h = cpT + Cte). On obtientalors :

u2

2+ cpT = Cte (42)

En utilisant cp = r/( 1) et c2 = rT, on obtient la deuxieme forme de lequation de Barre deSaint-Venant :

u2/2 + c2/( 1) = Cte (43)

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Comme c2 = P , on a alors la troisieme forme de lequation de Barre de Saint-Venant :

u2

2+

1P

= Cte (44)

Lequation (44) reste neanmoins valable pour des ecoulements adiabatiques reversibles (isentro-piques).

3.6 Relations entre deux sections droites

3.6.1 Relations insentropiques

On connat une section de reference notee avec lindice r (r, Pr, Tr). La loi de compression isen-tropique (Eq.41) ou loi de Laplace donne :

r= (

P

Pr)1/ (45)

Avec la loi detat P = rT, on obtient :

TTr= ( PPr

)(1)/ (46)

r= (

T

Tr)1/(1) (47)

3.6.2 Relations avec letat generateur ou conditions darret

Letat generateur dont les caracteristiques sont notees 0, P0, T0 et u0, est le reservoir hautepression ou la chambre de combustion dun reacteur, tel que u0 0. La condition darret correspondau point particulier de la paroi ou les lignes de courant se separent, dit point darret, pour lequel lavitesse est nulle.

Lecoulement est adiabatique non pesant. On utilise donc lequation de Barre de Saint-Venant :

u2

2+ c

2

1 = u2

02

+ c2

0 1 = c

2

0 1 (48)

On multiplie alors tout par ( 1)/c20, et il vient :

( cc0 )2 = (1 + 1

2M a2)1 (49)

soit avec c2 = rT et c20 = rT0 :TT0

= (1 + 12

M a2)1 (50)

En utilisant les relations isentropiques, on obtient :

PP0 = (

TT0 )

/(1)

= (1 +12 Ma

2

)/(1)

(51)

0

= ( TT0 )1/(1) = (1 + 1

2M a2)1/(1) (52)

On peut exprimer egalement le debit massique qm = uA en fonction du nombre de Mach, de lasection A et des conditions darret. En substituant = P/(rT) et u = cMa = Ma

rT, qm devient :

qm = APMa(

rT)1/2 (53)

On fait apparatre les rapports P0/P et T0/T :

qm = AP0M a(P

P0)(

rT0)1/2(

T0

T

)1/2 (54)

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En utilisant les relations (50) et (51), on obtient finalement :

qm = AP0Ma(

rT0)1/2(1 +

12

Ma2)(+1)/[2(1)] (55)

Il est a noter quil existe une vitesse maximale pour lecoulement. Si on effectue une detente dugaz depuis le reservoir jusquau vide (P = 0), ce qui entrane T = 0, on obtient dapres lequation (44)

de Barre de Saint-Venant :

umax =

2

1P00

=

2cpT0 =

2h0 = c0

2

1 (56)

Cette vitesse maximale umax ne depend que des conditions regnant dans letat generateur. Elle ne peutetre atteinte que pour une detente isentropique. umax varie comme

T (umax peut donc atteindre

plusieurs km/s pour des bouches a feu) et comme 1/

. Ainsi, a T donnee, umax est 4 fois plus grandepour lhydrogene que pour lair. Par exemple, pour de lair ( = 1.405) a T = 288, 15K, c0 = 340 m/set umax = 756 m/s.

3.7 Notion detat critique, conditions soniques

On considere un conduit dans lequel la vitesse u augmente continument a partir dune valeurtres faible pour devenir supersonique. Le conduit doit dabord converger dans la region subsoniquepuis diverger dans la region supersonique. Lorsque le nombre de Mach atteint la valeur 1, le conduitdoit presenter un col. Ma = 1 ne peut etre atteint que dans un col mais le nombre de Mach nestpas necessairement egal a 1 au col. Si M a = 1 au col, alors du/u = 0 et la vitesse possede doncun extremum en ce point qui est un maximum si lecoulement est subsonique ou un minimum silecoulement est supersonique.

Le point de lecoulement ou M a = 1 (u = c) est appele point critique. Les caracteristiques du fluideen ce point sont appelees caracteristiques critiques et sont notees c, , P, T. On peut les calculer apartir de letat generateur suppose connu ou des conditions darret. Il est a noter que, pour M a = 1,la variation relative de vitesse ne peut rester finie que si dA/A = 0 dapres la relation dHugoniot (36).On obtient alors :

Vitesse du son :( c

c0)2 = (1 + 12 )

1 = 21+ (57)

soit c/c0 = 0.8316 pour lair ( = 1.405). Temperature :

T

T0= (1 + 1

2)1 = 2

1+(58)

soit T/T0 = 0.8316 pour lair. Pression :

P

P0= (1 + 1

2)/(1) = ( 2

1+)/(1) (59)

soit P/P0 = 0.5274 pour lair.

Masse volumique :

0= (1 + 1

2)1/(1) = ( 2

1+)1/(1) (60)

soit /0 = 0.6342 pour lair.On peut egalement donner lexpression du rapport entre la section et la section au col sonique en

fonction du nombre de Mach Ma :

A

A=

1

Ma[

2

1 + (1 +

12

Ma2)](+1)/(22) (61)

La figure 5 represente les variations de A/A en fonction de Ma pour trois gaz. La relation (61) possedeun minimum en Ma = 1. Pour un ecoulement isentropique donne, la section critique est minimum.

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Fig. 5 Nombre de Mach en fonction de la section pour lecoulement isentropique en tuyere pourtrois gaz : air ou azote ( = 1.4), dioxyde de carbone ( = 1.29), helium ou argon ( = 1.66), dapresViollet (1997).

4 Ondes de choc

4.1 Generalites

4.1.1 Quelques exemples dondes de choc

De nombreuses experiences (Fig.6a-d) montrent que les ecoulements compressibles a grande vitessepeuvent subir des variations tres rapides de leurs caracteristiques sur des distances tres faibles. Onpeut citer notamment les ondes de detonation accompagnant les explosions ou le bang produit par unavion en vol supersonique.

Pour expliquer le role de la celerite du son, prenons lexemple dun projectile dans un milieu aurepos (Fig.7).

4.1.2 Projectile P subsonique u < c

Au bout dun temps t, le projectile a parcouru OP = ut, alors que londe sonore a parcouruOQ = ct (Fig.7a). La perturbation sonore creee en un point nest jamais superposee a la perturbation

creee en un autre point. Le projectile est precede par les ondes sonores qui produisent des deformationsanticipant lapproche de lobstacle.

4.1.3 Projectile P supersonique u > c

Les ondes spheriques sont inscrites dans un cone enveloppe (Fig.7b). La zone exterieure au coneest une zone de silence. Les ondes sont recues dans lordre inverse de lordre demission. Les ondes decompression se concentrent sur ce cone appele cone de Mach. Le demi-angle au sommet est appeleangle de Mach et sin = c/u = 1/Ma.

Les particules de fluide ne peuvent subir aucune adaptation avant de recevoir le projectile. Enconsequence, elles subissent de facon discontinue une brusque variation de vitesse, cest le phenomenede choc. Il y a une brutale discontinuite de vitesse, de pression, de temperature et de masse volumique.Cela saccompagne dune degradation de lenergie et lentropie augmente.

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(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 6 (a) Photo Schlieren dune onde de choc attachee sur un corps supersonique a Ma = 1.2(NASA, 1995) ; (b) Ombrographe dune onde de choc detachee en amont dune balle animee dunevitesse supersonique (E. Mach, 1887) ; (c) Ondes de choc coniques sur un Jet fighter rendues visibles acause de la condensation (Source : American Forces Information Service) ; (d) Ondes de choc obliquesautour dune maquette de fusee ; (e) Visualisation dun choc droit a la sortie dune tuyere de Laval ;

(f) Simulation en soufflerie de lentree dans latmosphere martienne du futur orbiteur de la missionretour dechantillons martien (ONERA).

(a) (b)

Fig. 7 (a) Projectile subsonique Ma < 1, (b) Projectile supersonique Ma > 1

4.2 Ondes de choc droites

4.2.1 Equations de base

On peut negliger lepaisseur de londe de choc. On considere deux sections droites, immediatement

avant et apres le choc (Fig.8), de telle sorte que A1 = A2 = A.

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Fig. 8

On peut ecrire la conservation de la masse :

qm = 1A1u1 = 2A2u2 1u1 = 2u2 (62)On applique le theoreme dEuler au systeme materiel forme par londe :

2A2u22 1A1u

21 = (P2A2 P1A1) P1 + 1u

21 = P2 + 2u

22 (63)

Lecoulement etant adiabatique et irreversible (donc pas isentropique), on applique une des rela-tions de Barre de Saint-Venant :

u2

2+

1P

= Cte u

21

2+

1P11

=u222

+

1P22

(64)

Lequation detat secrit :

P = rT P11T1

=P2

2T2(65)

Toutes ces equations de base vont permettre de determiner toutes les relations entre les grandeursimmediatement en amont et en aval du choc.

4.2.2 Lois de compression de londe de choc droite

On peut etablir les relations liant les rapports des grandeurs detat a la traversee de londe de chocdroite en utilisant les relations precedentes. On injecte lequation (62) de conservation de la massedans lequation dEuler (63) :

1u1(u2 u1) = P1 P2 (66)On multiplie lequation (66) par (u1 + u2)/(1u1) et avec 1u1 = 2u2 :

u22 u21 = (P1 P2)(1

1+

1

2) (67)

Lequation de Barre de Saint-Venant (64) donne alors, compte-tenu de ce resultat :

u22 u212

=

1 (P11 P2

2) =

1

2(P1 P2)( 1

1+

1

2) (68)

La deuxieme egalite relie les grandeurs detat P2 et 2 a P1 et 1. On en deduit les relations dHugoniotpour londe de choc droite :

P2/P1 = (1 +11 21 )/(21 +11 ) (69)

2/1 = (1 ++11

P2P1

)/(P2P1 ++11

) (70)

T2/T1 = (1

2 +1

1)/(2

1 +1

1) (71)

13


14/23

T2/T1 = (P2P1

+ +11)/(P1P2

+ +11) (72)

Ces relations dHugoniot sont des lois de compression de londe de choc droite valables a la traverseedu choc.

Fig. 9 Variations des grandeurs caracteristiques de lecoulement a travers une onde de choc droite.

La figure 9 presente les variations des grandeurs caracteristiques P,T,,u,Ma de lecoulement delamont (indice 1) vers laval (indice 2) a travers une onde de choc droite.

Remarque : pour un meme rapport 1/2, le rapport P1/P2 crot plus vite a la traversee du choc quepour une compression isentropique, ce qui entrane une augmentation plus rapide de la temperature.En effet, on a la relation dHugoniot (72) pour un choc droit au lieu de T2/T1 = (P2/P1)

(1)/ dansle cas isentropique.

4.2.3 Relation de Prandtl

La relation de Prandtl etablit la relation entre les vitesses en amont et en aval du choc. Dans unpremier temps, lequation dEuler donne :

u2 u1 = P11u1

P22u2

=1

(

P11u1

P22u2

) =1

(

c21u1 c

22

u2) (73)

La troisieme relation (Eq.44) de Barre de Saint-Venant entre les sections (1) en amont du choc,

14


15/23

(2) en aval du choc et (*) au niveau du choc secrit :

c21 + 1

2u21 = c

22 +

12

u22 = c2

+ 1

2(74)

On introduit lequation (74) dans lequation (73) :

(u2 u1) = c2

2u1

+ 12

u2

2 u2

1u1

c2

2u2

(75)

(u2 u1)u1 = c22 + 1

2(u22 u21)

c22u1u2

(76)

(u2 u1)u1 = c22u2 u1

u2+

12

(u2 u1)(u2 + u1) (77)

u1 = c22

u2+

12

(u2 + u1) (78)

u1u2 = c22 + 1

2u22 +

12

u1u2 (79)

+ 12

u1u2 =+ 1

2c2

(80)

On obtient finalement la relation de Prandtl :

u1u2 = c2

(81)

4.2.4 Calcul du rapport des grandeurs caracteristiques en fonction du nombre de Mach

amont Ma1

Dapres lequation de continuite, on peut en deduire le rapport 2/1 :

21

=u1u2

=u21

u1u2=

u21c2

=u21

2+1(c

21 +

12 u

21)

(82)

Dou :21

=+12

M a211 + 1

2Ma21

(83)

On peut faire de meme par rapport a Ma2 :

12

=+12

M a221 + 1

2Ma22

(84)

On peut exprimer le rapport des pressions :

P2P1

=1 +11 2121

+11

=2M a21

+ 1 1

+ 1(85)

P1P2

=2

+ 1Ma22

1+ 1

(86)

On peut exprimer egalement le rapport des temperatures :

T2T1

=( 1)2(+ 1)2

(4

( 1)2 1 +2

1 M a21

2

( 1)Ma21) (87)

On exprime Ma1 et M a2 en fonction du rapport des pressions :

M a21 = 1 ++ 1

2(

P2P1 1) (88)

M a2

2 = 1 +

+ 1

2 (

P1

P2 1) (89)

15


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Il faut que P2/P1 > 1 pour que Ma1 > 1. Si Ma1 < 1, il ne peut pas y avoir de choc.On peut exprimer M a1 en fonction de Ma2 :

2

+ 1M a21

1+ 1

=1

2+1

Ma22 1+1(90)

Si le choc existe et que M a1 > 1, alors Ma2 < 1. Il est a noter quon ne peut pas utiliser la relation

P/ = Cte a la traversee du choc car le phenomene est irreversible.

4.2.5 Variation dentropie dans une onde de choc droite

Lentropie s augmente a la traversee du choc dapres la relation de Gibbs : ds = dh/T dP/.Ainsi :

ds = (cp r) dTT r d

= cv

dT

T r d

(91)

dscv

=dP

P d

(92)

s2 s1 = cv ln[ P2P1

(12

) ] (93)

s2 s1 = cv ln[( 2+ 1

Ma21 1+ 1

)(1 + ( 1)Ma21/2

(+ 1)M a1/2)) ] (94)

Si M a1 1.2, s2 s1 est tres faible. Ensuite, s2 s1 augmente fortement avec Ma1.Remarque : Si Ma1 < 1, il ny a pas de choc. Cela entranerait en effet que s2 s1 < 0, ce qui na

pas de signification physique. Londe de choc droite ne peut donc exister que si Ma1 > 1.

4.2.6 Rendement isentropique a la traversee du choc

Le rendement isentropique, qui compare la transformation reelle a une transformation isentropique,est defini, comme pour les machines irreversibles, par :

is =his2 h1h2 h1

=Tis2 T1T2 T1

(95)

Si P2/P1 2.7, M a1 = 1.5 et = 0.9. De meme, si P2/P1 4.5, Ma1 = 2 et = 0.8

4.3 Ondes de choc obliques

On considere un ecoulement supersonique le long dune face dun diedre dangle , perpendi-culaire a larete du diedre (Fig.10).

Fig. 10 Onde de choc oblique le long dun diedre.

Il y a conservation du debit massique a la traversee de londe de choc. La masse traversant londede choc AB pendant le temps dt est :

dm = 1( u1. n1)dt = 2( u2. n2)dt 1u1n = 2u2n (96)

16


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ou lindice n correspond a la composante de la vitesse normale a londe de choc.Lequation dEuler secrit :

S

u(u.n)dS = S

P ndS 2 u2u2nA2 1 u1u1nA1 = P1 n1A1 P2 n2A2 (97)

Or A1 = A2 = A et si lon note Dm = 2u2nA2 = 1u1nA1, le debit massique qui traverse londe de

choc secrit alors :Dm( u2 u1) = (P1 P2) n2A (98)

Fig. 11 Projection de londe de choc oblique.

soit en projection sur londe de choc (Fig.11) :

Dm(u2t u1t) = 0 u1t = u2t (99)

Le plan donde est donc perpendiculaire au vecteur u2 u1. Si on projette sur la normale au plandonde, il vient :

1u21n + P1 = 2u

22n + P2 (100)

Lequation de Barre de Saint-Venant secrit alors :

u212

+ cpT1 =u222

+ cpT2 (101)

u21n + u

21t

2+ cpT1 =

u22n + u22t

2+ cpT2 (102)

u21n/2 + cpT1 = u22n/2 + cpT2 (103)

Les equations choc droit - choc oblique secrivent de la meme facon. Dans les deux cas, la vitesseest la vitesse normale au choc. Toutes les relations etablies pour le choc droit seront utilisables pourtraverser le choc oblique simplement en remplacant u1 par u1n, u2 par u2n, M a1 = u1/c1 par M a1n =u1n/c1 = Ma1 sin et Ma2 = u2/c2 par Ma2n = u2n/c2 = M a2 sin( ).

Par rapport au choc droit, le taux de compression P2/P1 et laugmentation dentropie s2

s1 sontplus faibles.

17


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5 Applications

5.1 Le tube de Pitot en ecoulement compressible

5.1.1 Ecoulement compressible subsonique

Le capteur donne la temperature darret T0, la pression darret P0 et la pression statique Pst.

Lequation de Barre de Saint-Venant donne :u2 = 2cp(T0 Tst) (104)

Lecoulement etant isentropique, on a :

TstT0

= (PstP0

)(1)/ (105)

On en deduit lexpression de la vitesse mesuree :

u =

2cpT0(1 ( Pst

P0)(1)/) (106)

5.1.2 Ecoulement compressible supersonique

Une onde de choc assimilee a un choc droit est situee en amont du capteur. Le capteur donne latemperature darret T0, la pression darret P0 et la pression statique en aval du choc P2. Lecoulementetant isentropique entre laval du choc et le point darret, on peut en deduire la temperature T2 et lavitesse u2 en aval du choc :

T2 = T0(P2P0

)(1)/ (107)

u2 =

2cpT0(1 ( P2

P0)(1)/) (108)

On en deduit le nombre de Mach en aval du choc Ma2 puis la vitesse critique c :

Ma2 = u2/

rT2 (109)

c2

= 1+ 1

u22 + 2r

+ 1T2 (110)

La vitesse en amont du choc est deduite de la relation de Prandtl (Eq.81) :

u1 =c2

u2(111)

5.2 Ecoulements dans une tuyere

On considere une tuyere convergente-divergente dite de Laval a geometrie fixee (Fig.12). On admet

que lecoulement est adiabatique et que les frottements sont negligeables. Des ondes de choc peuventapparatre. Celles-ci ne sont pas strictement droites car lecoulement nest lui-meme pas strictementunidimensionnel. On peut considerer que les chocs sont droits si la variation de section de la tuyerenest pas trop rapide et si lepaisseur des couches limites est faible par rapport au diametre.

On peut distinguer quatre regimes decoulement (Fig.12-13) : Regime 1 (courbes (a), (b), Fig.12-13) : lensemble de lecoulement est subsonique et la tuyere

fonctionne comme un Venturi. Les gaz sont acceleres dans le convergent puis leur vitesse diminuedans le divergent. La section au col est superieure a la section critique. Le rapport P/Pi passepar un minimum au col. La limite du regime 1 est atteinte lorsque pour une pression de sortie oudejection Pe suffisamment faible, la pression au col devient egale a la pression critique (courbe(c) sur la fig.12). Lecoulement est subsonique de part et dautre du col et est sonique au col.

18


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Fig. 12 Regimes decoulement dans une tuyere de Laval dapres Candel (1995), avec Pi la pressiondarret isentropique.

Regime 2 (courbe (d), Fig.6e,12,13) : les conditions critiques sont atteintes au col. Lecoulementdevient supersonique dans une partie du divergent. Un choc droit apparat en aval du col etproduit une recompression accompagnee dune deceleration de lecoulement. En aval du choc,lecoulement est a nouveau subsonique, le nombre de Mach diminue jusqua la section dejectionet le rapport P/Pi augmente. Le choc se place de telle facon que la recompression qui seffectueen aval ramene la pression dejection Pe a la pression ambiante Pa. Le choc se deplace vers lavallorsque Pa diminue. Les variations de Pa nont aucun effet sur lecoulement supersonique qui sedeveloppe en amont du choc. Le col est amorce et les parametres de lecoulement suivent uneevolution isentropique. Les valeurs de Ma et P se placent, en amont du choc, sur une courbeunique (courbe (d)). La limite du regime 2 est atteinte lorsque le choc droit se place dans lasection dejection de la tuyere (courbe (e)). La pression dejection en aval du choc est Pa2.

Regime 3 (courbes (f)&(g), Fig.12-13) : il apparat pour des valeurs de Pa plus faibles que Pa2.Lecoulement dans le divergent est entierement supersonique et la pression dejection corresponda une evolution isentropique : Pe = Pisen. Les variations de Pa ne modifient plus lecoulementa linterieur de la tuyere. Comme Pe = Pisen est inferieure a Pa, ladaptation de pressionentre le jet issu de la tuyere et latmosphere ambiante doit se faire a lexterieur du divergent,par lintermediaire dondes de choc obliques. Ces ondes de choc forment une serie de cellulesperiodiques en forme de diamant. La taille des cellules augmente lorsque la pression ambiante

Pa diminue. La limite du regime 3 est atteinte lorsque la pression ambiante devient egale a

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Fig. 13 Types dondes de choc dans une tuyere de Laval dapres Candel (1995).

Pa3 = Pisen. La tuyere est alors parfaitement adaptee, les cellules de choc disparaissent et il nya plus de recompression externe.

Regime 4 (courbe (k), Fig.12-13) : pour Pa < Pisen, les gaz ejectes par la tuyere se detendent alexterieur par lintermediaire dune serie dondes de detente obliques. Ce regime apparat lorsquela tuyere nest plus capable dassurer une detente complete jusqua la pression ambiante. Onretrouve ce regime pendant la phase propulsive dune fusee aux tres hautes altitudes. Les gaz

ejectes par les moteurs forment alors un panache evase caracteristique de la detente externe.Il est a noter que (P/Pi) correspond a (2/(+ 1))/(1) et vaut 0.527 pour lair ( = 1.405).

5.3 Souffleries subsoniques et supersoniques

Pour simuler les conditions de fonctionnement de systemes aerodynamiques reels (maquette davion,profil daile . . . ), on utilise des souffleries. La figure 14 donne un exemple de soufflerie a deux cols. Cesinstallations comprennent un systeme dalimentation et de mise en vitesse des gaz, une veine dessaiet un systeme devacuation des gaz ou une boucle de recuperation permettant la recirculation des gaz.Lacceleration des gaz est obtenue a laide dune tuyere et la recuperation dune partie de lenergiecedee au fluide est realisee par un diffuseur.

(a) (b)

Fig. 14 Soufflerie continue a deux cols dapres Candel (1995).

20


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Lacceleration des gaz a vitesse supersonique est realisee a laide dune tuyere convergente-divergente.Il existe des souffleries a rafales alimentees par un reservoir haute-pression. Les plus courantes sont lessouffleries continues car elles permettent des essais plus longs (Fig.14). Elles comportent generalementdeux cols et une boucle de retour des gaz. Le premier col, celui de la tuyere, permet lacceleration desgaz. Le second col appartient au diffuseur. Un echangeur de chaleur est souvent place sur la boucle deretour des gaz pour eviter lechauffement continu de lecoulement. Pour augmenter le nombre de Rey-

nolds, la soufflerie peut etre pressurisee. Le meme effet est obtenu en augmentant la temperature dufluide, puisque cela fait diminuer sa viscosite. Pour atteindre des nombres de Mach et des temperaturesgeneratrices eleves, caracteristiques du domaine hypersonique, on utilise des souffleries a arc et destubes a choc.

On va sinteresser maintenant plus particulierement aux configurations a deux cols utilises dansles souffleries supersoniques, comme celle presentee sur la figure 14. En regime permanent, lecoulementinitialement subsonique est accelere par la tuyere T et devient supersonique dans le divergent. Lecoulementreste supersonique dans la veine dessai. Comme le nombre de Mach M est superieur a 1, le convergentdu diffuseur D produit une deceleration des gaz. On garde un nombre de Mach M > 1 au col etlecoulement est accelere sur une portion du divergent du diffuseur. Un choc droit realise la recom-pression de lecoulement. En aval du choc, lecoulement redevient subsonique.

Pour maintenir un ecoulement supersonique dans la section dessai, il faut necessairement que lasection du col du diffuseur soit plus grande que celle de la tuyere : ACD > ACT. Comme lecoulement

est adiabatique dans toute la veine, les temperatures darret isentropiques de la tuyere TiT et dudiffuseur TiD sont identiques. Du fait des frottements sur la maquette et aux possibles ondes de choc,la pression darret isentropique diminue, dou : PiT > PiD. Comme le debit massique est conserve, onen deduit que : PiTA

T = PiDA

D et donc A

D > A

T. Comme M > 1 au col du diffuseur, ACD > A

D.On obtient ainsi : ACD/ACT > A

D/A

T > 1, soit ACD > ACT comme dit precedemment.

Fig. 15 Distributions de pression dans une installation a deux cols dapres Candel (1995).

On suppose alors que la condition ACD > ACT est verifiee et on sinteresse aux differents regimesde fonctionnement de la soufflerie lorsquon fait diminuer la pression a lechappement du diffuseur. Lafigure 15 presente les differentes notations. Comme pour le cas de la tuyere de Laval, on admet que lapression darret PiT = Pi1 garde une valeur constante. Les regimes de fonctionnement correspondanta des valeurs de P4 (la pression a lechappement du diffuseur) de plus en plus faibles sont representessur la figure 16 :

Regime 1 (Fig.15a-16a) : P4 est proche de Pi1 et lecoulement est subsonique partout. La tuyereet le diffuseur fonctionnent comme des Venturi. La limite de ce regime est atteinte lorsque,

pour une valeur suffisamment faible de P4, la pression au col devient egale a la pression critique

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PT = Pi1(2/(+1))/(1). Une onde de choc apparat alors au col de la tuyere (Fig.15b-16b).

Regime 2 (Fig.15c-16c) : pour des valeurs de P4 plus faibles, le choc se deplace vers laval touten restant dans le divergent de la tuyere. Lecoulement dans la veine dessai reste subsonique. Lechangement de regime intervient lorsque le choc se place au voisinage de la section de sortie dela tuyere (Fig.15d-16d). Une legere diminution de la pression P4 entrane le deplacement rapidedu choc vers laval.

Regime 3 (Fig.15e-16e) : lecoulement devient supersonique dans la veine dessai, le diffuseurest amorce et le choc vient se placer dans le divergent du diffuseur. On dit que le choc a eteavale par le diffuseur produisant lamorcage du deuxieme col. Lorsque ce regime est etabli, onreleve la pression P4 pour positionner le choc dans une section plus proche du col du diffuseur(Fig.15f-16f). Il faut cependant prendre garde a eviter le retour du choc vers la tuyere et ledesamorcage du diffuseur.

Ces trois regimes apparaissent successivement lors de la mise en route de la soufflerie. En partant durepos, le compresseur tend a augmenter la pression darret PiT en amont de la tuyere et a faire baisserla pression statique P4 en aval du diffuseur. Il est a noter que ces variations de pression seffectuentde facon quasi-stationnaire.

Fig. 16 Configurations decoulement dans un systeme a deux cols dapres Candel (1995).

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6 Bibliographie

Quelques ouvrages pour la partie cours : S. Candel, Mecanique des fluides, Cours, Dunod, Paris, 1995. R. Comolet, Mecanique experimentale des fluides, Tome I : Statique et dynamique des fluides

non visqueux, 5e Ed. Masson, Paris, 1992. J. Gosse, Mecanique des fluides, Techniques de lingenieur, 1995. A. Lallemand, Ecoulements monodimensionnels des fluides compressibles, Techniques de lingenieur,

1996. P.L. Viollet, Mecanique des fluides a masse volumique variable, Presses de lecole nationale des

Ponts et Chaussees, 1997.Quelques ouvrages pour la partie exercices : S. Candel, Problemes resolus de Mecanique des fluides, Dunod, Paris, 1995. R. Comolet & J. Bonnin, Mecanique experimentale des fluides, Tome III : recueil dexercices,

5e Ed. Masson, Paris, 1992. D. Desjardins, M. Combarnous, N. Bonneton, Mecanique des fluides : Problemes resolus avec

rappels de cours, Dunod, collection Sciences Sup, 2002.

Pour toute question, envoyez moi un email a [email protected].

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cours compressible

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