courants électriques

Année universitaire 2014/2015Université Joseph Fourier (UJF) Grenoble I - Tous droits réservés



Chapitre 3 :Courants électriques

UE 3-1 : Physique

Pr. Eva PEBAY-PEYROULA

III - Courants électriquesFinalité du chapitre

• Après avoir vu l’existence des charges et les actions qu’elles provoquent,ce chapitre s’intéresse aux mouvements des charges. Nous décrirons dansun premier le courant électrique au niveau des particules élémentaires, lesélectrons, responsables de ce courant dans un matériau conducteur.

• Nous définirons des grandeurs permettant de décrire les propriétés descircuits électriques (courant, tension, résistance), ou des solutions d’ions.

• Nous expliciterons les relations entre tension et courant dans le cas decircuits simples. Plan

1. Le courant électrique2. Intensité et densité de courant3. Courant électrique dans les conducteurs4. Conductivité et résistivité5. Loi d’Ohm - résistance électrique6. Effet Joule dissipation d’énergie7. Courants dans un électrolyte8. Courants continus9. Courants variables

III - Courants électriquesExemples d’application

• Beaucoup de phénomènes dans le vivant sont basés sur des mouvements de charges électriques:

• Influx nerveux: phénomène électrique au niveau de cellules excitables (neurones), phénomènes de dépolarisation suivi d’une repolarisation, font intervenir des ouvertures et fermetures de canaux ioniques dans les membranes

• Dans les mitochondries le flux de protons qui entrent par la membrane interne permet la synthèse de l’ATP

• Techniques d’analyse des protéines : les protéines sont chargées et soumises à un champ électrique pour les faire migrer, cette migration dépend de leur taille

III - Courants électriques2. Intensité et densité de courant

Considérons un cylindre de section S dans lequel se déplacent des charges à une vitesse v. Le mouvement se fait dans l’axe du cylindre, c’est-à-dire la vitesse est parallèle à cet axe comme indiqué sur la figure.

S

t t+dt

A B

v

Pendant un temps élémentaire dt, les charges parcourent une distance dl= v dt (elles vont de la section A à la section B)

Pendant ce temps dt, la quantité de charges dQ traversant la section S correspond à la quantité de charges présente dans le volume entre les sections A et B

v


Nous pouvons définir l’intensité I du courant électrique par la variation de quantité de charge par unité de temps:

I = dQ/dt

L’unité dans le système international est l’Ampère (A)dQ est la quantité de charge qui traverse la surface S par unité de temps

S

t t+dt

A B

v v


Nous pouvons définir une densité de courant j

I = j S

j représente une intensité électrique par unité de surface et s’exprime dans le système SI en A m-2

S

t t+dt

A B

v


S

t t+dt

A B

v

Nous pouvons aussi définir le nombre n de porteurs de charges par unité de volume

Si q est la charge élémentaire, alors dQ est relié à n par:

dQ = n q (S dl) = n q S v dt

d’où I= dQ/dt= n q S v et j=I/S = n q v

En réalité j est un vecteur, la direction est celle de la vitesse des charges


Application: calcul du courant généré par les électrons dans un synchrotron

Un synchrotron est constitué d’un anneau circulaire parcouru par des électrons qui circulent à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Cet anneau produit ainsi des rayons X utilisés pour la recherche.

On considère un anneau de circonférence L=240 m, 1011 électrons parcourent ce cercle à chaque cycle. Calculons l’intensité du courant.

Remarque: L’ESRF (European Synchrotron Research Facility) localisé à Grenoble est un synchrotron Européen très puissant (parmi les plus performants au monde).

Par définition I=dQ/dt, dans ce cas courant uniforme donc I=Q/tÀ chaque tour 1011 électrons parcourent l’anneau donc : Q=1011 x 1,6 10-19 C et t=L/v=240/(3 108) (par définition de v)

d’où I=0,02 A


S

t t+dt

A B

v

Si nous avons plusieurs types de charges qi avec vitesse vi:

Par convention : Le sens du courant électrique est le sens de déplacement des charges positivesDonc les électrons circulent en sens inverse du courant

III - Courants électriques3. Courant électrique dans les conducteurs

Il existe différents types de matériaux: les isolants et les conducteurs

Isolant : exemple quartz constitué de molécules de siliceNon ionisées, pas de charges libres

Conducteur: exemple cuivre, quelques ions positifs et électrons libres, les électrons se déplacent de façon aléatoire dans le matériau


En appliquant un champ E à un matériau conducteur les électrons vont subir une force électrique

Mouvement d’ensemble des électrons, dans le sens contraire à E (q<0)

Les électrons dans le matériau se heurtent aux atomes constituant le matériauÀ chaque choc: perte d’énergie. En moyenne les électrons ont une vitesse v suivant la direction du champ. Dans ce chapitre, la vitesse v des charges sera toujours cette vitesse moyenne.

E

La vitesse des électrons est reliée au champ appliqué

mobilité des porteurs de charges (dans le cas d’un matériau conducteur: électrons libres)

III - Courants électriques4. Conductivité et Résistivité

La résistivité est l’inverse de la conductivité:

en m

La densité de courant j est reliée à la vitesse :

Donc la densité de courant est reliée au champ électrique

Cette relation est appelée la loi d’Ohm locale est la conductivité du matériau (m)-1

La résistivité et la conductivité sont caractéristiques du matériau

or la vitesse est reliée au champ électrique


Application: calcul de j et v dans un fil de cuivre parcouru par un courant I

Soit un fil de cuivre de 1,2 mm de diamètre est parcouru par un courant de 5 A. Intéressons-nous à la densité de courant et à la vitesse des électrons.

Le cuivre est caractérisé par un numéro atomique A=63,5; une masse volumique =9 g/cm3

et nous savons qu’il y a un électron libre par atome.

Par définition j=I/S= I / ( r2 ) = I / ( (d/2)2 ) = 4,4 106 A/m2

La vitesse est reliée à j par j=nqv d’où v=j/(nq)les porteurs de charges sont les électrons libres, c’est-à-dire 1 par atome de Cule nombre de porteurs de charge par unité de volume est donc égal au nombre d’atomes de Cu par unité de volumevolume d’1 atome de Cu = A/ ( NA) donc inversement n = NA / A (NA est le nb d’Avogadro)

D’où

Pour l’application numérique, il faut écrire toutes les valeurs en SI A= 63 10-3 kg/mol, =9 103 kg/m3, q=1,6 10-19 C, NA=6,02 1023 d’où v=3,2 10-4 m/s = 0,32 mm/s

III - Courants électriques4. Conductivité et Résistivité

Variation avec T: augmente avec T pour conducteurs diminue quand T augmente pour isolants

MATÉRIAU RÉSISTIVITÉ (m) TYPE

Plomb 0 pour T<7K Supraconducteur

Cuivre (à 20°C) 1,7 10 ‐8 conducteur

Silicium (20°C) 2300 semi‐conducteur

Verre (20°C) 10 10 à 10 14 isolant

Membrane de lipide 1,6 10 7

III - Courants électriques5. Loi d’Ohm - résistance électrique

Considérons un fil conducteur. Entre 2 points du fil distant de L, nous appliquons une différence de potentiel V = V1 –V2 (on choisit V2<V1 donc V>0)Le fil peut être considéré comme un cylindre filiforme.

Nous avons vu dans le chapitre précédent que le potentiel est relié à un champ électrique par

S

V1 V2L

EjS

Dans ce cas, il est possible de montrer que le champ électrique entre les 2 points est défini par:-une direction suivant l’axe du cylindre,-une orientation dans le sens des V décroissants-une norme


Démonstration facultative

V1 V2

L

E

Le fil conducteur est un cylindre très fin: par approximation on considère que le mouvement des charges se fera juste sur l’axe Ox

x

donc

Le potentiel entre les 2 points varie de façon uniforme, donc en un point défini par x, V = a x (a: cte )

D’après la relation reliant le champ et le potentiel, V ne dépend que de x, donc le champ est suivant Ox

Relions a à V1, V2 et L


Le champ électrique du à la différence de potentiel entraîne un mouvement de charges. Le courant I et la densité de courant j associés sont définis par

Remarques: Cette expression de R est valable pour un conducteur cylindrique S, LLa résistivité est une propriété du matériauLa résistance R est une propriété d’un morceau de matériau (ici une portion de fil cylindrique)

S

V1 V2L

Ej S

D’où

D’où la loi d’Ohm

R est la résistance en Ohm (Ω)

III - Courants électriques6. Effet Joule - Dissipation d’énergie

Nous avons mentionné dans une diapositive précédente que les électrons se déplacent en moyenne suivant la direction du champ électrique, mais que de façon individuelle ils subissent des chocs avec les atomes du matériau.

Ces chocs se traduisent par une dissipation d’énergie par échauffement, ce phénomène s’appelle l’effet Joule

Il est possible de montrer que la puissance dissipée par effet Joule dans un circuit de résistance R parcouru par un courant I, s’écrit:

où U est la différence de potentiel, U =VAN: Courant parcourant la résistance d’un sèche-cheveux de 1600 W sous une tension de 220V?

I = 1600/220 = 7,3 A

III - Courants électriques7. Courant dans un électrolyte

Liquides avec dissociation partielle ou totale des molécules:ions > et <0

exemple: H2O H+ + OH-

HCl H+ + Cl-H2SO4 2 H+ + SO4

2-

électrolyte globalement neutre

coefficient de dissociation = nbre de mol. dissociées/ nbre total de mol.

électrolyte fort: =1 (sels, bases et acides forts)

électrolyte faible: <1 (sels, bases et acides organiques)


Densité volumique de porteurs: n+ = x n0 et n- = y n0

Neutralité globale:

Densité volumique de charge:

Champ électrique: déplacement d’ions, ions - vers anode, ions + vers cathode

n0 molécules AxBy en solution par unité de volume: x ions Aq+ et y ions Bq-

Courant électrique de densité:

Remarques:- q+ + et q- - sont >0- mobilités des ions dépend de leur masse, ions sphériques: prop. à m-1/3

Pour Na+, Cl- : ~10-8 SI, hémoglobine: ~10-9 SI


Deux électrodes de 5 cm2 de surface, distantes de 10 cm, plongent dans unesolution aqueuse de NaCl (29,25 g/L, supposés complètement dissociés). Lamobilité des ions Na+ est de 5 10-8 SI, celle des ions Cl- de 7 10-8 SI. On appliqueentre les électrodes une tension continue de 5V. On s’intéresse à l’intensité ducourant, la résistivité de la solution et les vitesses de déplacement des ions Na+ etCl-.

Application: courant créé par un déplacement d’ions dans un électrolyte

La densité de courant provient des mouvements des Na+ et des Cl-j= (n+q++ + n-q-- ) E

avec + =5 10-8 SI; -= -7 10-8 SI; q+ = 1,6 10-19 C ; q- = -1,6 10-19 C ; E= V/d= 5/0,1 = 50 V/m

Calcul de n+ et n-: Une concentration de 29,25 g/L correspond à 0,5 mole/L (MW NaCl= 58,44 g/mol)

donc n+=n- = 0,5 103 NA = 3 1026 porteurs/m3.

d’où j= 300 A/m2 et I=jS=0,15A

Résistivité =E/j = 0,165 m, Vitesse de déplacement : v=E donc vCl=3,5 10-6 m/s et vNa=2,5 10-6 m/s


Exemple: électrophorèse

Identification des protéines contenues dans une solution

Migration des grosses molécules plus lentes que les petites

1: marqueurs (protéines de masse connue2 et 3: extrait cellulaire

III - Courants électriques8. Courants continus

Générateur: maintenir une différence de potentiel (ddp) cte entre ses bornes

La ddp est la force électromotrice fem du générateur

Exemple : pile électrique, accumulateur,…

Rque: générateur et récepteur ont une résistance interne r

Récepteur: consomme de l’énergie, chute de potentiel, force contre-électromotrice fcemPour fonctionner: récepteur doit être alimenté par générateur fem>fcem

Exemple: moteur


Lois de Kirchhoff

Il s’agit des lois de Kirchhoff. Elles expriment la conservation de l’énergie et de la charge électrique.

AI1 I3

I2 I4

I1 + I2 = I3 + I4

Loi des nœuds: On considère un noeud dans un circuit électrique: 2 branches arrivant en A et deux branches repartant de A

A B

CD

UAB + UBC + UCD = UAD

Loi des mailles: soit UMN la différence de potentiel entre 2 points M et N (UMN= VM-VN)


Association de résistances en série

A M N BI R1 R2 R3

La différence de potentiel entre les points A et B s’écrit:VA - VB = (VA - VM) + (VM - VN)+ (VN - VB)

Il est possible d’appliquer la loi d’Ohm pour chaque résistance:D’où VA – VB = R1I + R2I + R3I = (R1+ R2+ R3 ) I = R I

Avec R = R1+ R2+ R3

Placées en série, elles sont parcourues par un même courant

R = i Ri

Placées en série, la résistance résultante est la somme des résistances


Association de résistances en parallèle

R3

R2

R1

A BI

Pour chaque résistance Ri traversée par un courant Ii la loi d’Ohm s’écrit VA-VB = RiIi d’où

D’après la loi de Kirchhoff

Avec

Placées en parallèle (ou en dérivation), l’inverse de la résistance résultante est la somme des inverses des résistances individuelles.

Placées en en parallèle, elles sont soumises à la même différence de potentiel VA-VB


Exemples de circuit EA B+ -

RI I = E/R

Le circuit 1 comprend un générateur et une résistance. Le générateur fournit une ddp E, il en résulte un courant I relié à R par la loi d’Ohm.

Le circuit 2 comprend un générateur et plusieurs résistances.

E

I

R1

R2

R3

R4

R5

Connaissant les valeurs des 5 résistances, il est possible de calculer la résistance équivalente:1)R’: Résistance équivalente à R2, R3, R42)R’’: Résistance équivalente à R1, R’3)R’’’: Résistance équivalente à R’’, R5

III - Courants électriques9. Courants variables

Condensateur: capacité C chargé sous ddp V charge Q sur les armatures avec Q= CV

Si pendant dt, la ddp varie de dV, alors la charge varie de dQ avec dQ = C dVD’où un passage de courant i = dQ/dt

Charge d’un condensateur

C+-

R A B

E ri

t = 0, Q =0

On bascule l’interrupteur en A, C se charge à travers R:

D’où

Définition d’un temps caractéristique = RCtemps nécessaire à la charge du condensateur, aussi appelé constante de temps du circuit


Démonstration facultative (autre option: vérifier que la solution vérifie l’équation de départ

C+-

R A B

E ri

t = 0, Q =0

Or à t=0 Q=0, d’où cte=-CE d’où

Solution particulière : condensateur chargé Q=CE

Solution de l’intégration:solution générale de + solution particulière de

D’où la solution complète


C+-

R A B

E ri

Variation de Qt=0, Q=0; t tend vers l’infini, Q=CE; t = alors Q = 63% du max ( = CE)Variation de it=0, i=E/R; t tend vers l’infini, i=0; t = alors i = 37% du max ( = E/R)


décharge du condensateur

T=0, Q =Q0

On bascule l’interrupteur en B, le condensateur de décharge à travers r

D’où Q(t) = Q0 e-t/rC

= rCrapidité avec laquelle le condensateur se décharge

Constante de temps du circuit de décharget = alors il ne reste que 37% de Q0

ATTENTION ici le condensateur se décharge, le nombre de charge diminue en fonction du temps, l’intensité du courant qui est une quantité positive est donc égale à -dQ/dt (au lieu de dQ/dt dans le cas où le condensateur se charge).

R A B

E rC+-

i


Décharge du condensateurR A B

E rC+-

i

Variation de Qt=0, Q=Q0; t tend vers l’infini, Q=0; t = alors Q = 37% du maxVariation de it=0, i=Q0/rC; t tend vers l’infini, i=0; t = alors i = 37% du max


Notion d’inductance

Un élément d’un circuit électrique possède une inductance L si latension à ses bornes est proportionnelle à di/dt, où di/dt est ladérivée de l’intensité traversant l’élément.

U = L di/dt

Les éléments qui possèdent cette propriété sont en général des bobines (fil conducteur enroulé autour d’un axe), d’où la représentation symbolique de L.

U

Li

générateur


Le courant généré par une tension délivrée par le générateur dépendra de ces éléments et de la façon dont ils sont agencés (montage en série ou en parallèle).

Circuit électrique général

Un circuit électrique pourra être composé de différents éléments:

-Générateur-Résistance-Condensateur-Bobine d’inductance

III - Courants électriquesRésumé des notions importantes

• Définition du courant électrique, de la densité de courant, expression de la densité de courant en fonction des porteurs de charges et de leur vitesse, notion de mobilité des porteurs de charge, lien entre mobilité, vitesse et champ électrostatique, origine physique de la mobilité (chocs)

• Loi d’Ohm locale, définition conductivité et résistivité• Loi d’Ohm, résistance, puissance dissipée par effet joule• Densité de courant dans un électrolyte (expression)• Lois de Kirchhoff• Lois d’association de résistance (série et parallèle)• Charge et décharge d’un condensateur (principe, relation, entre I, Q, V,..)• Notion d’inductance

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