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14 - Teoria do Caos
Tópicos Fundamentais em Teoria Quântica e Física Contemporânea
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Newton
• Lei da Gravitação Universal– explica as órbitas – dela deduz-se as Leis de Kepler
• Leis da Mecânica: paradigma da física matemática
• Máquina Universo• Universo físico × Universo vivo
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Cosmologia
• uma única galáxia: Via Láctea
• Hubble (anos 20): ⇒há objectos fora da nossa galáxia!– nebulosas – nebulosas que são
outras galáxias
• O Homem não está no centro do Universo!
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Evolução das estrelas
• diagrama de Hertzsprung-Russell
• as estrelas têm uma ‘vida útil’
• nosso Sol vai se apagar em 5 bilhões de anos!
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Lei de Hubble
• desvio p/ o vermelho: efeito Doppler-Fizeau
• Hubble (1929): desvio proporcional à distância (v=H0D) ⇒ Universo em expansão!
• O Universo teve um início!• Terá um fim?
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Astrofísica
• no início o Universo teria ocupado um volume ínfimo!
• aumento da temperatura com a contracção
• Universo inicial extremamente quente• Big-bang• O Universo está esfriando!
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Modelo Big Bang
• 10-43s: temperatura de 10320ºC• inflação: em 10-33s de 10-24cm a 1048km• emissão de radiação de corpo negro em
forma de fótons do espectro de raios gama
• radiação fóssil (provinda do início do Universo) isotrópica, homogênea, constante
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Formação dos elementos
• Fusão nuclear ⇒ elementos leves• elementos pesados? ⇐ supernovas• Nós viemos das estrelas!
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Partículas Elementares
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Partículas Elementares
• 1897: e−
• 1919: p+
• 1932: n• 1932: e+
• 1937: µ−, µ+
• 1947: π0, π+ & π−
• 1947: K−, K0, K+, K0
• 1955: p−
• 1955: νe
• 1956: νe
• 1962: νµ, νµ• 1974: J/ψ• 1975: τ−, τ+
• 1977: Υ0
• 1983: W+, W−, Z0
• 2000: ντ, ντ• …
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Modelo do octeto
• Murray Gell-Mann: Eightfold Way
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Teoria de grupos
• mas 8⊕1=3⊗3– existe algo mais
fundamental– quarks
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‘Tabela’ das Partículas
• tabela dos elementos: 2D
• “tabela” das partículas: 3D!
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Supersimetria
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Por que tantas partículas?
• Supersimetria: bósons e férmions possuem 'superparceiros' com spin metade maior ou menor (conjugados)
• nunca foi observada: talvez LHC (2009)
• álgebra não-comutativa!• acabou dobrando o
número de partículas!
• elétron ↔ selétron • múon ↔ smúon • tau ↔ stau • neutrino ↔ sneutrino• glúon ↔ gluino• W ↔ wino• Z ↔ zino• fóton ↔ photino• H ↔ higgsino
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Teoria de cordas
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Teoria Quântica de Campos
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Teoria de cordas
• “Teoria da Grande Unificação”• quantização da gravitação: infinitos não-
renormalizáveis• possível solução: partículas são ‘cordas’ c/
~10-34 m• modos de vibração=partículas• espaço de 11 dimensões
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Níveis de percepção
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Teoria M
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Cinco candidatas
bosônica 20D só forças, sem matéria, mas c/ táquion
I 10D supersimetria, cordas fechadas e abertas
IIA 10D supersimetria, cordas fechadas e abertas c/ D-brana, férmions a-quirais
IIB 10D supersimetria, cordas fechadas e abertas c/ D-brana, férmions quirais
SO(32) 10D supersimetria, só cordas fechadas, heterótica
E8×E8 10D supersimetria, só cordas fechadas, heterótica
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Teoria M
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M de ...
• mestre, • matemática, • mãe, • mistério, • membrana,
• mágica, • matriz,
• ou de ...• m...
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Teoria do Caos
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Roleta
• sabendo θ0 e v0 da bolinha e da roda
• pode ser modelizadamatematicamente:– qual a 1ª casa– qual a 2ª casa,– etc., até parar
• mas só se θ0 e v0com precisão infinita!
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Caos
• “O caos é uma ordem por decifrar”
(Saramago, in O Homem Duplicado)
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História
• Teoria das Perturbações: pequenas perturbações ⇒ pequenos efeitos
• problema de muitos corpos → sistema Solar (Poincaré)
• Teoria das Perturbações não se aplicava
⇒Sistema Solar é caótico!!!
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Caos
• Caos não é desordem!• Desordem: indeterminado e imprevisível• Ordem: determinado e previsível• Caos: determinado mas imprevisível!!
• Caos: estado intermediário entre desordem e ordem
• Caos: determinista e imprevisível
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Termodinâmica
• organismo vivo: trocas energéticas• 2ª Lei da Termodinâmica• formação de estruturas: redução local da
entropia
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Caos e vida
• organismo vivo: sistema aberto– troca informação e matéria com o exterior– mantém sua individualidade
• Caos: determinista e imprevisível
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Lorenz e o efeito borboleta
• Dependência sensível das condições iniciais:– Por um prego, perdeu-se a ferradura;– Por uma ferradura, perdeu-se o cavalo;– Por um cavalo, perdeu-se o cavaleiro;– Por um cavaleiro, perdeu-se a batalha;– Por uma batalha, perdeu-se o reino!
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Smoking / No Smoking , Resnais
• oito histórias • as mesmas situações e os
mesmos personagens • três mulheres (uma só atriz) e
três homens (um só ator)• as possibilidades do acaso e
as conseqüências dos menores atos:– parar para conversar ou não? – acender um cigarro ou não? – abrir uma porta ou não?
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O Efeito Borboleta
• regressão ao tempo e corpo de criança
• tenta mudar o passado
• cria novos problemas• “mudando uma coisa,
muda tudo”
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Um Homem de Família
• uma escolha entre o amor e a carreira
• o homem escolheu a carreira
• como seria se tivesse escolhido o amor?
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De Caso com o Acaso
• A: – pega o metrô,
– conhece James,
– flagra o namorado com outra e
– reencontra James
• B: – perde o metrô,
– é assaltada,
– não conhece James e
– não flagra o namorado com outra
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Sistemas reais não-lineares
• Pêndulo caótico– Trapézio espacial– Pêndulo esférico
• a mancha vermelha de Júpiter
• a corrente do Golfo• El Niño?
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Caos na Natureza
• populações são caóticas
• saúde humana é caótica
• guerras são caóticas• etc.
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Equação logística
• x=r*x(1-x)
• p/ r=2,7, p.ex, x tende a um ponto de equilíbrio
• para r>3, oscilações e caos
• 0,02• 0,0529• 0,1353• 0,3159• 0,5835• 0,6562• 0,6092• 0,6428• 0,6199• 0,6362• 0,6249• ...• 0,6296
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Bifurcação
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Pêndulo composto
• Diagrama em espaço de fase: p×x
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Diagrama de fase
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Pêndulo magnético
• ponto azul: pêndulo terminará no ímã ‘azul’, etc.
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Conjunto de Mandelbrot
• a mais simples função não-linear• definida recursivamente como f(x)=x2+c
• para c = -1,1; -1,3, ou -1,38, é função matemática normal, determinística
• para c = -1,9, é função caótica
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
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Conjunto de Mandelbrot
• Julia and Mandelbrot Set Explorer: <http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/julia/explorer.html>
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Fractais
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Padrões recursivos
– Portanto, observam os naturalistas, uma pulga
– suporta outras pulgas menores que nela picam
– e estas têm pulgas ainda menores para as picarem
– e assim até o infinito
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Auto-semelhança
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Auto-semelhança
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Auto-semelhança
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Floco de neve de Koch
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Floco de neve de Koch
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Curva do dragão de Lévy
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Curva do dragão de Lévy
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Curva do dragão de Lévy
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Auto-semelhança
• Um quadrado pode ser dividido em N2 pedaços autosemelhantes reduzidos N vezes
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Dimensão fractal
• d = log nº peças / log fator de escala
• Segmento de reta� D = log N / log N = 1 �
• Quadrado:� D = log N2 / log N = 2 �
• Cubo: � D = log N3 / log N = 3 �
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Triângulo de Sierpinski
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Triângulo de Sierpinski
• dimensão fractal:� d = log 3 / log 2 � = 0,477... / 0,301...� ≈ 1,5850 !!!
• ou � d = log 9 / log 4� = log 32 / log 22� = log 3 / log 2� ≈ 1,5850
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Tapete de Sierpinski
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Tapete de Sierpinski
• dimensão fractal:� d = log 8 / log 3� ≈ 1,8928
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Fractais na Natureza
• couve-flor� d ≈ 2,33
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Fractais na Natureza
• superfície do pulmão� d ≈ 2,97
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Fractais na Natureza
• qual o comprimento da linha costeira?
• qual a dimensão fractal da costa brasileira?
• costa britânica ≈ 1,25
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Paisagem fractal
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Paisagem fractal
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Experimento
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Esferas fractais de papel
1. Amassar uma das folhas em esfera2. Dividir a outra folha em duas metades3. Amassar uma das metades em esfera4. Dividir a outra metade em duas metades5. Amassar uma das metades em esfera6. Dividir a outra metade em duas metades7. Amassar uma das metades em esfera8. etc
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Esferas fractais de papel
1. Medir várias vezes o diâmetro de cada esfera e tirar as médias
2. Pesar cada esfera3. Correlacionar num gráfico log-log as
massas com os diâmetros4. Calcular o coeficiente angular da curva,
obtendo a dimensão fractal média delas
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Software art
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Combined blowup2 , Thomas Briggs
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Eletric Sheep
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Referências
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Referências
• GLEICK, James. Caos : A Construção de uma nova Ciência. Campus, 1989.
• WITTEN, Edward. Magic, Mystery and Matrix, Notices of the AMS, October 1998, 1124-1129. Disponível em <http://www.sns.ias.edu/~witten/papers/mmm.pdf>. Acesso em: 19 jun. 2008
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Referências
• ABDALLA, Elcio. Teoria quântica da gravitação: cordas e teoria M. Rev. Bras. Ens. Fis., v. 27, n. 1, 2005 . Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n1/a17v27n1.pdf>. Acesso em: 19 jun. 2008.
• SILVEIRA, Fernando L. da. Determinismo, Previsibilidade e Caos. Caderno Catatarinense de Ensino de Física, v.10, n.2: p.137-147, ago.1993. Disponível em <http://www.fsc.ufsc.br/cbef/port/10-2/artpdf/a4.pdf>. Acesso em 18 abr. 2007.
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Referências
• OSTERMANN, Fernanda. Um Texto para Professores do Ensino Médio sobre Partículas Elementares. Bras. Ens. Fis., v. 21, n. 3, pp. 415-436, set. 1999. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v21_415.pdf>. Acesso em: 27 jan. 2009
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Referências
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Cosmologia• http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_cordas• http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria-M• http://aindaapensar.blogspot.com/2009/01/como
-fazer-fractais-sem-computador.html • http://www.youtube.com/v/o9LV9vaGxJQ• http://www.youtube.com/v/Jj9pbs-jjis • http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_Caos• http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal