Corso di Fotonica 1

Capitolo 1

Richiami di ottica

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Indice

1 Richiami di ottica 11.1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Riflessione e rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 La lente sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Ottica di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1 Diffrazione da apertura rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.2 Diffrazione da reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3 Onda sferica nell’approssimazione parassiale . . . . . . . . . . . . . . 171.7.4 La lente sottile nell’approssimazione parassiale . . . . . . . . . . . . 171.7.5 Fasci Gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7.6 Risonatori ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Elaborazione ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8.1 Sistema 4f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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La radiazione luminosa e una perturbazione elettromagnetica variabile nel tempo, la cuipropagazione nello spazio libero o attraverso mezzi materiali viene descritta dalle equazionidi Maxwell. Siccome soltanto in pochissimi casi e possibile trovare delle soluzioni analitiche,sono state sviluppate diverse trattazioni approssimate, che permettono di descrivere, inmaniera piu o meno accurata, le proprieta caratteristiche della luce.

L’ottica geometrica e la piu semplice e piu antica trattazione, basata sullo studiodelle traiettorie dei raggi luminosi. Alcune leggi descrivono gli effetti della propagazioneattraverso mezzi non omogenei, ovvero i fenomeni di riflessione e rifrazione e, inoltre, ven-gono descritte le proprieta di semplici dispositivi ottici come gli specchi, le lenti e i prismi.Alcuni fenomeni, come per esempio la diffrazione, non possono essere descritti nell’am-bito dell’ottica geometrica, ma vengono analizzati nell’ambito dell’ottica ondulatoria.Questa trattazione ci permette di studiare la propagazione della luce sia nello spazio liberoche attraverso strutture guidanti, come le fibre ottiche, nonche i processi di formazione edelaborazione di un immagine. Nell’approssimazione dell’ottica parassiale, lo studio delladiffrazione viene suddiviso in due classi generali, note come diffrazione di Fresnel edi Fraunhofer. Per descrivere i fenomeni di interazione radiazione-materia, che sono allabase del funzionamento del laser, degli amplificatori ottici e di tutti i dispositivi fotoniciattivi, occorre introdurre alcuni elementi relativi alla quantizzazione dei sistemi atomici edel campo luminoso, cioe alcuni concetti di ottica quantistica.

Di seguito, riassumeremo alcuni concetti e definizioni basilari relativi all’ottica e daremouna breve descrizione di alcuni fenomeni fondamentali, soffermandoci sulle proprieta dellaluce a cui faremo riferimento nei prossimi capitoli. Inizieremo a scrivere l’equazioni diMaxwell nel vuoto e le relazioni costitutive, che ci permettono di studiare la propagazionedella luce nei mezzi materiali. Studieremo i fenomeni di riflessione, rifrazione, diffrazionee interferenza e i processi di formazione di immagini con lenti sottili e elaboratori ottici.Nell’ambito dell’ottica di Fresnel e di Fraunhofer, studieremo la diffrazione da aperture eda reticoli e la propagazione dei fasci laser.

1.1 Equazioni di Maxwell

Scriviamo le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico nel vuoto

∇×E (x, y, z, t) = −µ0∂H (x, y, z, t)

∂t∇×H (x, y, z, t) = ε0

∂E (x, y, z, t)∂t

∇ ·E (x, y, z, t) = 0 ∇ ·H (x, y, z, t) = 0, (1.1)

e l’equazione d’onda (equazione di D’Alambert)

∇2E (x, y, z, t)− µ0ε0∂2E (x, y, z, t)

∂t2= 0, (1.2)

dove ε0 = 8.854 · 10−12 F/m e µ0 = 4π · 10−7 H/m sono, rispettivamente, la costantedielettrica e la permeabilita magnetica del del vuoto; la velocita della luce nel vuoto e

c =1

√µ0ε0

= 2.99792458× 108ms−1. (1.3)

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Se il campo elettrico e una funzione sinusoidale del tempo, E (x, y, z, t) = E (x, y, z) cos (ωt) =Re {E (x, y, z) exp (iωt)}, la radiazione e monocromatica e l’Eq. (1.2) diventa l’equazionedi Helmholz

∇2E (x, y, z) + k2E (x, y, z) = 0, (1.4)

dove

k =ω

c=

2πλ

(1.5)

e il numero d’onda, λ la lunghezza d’onda e ν = ω2π = c

λ la frequenza. Le superficiequifase (fronti d’onda) di un’onda piana sono delle superfici piane: per esempio, se l’on-da si propaga lungo l’asse z, il campo elettrico e del tipo E (x, y, z) = A exp (ikz) e, dove A euna costante, detta ampiezza dell’onda e il vettore e indica lo stato di polarizzazionedell’onda, ovvero la direzione lungo la quale il campo elettrico oscilla. Piu in generale,un’onda piana monocromatica che si propaga in una direzione individuata dal vettored’onda k = kxx + kyy + kzz e descritta dal campo elettromagnetico

E(x, y, z, t) = Ae exp [i (kxx+ kyy + kzz − ωt)]

H(x, y, z, t) = − A

ωµ0k× e exp [i (kxx+ kyy + kzz − ωt)] (1.6)

e il vettore di polarizzazione e e sempre ortogonale al vettore d’onda k.Le superfici equiampiezza e equifase di un’onda sferica sono delle sfere: in coordinate

polari, essa ha l’espressione

E(r, ϕ, θ, t) =E0

rexp [i (kr − ωt)] (1.7)

1.2 Relazioni costitutive

Quando la radiazione si propaga in un mezzo materiale, le relazioni costitutive

D(x, y, z, t) = ε0E(x, y, z, t) + P(x, y, z, t) = ε0 (1 + χ) E(x, y, z, t) = εE(x, y, z, t)B(x, y, z, t) = µH(x, y, z, t) (1.8)

tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetiz-zazione della materia. La costante dielettrica ε = εrε0 e la permeabilita magnetica µ = µrµ0

del mezzo forniscono il legame tra i vettori induzione o spostamento elettrico D e magneticoB e i campi E e H ; di seguito assumeremo sempre µ = µ0 (µr = 1); P e il vettore densitadi polarizzazione e χ la suscettivita dielettrica.

Se la risposta del mezzo non e istantanea, la costante dielettrica ε(ω) e funzione dellapulsazione dell’onda che si propaga, e il mezzo viene detto dispersivo. La dispersione eil fenomeno che si puo osservare illuminando un prisma con la luce bianca e osservando laradiazione emergente, che viene separata nelle diverse costituenti spettrali (colori).

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Un mezzo e non omogeneo, se la costante dielettrica varia da punto a punto ε(x, y, z),ed e anisotropo se il legame tra D e E e di tipo tensoriale Dx

Dy

Dz

=

εxx εxy εxzεyx εyy εyzεzx εzy εzz

ExEyEz

. (1.9)

Se il legame tra il vettore densita di polarizzazione e il campo elettrico E non e di pro-porzionalita diretta, il mezzo si dice non lineare; in questo caso, si puo esprimere P inserie di Taylor

P = ε0∑j

χ(1)ij Ej +

∑jk

χ(2)ijkEjEk +

∑jk`

χ(3)ijk`EjEkE` + · · ·. (1.10)

Dall’equazione d’onda in un mezzo omogeneo, isotropo e non conduttore, privo di sorgentie cariche libere

∇2E (x, y, z, t)− µε∂2E (x, y, z, t)

∂t2= 0, (1.11)

determiniamo la velocita della luce nel mezzo

v =1√µε

(1.12)

e il rapporto

n =c

v=√ε

√ε0

=√εr. (1.13)

e l’ indice di rifrazione del mezzo, che ne determina le proprieta ottiche. Valoriindicativi sono, per esempio

aria: n ∼= n0 = 1acqua: n = 1.3vetro: n = 1.5.

Un raggio luminoso che si propaga in un mezzo con velocita v, percorre in un tempo tun tratto di lunghezza

d = vt =c

nt, (1.14)

e si definisce cammino ottico la distanza che la luce percorrerebbe nel vuoto, nello stessotempo impiegato per percorrere il tratto d nel mezzo in esame

do = nd = ct. (1.15)

Se un mezzo non e un isolante perfetto, la conducibilita e diversa da zero e l’indice dirifrazione e un numero complesso n = n + iκ; κ e detto coefficiente di estinzione oindice di attenuazione e misura le perdite per assorbimento nel mezzo; la parte reale eimmaginaria dell’indice di rifrazione sono legate tra loro tramite le relazioni di Kramers-Kronig.

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1.3 Riflessione e rifrazione

Consideriamo un’onda piana monocromatica polarizzata linearmente, che incide sulla su-perficie di separazione tra due dielettrici omogenei, isotropi, non conduttori e con indice dirifrazione ng e n1; essa si separa in un’onda rifratta eun’onda riflessa, le cui ampiezze e direzioni possono es-sere calcolate applicando le condizioni al contorno sullasuperficie di separazione tra due mezzi, ovvero imponen-do la continuita delle componenti tangenziali dei campielettrico magnetico. Facciamo riferimento alla figura alato e definiamo piano di incidenza il piano in cui giac-ciono il vettore d’onda del fascio incidente e la normalealla superficie di discontinuita (piano Oxz); indichiamocon θi, θr e θt gli angoli che le onde incidente, riflessae trasmessa formano rispettivamente con la normale al-la superficie di separazione. Le tre leggi fondamentalidell’ottica geometrica affermano che

zθi θr

θt

x

0ng

n1

1. i raggi incidente, riflesso e rifratto giacciono tutti nel piano di incidenza

2. l’angolo di riflessione e uguale all’angolo di incidenza (θi = θr)

3. le direzioni dei raggi incidente e rifratto sono legate tra loro dalla legge di Snell-Cartesio

ng sin θi = n1 sin θt,

Le formule di Fresnel ci permettono di calcolare le ampiezze dell’onda riflessa Ar e rifrat-ta At, in funzione di quella incidente Ai. Occorre pero specificare la polarizzazione dell’ondaincidente: nel caso di polarizzazione H, (oppure Trasverso Magnetico, TM), in cui ilcampo magnetico oscilla parallelamente all’interfaccia si ha

AtAi

=2

n1

ng+

cos θtcos θi

ArAi

=

n1

ng− cos θt

cos θin1

ng+

cos θtcos θi

. (1.16)

Invece, nel caso di polarizzazione E (Trasverso Elettrico, TE), in cui il campo elet-trico e parallelo alla superficie di discontinuita, le relazioni sono

AtAi

=2

1 +n1

ng

cos θtcos θi

ArAi

=1− n1

ng

cos θtcos θi

1 +n1

ng

cos θtcos θi

(1.17)

e nel caso di incidenza normale (θi = 0) si ha

AtAi

=2ng

n1 + ng

ArAi

=ng − n1

ng + n1. (1.18)

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La legge di Snell-Cartesio e le formule di Fresnel hanno validita generale, ma per le appli-cazioni relative all’ottica guidata, studiamo piu in dettaglio il caso in cui il raggio incidenteproviene da un mezzo otticamente piu denso. Se ng > n1, la legge di Snell-Cartesio ci diceche θt > θi, mentre, analizzando le formule di Fresnel, osserviamo che il rapporto Ar/Aiaumenta con θi, sia nel caso di polarizzazione E che H; questo rapporto diventa pari a 1quando l’angolo di incidenza θi uguaglia l’ angolo limite θl

θl = arcsin

(n1

ng

), (1.19)

poiche in questo caso si ha sin θt = 1.Se l’angolo di incidenza supera l’angolo limite, si verifica il fenomeno della riflessione

totale, che permette di confinare la radiazione in una struttura dielettrica. Supponiamoche i due dielettrici sono infinitamente estesi lungo l’asse y, in maniera che il campo elettriconon dipende da questa variabile, e scriviamo le espressioni delle onde piane incidente, riflessae trasmessa

Ei(x, z) = Ai exp [i (kixx+ kizz)]Er(x, z) = Ar exp [i (−kixx+ kizz)]Et(x, z) = At exp [i (ktxx+ ktzz)] (1.20)

dove le componenti dei vettori d’onda lungo gli assi x e z sono

kix = kng cos θi kiz = kng sin θiktx = kn1 cos θt ktz = kn1sinθt. (1.21)

Osserviamo che, in base alla legge di Snell-Cartesio, le componenti lungo l’asse z dei vettorid’onda del campo incidente, riflesso e trasmesso sono uguali e chiameremo costante dipropagazione β e parametro γ rispettivamente le componenti lungo gli assi z e x delvettore di propagazione dell’onda incidente

β.= kiz = ktz = kng sin θi = kn1 sin θt

γ.= kix = kng cos θi =

√k2n2

g − β2. (1.22)

Sostituendo la relazione sin θt = ng sin θi/n1 nell’espressione di ktx

ktx = kn1

√1− sin2θt =

√k2n2

1 − k2n2gsin

2θi, (1.23)

ci accorgiamo che questo parametro e immaginario se l’angolo di incidenza e maggioredel’angolo limite (ng sin θi > n1) e definiamo il parametro δ come

ktx = i√k2n2

gsin2θi − k2n2

1 = i√β2 − k2n2

1.= iδ. (1.24)

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Sostituendo questi nuovi parametri nell’Eq. (1.20), possiamo riscrivere le onde incidente,riflessa e trasmessa come

Ei(x, z) = Ai exp (iγx+ iβz)Er(x, z) = Ai exp (−iγx+ iβz)Et(x, z) = At exp (−δx+ iβz) . (1.25)

Nel caso di riflessione totale, l’onda trasmessa, che si propaga lungo l’asse z e si attenuaesponenzialmente lungo l’asse x, e un’onda evanescente.

Calcoliamo, adesso, l’ampiezza delle onde trasmessa e riflessa nel caso di riflessionetotale, iniziando dapprima con il caso di polarizzazione E; sostituendo i parametri γ e δnelle corrispondenti formule di Fresnel (1.17), otteniamo

AtAi

=2

1 + iδγ

ArAi

=1− iδγ1 + iδγ

, (1.26)

e vediamo che Ar/Ai e il rapporto tra due numeri complessi e coniugati e quindi ha modulounitario e fase

φ = −2 arctan(δ

γ

), (1.27)

che e nota come la variazione di fase di Goos-Hanchen dovuta alla riflessione totale.Analogamente, per la polarizzazione H, si ha

AtAi

=2n1

ngn2

1

n2g

+ iδ

γ

,ArAi

=

n21

n2g

− i δγ

n21

n2g

+ iδ

γ

, (1.28)

e anche in questo caso |Ar/Ai| = 1 e la fase e

φ′ = −2 arctan

(n2g

n21

δ

γ

). (1.29)

1.4 La lente sottile

Una lente e un sistema rifrangente costituito da un materiale (tipicamente vetro) con indicedi rifrazione diverso da quello del mezzo in cui e immerso (tipicamente aria) e limitato dadue interfacce, almeno una delle quali e curva. Una lente sottile ha uno spessore che non haun effetto significativo sulla propagazione della luce, e viene caratterizzata da un parametrodetto lunghezza focale f . Se si indica con do e con di rispettivamente le distanze di unpunto oggetto e della sua immagine dalla lente, vale la formula Gaussiana della lentesottile

1do

+1di

=1f. (1.30)

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Figura 1.1: Schemi di formazione di immagini con una lente sottile

Un oggetto si dice reale (do > 0) quando la luce diverge da esso, mentre e virtuale(do < 0) se la luce converge verso di esso. Viceversa, un’immagine e reale (di > 0) quandola luce converge verso di essa ed e virtuale (di < 0) nel caso opposto. Siccome l’indice dirifrazione del vetro della lente e maggiore di quello dell’aria, la lente si dice convergenteo positiva (f > 0) se e piu spessa al centro che ai bordi, poiche rallenta maggiormentela parte centrale del fronte d’onda che la investe, rispetto alle zone piu esterne. Una lentedivergente o negativa (f < 0) ha caratteristiche opposte.

Per studiare il processo di formazione di immagini da parte di una lente sottile, bastaosservare il comportamento di tre particolari raggi

1. Il raggio che attraversa il centro della lente e che non viene deviato dalla lente

2. Il raggio che incide sulla lente parallelamente al suo asse e che emerge dalla lentepassando per il fuoco posteriore

3. Il raggio che passa per il fuoco anteriore della lente e che emerge dalla lente paralle-lamente all’asse.

Schemi esemplificativi dei processi di formazione di immagini sono mostrati nella figura1.1, dove F e F ′ indicano i fuochi anteriori e posteriori della lente.

Il rapporto tra le dimensioni trasversali di un oggetto yo e della sua immagine yi e dettoingrandimento ed il suo segno sta indicare se l’immagine e dritta (M > 0) o capovolta(M < 0) rispetto all’oggetto

M =yiyo

= − dido

(1.31)

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1.5 Interferenza

Quando due o piu fasci luminosi si sovrap-pongono in una certa regione dello spazio,l’intensita del campo in quella regione puonon coincidere con la somma delle in-tensita dei singoli fasci. Consideriamol’inteferometro di Young nella figura alato: un’onda piana monocromatica illumi-na uniformemente uno schermo opaco sucui sono praticati due forellini puntiformi,posti a distanza ±d/2 dall’origine di un sis-tema di riferimento. Il campo che emergeda ciascun foro e un’onda sferica e il cam-po totale che si misura in un punto P suun piano d’osservazione posto a distanza zdallo schermo e

Od

P

r1

r2

z

θ

x

θ

V (P ) =A1

r1exp (ikr1) +

A2

r2exp (ikr2) , (1.32)

dove r1 e r2 sono le distanze del punto di osservazione P dai due forellini. L’intensitaluminosa media in quel punto

I(P ) = V (P )V ∗(P ) =A2

1

r21+A2

2

r22+ 2

A1A2

r1r2cos [k (r1 − r2)] (1.33)

e la somma delle intensita delle due onde sferiche e di un termine sinusoidale, che descrivel’interferenza tra le due onde. Se le due onde sferiche sul piano di osservazione hanno lastessa intensita I0 = A2

1/r21 = A2

2/r22, e se il piano e posto sufficientemente lontano dallo

schermo, in maniera che possiamo fare l’approssimazione r1−r2 ∼= d sin θ ∼= dx/z, si ottiene

I(P ) = 2I0[1 + cos

(2πλ

dx

z

)]= 4I0 cos2

(πdx

λz

). (1.34)

Dunque, sul piano di osservazione si rileva un sistema di frange quasi rettilinee, la cuiinterfrangia dipende dalla distanza tra i due fori d, dalla lunghezza d’onda λ e dalla distanzadallo schermo z. In questo esempio, lo schermo viene illuminato da un’unica onda pianamonocromatica e quindi c’e completa correlazione tra il campo che emerge da i due fori;se, invece, si ripete l’esperimento, utilizzando due sorgenti puntiformi indipendenti tra diloro, le frange spariscono e l’intensita sul piano di osservazione e banalmente la sommadelle intensita delle due sorgenti. La visibilita delle frange di interferenza ci permettequindi di studiare una proprieta molto importante delle sorgenti luminose, detta coerenza.Evidenziamo la dipendenza dal tempo delle ampiezze dei campi sul piano di osservazione

V (P ) =A1(t)r1

exp (ikr1) +A2(t)r2

exp (ikr2) ; (1.35)

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E1outE1inL2Δ

E2out

L 2

E1in

E1out

E2out

beam splitter

specchio

specchio parzialmente trasmittente

(a) (b)

Figura 1.2: (a) Interferometro di Mach-Zehnder. (b) Interferometro di Fabry Perot

siccome la radiazione luminosa oscilla a frequenze dell’ordine di 1014 Hz, l’occhio umanoriesce a distinguere soltanto il valore medio nel tempo dell’intensita, che nel caso consideratorisulta

I(P ) = 〈V (P )V ∗(P )〉 =〈|A1(t)|2〉

r21+〈|A2(t)|2〉

r22+ 2〈A1(t)A∗2(t)〉

r1r2cos [k (r1 − r2)] . (1.36)

Se le sorgenti sono indipendenti, ovvero incoerenti, il valore medio del prodotto delleampiezze e nullo e dunque non si osservano frange sul piano di osservazione. Riassumendo,possiamo dire che, nel caso di radiazione coerente, come quella emessa da un laser, siosservano i fenomeni di interferenza tra due o piu fasci luminosi: per calcolare l’intensitarisultante occorre quindi prima sommare i campi e poi elevare al quadrato. Invece, nel casodi radiazione incoerente, l’intensita risultante si calcola come la somma delle intensita deisingoli fasci.

Il dispositivo che abbiamo appena descritto e un particolare interferometro, il cui prin-cipio di funzionamento e quello di suddividere il fascio luminoso incidente in due o piu fasciche, dopo aver percorso distanze differenti, si ricombinano su di un piano d’osservazione. Gliinterferometri si dividono in due categorie: gli interferometri a divisione del fronte d’onda(come il dispositivo di Young, il doppio specchio di Fresnel, il biprisma di Fresnel o lospecchio di Lloyd) e gli interferometri a divisione di ampiezza (come l’interferometrodi Michelson, di Mach-Zehnder e di Fabry-Perot). Essi vengono utilizzati per misurarela coerenza e la forma del fronte d’onda di una radiazione, ma anche per determinare l’indicedi rifrazione e lo spessore di film sottili o di lamine dielettriche, interposte in uno dei bracci.

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1.6 Diffrazione

La diffrazione studia quei fenomeni per cui i raggi luminosi non si propagano piu lungo lineerette e che quindi non sono interpretabili secondo l’ottica geometrica. In generale, si puodire che gli effetti della diffrazione sono rilevanti quando la luce attraversa un mezzo nonomogeneo con disomogeneita di dimensioni della lunghezza d’onda λ.

Consideriamo un’apertura in uno schermo opaco illuminata da un’onda piana uniformeed osserviamo l’intensita della radiazione su un piano parallelo allo schermo, posto ad unacerta distanza da quest’ultimo. Se lo schermo e molto vicino al piano di osservazione, siosserva una macchia luminosa che riproduce l’apertura; allontanando il piano d’osservazionesi vede un sistema di frange limitato grosso modo alla proiezione geometrica dell’apertu-ra. La figura continua a cambiare ed ad estendersi man mano che si allontana il pianod’osservazione: alla fine si vede un sistema di frange simmetrico e molto esteso senza alcunarassomiglianza con l’apertura.

Lo schermo viene descritto dalla sua funzione di trasmissione, che individua il rap-porto tra il campo emergente ed il campo incidente sullo schermo e per calcolare il campopropagato oltre lo schermo bisogna utilizzare le formule di Rayleigh-Sommerfeld, op-pure uno sviluppo in onde piane. Di solito queste trattazioni esatte conducono ad inte-grali che non si riescono a calcolare se non numericamente; tuttavia, nell’approssimazioneparassiale o di Fresnel, ovvero quando il campo diffratto e costituito da un insieme dionde piane poco inclinate rispetto all’asse di propagazione, il campo propagato sul piano diosservazione puo essere calcolato risolvendo semplici integrali.

1.7 Ottica di Fresnel

Consideriamo uno schermo diffrangente piano posto nel piano z = 0 e supponiamo che ilcampo V0 (ξ, η) emergente dallo schermo sia noto. Per determinare il campo V (x, y, z) in unqualsiasi punto del semispazio z > 0 si possono usare due formule approssimate; nell’ipotesidi campo vicino, il campo diffratto puo essere calcolato con l’integrale di Fresnel

V (x, y, z) = − i exp (ikz)λz

∫ ∫∞V0 (ξ, η) exp

{ik

2z

[(x− ξ)2 + (y − η)2

]}dξdη, (1.37)

che, nel caso unidimensionale, diventa

V (x, z) =

√− i

λzexp (ikz)

∫ ∞∞

V0 (ξ) exp[ik

2z(x− ξ)2

]dξ. (1.38)

Invece, nell’ipotesi di campo lontano, ovvero se il punto di osservazione e posto a grande dis-tanza dallo schermo diffrangente, per calcolare il campo diffratto si puo utilizzare l’integraledi Fraunhofer

V (x, y, z) = −i exp

{i

[kz +

k

2z

(x2 + y2

)]}λz

∫ ∫∞V0 (ξ, η) exp

[−i2πλz

(xξ + yη)]dξdη,

(1.39)

Corso di Fotonica 14

che, nel caso unidimensionale, diventa

V (x, z) =

√− i

λzexp

[i

(kz +

k

2zx2)] ∫ ∞

−∞V0 (ξ) exp

(−i2πλzxξ

)dξ. (1.40)

Se la regione trasparente sullo schermo di diffrazione e contenuta in un cerchio di raggio a,possiamo calcolare il parametro zt

zt =πa2

λ. (1.41)

e se z � zt possiamo usare l’approssimazione di campo vicino e se z � zt, quella di campolontano. L’integrale che compare nella formula di diffrazione in campo lontano coincidecon la trasformata di Fourier del campo sull’apertura V0 (x, y), calcolata alle frequenzespaziali x/λz e y/λz. Dunque, in questa approssimazione, il calcolo del campo diffratto sisemplifica notevolmente.

1.7.1 Diffrazione da apertura rettangolare

Facciamo adesso alcuni esempi relativi al fenomeno della diffrazione, nell’ipotesi di otticaparassiale e supponiamo che nello schermo opaco sia praticata un’apertura rettangolaredi lati 2a e 2b, che viene illuminato uniformemente da un’onda piana monocromatica diampiezza A. Scegliendo opportunamente il sistema di assi coordinati, il campo emergentedallo schermo di osservazione puo essere scritto come

V0 (ξ, η) = Aτ (ξ, η) = Arect(ξ

2a

)rect

(η

2b

). (1.42)

che sostituito nella formula di diffrazione alla Frauhnofer ci da

V (x, y, z) = −4iAab exp

{i

[kz +

k

2z

(x2 + y2

)]}λz

sinc(

2axλz

)sinc

(2byλz

). (1.43)

1.7.2 Diffrazione da reticolo

Consideriamo adesso uno schermo opaco, su cui sono praticate un numero elevato (teorica-mente infinito) di fenditure rettilinee parallele e equidistanti; supponiamo che la lunghezzadelle fenditure sia molto maggiore della loro larghezza a e indichiamo con L il passo del reti-colo, ovvero la distanza tra i centri di due fenditure adiacenti. La funzione di trasmissionedella diapositiva e una funzione periodica che puo essere sviluppata in serie di Fourier

τ (ξ) =∞∑

m=−∞τm exp

(2πim

ξ

L

), (1.44)

Corso di Fotonica 15

a

z

x,y

x

yξ,η

Figura 1.3: diffrazione da apertura quadrata.

L

z

x,y

x

yξ,η

a

Figura 1.4: Diffrazione da reticolo.

Corso di Fotonica 16

dove i coefficienti di Fourier sono definiti come

τm =1L

∫ L/2

−L/2τ (ξ) exp

(−2πim

ξ

L

)dξ. (1.45)

Analizzando la funzione di trasmissione entro un periodo L, si vede che essa e pari a 1 perξ compreso tra −a/2 e a/2 e 0 altrove; dunque i coefficienti di Fourier sono

τ0 =a

Lτm =

a

Lsinc

(ma

L

)m 6= 0. (1.46)

Se il reticolo e illuminato ortogonalmente da un’onda piana monocromatica, allora il campoche emerge e

V0 (ξ) = Aτ (ξ) = A∞∑

m=−∞τm exp

(2πim

ξ

L

), (1.47)

ed e composto da un insieme discreto di onde piane che si propagano lungo direzioni cheformano con l’asse del reticolo angoli θm tali che

sin θm = mλ

L. (1.48)

Il campo diffratto nella regione di campo lontano e

V (x, z) = −A√−iλz exp

[i

(kz +

k

2zx2)] ∞∑

m=−∞τmδ

(x− mλz

L

), (1.49)

dove delta e la funzione delta di Dirac. Dunque, su uno schermo posto ad una certa distanzadalla diapositiva si osserva una serie di piccoli spot luminosi, ciascuno corrispondente aduno degli ordini diffratti dal reticolo, come mostrato in figura 1.4. Vediamo tuttaviache gli spot non sono proprio delle funzioni deltiformi, a causa del fatto che il reticolo hadimensioni finite. Infatti, la funzione di trasmissione di un reticolo di dimensioni w e

τ (ξ) =∞∑

m=−∞τm exp

(2πim

ξ

L

)· rect

(x

w

), (1.50)

dove rect(x) e una funzione che vale 1 solo per |x| < 1/2. Allora il campo diffratto sulloschermo e

V (x, z) = −A√−iλz exp

[i

(kz +

k

2zx2)] ∞∑

m=−∞τmsinc

[w

(x

λz− m

L

)], (1.51)

con sinc(x) = sin(πx)/(πx).

Corso di Fotonica 17

1.7.3 Onda sferica nell’approssimazione parassiale

Consideriamo una sorgente luminosa puntiforme, posizionata nell’origine di un sistema diassi cartesiani, che emette onde sferiche. La disturbanza calcolata in un punto P (~r) dellospazio, a meno di un fattore di proporzionalita, ha l’espressione

V (~r) =exp (ikr)

r. (1.52)

dove la distanza r del punto di osservazione P dalla sorgente e

r =√x2 + y2 + z2 (1.53)

ed e positiva se l’onda e divergente e negativa se essa e convergente. Se il punto diosservazione e prossimo all’asse z, ovvero se limitiamo il calcolo della disturbanza ad unintorno del punto (0, 0, z), allora il termine 1/r puo essere approssimato con 1/z. Per iltermine esponenziale exp (ikr), a causa del suo andamento oscillante, si deve utilizzare unadiversa approssimazione, riscrivendo r come

r = z

√1 +

x2 + y2

z2(1.54)

e utilizzando lo sviluppo binomiale

√1 + t = 1 +

t

2− t2

8+t3

16+ · · · (1.55)

troncato al secondo termine. Si ottiene che l’espressione dell’onda sferica, nell’approssi-mazione parassiale

V (x, y, z) =exp

[ik

(z + x2 + y2

2z

)]z

. (1.56)

1.7.4 La lente sottile nell’approssimazione parassiale

Seguendo un ragionameto simile a quello visto nel precedente paragrafo, si puo dimostrareche la funzione di trasmissione di una lente sottile di focale f , in approssimazione parassialee

τ (x, y) = exp

(−ikx

2 + y2

2f

). (1.57)

Se la lente e illuminata da un’onda piana uniforme, il campo che ne emerge e un’onda sfericache converge nel fuoco posteriore della lente , se f > 0. Se la lente e divergente (f < 0)il campo che emerge e un’onda sferica che coincide con l’onda generata da una sorgente(virtuale) puntiforme posta nel piano focale anteriore della lente.

Il generale, per determinare l’effetto di una lente sulla propagazione di un campo, bisognarisolvere un problema di diffrazione nell’approssimazione di Fresnel. Un caso molto semplice

Corso di Fotonica 18

e quello in cui si conosce il campo V0 (ξ, η) nel piano focale anteriore della lente, e si vuoledeterminare il campo V (x, y) nel piano focale posteriore. In questo caso si dimostra chevale la relazione

V (x, y) = − i exp (i2kz)λf

∫ ∫∞V0 (ξ, η) exp

[−2πiλf

(xξ + yη)]dξdη, (1.58)

che nel caso unidimensionale diventa

V (x) =

√− i

λfexp (i2kz)

∫ ∞−∞

V0 (ξ) exp(−2πi

λfxξ

)dξ. (1.59)

Questo risultato mostra che il campo nel piano focale posteriore di una lente e la trasformatadi Fourier del campo sul piano focale anteriore, calcolato alla frequenza spaziale x/λf .Dunque la regione di campo lontano (di Fraunhofer) puoo essere simulata con l’uso di lenticonvergenti.

1.7.5 Fasci Gaussiani

I fasci Gaussiani rivestono una notevole importanza nell’ottica parassiale, in quanto sono imodi di risonanza di molte cavita laser; essi godono della proprieta che in propagazione man-tengono la loro energia sufficientemente confinata intorno alla direzione media di propagazione.Il fascio Gaussiano fondamentale TEM00 e descritto dalla disturbanza

V (x, y, z) = Aw0

w (z)exp {i [kz − Φ (z)]} exp

[(i

k

2R (z)− 1w2 (z)

)(x2 + y2

)](1.60)

con

w (z) = w0

√1 +

z2

L2spot-size (1.61)

R (z) = z

(1 +

L2

z2

)raggio di curvatura (1.62)

Φ (z) = arctan(z

L

)anomalia di fase. (1.63)

L’intensita del fascio in ciascun piano ortogonale all’asse di propagazione ha una dis-tribuzione Gaussiana, la cui varianza e legata allo spot-size w (z), che assume il valoreminimo w0 nel piano di cintola z = 0 ed aumenta con z. Quasi tutta l’intensita del fascio econfinata all’interno di un cono di semiapertura

θ0 =λ

πw0divergenza angolare. (1.64)

Il parametro L e definito come

L =πw2

0

λdistanza di Rayleigh (1.65)

Corso di Fotonica 19

Figura 1.5: Andamento dello spot-size e del raggio di curvatura di un fascio Gaussiano.

e convenzionalmente la distanza 2L e considerata come profondita di fuoco del fascio, ovveroil tratto in cui il fascio si mantiene a sezione quasi costante. Come si vede dalla figura ??, lospot-size diventa

√2w0 per z = L. Confrontando il termine di fase di un fascio Gaussiano

con l’espressione di un’onda sferica in approssimazione parassiale, si vede che in ogni pianoz = const, il fascio Gaussiano si comporta come un’onda sferica di raggio di curvatura R (z).L’andamento del raggio di curvatura R(z) in funzione di z e riportato in figura 1.5 e si vedeche nel piano di cintola il raggio di curvatura e infinito e per z � L esso aumenta quasilinearmente con z.

1.7.6 Risonatori ottici

I risonatori ottici sono costituiti da due specchi affacciati, di cui uno e parzialmente riflet-tente, in maniera che la radiazione laser generata all’interno del risonatore possa fuoriuscireattraverso. In generale, i risonatori ottici sono privi delle superfici laterali, in maniera taleche puo entrare in oscillazione soltanto un numero esiguo di modi, quelli la cui direzionedi propagazione e prossima all’asse della cavita. Se sono noti i raggi di curvatura R1 e R2

dei due specchi e la loro distanza reciproca d, per determinare la distribuzione di campodel modo stazionario all’interno della cavita bisogna, in generale, risolvere un’equazioneintegrale. In pratica, si impone che, noto il campo su uno specchio, il campo propagatosull’altro specchio sia proporzionale, a meno di una costante complessa, al campo che lo haoriginato. Le frequenze di risonanza dei modi della cavita vengono determinate imponendoche la fase del campo vari di un multiplo intero di 2π sulla distanza 2d, che corrisponde perla radiazione ad un percorso di andata e ritorno (round-trip). Nell’approssimazione paras-siale, si dimostra che i modi di oscillazione di un risonatore ottico sono i fasci Gaussiani.In questo caso, i parametri caratteristici del fascio, ovvero lo spot-size di cintola e quellisugli specchi, la distanza di Rayleigh e la posizione del piano di cintola, si determinanoimponendo che i raggi di curvatura del fascio coincidano con quelli degli specchi. Se glispecchi sono identici, ovvero se il risonatore e simmetrico, il piano di cintola coincide con ilcentro della cavita.

Corso di Fotonica 20

Vediamo adesso alcuni tipi di risonatori ottici piu comuni:

Risonatore piano parallelo (Fabry-Perot) In una prima approssimazione, possiamo de-scrivere i modi di propagazione del risonatore costituito da due specchi piani e paral-leli, come quelli generati dalla sovrapposizione di due onde piane che si propagano converso. Le frequenze di oscillazione si determinano imponendo che la lunghezza dellacavita sia un multiplo intero della semilunghezza d’onda, ovvero d = nλ/2. Dunque,si ottiene

ν = nc

2dn = 0, 1, 2, · · · (1.66)

Risonatore concentrico o sferico E’ costituito da due specchi sferici, di raggi di cur-vatura R, posti ad una distanza d = 2R. In una trattazione semplificata, si puopensare che i modi di oscillazione siano delle onde sferiche che si originano al centrodella cavita.

Risonatore confocale In questo caso, i due specchi sferici sono posti a una distanzad = R. Questo tipo di risonatore e largamente utilizzato in quanto presenta, a parita dicondizioni, il minore spot-size sugli specchi e quindi le piu basse perdite per diffrazione.

Un risonatore e stabile se e soddisfatta la condizione

0 ≤ g1g2 ≤ 1, (1.67)

con g1 = 1− d/R1 e g2 = 1− d/R2.

1.8 Elaborazione ottica

Un sistema per la formazione di immagini e costituto da un insieme di dispositivi ottici, comeper esempio lenti, diaframmi e specchi; per descrivere le sue proprieta, si puo considerareche tutti gli elementi che lo costituiscono siano racchiusi in una specie ’scatola nera’, al cuiingresso vi e la pupilla di ingresso, ovvero un’apertura (reale o virtuale) attraverso cuila luce entra nel sistema. La radiazione penetrata all’interno transita attraverso gli elementiottici ed, emergendo attraverso la pupilla di uscita, raggiunge il piano dell’immagine.Sotto alcune ipotesi semplificative, si puo assumere che il sistema sia lineare ed invarianteper traslazione; in questo caso, esso puo essere completamente caratterizzato dalla suarisposta impulsiva e dalla sua funzione di trasferimento.

Nel caso di illuminazione coerente, il campo V (x, y) all’ uscita del sistema si puocalcolare come la convoluzione tra il campo V0 (x, y) in ingresso e la risposta impulsivaH (x, y) del sistema. Nel dominio delle frequenze spaziali, grazie al teorema sulla con-voluzione, sappiamo che la trasformata del campo in uscita V (νx, νy) e il prodotto dellatrasformata del campo V0 (νx, νy) in ingresso, moltiplicata per la funzione di trasferimentoH (νx, νy) del sistema. Se si indica con p(x, y) la funzione di trasmissione della pupilladi uscita, si dimostra che, in approssimazione parassiale, la funzione di trasferimento del

Corso di Fotonica 21

Figura 1.6: sistema 4f

sistema ottico in luce coerente, coincide, a meno di fattori moltiplicativi e di scala, con lafunzione pupilla stessa.

Nel caso di illuminazione incoerente, invece, si vuole determinare il legame tra leintensita della radiazione in ingresso e in uscita del sistema. La risposta impulsiva incoerentee il quadrato del modulo della risposta impulsiva coerente e la funzione di trasferimentoincoerente coincide quindi con l’autocorrelazione di quella coerente.

radiazione coerente

spazio V (x, y) = V0 (x, y) ∗H (x, y) H (x, y) = p (x, y)

frequenze spaziali V (νx, νy) = V0 (νx, νy) H (νx, νy) H (νx, νy) = p (νx, νy)

radiazione incoerente

spazio I (x, y) = I0 (x, y) ∗Hi (x, y) Hi (x, y) = |p (x, y)|2

frequenze spaziali I (νx, νy) = I0 (νx, νy) Hi (νx, νy) Hi (νx, νy) = p (νx, νy)⊗ p (νx, νy)

Corso di Fotonica 22

1.8.1 Sistema 4f

Il sistema ottico della figura 1.6 e detto sistema 4f oppure elaboratore ottico. Ciascunadelle due lenti effettua una trasformata di Fourier, e se nel piano di elaborazione non vi eposizionato alcuno schermo, il campo in uscita e una replica perfetta di quello in ingresso,salvo per un’inversione degli assi coordinati x e y.

Consideriamo dapprima il caso di radiazione coerente, e supponiamo che sia nota ladistribuzione di campo V (ξ, η) sul piano di ingresso del sistema. Nel piano di elaborazione,intermedio tra le due lenti, sappiamo che il campo e pari alla trasformata di Fourier delladisturbanza in ingresso, calcolata alle frequenze spaziali V (x/λf, y/λf). Se nel piano dielaborazione e posta una trasparenza con funzione di trasmissione τ (x, y), quest’ultimamodifica lo spettro del campo in ingresso

V

(x

λf,y

λf

)τ (x, y) . (1.68)

La funzione di trasferimento del sistema 4f coincide quindi con la funzione di trasmissioneτ (x, y) nella trasparenza posta nel piano di elaborazione,.

Nel caso di radiazione incoerente, si dimostra invece che la funzione di trasferimentoincoerente e l’autocorrelazione della funzione di trasferimento quella coerente.

La figura 1.7 mostra un semplice esempio di un immagine elaborata con un sistema4f . Supponiamo che l’oggetto da elaborare sia disponibile sotto forma di diapositiva esia posto all’ingresso del sistema. L’oggetto viene illuminato uniformemente da un’ondapiana e nel piano di elaborazione e posto un filtro. Il primo filtro in esame e costituitoda uno schermo opaco, su cui e praticata un’apertura circolare di un opportuno raggio.Esso si comporta come un filtro passa-basso, in quanto elimina le frequenze spaziali checadono al di fuori dell’apertura. L’immagine che si ottiene all’uscita del sistema e riportataalla destra del filtro. Il secondo filtro e il filtro complementare passa-alto, costituito dasupporto completamente trasparente alla radiazione, su cui vi e realizzato un disco opaco,e nell’immagine elaborata e possibile evidenziare i dettagli.

Corso di Fotonica 23

oggetto filtro immagine

Figura 1.7: Esempio di elaborazione di un’immagine.