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CORRIG PARTIE I

I. FIBRES OPTIQUES ET OPTIQUE GOMTRIQUE

I.A Lois de Snell-Descartes

I.A.1 Lois de la rflexion1re loi : le rayon incident et le rayon rflchi sont contenus dans le plan

dincidence.2me loi : le rayon rflchi est symtrique du rayon incident par rapport la

normale la surface rflchissante.I.A.2 Loi de la rfraction

1re loi : le rayon incident et le rayon rfract sont contenus dans le plandincidence.

2me loi : les angles dincidence i et de rfraction i sont tels quen i n isin sin= .

I.B Fibres saut dindice

I.B.1 Il faut que le rayon SI soit dans le plan de symtrie du cylindre (celui qui

passe par la normale N la face dentre et la droite OI)I.B.2 Pour que le rayon rfract ait une propagation guide dans le cur, il faut

que le rayon naille pas dans la gaine. Il faut donc la rflexion totale en J(Figure 1).

S

i

a

b

0

I

gaine (n2)

coeur (n1)

extrieur (n0)

gaine (n2)

x

z

J

Figure 1

Do la condition : sin sin =lnn

2

1

Comme par ailleurs : n i n n0 1 1sin sin cos= =

on en dduit la contrainte sur i : sin in

n n 1

012

22

Deux cas sont alors possibles :

1)1

10

12

22

nn n : df inissons l angle d acceptance ia par

sin in

n na = 1

012

22 et alors il faut i ia

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2)1

10

12

22

nn n > : il ny a pas de contrainte sur i ;quel que soit langle

dincidence, on a toujours une propagation guide dans le cur ia =

2

.

I.B.3 O.N. = = n i n na0 12

22sin si

11

012

22

nn n , sinon O.N. = 1

I.B.4 1er cas : ia = 21 2, et O.N. = 0 362,2me cas : ia = 90 et O.N. = 1On est alors dans le 2me cas de la question I.B.2

I.B.5 AdB km/ log , = =10

5010 0 210 dB.km

1

I.C Applications

I.C.1 Cest un problme de topologie : il faut que deux fibres voisines du ct de lacible soient galement voisines du ct de limage, et ceci doit tre vrai pourtous les couples de fibres qui doivent donc avoir une mme position relativeentre lentre et la sortie. Comme par ailleurs les fibres sont fabriques encontinu et les faisceaux coups la demande , cette proprit doit restervraie en tout point. Le problme pos est donc celui de lidentification desfibres dans la fabrication du faisceau.

I.C.2 I.C.2.a Sur la longueur IM de fibre (figure 1bis) :

iI

x

J

M

Figure 1 bis

* le rayon = 0 parcourt la longueur l = IM en un temps =( ) =01

l

c, o

ccn1 1

= est la vitesse de la lumire dans le milieu 1. Et donc =( ) =0 1nc

l .

* le rayon = parcourt la longueur =l IJ en un temps =( ) = = l lc

n

c1

1 .

Sur la longueur l de fibre, on a donc la diffrence de temps de parcours

l l l= ( )nc

1 .

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Comme =l lsin

, on obtient l

l=

nc1 1 1

sin. La valeur extrmale de

est obtenue pour sin sin min = =nn

2

1

et donc max pour la longueur L de

fibre est : max = ( )nnLc

n n12

1 2 .

I.C.2.b A.N. : max , . =15 83 10 8 s

I.C.3 Il ne faut pas que les impulsions se chevauchent la sortie. Ceci est ralissi :T T =min max .

La bande passante associe est linverse de cette priode :

= 1

max

.

Le nombre de bits par seconde est le nombre dimpulsions quon peutmettre par seconde. Le dbit est donc identique la bande passante et vaut

donc ici : Dbit Mb / s= =1

15 83 106 38, ., .

On se situe donc entre le tlphone et la tlvision.

I.D

I.D.1 Les indices diminuants, les angles de rfraction vont augmenter. Lessegments vont dessiner une courbe jusqu atteindre asymptotiquementlhorizontale.

lame j

lame j+1lame j+2

lame j-1lame j-2

ij-3

Ij-2

(nj)(nj+1)(nj+2)

(nj-1)

(nj-2)

Figure 3La relation cherche est : L L= = = = n i n i n ij j j j j j2 2 1 1sin sin sin

I.D.2 Comme est le complmentaire 2

de la question prcdente on obtient

que la quantit :

K n= cos

est un invariant le long la trajectoire dans le cur. Comme le rayon entre enO, on a, en considrant ce point : K n= 1 0cos .La loi de la rfraction en O donne par ailleurs : n i n0 1 0sin sin= .

I.D.3 Lquation diffrentielle de la trajectoire est obtenue en crivant cos = dzds

o llment darc ds de la trajectoire, en appliquant Pythagore, vaut

ds dx dz= +2 2 .En utilisant lexpression analytique de lindice en x r a= :

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12

2 2 2 0

+

= xa

dz

dx dzcos

Aprs lvation au carr, regroupement des termes en dz 2, ceci peutscrire :

dzdx

A=

2 1 o A

xa

=

11

0

2

2cos

I.D.4 Dans lapproximation

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et devient indpendant de 0, langle de rfraction en O. Autrement dit,quel que soit langle dincidence, toutes les trajectoires sannulent au mmeendroit, et donc tous les rayons passent aux mmes points de laxe. Limagedonne sera donc nette, et cest pourquoi on dit que la fibre est dans ce casautofocalisante.

I.D.6 En utilisant lquation diffrentielle de la trajectoire, llment darc ds de latrajectoire vaut :

dsxa

dz=

12

20

cos

et le temps dt mis par la lumire pour le parcourir vaut

dt ndsc

nc

xa

dz= =

12

20

1 cos

Le temps T mis pour parcourir une longueur L de fibre vaut

=

T

nc

xa

dzL

1

0

2

2

2

0

11

cos

o x z( ) est lquation de la trajectoire trouve en I.D.4. Cette expressionpeut se rcrire :

= + T

nc

L10

20 1

40 2

1 14cos

sin sin

I I

o on a pos :

I

I

12

0

24

00

2=

=

=

sin

sin cos

kz dz

kz dzk

a

L

L

Or, la longueur de la fibre satisfait L >> , soit kL >> 1. Dans ces conditions,en utilisant les valeurs des intgrales donnes dans le texte :

= +T

nc

L10

20

401

12

332cos

sin sin

Cest dire = 1, = 12

et = 332

.

I.D.7 I.D.7.a On en dduit la diffrence de temps de parcours entre ce rayon et le

rayon horizontal :

= T n Lc1

cest--dire :

= +

nc

L10

02

04

0112

332cos

cos sin sin

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On peut voir que dans le dveloppement en 0n , il faut lordre le plus bas

aller chercher les termes en 04.

On obtient alors que la parenthse ci-dessus est quivalente 732 0

4 . On

obtient donc lordre le plus bas, dans lapproximation 0 1

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II. SOLUTION PARTIE II

II.A

II.A.1 II.A.1.a Les milieux sont supposs stationnaires et linaires et donc la dpendance

temporelle est impose par la source. Pour une OPPM de pulsation , lechamp lectromagntique aura partout la mme dpendance temporelle :

1 2= =

Remarque :1. Dun point de vue microscopique, les diples qui constituent les deuxmilieux oscillent, en rgime forc avec la pulsation impose et mettent leur tour un rayonnement de mme pulsation.2. Linterface est suppose fixe et rigide. Si elle tait mobile, il y aurait unevariation de la pulsation de londe reflchie et transmise (effet Doppler).

II.A.1.b ki =2

1

et

1

1

1

0

1

= = =v cn n

o 0

= c est la longueur donde dans le vide

de londe de frquence . On en dduit :

k k ni = 0 1 avec k c0 02= =

Lensemble {milieux + interface} est invariant par translation paralllementaux axes Ox et Oy . La dpendance du champ lectromagntique parrapport aux variables x et y est donc impose par la source. Pour lOPPM,ceci se traduit par le fait que les composantes x et y du vecteur donde sontdes constantes du problme :

k k k k

k k k kr t i x

r t i y

x x x

y y y

= =

= =

II.A.2 II.A.2.a Des quations de Maxwell dans ce dilectrique :

rot

rot

EB

t

BE

t

=

=

0

on obtient, en utilisant la relation mathmatique

rot rot grad divE E E( ) = ( )

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et le fait que divE = 0 dans le dilectrique, lquation gnrale de

propagation dans le milieu 1 : E nc

Et1

12

2

21

2=

o on a introduit la vitesse de propagation cn1

dans le milieu 1 en utilisant la

relation de Maxwell dans la matire = nc

1 .

II.A.2.b On pose : E E z e j t k xx1 1= ( ) ( )puisque, suite la question II.A.1, la dpendance en t , x et y pour londe

E E Ei r1 = + dans le milieu 1, est connue. Par contre on na aucunrenseignement sur la dpendance en z de londe rflchie. On a alors

Ed E z

dzk E z ex

j t k xx1

212

21=

( ) ( )

( )

et

= ( ) ( )2

12

21

Et

E z e j t k xx

et on obtient lquation diffrentielle satisfaite par E z1( ) :

d E zdz

k E zz

212 1

21 0

( ) + ( ) =

o on a pos : kn

ckz x1

22

12

22=

LOPPM dans le milieu 1 ntant pas amortie, elle a un vecteur donde rel

dont le carr de la norme est kn

ck kx z1

22

12

22

12 = + . On a donc bien k

z12 0> .

La solution gnrale pour E z1( ) est alors : E z Ae Bejk z jk zz z1 1 1( ) = + +