copyright@ 2006 doina logoftu &...

25
Copyright@ 2006 Doina Logoftu & Vieweg-Verlag

Upload: others

Post on 26-Oct-2019

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Copyright@ 2006 Doina Logof�tu & Vieweg-Verlag

Doina Logof�tu

AAllggoorriitthhmmeenn uunndd PPrroobblleemmllöössuunnggeenn

mit ��++++ 101 gelöste Probleme, 400 Aufgaben, über 160 Bilder

Von der Diskreten Mathematik zum fertigen Programm

Lern- und Arbeitsbuch für Informatiker und Mathematiker

2006

���������������� ��� ���������� �������� ������� �������������

���������

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag VII

GGGeeellleeeiiitttwwwooorrrttt �

� ��������� �������� ������� ���� ������� ��������� ���������������������

��������� ���������������� ��������� � �� �� !�"��# � ����$�������������

%��������&� �� � � ���� ������ '��� ���� ��� ������������$� �������� � �$�

'�� ��&� �� �# �!��� ()((&� �� � ���� ��� �� ������ ����� ��

*������!���!�� ���� ��� �+�� �� � , ������$� �� -��� ���� ������� � �����&�

�# �!���(.)(/&���0������ ������ ��1 ��� ������� ���� �2 ���� �� ���

3 �� # �!��� ��� ����� ���� ��� � ���������$� 4 ������5 ��� �� �

� ���� ������ %6��� � �� ���� ���������� �� � ������ � ������ 5 � � ���

� ������� ����7������ ���� ������� � �5 ���5 ���&� ��� +�� � �� !�"��

85 ��� �� *������ ������$� ������� ���� �� � ������6� ��� ������� � � �� ��

������� � ��!����������� ����� ������������'������������������!���� ��

�)������� � &�� ��0��6���������� � �0� � ����� ��� ���'������, �� �5 ����

� ������$��������������1 ���5 ���$������5 �����������

� �������������������# ��������� ��������� � ��!������������5 ��&�������9�

# ���!��5 �: !����������� ���$����$�����5 � ���� ������� ��# �!����

�� � ��!�� �� ��� �� � � �� ������� � � ���� 5 ������� � � # �!��� �� �

��������������� �������6������

� �������� � �����������0�������������� ����� �������� �0�������

�� �� �� �� � ��� �� � �� � ��� �� ����� �����6���� ���� �� ��������� 9� ����

� ������ � ������ �� � �� � � # �!��� �; ������� ����� ���!����� � �������

��� �����%��� ������!���������2 ���������1 � �5 ���������

� ����������$�5 ��������� ������ ��� ���$� ������� ������� �����$���� ���

���� ��������������������� ���� ������+�� ���� ��5 � ��85 �������

'��� � ���� �������� <� ���� �� 4 �� ������� �� � ����� ����� ���� ������ � ����

������� �������������� �������= �����)������������;�����������������

���� ������������ ���� �������1 ���5 ������

= ��� ���� � ��� ����� ��� ��� ����� ��� ��� �� �$� 85 ��� !���� � ��� �

+�� �$� ��+"�������� � �0� � ���������� ��������*���������������� �

��%���5 ������������

������ �����

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

IX

VVVooorrrwwwooorrrttt ������������������������ ������������������������������ ������������������ ����� ���� �������������������� ����������� !����"��#����������������� ��������� ����������� ��� ��� $����� ����� %����� ���� ������� ��������� ��& �� �� �� ����� ������& ������� ���� ���� ���� ������ $������� ��� ������'��(�) �� �� � ��� �����������& �������*������� � �*����������������'����������+��� ����������������� �,���! �-������������� ���������. ���� ��������������,������& ,��� ��������������/������ (��� %������ ������ ����� $����� )��' ����� ��& ��������� ���(������ ����$��� #������ ���������� ������ ���� 0������� ��� ������� �,�������� .�,���� �,������& ,��� �� ���� �)�������� �������� �� �� ��� ���� ���� � ���� 1 ��������� ����0��������� � ���� .�,���� �,�� ���� 2������ �'� & ��'�������� .�� & ����� & ��'������ �����������,������& ,��� ���������������������0��������(���� ��� ������������������� 3 ������� # �� ��� ����� ���� ������ � ���� ����� "����� ���������� ��� ������'������� �� �� � ����� ��� (�� ������ ���� �����(�� ��� ���� ����� +��(�) �� (��& ����������� ���� ���� � ������ 4��������� (�� � �5���� -� ( �� & ���� ��� ���� � �,�����������& ���������������������������������'���������������������������������.����� ���� ��� ������� ����� ��� �& ��� � ���� ���& ��� � $����� � ���� ������ �� ���������6 � �(�������������������������������������������������� � �! !���������(& ���������������$���� #���������7���� ��������� �������� �& �������'��))�8 �9 ������������������ �!: �������������������������!:�+�)� ����������� ������ ��������������������;�����+�)� ���� ����������� ������ ���� ������ 9 �����'� ,��� ���� %��� �'� /�� ;������������& ��������������& �������*�����<������������� ������������ �������������������)�������,���������������� �'������.������� ���������������������,��<)�,�������������� ���������� ���������������������� ������������������������< ������� ��� ������ ������=�� ��� ������ 0���������� (� ���� ���� � ��<���������)�#��� ��� ������ ���������� ����� '��)�' � �������� .��,����& �� ��� ��� ������ 4��������������� ��0����'�� �(����& #����� ������������������������������+����� �<������ �����' ����� ����� ������������������������+#� �������������������������� ����� 3 ������� �� > ������ � ��� � ?� *@)����� *�� ���� '��)����� � & ������� ����3 ����<��� ��'�� ������(���> ���,������ ��� ��.����� ���������������1 .2<� ��<. ��������������� ����� �;������ ��<� ��)��������' ����������*��������������$��������������� (<

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

X

���$������������������+�)� ���!A��"�'���������������' ����. ��' �����(��������.���$��& �����������!�� ���"����������� ������ ���� ������)�(������,��3 ������� ��B ��<��& ��� '��(�)��� �� /�� ;����� ������� ������� 9 ������� ���� .��� ���� � ����������������������(��#��������������������������(���������������� �.��������������*�<���� ��& ����������'��������������������������#��'�� ���$�������������������������(& ����������& �������������;�& ��������+�)� ���������$����� ��� ����� ��� ������+��(�) ��(& �������� �������> ���������������$�� ������������������� ���������� ���� � ���� �����������.�������%�����������������������������.������������,����& �����������������@��������������������������������� ( �& �����> ������������� ����� '��������� & ��� (�� ��� ����(�� �� �� ��������'�����(��� ���� +��C����.��������'��'��$��� %,���� $��� 6 ������ ���� ��<� ���� %�����������#<������� 6 ��������1 �'�������+�� ���#������+��$�@��6 ,������3 �� �)��'� ����������3 � ��(������������*�� <��� ��(�����������������������������& � �& ���������!������� ������"������$�!������ ���$ ���%�����������&��"�������%� ������!�� �%&%�� ���������'����"���&'��"�������%� ������!�����&%�����)����� ���������(���(�����������������,����������(���������������������� (���������.���� D����� ���� ����������,�� 2����4���5�� (& ������ (& ���+�)� ����9 ����������������& ��E��#��������F @���������)����� ��6 #��������0,��'��6 ��� ����F �& ���.)��@��������+��)� ������7��������4�������4�5���<B 3 �� :����3 ,�����������F �����<.��$����(��������������.������E�

& & & ������� ���<���<)������������������2��� ��.����������$���� ���0����������2��������'�������0������+�� �'�(�����<���E��

�������'�G7�����������,������'������������> �������

���> ����> ����,��������0����������)���������0�����H���

�3 ,������� � � � � �����������������(����� ���� )�������������������

���-����� :�& & & ������<������ �����

Copyright @ 2006, Doina Logof�tu && Vieweg-Verlag XI

DDDaaannnkkksssaaaggguuunnnggg ��������������� �������� ���� ���� ������� ��������� ���� � ��������� ���������� ������� ��������������� ��� ������� ����� ���� ������ ������ � ����� ���� ���� ��� ����� ��� �� ������� �������� ��������� ���� !"�����# �������������"����������������$�����������%������������������������&�����"��"���"������������ �# ��'����������������"�� ������ �������()*+����()**������ ��������� ������,�����-�� ������� �.�������������������� ���/ ����������0 1�2�����-�� .����� ��������������"���3������������� ����������"�������������4�� ���������'����������� ��� ������ �������������� ������������ ����� ��������������������������������� ������������������� '��� ��� ����'�������2�!����������������4�������������������'������������������������ ������� � '���� ��"���/ �������� ������5 ����"� ��������������,�'�������������� ��������!��67 �����8 ���9���:��� �;��!���������� !����������������������'��"���� � ����"������ �����'������ ���!������� ����� �� '������� 7 �������"��� ��'������ �������� ����� ��� 3����� ����������7 ������!����������������"�������<����������� ������!�����������������������"����������� ������ ���� ����� �������������� ���� #����� ��������������� ���� $������� ������%���&�������������������"�������'�������"����������������(��������(�������� ��� �����������)������$������/ ���� ��������� 5 ���� "������� � ����� ������ ���� *��� �����"���� ��� =������ ���7 ������"��22��;���������������������� ��������!���������� ���������������"� ������������������������,���������=����������������������������7 �'"�����6������������� ������9� ��� �� ��"���� 7 �>����� ���� ��� ���� ��� � �"�� '��� ���4�����������2��������"�-,�� ���(?��# �2��� �(@��+��,����,���.�"�"������A ����������,�� ������ ������ 4������ ����� ��������(-�"��.���$�/��������(��0�������*�������1������2�1�"�����3���������!������2��� ����������������2�!����"�'������ 5 �'��� �������������������

Copyright @ 2006, Doina Logof�tu && Vieweg-Verlag

XII

$�����'����������������,�� ������������������ ������������������4���*�5���2�'�"�-� ��������!�� � � ����2�����.���������������"�����(��'����������������6������&�����-������ ��������!������������;��!����.���$��� ��� &� �������� $��� ��� ����� ���� ����� ��� ��'���� ������� ��������� ���� ���� �������������7 ����5��"��� -$������&�� ���&� ������$�����.��*�1���������1����-$�� ��� ;������ �� ���.� ��� 7������� 7����� -��� �2��"� '�� ��� ;���������# �2��� .���0 '��������������������������/ ��������� ������*������8���������-�1��������6���������9.����)������+������- ������ ��B.������������ ������� ����������5 �������C ������ ;��!������� 0 ���� ���� �!���� ���� ��� ������ ������ ������� =������ �"�"�� !� ��� ���� ������ ��� � ����� ��� ������� / ��������� ������ �� ����� ��� ��'���� ����"���� ������ ������ � ���������� ��>������ ���� �2������ ��� ��������� ��� �����'���� � �"� ��� �� ���!�� ����� '������������ A ���"�������� ���� ���� ��������������� � ���� �"���� ��� ������ ���� ������ �������� ��� ���� '��� ��� 8 ����1����� ����� �" ������"�-�����������������������������'����.�������)��# �����'�������� ����� ��2�>���������������2�� ��������D ��'� ��������*��# ��������������4��'���5 ������2'��������'������������ �"���=���������� ����� ��> �������������� ����������$����"��� ��"���������������" ���������������

�/ ��������� � � � � ����������������������� �������������������������

���3����?EE+�

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag XIII

Inhaltsverzeichnis �

GELEITWORT von Dr. Eric Müller VII

VORWORT IX

DANKSAGUNG XI

1 KOMPLEXE KODIERUNG 1

Komplexe Zahlen – Kurze Einführung 1 Kodierungsproblem komplexer Zahlen 2 Problemanalyse und Entwurf der Lösung 3 Algorithmus Komplexe_Kodierung 6 Programm Komplexe_Kodierung 6 Programmanalyse 9 Aufgaben 13 Anmerkungen 14

2 VERSCHACHTELTE SCHACHTELN 15

Problembeschreibung 15 Problemanalyse und Entwurf der Lösung 16 Der Algorithmus 17 Das Programm 19 Die Programmanalyse 22 Drei kleine Programmierungstricks 23 Aufgaben, Problemstellungen 24 Anmerkungen 24

3 ZEICHENKETTEN 25

Grundlagen 25 1. Zeichen 25 2. C-Strings 26 3. C++ Strings 27 Aufgaben 32

Problem 1. Sich Wiederholende Zeichenketten 33 Problem 2. Das Perlencollier 35 Problem 3. Parkinson 37 Problem 4. Rapunzel im Internet 40 Problem 5. Bridge-Blatt 44 Problem 6. Wo sind die Königinnen? 49 Problem 7. Vogelsprache 55

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag XIV

4 MENGEN UND RELATIONEN 59

Grundlagen 59 1. Element und Menge 59 2. Leere Menge, Teilmenge, Gleichheit 60 3. Schreibweisen 60 4. Mengenoperationen 61 5. Multimengen 63 6. Relationen 63 7. Ordnungen 64 8. Funktionen 64 Aufgaben 65

Problem 1. Cantor-Diagonalisierung 67 Problem 2. Menge und Multimenge 72 Problem 3. Relation und ihre Eigenschaften 75

5 ARITHMETIK UND ALGEBRA 81

Grundlagen 81 1. Teilbarkeit 81 2. Primzahlen 81 3. Fundamentalsatz der Arithmetik 82 4. Division mit Rest, ggT und kgV 83 5. Kongruenzen. Elementare Eigenschaften 84 6. Chinesischer Restsatz 85 7. Fermatsche Sätze 86 8. Die Pell’sche Gleichung 88 9. Satz von Vieta 89 Aufgaben 91

Problem 1. Primzahltest 93 Problem 2. Sieb des Eratosthenes 95 Problem 3. Druck einer Broschüre 99 Problem 4. Primzahlen und Teiler 101 Problem 5. Der alte Gärtner 104 Problem 6. Kätzchen in Hüten 108 Problem 7. Hausnummer 113 Problem 8. Korrekte Nachrichten 115 Problem 9. Anzahl der Teiler 118 Problem 10. Datumsverpackung 121 Problem 11. Die schöne Marie und der schöne Hans 122 Problem 12. Kubische Gleichung 125 Problem 13. Quadrat einer speziellen Zahl 126 Problem 14. Umwandlung einer römischen Zahl in eine Dezimalzahl 128 Problem 15. Umwandlung einer Dezimalzahl in eine römische Zahl 130 Problem 16. Hässliche Zahlen 132 Problem 17. Vögel auf den Bäumen 134 Problem 18. Wieviele sind es mindestens? (chinesischer Restsatz) 136

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag XV

6 EBENE GEOMETRIE, TRIGONOMETRIE 139

Grundlagen 139 1. Dreiecksgeometrie. 139 2. Berechnung eines beliebigen Dreiecks. 140 3. Wichtige trigonometrische Formeln 141 Aufgaben 142

Problem 1. Berechnung des Dreiecks (SSW) 142 Problem 2. Der Kreisumfang 146 Problem 3. Kreise im gleichschenkligen Dreieck 150

7 KOMBINATORIK 153

Grundlagen 153 1. Prinzip von Inklusion und Exklusion. 153 2. Das Schubfachprinzip 155 3. Permutationen (Anordnungen mit Berücksichtigung der Reihenfolge) 158 4. Variationen (Auswahlen mit Beachtung der Reihenfolge) 160 5. Kombinationen (Auswahlen ohne Beachtung der Reihenfolge) 161 6. Binomialkoeffizienten und ihre Anwendungen 162 Aufgaben 164

Problem 1. Alle Teilmengen einer Menge in lexikographischer Reihenfolge 166

Problem 2. Der Gray-Code (minimale Änderungsreihenfolge) 170 Problem 3. Permutationen in lexikographischer Reihenfolge 173 Problem 4. Ranking einer Permutation in lexikographischer Reihenfolge 175 Problem 5. Unranking einer Permutation in lexikographischer Reihenfolge178 Problem 6. Binomialkoeffizienten 180 Problem 7. Das kleinste Vielfache 186

8 CATALAN-ZAHLEN 189

Einführung 189 Sechs Probleme aus der Catalan-Familie 190 Theorem. P1-P6 und die Catalan-Zahlen 193 Die rekursive Formel 196 Die erzeugende Funktion 197 Noch 4 äquivalente Probleme 199 Algorithmen zur Berechnung der Catalan-Zahlen 200 Zweiter Algorithmus, eine weitere Rekursion 201 Dritter Algorithmus, der ohne Rekursion auskommt 202 Aufgaben 205

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag XVI

9 POTENZSUMMEN 207

Problembeschreibung 207 Problemanalyse. Algebraische Modellierung 207 Von der Rekursionsgleichung zum Algorithmus 209 Der Algorithmus 212 Programm 214

10 ALGORITHMISCHE GEOMETRIE 219

Grundlagen 219 1. Darstellung der Punkte, Quadranten 219 2. Abstand zwischen zwei Punkten 220 3. Gerade in der Ebene 221 4. Abstand eines Punktes zu einer Geraden, Fläche eines Dreiecks 223 5. Die Ellipse 224 6. Das Außenprodukt 225 7. Die Fläche eines Polygons, Punkt im Inneren eines Polygons 225 8. Nächstes Paar 228 9. Die konvexe Hülle 230 Aufgaben 233

Problem 1. Nächstes Paar 234 Problem 2. Quadrätchen im Kreis 236 Problem 3. Wie sicher sind die Bürger? 241

11 GRAPHEN 251

Grundlagen 251 1. Einführende Begriffe 251 2. Weg, Pfad, Zyklus und Kreis 252 3. Vollständige und bipartite Graphen 253 4. Darstellung der Graphen 254 5. Traversieren von Graphen (BFS und DFS) 256 6. Zusammenhang 258 7. Hamiltonsche und eulersche Graphen 259 8. Bäume und Wälder 260 9. Minimaler Spannbaum 261 Aufgaben 263

Problem 1. Breiten- und Tiefensuche (BFS und DFS) 264 Problem 2. Die kürzesten Pfade 267 Problem 3. Das Alphabet der fremden Sprache 269 Problem 4. Markus besucht seine Freunde 275 Problem 5. Das Haus des Nikolaus 280

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag XVII

12 GREEDY 283

Grundlagen 283 Problem 1. Rucksackproblem 284 Problem 2. Kartenfärbung 286 Problem 3. Springer auf dem Schachbrett 287

13 REKURSION 291

Vollständige Induktion 291 Rekursion: Grundlagen 297 Problem 1. Quersumme und Spiegelung einer natürlichen Zahl 298 Problem 2. Die Zahl 4 300 Problem 3. Rest großer Potenzen 302 Problem 4. Die Torte (lineare Rekursion) 304 Problem 5. Die Ackermannfunktion

(verschachtelte Rekursion, "compound recursion") 306 Problem 6. Rekursive Zahlenumwandlung

(Dezimalsystem in System mit Basis P) 308 Problem 7. Summe zweier Wurzeln (verzweigte Rekursion) 310 Problem 8. Collatz-Funktion (nicht-monotone Rekursion) 311 Problem 9. Quadrate und Quadrätchen 313 Problem 10. Quadrate (direkte Rekursion) 316 Problem 11. Quadrate und Kreise (indirekte Rekursion) 325 Problem 12. Die Koch’sche Schneeflockenkurve 329

14 TEILE UND HERRSCHE 337

Grundlagen 337 Problem 1. Größter gemeinsamer Teiler mehrerer Zahlen 338 Problem 2. Die Türme von Hanoi 340 Problem 3. Integral mit Trapezregel 342 Problem 4. Quicksort 344 Problem 5. Mergesort (Sortieren durch Verschmelzen) 346 Problem 6. Quad-Bäume 348 Problem 7. Diskrete Fourier-Transformation (DFT) 352

15 BACKTRACKING 357

Problem 1. Das Problem der n Damen 357 Allgemeine Bemerkungen zum Backtracking-Verfahren 363 Problem 2. Das Problem der n Türme 365 Problem 3. Das Problem der Türme auf den ersten m Reihen 367 Problem 4. Das Problem der aufsteigenden Türme

auf den ersten m Reihen 368 Problem 5. Die Freundschafts-Jugendherberge 369 Problem 6. Partitionen einer natürlichen Zahl 370

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag XVIII

Problem 7. Erdkunde-Referate 373 Problem 8. Alle Wege des Springers 375 Problem 9. Das Fotoproblem 378 Problem 10. Der ausbrechende Ball 379 Problem 11. Olivensport 382 Problem 12. Testmusterkompaktierung 388 Noch 10 Probleme 397

16 DYNAMISCHE PROGRAMIERUNG 403

Grundlagen, Eigenschaften des Verfahrens 403 1. Ursprung des Konzeptes 403 2. Optimalitätsprinzip 403 3. Überlappung des Problems, Speicherung der optimalen Teilproblemlösungen (Memoization) 404 4. Einführendes Beispiel – die Fibonacci-Folge 404 5. Bottom-up versus top-down 406 6. Vergleich mit anderen Verfahren 407 Aufgaben 407

Problem 1. Das Zählen der Kaninchen 408 Problem 2. Längste aufsteigende Teilfolge 411 Problem 3. Zahlen-Dreieck 415 Problem 4. Domino 418 Problem 5. Verteilung der Geschenke 422 Problem 6. Ähnliche Summe 425 Problem 7. Schotten auf dem Oktoberfest 430 Problem 8. Springer auf dem Schachbrett 437 Problem 9. Summen von Produkten 442 Problem 10. Minimale Triangulierung eines konvexen Vielecks 445 Problem 11. Multiplikation einer Matrizenfolge 451 Problem 12. Edit-Distanz 456

LITERATURVERZEICHNIS 463

STICHWORTVERZEICHNIS 467

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

LLLiiittteeerrraaatttuuurrrvvveeerrrzzzeeeiiiccchhhnnniiisss �

�� ������ ��� �� �� ����� � ���� ������������������������ ������� ����� ���

���������

�� ������ ��� �� �� ����� ������������ ������� �������� ��� ���� ������� ��� �

!� �������

�� !���� "���� � !����#��� $%&' � � ��#��������� ���� ����� �� ���������� �����

�� �� ����(��)*+������(,��, �������

�� !�-�� "����� !����#��� . ,�� �� !��#���������� �!���"����#���$ �%�� (��)�

*+������(,��, �����-�

�( /0�� 1 ,���( ���&��!���������� �'���� �� ���( ������( � �'�)*#�+��

2!�����. �!#��#%�3��4�!�,��#%��(�#���3����56/0�

�(�60�� (� ���7�� ��8���,��������(�������-���� � ����� #!�9 �#�4�����: #���

(,��, ��5660�

�(������ � � ��#*��(�������#*���� �#�� ��; !�����#*��� ����� �����������.

� ��"/�� 0 ��� ���� � ��#��� ���� ��+��� �� ��1�"����� ���� � ��� ���

� �����������

�(������ ���!�(������������� ��"/��1�"����� ����0 �"/�� ����������� ������ .

�� ���� ����2��������� �������� �������1 ����� �����������

�(� 6/�� 4����� (� !�#*�*��0 �"/�� ��� �� � %�������� �� ��� � ������� ���� ����

� ������566/�

�< ,����� "*��1 ��< ,�9 � ��< ��2��=������, ��$ ��$�'�����< ������ ��#���� ����.0 ��0 �.

"/�� ����> �!� ,����� ���� �#*���'������ � #*� �������

�< ,?6@�� � ������ � < ,?�� ��� $!,�� �� � $%!�?���� 8�,��#� � ,� �#��#���

������ �'��3���� �4 ��� ������� ����� ������� ���������15.���2!�����

. �!#��#%�3��4�!�,��#%��(�#���3����566@�

�. '�5�� ",9 �. '������������� �!����222��

*���ABB� � � ���,9 �����,��B9 �*#��#���B#�� ��!��

�. ������ > ��'��� . �������0 �"/�� ��� �� � ��������� ���� ���� � ������ (���� ��

�����

464 AAllggoorriitthhmmeenn uunndd PPrroobblleemmllöössuunnggeenn mmiitt CC++++

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

�. ������ $�� *�!�. ��������3��������� ������ ����� ������1 ��!�� ����������

�2 �6@�� � ��*��� 2 ����� &��!��.-��( ��� -����� ��� ���� ����� ������ C �� �D,�)��

566@�

�8,�6-�� > ��,� 8,�������#���� ��� ���� %�������� �� � ��� ��� � ������ � ��� !� ��

566-�

�� 65�� ��#�� � ��� +�� 4 � ���!��� � ������ �'�� 2!����� "�* �#%��

(�#���3����5665�

�� +�6-�� (�� !� � +�� ���� -�� ��� 6 �� #���� ��� ����� 3���� �� 222 �� 566-��

*���ABB� � � �� ����*&�#*B����, �B���� ��B��)�����*�9 ��

�� �� 3�6��������� �'��9 �*�9 ���#*��� �&� ���9 9 �� ���

�� �6��� � �*9 � $ �� =��� E ��*� . �� 2��� 4��* �)� > ��� ������� ������� ����

� !!��, �� ����7��566��

�1 ����� 1 �#)� 4������)��! ����� ���������� �� ��1�"����� ���-�� ��� ���7.

��/� ���*���� ��� ��-����������8997��� � � ��������*���ABB� � � �

!9 �� �,�9 ��)�� ����� � �� �!�B�)�����BE ,9 � �,��)BE ,9 ��������!��

�1 ��6��� . ���9 �� 1 ���9 �� #���� ����� #�! ��! ���� � !!��, �� ����7�� (, ��

566��

�1 ���0�� � ,�)���1 �� ��3� �����#���� ������0 �"/�� ��� ����0��� �"� ��

� #������ "" 6 ����#���� ������ ��� � ������� � ��� ��� � ������ � ��� �

!� �����0�

�: > 6-�� 1������ ������������ ��������� ��:;;<��222A�

*���ABB�9 ,�9 �*�#B: > 6-B�

�:'���� < ,� ���� :'3#�� , � 4�� %�� =�9 � �?� < , !��#*��� . ,� � =,�,�%����

1�"����� ����==����� ������� ������� ��51.��� 2!����� 4����, �� (�#���3����

�����

�E ��6��� (�� �� ��E �� ��* ��. � ��� ��$��#*����&������� ��� �����% ��# �.

��!��� C �:�< ��< ���1 ����� ������ � #*� ��� �� ��566��

�E ��66�� . , �!�=��E ��*����. ,�����$ ����� �, �����! ����� �������� ������3���.

� ����0� ���� �������-�������< $< �4������5666�

�E �*66�� ���� � E �*�� ��� ��� � �#*!����� � �==�-�����! !� ������0 �"/�� ���

��������������������� ����� ������(���� ��1 ��!�� �����5666�

�=,��5�� . ,� � =,�,�%���� �==�� &��!��� �6��(��� 4 � ����� �� �� 2!����� 4,���,9 ��

:3������5�

�=,������ . ,� � =,�,�%���� - ��� � �� ���� ������� � : �,�� 5�B�� ������ ��� ����0��

222A�*���ABB� � � ��� �,��,B��'���B5�F�B�,#�����!��

�=,������� . ,� �=,�,�%����&����������� ����'��! ��>����������!��'���� " �������

����� &��� � � �==�� � : �,�� ��� ������� 5�B�� ������ ��� 0-��5�� 222A�

*���ABB� � � ��� �,��,B��'���B5�F�B�,#��0��!��

�=,�������� . ,� � =,�,�%����? � �� � � ��������� � : �,�� 5�B��� ������ ��� 0-��5�� �222A�

*���ABB� � � ��� �,��,B��'���B5�F�B9 ��5��!��

LLiitteerraattuurrvveerrzzeeiicchhnniiss 465

�=,����'�� . ,� �=,�,�%������������!����� � ������� �����������&���� ��==��

� : �,��5�B�������@�0���222A�

*���ABB� � � ��� �,��,B��'���B5�F�B�,#��5��!��

�=,��-�� . ,� �=,�,�%������6���������'� �@�����#�� ��A ��2!�����4,���,9 ��:3���

���-�

�=,��-��� . ,� �=,�,�%����$,���. ��#*������0"" � ���0(�� � ������#���������"������

����� ��� ��� &��!��� � ��� 1�(�� ���� 0�!� 2��,�� � � ,�)�*,�� , �

1 �!� ���> ���9 ����, �"�#* �G����H2',1 > "I��=C < ��06�@�����0���005��

(�!���������-�

� +��5�� �������B��C����! ���� . �,�9 ���#*��� ����� �����"*��E ���C #*����

� #*� �����5�

� ����� J�� �,�K�)�� J�� C �K��L���� � ����� ������� ��� 0 �� 0���� ���� ���

���� ����� �����������

� �7���� �#,��� �7�����0""�� (��==�������� �����9�2��6 ��*�!��� ���1����

&�������� ��0���/�"��0��� �������� !!��, �� ����7�� � #*� �������

� �#���� � �� ��� � �#*��� �#&��. '�!�(��8,������������-��(�1�>������� � �.

� �������� ����� ������(���� ��1 ��!�� ����������

� �. C �0�� �-���D !�����E�* � ���-� ����0+�899F�

�C %�/0�� < ��C %��%���#���< ��C �?%�� ��(� !� �����. ��J,�?��0��� A �4 ����!����

���!�'��2!�����. �!#��#%�3��4�!�,��#%��(�#���3����56/0�

�C %�6-�� < �� C %��%���#��� < �� C �?%�� ��� 4,��� #��!���� ��� ��� ���� � ������ �� 5.���

2!�����. �!#��#%�3��4�!�,��#%��(�#���3����566-�

�C %�6@�� < ��C %��%���#���< ��C �?%��� *��$�&��#���#��!�'����� ������� ���������15.���

2!�����. �!#��#%�3��4�!�,��#%��(�#���3����566@�

�C ������ ���!� C ��&�#*���3������"/��0 ��� ����G �� ������� ��(���� ��.

�� ���� ��� ���� ������� ��� !� �������

�> ������ �*�� > ��� ��&�� ������4 � ���������� ����� �� ����� < ,9 ������ =� ����

� �,���< ��M�C �,#�������

�4��60�� 8� #,� 4������� �#*��� �*9 ,��� ���� ��� ����� 3�����>� #�� 1����.

�� �������� ����� ������C �� �D,�)��5660�

�$ 6@�� . ,� �$ #���D �!�H ��&���������� �����������15.���< ,9 ������=� ����� ��

,���< ��M��566@�

�$ 66�� . ,� �$ #���D �!�H ��&�������#���� �� �" ������� �� < ,9 ������=� ����

� �,���< ��M��5666�

�$�#66�� (�� ��$�#�,���< *�����������#+D�1���������� !!��, �� ����7�=, �9 ��: #���

��#*���������5666�

��� 66�� �)�J���� �� ��#�-1�-�� ����������� � � ��

*���ABB� � � �9 �,���!�B��#�B#���B���,��#��B���B���� ��*�9 �

��)��0�� ���'� � ��� �)�� �� ������ � �� $�'�����&������� ��� ����������+�� &��.

����� ����������+�� � ������ �������� ����� ������C �� �D,�)�����0�

466 AAllggoorriitthhmmeenn uunndd PPrroobblleemmllöössuunnggeenn mmiitt CC++++

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

����-�� -������ +������ D !����� &��������I�� 3 �� � � � A�

*���ABB� � � �����#,9 B��#*B���B�

���/-�� . ���� �, ��. ��� *����������� �� (����! ����� �������� ����� ������C �� �

D,�)��56/-�

�������� � ����)���������� �����-�� �� ���:��)��! ����� ���3��������� ��#�.

�!�������� ����� ������(���� �������

�������� (M� �����,��������� ��==�&������� ������������)������������ �������

� !!��, �� ����7�� � #*� �������

����--�� E ������� �#)����0 �"/�� ��� �� ��J���������� �������1>�3� �������

$ ��> �!� ,����� � #*� �� �� ��56--�

����-@�� E ������� �#)����0 �"/�� ��� �� ��J���������� �������11>��� ""��� .

������ ��� ��� �����*�C��� ����� $ �� > �!� ,����� � #*� �� �� ��

56-@�

�",9 /5�� :, � ",9 ��#��� &��!��� � ���! ����� �'� 4 � ��� �� ���" � ����� 2!�����

. �!#��#%�3��4�!�,��#%��(�#���3����56/5�

�N !�6��� < , �� �� � N !��3���� � *�,��*�� � �� �#�� � ����� ",9 ��� ��� 3���� ��

��� ������� ������� ��51.��� 2!�����. �!#��#%�3��4�!�,��#%�� (�#���3����

566��

� �

222A�*���ABB!��� �)���!��,��B� �)�B1 ���������

� 222>�*���ABB#9 ��'���B��, ��9 ���B��

� 222>�*���ABB#�,��� �������*�B��

� 222A�*���ABB9 �*� ,��!�� ,���9 �#,9 B��

� 222>�*���ABB9 �#�,�#,�7������!�B,���#�B��9 ��� �B��,���B��

� 222>�*���ABB,�79 ��!��� � ����� �B�,�B��

� 222>�*���ABB� � � �#9 �,��B��

� 222A�*���ABB� � � � �� ����#,9 B��

� 222A�*���ABB� � � �#����*��) ,��,���

� 222>�*���ABB� � � ����#*����!�!�B��

� 222A�*���ABB� � � �*,9 ��� �;���,��B9 ��� B#OO��� �� �#*�*�9 ��

� 222>�*���ABB� � � �9 �*���*��!�B9 �*#��#��B ,���B9 �!� ���!��

� 222A�*���ABB� � � �9 �*� ,�!�!��

� 222A�*���ABB� � � �9 �*�9 ���#*�� ������� �!��

� 222A�*���ABB� � � �9 �*��, �� ���B�������*�9 ��

� 222>�*���ABB� � � ��5�� �,�9 ��)��� �*�#*� �!�BP��,���*9 ���

� 222>�*���ABB� � � �9 �*�9 ����!�BP��� B�#B#�!!��!��

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

SSStttiiiccchhhwwwooorrrtttvvveeerrrzzzeeeiiiccchhhnnniiisss ���������

-��������� � ���������

A � ���� � ���� ������ ��� ���� � �� ������������� ������������������ ��� ���������� ���!��������������"��������������� �������#�� $����%�� &������'��� &����������'"�� &����!���(���'��)���������!!����'�� *� �������������������������+�� *� ���������������������������,�� *� � ����!�������������������%�� *� -.����������-/���0���"��� *� -.����������-1�����0���"��� *� -.2����'%3��"'�� *� -4� �� *� 5 -�������� *� -4� �� *� 5 -�������� *� -4� �� *� 5 -�#�$������� *� -46 /5 -17���� � ��+'�� *� -48 ��-�1 /� 5 � 9 *� �/8 5 �����%�� *� -: 2����'%3��"'�� *� -: �0� 7/!;������+�� *� -79 < */: ��+��� *� -22����'��� *� -2*8 =: -> � 1�6 � **���''3��"+�� *� -� � ?���+��� *� -� 177: =-48 � �� 4����%'�� *� -6 /**-48 5 @ 7A-6 9 **������� *� -< 8 � �*7A7-< 8 : /719 5 � ��"�� *� -< 19 �< � *���"��

� *� -5 -: � � 75 ���"��� *� -5 � 46 28 *� 71-4@ 7< �8 1 ���"+�� *� -5 � /@ 7-4*8 �7��-�� /1 ����+�� *� -8 ��/� -48 � �� 4�-174���,��� *� -�8 �75 �9 � � 75 ������� *� -�7��-�1/� ��+��� *� -9 5 1� 5 < -�71� 9 �� �/8 5 ���%+�� *� -@ 71-4*8 �7��-�� /1 ����,�� *� -@ 71�46 -�46 � 46 �7*5 ���+�� ������ ��� ����B������� � �� ��� �������� ������ �� ���&��0�� � ���� ����� � �"�3��%��� ������ ����������,�

� ������ �� ������0��� n2 ������ ������ �� ������0����C�����'�� ������0����)� ����.��)��)�!���,����"##�> ����'3���3���"3������ ����� �������������",3��'"�������� �����������%3������ �D�;�� ������'��

B ���$����$������'%�.)�������8 (��� ����+�.���3�> ���3� ����� �< �����;������3�����.��!���"�3���+�.)�!�E�6 �������8 �F ����+��.�?�������2��� ��2�D�����> � ����"����� B��������+�� ������ �� �����%&���+%3���������� � ����������.��!��3�1 ����� �#�,����,+�$������.������������: ����������3����3���"�

468 AAllggoorriitthhmmeenn uunndd PPrroobblleemmllöössuunnggeenn mmiitt CC++++

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

������*�� ������������.�����������9 ������������,%�.�B�!���;����!���"��.���3�� �(�#�+����+%�$���'%���&��0�2��������"'����)�����) �������3��"3����3��+��.���!������������� � �"�3� �+�3� ��'3� ��%3�����.���!������ *������ #5 F ��G���� .����!������!�$���"�3��""3��,+3���+3��,����;������ ��;����'��.��� ���?��,"�.��8 ;������,"3���"3����3�����.�����0�!����!� ��9 �!��� B��������"�.��������#�'�$���'"3��"�3���,�.���;���3�7���;��������������.��������

C ��������4HH����������%�4����3�� ����#�+�'��,�+$��',�4�����: ����������������',3�"%�4)���3�I������#����0J�4��J����0J�4��J$����%�4�����3�7��K��4������#�+����+,�$���,��4������ �������+,3���%3���'3�����4����?�: ����������������%��4����?����F ����9 ���������� #���F ��������9 ���������$���,����������������� @ ���� ���� ���!�����""�4����������1������+'3���"�4������2��������������������!���������%��������� !���2���������������(��"3�,3����3����3���+3��'�3�L �4�������!!�,%3��""3��+'3��'��4��!�����1������+�")"�> �����'�4����������"3�'������*(3������*(3�� �� ����"3�'�3�'"3��%��"+���� ���� �����%�"������ )���������� "(��$� #414�@ ������$���'�

D : ��������!� �� ��)���������"��: ��������!� � ���B�!����� �������1������"%�: ��������!� ��������� ���B�!����� �������1������"+�: ���������������3���3����3���%3��'��: ��!�0�;������������ ������� ���������: �����������3����3��''�: �� �����������: ������3��?!!������: J��"�� ��;��������� ���������++� ����1����������,+3���"� �����.F ������+3��,�3��,�3�����: ������3����� ���0�*&���#�+�'��+',$���''�: �����2��������������!�����#: 2�$��'��: �0������!��1���+�3�����: �!������+�: 8 ��������!!����"3���'�: �������!������,3�����: ���������.�����B���,,�: ?��!�����������!!��������%3����3������

E 7 ��: ��������'"�7�����F ��������'��7�!�� ��� ����',�7���;������3�����7���;��������������'�7�������� 7��������� 0��� 7���� �� M7��!�N���'��7�������� 0��� < ?��� #��J� �%'��,�� 0J�4��J$��,'������ �2���������,%�7���� ��#��J������0J�4��J$��+��7���� ������� ������!����+�3����3����3���,�7���� ��.F ����+��7���� ������� ���� ����3����3����3���%�7���3�*����� �#�%�%��%+�$���3��,��7����2�!�������+%�7�������� �� ����,�

SSttiicchhwwoorrttvveerrzzeeiicchhnniiss 469

7�����������2��������++3��''�7�������#7�������$���',3��%"3��+���

F '����'���������������������#''�$���'��2�!�3������ �#�"����""'$��+"�2�!������ F ��O �� ��������+"�2���������#*���� ��������3���J���+�$���++�2���������2������'%3��,%3��+��2�)�������: �����������2�)����������?��������'�2�)��������������2��;����!���%+�2���������,�2����������,'����������'��������2�����������3���3��''�2�� �!������� ��� ���!����+��2�������3�;������2J��"���

G � ������������3��,��� �!������1�������3��'�3������ �� ���� ��7��������� �;����6 )�������*B������,��� F ����������������� ��;�����"��� �� ����3�4��������#�",���%"�$��,��� �� ��������@ �!������,��� �� 3�� ��;����'��-��(������������� ��;���'��� ��?�4� ����%��-��������+��� ��D��2�!�����������+%3���'���PD�� �!����!�� ����� � +�3� ���3� ���3���+�� �BD�B��� ����� ����������,��� �!!��)��������"��

H 6 �!������ 1������ #����� �++"��+,%$����%�6 �!����3� ���� > �����!� 1�F ��� #�+�'��+"'$���',�

6 �!�����������',3��%"�6 �!!����: ��������'"�6 ���� ��5 ����������+��6 ������� 2��!�� #���� �� 6 ���$� � ���3�����.������,+�����,�(������+%�.����� ������!�������3�����6 ���3�4J� J1J��#��J��,��$������6 P�����!��������6 ����3�: �0� �#�+"���,��$��+%��

I �!����)��7��������/!����)��������� ����1����������,+3���'���&��0�2��������"'�/������� ���3�: �����������������2�����������3��''�/�����������/�0���0�����!� ��������%����� ����'���

K < �;����������< ����)��������+"3��%%�������������� �����%+�< )��������6 B�����+�$�.�������2������,��< ��!!�����0����� < ��!!�������� ��,�3��%%�< �����2�!����������#�"��$��+"�����������!����!��@ ���������+��< ���3�6 ���0���#�+%���,��$����,�< ���G�����������������0����,�< � ������;����!���!;�(�� ��������< �!����������"�3��"+�< �!;��������!�����++���!;�����������+,���!;����� �������++�< �!;�!���"���< �!;�!�)���� ��;����"����!;�(� �������3��3��'��< �!;�(�)�����3����3��+�3��,��< �!;��������� ��;�����'+�

470 AAllggoorriitthhmmeenn uunndd PPrroobblleemmllöössuunnggeenn mmiitt CC++++

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

< ����������+��< P����� ���������!���"��< �������������3����3��''����0(�6 B�������3�����< ��������������3�����< ���3����� ��;���'��< �������%3���"�< ����!��������"3��'��< �������� �����������'��

L �)���������� �������������3������)����������� �����������%3������)�����!����!������������������ ���"��*0�����3�@ �� �!���#��J��,�'$���'"�*0������: ��������'"��(������;��������%3���3���3��'3��%�3��+�� ������������"�3���+�������1����������,+3�����*������!�������3���'3�����*����� ��������,�*� F ���A /J3�< P����#��"����+�$����%��

M !�������O �� �����'+3��"'�� ������������2����������%�!�(�!���������� �����������%�� �(�!��������B��3�� B������+��/���0������������ ����;��������"��� �����',3���'�/������������"��� ������'"�!���!��������������������'�� ���!�����;������!���"��� ���!�����"��� �����!���������������',3��+'�� ���;������������� ������������'��� ���;��������������,����

N 5 )�������������+3�����

5 ���������� Q@ ����� � �(�� ��N3� /�R�3�1�!)����#������+,���+,"$��'+���: �!�������!���'%����B�!������!���"'��

O ����� #����� !�����$� 1�������� � �,+3�����8 ;�����S ���� �������3���3����3��''�8 ;�!���)�;�����;������8 � �������"���

P ����� ��!�������������������B������� �������,�;���� �> P�����,�������. ���������'3��,3��������3�� ���;;�#�+'+��,��$���,����������� (��!���,�����G����� ���������++3�������!���������'3��'+3��%�3��""���� ���'����� !���(���''3��"%����#�$�����3����3���%3��'������3�� ����� �(�� ��#�+',��,��$����+���0��7�!���������������� ��������,����?!��;����������?��!���'�3������������3����0������0���+���������3�������0����,,��������3�������������3���������!���#���J�� ������$��"�3��""�������!!�����%���,������: ������������,����!��������������+�3����3���,3��''3��+�����!�������%3�+�3��,�����!�������,�3�,'�������;�0���/����������� �7(���������'����� ��!���(���'�����&�������������3�����������!�/������������?��������'3������

SSttiicchhwwoorrttvveerrzzeeiicchhnniiss 471

Q 1��������'3��+'�2���,�3������+�O �� ��������2���������O �� ��������,3���%3�����O �� ��������;������ �������"�O ����!!����� ������,+3���'�2���$�����������

R )��$����������!��������%'�1�;���������1��������1����������,�3��,%3�L �1��������"��1�����D�������������1�������;����!���+���

S ����#7� ��3������$���,������0���*�� ����+������0�����������+������3�7���;�����������������*B������,��������3�� ��;����'���������������������3����������!����"��������F ���3�� ����"�����������;�����;� #�����������;�����;$���''3��+"����� ��7���������,'3��"�����;������: �����������������������3������;���(� ��� �� < ��;��3� .����� � �������'���;����������� ������,+��;�������;�����;���,,��;���������� !������������+%3��%'3���%��J�5 �������< ����3�.��������2��!����++����3������!����������%�3�%"����4�������������3���'����4��������!����������������&&�������(���,3���"3��%�3����3�����

���&&����!������5�����������6���������&&���������"+����&&�������,3�L ����&&���������,3���3���3�L ����&&���������+����&&����!� ����%'����&&���������(����!�������������&&����+�3��+�3��������&&�������%'3�%"����&&���������%�����&&����!������������%�����&&��������,3���3���3�L ����&&������+�3���'3����3���,3���+����&&���!������������%�����&&�����������%'����&&�����%�����&&��������3���3��"3����3����3�����&&������� �+�3� ��3� �"3� � ��3� �"3� '"3� ��,3� �%�3���,3�L ����&&� ����%'����&&����������3��,3�L 3��%�3�L 3��'�3�L �����&&������7����8�,+3��%���������F ������������������3������P�����'��� �� �F � �����,������4�����6 �� ������+'���!!��0������ �����������!!����!���"+3��,����������#��J������J�4��J$��+'����&��0�2��������"'3��"�3��%���?!!������� ����������

T ���������+�3����3���+3����3��''3��'%3��,��������������������+���������!!������������������� �6 ���������%�����������%3�����������;����'+����!����"�3��""3����3���'����;����!����%3�������!�����!;����������++����������#9'�$���'%3��"���;��������������������%��

472 AAllggoorriitthhmmeenn uunndd PPrroobblleemmllöössuunnggeenn mmiitt CC++++

Copyright@ 2006 Doina Logofatu && Vieweg-Verlag

���;�������������0������0���� ��;�����'"��������������� ���� ���0(�� ���?�������,�3���'������������2���������������!������2��!�������3��,"����!�0����������%���B�!�0���6 �����������

U 9 !����3�: ���������3���,�9 !������ ���3�: ���������3���"�9 !F �� ����� ���� : ��!������� ��� ����P!����� ���������9 !F �� ����������P!������ ����������: ��!����������+�:����$����������!��������%'�9 �����;����"���

V @ ������������"�3��"%�@ �����������+�3����3�����@ ���������!����"��0���������1����������,+3���"�0��������������������'�0��F ���1����������,+3�����@ �������'3�+�3��''3��'%3��+"�@ ������3� ���������@ J���+"�@ ��������������!;�(�� �����'�@ ���O �� �������0���*��������+%�@ ���1������� #����0���@ ��$� � +,3� ���3�����@ ��3�2���T����#�'����"��$��+,�@ ����;������''�0�����!!��#;���$� ���������0����)� ���/� ���������%3��,��0����)� ����� ��;����'���

W > ��������������������> �� ���"���> �����3�7 F �� �#�%�"��%,+$��+%�> ���� �����1�����++�

> ���'��> � ��;�������3��"�F � ����� � �����������> ��������0���@ ����,���

Z �����: ��������'� �����?�!���3���+3��,,� �����!F �� ����3�������0����+� �������'� ��������2���������'"� ���������+�� ���!!��������'+� ?�������'�����������������

��

: �����������!�0��������

Copyright@ 2006 Doina Logof�tu & Vieweg-Verlag