copia de teoria anova dos factores

EJEMPLO 1 Corrida en Análisis de datos en Excel

Anova: Two-Factor Without Replication

SUMMARY Count Sum Average VarianceRow 1 3 73 24.3333333333 9.33333333333337Row 2 3 99 33 4Row 3 3 120 40 3Row 4 3 116 38.6666666667 4.33333333333349Row 5 3 136 45.3333333333 0.333333333333485

Column 1 5 183 36.6 56.3Column 2 5 180 36 92Column 3 5 181 36.2 53.2

ANOVASource of Variation SS df MS F P-value

Rows 764.93333333 4 191.233333333 37.2532467532477 3.232321E-05Columns 0.9333333333 2 0.46666666667 0.090909090909188 0.914030422Error 41.066666667 8 5.13333333333

Total 806.93333333 14

F crit3.8378544.458968

EJEMPLO 2 Corrida en Análisis de Datos de Excel

Anova: Two-Factor Without Replication

SUMMARY Count Sum Average VarianceRow 1 3 34 11.33333 32.33333Row 2 3 50 16.66667 121.3333Row 3 3 36 12 91Row 4 3 105 35 133

Column 1 4 92 23 127.3333Column 2 4 101 25.25 168.9167Column 3 4 32 8 90

ANOVASource of Variation SS df MS F P-value F crit

Rows 1106.917 3 368.9722 42.71061 0.000192 4.757055Columns 703.5 2 351.75 40.71704 0.000323 5.143249Error 51.83333 6 8.638889

Total 1862.25 11

ANOVA 2 FACTORES (Montgomery) P. Reyes 04/17/2023

Página 04/17/2023

MODELO PARA ANOVA DE DOS VIAS, FACTORES O DIRECCIONES - FACTORES FIJOS

Para i = 1, 2, ...., a j = 1, 2, ......n

NOTA: La prueba F para los bloquesnormalmente no se pone en la tablaANOVA porque no necesariamente es una prueba F exacta.

en los tratamientos dentro de los bloques, por lo que a este diseñose le denomina DISEÑO DE BLOQUES COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

Para probar la Hipótesis nula Ho de que las medias de los tratamientos son iguales,se supone que los errores del modelo son:

a) Variables aleatorias que siguen una distribución normalb) Son independientes unos de otrosc) Su distribución normal tiene media cerod) La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor

Por tanto las observaciones:

Para el análisis de los residuales, se aplican los mismos criterios que en el ANOVA de una via:

Del ejemplo 4.2 de la pág. 164 del Momtgomery, se tiene usando Minitab:

Two-way ANOVA: RESP versus DIA, SOLUC

Analysis of Variance for RESP Source DF SS MS F PDIA 3 1106.92 368.97 42.71 0.000SOLUC 2 703.50 351.75 40.72 0.000Error 6 51.83 8.64Total 11 1862.25

Individual 95% CIDIA Mean --+---------+---------+---------+---------1 11.3 (----*----)2 16.7 (----*----)3 12.0 (----*----)4 35.0 (----*----) --+---------+---------+---------+---------

Con a niveles del tratamiento y con n tratamientos o factores

La experimentación en las unidades experimentales debe ser en forma aleatoria

y ij=μ+τ i+β j+εijy ij≡Observación .ij−ésimaμ≡la .media .globalτ i=es . el .efecto .del . tratamiento . i−ésimoβ j=es .el .efecto .del .bloque . j−ésimo

ε ij≡error .aleatorio=NID(0 , σ 2 )

y ij≈N ( μ+τ i+β j , σ2 )


Página 04/17/2023

8.0 16.0 24.0 32.0

Individual 95% CISOLUC Mean ---+---------+---------+---------+--------1 23.0 (-----*-----)2 25.3 (-----*-----)3 8.0 (-----*-----) ---+---------+---------+---------+-------- 6.0 12.0 18.0 24.0

Con análisis de residuos

RESP SOLUC DIA RESI1 FITS113 1 1 -2.58333 15.583322 1 2 1.08333 20.916718 1 3 1.75 16.2539 1 4 -0.25 39.2516 2 1 -1.83333 17.833324 2 2 0.83333 23.166717 2 3 -1.5 18.544 2 4 2.5 41.5

5 3 1 4.41667 0.58334 3 2 -1.91667 5.91671 3 3 -0.25 1.25

22 3 4 -2.25 24.25

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Y PRUEBA DE LA REGRESIÓN

Del modelo general de la regresión se tiene:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

0

1

2

No

rma

l S

core

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is RESP)

μ¨= y ..

τ ï= y i .− y ..−−−−para . i=1,2 , . .. . , a

β¨ j= y . j− y . .−−para . j=1,2 , .. . .b

y ïj= yi .+ y . j− y . .


Página 04/17/2023

μ¨= y ..

τ ï= y i .− y ..−−−−para . i=1,2 , . .. . , a

β¨ j= y . j− y . .−−para . j=1,2 , .. . .b

y ïj= yi .+ y . j− y . .

ANOVA 2 FACTORES (Webster) P. Reyes 04/17/2023

Página 04/17/2023

ANOVA DE DOS VIAS; DIRECCIONES O FACTORES

Se trata de bloquear un factor externo perturbador que posiblemente tenga efecto en la respuestapero que no hay interés en probar su influencia, sólo se bloquea para mininizar la variabilidad deeste factor externo, evitando que contamine la prueba de igualdad entre los tratamientos.

Los tratamientos se asignan a las columnas y los bloques a los renglones. Un bloque indicacondiciones similares de los sujetos al experimentar con diferentes tratamientos.

Suponiendo que se quiere investigar si la producción de tres diferentes máquinas es igual, tomando en cuenta la experiencia de los operadores a un nivel de significancia del 5%.

Experiencia MáquinasMaq 1 Maq 2 Maq 3 Prom.

1 27 21 25 24.33333 Ho1: No hay diferencia entre los Tratamientos2 31 33 35 33 Ha1: Caso contrario3 42 39 39 404 38 41 37 38.66667 Ho2: No hay diferencia en la productividad5 45 46 45 45.33333 debida a los años de experiencia

Proms. 36.6 36 36.2 36.26667 Ha2: Caso contrario

Los cálculos de SCT, SCTR, CMT y CMTR son similares a los del ANOVA de una víaLa diferencia es ahora que el término de error se divide en el témino CMBL correspondientea los bloques y determinado en forma similar que CMTR pero ahora para los renglonesy un término adicional de error SCE = SCT - SCTR - SCBL.

TABLA para determinar la suma de cuadrados totalSCT

Xij Media global27 36.2666731 36.2666742 36.26667 Tabla para calcular SCT38 36.26667 13 18.7545 36.26667 22 18.7521 36.26667 18 18.7533 36.26667 39 18.7539 36.26667 16 18.7541 36.26667 24 18.7546 36.26667 17 18.7525 36.26667 44 18.7535 36.26667 5 18.7539 36.26667 4 18.7537 36.26667 1 18.7545 36.26667 22 18.75

La tabla ANOVA queda como sigue:GL

SCT = 806.9333 14 CMT= 57.6381

SCTR= 0.933333 2 CMTR= 0.466667 Ftr=CMTR/CME= 0.090909

Ejemplo 1 de la página 290 del texto ESTADISTICA - Webster

de ops. En años


Página 04/17/2023

SCBL= 764.9333 4 CMBL= 191.2333 Fbl=CMBL/CME= 37.25325

SCE = 41.06667 8 CME= 5.133333=(r-1)*(c-1)

CONCLUSIONES: No hay diferencia en la producción de máquinas después de ajustar experienciaNo se rechaza Para bloques: La experiencia si influye No hay dif. Entre máquinas en la producción

Fm Fexcel = 4.46 Fexcel=3.84 Fm

Caso de tratamientos: Caso de bloqueses el factor de interés factor externo bloqueado a probar, en este caso experiencia de los operadoresla producción entre diferentes se trata de que no contaminemáquinas 1, 2 y 3 la prueba de diferencia ente máquinas


Página 04/17/2023

Ho1: No hay diferencia entre los Tratamientos

Ho2: No hay diferencia en la productividad debida a los años de experiencia

F0.05,2,84.46


Página 04/17/2023

3.84F0.05,4,8

Para bloques: La experiencia si influye

la prueba de diferencia ente máquinas

CUADRADO LATINO (Webster) P. Reyes 04/17/2023

Página 11

CUADRADO LATINO

Es un diseño que permite bloquear dos factores externos, minimizando su variabilidad y efecto en laprueba de efecto del factor de tratamiento de interés, para evitar contaminar la prueba en el factor de interés.

Del ejemplo 1, si además de la experiencia influye la hora del día por cansancio del operador, y lo que nosinteresa probar la producción de las tres máquinas pero considerando estos dos factores externos, se tiene:

En cada celda se requiere sólo un elemento por tratamiento. Con una letra por col. el dis. es Ortogonal

Si hay r tratamientos, se tiene r x r elementos para el bloqueo de los dos factores o variables, de ahí el. término de CUADRADO y LATINO porque se utilizan las letras látinas A, B, C, etc. para los tratamientos.La letra latina sólo aparece una vez por cada columna.En el ejemplo 1, ahora se toman tres operadores con 3 niveles de experiencia y trabajando en 3 turnos detrabajo. Las 3 máquinas se identifican como A, B y C. A continuación se muestra el diseño:

TurnoEmpleado Mañana Tarde Noche Total filas

1 B/15 A/18 C/11 44

2 C/12 B/20 A/9 41

3 A/17 C/19 B/10 46

Total columnas 44 57 30 131Suma A 44 Suma B 45 Suma C 42

CALCULOS:

Suma .de .cuadrados .del .bloque .de . filas : . . . .. . . .. SCBF=∑ ( suma .de . la . fila )2

r−

(∑ X i)2

r2; . .. . . .gl=r−1

SCBF=(44 )2+(41 )2+(46 )2

3−

(131 )2

32=4 .222

Suma .de .cuadrados .del .bloque .de .columnas : .SCBC=∑ ( suma .de . la .columna )2

r−

(∑ X i)2

r2; . . gl=c−1

SCBC=( 44 )2+(57)2+(30 )2

3−

(131 )2

32=121.5556

Suma .de .cudrados .del . tratamiento . . .. . . .. . . .. . . .. . SCTR=∑ (suma .de .TRT i )

2

r−

(∑ X i)2

r2; . .gl=trat .−1

SCTR=(44 )2+(45 )2+(42)2

3−

(131)2

32=1 .5556

Suma .de .cuadrados . total .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .SCT=∑ (X i )2−

(∑ X i)2

r2; .. . . .gl .=n−1

SCT=(15)2+(12)2+(17 )2+. . .. . . .. .+(10)2−(131)2

32=138 .22

SCE=SCT−SCTR−SCBC−SCBFSCE=138 .22−1 .5556−121 .5556−4 .222=10 .890


Página 12

TABLA DE ANOVA PARA EL CUADRADO LATINO:

Fuente de Suma Grados Cuadrado Valor deVariación cuadrados libertad medio F

Bloques de 4.222 2 2.111 0.3877fila

Bloques de 121.555 2 60.778 11.1621columna

Tratamientos 1.555 2 0.7775 0.1428

Error 10.89 2 5.445

Total 138.222

CONCLUSIÖN: No se rechaza Ho

Ho: Las producciones de las máquinas son iguales, después de considerar el turno de trabajo y la experiencia del trabajador

Ejemplo 4.3 pág. 144 del texto de MontgomeryProblema de la carga propulsora en función de las formulaciones A-F, considerando los operadores y los lotes de materia prima, cuyo efecto se quiere minimizar. Representan dos factores perturbadoreso dos restricciones sobre la aleatorización.

OperadoresLotes MP 1 2 3 4 5

1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=24 Gl. = p-1

2 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36 Con p lados del

3 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21 cuadrado

4 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22

5 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31

Restado 25 a cada observación y haciendo los cálculos del ANOVA, se tiene:

OperadoresLotes MP 1 2 3 4 5 Totales Yi..

1 A=-1 B=-5 C=-6 D=-1 E=-1 -14

2 B=-8 C=-1 D=5 E=2 A=11 9

3 C=-7 D=13 E=1 A=2 B=-4 5

4 D=1 E=6 A=1 B=-2 C=-3 3

5 E=-3 A=5 B=-5 C=4 D=6 7


Página 13

Total Y..k -18 18 -4 5 9 y.. = 10

CALCULOS

Totales por letraA y.1 18B y.2 -24C y.3 -13D y.4 24E y.5 5

Los grados de libertad se calculan como p - 1 (con p = 5)

Fuente de Suma de Grados de Cuadradovariación cuadrados libertad medio Fo Valor PFormulación 330 4 82.5 7.73 0.0025Lotes de MP 68 4 17Operadores 150 4 37.5Error 128 12 10.67 Total 676 24

CONCLUSIÓNLas formulaciones tienen un efecto significativo en la respuestadespués de considerar los lotes de materias primas y los operadores

SST=∑i∑j∑k

y ijk2 −

y ..2

N=680−

(10)2

25=676

SSLOTES=1p∑i=1

p

y i . .2 −

y ..2

N=15

[(−14 )2+92+52+32+72]−(10)2

25=68

SSOPERADORES=1p∑k=1

p

y . .k2 −

y. .2

N=15

[(−18 )2+182+(−4 )2+52+92 ]−(10 )2

25=150

SSFORMULACIONES=1p∑j=1

p

y . j .2 −

y. .2

N=15

[182+(−24 )2+(−13)2+242+52 ]−(10 )2

25=330

SSE=SST−SSLOTES−SSOPERADORES−SSFORMULACIONES=676−68−150−330=128

CURADRADO GRECOLATINO P. Reyes 04/17/2023

Página 14

CUADRADO GRECOLATINO

Es un diseño que permite bloquear tres factores externos, minimizando su variabilidad y efecto en laprueba de efecto del factor de tratamiento de interés, para evitar contaminar la prueba en el factor de interés.

Es un diseño en tres direcciones, permite la investigación de cuatro factores (renglones, columnas, letras latinas yletras griegas).

Del ejemplo 4.3 de cuadrado latino, si se agrega un factor adicional como los montajes de prueba, si a loscinco montajes de prueba se les denomina por las letras griegas alfa, beta, gama, delta y épsilon se tiene el siguientediseño:

Operadores

Lotes MP 1 2 3 4 5

1 Aa=-1 Bc=-5 Ce=-6 Db=-1 Ed=-1

2 Bb=-8 Cd=-1 Da=5 Ec=2 Ae=11

3 Cc=-7 De=13 Eb=1 Ad=2 Ba=-4

4 Dd=1 Ea=6 Ac=1 Be=-2 Cb=-3

5 Ee=-3 Ab=5 Bd=-5 Ca=4 Dc=6

Los valores de SStotal, SSlotes, SS de operadores y SS de formulaciones, son iguales a los ejemplo 4.3

Sstotal = 330 SSlotes =68 SSoperadores = 150 SSformulaciones = 330

Lo que cambia es que el error ahora se divide en la suma de cuadrados de los montajes de prueba y el error mismo

CURADRADO GRECOLATINO P. Reyes 04/17/2023

Página 15

Letra griega Total prueba

a= alfa y..1. = 10b= beta y..2. = - 6c= gama y..3.= - 3d = delta y..4.= - 4e = épsilon y..5.= 13

La tabla de ANOVA queda como:

Fuente de Suma de Grados de Cuadradovariación cuadrados libertad medio Fo Valor de P

Formulaciones 330 4 82.5 10 0.0033

Lotes de MP 68 4 17

Operadores 150 4 37.5

Montajes Prueba 62 4 15.5

Error 66 8 8.25

Total 676 24

CONCLUSIÓN: Las formulaciones tienen un efecto significativo en la respuestadespués de considerar los lotes de materias primas, los operadores y los montajes de prueba

SSENSAMBLAJES=1p∑k=1

p

y ..k .2 −

y .. . .2

N=15

[102+(−6 )2+(−3 )2+(−4 )2+132]−(10)2

25=62

SSERROR=SST−SSLOTES−SSOPERAD−SSFORMULACIONES−SSMET .ENSAMBLE=66

copia de teoria anova dos factores

Documents