coordenadas y poligonales

7/26/2019 Coordenadas y Poligonales

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COORDENADAS Y POLIGONALES

Para poder representar la superficie terrestre, la topografa requiere de recopilar informacin desde

terreno a travs de instrumentos cuya funcin ms simple es realizar mediciones de distancias yngulos.

Estos dos elementos permiten relacionar entre s puntos estratgicos de inters, pertenecientes a lasuperficie terrestre. Para posicionar estos puntos en un plano a travs de coordenadas planas(utilizando la base de los planos cartesianos de matemticas), se debe utilizar uno o dos datosiniciales de manera de poder referir esta informacin a un plano con orientacin universal (Norte-Este).

Es as, que a partir de la teora bsica de posicionamiento de puntos en plano se aplicarn mtodos demasificacin de coordenadas con el objetivo de representar estos puntos de inters en un plano.

DETERMINACIN DE COORDENADAS DE UN PUNTO A TRAVS DE DH Y AZIMUT

Conociendo el posicionamiento de un punto, coordenadas NorteEste iniciales, se puede determinarel posicionamiento de un segundo (o varios puntos, ya sea el caso), conociendo el azimut y DH de lalnea formada por ambos puntos, basndose en la aplicacin de trigonometra y la definicin delCoseno y Seno de un ngulo.

Coordenadas Parciales

Siendo O un punto de Coordenadas Conocidas y P un punto de coordenadas pordeterminar, se tiene que:

E

N DH

Se define:

Cos () = cateto adyacenteHipotenusa

Cos () = N => N= DH*Cos ()DH

Sen () = cateto opuestoHipotenusa

Sen () = E => E= DH*Sen ()DH


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En donde N y E se conocen en lenguaje tcnico como CPN y CPE respectivamente, esdecir Coordenada Parcial Norte y Coordenada Parcial Este.

En resumen las Coordenadas Parciales (Norte y Este) se definen como la distancia

parcial existente entre un punto y otro, referida al eje Norte y al eje Este. Quedando sudeterminacin a cargo de las frmulas:

CPN= DH*Cos () CPE= DH*Sen ()

Coordenada Parcial Coordenada ParcialNorte Este

Observaciones:

1.- Los valores de CPN y CPE, se presentan positivos o negativos dependiendodirectamente del cuadrante en donde se ubique el punto a determinar coordenadas,respecto al punto de coordenadas conocidas.

IV Cuadrante I CuadranteCPN ( + ) CPN ( + )CPE ( - ) CPE ( + )

Punto CoordenadasConocidas

III Cuadrante II Cuadrante

CPN ( - ) CPN ( - )CPE ( - ) CPE ( + )

2.- Dado que las coordenadas parciales consideran valores lineales y angulares al serdeterminadas se debe tomar en cuenta las unidades en las cuales se presentan estosvalores. En general, las coordenadas se trabajan en metros, convirtindose esta unidad en

la unidad de trabajo para los clculos requeridos. Respecto a las unidades angulares, estasdeben ser trabajadas acorde al sistema angular en las que se presentan y, obviamente,utilizar la calculadora en el modo apropiado.

3.- Es importante recordar que el punto de coordenadas conocidas y el punto a coordenar,deben relacionarse directamente a travs de las DH y el Azimut, siguiendo siempre ladireccin de entrega de coordenadas, es decir si A es el punto conocido y B el punto decoordenadas a determinar la DH y el Azimut deben estar definidos de A a B.


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Coordenadas Totales

Siendo O un punto de Coordenadas Conocidas y P un punto de coordenadas por

determinar, se tiene que:

CPE

CPN

Se define:

CTNP= CTNO +CPN OPCoordenadas Totales Norte

CTEP= CTEO +CPE OP

Coordenadas Totales Norte

En donde CTN y CTE se conocen en lenguaje tcnico como Coordenadas Totales Norte yCoordenadas Totales Este respectivamente y se definen como la distancia existente de unpunto desde el origen en direccin del eje Norte y del eje Este.

En el uso comn, en topografa solo se hace referencia a Coordenadas y mayormente nose diferencian de las parciales salvo el caso de planillas de determinacin de coordenadas,que en general no son de uso comn en la entrega de informacin.

Cabe estacar que si bien la frmula considera una suma, al ser aplicada se debe tomar encuenta el signo de la CP.

Ejemplo.-

Dadas las coordenadas del punto A, se requiere coordenar B, conociendo AB = 215,3245g yDHAB = 250 mts.

Punto Coordenadas

Norte EsteA 2551,361 1385,614


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Determinacin Coordenadas Norte

CPNAB= DH*Cos ()

CPNAB

= 250* Cos 215,3245g

CPNAB= -242,792

CTNB = CTNA+ CPNAB

CTNB= 2551,361

242,792

CTNB= 2308,569

Determinacin Coordenadas Este

CPEAB = DH*Sen ()

CPEAB = 250* Sen 215,3245g

CPEAB = -59,600

CTEB = CTEA+ CPEAB

CTEB= 1385,61459,600

CTEB= 1326,014

Observacin: se puede conocer cules sern los signos de las CP, dado que el azimutpertenece al III Cuadrante, es decir el punto a coordenar se encuentra en direccin S-W del punto conocido, por lo tanto las coordenadas Norte y Este disminuyen.

DETERMINACIN DE COORDENADAS EN UNA POLIGONAL CERRADA

Una poligonal cerrada, un polgono de apoyo que se utiliza en Topografa para realizar levantamientosextensos en donde es necesario tener varios puntos de coordenadas conocidas en el sector a estudiar.

Esta figura geomtrica nos permite minimizar errores al asignar coordenadas a sus vrticesasegurndose, de esta manera, que estos puntos podrn ser usados como puntos de referencia paraposteriores trabajos o para un trabajo de levantamiento con posicionamiento de puntos ms precisos.

MATERIALIZACIN DE LA POLIGONAL EN TERRENO

La metodologa requiere de materializar puntos en terreno, los cuales sern los vrtices de lapoligonal llamados Estaciones, de manera que en cada Estacin se pueda visualizar la estacin

anterior y la siguiente.

Esto es requerido ya que con el instrumento topogrfico se requiere determinar el ngulo entrelos lados de la Estacin y las distancias de esta a las otras dos estaciones.

La medicin de estos ngulos consiste en instalar el instrumento en una estacin, determinar unngulo horizontal cero en la estacin anterior (calaje) y medir el ngulo horizontal a la estacinsiguiente.


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Para la determinacin de las distancias, depende directamente del instrumento a utilizar, ya quealgunos solo miden ngulos (taqumetro) y otros por el contrario entregan informacin dedistancias y coordenadas sumadas a estos valores angulares (Estacin Total).

Para la realizacin de los clculos de coordenadas es necesario contar con un vrtice decoordenadas conocidas y adems de un azimut inicial, con el cual poder asignar Azimutes alresto de los lados de la poligonal. Estos parmetros pueden ser determinados desde terreno coninstrumentos bsicos (brjula y GPS) o trabajar en base a puntos de coordenadas pre-determinadas como parte de la poligonal (calculando el valor del azimut y utilizando una deestas coordenadas como inicial).

DETERMINACIN DE COORDENADAS

La ventaja que posee el trabajo con poligonales cerradas es su capacidad de compensar suserrores de cierre angular y lineal. Se debe recordar que un polgono cerrado tiene un valordeterminado para la suma de sus ngulos y tambin sus lados se rigen por geometra depolgonos, estando en relacin estrecha con sus valores angulares.

Error de Cierre Angular

El error de cierre angular es la diferencia en la sumatoria de los ngulos medidos enterreno con el valor terico que debera tener dicha sumatoria por conceptosgeomtricos.

Valor Terico

ng. Interiores = 2* R * (n-2)ng. Exteriores = 2* R * (n+2) Donde R= ngulo Recto (90 o 100g)

N = n de lados del polgono

Valor Prctico

Es la suma de los ngulos interiores o exteriores (sea el caso), medidos en terreno.


eangular= Valor Terico - Valor Prctico

Correccin Angular

Correccin Angular = eangular / n ngulos horizontales


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ngulos Corregidos

ngulos Corregidos = Valor angular + Correccin Angular

Se puede comprobar si esta correcta la correccin sumando los valores angularescorregidos nuevamente. Esta suma debe ser igual al valor terico determinado.

Es a travs de estos valores angulares corregidos que se determinan los Azimutes de los ladosde poligonal, utilizando las frmulas de azimut inverso y azimut siguiente, dependiendo de ladireccin del clculo.

Inverso = Directo 2 ngulos Rectos

siguiente = anterior + Hz corregido

Con estos Azimutes ms la DH, se pueden determinar las Coordenadas Parciales de las lneasque forman la poligonal (sus lados), utilizando las frmulas de CPN y CPE.


Error de Cierre Lineal

El error de cierre lineal est asociado a la suma de los lados de la poligonal pero dado queestas distancias estn orientadas al eje Norte y Este, se subdivide en dos partes.

Valor Terico

Por geometra de polgonos se asume que:

CPN = 0 CPE = 0

Valor Prctico

Es la suma de las CPN y CPE por separado, considerando el signo que estas presentan.


elineal= [ ( CPN )2 + ( CPE )2 ]


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Correccin Lineal

Factor de Correccin

Factor Norte = CPN / CPN Factor de Correccin

Factor Este = CPE / CPE

Observacin

1.

El factor de correccin no lleva signo, independientemente del signo de lasuma de las CP.

Correccin Coordenadas Parcial (CCPN-CCPE)

CCPN i= CPN i* Factor NorteCorreccin

CCPE i= CPE i* Factor Este

Observaciones:

1. La correccin de las CP, lleva signo contrario a la suma de CP utilizada en el

clculo del factor, independientemente del signo de la CPN a la cual semultiplica.

2.

Si estuvieran bien calculadas, al ser sumadas deben dar el mismo valor de lasuma de las CP considerando su signo.

Coordenadas Parciales Corregidas (CPNCCPEC)

CPNC i= CPN i+ CCPNiCP CorregidasCPEC i= CPE i+ CCPEi

Observaciones:

1.

Para estas sumas se debe considerar los signos de ambos valores CP y CCP.


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2. Tambin se puede comprobar si la correccin en cuestin fue bien aplicada ya que elal sumar las CP corregidas el valor final debe dar 0 para ambos ejes.

Son estos valores de Coordenadas Parciales corregidas las que se utilizan para determinar las

Coordenadas Totales de los vrtices de la poligonal, utilizando las frmulas:

CTNi= CTNi-1 +CPN i CTEi= CTEi-1 +CPE i

Ejemplos.-

1.

Al generar una poligonal cerrada como Red de Referencia, se determinaron los siguientesdatos:

CB = 165,2446g Coordenadas Punto B: N 4210 ; E 3520

EST PTO ANG. HORIZ DH

A D 0

B 40,1163 44,984

B A 0

C 82,3172 47,253

C B 0

D 29,5034 26,036

D C 0

A 248,063 33,699

a)

Determinar el Error Angular y Compensarlo.b)

Determinar valores de Azimutes para las lneas que conforman la poligonal.c)

Determinar Coordenadas Parciales de la poligonal.d) Determinar el Error Lineal y Compensarlo.e) Determinar Coordenadas Totales de la poligonal.

Solucin:

a) Determinar el Error Angular y Compensarlo.

Valor Terico

ng. Interiores = 2* R * (n-2) = 2*100*2ng. Interiores = 400g


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Valor Prctico

ng. Interiores = 399,9999g


eangular= Valor Terico - Valor Prcticoeangular= 400

g - 399,9999g

eangular= 0,0001g

Correccin Angular

Correccin Angular = eangular / n ngulos horizontalesCorreccin Angular = 0,0001g/ 4Correccin Angular = + 0,000025g

ngulos Corregidos

ngulos Corregidos = Valor angular + Correccin Angular

EST PTO ANG.HORIZ ANG. HORIZ. CORRE. DH

A D 0

B 40,1163 = 40,1163+ 0,000025 = 40,116325 44,984

B A 0

C 82,3172 = 82,3172+0,000025 = 82,317225 47,253

C B 0

D 29,5034 = 29,5034 + 0,000025 = 29,503425 26,036

D C 0

A 248,063 = 248,0630+0,000025 = 248,063025 33,699

Suma ngulos Horizontales 399,9999 400Error Angular 0,000100

Correccin Angular 0,000025

Comprobacin

ng. Interiores = 40,116325g+ 82,317225g+ 29,503425g+ 248,0630025gng. Interiores = 400g


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En resumen:

EST PTOANG.HORIZ ANG. HORIZ. CORRE. DH

A D 0 --------- ---------

B 40,1163 40,116325 44,984

B A 0 --------- ---------

C 82,3172 82,317225 47,253

C B 0 --------- ---------

D 29,5034 29,503425 26,036

D C 0 --------- ---------

A 248,063 248,063025 33,699

Suma ngulos Horizontales 399,9999 400Error Angular 0,000100


b)

Determinar valores de Azimutes para las lneas que conforman la poligonal.

CB = 165,2446g

Sugerencia: A partir del Azimut inicial se debe identificar qu clase de azimut es el qu

se est pidiendo, es decir, si el azimut a calcular es el azimut siguiente en la ruta deavance de la poligonal o si, en su defecto, es el azimut inverso de la lnea calculadaanteriormente.

Inverso = Directo 2 ngulos Rectossiguiente = anterior + Hz corregido

EST PTO ANG. HORIZ ANG. HORIZ. CORRE. AZIMUT

A D 0 242,811050200 = 42,811050 inverso

B 40,1163 40,116325 42,811050 + 40,116325 = 82,927375 siguienteB A 0 82,927375 + 200 = 282,927375 inverso

C 82,3172 82,317225 282,927375+ 82,317225 = 365,244600 siguiente

C B 0 165,244600 inverso

D 29,5034 29,503425 165,24460 + 29,503425 = 194,748025 siguiente

D C 0 194,748025+200 = 394,748025 inverso

A 248,063 248,063025 394,748025+ 248,063025 = 242,811050 siguiente


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Comprobacin

Para comprobar los clculos se debe re-calcular el azimut inicial a travs del valor delltimo azimut, en teora si los clculos estn correctos este valor calculado debera ser

el mismo que el azimut ingresado a la planilla de clculo desde terreno.

CB = 165,24460g 200g = 165,244600g (Azimut Inverso)

En resumen:

EST PTO ANG. HORIZ ANG. HORIZ. CORRE. DH AZIMUT

A D 0 --------- --------- 42,811050

B 40,1163 40,116325 44,984 82,927375

B A 0 --------- --------- 282,927375

C 82,3172 82,317225 47,253 365,244600C B 0 --------- --------- 165,2446000

D 29,5034 29,503425 26,036 194,748025

D C 0 --------- --------- 394,748025

A 248,063 248,063025 33,699 242,811050

Suma ngulos Horizontales 399,9999 400

Error Angular 0,000100


c)

Determinar Coordenadas Parciales de la poligonal.


EST PTO ANG. HORIZ ANG. HORIZ. CORRE. DH AZIMUT CPN CPE

A D 0 42,811050

B 40,1163 40,116325 44,984 82,927375 11,920 43,376

B A 0 282,927375

C 82,3172 82,317225 47,253 365,244600 40,384 -24,535

C B 0 165,244600

D 29,5034 29,503425 26,036 194,748025 -25,947 2,145

D C 0 394,748025

A 248,063 248,063025 33,699 242,811050 -26,362 -20,992

Suma ng. Horizontales 399,9999 400

Error Angular 0,000100



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d) Determinar el Error Lineal y Compensarlo.

Valor Terico CPN = 0 CPE = 0

Valor Prctico CPN = -0,006 CPE = -0,005

Valor Absoluto CPN = 104,614 CPE = 91,048


elineal= [ ( CPN )2 + ( CPE )2 ]

elineal= [ ( -0,006 )2 + ( -0,005 )2 ]

elineal= 0,0076 mts.

Factor de Correccin

Factor Norte = CPN / CPN Factor Norte = -0,006 / 104,614Factor Norte = -0,0000542

Factor de CorreccinFactor Este = CPE / CPE Factor Este = -0,005 / 91,048Factor Este = -0,0000547

En resumen:

EST PTO ANG. HORIZ ANG. HORIZ. CORRE. DH AZIMUT CPN CPE

A D 0 --------- --------- 42,811050 --------- ---------

B 40,1163 40,116325 44,984 82,927375 11,920 43,376

B A 0 --------- --------- 282,927375 --------- ---------

C 82,3172 82,317225 47,253 365,244600 40,384 -24,535

C B 0 --------- --------- 165,244600 --------- ---------

D 29,5034 29,503425 26,036 194,748025 -25,947 2,145

D C 0 --------- --------- 394,748025 --------- ---------

A 248,063 248,063025 33,699 242,811050 -26,362 -20,992

Suma Ang. Horizontales 399,9999 400 Suma CP -0,006 -0,005

Error Angular 0,000100 Suma CP Valor Absoluto 104,614 91,048

Correc. Angular 0,000025 Factor de Correccin -0,0000542 -0,0000547


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Correccin Coordenadas Parcial (CCPN-CCPE)

CCPN i= CPN i* Factor NorteCorreccin

CCPE i= CPE i* Factor Este

Observacin: Recordar que el signo delas Correcciones CP es siempre contrario

al signo del error.

EST PTO CPN CPE CCPN CCPE

A D

B 11,920 43,376 11,920*-0,0000542 =0,0006 11,920*-0,0000547=0,0024

B A

C 40,384 -24,535 40,384*-0,0000542 = 0,0022 11,920*-0,0000547=0,0013

C B

D -25,947 2,145 -25,947*-0,0000542 = 0,0014 11,920*-0,0000547=0,0001D C

A -26,362 -20,992 -26,362*-0,0000542 = 0,0014 11,920*-0,0000547=0,0011

Suma CP -0,006 -0,005 0,006 0,005

Suma CP Valor Abs. 104,614 91,048

Factor de Correc. -0,0000542 -0,0000547

Comprobacin

Para comprobar los clculos de CCP, se debe sumar los valores, el resultado debe ser el

mismo valor del error por ejes, pero con signo contrario. Se debe recordar que es unacompensacin.

En resumen:

EST PTO CPN CPE CCPN CCPE

A D --------- --------- --------- ---------

B 11,920 43,376 0,0006 0,0024

B A --------- --------- --------- ---------

C 40,384 -24,535 0,0022 0,0013

C B --------- --------- --------- ---------

D -25,947 2,145 0,0014 0,0001

D C --------- --------- --------- ---------

A -26,362 -20,992 0,0014 0,0011

Suma CP -0,006 -0,005 0,006 0,005


Factor de Correc. -0,0000542 -0,0000547


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Coordenadas Parciales Corregidas (CPNCCPEC)

CPNC i= CPN i+ CCPNiCP Corregidas

CPEC i= CPE i+ CCPEi

Observacin: Recordar que las Correcciones CP se suman considerando el signo.

EST PTO CPN CPE CCPN CCPE CPNC CPEC

A D

B 11,920 43,376 0,0006 0,0024 11,920+0,0006= 11,920 43,376+0,0024= 43,378

B A

C 40,384 -24,535 0,0022 0,0013 40,384+0,0022= 40,387 -24,535+0,0013= -24,533

C BD -25,947 2,145 0,0014 0,0001 -25,947+0,0014= -25,946 2,145+0,0001= 2,146

D C

A -26,362 -20,992 0,0014 0,0011 -26,362+0,0014= -26,361 -20,992+0,0011= -20,991

Suma CP -0,006 -0,005 0,006 0,005 0,000 0,000


Factor de Correc. -0,0000542 -0,0000547

Comprobacin

Para comprobar los clculos de CP Corregidas, se debe sumar los valores, el resultadodebe el valor terico (cero).

En resumen:

EST PTO CPN CPE CCPN CCPE CPNC CPEC

A D --------- --------- --------- --------- --------- ---------

B 11,920 43,376 0,0006 0,0024 11,920 43,378

B A --------- --------- --------- --------- --------- ---------

C 40,384 -24,535 0,0022 0,0013 40,387 -24,533

C B --------- --------- --------- --------- --------- ---------

D -25,947 2,145 0,0014 0,0001 -25,946 2,146

D C --------- --------- --------- --------- --------- ---------

A -26,362 -20,992 0,0014 0,0011 --26,361 -20,991

Suma CP -0,006 -0,005 0,006 0,005 0,000 0,000


Factor de Correc. -0,0000542 -0,0000547


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e) Determinar Coordenadas Totales de la poligonal.

Coordenadas Punto B: N 4210 ; E 3520

CTNi= CTNi-1 +CPN iCoordenadas Totales

CTEi= CTEi-1 +CPE i

EST PTO CPNC CPEC CTN CTE

A D

B 11,920 43,378 4210,000 3520,000

B A

C 40,387 -24,533 4200,000+40,387= 4250,387 3520,000 -24,533 = 3495,467C B

D -25,946 2,146 4250,387-25,946 = 4224,441 3495,467+2,146 = 3497,612

D C

A -26,361 -20,991 4224,441-26,361 = 4198,080 3497,612-20,991 = 3476,622

0,000 0,000

Comprobacin

Para comprobar los clculos realizados, se debe re-calcular el valor de las Coordenadas

iniciales con los datos de planilla de clculo. El resultado obtenido debera dar el mismovalor de las Coordenadas Totales Iniciales obtenidas desde terreno.

En resumen:

EST PTO CPN CPE CCPN CCPE CPNC CPEC CTN CTE

A D

B 11,920 43,376 0,0006 0,0024 11,920 43,378 4210,000 3520,000

B A

C 40,384 -24,535 0,0022 0,0013 40,387 -24,533 4250,387 3495,467

C BD -25,947 2,145 0,0014 0,0001 -25,946 2,146 4224,441 3497,612

D C

A -26,362 -20,992 0,0014 0,0011 -26,361 -20,991 4198,080 3476,622

-0,006 -0,005 0,006 0,005 0,000 0,000

104,614 91,048

-0,0000542 -0,0000547

coordenadas y poligonales

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