•COORDENADAS EN EL PLANO

PRÁCTICO REFERIDO A :COORDENADAS EN EL PLANO- CARTESIANAS Y

POLARES

1-Hallar las coordenadas polares del punto “P” cuyas coordenadas rectangulares son ( 3; - 5). Graficar.

R: (5,831; 300º57’50”)

P(3; -5) P(3; -5)

α 270º

ρ

ρ= 34))5(3()( 2222 YX

ß= arc. Tg.

ß= - 59º02´10,48”

3

5

ß

El ángulo esta en el 4º cuadrante por lo tanto deberá medir mas de 270º. Entonces a 360º le resto el valor obtenido de ß y así tendré el ángulo α.

α= 360º- | 59º02´10,48”|= 300º57’50”

Dadas las coordenadas polares de los vértices de un triángulo ABC. Determinar las coordenadas cartesianas de los vértices y calcular, aplicando la fórmula de Herón, el área del mismo. Graficar. Datos: A (2,83; 45º) ; B( 10 ; 53,13º) ; C(11,18; 26,56º)

SOLUCIÓN:

CALCULAMOS LAS COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS:CALCULAMOS LAS COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS:

Punto A (2,83; 45º)

X= ρ.cos α

Y= ρ.sen α

X= 2,83. cos 45º

y= 2,83. sen 45º

X=2

y=2

A (2;2)

Punto B (10; 53,13º)

X= ρ.cos α

Y= ρ.sen α

X= 10. cos 53,13º

y= 10. sen 53,13º

B(6;8)

X=6

y=8

Punto C (11,18; 26,56º)

X= ρ.cos α

Y= ρ.sen α

X= 11,18. cos 26,56º

y= 11,18. sen 26,56º

X=10

y= 5

B(10;5)

•Para aplicar la fórmula de Heron necesitamos conocer la longitud de los lados

• Para aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos necesito las coordenadas cartesianas de esos puntos.

)).().(.( cpbpapp

2-Aplicando la fórmula de Heron resulta:

200,18)733776,10).(53776,10).(523776,10(3776,10 mmmmmmmm

mcba

p 3776,102

73

2

5

2

52

2

1-Calculo las longitudes de 1-Calculo las longitudes de los lados:los lados:

)).().(.( cpbpapp

|AB| = | (6 –2 )2 + (8-2)2 | =

|BC| = | (10 –6 )2 + (5-8)2 | = 5

|CA| = | (10 –2 )2 + (5 - 2)2 | =

52

73

Dadas las coordenadas polares de los vértices de un triángulo ABC. Determinar las coordenadas cartesianas de los vértices y calcular, aplicando la fórmula de Herón, el área del mismo. Graficar. Datos: A (2,83; 45º) ; B( 10 ; 53,13º) ; C(11,18; 26,56º)

Para replantear una pileta de planta circular se conocen como datos las coordenadas Para replantear una pileta de planta circular se conocen como datos las coordenadas polares del centro polares del centro C(3,61; 326°18´36´´) C(3,61; 326°18´36´´) y un punto perteneciente a la circunferencia y un punto perteneciente a la circunferencia exterior exterior P( ;303°41´24´´)P( ;303°41´24´´). Calcular: ¿Cuántos m3 tendrá la pared perimetral de la . Calcular: ¿Cuántos m3 tendrá la pared perimetral de la misma si el misma si el espesor es de 45 cm y la altura de 2,30espesor es de 45 cm y la altura de 2,30 m. Graficar en planta refiriéndose m. Graficar en planta refiriéndose a un sistema de ejes cartesianos.a un sistema de ejes cartesianos.R: 25,355 m3R: 25,355 m3

Solución:Solución:

Vol. Pared perimetral= Sup. Corona circular x altura

Sup. Corona circular = ¶(R2) 2- ¶(R1) 2=

1- Calculo R2: XXCC= 3,61XCOS 326º18´36”= 3= 3,61XCOS 326º18´36”= 3

YYCC= 3,61XSEN 326º18´36”= -2= 3,61XSEN 326º18´36”= -2

52

C(3,61; 326°18´36´´)C(3,61; 326°18´36´´)

P( ;303°41´24´´)P( ;303°41´24´´)..52 XXPP= XCOS 303º41´24”=4= XCOS 303º41´24”=4

YYPP= XSEN 303º41´24”== XSEN 303º41´24”= -6

52

52

C(3;-2) P(4;- 6)

R1

R2

45 cm

CP

R2= distancia de P a C R1= R2- 45cm Altura=2,3m

Para replantear una pileta de planta circular se conocen como datos las coordenadas Para replantear una pileta de planta circular se conocen como datos las coordenadas polares del centro polares del centro C(3,61; 326°18´36´´) C(3,61; 326°18´36´´) y un punto perteneciente a la circunferencia y un punto perteneciente a la circunferencia exterior exterior P( ;303°41´24´´)P( ;303°41´24´´). Calcular: ¿Cuántos m3 tendrá la pared perimetral de la . Calcular: ¿Cuántos m3 tendrá la pared perimetral de la misma si el misma si el espesor es de 45 cm y la altura de 2,30espesor es de 45 cm y la altura de 2,30 m. Graficar en planta refiriéndose m. Graficar en planta refiriéndose a un sistema de ejes cartesianos.a un sistema de ejes cartesianos.R: 25,355 m3R: 25,355 m3

52

C(3;-2) P(4;- 6)

R1

R2

45 cm

C

R1= R2 – 0,45m=4,1231m– 0,45m= 3,6731m

Sup. Corona circular = Sup. Corona circular = ¶(¶(4,1231)) 22- ¶(- ¶(3,6731) ) 22=11,021634m=11,021634m22

R2= |CP| = | (4 –3 )2 + (-6-(-2)2 | =4,1231m

Vol. Pared perimetral= 11,02163411,021634mm22x 2,3m= 25,349758m3

¿Cuál será la superficie de una lucera como la que se ve en el croquis si se conocen las coordenadas de los nudos A y B indicadas en el corte orientado en un sistema de ejes

coordenados?.A( 2,5; 36º52´11,63”) B(8,94; 26º33´54,18”)

R: Sup: 2,60 m2

1,20 m

1/3 de ABA

B

A

B

1/3 AB 1/3 AB

. Superficie de lucera= 1,20m x (1/3)AB= 1,2mx(1/3)6,5m= 2,6m

Solución:Solución:

Necesito el valor de AB, paso esos puntos a coordenadas cartesianas para poder aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos.

A:

X= 2,5xcos 36º52´11,63”=2

Y= 2,5 x sen 36º52´11,63”=1,50

B:

X= 8,94xcos 26º33´54,18”=8

Y= 8,94x sen 26º33´54,18”= 4

¿Cuál será la superficie de una lucera como la que se ve en el croquis si se conocen las coordenadas de los nudos A y B indicadas en el corte orientado en un sistema de ejes

coordenados?.A( 2,5; 36º52´11,63”) B(8,94; 26º33´54,18”)

1,20 m

1/3 de ABA

B

A

B

1/3 AB 1/3 AB

Solución:Solución:

A (2; 1,50) B(8;4) |AB| = | (8 –2 )2 + (4-1,5)2 | =6,5m

R: Sup: 2,60 m2

LA RECTA

• GRAFICACIÓN, INTERSECCIÓN CON EJES COORDENADOS.

• RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS• RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE• INTERSECCIÓN DE RECTAS.

Perpendicularidad• ÁNGULO ENTRE RECTAS. Paralelismo

y =

4x+6

1- Dada la ecuación y=4x+6 se pide:Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y.Verificar el coeficiente angular.Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas.

Puntos de intersección:• Para y=0, obtengo intersección con eje “x”•0= 4x+6•X= -6/4= -3/2

Puntos de intersección:• Para x=0, obtengo intersección con eje “y”•y= 4(0)+6•y=6

Puntos de Intersección:(0;6) (-1,5;0)

COEFICIENTE ANGULAR:(6/1,5)

y = (1/3)x+2

Coordenada “x” de intersección de la recta con eje “x”:• Para y=0, obtengo intersección con eje “x”•0= (1/3)x+2•X= -2.3= - 6

Coordenada “y” de intersección de la recta con eje “y”:• Para x=0, obtengo intersección con eje “y”•Y= (1/3)(0)+2•Y=2

Puntos de Intersección:Con eje “x” (-6;0)Con eje “y” (0;2)

COEFICIENTE ANGULAR:(2/-6)

1- Dada la ecuación y= (1/3)x+2 se pide:Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y.Verificar el coeficiente angular.Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas.

y = (-1/2)x –1

1- Dada la ecuación y=(-1/2)x-1 se pide:Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y.Verificar el coeficiente angular.Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas.

Puntos de intersección con eje “x”:• Para y=0, obtengo intersección con eje “x”•0=( -1/2)x-1•X= 1(-2)= -2

Puntos de intersección con eje “y”:• Para x=0, obtengo intersección con eje “y”•Y= (1/2)(0)-1•Y=-1

Puntos de Intersección:Con eje “y”(0;-1) Con eje “x”(-2;0)

COEFICIENTE ANGULAR:(1/2)

Dada la recta de ecuación 4X+ 2Y – 12 = 0 se pide: Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados. Determinar el valor de en grados, minutos y segundos.

R: 116º33’54”R: 116º33’54”

ß=Arc tg (6/3)= 63º26´5,82”α = 180º-63º26´5,82”=116º33’54”

SOLUCIÓN:

Es conveniente explicitar la ecuación despejando el valor de “y”

Y= -2x+6

Donde:“a”= -2 ; “b”=6

•Intersección con eje “x” donde “y”=0

•0= -2x+6 x=-6/-2=3

Punto int con eje “x” (3;0)

• Inters. Con eje “y” donde “x”=0

• y= -2(0)+6

•Y=6 punto inter. Con eje “y” (0;6)

ß α

X=3

Dada la ecuación x=3 se pide:Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y.Verificar el coeficiente angular.Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas.

Puntos de Intersección:(3;0)

COEFICIENTE ANGULAR:(1/0)

RECTA POR RECTA POR PUNTO Y PUNTO Y

PENDIENTEPENDIENTE

Hallar las ecuaciones de las rectas que satisfacen las siguientes condiciones, y el ángulo que forman con el eje de las “X”. Pasa por (0;2) y a = 3 R: Y = 3X+2 = 71º33’54,2”

Y= ax+bY= 3x+2

α= arc. tg.(3/1)= 71º33’54,2”3

1

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos A( 2; - 3) y B ( 4; 2) , graficarlas y hallar en cada caso la ecuación de la recta y el ángulo α :

Y= ax+bY= ax+b• Reemplazo “a” por su Reemplazo “a” por su valor.valor.•Reemplazo “ x” e “y” por Reemplazo “ x” e “y” por un punto perteneciente a un punto perteneciente a la recta (2;-3), “a”del la recta (2;-3), “a”del gráficoy despejo el valor gráficoy despejo el valor de “b”:de “b”:Por ejemplo el punto B:Por ejemplo el punto B:2= (5/2)4+b2= (5/2)4+bb=2-(5.4)/2= -8b=2-(5.4)/2= -8

Y = (5/2)X-8

α= arc tg(5/2)=68º11’54,9”

a= 5/2

R: Y = 5/2X-8 α = 68º11’54,9” 

5

2

Calcular analíticamente la altura h de la cumbrera de un techo

a dos aguas. El mismo se grafica en corte y referido a un sistema de coordenadas rectangulares. En base a los datos se pide:

-Deducir las ecuaciones de las rectas que pasan por las faldas graficadas.

-Hallar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.

-Graficar a escala.

RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE:

Y-Y1= a (X-X1)

Y-2,20= 1,20 (X-0)

Y= 1,20 X+2,20

RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE:

Y-Y1= a (X-X1)

Y-2,20= -1,5 (X-10)

Y= -1,50 X+15+2,20

Y= -1,50 X+17,20

i = 120%

Y1

Y2

B

10

2,20

Y= 1,

20 X

+2,2

0

Y= -1,50 X+17,20

Hallar las ecuaciones de las rectas que satisfacen las siguientes condiciones: Pasa por ( - 3; 5) y a = -2. El ángulo que forman con el eje de las “X”. Pasa por ( - 3; 5) y a = -2 R: Y = -2X-1 α = 116º33’54”

α = 116º33’54”

Y = -2X-1

Planteamos la ecuación:

y-y1=a(x-x1)

Reemplazo”x” e”y” por las coordenadas del punto (-3;5):

Y-5= (-2)(x-(-3))

Y= -2x-6+5

Y=-2x-1

Otra manera sería:

Y= ax+b

Reemplazo coordenadas y pendiente:

5= (-2)(-3)+b

b= 5-6= -1 luego

y= -2x-1

ß=Arc tg (2/1)= 63º26´5,82”α = 180º-63º26´5,82”=116º33’54”

αß

RECTA QUE RECTA QUE PASA POR DOS PASA POR DOS

PUNTOSPUNTOS

Dados los siguientes lugares geométricos, (definido cada uno de ellos por dos puntos que le pertenecen) , se sabe que corresponden a ecuaciones lineales o de 1º grado. Se pide ,a partir de los datos, deducir la expresión matemática (forma explícita).Pasa por los puntos P( 0; -1) y Q( 3;0). Graficar los puntos, la recta y hallar la ecuación pedida.

Q(3;0)

P(0;-1)

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:

PARA: Q (X1;Y1) P (X2;Y2)

)(

)(

)(

)(

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

)01(

)0(

)30(

)3(

yx

)3()1)(3( YX

)3(3 YX

YX

3

3

3

YX

13 YX

13

YX

13 YX

13

Otro camino

Y=ax+b

Reemplazo x e y por las coordenadas de un punto perteneciente a la recta:

0=a(3)+b

Reemplazo “a” por el valor de la pendiente:

a=1/3 y resulta

0=1/3(3)+b

b=-1 la ecuación será:

Pasa por los puntos M( 2;0) y N( 0;4). Graficar los puntos, la recta y dar la ecuación.

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:

PARA: M (X1;Y1) N (X2;Y2)

)(

)(

)(

)(

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

)04(

)0(

)20(

)2(

yx

)2()4)(2( YX

)2(84 YX

YX

2

8

2

4

YX 42 YX 42

YX 42 YX 42

Y=ax+b

Reemplazo x e y por las coordenadas de un punto perteneciente a la recta,el M(2;0) :

0=a(2)+b

Reemplazo “a” por el valor de la pendiente:

a=4/2 y resulta “a” un número negativo por ser el ángulo alfa mayor de 90º

0= -2(2)+b

b=4 la ecuación será:

Otro camino

Una vez obtenidas las ecuaciones de las rectas busco el punto de intersección entre ellas.Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:Y= 1,20 X+2,20Y= -1,50 X+17,20• Utilizando el método de igualación:•1,20 X+2,20= -1,50 X+17,20Despejo el valor de “x” que resulta:X= 5,55 reemplazo en una de las dos ecuaciones de las rectas y obtengo “y”= 8,86. Luego el punto será:Intersección (5,55; 8,86)

Calcular analíticamente la altura h de la cumbrera de un techo

a dos aguas. El mismo se grafica en corte y referido a un sistema de coordenadas rectangulares. En base a los datos se pide:

-Deducir las ecuaciones de las rectas que pasan por las faldas graficadas.

-Hallar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.

-Graficar a escala.

i = 120%

Y1

Y2

B

10

2,20

INTERSECCIÓNINTERSECCIÓN

DEDE

RECTASRECTAS•PERPENDICULARIDAD PERPENDICULARIDAD

Hallar el punto de intersección de las rectas ya e yb . Graficar cada recta verificando intersecciones con los ejes. Calcular ángulos . a) ya = (- 4/3) x + 3 b) yb= (½) x R: Intersección (1,636; 0,818); 1= 126º52’11,6” ; 2= 26º33’54,18”Se trata de resolver un sistema

de ecuaciones con dos incógnitas:ya =( - 4/3) x + 3yb= ½ x• Utilizando el método de igualación digo ya = yb :(-4/3) x + 3= ½ xDespejo el valor de “x” que resulta:

X= 1,636 reemplazo en una de las dos ecuaciones de las rectas y obtengo “y”= 0,818Luego el punto será:Intersección (1,636; 0,818);

ya = (- 4/3) x + 3

y b= (½) x

12-Se tienen en un corte a dos techos a dos aguas perpendiculares entre si según la gráfica. Se desea conocer las coordenadas del punto C

2

( 2; 2)

a

b

C

10135 º

X

Y

En primer lugar debemos encontrar las ecuaciones de las rectas “a” y “b” para luego hallar el punto C que es la intersección entre ambas rectas.

RECTA “a”:

Punto (2;2)

Pendiente : -1/tg 135º

RECTA “b”:

Punto (10;0)

Pendiente :tg 135º

y-y1= a(x-x1) y-2= -1/tg135(x-2) y= x-2+2 y=x

RECTA “a”: y=x

y-y1= a(x-x1) y-2= tg135(x-10) y= -x+10

RECTA “b”: y=-x+10

Gráfico orientativo sin escala

º135

1

tg

12-Se tienen en un corte a dos techos a dos aguas perpendiculares entre si según la gráfica. Se desea conocer las coordenadas del punto C

2

( 2; 2)

a

b

C

10135 º

X

Y

RECTA “a”: y=x

RECTA “b”: y=-x+10

Una vez obtenidas las ecuaciones de las rectas busco el punto de intersección entre ellas.Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:Y= xY= - X+2• Utilizando el método de igualación:•X= -X+10Despejo el valor de “x” que resulta:X= 5 reemplazo en una de las dos ecuaciones de las rectas y obtengo “y”=5. Luego el punto será:Intersección C(5;5)

C(5;5)

ÁNGULOÁNGULO

ENTREENTRE

RECTASRECTAS

8- Hallar el ángulo formado por las rectas y1 = 3/2 x – 1 e y2 = 1/3 x – 2. a- Graficar ambas rectas.Trazar las paralelas a las rectas dadas ( estas paralelas pasarán por el origen del sistema). R: = 37º52’29,94”

Ángulo entre rectas:

Arc tg(3/2)= 56,31º

Arc tg (1/3)= 18,43º

56,31º-18,43º= 37,87º= γ y 1 =

(3/2

) x –

1

y 2 =( 1/3) x – 2

ATENCIÓN:

La recta “a” es paralela a la recta “c” porque tienen la misma pendiente

Y=

(3/2

)x