Seales y SistemasTema II: Respuesta de Sistemas LTI en el dominio

del tiempoEn este captulo desarrollaremos las propiedades fundamentales de la relacin

entrada-salida para sistemas LTI. Mostraremos cmo es posible predecir la res-puesta de un sistema LTI a una entrada arbitraria, conociendo la respuesta delsistema a la seal impulso unidad. Adems se tratar la forma de especificar larelacin entrada-salida de un sistema mediante ecuaciones en diferencias en elcaso discreto y ecuaciones diferenciales en el caso continuo.

1. Respuesta de sistemas LTI discretosVimos anteriormente que una de las propiedades ms importantes de la funcin

impulso es

x[n] =

k=

x[k][n k]. (1)

Esta propiedad se denomina propiedad de seleccin, nos dice que cualquier sealdiscreta puede expresarse como la combinacin lineal de impulsos desplazados enel tiempo [n k], donde los coeficientes de la combinacin lineal son los valoresx[k]. As por ejemplo si x[n] es la seal u[n] entonces

u[n] =

k=0

[n k].

Una interpretacin til de la expresin (1) puede obtenerse si pensamos al im-pulso [n k] como una seal componente de x[n]. En este sentido, x[k] mide cuantode la seal componente [n k] existe en la seal x[n].

Se define la seal respuesta al impulso h[n] de un sistema LTI discreto como larespuesta del sistema a la seal de entrada [n],

h[n] T{[n]} (2)

Ejemplo No 1: clculo de la funcin respuesta al impulsoLa relacin entrada-salida del acumulador discreto es

y[n] =n

k=

x[k].

Para calcular h[n], simplemente remplazamos en la relacin entrada-salida la sealx[n], por [n]

1

h[n] = T{[n]} =n

k=

[k] = u[n]

Veamos ahora de que manera podemos utilizar la expresin (1) y la definicinde la funcin h[n] para construir la respuesta de un sistema LTI a una entradaarbitraria.

La respuesta y[n] a una entrada arbitraria x[n] puede expresarse como

y[n] = T{x[n]} = T{

k=

x[k][n k]}

.

Ya que el sistema es lineal podemos escribir que

y[n] =

k=

x[k]T{

[n k]}

,

y ya que es invariante en el tiempo

h[n k] = T{[n k]}.Por lo que la salida y[n] puede ser finalmente escrita como

y[n] =

k=

x[k]h[n k]. (3)

La expresin (3) recibe el nombre de suma de convolucin y a la operacin delmiembro derecho se la denomina convolucin de x[n] con h[n]. Esta operacin des-cribe un resultado muy importante de la teora de sistemas: la respuesta de cual-quier sistema LTI discreto es la convolucin de la entrada x[n] con su respuesta alimpulso h[n]. La operacin convolucin se denota mediante el signo , por lo que lasalida del sistema se puede expresar como

y[n] = x[n] h[n] =

k=

x[k]h[n k]

En la figura 1 se representa la definicin de la respuesta al impulso y la relacin(3).

La expresin (3) indica que la salida de un sistema LTI discreto est completa-mente caracterizada por la respuesta al impulso h[n], en otras palabras, si conoce-mos h[n] podremos predecir la respuesta del sistema ante cualquier entrada x[n].

Antes de ver ejemplos de como utilizar la suma de convolucin para obtener larespuesta de un sistema, veamos un mtodo til para calcular la respuesta y[n] conlpiz y papel en casos simples. Si bien existen buenos algoritmos de computadora

2

x(t) Sistema LTI

y(t)

(t) h(t)

Figura 1: Respuesta de un LTI discreto obtenida mediante la convolucin

para realizar la convolucin de dos seales, este mtodo nos ayuda a interpretar elsignificado de la expresin (3).

Para utilizar la expresin (3) debemos pensar que tanto la respuesta al impulsocomo la seal son funciones de k con n fijo. Una forma conveniente de realizar laconvolucin de x[n] y h[n] es utilizar grficos de las funciones y seguir los siguientespasos:

Realizamos grficamente la inversin temporal de la respuesta al impulsopara obtener h[k]. Luego obtenemos h[n k] desplazando en el tiempo lafuncin una cantidad n. Si n es positivo h[k] se desplaza a la derecha y si esnegativo a la izquierda del origen de coordenadas.

Para cada k se multiplican las seales x[k] y h[n k], sumndose luego paratodo valor de k, con n fijo. As obtenemos el valor de y[n].

Se repiten los pasos a) y b) con n variando desde hasta para obtener larespuesta y[n].

Ejemplo No 2: respuesta por medio de la convolucin.Consideremos el sistema LTI discreto cuya Respuesta al Impulso es

h[n] =

{1 n = 10 en cualquier otro caso.

y encontremos la respuesta del sistema a la seal x[n] = u[n] utilizando la sumade convolucin. Expresemos primero h[n] mediante una expresin que posibiliterealizar operaciones:

h[n] = [n + 1] + [n 1]Teniendo encuenta (3):

y[n] = h[n] x[n] = ([n + 1] + [n 1]) x[n]= [n + 1] x[n] + [n 1] x[n]= x[n + 1] + x[n 1],

3

encontramos que la respuesta es

y[n] = u[n + 1] + u[n 1]

Figura 2: Seal y respuesta al impulso del sistema descripto en Ejemplo No 3

Ejemplo No 3: resolucin grfica de la convolucin.Consideremos un sistema LTI discreto con la funcin impulso dada por

h[n] = u[n].

Queremos conocer cual ser la respuesta del sistema a la seal

x[n] = nu[n] con 0 < < 1

La figura 2 muestra el comportamiento de h[n] y de x[n]. En la figura 3 se muestralas seales x[k] y h[n k] para n = 1, 0, 1. Tambin se muestra h[n k] paraun valor arbitrario n > 0 y para n < 0. A partir de esta figura podemos ver quex[k]h[n k] es siempre 0 para n < 0. Podemos concluir que y[n] = k= x[k]h[n k]es 0 para n < 0. Para n 0

4

x[k]h[n k] ={

k 0 k n0 en cualquier otro caso.

Figura 3: Desplazamiento de h[k] para obtener la convolucin de forma grfica.

Por lo que para n 0

y[n] =n

k=0

k =1 n+1

1 .

Utilizando la funcin escaln, podemos expresar la respuesta del sistema a la sealcomo

y[n] =1 n+1

1 u[n].

La cual se representa en la figura 4.

Ejemplo No 4: resolucin analtica de la convolucin.Resolvamos de manera analtica el ejemplo anterior. Siendo h[n] = u[n] y x[n] =nu[n] con 0 < < 1, aplicando la ec. 3 obtenemos

5

Figura 4: Seal resultado de la convolucin descripta en ejemplo N0 3

y[n] =

k=

ku[k]u[n k]

Teniendo en cuenta para que valores de k el producto u[k]u[n k] es distinto de 0,obtenemos

y[n] =n

k=0

k =1 n+1

1

si n 0 y y[n] = 0 para n < 0, lo cual podemos resumir en una expresin mscompacta

y[n] =1 n+1

1 u[n].

F Otros ejemplos de resolucin grfica y analtica de la operacin convolucin dis-creta: ejemplos 2.1, 2.2, 2.4, 2.5 de la bibliografa principal del curso. Se sugiereutilizar el cdigo dcondemo de Matlab a fin de visualizar las operaciones que serealizan en la suma de convolucin 1 para obtener la respuesta de un LTI.

2. Respuesta de sistemas LTI continuosPara ver cmo podemos caracterizar la respuesta de un sistema LTI continuo

procederemos de manera similar al caso discreto.

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Vimos en el tema anterior que una de las propiedades de la seal impulso con-tinua es que cualquier seal continua x(t) puede expresarse como

x(t) =

x()(t )d. (4)

La expresin anterior es anloga a (1) y nos indica cmo podemos representar la se-al continua x(t) como una combinacin lineal de impulsos continuos desplazadosen el tiempo (t ), donde los coeficientes de la combinacin lineal son los valoresx(). El valor de x() mide cunto de la componente (t ) existe en la seal x(t).

Definimos la respuesta al impulso h(t) para un sistema LTI continuo como

h(t) T{(t)} (5)Ya que estamos tratando de caracterizar un sistema continuo que cumple las

propiedades de linealidad e invariancia temporal, podemos obtener la respuestay(t) a una entrada arbitraria x(t), utilizando (4) de la siguiente manera

y(t) = T{x(t)} = T{

x()(t )d}

.

Usando la propiedad de linealidad

y(t) =

x()T{

(t )}

d,

por la invariancia temporal del sistema

h(t ) = T{(t )}.Finalmente, la salida y(t) puede expresarse como

y(t) =

x()h(t )d. (6)

La expresin anterior define la operacin convolucin en el caso continuo y a sumiembro derecho se le denomina integral de convolucin. De manera similar al ca-so discreto, esta expresin nos indica que la respuesta y(t) del sistema LTI continuopuede obtenerse como la convolucin de la seal de entrada x(t) con la respuestaal impulso del sistema h(t), y(t) = x(t) h(t). Si bien denotaremos la operacio-nes convolucin discreta y continua con el mismo smbolo (), el contexto indicarclaramente a qu operacin nos referimos. En la figura (5) se representa la carac-terizacin de un sistema LTI continuo mediante la operacin convolucin.

Es conveniente aclarar que la operacin convolucin no est restringida a ope-rar solamente con h(t) o h[n]. Por el contrario, si x1(t) y x2(t) son dos seales, laoperacin convolucin de x2(t) y x1(t) est definida por

7

x(t) Sistema LTI

y(t)

(t) h(t)

Figura 5: Respuesta de un LTI continuo obtenida mediante la convolucin

x2(t) x1(t) =

x2()x1(t )d, (7)

para el caso continuo. En el caso discreto est definida por una expresin anlogaa (3).

Para obtener la respuesta de un sistema LTI continuo mediante la operacinconvolucin procederemos de manera anloga al caso discreto, como veremos enlos siguientes ejemplos. Para comprender mejor el significado de la operacin con-volucin haremos primero el clculo de manera grfica.

Ejemplo No 5: clculo grfico de la convolucin continuaConsideremos un sistema LTI continuo cuya funcin respuesta al impulso est da-da por

h(t) = u(t),

y calculemos su respuesta para la seal

x(t) = ea tu(t),

donde a > 0. Para calcular la respuesta del sistema, apliquemos la expresin (6),visualizando la operacin mediante grficas. En la figura 6 representamos x(),h() y h(t ) para t < 0 y t > 0. Podemos ver que para t < 0, el producto x()h(t) es cero, por tanto y(t) = 0 para t 0. Para t > 0

x()h(t ) ={

ea 0 < t0 > t

Por tanto y(t) para t > 0 es

y(t) = t

0ead =

1a(1 eat).

Finalmente, para todo t la respuesta del sistema es

y(t) =1a(1 eat)u(t).

La cual se representa en la figura 7.

8

Figura 6: Clculo grfico de la convolucin descripto en el ejemplo N05: h() =u(), b) x() = eat, c) h(1 ) (desplazamiento de h para < 0, d) h(1 )(desplazamiento de h para > 0)

Ejemplo No 6: clculo analtico de la convolucin continuaResolvamos de manera analtica el ejemplo anterior.

Ya que

x(t) = eatu(t) y h(t) = u(t)

donde a > 0,

y(t) = x(t) h(t) =

x() h(t ) d

y(t) =

eau() u(t ) d

y(t) ={ t

0ead

}u(t) =

1 eata

u(t)

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F Otros ejemplos de resolucin grfica y analtica de la operacin convolucin dis-creta: ejemplos 2.7 y 2.8 de la bibliografa del curso. Se sugiere utilizar el cdigoccondemo de Matlab a fin de visualizar las operaciones que se realizan en la sumade convolucin 1 para obtener la respuesta de un LTI.

Figura 7: Solucin del ejemplo N0 5, y(t) = 1/a (1 eat) u(t).

3. Propiedades de la operacin convolucinTanto en el caso discreto como en el continuo, la operacin convolucin tiene las

siguientes propiedades:

conmutativa x1(t) x2(t) = x2(t) x1(t)distributiva x1(t) (x2(t) + x3(t)) = x1(t) x2(t) + x1(t) x3(t)

asociativa x1(t) (x2(t) x3(t)) = (x1(t) x2(t)) x3(t).

Observemos que la propiedad conmutativa implica que es equivalente calcular laconvolucin de dos seales mediante cualquiera de las dos integrales siguientes:

x(t) =

x1()x2(t )d =

x2()x1(t )d

Es importante tener esto en cuenta al momento de calcular la respuesta de unsistema mediante la convolucin, ya que a veces ser ms simple calcular y(t) =h(t) x(t), en vez de y(t) = x(t) h(t). Expresiones y consideraciones anlogas sonvlidas para el caso discreto.

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4. Propiedades de sistemas LTIAnteriormente vimos como podemos caracterizar los sistemas LTI mediante la

respuesta al impulso y la operacin convolucin. Repetimos aqu estos resultados.

y[n] = x[n] h[n] =

k=

x[k]h[n k]

y(t) = x(t) h(t) =

x()h(t )d. (8)

Este mtodo para analizar un sistema LTI es extremadamente importante y til.Ambas expresiones nos indican que un sistema LTI est completamente caracte-rizado por su respuesta al impulso. Con esto queremos decir que slo conociendola respuesta al impulso podemos saber cmo es la respuesta del sistema frente acualquier entrada, por tanto el sistema est determinado de manera unvoca porla respuesta al impulso. Es importante enfatizar que este resultado slo vale parasistemas lineales invariantes en el tiempo. Si el sistema no cumple este requisito,la respuesta al impulso no sirve para caracterizar al sistema como veremos en elsiguiente ejemplo.

Ejemplo No 7:Consideremos el sistema discreto LTI cuya funcin respuesta al impulso es

h[n] =

{1, n = 0, 10 en cualquier otro caso.

Utilizando la operacin convolucin para obtener la respuesta del sistema frente auna entrada arbitraria

y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n]= k= h[k]x[n k]= h[0]x[n] + h[1]x[n 1]

obtenemos finalmente

y[n] = x[n] + x[n 1].Esta expresin da explcitamente la relacin entrada-salida del sistema, por tantoel sistema LTI especificado por h[n] es nico, a pesar de que pueden existir diferen-tes formas equivalentes de implementarlo.

Veamos que una dada la h[n] no especifica de manera nivoca a un sistema queno es LTI, ya sea debido a que no es lineal o por que no es invariante en el tiempo.Consideremos la h[n] del ejemplo anterior. Existen muchos sistemas no linealesdiferentes que poseen esta respuesta al impulso y que frente a una entrada dadax[n] tienen respuestas y[n] distintas, por ejemplo los sistemas no lineales

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y[n] = (x[n] + x[n 1])2,y[n] = Max(x[n], x[n 1]),

tienen todos la h[n] del ejemplo anterior, como es posible verificar. A pesar de queposeen la misma respuesta al impulso, todos responden de manera distinta frentea una dada entrada, consecuentemente, un sistema que no es LTI no est caracteri-zado por su funcin respuesta al impulso.

Existen muchas propiedades de los sistemas LTI que no comparten otros sis-temas. Ests propiedades se derivan en forma directa de las propiedades de laoperacin convolucin dadas en la seccin 3 y de las caractersticas propias de lossistemas LTI.

4.1. Propiedad conmutativaLa operacin convolucin es conmutativa, por lo que para un sistema LTI dis-

creto se cumple que

y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n] =

k=

h[k]x[n k]

Una expresin anloga es vlida para sistemas LTI continuos. Ya vimos en el ejem-plo 7 que esta propiedad puede ser til cuando usamos la operacin convolucinpara calcular la respuesta del sistema.

4.2. Propiedad distributivaLa operacin convolucin es distributiva, por tanto para sistemas LTI continuos

se cumple que

y(t) = x(t) (h1(t) + h2(t)) = x(t) h1(t) + x(t) h2(t),Est propiedad tiene una interpretacin muy til en la interconexin de sistemas(ver fig. 8), siendo vlida tambin para sistemas discretos.

Como consecuencia de las propiedades distributiva y conmutativa de la convo-lucin tenemos que

(x1(t) + x2(t)) h(t) = x1(t) h(t) + x2(t) h(t).

4.3. Propiedad asociativaOtra propiedad til de la convolucin es la asociatividad, que para sistemas LTI

discretos expresa que

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(x[n] h1[n]) h2[n] = x[n] (h1[n] h2[n])Est propiedad est representada en la figura 8. De acuerdo a la propiedad asocia-tiva la interconexin de dos sistemas en serie es equivalente a la un nico sistemacuya funcin respuesta al impulso es la convolucin de las funciones respuesta alimpulso de los sistemas por separado. Consideraciones anlogas valen para siste-mas LTI continuos.

La propiedad de asociatividad vale para cualquier nmero de sistemas en cas-cada. Si adems tenemos en cuenta la propiedad de conmutatividad, obtenemosotra importante caracterstica de los sistemas LTI: en un sistema en cascada, elorden en que los sistemas se disponen no modifica la respuesta del sistema. Es im-portante enfatizar que esta propiedad vale para sistemas en cascada en los quetodos los sistemas componentes son LTI. Por el contrario si los sistemas son no li-neales, la respuesta del sistema depende del orden en que se conecten los sistemascomponentes.

4.4. Sistemas LTI con y sin memoriaEn el tema anterior vimos que un sistema sin memoria es aquel en que la res-

puesta a un tiempo t0 solo depende de la entrada en el mismo instante t0. A partirde las propiedades expresadas en las expresiones (8), podemos deducir que paraque un sistema LTI discreto no tenga memoria se debe cumplir que h[n] es igual a0 para n 6= 0. Por tanto, la respuesta al impulso de los sistemas LTI sin memoriatiene la forma

h[n] = K[n] sistema sin memoriadonde K = h[0] es una constante. En este caso, la respuesta del sistema obtenidacomo y[n] = x[n] h[n] es

y[n] = Kx[n]

Consideraciones similares valen para sistemas continuos.Esta propiedad nos permite identificar sistemas con memoria a travs de la

forma de h[n], ya que podemos asegurar que si h[n] 6= 0 para algn valor de n 6= 0,el sistema posee memoria. Por ejemplo, por inspeccin de la h[n] podemos asegurarque el sistema descripto en el ejemplo 3 posee memoria.

Observemos que el sistema LTI identidad, definido por la relacin y[n] = x[n],tiene como funcin respuesta al impulso una delta (h[n] = [n], h(t) = (t)).

4.5. Sistema LTI inversoTal como vimos en el tema anterior, un sistema es invertible si existe otro sis-

tema que conectado en serie con este, da como respuesta el valor de la entrada en

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Figura 8: Propiedades de la operacin convulucin aplicadas a la respuesta al im-pulso de la interconexin de sistemas

el primero. Esto quiere decir que la interconexin del sistema y su sistema inversooperan sobre la entrada de manera similar al sistema identidad. Por tanto, pode-mos decir que para que un sistema LTI discreto con respuesta al impulso h[n] seainvertible, debe existir otro sistema LTI de respuesta al impulso h1[n] tal que

h1[n] h[n] = [n] sistema inversoUna expresin anloga es vlida para sistemas continuos.

Ejemplo No 8:Consideremos el sistema LTI caracterizado por

h[n] = u[n]

El sistema posee memoria y su respuesta es

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y[n] = x[n] h[n] =

k=

x[k]u[n k] =n

k=

x[k]

ya que u[n k] = 0 para k > n y u[n k] = 1 para k n. Este sistema es el sistemasumador o acumulador que describimos en el tema anterior, donde mostramos quesu sistema inverso es el sistema descripto por

y[n] = x[n] x[n 1].Por tanto la respuesta al impulso del sistema inverso es

h1[n] = [n] [n 1]Es simple verificar que el sistema LTI y su inverso cumplen que h1[n] h[n] = [n]

h1[n] h[n] = ([n] [n 1]) u[n]= [n] u[n] [n 1] u[n]= u[n] u[n 1]= [n]

F Un ejemplo interesante sobre la relacin entre las respuestas al impulso de unsistema y su sistema inverso es el ejemplo 2.11 de la bibliografa del curso.

El proceso de recuperacin de x(t), modificada por el procesamiento realizadopor un sistema, se denomina operacin de deconvolucin. Un sistema inverso tienecomo salida la seal x(t), cuando su entrada es y(t) = h(t) x(t), por lo que elsistema inverso resuelve el problema de deconvolucin. Este tipo de operacin esmuy importante en el procesamiento de seales. Por ejemplo, en la transmisin atravs de lineas telefnicas es necesario agregar un sistema ecualizador que seael sistema inverso de la linea de transmisin para poder disminuir la distorcinintroducida por la linea y aumentar la velocidad de transmisin.

4.6. Causalidad en sistemas LTIYa vimos que un sistema es causal si la respuesta en un dado instante t0 de-

pende slo del valor de la entrada en ese mismo instante o en instantes previos, esdecir que y(t0) depende de x(t) con t t0. A partir de las expresiones (8) podemosdeducir que para que un sistema LTI continuo sea causal debe cumplirse que loscoeficientes de x() deben ser 0 para > t. Esto significa que h(t ) = 0 para > t o lo que es lo mismo h(t) = 0 para t < 0. Similares consideraciones valen paraun sistema discreto. Por lo que podemos afirmar que para que un sistema LTI seacausal debe cumplirse que

h[n] = 0 n < 0 o h(t) = 0 t < 0 sistema causal

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Esto significa que la respuesta al impulso debe ser 0 antes de que el impulso seaaplicado a t = 0. Esto es consistente con la definicin de causalidad y puede versede manera intuitiva. Recuerde que la respuesta al impulso es la salida del sistemacomo respuesta a un impulso aplicado a t = 0. Los sistemas causales son no anti-cipativos, esto quiere decir que no pueden generar una respuesta antes de que seaplique la seal de entrada. Requerir que la respuesta al impulso sea 0 para t < 0es equivalente a decir que el sistema no puede responder antes de la aplicacin delimpulso.

Es posible demostrar (ver gua de problemas) que para un sistema lineal, lacondicin de causalidad (h(t) = 0 t < 0) es totalmente equivalente a la siguientecondicin: si la entrada al sistema es 0 hasta un instante t0, la respuesta debe sercero hasta dicho instante

x(t) = 0 (t < t0) y(t) = 0 (t < t0).Esta condicin se denomina condicin de reposo inicial del sistema, en ingls initialrest, si un sistema cumple con esta condicin se dice que est en reposo inicial.

Para un sistema LTI discreto y causal, la suma de convolucin (8) puede escri-birse de la siguiente manera:

y[n] =n

k=

x[k]h[n k] =

k=0

h[k]x[n k].

De manera anloga, para un sistema LTI continuo y causal, la integral de convolu-cin (8) es

y(t) = t

x()h(t )d =

0h()x(t )d.

Tenga en cuenta como han cambiado los lmites de la sumatoria y de la integral enlas ltimas dos expresiones.

Un ejemplo de sistema causal es el acumulador descripto en el ejemplo 2 y 3. Elsistema desplazamiento temporal, para el cual h(t) = (t t0), es causal si t0 > 0y no causal para t0 < 0.

Remarquemos que tanto la condicin de causalidad (h(t) = 0 t < 0) y la equiva-lencia con la condicin de reposo inicial slo valen para sistemas LTI. Por ejemploconsideremos el sistema incrementalmente lineal y[n] = 2x[n] + 5, este sistema escausal pero su h[n] no cumple con h[n] = 0 n < 0 , ni con la condicin de reposoinicial ya que h[n] = 5 para n < 0.

Si bien la nocin de causalidad se aplica a sistemas, es comn referirse a unaseal causal si es nula para t < 0 o n < 0.

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4.7. Estabilidad de un sistema LTIRecordemos que un sistema es BIBO estable si cumple que para cualquier en-

trada acotada, la respuesta del sistema est acotada. Esto significa que un sistemadiscreto es BIBO estable si se cumple que

|x[n]| < C n |y[n]| < B n.Si aplicamos esta condicin a la suma de convolucin en (8) podemos obtener lacondicin de estabilidad de un sistema LTI discreto,

|y[n]| = |k= x[k]h[n k]|= |k= h[k]x[n k]| k= |h[k]||x[n k]|< C k= |h[k]|,

vlido para todo n. Por lo que podemos deducir que para que y[n] B y por tantoel sistema LTI discreto sea BIBO estable, su respuesta al impulso debe ser absolu-tamente sumable, lo que significa que

k=

|h[k]| < sistema estable discreto

Es posible demostrar que la condicin anterior es una condicin necesaria y sufi-ciente para que un sistema LTI discreto sea BIBO estable.

Mediante un razonamiento similar se puede demostrar que un sistema LTI con-tinuo es BIBO estable si su funcin respuesta al impulso es absolutamente integra-ble, lo que significa que

|h()|d < sistema estable continuo

Esta condicin tambin es una condicin necesaria y suficiente.Un ejemplo de un sistema discreto BIBO estable es el sistema desplazamiento

temporal h[n] = [n n0] ya que

n=

|[n n0]| = 1

Mientras que el sistema sumador h(t) = u(t) no es BIBO estable ya que |u(t)|dt = .

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4.8. Respuesta al escaln de un sistema LTIAdems de la respuesta al impulso existe otra seal que se utiliza para carac-

terizar sistemas LTI, denominada respuesta al escaln, definida por

s(t) = T{u(t)} o s[n] = T{u[n]}Teniendo en cuenta la definicin de la respuesta al escaln y utilizando las relacinde convolucin para un sistema LTI discreto, podemos ver que s[n] = u[n] h[n];desde la cual podemos obtener las relaciones que vinculan s[n] y h[n]:

s[n] =n

k=

h[k] s[n] s[n 1] = h[n]

Anlogamente, para un sistema continuo encontramos que

s(t) = t

k=h()d h(t) =

ds(t)dt

5. Sistemas LTI continuos descriptos por ecuacio-nes diferenciales

Una gran cantidad de sistemas continuos tienen su relacin entrada-salida des-cripta por una ecuacin diferencial. En caso de que el sistema sea LTI, la ecuacindiferencial debe ser lineal y con coeficientes constantes, siendo la expresin generalde este tipo de ecuaciones

dNy(t)dtN

+N1k=0

akdky(t)

dtk=

M

k=0

bkdkx(t)

dtk(9)

donde los coeficientes ak y bk son constantes reales. Utilizando la notacin de ope-radores la ecuacin anterior se puede expresar como(

DN +N1k=0

akDk)

y(t) =

(M

k=0

bkDk)

x(t) (10)

El nmero N es el orden o dimensin del sistema y se corresponde con el mayororden de la derivada de y(t). Un ejemplo de un sistema descripto por este tipo deecuaciones es el sistema compuesto por el circuito RC, en el que la entrada es latensin de la fuente x(t) = vs(t) y la respuesta es la tensin en los extremos delcapacitor y(t) = vc(t). La ecuacin diferencial que describe la relacin entrada-salida para este sistema es la ecuacin diferencial de primer orden

dy(t)dt

+1

RCy(t) =

1RC

x(t)

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Es importante observar que la ecuacin diferencial (9) da una relacin implcitaentre la entrada y la salida del sistema. Para obtener una relacin explcita hayque resolver la ecuacin, es decir encontrar y(t).

La solucin general de la ecuacin (9) puede expresarse como

y(t) = yp(t) + yh(t)

donde yp(t) es una solucin particular de (9) y yh(t) es la solucin general de laecuacin diferencial homognea

dNy(t)dtN

+N1k=0

akdky(t)

dtk= 0 (11)

A yh(t) se le denomina respuesta natural o libre del sistema. Observe que yh(t) seobtiene igualando a cero la entrada del sistema (x(t) = 0), por lo que a yh(t) sela denomina tambin respuesta a entrada nula. yh(t) slo depende de las caracte-rsticas del sistema descripto por la ecuacin diferencial y de la condicin inicial oestado inicial del sistema. Por el contrario, yp(t) depende de las caractersticas delsistema y de la seal de entrada considerada.

La solucin y(t) no se encuentra completamente especificada por la ecuacin (9),es necesario especificar un conjunto de condiciones auxiliares o iniciales. Diferen-tes elecciones de estas condiciones iniciales guan a diferentes relaciones entrada-salida. En general estas condiciones iniciales consisten en especificar los valoresde

y(t), y(t), ..., yN1(t)

para algn valor de t. El nmero de condiciones iniciales coincide con el orden dela ecuacin diferencial, as para una ecuacin de primer orden debemos especificaruna condicin auxiliar. Por ejemplo podemos resolver la ecuacin diferencial quedescribe el sistema compuesto por el circuito RC, obtendremos y(t) en trminosde la tensin de la fuente x(t), pero necesitaremos conocer la tensin inicial en elcapacitor y(0) para poder especificar completamente la relacin entrada-salida. Lascondiciones iniciales resumen toda la informacin acerca del pasado del sistema quees necesaria para determinar salidas futuras. No es necesaria informacin adicionalsobre la salida o entrada en instantes previos.

Veremos ahora qu caractersticas particulares poseen las ecuaciones diferen-ciales que describen la relacin entrada-salida de sistemas LTI causales. Recorde-mos que la condicin de causalidad de un sistema LTI es equivalente a la condicinde reposo inicial:

x(t) = 0 (t < t0) y(t) = 0 (t < t0)El nico tipo de condiciones iniciales que son compatibles con la condicin de reposoinicial, son condiciones del tipo

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y(t0), y(t0), ..., yN1(t0) = 0.

Es decir que cualquiera sea el orden de la ecuacin diferencial, las condicionesiniciales deben ser todas nulas si la ecuacin diferencial describe un sistema enreposo inicial o lo que es lo mismo un sistema LTI causal. Para comprender la raznde esto, consideremos el sistema LTI de primer orden descripto por la siguienteecuacin diferencial

dy(t)dt

+ ay(t) = x(t).

con condicin inicial y(t0) = y0. Adems x(t) = 0 para t < t0. Primero obtenga-mos la relacin entrada-salida del sistema para t t0. La solucin completa de laecuacin es

y(t) = yh(t) + yp(t).

donde yh(t) es la solucin general de la ec. diferencial homognea y yp(t) es unasolucin particular para la ec. diferencial inhomognea.

La ecuacin diferencial homognea

dyh(t)dt

+ ayh(t) = 0,

tiene como solucin

yh(t) = Ceat.

Podemos obtener la solucin yp(t) por el mtodo de variacin de la constante en elque se propone como solucin particular de la ecuacin diferencial yp(t) = C(t)eat.Si se remplaza esta solucin en la ecuacin diferencial se puede obtener la depen-dencia explcita de C(t). La solucin yp(t) queda expresada como

yp(t) =

{ tt=t0

x()ead

}eat.

La solucin de la ecuacin diferencial es por tanto

y(t) = Ceat +

{ tt=t0

x()ead

}eat (12)

Est solucin es vlida para t t0 y la constante C se determina exigiendo que lasolucin cumpla con la condicin inicial y(t0) = y0, por lo que la solucin final es

y(t) = y0ea(tt0) +

{ tt=t0

x()ead

}eat t t0.

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Est solucin da de manera explcita la relacin entre la entrada x(t) y la respuestay(t) del sistema para t t0

Veamos ahora que ocurre para t < t0. Para ver cmo es la solucin en este rangode t utilizaremos la condicin de que la entrada es nula hasta t0, x(t) = 0 t < t0.Ya que x(t) = 0 para t < t0, la solucin en este intervalo coincide con la solucin dela ecuacin homognea (11)

y(t) = y0ea(tt0) t < t0.

Si no conocieramos ninguna caracterstica adicional sobre el sistema, ya tendra-mos especificada la salida para todo el rango de valores de t en las dos ltimasexpresiones.

Si sabemos que el sistema es LTI y causal, conocemos que el sistema debe cum-plir la condicin de reposo inicial, es decir debe cumplir: y(t) = 0 para t < t0 ya quex(t) = 0 t < t0. Observando la expresin de la solucin para t < t0, vemos que paracumplir con esta condicin el valor de y0 = 0. De esto concluimos que la solucin dela ecuacin diferencial en todo el intervalo de t para el sistema LTI causal es

y(t) =

{ tt=t0

x()ea(t)d

}u(t t0).

Vemos en el ltimo ejemplo que dada una ecuacin diferencial con coeficientesconstantes la solucin queda completamente especificada por la condicin de re-poso inicial. Esta informacin sobre las caracterstcas del sistema es externa a laecuacin diferencial y viene expecificada por las condiciones iniciales. La ecuacindiferencial slo especifica la regla que vincula la entrada y la salida del sistema.

La condicin de reposo inicial o de condiciones iniciales nulas es totalmenteequivalente a decir que el sistema descripto por (9) es LTI y causal, si el sistema nocumple con la condicin de reposo inicial, el sistema ni es LTI, ni es causal. Que elsistema no es LTI puede verse a partir de la solucin completa (12) no cumple conla condicin de linealidad.

La respuesta al impulso h(t) del sistema LTI descripto por (9) debe cumplir laecuacin

dNh(t)dtN

+N1k=0

akdkh(t)

dtk=

M

k=0

bkdk(t)

dtk(13)

Es posible obtener la respuesta al impulso resolviendo en forma directa la ecuacindiferencial, esto tiene la dificultad de que debemos resolver una ecuacin diferen-cial en que aparecen las funciones singulares d

k(t)dtk . No utilizaremos este mtodo

para hallar h(t). Posteriormente en el curso describiremos mtodos basados entransformadas que permiten caracterizar ms simplemente los sistemas LTI ob-teniendo h(t).

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6. Sistemas LTI discretos descriptos por ecuacio-nes en diferencias

El mismo rol que poseen las ecuaciones diferenciales para describir sistemascontinuos, lo tienen las ecuaciones en diferencias en la descripcin de sistemas dis-cretos.

La expresin general de una ecuacin en diferencias de orden N es

N

k=0

aky[n k] =M

k=0

bkx[n k] (14)

donde los coeficientes ak y bk son constantes reales. El orden N en la ecuacin serefiere al mayor retraso en el tiempo de y[n]. Por ejemplo, la ecuacin en diferenciasque describe la relacin entrada salida de un acumulador es

y[n] y[n 1] = x[n],la cual es de primer orden.

De manera anloga a las ecuaciones diferenciales vistas en el seccin anterior,una ecuacin en diferencias puede resolverse de manera exacta. La solucin en estecaso es

y[n] = yh[n] + yp[n],

donde yh[n] es la solucin de la ecuacin en diferencias homognea

N

k=0

aky[n k] = 0

y yp[n] es una solucin particular de la ecuacin en diferencias completa o inhomo-gnea. La solucin de la ecuacin homognea se denomina respuesta natural delsistema.

La ecuacin (14) no especifica completamente la relacin entrada-salida del sis-tema, para esto es necesario especificar N condiciones auxiliares o iniciales.

Si el sistema LTI es causal, como ya indicamos, cumple con la condicin de repo-so inicial, es decir cumple con la condicin de que si x[n] = 0 para n < n0 entoncesy[n] = 0 para n < n0. Esta condicin especifica completamente la solucin de laecuacin en diferencias.

Una forma alternativa de expresar (14) es

y[n] =1a0

{M

k=0

bkx[n k]N

k=1

aky[n k]}

(15)

Esta ecuacin expresa de manera explcita y[n] como funcin de los valores previosde la entrada y la salida del sistema. Observando est ecuacin vemos la necesidad

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obvia de especificar las N condiciones iniciales, ya que para calcular la respuestadel sistema y[n] empezando en n0 deberemos especificar y[n0 1], y[n0 2] ..., y[n0N] conjuntamente con los valores x[n0 1], x[n0 2] ..., x[n0 M].

Si N 6= 0, la ecuacin (15) es denominada ecuacin recursiva ya que especificaun procedimiento recursivo para determinar la respuesta del sistema en funcinde valores de la entrada y de valores anteriores de la salida. Si N = 0, la ecuacinse reduce a

y[n] =M

k=0

(bka0

x[n k])

(16)

esta ecuacin recibe el nombre de ecuacin no recursiva ya que no son necesariosvalores previos de la salida para especificar el valor y[n]. En este caso especial nonecesitamos especificar las N condiciones auxiliares de y para determinar y[n].

La determinacin de la respuesta al impulso de sistemas LTI discretos puedehacerse de manera directa a travs de (15), mediante la expresin

h[n] =1a0

{M

k=0

bk[n k]N

k=1

akh[n k]}

. (17)

Si la ecuacin en diferencias que especifica el sistema es no recursiva, N = 0 en laexpresin anterior, la respuesta al impulso es

h[n] =

{bna0

0 n M0 en cualquier otro caso.

Observemos que en este caso la respuesta al impulso tiene una duracin finita,por este motivo a este tipo de sistemas se los denomina sistemas de respuesta alimpulso finita o abreviadamente sistemas FIR, siglas de la denominacin en inglsfinite impulse response. Adems observemos que la ecuacin (16) no es ms que lasuma de convolucin y[n] = k= h[k]x[n k].

En el caso de que N > 0 en la expresin (17), la respuesta al impulso del sistematiene en general una duracin infinita o lo que es lo mismo, un nmero infinito detrminos. Sistemas de este tipo se denominan sistemas de respuesta al impulsoinfinita o sistemas IIR, del ingls infinite impulse response.

Desarrollaremos con posterioridad, mtodos para obtener la respuesta al impul-so h[n] mediante transformadas.

Ejemplo No 9:Consideremos el sistema LTI causal descripto por la siguiente ecuacin en diferen-cias de primer orden

y[n] ay[n 1] = x[n] o y[n] = x[n] + ay[n 1]

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y calculemos su salida para la entrada para x[n] = K[n]. Este es una ecuacinrecursiva (ecuacin en diferencias de primer orden) en la que necesitaremos espe-cificar una condicin inicial para hallar y[n]. Para la entrada especificada x[n] = 0para n < 0. Ya que el sistema es causal, la condicin de reposo inicial implica quey[n] = 0 para n < 0, por lo que tomamos como condicin inicial y[1] = 0 y a partirde n = 0 empezamos la recursin para determinar y[n]

y[0] = K[0] + ay[1] = Ky[1] = K[1] + ay[0] = aKy[2] = K[2] + ay[1] = a2K

.

.

.y[n] = K[n] + ay[n 1] = anK.

La salida del sistema para la entrada especificada es

y[n] = anKu[n].

La respuesta al impulso del sistema es

h[n] = anu[n].

Ya que la respuesta al impulso tiene un nmero infinito de trminos es un sistemaIIR, lo cual es consistente con el hecho de que es un sistema recursivo.

7. Representacin en diagramas de bloques:Una propiedad muy importante de los sistemas LTI descriptos por ecuaciones

diferenciales o por ecuaciones en diferencias es que pueden ser representados me-diante la interconexin de bloques de operaciones elementales. Este tipo de repre-sentacin tiene importancia ya que facilita la visualizacin del comportamiento delsistema. Adems la representacin mediante diagrama de bloques es de considera-ble valor al momento de simular estos sistemas en computadoras o de implementarun hardware que realice las operaciones del sistema.

Veamos un ejemplo de la representacin mediante diagrama de bloques de unsistema LTI discreto descripto por

y[n] + ay[n 1] = bx[n]Necesitamos de tres operaciones bsicas para representar el sistema: suma, mul-tiplicacin por una constante y la operacin retraso temporal. Cada uno de los blo-ques que representan estas operaciones se muestran en la figura (9-a). Para repre-sentar el sistema mediante los bloques de operaciones elementales, es convenienteescribir la ecuacin en diferencias del siguiente modo

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y[n] = bx[n] ay[n 1]El diagrama de bloques que representa este sistema se muestra en la figura (9-b).

Figura 9: Diagrama de bloques de sistemas discretos

Para ver la representacin mediante diagramas de sistemas LTI continuos con-sideremos el siguiente sistema

dy(t)dt

+ ay(t) = bx(t)

Es conveniente escribir la ecuacin diferencial del siguiente modo

y(t) = 1a

dydt

+ba

x(t)

El miembro derecho de la ecuacin indica que para hallar la expresin explcitade y(t) necesitamos tres operaciones: multiplicacin por una constante, suma ydiferenciacin. Si definimos los tres bloques bsicos que se muestran en la figura10-a, podremos representar al sistema como se indica en la figura 10-b.

Si bien la representacin del sistema de la figura 10-b es vlida, no es la re-presentacin que se utiliza normalmente, ya que los bloques de diferenciacin sondifciles de implementar en la prctica y extremadamente sensibles a errores y alruido. Para obtener una mejor representacin escribamos la ecuacin diferencialdel siguiente modo

dy(t)dt

= ay(t) + bx(t).

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Figura 10: Diagrama de bloques de sistemas continuos

e integremos la expresin entre los lmites y t.

y(t) = t

[bx() ay()]d

Si el sistema es LTI causal, debido a la condicin de reposo inicial y() = 0, laintegral da el valor de y(t).

De esta manera, podemos representar el sistema mediante un diagrama de blo-ques que solo conste de las operaciones de suma, multiplicacin por un coeficientee integracin. En la figura 11 se representa del sistema mediante el integrador yse muestra una representacin del bloque integrador.

Los integradores son mucho ms fciles de implementar en la prctica que losbloques de diferenciacin, y no adolecen de los problemas de estos ltimos. Es im-portante observar que en el caso continuo, la existencia de un bloque integrador enun sistema impone la necesidad de que el sistema tenga memoria.

Otra manera de escribir la expresin que da la respuesta del sistema medianteel integrador es

y(t) = y(t0) + t

t0[bx() ay()]d,

la cual hace evidente que necesitamos especificar la condicin inicial y(t0) parapoder hallar y(t). El valor de y(t0) es el valor guardado en el integrador al tiempot0.

Si bien hemos mostrado los bloques bsicos que representan sistemas discretos

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y continuos de primer orden, es posible interconectar estos bloques para represen-tar y simular sistemas de mayor orden como veremos posteriormente.

Figura 11: Diagrama de bloques de sistemas continuos: el integrador en remplazodel diferenciador.

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