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Chapitre 1

Contrle OptimaleIntroductionLa thorie du contrle (ou commande) analyse les proprits des systmes dynamiques sur lesquels on peut agir au moyen d'une commande (ou contrle). Le but est alors d'amener le systme d'un tat initial donn un certain tat nal, en respectant ventuellement certains critres. L'objectif peut tre de dtrminer des solutions optimales pour un certain critre d'optimalit (contrle optimale, ou commande optimale). Les domaines d'applications sont multiples : arospatiale, automobile, robotique, aronotique, internet et les communications en gnral, mais aussi le secteur mdical, chimique, gnie des procds,...etc. Du point de vue mathmatique, un systme contrle est un systme dynamique dpendant d'un paramtre dynamique appel le contrle. Pour le modliser, on peut avoir recours des equations direntielles, intgrales, fonctionnelles aux dirences nies, aux drives partielles, stochastiques,..etc. Pour cette raison, la thorie du contrle est l'interconnexion de nombreux domaines mathmatiques. Les contrles sont des fonctions ou des paramtres, habituellement soumis des contraintes. Une fois le problme de contrlabilit rsolu, on peut de plus vouloir passer de l'tat initial l'tat nal en minimisant un certain critre ; on parle alors d'un problme de contrle optimale. La thorie moderne du contrle optimale a commenc dans les annes 50, avec la formulation du principe du maximum de Pontryagin, qui gnralise les quations d'Euler-Lagrange du calcul des variations. De nos jours, les systmes automatiss font compltement partie de notre quotidien, ayant pour but d'amliorer notre qualit de vie et de faciliter certaines tches : systme de freinage ABS, assistance la conduite, servomoteurs, thermostats, circuits frigoriques, contrle des ux routiers, ferroviaires, ariens, bour-

siers, photographie numrique, lecteurs CD et DVD, rseaux informatiques, moteurs de recherche internet, circuits lectriques, lectroniques, tlcommunications en gnral, ranage ptrolier, chanes industrielles de montage, peacemakers et autres systmes mdicaux automatiss, oprations au laser, robotique, satellites, guides arospatiaux,... la liste est innie, les applications concernent tout systme sur lequel on peut avoir une action, avec une notion de rendement optimal.

1.1 Formulation du problmeSoit un systme (S) (physique, biologiquee, conomique,...) caractris chaque instant t par un tat x(t) Rn et que l'on peut contrler l'aide d'une commande u(t) Rm . Evolution du systme : x(t) = f (t, x(t), u(t)). On cherche la commande u qui fait passer (S) d'un tat initial un tat nal donn en minimisant un certain critre (objectif) (consommation,nergie,...).

1.1.1 Formulation gnrale (Problme de Bolza)On appelle problme de contrle optimal sous forme de Bolza, tout problme not (P ) du type : tf M in J(x, u) = g(t0 , x(t0 ), tf , x(tf )) + t0 F (t, x(t), u(t))dt, x(t) = f (t, x(t), u(t)), t [t0 , tf ] u(t) U Rm , (t , x(t )) = 0, 0 0 0 1 (tf , x(tf )) = 0,

0 :R Rn Rp 1 :R Rn Rq Le cas linaire : x(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t0 , tf ] x(0) = x0avec A dans Mn (R) et B dans Mn,m (R)

1.2 ContrlabilitDnition 1.1 (Ensemble Accessible)L'ensemble des points accessibles partir de x0 en un temps T > 0 est dnie par :Acc(x0 , T ) = xu (T )\u L ([0, T ], U )

o xu (.) est la solution du systme contrl associe u. Autrement dit Acc(x0 , T ) est l'ensemble des extrmits des solutions du systme contrl au temps T , lorsqu'on fait varier le contrle u. Pour la cohrencee, on pose Acc(x0 , 0) = x0 .2

Thorme 1

Soient T > 0 et x0 Rn . Alors pour tout t [0, T ], Acc(x0 , t) est compact, convexe et varie continment avec t [0, T ].

Proposition 1.1

On suppose que x0 = 0 et U = Rm . Alors, pour tout t > 0, l'ensemble Acc(0, T ) est un sous-espace vectoriel de Rn . De plus, pour tout 0 < t1 < t2 , on a Acc(0, t1 ) Acc(0, t2 ).

Dnition 1.2 (Contrlabilit)Rn ,

Le systme contrl est dit contrlable en temps T si Acc(x0 , T ) = i.e, pour tous x0 , x1 Rn , il existe un contrle u tel que la trajectoire associe relie x0 x1 en temps T .

Thorme 2

On suppose U = Rm (pas de contrainte sur le contrle). Le systme x(t) = Ax(t) + Bu(t) est contrlable en temps T quelconque si et seulement si la matrice C = (B, AB, . . . , An1 B) est de rang n. La matrice C est appele matrice de Kalman, et la condition rg C = n est appele condition de Kalman.

1.2.1 Cas avec contraintes sur le contrleCorollaire 1.1Sous la condition de Kalman prcdente, si 0 U 0 alors l'ensemble accessible Acc(x0 , t) en temps t contenant un voisinage du point exp(tA)x0 .

Remarque 1.12. 0 U 0 ,

Les proprits de contrlabilit globale sont relies aux proprits de la stabilit de la matrice A. Par exemple, il est clair que si : 1. La condition de Kalman est remplie, 3. Toutes les valeurs propres de la matrice A sont de partie relle strictement ngative (i.e la matrice A est stable), alors tout point de Rn peut tre conduit l'origine en temps ni.

Thorme 3

Soit b Rn et U R un intervalle contenant 0 dans son intrieur. Considrons le systme x(t) = Ax(t) + bu(t), avec u(t) U . Alors tout point de Rn peut tre conduit l'origine en temps ni si et seulement si la paire (A, b) vrie la condition de Kalman et la partie relle de chaque valeur propre de A est infrieur ou gale 0.

1.2.2 Contrlabilit dans le cas non lineaireDnition 1.3Considrons pour le systme :x(t) = f (t, x(t), u(t)); x(t0 ) = x0(1.1)

le problme de contrle suivant : tant donn un point x1 Rn , trouver un temps T et un contrle u sur [0, T ] tel que la trajectoire xu associe 3

u, solution de (1.1) vrife : xu (0) = x0 , xu (T ) = x1 . Ceci conduit la dnition suivante : Soit T > 0. L'application entre-sortie en temps T du sytme contrl (1.1) initialis x0 est l'application : ET : U Rn u xu (T )

o U est l'ensemble des contrles admissibles, i.e l'ensemble de contrles u tels que la trajectoire associe est bien dnie sur [0, T ]. Autrement dit, l'application entre-sortie en temps T associe un contrle u le point nal de la trajectoire associe u.

Dnition 1.4

L'ensemble accessible en temps T pour le systme (1.1), not Acc(x0 , T ), est l'ensemble des extrmits au temps T des solutions du systme partant de x0 au temps t = 0. Autrement dit c'est l'image de l'application entre-sortie en temps T .

Dnition 1.5depuis x0 si :

Le systme (1.1) est dit contrlable (en temps quelconque)Rn = T 0 Acc(x0 , T )

Il est dit contrlable en temps T si Rn = Acc(x0 , T )

Proposition 1.2A=f x (x0 , u0 )

Considrons le systme (1.1) o f (x0 , u0 ) = 0. Notons et B = f (x0 , u0 ). On suppose que : urg(B\AB\ . . . \An1 B) = n

Alors le systme est localement contrlable en x0 .

Dnition 1.6

Soit u un contrle dni sur [0, T ] tel que sa trajectoire associe xu issue de x(o) = x0 est dnie sur [0, T ]. On dit que le contrle u (ou la trajectoire xu ) est singulier sur [0, T ] si la direntielle de Frchet dET (u) de l'application entre-sortie au point u n'est pas surjective. Sinon on dit qu'il est rgulier.

1.3 DnitionsDnition 1.71. On appelle commande admissible toute fonction u M es([t0 , tf ], Rm ), M es([t0 , tf ], Rm ) tant l'espace des fonctions mesurables [t0 , tf ] Rm , telle qu'il existe x AC([t0 , tf ], Rn ), AC tant l'espace des fonctions dites "absolument continues", vriant : (a) l'application t f (t, x(t), u(t)) appartient L1 ([t0 , tf ], Rn ).

4

(b) x(t) = f (t, x(t), u(t)), 0 (t0 , x(t0 ) = 0, 1 (tf , x(tf )) = 0,

(c) u(t) U presque partout sur [t0 , tf ]. 2. la fonction x associe est appele trajectoire admissible. 3. On appelle commande optimale, toute commande admissible solution de (P ) et tat optimal l'tat associ.

1.4 Temps-Optimalit

1.4.1 Existence de trajectoires temps-optimalesIl faut tout d'abord formaliser, l'aide de Acc(x0 , t), la notion de temps minimal. Considrons le systme contrl dans Rn o les contrles u sont valeurs dans un compact d'intrieur non vide U Rm . Soient x0 et x1 deux points de Rn . Supposons que x1 soit accessible depuis x0 , c'est dire qu'il existe au moins une trajectoire reliant x0 x1 , on aimerait caractriser celles qui le font en temps minimal t . Si t est le temps minimal, alors pour tout t < t , x1 Acc(x0 , t) (en eet sinon x1 serait accessible partir de x0 en un temps infrieur t ). Par consquent, t = inf {t > 0\x1 Acc(x0 , t)}.

1.5 Condition ncessaire d'optimalit : principe du maximum dans le cas linaireLe thorme suivant donne une condition ncessaire et susante pour qu'un contrle soit optimal.

Thorme 4

Considrons le systme de contrle linaire :x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) x(0) = x0 .

o le domaine de contraintes U Rm sur le contrle est compact. Soit T > 0. Le contrle u est optimale sur [0, T ] si et seulement s'il existe une solution non triviale p(t) de l'quation : telle que p(t)B(t)u(t) = maxvU p(t)B(t)v.p(t) = p(t)A(t) (1.2)

pour presque tout t [0, T ]. Le vecteur ligne p(t) Rm est appel vecteur adjoint.5

Remarque 1.2 Dans le cas mono-entre (contrle scalaire), et si de plus U = [a, a] o a > 0, la condition de maximisation implique immdiatement que u(t) = asigne(p(t)B(t)). La fonction (t) = p(t)B(t) est appele fonction de commutation, et un temps tc auquel le contrle optimal change de signe est appel un temps de commutation. C'est en particulier un zro de la fonction .

1.6 Thorie linaire-quadratiqueOn s'interesse aux systmes de contrle linaires avec un cot quadratique. Ces systmes sont d'une grande importance en pratique. En eet un cot quadratique est souvent trs naturel dans un problme, par exemple lorsqu'on veut minimiser l'cart au carr par rapport une trajectoire nominale (problme de poursuite). Par ailleurs mme si les systmes de contrle sont en gnral non

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