control procesos

Seales de tiempo discretoPropiedades de las seales de tiempo discretoDefinicin y propiedades de la transformada z

Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Leccin 1: Transformada z de sistemas en tiempodiscreto

L. Moreno, S. Garrido

Dpto. Ing. de Sistemas y AutomticaUniversidad Carlos III

Madrid

Enero 2012

L. Moreno, S. Garrido Curso de Ing. de Control II



ndice de contenidos

1 Seales de tiempo discreto

2 Propiedades de las seales de tiempo discreto

3 Definicin y propiedades de la transformada z

4 Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto




Seales de tiempo discreto

Seales en t. continuo y en t. discreto.

Una seal x(t) se dice que es de tiempo continuo si t es una variablecontinua, y de tiempo discreto cuando la seal x(t) slo est definida enciertos instantes discretos de tiempo, que con frecuencia se representapor secuencias de nmeros denotadas por {xk} o bien x(k).




Seales de tiempo discreto

Las seales de tiempo discreto pueden corresponder a procesos que sonimplcitamente discretos o bien corresponder a seales de tiempocontinuo que se han muestreado.

x(t0), x(t1), . . . , x(tk), . . .

Se representanx(0), x(1), . . . , x(k), . . .

cuando se muestrea con periodo fijo T

x(tk) = x(kT ) = x(k)




Seales bsicas

Impulso unitario. A veces denominada muestreo unitario (unitsample), que se denota por (k) y cuya definicin es:

(k) ={

1 si k = 00 en otro caso (1)




Seales bsicas

Escaln unitario. En ingls denominada (unit step), se denota poru(k) y cuya definicin es:

u(k) ={

1 si k > 00 en otro caso (2)

Esta seal se puede interpretar como una suma de impulsos unitariosdesplazados en el tiempo en la siguiente forma

u(k) =k

n=0

(n) (3)

Alternativamente la seal impulso puede escribirse como la diferenciaentre dos escalones. Esta seal se puede interpretar como una sumade impulsos unitarios desplazados en el tiempo en la siguiente forma

(k) = u(k) u(k 1) (4)L. Moreno, S. Garrido Curso de Ing. de Control II



Seales bsicas

Exponencial. La secuencia exponencial se define como:

x(k) = ak (5)

donde a puede ser un nmero real o complejo. Una de un particularinters es cuando a = e j0 , donde 0 es un nmero real. En estecaso se tiene una exponencial compleja

e jk0 = cos(k0) + j sin(k0) (6)




SealesDuracin de la seal

Las seales de tiempo discreto pueden clasificarse por su duracin:Secuencia de longitud finita. Es cuando los valores de la secuenciason nulos fuera de un intervalo finito [N1,N2].Secuencia de longitud infinita. Es cuando los valores de lasecuencia no son finitos en longitud, como por ejemplo el escalnunitario o la secuencia exponencial.Secuencia unilateral. Es cuando todos los valores de la secuenciason cero para un cierto valor de k < n0 o k > n0, en el primer casoseria lateral derecha y en el otro lateral izquierda.Secuencia bilateral. Es cuando la secuencia extiende sus valoreshasta el infinito a derecha e izquierda.




SealesOtras propiedades de la seal

Las seales de tiempo discreto pueden ser:Peridicas o aperidicas. Una seal se dice que es peridicacuando existe un entero real positivo N tal que

x(k) = x(k + N) (7)

Es decir la secuencia se repite cada N muestras, a N se le denominaperiodo de la seal y es el nmero positivo ms pequeo para el quese verifica 7.Pares o impares. Dependiendo del tipo de simetra que tienen sedenominan secuencias pares o impares. Se dice que la secuencia espar cuando

x(k) = x(k)y se dice que es impar cuando

x(k) = x(k)L. Moreno, S. Garrido Curso de Ing. de Control II



SealesOtras propiedades de la seal (cont.)

Las seales de tiempo discreto pueden ser tambin:Simtrica y antisimtrica conjugada. Se dice que una seal essimtrica conjugada cuando

x(k) = x(k)

y se dice que es antisimtrica conjugada cuando

x(k) = x(k)

.




SealesManipulaciones bsicas

Desplazamiento temporal. Se dice que una seal se desplaza n0muestras a la derecha cuando

y(k) = x(k n0)Si n0 < 0 se denomina retardo y si n0 > 0 se denominaadelanto.





Inversin temporal. Se dice que una seal se invierte en el tiempocuando

x(k) = x(k)





Escalado temporal. Se dice que una seal se escala en el tiempocuando se multiplica o divide por N el coeficiente temporal

y(k) ={

x( kN ) if k = 0,N,2N, . . .0 en otro caso

(8)




Descomposicin de seales

Utilizando la seal impulso unitario una seal puede ser descompuesta enuna suma de impulsos desplazados en el tiempo y ponderados

x(k) = . . .+x(1)(k+1)+x(0)(k)+x(1)(k1)+x(2)(k2)+ . . .

que puesto en una notacin ms compacta

x(k) =

n=x(n)(k n) (9)




Transformada z unilateralDefinicin

Dada una secuencia de nmeros x(k), se define la transformada z dedicha secuencia como

Definicin de Transformada z unilateral

X (z) =k=0

x(k)zk (10)




Transformada z bilateralDefinicin

Dada una secuencia de nmeros x(k), se define la transformada zbilateral de dicha secuencia como

X (z) =

x(k)zk (11)

La transformada z bilateral y la unilateral son equivalentes cuandox(k) = 0 para todo k < 0.




Operador transformada zDefinicin

Es muy usual considerar la transformada z como un operador quetransforma una secuencia x(k), en una funcin X (z), lo que se representasimblicamente de la forma

X (z) = Z[x(k)] (12)




Transformada z unilateral. Relacin con Laplace

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateralde la seal muestreada

x(t)

n=(t nT ) =

n=

x [n](t nT )

donde x(t) es la seal continua muestreada, x [n] = x(nT ) lan-sima muestra, T el periodo de muestreo, y con la sustitucinz = esT .Del mismo modo, la TZ unilateral es simplemente la transformadade Laplace unilateral de la seal ideal muestreada. En ambas seasume que la seal muestreada vale cero para todos los ndicesnegativos en el tiempo.




Regin de convergencia

Se denomina regin de convergencia al rango de valores de lavariable compleja z para los que la transformada z converje.Ejemplo: Dada la secuencia x(k) = aku(k), donde u(k) es lasecuencia escaln unitario y a es un valor real, la transformada z dedicha secuencia es

X (z) = Z[x(k)] =k=0

(az1)k =1

1 az1 (13)

o multiplicando el numerador y denominador por z

X (z) =z

z a (14)

y X (z) converge en la regin del espacio dnde |az1| < 1, es decirdnde |z | > |a|.




Funcin racional de z

En el caso anterior la transformada z se poda expresar en funcinde z1 o de z .Cada tipo de expresin tiene diferente utilidad, si bien la segundaexpresin es una funcin racional de z y al igual que en latransformada de Laplace puede ser caracterizada por sus polos(races del polinomio del denominador) y ceros (races del polinomiodel numerador).




Regin de convergencia

Regiones de convergencia para el ejemplo anterior .




Propiedades de la Regin de Convergencia

Asumiendo que X (z) es una funcin racional de z .1 La RdC no contiene ningn polo.2 Si x(k) es una secuencia finita (es decir si x(k) = 0 excepto en un

cierto intervalo n1 k n2) y X (z) converje para algn valor de z ,entonces la RdC es el plano-z excepto posiblemente los puntosz = 0 y z =.

3 Si x(k) es una secuencia en la parte derecha con valor x(k) = 0 parak < n2 rmaxo

> |z | > rmaxdonde rmax es la magnitud menor de cualquiera de los polos deX (z). Es decir la RdC es el exterior del crculo |z | = rmax en elplano-z con la posible excepcin de z =.




Propiedades de la Regin de ConvergenciaContinuacin

1 Si x(k) es una secuencia en la parte izquierda con valor x(k) = 0para k > n2 > y X (z) converge para algn valor de z , entoncesla RdC es de la forma

|z | < rmino

0 < |z | < rmindonde rmax es la magnitud menor de cualquiera de los polos deX (z). Es decir la RdC es el interior del crculo |z | = rmin en elplano-z con la posible excepcin de z = 0.

2 Si x(k) es una secuencia bilateral (es decir es un secuencia infinita) yX (z) converje para algn valor de z , entonces la RdC es de la forma

r1 < |z | < r2donde r1 y r2 son las magnitudes de los dos polos de X (z). La RdCes el anillo entre los crculos de radio |z | = r1 y |z | = r2 en elplano-z que no contiene ningn polo.




Regin de ConvergenciaTransformada z unilateral

La transformada z unilateral tiene muchas propiedades importantes,algunas de las cuales son similares en las transformada z bilateral(linealidad, escalado en el dominio z , expansin en el tiempo,conjugacin y diferenciacin en el dominio z) y otras difieren deforma significativa.Entre las que difiere de forma significativa est la la Regin deConvergencia, que en el caso de las transformadas z unilateralessiempre es el exterior de un crculo. Por ejemplo la RdC para unafuncin racional de la transformada unilateral est siempre fuera delpolo ms externo.En el campo de control nos interesan fundamentalmente lastransformadas unilaterales.




Transformadas z unilaterales de algunas funciones

Ejemplo 1La transformada z de la funcin impulso unitario (k) que se definecomo

f (k) = (k) =

0, k > 01, k = 00, k < 0 (15)se obtiene como

F (z) = Z[(k)] =k=0

(k)zk = z0 = 1

para todo z .





Ejemplo 2La transformada z de la funcin escaln unitario u0(k) que se definecomo

f (k) = u0(k) ={

1, k > 00, k < 0 (16)

se obtiene como

F (z) = Z[u0(k)] =k=0

1zk =k=0

zk

= 1+ z1 + z2 + . . . =1

1 z1 =z

z 1 (17)





Ejemplo 3La transformada z de la funcin exponencial f (k) = ek para k 0se obtiene como

F (z) = Z[ek ] =k=0

ekT zk

= 1+ eT z1 + e2T z2 + . . .

=1

1 eT z1=

zz eT (18)




Ejemplo 4Calcular la transformada z unilateral de la funcin rampa unitaria:

x(t) ={

t, t 00, t < 0

Tener en cuenta que la funcin se puede reescribir teniendo en cuenta elperiodo de muestreo: x(kT ) = kT , k = 0, 1, 2...Solucin:Aplicando la definicin de la transformada y la frmula que permiteobtener el sumatorio de la serie resultante, la transformada sera:

X (z) =k=0

x(kT )zk =k=0

kTzk =Tk=0

kzk

X (z) = T (z1 + 2z2 + 3z3 + ...)

X (z) = Tz1

(1 z1)2 =Tz

(z 1)2





En la tabla se pueden ver las transformadas de algunas de las funcionesms usuales.

Tabla de transformadas z

f(k) F(z)(k) 1

(k n) znu0(k) zz1ak zzak z(z1)2

k + 1 z2

(z1)2sin(k) (sin)zz2(2 cos)z+1cos(k) z

2(cos)zz2(2 cos)z+1




Propiedades de la transformada z unilateral

Linealidad.Una propiedad muy importante de la transformada z es que es unoperador lineal. Dadas dos funciones (secuencias) f (k) y g(k) y unaconstante arbitraria se verifica que:

Z[f (k) + g(k)] = Z[f (k)] + Z[g(k)] (19)

yZ[f (k)] = Z[f (k)] = F (z) (20)





Traslacin real o temporalLa transformada z de una secuencia f (k) retardada n ciclos en el tiempof (k n) se puede expresar de la siguiente manera:

Z[f (k n)] = znF (z) (21)

y cuando es adelantada

Z[f (k + 1)] = zF (z) zf (0) (22)

Z[f (k + n)] = [znF (z)n1k=0

f (k)znk ] (23)





Traslacin complejaSi f (t) tiene la transformada z, F (z), entonces la transformada z deeat f (t) se define como F (zeaT ), lo que se conoce como teorema de latraslacin compleja.

Z[eat f (t)] =n1k=0

f (kT )eakT zk =n1k=0

f (kT )(zeaT )k = F (zeaT )

(24)





Teorema del valor inicialSi la transformada z de la funcin f (k) es F (z), y si el lim

zF (z) existe,

entonces el valor inicial f (0) de f (k) viene dado por

f (0) = limk0

f (k) = limzF (z) (25)





Teorema del valor finalSi la transformada z de la funcin f (k), con f (k) = 0 para k < 0, esF (z), y dicha funcin F (z) tiene todos sus polos dentro del crculounitario, con la posible excepcin de un polo simple en z=1. Entonces elvalor final de f (k), puede obtenerse como

limk

f (k) = limz1

[(1 z1)F (z)]

= limz1

[z 1z

F (z)] (26)





Multiplicacin por akSi la transformada z de la funcin f (k) es F (z), entonces la transformadaz de ak f (k) se obtiene como

Z[ak f (k)] = F (a1z) = F (z/a) (27)





Convolucin realSean F1(z) y F2(z) las transformadas z de las funciones f1(t) y f2(t),respectivamente, entonces

F1(z)F2(z) = Z[f1(k) f2(k)]

= Z[Nk=0

f1(k)f2(N k)]

= Z[Nk=0

f2(k)f1(N k)]

En esta expresin el smbolo denota la operacin convolucin en eldominio del tiempo (discreto). Una excepcin a este caso se produce siuna de las dos funciones es el retardo integral eNTs , ya que en este caso

Z[eNTsF (s)] = Z[eNTs ]Z[F (s)] = zNF (z) (28)L. Moreno, S. Garrido Curso de Ing. de Control II




Primera diferenciaLa transformada z unilateral de la primera diferencia entre dos sealesf (k) f (k 1) es

Z[f (k) f (k 1)] = (1 z1)F (z) = z 1z

F (z)

SumatorioLa transformada z unilateral de la suma de una secuencia de seales f (k)viene dada por

Z[Nn=0

f (k)] =1

1 z1F (z) =z

z 1F (z)





Diferenciacin en el campo complejoLa derivada respecto a z de la transformada z unilateral de una sealF (z) multiplicada por z es igual a:

Z[kx(k)] = z dF (z)dz




Transformada z inversa

La transformada z en los sistemas de tiempo discreto juega un papelequivalente al de la transformada de Laplace en los sistemas detiempo continuo.De forma similar a lo que ocurra en aquella, es necesario despus deoperar en el plano z para resolver la ecuacin en diferencias convertirdicha solucin al dominio del tiempo.En este caso, al pasar de nuevo al dominio del tiempo lo queobtendremos como resultado es la correspondiente secuencia en eltiempo f (k).En el caso de la transformada z inversa, la secuencia que se obtieneslo est definida en el tiempo en los instantes de muestreo, por loque resulta una nica secuencia f (k) pero que puede corresponder almuestreo de un nmero infinito de funciones f (t).




Transformada z inversaFrmula de inversin

Al igual que en el caso de la transformada de Laplace existe unaexpresin que nos da la transformada inversa z en funcin de unaexpresin integral en el plano z

x(k) =12pij

CX (z)zn1dz

donde C es un contorno de integracin en sentido contrario a las agujasdel reloj que encierra el origen de coordenadas (teora de v. compleja).




Transformada z inversaTablas de transformadas

Es posible calcular la transformada inversa z mediante su expresinintegral, pero esto requiere resolver la expresin integral. Un mtodoalternativo mucho ms simple es utilizar las tablas de transformadas.Esto se puede hacer cuando la X (z) puede expresarse como la suma detransformadas z de seales tabuladas

X (z) = X1(z) + . . .+ Xn(z)

cuya inversa se conoce x1(k), . . . , xn(k), es decir

x(k) = x1(k) + . . .+ xn(k)




Transformada z inversaExpansin en serie de potencias

La expresin de la transformada z de una seal es una serie de potenciasdonde los valores de la secuencia x(k) son los coeficientes de la serie depotencias de zk . Por lo tanto

X (z) =k=0

x(k)zk = x(0)z0 + x(1)z1 + . . .+ x(k)zk + . . .

y de aqu se pueden obtener los valores de la secuencia.El problema es que esto da una secuencia pero no una expresin analticacerrada.




Transformada z inversaExpansin en fracciones parciales

En la mayor parte de las aplicaciones de control, tanto las ecuaciones endiferencias como las soluciones de las mismas suelen tener la forma defunciones racionales en z , del tipo

F (z) =N(z)D(z)

(29)

donde N(z) y D(z) son polinomios en z . Se asume que el grado delpolinomio N(z) del numerador en z es menor o igual que el grado delpolinomio D(z) del denominador.Esta expresin puede escribirse en la siguiente forma

F (z) =N(z)

zn + a1zn1 + . . .+ an1z + an(30)

donde los coeficientes ai son coeficientes reales.




Transformada z inversaExpansin en fracciones parciales

De forma similar al caso de la transformada inversa de Laplace, elmtodo de expansin en fracciones parciales nos dar la forma msgeneral de obtener la transformada inversa en z cuando F (z) es unafuncin racional de z .La idea bsica del mtodo de la expansin en fracciones parciales ya secoment para el caso de la transformada de Laplace, y consiste endescomponer el polinomio F (z) en una suma de fracciones simples deforma que stas sean las transformadas de funciones simples y conocidas,de forma que para cada fraccin resulte muy fcil calcular latransformada inversa.

F (z) =N(z)D(z)

= k(z z1)(z z2) . . . (z zm)(z p1)(z p2) . . . (z pn)

Veamos los diferentes casos que se pueden presentar.




Caso de polos simples y reales

Si todos los polos de D(z) son simples y reales, y hay por lo menos uncero en el origen, entonces se expande F (z)z de la siguiente forma

F (z)z

=A0z

+A1

(z p1) +A2

(z p2) + . . .+An

(z pn) (31)

donde los coeficientes A1, . . . ,An se obtienen como

Ai =[(z pi )F (z)z

]z=pi

y elA0 = F (z)

z=0

Se realiza la expansin de la funcin F (z)/z en vez de la funcin F (z)para que las fracciones simples de la expansin queden de la misma formaque para las expansiones en fracciones parciales en s.




Caso de polos mltiples y reales

Si los polos de D(z) son mltiples, entonces la ecuacin (30) toma lasiguiente forma

F (z) =N(z)

(z p1)2 (32)

y en ella z1 tiene un orden de multiplicidad de 2. Descomponiendo laexpresin (32) en fracciones parciales obtenemos

F (z)z

=A1

(z p1)2 +A2

(z p1) (33)

donde los coeficientes A1 y A2 correspondientes al polo mltiple seobtienen como

A1 =[(z p1)2F (z)z

]z=p1

A2 =ddz[(z p1)2F (z)z

]z=p1

(34)




Caso de polos mltiples y realesExpresin general

En general si F (z) tiene polos de orden mltiple, por ejemplo el polo pies mltiple con orden r , la expansin del trmino correspondiente a estepolo ser de la forma

c1z pi +

c2(z pi )2 + . . .+

cr(z pi )r

donde

crk =1k!

dk

dzk

{(z pi )r F (z)z

}z=pi




Expansin en fracciones parcialesCaso de ms ceros que polos

Cuando se tiene que

F (z) =N(z)D(z)

= k(z z1)(z z2) . . . (z zm)(z p1)(z p2) . . . (z pn)

m > n, aunque este caso no suele presentarse en control ya queimplicara la no causalidad del sistema, desde un punto de vista terico eltratamiento sera desarrollar la expansin en fracciones parciales de F (z)de la siguiente forma

F (z) =mnq=0

bqzq +n

k=1

ckz

z pk (35)

donde los coeficientes b0, . . . , bq se obtienen como resultado de ladivisin polinmica directa del numerador por el denominador.




Expansin en fracciones simplesEjemplo

Dada la transformada z

F (z) =z(1 eT )

(z 1)(z eT ) (36)

siendo constante y T el periodo de muestreo, obtener la transformadaz inversa por el mtodo de descomposicin en fracciones.La expansin en fracciones viene dada por la siguiente expresin

F (z)z

=A1

(z 1) +A2

(z eT ) (37)

y si aplicamos la expresin correspondiente a los coeficientes tenemos que

A1 =[(z 1)F (z)

z]z=1

= 1

A2 =[(z eT )F (z)

z]z=eT

= 1 (38)




Expansin en fracciones simplesEjemplo cont.

con lo que la expansin en fracciones parciales quedar en la forma

F (z)z

=1

(z 1) +1

(z eT ) (39)

o lo que es lo mismo

F (z) =1

(1 z1) +1

(1 eT z1) (40)




Expansin en fracciones simplesEjemplo cont.

y si vamos a una tabla de transformadas z veremos que

Z1[ 1(1 z1)

]= 1

Z1[ 1(1 eT z1)

]= ekT (41)

y por tanto su transformada z inversa ser

f (kT ) = 1 ekT , k = 0, 1, 2, . . . (42)




Resolucin de ecuaciones en diferenciasEjemplo

Supongamos un cierto sistema, cuya ecuacin en diferencia es la siguiente

x(k + 2) + 2x(k + 1) + x(k) = 0 (43)

sabemos adems que para dicho sistema los valores de x para k = 0 yk = 1 son respectivamente x(0) = 1 y x(1) = 0, y queremos obtener lasalida x(k) que dar el sistema (43).Aplicando la propiedad de la traslacin real de la transformada ztendremos lo siguiente

[z2X (z) z2x(0) zx(1)] + 2[zX (z) zx(0)] + X (z) = 0Si ahora sustituimos x(0) y x(1) por su valor nos quedar

[z2X (z) z2] + 2zX (z) + X (z) = 0z2X (z) + 2zX (z) + X (z) = z2

X (z) =z2

z2 + 2z + 1=

z2

(z + 1)2




Resolucin de ecuaciones en diferenciasEjemplo (cont.)

Expandiendo en fracciones parciales esta expresin

X (z)z

=A1

(z + 1)2+

A2(z + 1)

(44)

Los coeficientes vendrn determinados por

A1 =[(z + 1)2

X (z)z]z=1

= zz=1

= 1

A2 =ddz[(z + 1)2

X (z)z]z=1

= 1

y su transformada inversa ser la solucin de la ecuacin en diferenciaspara las condiciones iniciales que se han supuesto, es decir

x(k) = (1)k1 + (1)k (45)




Operador retardo

Tambin en el caso de los sistemas en tiempo discreto es frecuente lautilizacin de un operador de transferencia que nos permita expresar enforma polinmica la relacin en el tiempo de la seal de entrada con la desalida. En los sistemas de tiempo discreto dicho operador es eldenominado operador adelanto, operador adelanto que se suelerepresentar por el smbolo q,

qu(k) = u(k + 1) (46)

o su inverso el operador retardo,

q1u(k) = u(k 1) (47)




Operador retardo

Utilizando este operador una ecuacin en diferencias de orden n quedaren la siguiente forma

y(k) + a1y(k 1) + . . .+ an1y(k (n 1)) + any(k n)= b1u(k 1) + . . .+ bn1u(k (n 1)) + bnu(k n)

puede expresarse en forma polinmica

y(k) + a1q1y(k) + . . .+ an1q(n1)y(k) + anqny(k)= b1q1u(k) + . . .+ bn1q(n1)u(k) + bnqnnu(k)

es decir

[1+ a1q1 + . . .+ an1q(n1) + anqn]y(k)= [b1q1 + . . .+ bn1q(n1) + bnqn]u(k)

A(q1)y(k) = B(q1)u(k)

y(k) =B(q1)A(q1)

u(k)

El operador retardo es equivalente a z1 , aunque en dominio del tiempo.L. Moreno, S. Garrido Curso de Ing. de Control II



Relacin entre las transformadas z y de Laplace

Definicin 1:Dada una secuencia u(k) = u(0), u(1), . . . , u(k), . . . su transformada z sedefine como

U(z) = u(0) + u(1)z1 + u(2)z2 + . . .+ u(k)zk + . . .

=n=0

u(n)zn (48)

Definicin 2:Dada una secuencia u(k) = u(0), u(1), . . . , u(k), . . . su representacincomo tren de impulsos (muestreo de una seal continua con periodo T )se define como

u(t) = u(0)(t) + u(1)(t T ) + . . .+ u(k)(t kT ) + . . .

=n=0

u(n)(t nT ) (49)




Relacin entre las transformadas z y de Laplace

Y si hacemos la transformada de Laplace de esta expresin

U(s) = L[u(t)]= u(0) + u(1)esT + u(2)e2sT + . . .+ u(k)eksT + . . .

=n=0

u(n)(esT )n (50)

Si definimos z = esT y sustituimos en la expresin anterior obtenemos laexpresin de la transformada z de la secuencia.Ambas expresiones significan lo mismo, pero cada una tiene sus ventajase inconvenientes. La primera definicin nos ahorra el usar impulsos ytransformadas de Laplace y simplifica notablemente los anlisis y diseos.La segunda nos permite usar la transformada de Laplace para estudiarseales discretas.




Sistemas de tiempo discreto

Un ejemplo de sistema de tiempo discreto puede ser el siguiente

y(k) = 0,5y(k 1) + x(k) (51)

donde la seal de entrada a un cierto sistema x(k) es transformada enuna seal de salida y(k) mediante una cierta transformacin T () deforma que

y(k) = T [x(k)] (52)




Propiedades de los sistemas de tiempo discreto

Sin memoria.Se dice que un sistema no tiene memoria cuando la salida delsistema y(k) en el instante k depende slo del valor de la entrada xen el instante k .Por ejemplo, el sistema

y(k) = x2(k)

no tiene memoria, mientras que

y(k) = x(k) x(k 1)

si tiene memoria.




Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discretoSistema lineal e invariante en el tiempo

La respuesta de un sistema de tiempo discreto a un impulso unitario sedenomina secuencia respuesta impulsional . Esta secuencia derespuesta impulsional puede utilizarse para representar la respuesta de unsistema lineal de tiempo discreto a una secuencia de entrada arbitraria alsistema {u(k)} = {u(0), u(1), . . . , u(k), . . .}.Esta secuencia puede expresarse como

u(k) = u(0)(k) + u(1)(k 1) + . . .+ u(i)(k i) + . . .

=i=0

u(i)(k i) (53)

Y para un sistema lineal aplicando el principio de superposicin la salidadel sistema ante una entrada es la suma de las secuencias de respuestaimpulsionales a cada uno de los impulsos que forman la seal de entrada

{y(k)} = {h(k)}u(0)+ {h(k 1)}u(1)+ . . .+ {h(k i)}u(i)+ . . . (54)L. Moreno, S. Garrido Curso de Ing. de Control II



Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discretoSistema lineal e invariante en el tiempo

que puesto en forma de sumatorio nos da la convolucin de la respuestaimpulsional del sistema con la seal de entrada

y(k) = h(k) u(k) =i=0

h(k i)u(i) (55)




Respuesta temporal de un sistema de tiempo discretoSuma de convolucin

Dado un sistema cuya respuesta impulsional en tiempo discreto vienedada por la secuencia h(k), la relacin entre la entrada y salida delsistema en el dominio del tiempo (discreto) viene expresada por medio dela suma de convolucin, es decir:

y(k) = h(k) x(k) =

n=h(n)x(k n) (56)

Esta relacin entre x(k) e y(k) puede expresarse por medio de latransformada z en el campo complejo como

Y (z) = H(z)X (z) (57)

donde H(z) es la transformada z de h(k).




Funcin de transferenciaSistema lineal e invariante en el tiempo

La relacin entre la entrada y la salida del sistema x(k) e y(k) puedeexpresarse por medio de la transformada z en el campo complejo como

Y (z) = H(z)X (z) (58)

donde H(z) es la transformada z de h(k) que se denomina funcin detransferencia discreta del sistema. La funcin de transferencia delsistema en tiempo discreto es la transformada z de su respuestaimpulsional:

H(z) =

n=h(n)zn (59)

De esta expresin es muy fcil de obtener la respuesta en frecuenciaevaluando H(z) alrededor del crculo unidad

H(e jw ) = H(z)|z=ejw (60)




Respuesta de un sistema de tiempo discretoTeorema de convolucin

Aunque la suma de convolucin es mucho ms simple que la integral deconvolucin equivalente en sistemas de tiempo discreto, veamos cmo esposible evitarla. Para lo cual se usar el siguiente teorema.

Teorema de convolucin.La transformada z de la convolucin de dos secuencias temporales esigual al producto de sus transformadas z .




Respuesta de un sistema de tiempo discretoTeorema de convolucin

Demostracin:

Y (z) =k=0

y(k)zk

=k=0

{ i=0

u(i)h(k i)}zk (61)intercambiando los sumatorios y sustituyendo j = k i se obtiene

Y (z) =i=0

j=i

u(i)h(j)}z(i+j) (62)

y por la propiedad de causalidad

Y (z) ={

i=0

u(i)zi}{

j=0

h(j)zj}

= H(z)U(z) (63)




Aplicaciones del teorema de convolucin

Nos permite obtener la respuesta de sistemas lineales usando latransformada z para obtener la salida sin realizar la convolucin, para loque se realizan las siguientes operaciones:

Obtener la transformada z de la entrada.Multiplicar la transformada z de la entrada por la funcin detransferencia del sistema.Obtener la transformada inversa z para obtener la secuencia desalida del sistema a la entrada introducida.Nos da la salida en forma cerrada




Aplicaciones del teorema de convolucinEjemplo

Sea el sistema discreto

y(k + 1) y(k) = u(k + 1)con y(0) = 0. Encontrar la funcin de transferencia del sistema y surespuesta a un escaln unitario muestrado.

Solucin:De la ecuacin se tiene que y(k) y(k)z1 = u(k). Reescribiendo

H(z) =Y (z)U(z)

=1

1 z1 =z

z 1Multiplicando la funcin de transferencia por la funcin de transferenciadel escaln unitario muestreado obtenemos

Y (z) = H(z)U(z) =z

z 1z

z 1 = zz

(z 1)2




Aplicaciones del teorema de convolucinEjemplo cont.

Y si recordamos que la transformada z de la rampa unitaria muestreadaera F (z) = z(z1)2 y que multiplicar por z implica un avance en eltiempo, entonces tenemos la respuesta en el tiempo

y(k) ={

k + 1, k = 0, 1, 2, 3, . . .0, k < 0 (64)


Esquema de un sistema de control en tiempo discretoMuestreo y bloqueo

Obtencin de las funciones de transferencia discretas equivalentesTeorema de muestreo

Leccin 2: Obtencin de la funcin de transferenciade un sistema.

L. Moreno,S. Garrido


Madrid

Enero 2012

L. Moreno,S. Garrido Curso de Ing. de Control



ndice de contenidos

1 Esquema de un sistema de control en tiempo discreto

2 Muestreo y bloqueo

3 Obtencin de las funciones de transferencia discretas equivalentes

4 Teorema de muestreo




Control en tiempo discretoEsquema tpico

Para controlar un sistema fsico real o proceso mediante un controladordigital (computador) es necesario tomar medidas del sistema, procesarlasy actuar sobre el sistema. Normalmente el proceso o planta y el actuadorson analgicos por lo que hay que pasar de seales continuas a discretasy viceversa.




Algunos ejemplosSistema de dosificacin

Sistema de dosificacin de medicamentos o nutrientes para un enfermo.El sensor mide el nivel de nutrientes o medicamento en la sangre.




Algunos ejemplosControl de una turbina de avin

Sistema de control de una turbina de avin.L. Moreno,S. Garrido Curso de Ing. de Control



Ecuaciones en diferencias

Las ecuaciones en diferencias aparecen en problemas donde la variableindependiente, normalmente el tiempo, slo puede tomar un nmerodiscreto de valores. La ecuacin en diferencias no lineal

y(k + n) = f [y(k + n 1), y(k + n 2), . . . ,y(k + 1), y(k), u(k + n), u(k + n 1), . . . ,u(k + 1), u(k)] (1)

se dice que es de orden n ya que es la diferencia entre los tiempos mayory menor de los argumentos y(.) y u(.).Por el momento slo nos interesaremos en los sistemas lineales, cuyaexpresin es ms sencilla

y(k + n) + an1y(k + n 1) + an2y(k + n 2) + . . .+ a1y(k + 1) + a0y(k) (2)= bnu(k + n) + bn1u(k + n 1) + . . .+ b1u(k + 1) + b0u(k) (3)




Muestreadores y bloqueadores

Muestreador (Sampling). El muestreador es un circuito quepermite la captura del valor de una seal analgica en un ciertoinstante de tiempo.Bloqueador o retenedor (hold). El bloqueador o retenedor tienecomo entrada una seal analgica y se encarga de mantener en lasalida constante el valor de entrada durante un tiempo especfico.Conversores Analgico/Digitales (A/D). Convierte una sealanalgica en una seal digital codificada numricamente.Conversores Digital/Analgicos (D/A). Convierte una sealdigital codificada numricamente en una seal analgica.




Muestreador

Normalmente en los esquemas de control el proceso de muestreo yconversin de la seal analgica en una digital se suele representarmediante el siguiente smbolo que representa a un muestreador ideal




BloqueadorDe orden cero

El bloqueador convierte la seal digital en una seal continua. En laversin ms simple tenemos el bloqueador de orden cero (zeroorder hold), que mantiene el valor de la seal constante durante laduracin del ciclo de muestreo, es decir

{u(k)} u(t) = u(k), kT 6 t < (k + 1)T , k = 0, 1, 2, . . .




Bloqueador: respuesta temporal

Las respuestas de un bloqueador de orden cero y otro de orden uno son




BloqueadorFuncin de transferencia

Si se observa la figura anterior, el bloqueador es bsicamente la restade dos escalones unitarios desfasados en el tiempo un periodo, ytomando la transformada de Laplace obtenemos la funcin detransferencia del bloqueador de orden cero, es decir

Gboc = L{u(t)} L{u(t T )} = 1s esT

s=

1 esTs




Efecto del muestreador sobre la funcin de transferenciaFuncines de transferencia en serie

Un sistema de tiempo discreto incluye diferentes subsistemasinterconectados que incluyen uno o varios muestreadores. Lalocalizacin de estos tiene una fuerte influencia en la funcin detransferencia global.Para dos sistemas conectados en serie H1(s) y H2(s), latransformada de Laplace de la salida viene expresada por

Y (s) = H2(s)H1(s)U(s)

Si se hace la transformada inversa obtenemos la respuesta temporal

y(t) = t0h2(t )

[ 0

h1( )u()d]d

=

t0u(t )

[ 0

h1( )h2()d]d

=

t0u(t )heq()d (4)




Efecto del muestreador sobre la funcin de transferenciaCont.

Si la salida de los bloques situados en cascada es muestreada

y(kT ) = kT0

u(kT )heq()d, k = 1, 2, . . .

En la salida se produce la convolucin de la entrada y las dosrespuestas impulsionales, por lo que no resulta posible separar losefectos de las seales que la generan.





Si uno de los dos bloques es el muestreador, la salida del sistemarealiza la convolucin de una seal muestreada u(t) con larespuesta impulsional del sistema de tiempo continuo H(s).

La salida es una suma de las respuestas impulsionales del sistemah(t) desplazada a las posiciones del tren de impulso, con lo que lafuncin temporal resultante es

y(t) = t0h(t )u()d

=

t0h(t )

[ k=0

u(kT )( kT )]d

=k=0

u(kT ) t0h(t )( kT )d =

k=0

u(kT )h(t kT )





Muestreando la salida obtenemos la suma de convolucin

y(kT ) =i=0

u(iT )h(kT iT ), k = 0, 1, 2, 3, . . .

es decirY (z) = H(z)U(z)

o en el dominio del tiempo

Y (s) = H(s)U(s)





En el caso continuo un nico bloque es la funcin de transferenciaequivalente a los subsistemas en cascada y sus componentes no sepueden separar despus del muestreo.

Y (z) = H(z)U(z) = (H1H2 . . .Hn)(z)U(z)

Sin embargo, si los sistemas situados en cascada estn separados pormuestreadores, entonces cada bloque tiene una salida y entradamuestreada, as como una funcin de transferencia z.

Y (z) = H(z)U(z) = H1(z)H2(z) . . .Hn(z)U(z)




Efecto del muestreador sobre la funcin de transferenciaEjemplo 1

Encontrar la secuencia de respuesta impulsional muestreadaequivalente y la funcin de transferencia z equivalente para unaconexin en cascada de dos sistemas analgicos con entradamuestreada H1 = 1s+2 y H2 =

2s+4 , para el caso en que estn

conectados directamente y el caso en que estn separados por unmuestreador.Solucin:

En ausencia de muestreadores entre los sistemas, la funcin detransferencia global es

H(s) =2

(s + 2)(s + 4)=

1s + 2

1s + 4

y la respuesta impulsional en cascada es

h(t) = e2t e4t




Efecto del muestreador sobre la funcin de transferenciaEjemplo 1 (cont.)

Solucin (cont.):La respuesta impulsional muestreada ser entonces

h(kT ) = e2kT e4kT , k = 0, 1, 2, . . .Y la funcin de transferencia en z ser

H(z) =z

z e2T z

z e4T =(e2T e4T )z

(z e2T )(z e4T )





Solucin (cont.):En el caso en que los sistemas estn separados por un muestreador,entonces cada sistema tiene una funcin de transferencia zdiferenciada

H1(z) =z

z e2T H2(z) =2z

z e4TY la funcin de transferencia en z global ser

H(z) = H1(z)H2(z) =2z2

(z e2T )(z e4T )Expandiendo en fracciones parciales

H(z) =2

e2T e4T [e2T z

z e2T e4T z

z e4T ]





Solucin (cont.):Y haciendo ahora la transformada inversa

h(kT ) =2

e2T e4T [e2T e2kT e4T e4kT ]

h(kT ) =2

e2T e4T [e2(k+1)T e4(k+1)T ], k = 0, 1, 2, . . .




Combinacin de bloqueador, sistema y muestreador.Funcin de transferencia

Una situacin usual en control es que aparezcan en cascada elbloqueador, el sistema y el muestreador, y como tanto la entradacomo la salida estn muestreadas es posible obtener la funcin detransferencia z global a partir de las funciones de transferencia z delos subsistemas




Combinacin de bloqueador, sistema y muestreador.Funcin de transferencia (cont.)

En el campo de Laplace, la funcin de transferencia global es (GB(s)-bloqueador, GS(s)- sistema)

GBS(s) = GB(s)GS(s) = (1 esT )GS(s)sEn el campo temporal

gBS(t) = gB(t) gS(t) = gS/s(t) gS/s(t T )

congS/s(t) = L1

{GS(s)s}

Si la muestreamos, da como resultado

gBS(kT ) = gS/s(kT ) gS/s(kT T )




Combinacin de bloqueador, sistema y muestreador.Funcin de transferencia equivalente(cont.)

Si hacemos la transformada z de la expresin anterior obtenemos que

GBSM(z) = (1 z1)Z{gS/s(t)

}= (1 z1)Z{L1[GS(s)

s]}

(5)

que puesto en una notacin ms compacta:

GBSM(z) = (1 z1)Z{GSs}

(6)




Funcin de transferencia en bucle cerrado de un sistema conel equivalente discreto.

La funcin de transferencia en bucle cerrado de un sistema queincluye un controlador en tiempo discreto GC (z) y el equivalentediscreto GBSM(z) de un sistema que incluye bloqueador-sistema detiempo continuo-muestreador es de la forma

Gbc(z) =GC (z)GBSM(z)

1+ GC (z)GBSM(z)(7)

cuya ecuacin caracterstica en bucle cerrado viene dada por

1+ GC (z)GBSM(z) = 0 (8)




Ejemplo.

Calcular las funciones de transferencia de Laplace del sistemacontinuo y del muestreado para el sistema

La seal x(t) tiene la transformada de Laplace

X (s) = H(s)GP(s)GC (s)E (s) (9)

Esta transformada implica tres multiplicaciones en el dominio s quecorresponde a tres convoluciones en el dominio del tiempo.




Ejemplo.cont. 1

En el diagrama de bloques se ve que E (s) = R(s) X (s), ysustituyendo en la expresin de X (s)

X (s) = H(s)GP(s)GC (s) [R(s) X (s)] (10)

por lo que la variable muestreada tendr por transformada deLaplace

X (s) = HGPGCR(s) HGPGC (s)X (s) (11)Despejando X (s)

X (s) =HGPGCR(s)1+ HGPGC (s)

(12)




Ejemplo.cont. 2

Entonces E (s)

E (s) = R(s) HGPGCR(s)

1+ HGPGC (s)(13)

Operando

Y (s) = GC (s)GP(s)[R(s) HGPGCR

(s)1+ HGPGC (s)

](14)

con lo que la salida muestreada queda en la forma

Y (s) = GCGPR(s) GCGP(s)HGPGCR(s)1+ HGPGC (s)

(15)

y aplicando z = est lo reescribimos en el dominio z

Y (z) = GCGPR(z) GCGP(z) HGPGCR(z)1+ HGPGC (z) (16)




Error en rgimen permanente de un sistemaEn bucle cerrado.

El error E (z() viene dado por

E (z) =R(z)

1+ GC (z)GBSM(z)(17)

y aplicando el teorema del valor final

e() = limz1(1 z1)E (z)= limz1

(z 1)R(z)z(1+ GC (z)GBSM(z))

(18)




Tipo de un sistemaTiempo discreto

El tipo de un sistema es el nmero n de polos unitarios, es decir, en(z 1), de la funcin de transferencia z del sistema.

F (z) =N(z)

(z 1)nD(z) , n > 0




Error en rgimen permanente de un sistema en b.c.Entrada escaln unitario muestreado

La funcin de transferencia de una entrada escaln unitario vienedada por

R(z) =z

z 1 (19)

Introducindola en la expresin del error obtenemos

e() = limz1 1(1+ GC (z)GBSM(z))

=1

1+ Kp(20)

donde Kp = limz1GC (z)GBSM(z) es la denominada constante delerror de posicin, que tiene un valor finito para sistemas de tipo ceroe infinito para sistemas de tipo 1 o superior.




Error en rgimen permanente de un sistema en b.c.Entrada rampa muestreada

La funcin de transferencia de una entrada rampa muestreada vienedada por

R(z) =Tz

(z 1)2 (21)

Introducindola en la expresin del error obtenemos

e() = limz1 T(z 1)(1+ GC (z)GBSM(z))

=1Kv

(22)

donde Kv = limz1 1T (z 1)GC (z)GBSM(z) es la denominadaconstante del error de velocidad y tiene un valor cero para sistemasde tipo cero, finito para sistemas de tipo uno e infinito para sistemasde tipo 2 o superior.




Ejemplo

Obtener el error de posicin para un sistema con relimentacinunitaria cuya funcin de transferencia equivalente de la planta (conbloqueador y muestreador) es

GBSM(z) =K (z + a)

(z 1)(z b)y la del controlador

GC (z) =Kc(z b)(z c)

con 0 < a, b, c < 1.




Ejemplocont.

Solucin:Gba(z) = GC (z)GBSM =

KKc(z + a)(z 1)(z c)

el sistema es de tipo 1, por lo que tendr un error nulo ante entradaescaln en rgimen permanente y para entrada rampa

e() = limz1 T(z 1)(1+ GC (z)GBSM(z))

=T (1 c)KKc(1+ a)

(23)

Se puede observar que el error en rgimen permanente ante rampase reduce cuando se aumenta la ganancia Kc del controlador ydepende de las posiciones del polo y cero del controlador.




Teorema del muestreo

Teorema:La seal f (t) de banda limitada, cuya transformada de Fourier F (j) esdistinta de cero en el intervalo m 6 6 m y cero en el resto, puedeser reconstruida a partir de la forma de onda de la seal de tiempodiscreto

f (t) =+

k=f (t)(t kT )

si y slo si la frecuencia de muestreo s = 2pi/T satisface la condicin

s > 2m




Teorema del muestreoDemostracin

Considere la secuencia de impulsos unitarios

T =

k=(t kT )

y su transformada de Fourier

T =2piT

n=

( ns)

El muestreo por impulsos se obtiene multiplicando las formas de onda def (t) por T . Por el teorema de convolucin en frecuencia, el espectro delproducto de las dos seales viene dado por la convolucin de susespectros respectivos, esto es:

F{T (t) f (t)} = 12pi T (j) F (j)

=

[1T

n=

( ns)] F (j)

=1T

n=

F ( ns)L. Moreno,S. Garrido Curso de Ing. de Control



Teorema del muestreo

El espectro de la forma de onda continua puede ser recuperado medianteun filtro paso bajo ideal de ancho de banda b en el rangom < b < s/2.




Eleccin de la frecuencia de muestreo

Las seales de banda finita son una idealizacin asociada con lasseales de duracin infinita, ya que la duracin infinita implica enrealidad un ancho de banda infinito.Desde un punto de vista prctico tienen lo que podriamos denominarun ancho de banda efectivo limitado, a partir del cual el efecto delos componentes espectrales son despreciables.Este hecho hace que podamos tratar las seales como si fuesen debanda limitada y elegir para ellas una frecuencia de muestreo mayorque la especificada por el teorema de muestreo.Como regla prctica esta frecuencia de muestreo s se puede tomarcomo

s = km, 5 k 10




Eleccin de la frecuencia de muestreo

La eleccin de k depende de la aplicacin y del coste de muestrear auna cierta frecuencia: a mayor frecuencia mayor coste (memoria).Un sistema de control en lazo cerrado no puede tener un periodo demuestreo por debajo del tiempo necesario para medir la salida, esdecir, la frecuencia de muestreo est acotada superiormente por elretardo del sensor.




Transformada z modificada

El muestreo y la transformada z reflejan los valores de una sealcontinua nicamente en los puntos de muestreo.Para evaluar los valores de la funcin temporal entre los instantes demuestreo es necesario retrasar la forma de onda muestreada en unafraccin del intervalo de muestreo antes del muestreo siguiente.Podemos entonces cambiar los puntos de muestreo cambiando elperiodo de retardo.La transformada z asociada con la forma de onda retardada seconoce como la transformada z modificada.





Sea una seal causal de tiempo continuo y(t) muestreada cada Tsegundos.Insertemos un retardo Td < T antes del muestreador, tal y como seve en la figura siguiente

La salida del elemento de retardo ser

yd(t) ={

y(t Td), t 00, t < 0 (24)





Reescribiendo el retardo como Td = T mT , 0 m < 1, conm = 1 Td/T ,si definimos y1(t +mT ) como la seal y(t +mT ) retrasada en unperiodo completo de muestreo, entonces yd(t) es

yd(t) = y(t T +mT ) = y1(t +mT )

Si ahora muestreamos la seal retardada con un periodo T paraobtener la de tiempo discreto

yd(kT ) = y1(kT +mT ), k = 0, 1, 2, . . .

aplicando el teorema del retardo, la transformada z de y1(t) es

Y1(z) = z1Y (z)





La podemos denotar como

Y (z ,m) = Zm{y(kT )} = z1Z{y(kT mT )}

donde Zm{} indica la transformada z modificada.


Estabilidad, criterio de JuryLugar de las races en el plano z

Relacin entre el plano s y zAnlisis de la respuesta de un sistema

Leccin 3: Anlisis de la estabilidad de los sistemasde tiempo discreto.

L. Moreno y S. Garrido


Madrid

Enero 2012

L. Moreno y S. Garrido Curso de Ing. de Control



Table of contents

1 Estabilidad, criterio de Jury

2 Lugar de las races en el plano z

3 Relacin entre el plano s y z

4 Anlisis de la respuesta de un sistema




Concepto de estabilidadAsinttica y marginal

Estabilidad asinttica. Se dice que un sistema es asintticamenteestable si su respuesta para cualquiera condiciones iniciales tiende acero asintticamente en el rgimen permanente. Es decir larespuesta del sistema debida a las condiciones iniciales

limky(k) = 0

Estabilidad marginal. Si la respuesta del sistema debido a lascondiciones iniciales permanece acotada pero no tiende a cero, elsistema se dice que es marginalmente estable.Esta segunda definicin se refiere a la respuesta forzada del sistemapara una entrada acotada. Una entrada est acotada cuandosatisface que

|u(k)| < bu, 0 < bu



Concepto de estabilidadBIBO

Estabilidad BIBO (Bounded-Input-Bounded-Output) Se diceque un sistema tiene estabilidad BIBO si su respuesta a cualquierentrada acotada permanece acotada, es decir, para cualquier entradaque cumple la condicin de ser acotada la salida satisface que:

|y(k)| < by , 0 < by



Estabilidad en el plano zPosiciones de los polos

Se ha visto anteriormente que las posiciones de los polos de lafuncin de transferencia del sistema determinan la respuestatemporal. Esto tiene fuertes implicaciones sobre la estabilidad delsistema.Consideremos la seal exponencial {pk}, k = 0, 1, 2, . . . y sutransformada z

Z{pk} = zz p

donde p es un nmero real o complejo.La secuencia temporal para valores grandes de k viene dada por

|pk | 0 |p| < 11 |p| = 1 |p| > 1 (1)




Estabilidad en el plano zPosiciones de los polos

En general cualquier secuencia temporal puede ser descrita por

f (k) =ni=1

Aipki , k = 0, 1, 2, . . .

cuya transformada z viene dada por la expresin

F (z) =ni=1

Aiz

z pi

donde los Ai son los coeficientes de las fracciones parciales y los pison los polos en el dominio z.La secuencia estar acotada si sus polos estn situados dentro osobre el crculo de radio unidad, y decae exponencialmente si suspolos estn dentro del crculo unidad.




Estabilidad en el plano zEstabilidad asinttica y marginal segn la posicin de los polos

En ausencia de cancelaciones polo-cero un sistema lineal e invarianteen el tiempo es asintticamente estable si los polos de sufuncin de transferencia estn situados en el interior del crculounitario y marginalmente estable si los polos estn sobre elcrculo unidad y no hay polos mltiples sobre el crculo unidad.




Estabilidad Interna

La estabilidad tal y como se ha definido es aplicable a sistemas en bucleabierto y bucle cerrado con una entrada y una salida, pero cuando en elsistema existen varias entradas y salidas la definicin realizada no basta.Por ejemplo en el sistema con perturbaciones siguiente:

Y (z)R(z)

=GC (z)GBSM(z)

1+ GC (z)GBSM(z)Y (z)D(z)

=GBSM(z)

1+ GC (z)GBSM(z)




Estabilidad InternaDefinicin

Se dice que un sistema es internamente estable cuando todas lasfunciones de transferencia que relacionan las entradas y las salidas delsistema son estables.




Determinacin de la estabilidad de un sistema

El mtodo ms simple para determinar la estabilidad de un sistemadiscreto dado por su funcin de transferencia es encontrar los polosdel sistema.Uno de los mtodos numricos ms usuales para ello es el mtodo deNewton.En el caso de sistemas en tiempo continuo una forma alternativa dedeterminar la estabilidad por un mtodo simple era usar el criteriode Routh-Hurwitz.Para sistemas discretos un mtodo similar es denominado test ocriterio de Jury para sistemas cuya funcin de transferencia sonpolinomios con coeficientes reales (para polinomios con coeficientescomplejos existe el criterio de Schur-Cohn).




Criterio de Jury

Dado un polinomio

F (z) = anzn + an1zn1 + . . .+ a1z + a0, . . . an > 0

las races de este polinomio estn dentro del crculo de radio unidadsi y slo si

F (1) > 0(1)nF (1) > 0|a0| < an|b0| < |bn1||c0| < |cn2|. . .|r0| < |r2|




Criterio de Jurycont

Donde los trminos bk , ck , . . . , rk se calculan del siguiente modo:

bk = a0 ankxn xk

, k = 0, 1, . . . , n 1ck =

b0 bnkbn1 bk , k = 0, 1, . . . , n 2. . .

r0 = s0 s3s3 s0

, r1 = s0 s2s3 s1 , r2 = s0 s1s3 s2

En base a estos coeficientes se construye la tabla de Jury




Criterio de JuryTabla




Criterio de JuryCondiciones para la estabilidad

1 La primera fila est formada por los coeficientes de F (z) en ordencreciente de su potencia de z .

2 El nmero de filas en la tabla 2n 3 es siempre impar, y loscoeficientes de cada fila par son los mismos que los de la fila imparsituada directamente encima pero en orden inverso.

3 Hay n+ 1 condiciones que corresponden a los n+ 1 coefs de la tabla.4 Las condiciones 3 a 2n 3 se calculan usando los coeficientes de la

primera columna de la tabla de Jury junto con el ltimo coeficientede la fila precedente. Los coeficientes intermedios de la ltima filanunca se usan y no requieren ser calculados.

5 Las condiciones 1 y 2 se calculan directamente a partir de F (z), siuna de las dos primeras condiciones no se cumple, F (z) tienen polosfuera del crculo unidad y no es necesario construir la tabla.

6 La condicin 3, con an = 1, requiere que el trmino constante delpolinomio sea menor que la unidad en magnitud, ya que el trminoconstante es el producto de las races y debe ser menor que 1.




Ejemplo 1Test de Jury

Determinar la estabilidad por Jury del polinomio

F/z) = z5 + 2,6z4 0,56z3 2,05z2 + 0,0775z + 0,35 = 0Se calcula la tabla de Jury




Ejemplo 1(cont)Test de Jury

Las dos primeras condiciones requieren observar F (z) en z 1 y elresto 3 a 6 se obtienen rpidamente de la tabla de Jury.

1 F (1) = 1+ 2,6 0,56 2,05+ 0,0775+ 0,35 = 1,4175 > 0.2 (1)5F (1) = (1)(1+ 2,6+ 0,56 2,05 0,0775+ 0,35) =0,3825 < 0

3 |0,35| < 14 | 0,8775| > |0,8325|5 |0,0770| < |0,5151|6 | 0,2593| < | 0,3472|

Las condiciones 2, 5 y 6 no cumplen el criterio de Jury, luego haypolos fuera del crculo unidad. Factorizada se puede comprobar:

F (z) = /z 0,7)(z 0,5)(z + 0,5)(z + 0,8)(z + 2,5) = 0




Ejemplo 2Test de Jury

Determinar el rango estable de ganancia K para un sistemamuestreado con periodo 0,05 segundos, con bloqueador y cuyafuncin de transferencia es

G (s) =K

s(s + 10)

Solucin.La funcin de transferencia discreta equivalente para el conjuntobloqueador-sistema-muestreador es:

GBSM(z) = (1 z1)Z{L1[G(s)

s]}

= (1 z1)Z{L1[ Ks2(s + 10)

]}

= (1 z1)Z{L1[0,1K(10s2 1

s+

1s + 10

])}

=1,065 102K(z + 0,847)

(z 1)(z 0,606 (2)




Ejemplo 2 (cont)Test de Jury

Si el sistema se realimenta unitariamente la ecuacin caracterstica1+ GBSM(z) es

z2 + (1,065 102K 1,606)z + 0,606+ 0,92 103K = 0

Las condiciones de estabilidad de Jury son:1 F (1) = 1+ (1,0653 102K 1,6065) + 0,6065+ 9,02 103K >

0 K > 02 F (1) = 1 (1,0653 102K 1,6065)+ 0,6065+ 9,02 103K >

0 K < 1967,5823 |0,6065+ 0,0902K | < 1 +(0,6065+ 0,0902K) < 1(0,6065+ 0,0902K) < 1 178,104 < K < 43,6199

Y de estas tres condiciones se obtiene que

0 < K < 43,6199




Anlisis de la estabilidad de un sistema con Matlab

El criterio de Jury es un mtodo poco usado hoy en da debido a laexistencia de potentes herramientas nmericas de anlisis.En MATLAB, veamos como se puede hacer:

1 Supongamos el siguiente sistema G(s) = 2s+1s2+4s+32 Se introduce el modelo

>> num=[2 1];>> den=[1 4 3];>> G=tf(num,den)Transfer function:2s+1

------------s^2+4s+3

>> roots(den)ans =-3-1

3 y de las posiciones de las races se analiza la estabilidad.




Lugar de las races en el plano z

La ecuaciin caracterstica de un sistema en bucle cerrado conrealimentacin unitaria viene dada por

1+ G (z)H(z) = 0

donde H(z) es la funcin de transferencia de la realimentacin yG(z) es la funcin de transferencia discreta del sistema .

La construccin del lugar de las races se basa en las mismas reglasque para el caso continuo si bien su significado e interpretacin vara.




Lugar de las races en el plano zReglas de construccin

Clculo del lugar de las races, reglas:1 El nmero de ramas del LR es igual al nmero de polos de la funcin

de transferencia en bucle abierto G(z)H(z)2 Para valores positivos de K , pertenecen al LR aquellos puntos sobre

el eje real en los que la suma de polos y ceros situados a la derechadel punto que se considere es un entero impar.

3 El LR comienza (K = 0) en los polos y termina (K = ) en losceros de la funcin de transferencia en bucle abierto o en el infinito.

4 Los angulos de las asntotas del LR que terminan en infinito estndeterminados por

Para K > 0 = (1+2k)pinpGHnzGHPara K < 0 = 2kpinpGHnzGH

5 El eje real se corta con las asntotas en

z0 =

npi=1Repi

nzj=1Rezj

np nz




Lugar de las races en el plano zReglas de construccin (2)

Clculo del lugar de las races, reglas:6 Los puntos de dispersin de las ramas del LR entre dos polos sobre el

eje real (o punto de convergencia entre dos ceros sobre el eje real)puede determinarse derivando la sensibilidad del bucle K respecto aa z . Igualando esta derivada a cero y obteniendo las races de laecuacin resultante, estas races son los polos de dispersin oconvergencia de las ramas.

7 Para K > 0 el ngulo de partida de las ramas desde un polocomplejo es igual a 180 grados menos la suma de los ngulos desdelos otros polos ms la suma de los ngulos desde los ceros (losngulos pueden ser positivos o negativos). Para K < 0 es 180 mas elobtenido para K > 0.

8 El lugar de las races es simtrico respecto al eje real.




Lugar de las races en el plano zReglas de construccin (3)

Clculo del lugar de las races, reglas:9 El cruce del lugar con el crculo unitario, se determina usando el

criterio de Jury para la ecuacin caracterstica en bucle cerrado. Sedetermina el rango de valores que K tiene que satisfacer para serestable.

10 Los puntos del lugar satisfacen el criterio del mdulo .

K =|z p1|.|z p2|. . . . .|z pnp||z z1|.|z z2|. . . . .|z pnz |

11 Los puntos del lugar satisfacen el criterio del argumento.

(1+ 2n)pi =npi=1

(z pi )nzi=1

(z zj ), K > 0

2npi =npi=1

(z pi )nzi=1

(z zj ), K < 0




Ejemplo 1

Supongamos el sistema de primer orden 1z1 y un controlador detipo proporcional K , la ecuacin caracterstica del sistema en buclecerrado es

1+K

z 1 = 0El lugar de las races es de la forma




Ejemplo 1(cont)

Para el sistema anterior el sistema ser estable para las gananciasque dan lugar a polos dentro del crculo unidad.La ganancia crtica es el punto (1, 0) en el

1+K

z 1 = 0

es decir(z 1) + K = 0

y sustituyendo por el valor de z en el punto crtico, z = 1,obtenemos que la ganancia crtica es Kcr = 2.Por encima de esta ganancia el sistema se inestabiliza.




Ejemplo 2

Supongamos el sistema de segundo orden 1(z1)(z0,5) y uncontrolador de tipo proporcional K , la ecuacin caracterstica delsistema en bucle cerrado es 1+ K(z1)(z0,5) = 0El lugar de las races toma la forma




Ejemplo 2(cont)

Para el sistema anterior el sistema ser estable para las gananciasque dan lugar a polos dentro del crculo unidad.La ecuacin caracterstica 1+ K(z1)(z0,5) = 0 se puede poner en laforma es decir

(z 1)(z 0,5) + K = z2 1,5z + K + 0,5 = 0

y como en el crculo unitario los dos polos tienen magnitud 1

|z1,2| = kcr + 1 = 1

y de aqu obtenemos que la ganancia crtica es Kcr = 0,5, quecorresponde a polos en

z1,2 = 0,75 j0,661




Lugar de las races con Matlab

Se utiliza el comando rlocus(),>> rlocus( tf([1],[1 3 2 0]) );




Relacin entre el plano s y el plano zRevisin del concepto de muestreo




Relacin entre el plano s y el plano zRevisin del concepto de muestreo

Tal y como se vio cuando se introdujo el teorema del muestreo, elefecto del muestreo es el que se aprecia en la figu

control procesos

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