control predictivo

5/7/2018 Control Predictivo - slidepdf.com

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Escu ela Su perior d e Ingenieros Universid ad d e Sevilla

Control Predictivo: metodologıa,

tecnologıa y nuevas perspectivas

Carlos Bordons Alba

D epartamento d e Ingenierıa de Sistemas y Automatica

Universidad de Sevilla

I Curso de Especializacion en A utomatica

Aguadulce, Almerıa, 2000



Indice general

Indice i

1 Fundamentos 1

1.1 Tend encias actuales en control de procesos: : : : : : : : : : : : : : : : :

1

1.2 Perspectiva historica: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

5

1.3 Situacion actual: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

6

1.4 Conceptos basicos de control predictivo: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

7

1.5 Estrategia de los controladores: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

8

2 Controladores predictivos 11

2.1 Elementos basicos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

2.1.1 Modelo de prediccion: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

11

2.1.2 Funcion objetivo: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

15

2.1.3 Obtencion de la ley de control: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

18

2.2 Revision d e los principales algoritmos: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

18

2.3 Estado de la tecnologıa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

3 Algoritmos 25

3.1 Dynamic Matrix Control: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

25

3.1.1 Prediccion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

i



ii ´ Indice general

3.1.2 Perturbaciones medibles: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

27

3.1.3 Algoritmo de control: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

28

3.2 Control Predictivo Generalizad o: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

31

3.2.1 Formulacion del Control Predictivo Generalizado: : : : : : : : :

32

3.2.2 Ejemplo de calculo: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

36

3.2.3 Caso mu ltivariable: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

38

4 Restricciones en Control Predictivo 41

4.1 Tratam iento convencional de restricciones: : : : : : : : : : : : : : : : : :

41

4.2 Restricciones en Control Predictivo: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

42

4.3 Resolucion del problema: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

44

4.4 Gestion de restricciones: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

45

4.4.1 Tecnicas de busqu eda de soluciones factibles: : : : : : : : : : : :

46

5 Tendencias actuales y nuevas perspectivas 51

5.1 Mu ltiobjetivo. Jerarqu ıa d e objetivos: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

51

5.1.1 Jerarqu ıa d e objetivos: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

53

5.2 Control predictivo no lineal: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

54

5.2.1 Diferencias respecto al metodo lineal: : : : : : : : : : : : : : : :

56

5.2.2 Fund amentos teoricos: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

56

5.2.3 Problematica asociada al NMPC: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

57

5.2.4 Modelos: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

61

5.2.5 Otras formu laciones del problema : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

5.2.6 Resolucion d el problema. Produ ctos comerciales: : : : : : : : : :

66

5.2.7 Necesidad es futuras: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

68

Bibliograf ıa 69



Tema 1

Fundamentos

1.1 Tende ncias actuales en control de procesos

Au nqu e en el p asado pod ıa considerarse qu e el u nico ob jetivo d el contr ol consist ıa en

mantener una operacion estable del proceso, actualmente la industrias se enfrentan a

un mercado cambiante y difıcil de pred ecir, lo que les obliga a op erar sus procesos

produ ctivos en consonancia con la evolucion del mercado para poder mantenerse

competitivas y rentables.

La comp etencia en m uchos sectores indu striales ası como el creciente interes social

por los problemas medioambientales relacionados con los procesos de produccion

provoca la necesidad de disponer de tecnicas fiables que permitan la operacion delproceso con g ran eficiencia y alto grad o d e flexibilidad .

Actualmente los sistemas de control en la industria de procesos deben satisfacer

criterios economicos, asociados con el man tenimiento de las variables d e proceso en sus

referencias minimizando dinamicamente u na funcion d e coste d e operacion, criterios

de segurid ad y m edioambientales, y de calidad en la produ ccion, la cual d ebe satisfacer

ciertas especificaciones sujetas a un a d emand a norm almente variable.

Por ello, se puede considerar que en la actualidad el objetivo de todo sistema de

control consiste en actuar sobre las variables manipuladas de forma que puedan satis-

facerse multiples y cambiantes criterios de funcionamiento (economicos, de seguridad,m edioam bientales o d e calidad ) en presencia d e cambios en las caracterısticas d el pro-

ceso.

El amp lio aban ico d e m etodologıas actuales d e control d e p rocesos se enfrenta al

cump limiento d e este objetivo. La diferencia entre las diversas tecnicas radica basi-

camente en los compromisos hechos en la formulacion matematica de los criterios de

funcionam iento y en la eleccion d e la man era de representar el proceso. La represen-

1



2 Tendencias actuales en control de procesos

1983 (%) 1989 (%) 1995 (%)

Retard o 24 Retard o 23 Interaccion 24

Perturbaciones 21 Interaccion 16 Pertu rbaciones 22

Interaccion 17 Pertu rbaciones 15 Retard o 21

Resp u esta 16 Cam bios 12 Cam bios 14

Estabilid ad 11 N o lineal 10 N o lineal 7

Tabla 1.1: Principales problemas de control

tacion matematica de muchos de estos criterios se lleva a cabo en la forma de funciones

objetivo dinamicas y de restricciones mientras que el proceso se representa como un

modelo dinamico con incertidu mbres asociadas. La imp ortancia d e las incertidu m-

bres esta siendo cada vez m as reconocida y por tanto incluid a explıcitamente en la

formulacion d e los controladores.

Las tecnicas de Control Predictivo Basado en Modelo (Model Based Predictive

Control, MPC) parecen constituir un as pod erosas herram ientas para afrontar estos retos.

MPC, en su forma m as general, acepta cualquier tipo de mod elos, fun ciones objetivo o

restricciones, siend o la meto d ologıa qu e actualm ente p ued e reflejar mas directamente

los multiples criterios de funcionamiento relevantes en la industria de procesos. Quizas

sea esta la principal razon del exito de estas tecnicas en numerosas aplicaciones de la

indu stria de procesos, unid a a que es la forma mas general de formu lar el problema d e

control en el d ominio d el tiempo, d e manera qu e pu ede resultar f acil de aceptar p or el

personal de la industria.

Los resultados de un estudio realizado por Takatsu et al. para la Society of Instru-mentation and Control Engineering [19] son indicativos de las necesidades futuras de

la ind ustria en el ambito del control. En este informe se analizan los principales proble-

mas de control que se encuentran en la industria de procesos, el estado de aplicacion

d e las t ecno logıas avanzadas, el grado de satisfaccion de los usuarios con cada una de

ellas y las expectativas que cada un a genera.

La evolucion en los ultimos anos de los principales problemas de control para los

usu arios se mu estra en la tabla 1.1.

Ob servese que los tres primeros problemas siguen siendo los mismos en los tres

anos que se ha realizado la encuesta y parece que a lo largo del tiempo se resuelvenproblemas basicos como estabilidad y respuesta y se atacan problemas mas d ifıciles

como dinamica no lineal. Como se vera m as adelante, el Control Predictivo es una

metod ologıa capaz d e ofrecer soluciones a tod os estos p roblemas.

Tambien resulta interesante analizar los factores claves de exito y fracaso de la

automatizacion del proceso (1.2 y 1.3). De estas tablas se desprende que la eleccion de

la estrategia d e control no es el unico factor a tener en cuenta para garantizar un buen



Fundamentos 3

Seleccion de la estrategia de control 14 %

Seleccion d el equ ip o d e con trol 12 %

Esp ecificacion es ap rop ia das 10 %

Configuracion flexible del sistema 10 %

Operacion d e em ergencia 10 %

Interface con el op erario 8 %An alisis d e p roceso 8 %

Tabla 1.2: Principales factores claves d e exito

Ausencia de analisis del proceso. Inexactitud del mod elo 21 %

Seleccion d e los sensores 14 %

Falta d e rechazo a las p ertu rbaciones 10 %

Seleccion d e la estrategia d e control 7 %

Seleccion d e los actu ad ores 6 %

Seleccion d el equ ip o d e control 5 %

Esp ecificaciones inap rop iad as 5 %

Configuracion rıgid a d el sistem a 5%

Tabla 1.3: Principales factores claves d e fracaso

funcionam iento del sistema d e control.

Del informe citado se pueden extraer conclusiones interesante sobre el estado y elgrado de aceptacion d e las tecnologıas consid erad as avanzadas (ver tabla 1.4). En ella

se muestra el porcentaje de plantas que usaron cada tecnica en 1989 y 1995. Observese

que tod as crecieron excepto el control adap tativo y el autoajuste que tu vieron un ligero

descenso.

Con el fin de evaluar el grado de satisfaccion del usuario con las distintas tecnicas,

se mu estra en la tabla 1.5 el porcentaje d e usu arios que estan satisfechos con cada una

de las tecnicas que han empleado. Como conclusion interesante d estaca el hecho de

que practicamente tod os los usu arios de Control Predictivo estan satisfechos.

Tambien resulta interesante intentar cuantificar la evolucion futura de las distintastecnicas. Para ello, la figura 1.1 intenta mostrar las posibilidades tecnicas y las expec-

tativas despertadas p or cada un a d e ellas. Posibilidad tecnica se refiere a la facilidad

de implementacion y expectativas al efecto esperado de uso de cada tecnica. El punto

de partida de cada flecha es la media de todas las respuestas a la encuesta, mientras

qu e su extremo correspon d e a la med ia de las 15 plan tas considera d as lıderes en tema s

de control. El citado artıculo interp reta la flecha como tend encia futu ra. Segun esto,

el PID avanzado, compensacion de retardo, borroso, desacoplo y MPC seran tecnicas



4 Tendencias actuales en control de procesos

Tecnica 1989 1995

Compensacio n d e r et ar d o 29.6 52.4

Borroso 9.9 38

Con trol Pred ictivo 25.4 37.2Gain-sched u ling 25.7 32.5

PID avanzad o 24.8 29.4

Au toaju ste 32.2 29.1

Desacop lo 17.5 28.6

Basad o en reglas 6.3 17.9

Filtro d e Kalm an 9.1 15.5

N eu ronal 0 11.8

LQ 8.2 11

Observad or 8.2 9.8

Control ad ap tativo 10.3 7

H

1

0 9.3

Tabla 1.4: Estado de las distintas tecnicas

Tecnica 1989 1995

Control Pred ictivo 76 94PID avanzad o 77 89

Compensacion d e retard o 72 89

Gain-sched u ling 78 87

Borroso 67 83

LQ 79 70

N eu ronal - 69

Desacop lo 64 66

Filtro d e Kalm an 70 66

Au toaju ste 60 65

Observad or 67 62

Basad o en reglas 43 61

Control ad ap tativo 50 56

H

1

- 50

Tabla 1.5: Grad o d e satisfaccion de las distintas tecnicas



Fundamentos 5

ampliamente usadas con grandes expectativas. El control neuronal despierta grandes

expectativas p ero tiene ciertas d ificultad es d e imp lementacion, mientras que el Autoa-

juste se imp lementa con facilidad pero p ierde expectativas. Las tecnicas como LQR,

filtro de Kalman, H

1

o adaptativo se mantienen como "sin demasiadas expectativas y

no f acilmente implementables".

PIDAdaptativo

Neuronal

Hoo

LQF. Kalman

MPC

Borroso

Retardo

Deslizante

Posibilidades técnicas

E x p e c t a t i v a s

Autoajuste

Desacoplo

Figura 1.1: Expectativas y posibilidades tecnicas

Este estado actual y futuras tendencias en el campo del control de procesos indus-

triales indican que el Control Predictivo Basado en Modelo se puede considerar una

tecnologıa suficientemen te introd u cid a en la ind u stria y que ad emas sigue despertando

mu chas expectativas. Estos hechos, unidos a la existencia d e campos abiertos tanto en

investigacion como en temas relacionados con la implementacion justifica un estudio

m as d etallado d e esta tecnologıa.

1.2 Perspectiva historica

El Control Predictivo se d esarrollo en base a d os lıneas basicas. Por un lado, a finales

de los anos setenta su rgieron diversos algoritmos qu e u saban explıcitamente u n mo-

delo dinamico del proceso para predecir el efecto de las acciones de control futuras

en la salida, las cuales eran determinadas minimizando el error predicho sujeto a res-

tricciones de operacion. La optimizacion se repetıa en cada instante de mu estreo con

informacion actualizad a del pro ceso. Estas form ulaciones eran de natu raleza heu rıstica



6 Situaci on actual

y algorıtmica e intentab an ap rovechar el creciente p otencial de los compu tad ores d igi-

tales por aquella epoca.

Rapidamente el MPC adquirio gran popularidad en las industrias d e procesos

qu ımicos p rincipalmen te d ebido a la simplicidad del algoritmo y al u so d el mod elo

de respuesta impulsional o en escalon, que aunque posea muchos mas parametros

que las formulaciones en el espacio de estados o funcion de transferencia suele serpreferido por ser intuitivo y necesitar menos informacion a priori para identificar. La

mayor ıa d e las aplicaciones fueron llevadas a cabo sobre sistemas mu ltivariables in-

cluyendo restricciones. Los algoritmos utilizados fueron principalmente el IDCOM

(Identification-Command) y el DMC (Control con Matriz Dinamica, Dynamic Matrix

Control).

Ind epen d ientemen te fue su rgiend o otra lınea de traba jo en torn o a las ideas d el con-

trol adaptativo, desarrollando estrategias esencialmente para procesos monovariables

formu ladas con m odelos entrada/ salida. En este contexto se extend ieron las ideas del

Controlador de Mınima Varianza y se d esarrollo el Control Predictivo Generalizado

(Generalized Predictive Cont rol GPC) que es uno de los m etodos mas populares en laactualidad.

1.3 Situacion actual

La situacion actual de aplicaciones de MPC en la industria esta bien reflejada en la re-

copilacion de Qin y Badgwell [16], que recoge unas 2200 aplicaciones, principalmente

en el sector p etroqu ımico (desd e en tonces el numero de aplicaciones puede estimarse

en torno a las 3000). La mayor ıa d e las ap licaciones son en procesos m ultivariables,

registrandose casos como un controlador con 40 entradas y 80 salidas. Sorprendente-

mente, MPC ha tenido menor impacto en otro tipo de industrias, aunque estudios de

1993 sugieren qu e u nas 20.000 aplicaciones p od rıan beneficiarse d e esta tecnica.

El exito a ctual d el MPC en la industria se debe a tres razones principales:

La incorporacion de un mod elo explıcito d el proceso en los calculos permite al

controlador tratar con todas las caracterısticas imp ortantes de la d inamica del

proceso.

La consideracion del comportamiento del proceso a lo largo de un horizonte

futuro permite tener en cuenta el efecto de las perturbaciones en realimentacion

y pre-alimentacion, perm itiend o al controlador condu cir la salida a la trayectoria

de referencia d eseada.

La consideracion de restricciones en la fase del diseno del controlador evita en

lo posible su violacion, resultando en un control mas preciso en torno al punto



Fundamentos 7

optimo d e operacion. La inclusion de restricciones es quizas la car acterıstica q u e

m as distingue al MPC resp ecto a otra s met od ologıas.

Otra d e las razones que han contribuido a qu e el MPC se haya convertido en u n exito

comercial es el hecho de qu e existen u nos 15 sum inistradores que instalan el p rodu cto

llave en mano, con periodos de amortizacion de entre 3 y 12 meses, permitiendo

que medianas emp resas p uedan tener acceso a esta tecnologıa. Aparte d e esto, los

nuevos Sistemas de Control Distribuido empiezan a ofertar productos MPC genericos

que ofrecen al usuario la posibilidad de realizar futuras modificaciones sin depender

de u n p roducto cerrado.

1.4 Conceptos basicos de control predictivo

El Control Predictivo Basado en Modelo, Model (Based) Predictive Control (MBPC o

MPC) constituye un campo muy amplio de metodos de control desarrollados en tornoa ciertas ideas comunes e integra diversas disciplinas como control optimo, control

estocastico, control de procesos con tiempos muertos, control multivariable o control

con restricciones.

El Control Predictivo no es u na estrategia de control especıfica, sino que se trata

m as bien de un campo muy amplio de metodos de control desarrollados en torno a

ciertas ideas comu nes. Estos metodos de diseno condu cen a controladores lineales que

poseen practicamente la misma estructura y presentan suficientes grados de libertad.

Las ideas que aparecen en mayor o menor medida en toda la familia de controladores

pred ictivos son basicamente:

Uso explıcito de un m od elo para p red ecir la salida d el p roceso en futu ros instant es

de tiemp o (horizonte).

Calculo de las senales de control minimizando una cierta funcion objetivo.

Estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se va despla-

zando hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera senal de control en cada

instante y desechar el resto, repitiendo el calculo en cada instante de muestreo.

Los distintos algoritmos de MPC d ifieren en tre s ı casi exclusivam ente en el mod elo

usado para representar el proceso y los ruidos y en la funcion de coste a minimizar.Aunque las diferencias puedan parecer pequenas a priori, pueden provocar distintos

comportam ientos en bucle cerrado, siend o crıticas pa ra el exito de un determinado

algoritmo en una determinada aplicacion .

El Control Predictivo es un tipo de control de naturaleza abierta dentro del cual se

han desarrollado muchas realizaciones, encontrando gran aceptacion tanto en aplica-

ciones industriales como en el mundo academico. En la actualidad existen numerosas



8 Estrategia de los controladores

aplicaciones d e controladores p redictivos funcionand o con exito, tanto en la industria

de procesos como en control de motores o Robotica. El buen funcionamiento de estas

aplicaciones muestra la capacidad del MPC para conseguir sistemas de control de ele-

vad as prestaciones capaces de operar sin ap enas intervencion d ur ant e largos per ıodos

de tiempo.

El MPC presenta u na serie de ven tajas sobre otros metodos, entre las que d estacan:

Resulta particularmente atractivo para personal sin un conocimiento profund o

de control, puesto que los conceptos resultan muy intuitivos, a la vez que la

sintonizacion es relativam ente f acil.

Pued e ser usad o para controlar un a gran variedad de procesos, desd e aquellos con

d inamica relativamente simple hasta otros mas complejos incluyendo sistemas

con gran d es retard os, de fase no m ınima o in estables.

Permite tratar con facilidad el caso multivariable.

Posee intr ınsecament e comp ensacion del retardo.

Resulta conceptu almente simp le la extension al tratamiento d e restricciones, que

pueden ser incluidas de forma sistematica durante el proceso de diseno.

Es muy util cuando se conocen las futuras referencias (robotica o procesos en

batch).

Es u na m etod ologıa com pletam ente abierta basad a en algun os principios basicos

que permite futuras extensiones.

Pero, logicamente, tambien p resenta inconvenientes. Unos de ellos es la carga

d e calculo necesaria para la resolucion d e algunos algoritmos. Pero quizas el mayor

inconveniente venga marcado por la necesidad de disponer de un modelo apropiado del

proceso. El algoritmo de diseno esta basad o en el conocimiento p revio del mod elo y es

independiente de este, pero resulta eviden te que las prestaciones obtenidas dep end eran

de las d iscrepancias existentes entre el p roceso real y el mod elo usado.

1.5 Estrategi a de los controladores

La metod ologıa d e tod os los controladores per tenecientes a la familia del MPC se carac-

teriza por la estrategia siguiente, representada en la figu ra 1.2:

1. En cada instantet

y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las futuras

salidas para un determinado horizonte N , llamad o horizonte d e pred iccion. Estas



Fundamentos 9

N

y(t+k|t)^

u(t+k|t)

t t+1t-1 . . . t+N. . .t+k

y(t)

u(t)

Figura 1.2: Estrategia del Control Predictivo

salidas predichas, ˆy ( t + k j t )

1 para k = 1 : : : N dep end en d e los valores conocidos

hasta el instante t (entradas y salidas pasadas) y de las senales de control futuras

u ( t + k j t ) , k = 0 : : : N ; 1 que se pretenden mand ar al sistema y que son las que

se quieren calcular.

2. El conjunto de senales de control futuras se calcula optimizando un determinado

criterio en el que se pretende mantener el proceso lo mas proximo posible a la

trayectoria de referenciaw ( t + k )

(que p uede ser directamente el setpoint o una

suave aproximacion a este). Este criterio su ele tomar la forma de una funcioncuadratica de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de referencia

tambien predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control. Si el criterio

es cuadratico, el modelo lineal y no existen restricciones se puede obtener una

solucion e xplıcita, en ot ro caso se d ebe u sar u n metodo iterativo de op timizacion .

Ad icionalmente se hace alguna su posicion sobre la estructura de la ley de control

futura, como por ejemplo que va a ser constante a partir de cierto instante.

3. La senal de controlu ( t j t )

es enviada al proceso mientras que las siguientes

senales de control calculadas son desechadas, pu esto que en el siguiente instante

de muestreo ya se conocey ( t +

1)

y se repite el paso 1 con este nuevo valor y

todas las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto u ( t + 1 j t + 1) (que enprincipio sera diferente al u ( t + 1 j t ) al disponer de nu eva informacion), haciend o

uso del concepto de horizonte deslizante.

Para llevar a cabo esta estrategia, se usa una estructura como la mostrada en la

figura 1.3. Se hace uso d e un modelo para predecir las salidas futuras d el proceso,

1la notacion indica el valor de la variable en el instante t + k calculado en el instante t .



10 Estrategia de los controladores

+

-

futuros

Entradas y salidas

Funcion de coste Restricciones

Errores futuros

pasadas

Controles

de referencia

Trayectoria

predichas

Salidas

Optimizador

Modelo

Figura 1.3: Estructura basica del MPC

ba sandose en las futuras senales de control propuestas. Estas senales son calculadas

por el optimizad or teniend o en cuenta la fun cion d e coste (don de ap arece el futuro error

d e seguim iento) ası como las restricciones. Por tan to el mod elo ju ega u n p ap el decisivo

en el controlador. El mod elo elegido debe ser capaz d e captu rar la dinamica del proceso

para poder predecir las salidas futuras al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar

y de comprender.

El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues proporciona las

acciones de control. Si la funcion de coste es cuadratica, el m ınimo se p u ede obtener

como una funcion explıcita d e las entradas y salidas p asadas y de la trayectoria de

referencia. Sin em bargo, cuand o existen restricciones d e d esiguald ad la solucion debe

ser calculada p or metodos numericos con mas carga de calculo.



Tema 2

Controladores predictivos

2.1 Elementos basicos

Todos los controladores predictivos poseen elementos comunes y para cada uno de

estos elementos se pu eden elegir diversas opciones, dand o lugar a d istintos algoritmos.

Estos elementos son:

Modelo d e pred iccion

Funcion objetivo

Obtencion de la ley de control

2.1.1 Modelo de prediccion

La piedra angular del MPC es el modelo; un diseno completo debe incluir los me-

canismos necesarios para la obtencion del mejor modelo posible, el cual debe ser lo

suficientemente rico p ara capturar al maximo la d inamica del proceso y debe ser ca-

paz de permitir el calculo de las predicciones a la vez que sea intuitivo y permita un

an alisis teorico. El uso d el modelo del proceso viene determinad o por la necesidad del

calculo de la salida predicha en instantes futuros ˆy ( t + k j t ) . Las diferentes estrategiasd e MPC pu eden u sar d istintos m odelos p ara representar la relacion de las salidas con

las entradas medibles, algunas de las cuales seran variables manipuladas y otras se

pu eden considerar como p erturbaciones m edibles, que pu eden ser compensadas p or

accion feedforward . Ademas se tendra en cuenta un modelo de las perturbaciones, para

intentar describir el comportamiento que no aparece reflejado en el modelo del pro-

ceso, engloband ose aqu ı el efecto d e las entrad as no m edibles, el ru ido y los errores d e

modelado.

11



12 Elementos b asicos

Para el estudio se puede separar el modelo en dos partes: el modelo del proceso

propiamente dicho y el modelo de las perturbaciones. Cualquier metodo usara ambas

partes para la prediccion .

Modelo del Proceso

Casi todas las formas p osibles d e m odelar un proceso aparecen en alguna formu-lacion de MPC siend o las mas usad as las siguientes:

Respu esta imp ulsional. Tambien conocida por secuencia de ponderacion o mo-

delo d e convolucion. La salida viene relacionada con la entr ada por la ecuacion

y ( t ) =

1

X

i =

1

h

i

u ( t ; i )

donde h

i

son los valores mu estreados obtenidos al someter al proceso a un impulso

un itario de amp litud igual al perıodo d e mu estreo (ver figura 2.1a). Esta sum a

es truncada y solo se consideranN

valores (por tanto solo permite representarprocesos estables y sin integrad ores), teniendo

y ( t ) =

N

X

i = 1

h

i

u ( t ; i ) = H ( z

;

1) u ( t ) (

2:

1)

dondeH ( z

; 1) = h 1 z

; 1+ h 2 z

; 2+ + h

N

z

; N . Un inconveniente de este metodo es

el gran numero de parametros que necesita, ya queN

suele ser un valor elevado

(del orden de 40-50). La prediccion vendra dada por:

ˆy ( t + k j t ) =

N

X

i =

1

h

i

u ( t + k ; i j t ) = H ( z

; 1) u ( t + k j t )

Este metodo es ampliamente aceptado en la practica industrial debido a que

es muy intuitivo y no requiere informacion previa sobre el proceso, con lo que

el procedimiento de identificacion se simplifica, a la vez que permite describir

f acilmente dinam icas comp lejas como fase no m ınima o retard os.

Respuesta ante escalon. Es mu y similar al anterior solo que ahora la senal de

entrada es u n escalon. Para sistemas estables se tiene la respuesta truncada que

ser a

y ( t ) = y 0 +

N

X

i =

1

g

i

4 u ( t ; i ) = y 0 + G ( z

; 1) (

1; z

; 1) u ( t ) (

2:

2)

donde lasg

i

son los valores muestreados ante la entrada en escalon y4 u ( t ) =

u ( t ) ; u ( t ;

1)

, segun se muestra en la figura 2.1b. El valor dey 0 pu ede tomarse 0

sin p erdida de gen eralidad , con lo cual el predictor sera:

ˆy ( t + k j t ) =

N

X

i = 1

g

i

4 u ( t + k ; i j t )

Este metodo presenta las m ismas ventajas e inconvenientes que el an terior.



Controladores predictivos 13

t t+1 t+2 . . . t+N t t+1 t+2 . . . t+N

y(t) y(t) h

h

h h

g

g g

1i

i N

2

N

g 1

2

a) b)

Figura 2.1: Respu esta impu lsional y ante escalon

Funcion de transferencia. Se utiliza el concepto d e funcion de transferencia

G = B = A

con lo que la salida viene dada por:

A ( z

;

1) y ( t ) = B ( z

;

1) u ( t )

A ( z

;

1) =

1+ a 1 z

;

1+ a 2 z

;

2+ + a

n a

z

; n a

B ( z

; 1) = b 1 z

; 1+ b 2 z

; 2+ + b

n b

z

; n b

Por tanto la pred iccion vendra dada por

ˆy ( t + k j t ) =

B ( z

;

1)

A ( z

; 1)

u ( t + k j k )

Esta representacion es valida tambien para procesos inestables y posee la ventaja

de necesitar pocos parametros, au nque es fundam ental un conocimiento a priori

del proceso sobre todo en cuanto al orden de los polinomiosA

yB

.

Espacio de estados. Tiene la siguiente representacion :

x ( t ) = A x ( t ; 1) + B u ( t ; 1 )

y ( t ) = C x ( t )

siendox

el estado yA

,B

yC

las matrices del sistema, de entrada y de salida

respectivamente. Para este mod elo la p rediccion viene dad a por

ˆy ( t + k j t ) = C

ˆx ( t + k j t ) = C A

k

x ( t ) +

k

X

i = 1

A

i ; 1B u ( t + k ; i j t ) ]




Posee la ventaja de que sirve tambien para sistemas multivariables a la vez que

permite analizar la estructura interna del proceso (aunque a veces los estados

obtenidos al d iscretizar n o tienen ningu n sign ificad o fısico). Los calculos pueden

ser complicados, con la necesidad ad icional de incluir un observador si los estados

no son accesibles.

Model o d e las perturbaciones

De tanta importancia como la eleccion de un determinado modelo del proceso

es la eleccion d el mod elo utilizado para representar la perturbaciones. Un m odelo

bastante extendido es el Autorregresivo Integrado de Media Movil (Auto-Regressive

and Integrated Moving Average, ARIMA), en el que las perturbaciones, es decir, las

diferencias entre la salida medida y la calculada por el modelo vienen dadas por

n ( t ) =

C ( z

;

1) e ( t )

D ( z

; 1)

donde el polinomioD ( z

; 1)

incluye explıcitamen te el in tegrad or4 =

1; z

; 1,e ( t )

es

un ruido de m edia cero y normalmente el polinomioC

se considera igual a uno. Este

modelo se considera apropiado p ara d os tipos d e p erturbaciones: cambios aleatorios

ocurridos en instantes aleatorios (por ejemplo cambio en la calidad del material) y

movimiento browniano (en procesos con balance d e energıa) y es u sado en varios

m etodos. Notese que al incluir un integrador se consigue un control con error nulo en

regimen permanente (offset-free).

Como caso particular del ARIMA se puede incluir la perturbacion constante

n ( t ) =

e ( t )

1 ; z

;

1

cuya mejor prediccion sera ˆn ( t + k j t ) = n ( t )

.

Respuestas libre y forzada

Un a car acter ıstica t ıpica d e la m ayo rıa d e los contr olad ores MPC es el empleo de los

conceptos de repuesta libre y forzada. La idea es expresar la secuencia d e acciones de

control como la suma de d os senales:

u ( t ) = u

f

( t ) + u

c

( t )

La senalu

f

( t )

correspond e a las entrad as pasad as (anteriores al instantet

) y en el futu ro

se mantiene constante e igual al ultimo valor de la variable manipulada. Es decir,

u

f

( t ; j ) = u ( t ; j )

paraj =

1

2

u

f

( t + j ) = u ( t ; 1 ) para j = 0 1 2




La senalu

c

( t )

vale cero en el pasado y corresponde a las senales de control en los

instantes futuros:

u

c

( t ; j ) =

0 paraj =

1

2

u

c

( t + j ) = u ( t + j ) ; u ( t ;

1)

paraj =

0

1

2

La prediccion de la secuencia se salida se separa en dos partes, como se ve en la

figura 2.2. Una de ellas (y

f

( t )

), la respuesta libre, corresponde a la prediccion de la

salida cuan do la variable manip ulad a se hace igual au

f

( t )

, y la otra, la repuesta forzada

(y

c

( t )

), corresponde a la prediccion de la salida cuando la senal de control esu

c

( t )

.

La respuesta libre corresponde a la evolucion del proceso debido a su estado actual

(incluid o p or tanto el efecto d e acciones pasadas) m ientras que la respu esta forzad a es

la d ebida a las acciones d e control futu ras.

t

uc

t

uf

u

t

t

yf

t

y

t

yc

Process

Figura 2.2: Respuestas libre y forzada

2.1.2 Funcion objetivo

Los diversos algoritmos d e MPC proponen distintas funciones de coste para la obtencion

de la ley d e control. En general se persigue que la salida futura en el horizonte

considerado siga a u na d eterminada senal de referencia al mismo tiemp o que se p ued e

penalizar el esfuerzo d e control requerido p ara h acerlo. La expresion general de tal

funcion objetivo sera:

J ( N 1 N 2 N u ) =

N 2X

j = N 1

( j )

ˆy ( t + j j t ) ; w ( t + j ) ]

2+

N u

X

j = 1

( j ) 4 u ( t + j ;

1) ]

2(

2:

3)

En algunos metodos el segundo sumando, que considera el esfuerzo de control, no

se tiene en cuenta, mientras qu e en otros tambien ap arecen d irectamente los valores de

la senal de control (no sus incrementos). En la funcion de coste se pueden considerar:




Parametros:N 1 y

N 2 son los horizontes m ınimo y maximo de coste (o de pre-

diccion) y N u es el horizonte de control, que no tiene por que coincidir con el

horizonte maximo, como se vera p osteriormente. El significado de N 1 y N 2 re-

sulta bastante intu itivo: marcan los lımites de los instantes en que se desea qu e

la salida siga a la referencia. Ası, si se toma un valor grand e d e N 1 es porque

no importa que haya errores en los primeros instantes, lo cual provocara u n a

respu esta suave del proceso. Notese que para procesos con tiempo mu erto d notiene sentido qu e

N 1 sea menor qu e dicho valor pu esto que la salida n o empezara

a evolucionar hasta el instantet + d

. Ademas, si el p roceso es d e fase n o m ınima,

este parametro permite eliminar de la funcion objetivo los primeros instantes de

respuesta inversa.

Los coeficientes ( j ) y ( j ) son secuencias que ponderan el comportamiento fu-

turo. Usualmente se consideran valores constantes o secuencias exponenciales.

Por ejemplo se puede conseguir un peso exponencial de ( j )

a lo largo del hori-

zonte usando:

( j ) =

N 2 ; j

Si esta comprendido entre 0 y 1 indica que se penaliza mas a los errores mas

alejados del instante t que a los mas proximos, dando lugar a un control mas

suave y con menor esfuerzo. Si, por el contrario, > 1 es que se penalizan mas

los primeros errores, provocando un control mas bru sco.

Todos estos valores pueden ser usados como parametros de sintonizacion, ob-

teniendo un abanico muy amplio de posibilidades con las que se puede cubrir

una extensa gama de opciones, desde un control estandar hasta una estrategia

disenada a med ida para un proceso en p articular.

Trayectoria de referencia: Una de las ventajas del control predictivo es que si

se conoce a priori la evolucion futura de la referencia, el sistema puede empezara reaccionar antes d e que el cambio se h aya efectivamente realizado, evitando

los efectos d el retardo en la respuesta d el proceso. En mu chas ap licaciones la

evolucion futura de la referenciar ( t + k )

es conocida de antemano, como en

Robotica, servos o p rocesos en batch; en otras ap licaciones aun qu e la referencia sea

constante, se puede conseguir una sensible mejora de prestaciones simplemente

conociendo el instante de cambio de valor y adelantand ose a esa circunstancia.

En el criterio d e m inimizacion (2.3), la m ayor ıa d e los metodos suelen usar una

trayectoria de referencia w ( t + k ) que no tiene por que coincid ir con la referencia

real. Normalmente sera un a suave aproximacion d esde el valor actual de la salida

y ( t )

a la referencia conocida mediante un sistema de primer orden:

w ( t ) = y ( t ) w ( t + k ) = w ( t + k ;

1) + (

1; ) r ( t + k ) k =

1: : : N (

2:

4)

e s u n p a rametro comprendido entre 0 y 1 (mientras ma s p roximo a 1 m as

suave sera la aproximacion) que constituye un valor ajustable que influira en

la respuesta dinamica del sistema. En la figura 2.3 se muestra la forma de la

trayectoria cuando la referenciar ( t + k )

es constante y para dos valores distintos

d e ; para valores p equenos de este parametro se tiene un seguimiento rapido




(w 1) mientras que si aumenta, la trayectoria de referencia sera

w 2 dando lugar a

una respu esta mas suave.

y(t)

r(t+k)

w (t+k)w (t+k)

t

12

Figu ra 2.3: Trayectoria d e referencia

Restricciones: En la practica, todos los procesos estan sujetos a restricciones. Los

actuadores tienen un campo limitado de accion ası como u na d eterminad a ve-

locidad de cambio (slew rate), como es el caso de las valvulas, limitadas por las

posiciones de totalmente abierta o cerrada y por la velocidad de respu esta. Razo-

nes constructivas, de seguridad o medioambientales o bien los propios alcances de

los sensores p ued en causa r lımites en las v ariables d e proceso, tales como n iveles

en dep ositos, cau d ales en tuber ıas o temp eratu ras y p resiones maximas. Ademas,normalmente las condiciones de operacion vienen definidas por la interseccion

de ciertas restricciones p or m otivos fun dam entalmente economicos, con lo que el

sistema de control operara cerca d e los lımites. Tod o lo expu esto an teriorm ente

hace necesaria la introduccion de restricciones en la funcion a minimizar.

Muchos algoritmos predictivos tienen en cuenta el tema de las restricciones por lo

cual han tenido gran exito en la industria. Normalmente se consideraran lım ites

en la amplitud y el slew rate de la senal d e control y l ımites en las salidas:

u

m i n

u ( t ) u

m a x

8 t

d u

m i n

u ( t ) ; u ( t ;

1) d u

m a x

8 t

y

m i n

y ( t ) y

m a x

8 t

con la adicion de estas restricciones a la funcion objetivo, la minimizacion resulta

m as compleja, no p ud iendo obtenerse la solucion an alıticamen te com o en el caso

sin restringir.



18 Revisi on de los principales algoritmos

2.1.3 Obtencion de la ley de control

Para obtener los valoresu ( t + k j t )

sera necesario minimizar la funcionalJ

de la

ecuacion (2.3). Para ello se calculan los valores d e las salidas predichas ˆy ( t + k j t )

en funcion d e valores p asados d e entradas y salidas y de senales d e control futuras,

haciendo uso del modelo que se haya elegido y se sustituyen en la funcion de coste,

obteniendo una expresion cuya minimizacion conduce a los valores buscados. Para el

criterio cuadratico si el modelo es lineal y no existen restricciones se puede obtener una

solucion ana lıtica, en otro caso se debe u sar u n metodo iterativo de optimizacion .

De cualquiera de las maneras la obtencion de la solucion no resulta trivial pues

existiran N 2 ; N 1 + 1 variables ind epend ientes, valor que p ued e ser elevado (del orden

de 10 a 30). Con la idea de redu cir estos grados d e libertad se pued e proponer cierta

estructura a la ley de control. Ademas se ha encontrado que esta estructuracion de la

ley de control produce una mejora en la robustez y en el comportamiento general del

sistema, debido fundamentalmente a que el hecho de permitir la libre evolucio n d e

las variables manipuladas (sin estructurar) puede conducir a senales de control d e altafrecuen cia no deseables y que en el peor d e los casos pod rıan cond ucir a la inestabilidad .

Esta estructura de la ley de control se plasma en el uso del concepto d e horizonte d e

control (N u

), que consiste en considerar que tras un cierto intervaloN u < N 2 no hay

variacion en las senales de control propu estas, es decir:

4 u ( t + j ;

1) =

0j > N u

lo cual es equ ivalente a d ar p esos infinitos a las cambios en el control a p artir d e cierto

instan te. El caso lımite serıa considera r N u igual a 1 con lo que todas las acciones

futu ras s erıan igu ales au ( t )

1.

2.2 Revision de los principales algoritmos

Se presentan a continu acion los principales algoritmos de control predictivo, mostrando

sus p rincipales caracterısticas p ero sin entrar en d etalles. Se p ued en encontr ar estu d ios

comparativos en [10], [7], [11] y [16]. En el tema siguiente se estudiaran en detalle los

dos metodos considerados mas representativos: DMC y GPC .

Dynamic Matrix Control

Este metodo usa la respuesta ante escalon (2.2) para mod elar el proceso, consideran do

solo losN

primeros terminos, asumiendo por tanto que el proceso es estable. En

1Recuerdese que debido al horizonte deslizante, la senal de control se recalcula en el siguiente

muestreo.




cuanto a las pertu rbaciones, se considera qu e su valor p erman ence constante e igual al

existente en el instante actual du rante tod o el horizonte, es decir, igual al valor med ido

de la salida ( y

m

) menos el estimado p or el modelo ˆy ( t j t ) ).

ˆn ( t + k j t ) = ˆn ( t j t ) = y

m

( t ) ; ˆy ( t j t )

y por tanto el valor predicho de la salida sera:

ˆy ( t + k j t ) =

k

X

i =

1

g

i

4 u ( t + k ; i ) +

N

X

i = k +

1

g

i

4 u ( t + k ; i ) +

ˆn ( t + k j t )

donde el primer term ino contiene las acciones d e control futu ras (qu e seran calculadas),

el segundo los valores pasados de las acciones de control (conocidas) y el ultimo

representa las pertu rbaciones. La funcion de coste puede considerar solo errores futuros

o incluir tambien el esfuerzo d e control, en cuyo caso toma la forma generica (2.3).

Una de las caracterısticas de este metodo que lo ha hecho mu y popu lar en la industria

es la inclusion d e restricciones, que se tra du ce en inecuaciones de la forma generica:

N

X

i = 1

C

j

y i

ˆy ( t + k j t ) + C

j

u i

u ( t + k ; i ) + c

j

0j =

1: : : N

c

En este caso la optimizacion debe ser numerica y se lleva a cabo en cada periodo de

mu estreo, enviandosela senalu ( t )

y recalculando todo en el nuevo periodo de muestreo,

como en tod os los metodos MPC . Los principales inconvenientes d e este metodo son el

t a m ano del modelo empleado y la imposibilidad de tratar procesos inestables.

Model Algorithmic Control

Este metodo se conoce tambien como Mod el Predictive H euristic Control y el produ cto

comercial se llama IDCOM (Identification-Command ). Es m uy similar al DMC con la

diferencia principal d e usar un modelo d e respuesta impu lsional (2.1). Introdu ce el

concepto d e trayectoria de referencia como u n sistema d e prim er orden que evoluciona

desde la salida actual al setpoint segun u na determinada constante de tiempo. La

varianza d el error entre esta trayectoria y la salida es lo qu e marca la minimizacion de

la funcion objetivo. Las perturbaciones se pueden tratar como en el metodo anterior o

se pueden estimar segun la siguiente expresion :

ˆn ( t + k j t ) =

ˆn ( t + k ;

1j t ) + (

1; ) ( y

m

( t ) ;

ˆy ( t j t ) )

con ˆn ( t j t ) =

0.

es un parametro ajustable(

0 <

1)

relacionado con el tiempo de

respu esta, el ancho de banda y la robustez d el bucle cerrado [7]. El metodo tambien

considera restricciones en los actuadores, en las variables internas o en salidas secun-

darias.




Puntos de coincidencia

Figura 2.4: Puntos de coincidencia

Predi ctive Functional Control

Este controlador fue d esarrollado por Richalet [18] para procesos rapidos. Emplea un

mod elo en el espacio de estados, por lo que p ermite el manejo d e procesos inestables, ytambien la extension al caso no lineal. Este esquem a d e control tiene d os caracterısticas

que lo distinguen d el resto de controladores de la familia: el uso d e punt os de coincidencia

y d e funciones base.

El concepto de puntos de coincidencia (ver figura 2.4) se emplea para simplificar

los calculos consideran do solo un subconjun to de p un tos en el horizonte d e prediccion

h

j

,j =

1 : : : n

H

. La salida deseada y la predicha deben coincidir en dichos puntos, no

en todo el horizonte de prediccion .

La otra idea innovadora de este metodo es la parametrizacion de la senal de con-

trol como una combinacion lineal de ciertas funciones base, qu e son elegidas segun lanatu raleza d el proceso y la referencia:

u ( t + k ) =

n

B

X

i =

1

i

( t ) B

i

( k )

Normalmente estas funciones son de tipo polinomico: escalones (B 1 ( k ) =

1), rampas

(B 2 ( k ) = k

) o p a rabolas (B 3 ( k ) = k

2), ya que la m ayorıa d e referencias se p ued en

especificar como combinacion de estas funciones. Con esta estrategia, u n perfil de

entrada complejo se puede especificar usando un pequeno nu m e ro d e p a rametros

desconocidos

i

que son las incognitas del problema de minimizacion .

La funcion a minimizar es:

J =

n

H

X

j = 1

ˆy ( t + h

j

) ; w ( t + h

j

) ]

2

El algoritmo PFC tambien puede manejar restricciones de maximo y m ınimo en la

aceleracion, que son p racticas en aplicaciones de servocontrol.




Extended Prediction Self Adaptive Control

El algoritmo EPSAC usa un modelo de funcion de transferencia

A ( z

; 1) y ( t ) = B ( z

; 1) u ( t ; d ) + v ( t )

donded

es el retardo yv ( t )

la perturbacion. Este modelo puede amp liarse para tratarperturbaciones m edibles anadiendo un termino

D ( z

; 1) d ( t )

para incluir efecto feedfor-

ward . La prediccion se obtiene segun se muestra en [10] y la estructura de la ley de

control es muy simp le, ya qu e se considera que la senal de control permanecera cons-

tante a partir del instante t (es decir, horizonte de control igual a 1): 4 u ( t + k ) = 0 para

k >

0. Para obtener la senal de control de minimiza una funcion de coste de la forma:

N

X

k = d

( k ) w ( t + k ) ; P ( z

;

1)

ˆy ( t + k j t ) ]

2

donde P ( z

;

1) es un polinomio de d iseno con ganancia unitaria y ( k ) es un a secuencia

de ponderacion. La senal d e control se pu ed e calcular an alıticam ente d e la form a:

u ( t ) =

N

P

k = d

h

k

( k ) w ( t + k ) ; P ( z

; 1)

ˆy ( t + k j t ) ]

N

P

k = d

( k ) h

2k

siendoh

k

los coeficientes de la respu esta imp ulsional del sistema.

Extended Horizon Adaptive Control

Esta formulacion tambien emplea un modelo de funcion de transferencia y p retende

minimizar la d iscrepancia entre la salida calculada y la referencia en el instantet + N

:

ˆy ( t + N j t ) ; w ( t + N )

, conN d

. La solucion a este problema no es unica (a menos

qu eN = d

)[21]; una posible estrategia es considerar horizonte de control igual a 1:

4 u ( t + k ;

1) =

0 1< k N ; d

o m inimizar el esfuerzo d e control

J =

N ; d

X

k =

0

u

2( t + k )

Este metodo utiliza un predictor deN

pasos de la forma

ˆy ( t + N j t ) = y ( t ) + F ( z

;

1) 4 y ( t ) + E ( z

;

1) B ( z

;

1) 4 u ( t + N ; d )

dondeE ( z

;

1)

yF ( z

;

1)

son polinomios que satisfacen la relacion

( 1 ; z

; 1) = A ( z

; 1) E ( z

; 1) ( 1 ; z

; 1) + z

; N

F ( z

; 1) ( 1 ; z

; 1)




con el grado deE

igual aN ;

1. Un a ventaja d e este metodo es que se puede encontrar

f acilmente u na solucion explıcita, da d a p or

u ( t ) = u ( t ;

1) +

0 ( w ( t + N ) ; ˆy ( t + N j t ) )

N ; d

P

k = 0

2i

siendo

k

el coeficiente correspondiente a4 u ( t + k )

en la ecuacion de prediccion. Por

tanto la ley de control depende solo de los p arametros del proceso y puede hacerse

f acilmente ad aptativa si se emp lea un identificador en lınea. El unico coeficiente de

ajuste es el horizonte d e p rediccionN

, lo cual simp lifica el uso p ero prop orciona p oca

libertad p ara el diseno. Observese que no pued e usarse trayectoria d e referencia porque

el error se considera solo en u n instante (t + N

), ni tamp oco la p ond eracion d el esfuerzo

de control.

Generalized Predictive Control

Este metodo propuesto por Clarke et al. [5] emplea un modelo CARIMA (Controlled

Auto-Regressive Integrated Moving Average) para la prediccion de la salida:

A ( z

;

1) y ( t ) = B ( z

;

1) z

; d

u ( t ;

1) + C ( z

;

1)

e ( t )

4

donde la p erturbacion viene dada por un ruido blanco coloreado por el polinomio

C ( z

; 1)

. Como en la practica es d ifıcil encontrar el verd ad ero valor d e este p olinomio, se

pu ede emplear como parametro de diseno p ara rechazo d e pertur baciones o mejora d e

la robustez. La prediccion optima se lleva a cabo resolviendo u na ecuacion d iof antica,lo cual p ued e hacerse eficazmente d e forma recur siva.

Este algoritmo, al igual que otros que usan el modelo de funcion de transferen-

cia, se puede implementar f acilmente en forma adaptativa usando un algoritmo de

identificacion e n lınea com o los m ınim os cua d rad os recu rsivo s.

GPC usa un a funcion de coste cuadratica d e la forma

J ( N 1 N 2 N

u

) =

N 2X

j = N 1

( j )

ˆy ( t + j j t ) ; w ( t + j ) ]

2+

N

u

X

j = 1

( j ) 4 u ( t + j ;

1) ]

2

donde las secuencia de ponderacion ( j ) y ( j ) se eligen normalmente constanteso exponenciales y la trayectoria de referencia

w ( t + j )

se puede generar como una

secuencia que empieza en el valor actual de la salida y tiende exponencialmente al

setpoint.

Las bases teoricas del algoritmo GPC has sido ampliamente estudiadas y se puede

dem ostrar (ver [4]) que, p ara d istintos conjun tos de p arametros, el algoritmo es estable

y qu e otros controlad ores como por ejemp lo el dead beat son casos incluidos en este.




2.3 Estado de la tecnologıa

Se pu ede considerar que p rodu ctos como el MAC-IDCOM o el DMC estan ampliamente in-

trodu cidos en la indu stria, prop orcionand o un buen control de sistemas mu ltivariables

sin restricciones y constituyen la pr imera generacion d e controladores p redictivos.

Sin embargo, la gestion d e restricciones es algo q ue to d avıa no esta ba bien resu elto

en estos produ ctos hasta qu e aparecio una version de DMC denominada QDMC, ligera

variacion d el algoritmo basico en el que se consideran restricciones duras y blandas d e

forma sistematica. Este algoritmo se suele considerar como la segund a generacion .

Con form e la tecnolo gıa MPC iba despertando mayor interes y aceptacion, los proble-

mas qu e se abordaban eran cada vez mas complejos, apareciendo nuevas problematicas

como el tratamiento de la no-factibilidad, la consideracion d e modelos apropiados para

p rocesos inestab les o la representa cion de la perturbacion para la realimentacion de otra

forma mas adecuad a que u n valor constante. Tambien se consideraba importante la

respuesta ante fallos, de forma que el controlador fuera capaz de reconfigurarse si seperdiera alguna senal, o la dificultad de incluir diversos requerimientos de control en

u na un ica funcion objetivo.

Estos p roblemas motivaron el desarrollo d e algoritmos como HIECON (Hierarchical

Constrained Control, por Adersa) o IDCOM-M (por parte de Setpoint). Este ultimo

incluye u n sup ervisor para p lantas mal cond icionadas, funcion objetivo multicriterio o

jera rqu ıa d e rest ricciones. El SMOC d e Shell es similar incluyend o caracterısticas como

mod elos en espacio de estados (validos para sistemas inestables) o la consideracion de

un observador extendido p ara la realimentacion de la salida en lugar d el valor constante

empleado en los demas metodos. Estos metodos junto con el PCT de Profimatics, el

RMPCT de H oneywell o el PFC de Ad ersa constituyen la tercera generacion .

Los p rodu ctos que existen hoy d ıa en el m ercad o comp arten las id eas basicas de

DMC o MAC desarrollados hace mas de veinte anos y el mayor enfasis en los ultimos

anos se ha centrado en la consideracion d e otros tipos de mod elos, incluyen do m odelos

no lineales, y en una mejor integracion del controlador con los equipos de control

existentes.

A pesar d e su creciente imp lantacion, la tecnologıa actual tiene tod avıa ciertas

limitaciones, siendo las mas destacables las siguientes:

Modelos sobre-param etrizados. La mayorıa d e los prod uctos comerciales u san

modelos de convolucion, que emp lean u na cantidad considerable de parametros

y no se pu eden usar p ara representar dinamicas inestables.

Sintonizacion. No existe una clara relacion entre los param etros d e sinton ıa y el

comp ortam iento d el bu cle cerrad o. La garan tıa d e estabilidad , sobre todo cuan d o

existen restricciones, es otro gran problema.



24 Estad o d e la tecnologıa

Optimalidad de la solucion. Muchos paquetes proporcionan una solucion sub-

optima para acelerar el calculo. En algunos casos este procedimiento no esta

justificado.

Incertidumbres en el modelo. Normalmente no se tiene en cuenta la incertidum-

bre asociada a la identificacion, sino que se desintoniza el controlad or intentand o

aumentar la robustez.

Perturbacion constante. Aunque es la hipotesis mas sensata a priori, se p od rıa

obtener una mejor realimentacion si la distribucion d e la pertur bacion se estud iara

con mas cuidado.



Tema 3

Algoritmos

En este tema se tratan en profundidad los dos algoritmos considerados mas represen-

tativos d e las m etodologıas existentes en Control Pred ictivo. Representan a las d os familias de controladores pred ictivos, un a de origen claramente indu strial y la otra mas

acad emica.

3.1 D ynamic Matrix Control

El m etodo DMC se d esarrollo a finales de los setenta by Cutler and Ramaker [6] de Shell

Oil Co. y ha sido aceptado am pliamente en el mun do industrial, principalmente por

las ind ust rias petroqu ımicas. A ctualm ente DMC es algo mas que un algoritmo y parte

de su exito se debe al hecho de que el producto comercial resuelve otros temas como

identificacion u optimizacion global de la planta. En esta seccion solo se analiza el

algoritmo standard sin abordar detalles tecnicos p ropios d el producto d e mercado que

no son de d ominio publico.

Pero a pesar de este exito en la practica, este metodo adolece quizas de la ausencia

d e u n a nalisis teorico mas completo que estudie la influencia de los parametros d e

diseno (horizontes, secuencias de ponderacion) sobre la estabilidad del bucle cerrado

ası como d e resultad os d e robu stez.

3.1.1 Prediccion

El modelo de proceso que se emplea es el de respuesta temporal, considerando la

perturbacion como constante a lo largo del horizonte. El procedimiento para obtener

la prediccion se d escribe a continuacion .

25



26 Dynam ic Matrix Control

Como se emplea un modelo de respuesta ante escalon :

y ( t ) =

1

X

i =

1

g

i

4 u ( t ; i )

los valores pred ichos a lo largo del horizonte seran :

ˆy ( t + k j t ) =

1

X

i =

1

g

i

4 u ( t + k ; i ) + ˆn ( t + k j t ) =

=

k

X

i = 1

g

i

4 u ( t + k ; i ) +

1

X

i = k + 1

g

i

4 u ( t + k ; i ) +

ˆn ( t + k j t )

Las perturbaciones se consideran constantes, ˆn ( t + k j t ) =

ˆn ( t j t ) = y

m

( t ) ;

ˆy ( t j t )

,

por lo que se puede escribir:

ˆy ( t + k j t ) =

k

X

i =

1

g

i

4 u ( t + k ; i ) +

1

X

i = k +

1

g

i

4 u ( t + k ; i ) + y

m

( t ) ;

;

1

X

i =

1

g

i

4 u ( t ; i ) =

k

X

i =

1

g

i

4 u ( t + k ; i ) + f ( t + k )

donde f ( t + k ) es la respuesta libre del proceso, es decir, la parte d e la respuesta qu e no

depende de las acciones de control futuras, y viene dada por:

f ( t + k ) = y

m

( t ) +

1

X

i =

1

( g

k + i

; g

i

) 4 u ( t ; i ) (

3:

1)

Si el proceso es asintoticamente estable, los coeficientesg

i

de la respuesta ante

escalon tienden a un valor constante despues deN

periodos de muestreo, por lo que

se pued e considerar qu e

g

k + i

; g

i

0 i > N

y por tanto la respuesta libre se puede calcular como

f ( t + k ) = y

m

( t ) +

N

X

i =

1

( g

k + i

; g

i

) 4 u ( t ; i )

N otese que si el proceso no es estable, entonces no existeN

y no se puede calcu-

larf ( t + k )

(aunque existe una generalizacion en el caso de que la inestabilidad sea

produ cida p or integradores p uros).

Ahora las predicciones se pueden calcular a lo largo del horizonte de prediccion

(k =

1 : : : p )

, considerandom

acciones de control.

ˆy ( t + 1 j t ) = g 1 4 u ( t ) + f ( t + 1 )



Algoritmos 27

ˆy ( t +

2j t ) = g 2 4 u ( t ) + g 1 4 u ( t +

1) + f ( t +

2)

...

ˆy ( t + p j t ) =

p

X

i = p ; m +

1

g

i

4 u ( t + p ; i ) + f ( t + p )

Si se define la matriz din ´ amica G como:

G =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

g 1 0

0

g 2 g 1

0...

.... . .

...

g

m

g

m ; 1 g 1

......

. . ....

g

p

g

p ; 1 g

p ; m + 1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

se puede escribir que:

y = G u + f (

3:

2)

Ob servese queG

esta formad a porm

(horizonte de control) columnas de la respu esta

ante escalon apropiadamente desplazadas hacia abajo. y

es un vector de dimension

p

que contiene las predicciones de la salida,u

representa el vector de incrementos de

control yf

es el vector d e respuestas libres. Esta es la expresion que relaciona las

respuestas futuras con los incrementos en las senales de control, por lo que usara para

calcular las acciones necesarias para conseguir el comportamiento deseado del sistema.

3.1.2 Perturbacione s medi bles

El efecto de las perturbaciones m edibles se p uede anadir f acilmente a las anteriores

ecuaciones d e p rediccion, ya que estas se pu eden tratar como entradas al sistema. La

expresion (3.2) se pued e usar p ara calcular la pred iccion d el efecto de las pertur baciones

en la salida de la siguiente forma:

y

d

= D d + f

d

donde y

d

es la contribucion d e las perturbaciones medibles a la salida,D

es una m atriz

similar aG

que contiene los coeficientes de la respuesta del sistema a un escalon en

la perturbacion ,d

es el vector de incrementos en la perturbacion yf

d

es la parte de la

respu esta que no depend e de la perturbacion .

En el caso mas general de pertu rbaciones m edibles y no m edibles, la respu esta libre

comp leta del sistema (la fraccion de la salida que no depende de la variable manipulada)




se pued e considerar como la sum a de cuatro efectos: la respuesta a la entrad au ( t )

, a la

perturbacion medible d ( t ) , a la p erturbacion n o med ible y al estad o actual del proceso:

f = f

u

+ D d + f

d

+ f

n

Por tanto la pred iccion se puede expresar en la forma general

y = G u + f

3.1.3 Algoritmo de control

El exito en la industria del DMC se ha debido principalmente a su aplicacion a siste-

mas m ultivariables d e gran dimension con la consideracion d e restricciones. En esta

seccion se describe el algoritmo de control comenzando por el caso mas simple de un

sistema monovariable sin restricciones y extendiend olo posteriormente al caso general

multivariable con restricciones.

El objetivo del controlador DMC es llevar el p roceso los mas cerca p osible al setpo int

en el sentido de m ınimos cuadr ados con la posibilidad d e incluir un a penalizacion en los

movimientos de la senal d e control. Por ello se seleccionan las variables man ipulad as

de forma que minimicen un objetivo cuadratico que puede incluir solo los errores

futuros

J =

p

X

j =

1

ˆy ( t + j j t ) ; w ( t + j ) ]

2

o tambien el esfuerzo d e control, presentand o la forma generica

J =

p

X

j = 1

ˆy ( t + j j t ) ; w ( t + j ) ]

2+

m

X

j = 1

4 u ( t + j ;

1) ]

2

Si no existen restricciones, la minimizacion de la funcion de costeJ = e e

T

+ u u

T ,

dondee

es el vector de errores futuros a lo largo del horizonte de prediccion yu

es el

vector de futuros incrementos en la senal de control4 u ( t ) : : : 4 u ( t + m )

, se puede

hacer d e forma analıtica calculando la d erivada deJ

y haciendola igual a 0, lo que

prop orciona el resultado general:

u = ( G

T

G + I )

; 1G

T

( w ; f ) (

3:

3)

Recu erdese que, como en todas las estrategias predictivas, solo se en vıa al p roceso

el primer elemento del vectoru

(4 u ( t )

). No es aconsejable implementar la secuencia

completa sobre los siguientesm

intervalos, ya que al ser imposible estimar de forma

exacta las perturbaciones, no es posible anticiparse a las perturbaciones inevitables que

provocan que la salida real difiera de las predicciones que se emplean para calcular la



Algoritmos 29

w

f

+

Ku

Proceso

y

-

Calculo

Resp. libre

Figura 3.1: Ley de control

secuencia futu ra d e acciones de control. Ad emas, el setpoint puede cambiar durante

los proximosm

intervalos.

Resulta interesante analizar en qu e consiste realmente la ley de control. Analizando

la expresion 3.3 se observa que el primer elemento del vector u, que es la senal queefectivamente se envıa a la planta, es el producto de la primera fila de la m atriz

( G

T

G + I )

; 1G

T (llam emosleK

) por la diferencia entre la trayectoria de referencia y la

respuesta libre, que es el error futuro si no hubiera incrementos en la senal d e control.

Se pu ede d ecir por tanto que el incremento de la senal d e control es proporcional (por

medio d e K ) a los errores futuros y por tanto habra cambios en la senal de control

siemp re que el controlador detecte que va a h aber un a d iscrepancia en el futu ro entre el

objetivo deseado y el comportamiento esperado del sistema. Esta idea queda reflejada

en la figura 3.1.

El caso con restriccione s

Aunque computacionalmente mas complicado que otros algoritmos mas simples, la

capacidad de manejar restricciones que posee este metodo (y MPC en general) lo hace

muy atractivo para aplicaciones practicas, ya que en general el punto de operacion

optimo segun criterios economicos se encuentr a n ormalmen te en la interseccion d e las

restricciones, como se mu estra en la figu ra 3.2. Por razon es de segu ridad , es necesario

mantener una zona segura alrededor del punto de operacion, ya que el efecto d e las

pertu rbaciones p ued e hacer que la salida d el proceso viole las restricciones. Esta zona

se puede reducir (y por tanto aumentar los beneficios economicos) si el controlador escapaz d e man ejar restricciones (pu nto d e operacion 1).

Las restricciones tanto en entrad a como en salida se pu eden red ucir a desigualdad es

de forma generica

N

X

i = 1

C

j

y i

ˆy ( t + k j t ) + C

j

u i

u ( t + k ; i ) + c

j

0j =

1: : : N

c




zona

P. operacion

optimo

segura 2

Zona segura 1

Punto operacion 1

Punto operacion 2

Restriccion

Restriccion

Figur a 3.2: Pun to d e operacion op timo d e u n p roceso tıpico

que deben tenerse en cuenta para la minimizacion. Como se ha visto, las salidas se

pueden expresar en funcion del vector de incrementos de control a traves de la matriz

d inamica, por que las restricciones tanto en la entrada como en la salida se pueden

recoger en una desigualdad matricial de la formaR u c

, como se vera con m as

detalle en el tema d edicado a restricciones. Ahora la minimizacion es un problema deProgramacion Cuadratica QP, cuya solucion es numerica.

Tod o lo relacionad o con las restricciones sera abordado con mayor grad o de d etalle

en el tema d edicado a ello.

Extension al caso multivariable

El esquema p revio se pu ede extend er f acilmente al caso de sistemas con varias entradas

y varias salidas. Las ecuaciones basicas se mantienen igual a excepcion de que lasmatrices y vectores cambian de dimension para poder incluir todas las entradas y

salidas.

Al tratarse d e mod elos lineales, se pu ede ap licar el principio d e sup erposicion para

obtener el valor de las salidas ante las diversas entradas. Para ello se define el vector

de salidas futuras como:

y =

y 1 ( t +

1j t ) : : : y 1 ( t + p 1 j t ) : : : y

n y

( t +

1j t ) : : : y

n y

( t + p

n y

j t )

T

y el de senales de control de la forma:

u = [4 u 1 ( t ) : : : 4 u 1 ( t + m 1 ;

1) : : : 4 u

n u

( t ) : : : 4 u

n u

( t + m

n u

;

1) ]

T

ası como la resp u esta libre:

f =

f 1 ( t +

1j t ) : : : f 1 ( t + p 1 j t ) : : : f

n y

( t +

1j t ) : : : f

n y

( t + p

n y

j t )

T

teniendo en cuenta que la respuesta libre de la salidai

depend e tanto de valores pasados

d e y

i

como d e valores pasados d e todas las senales d e control.



Algoritmos 31

Con estas d efiniciones, la ecuacion de prediccion es igual qu e en el caso m onova-

riable simplemente considerando que la matriz G toma la forma:

G =

2

6

6

6

6

4

G 11 G 12 G 1n u

G 21 G 22 G 2n u

.

.....

.. .

.

..G

n y 1 G

n y 2 G

n y n u

3

7

7

7

7

5

Cada submatriz G

i j

contiene los coeficientes de la respuesta ante escalon i-esima

correspondiente a la entrada j-esima. El proceso de m inimizacion es analogo solo que

la ponderacion tanto de los errores como de los esfuerzos de control se realiza con

matrices de peso.

3.2 Control Predictivo Gene ralizado

El Control Predictivo Generalizado GPC fue propuesto por Clarke et al. en 1987 y se ha

convertido en uno de los metodos mas populares en el ambito del Control Predictivo

tanto en el mundo industrial como en el academico. Se ha empleado con exito en

num erosas ap licaciones indu striales, mostrando buenas p restaciones a la vez que un

cierto grado de robustez respecto a sobreparametrizacion o retardos mal conocidos.

Puede resolver muchos problemas de control diferentes para un amplio campo de

procesos con un numero razonable de variables de diseno, que son especificadas porel operario dependiendo del conocimiento previo del proceso y de los objetivos de

control.

La idea basica del GPC es calcular una secuencia de futuras acciones de control

de tal forma que minimice una funcion de coste m ultipaso. El ındice a m inimizar es

una funcion cuadratica qu e mide por un lado la d istancia entre la salida p redicha d el

sistema y una cierta trayectoria de referencia hasta el horizonte de prediccion, y por

otro el esfuerzo de control necesario p ara obtener dicha salida.

El Control Predictivo Generalizado tiene mu chas ideas en comun con otros contro-

ladores predictivos previamente mencionados ya que esta basado en las mismas ideaspero posee a su vez algunas d iferencias. Como se vera m as adelante, es capaz de

proporcionar una solucion explıcita (en a usen cia d e restricciones), pu ed e tra bajar con

p rocesos inestables o d e fase no m ınima e incorp ora el concepto d e horizon te d e control

ası com o la consid eracion en la funcion de coste de ponderacion d e los incrementos en

las acciones d e control. Las diversas posibilidad es dispon ibles par a el GPC conducen a

una gran variedad de objetivos de control comparado con otras realizaciones, algunas

d e las cua les pu ed en ser considera d as como su bconjun tos o casos lımites del GPC .



32 Control Predictivo Generalizado

3.2.1 Formul acion del Control Predictivo Generalizado

La mayorıa de los procesos d e un a sola entrad a y un a sola salida (single-input single-

output , SISO), al ser considerados en torno a un determinado punto de trabajo y tras ser

linealizados, pued en ser d escritos de la siguiente forma:

A ( z

; 1) y ( t ) = z

; d

B ( z

; 1) u ( t ; 1 ) + C ( z

; 1) e ( t )

dondeu ( t )

yy ( t )

son respectivamente la senal de control y la salida del proceso ye ( t )

es

un ruido blanco de media cero.A

,B

yC

son los siguientes p olinomios en el operador

de desplazamiento hacia atrasz

; 1 :

A ( z

;

1) =

1+ a 1 z

;

1+ a 2 z

;

2+ : : : + a

n a

z

; n a

B ( z

;

1) = b 0 + b 1 z

;

1+ b 2 z

;

2+ : : : + b

n b

z

; n b

C ( z

; 1) = 1 + c 1 z

; 1+ a 2 z

; 2+ : : : + c

n c

z

; n c

donde d es el tiempo muerto del sistema.

Este modelo es conocido como Autorregresivo de Media Movil (Controller Auto-

Regressive Moving-Average CARMA). En muchas aplicaciones industriales en las que

las perturbaciones son no-estacionarias resulta mas conveniente el uso de un modelo

CARMA integrado, dand o lugar al CARIMA, que viene d escrito por:

A ( z

;

1) y ( t ) = B ( z

;

1) z

; d

u ( t ;

1) + C ( z

;

1)

e ( t )

4

con4 =

1; z

;

1(

3:

4)

Por simplicidad, a p artir de ahora el p olinomioC

se va a tomar igual a 1. Noteseque en el caso de que

C

; 1 pu eda ser truncado se pued e absorber enA

yB

.

El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuencia

de senales de control que minimice una funcion de coste de la forma:

J ( N 1 N 2 N u ) =

N 2X

j = N 1

( j )

ˆy ( t + j j t ) ; w ( t + j ) ]

2+

N u

X

j = 1

( j ) 4 u ( t + j ;

1) ]

2(

3:

5)

donde ˆy ( t + j j t )

es la prediccion optimaj

pasos h acia d elante de la salida del p roceso

con datos conocidos hasta el instantet

,N 1 y

N 2 son los hor izontes m ınimo y maximo

de coste, N u es el horizonte de control y ( j ) y ( j ) son las secuencias de ponderacionmientras que

w ( t + j )

es la futura trayectoria de referencia, que se puede calcular segu n

se mu estra en la figura 2.3. En mu chas situaciones se considera ( j )

igual a 1 y ( j )

constante.

El objetivo es p u es el calculo d e la futura secuencia de controlu ( t )

,u ( t +

1)

,... d e tal

manera que la salida futura del procesoy ( t + j )

permanezca proxima aw ( t + j )

. Esto

se logra minimizando J ( N 1 N 2 N u ) .



Algoritmos 33

Prediccion optima

Con la intencion de minimizar la funcion de coste, se obtendra previamente la pre-

diccion optima dey ( t + j )

paraj N 1 y

j N 2. Consid erese la siguiente ecuacion

diof antica:

1 = E

j

( z

;

1) 4 A + z

; j

F

j

( z

;

1) (3.6)

1 = E

j

( z

; 1)

Ã + z

; j

F

j

( z

; 1)

Los polinomiosE

j

yF

j

estan unicamente d efinidos con gradosj ;

1 yn a

respec-

tivamente. Se p ueden obtener d ividiendo 1 entre Ã ( z

;

1)

hasta que el resto pueda

ser factorizado comoz

; j

F

j

( z

;

1)

. El cociente d e la d ivision es entonces el polinomio

E

j

( z

; 1)

.

Si se multiplica la ecuacion (3.4) porE

j

( z

;

1) z

j

4

Ã ( z

;

1) E

j

( z

;

1) y ( t + j ) = E

j

( z

;

1) B ( z

;

1) 4 u ( t + j ; d ;

1) + E

j

( z

;

1) e ( t + j )

(3.7)

Teniend o en cuenta (3.6), la ecuacion (3.7) queda:

(

1; z

; j

F

j

( z

;

1) ) y ( t + j ) = E

j

( z

;

1) B ( z

;

1) 4 u ( t + j ; d ;

1) + E

j

( z

;

1) e ( t + j )

La cual se p ued e escribir como

y ( t + j ) = F

j

( z

;

1) y ( t ) + E

j

( z

;

1) B ( z

;

1) 4 u ( t + j ; d ;

1) + E

j

( z

;

1) e ( t + j ) (

3:

8)

Al ser el grado del polinomioE

j

( z

; 1)

igual aj ;

1 los terminos del ruido en laecuacion (3.8) estan todos en el futuro. La mejor prediccio n d e

y ( t + j )

ser a p o r

consiguiente:

ˆy ( t + j j t ) = G

j

( z

; 1) 4 u ( t + j ; d ;

1) + F

j

( z

; 1) y ( t )

dondeG

j

( z

;

1) = E

j

( z

;

1) B ( z

;

1)

Resulta simple demostrar que los polinomiosE

j

yF

j

se pueden obtener recursiva-

mente, de forma que los nuevos valores en el pasoj +

1 (E

j +

1 yF

j +

1) sean funcion de

los del pasoj

. A continuacion se mu estra u na d emostracion simple de la recursividad

de la ecuacion diof antica. Existen otras formulaciones del GPC que no estan basadas en

la recur sivida d de esta ecuacion .

Consid erense que los polinomiosE

j

yF

j

se han obtenido d ividiendo 1 entre Ã ( z

;

1)

hasta qu e el resto haya sido factorizado comoz

; j

F

j

( z

; 1)

.

Con:

F

j

( z

;

1) = f

j 0 + f

j 1 z

;

1+ + f

j n a

z

; n a

E

j

( z

; 1) = e

j

0 + e

j

1 z

; 1+ + e

j j ;

1 z

; ( j ; 1)




Sup ongase qu e se utiliza el mismo p rocedimiento p ara obtenerE

j + 1 yF

j + 1, es decir,

dividir 1 entre Ã ( z

; 1) hasta que el resto se pueda factorizar como z

; ( j + 1)

F

j +

1 ( z

; 1) con

F

j +

1 ( z

; 1) = f

j +

1

0 + f

j +

1

1 z

; 1+ + f

j +

1 n a

z

; n a

Esta claro que solamente es necesario dar un paso mas en la division p ara obtenerlos polinomios E

j +

1 y F

j +

1. Al ser E

j +

1 el nuevo cociente de la division, sera igual al

cociente qu e ha bıa hast a el m omen to (E

j

) m as un nu evo termino, que sera elf

j

0 pues

el divisor ( Ã

) es m onico. Por tanto:

E

j + 1 ( z

;

1) = E

j

( z

;

1) + e

j + 1 j

z

; j cone

j + 1 j

= f

j 0

Teniendo en cuenta que el nuevo resto sera el resto anterior menos el producto del

cociente por el divisor, los coeficientes del polinomioF

j + 1 se pueden expresar como:

f

j + 1 i

= f

j i + 1 ; f

j 0 ã

i + 1 i =

0 n a

En resumen, la forma de obtener los polinmiosE

j

yF

j

es la siguiente:

1. Comenzar conE 1 =

1,F 1 = z (

1;

Ã )

2. Ir anadiendo nuevos terminos aE

j

cone

j + 1 j

= f

j 0

3. Calcularf

j + 1 i

= f

j i + 1 ; f

j 0 ã

i + 1 i =

0 n a

, (siendof

j n a + 1 =

0).

El polinomio G

j +

1 puede ser obtenido recursivamente como sigue:

G

j +

1 = E

j +

1 B = ( E

j

+ f

j

0 z

; j

) B = G

j

+ f

j

0 z

; j

B

Es decir, los pr imerosj

coeficientes deG

j +

1 ser an id enticos a los deG

j

mientras que

el resto viene dado por:

g

j + 1 j + i

= g

j j + i

+ f

j 0 b

i

parai =

0 n b

Para resolver el GPC es necesario obtener el conjunto de senales de control u ( t ) ,u ( t +

1)

, ...,u ( t + N )

que m inimizan la ecuacion (3.5). Al tener el proceso un retardo d e

d

p erıodos d e m uestreo, la salida solo se vera influenciada por la senalu ( t )

despues del

instanted +

1. Los valoresN 1,

N 2 yN u

que marcan los horizontes pueden ser definidos

comoN 1 = d +

1,N 2 = d + N

yN u = N

. No tiene sentido hacerN 1 < d +

1 ya que

los terminos de (3.5) solo dep enderan de las senales de control pasadas. Por otro lado,

haciendoN 1 > d +

1 los primeros p un tos de la secuencia d e salida, qu e seran los mejor

estimados, no se tendran en cuenta.



Algoritmos 35

El conjunto de lasj

predicciones optimas:

ˆy ( t + d +

1j t ) = G

d + 1 4 u ( t ) + F

d + 1 y ( t )

ˆy ( t + d +

2j t ) = G

d + 2 4 u ( t +

1) + F

d + 2 y ( t )

...

ˆy ( t + d + N j t ) = G

d + N

4 u ( t + N ;

1) + F

d + N

y ( t )

pu ede ser escrito en forma matricial como:

y = G u + F ( z

; 1) y ( t ) + G

0

( z

; 1) 4 u ( t ;

1) (

3:

9)

Donde

y =

2

6

6

6

6

4

ˆy ( t + d + 1 j t )

ˆy ( t + d +

2j t )

...

ˆy ( t + d + N j t )

3

7

7

7

7

5

u =

2

6

6

6

6

4

4 u ( t )

4 u ( t +

1)

...

4 u ( t + N ;

1)

3

7

7

7

7

5

G =

2

6

6

6

6

4

g 0 0: : :

0

g 1 g 0 : : :

0...

......

...

g

N ;

1 g

N ;

2 : : : g 0

3

7

7

7

7

5

G

0

( z

;

1) =

2

6

6

6

6

4

z ( G

d +

1 ( z

;

1) ; g 0 )

z

2( G

d +

2 ( z

;

1) ; g 0 ; g 1 z

;

1)

...

z

N

( G

d + N

( z

;

1) ; g 0 ; g 1 z

;

1; ; g

N ;

1 z

; ( N ;

1)

)

3

7

7

7

7

5

F ( z

;

1) =

2

6

6

6

6

4

F

d + 1 ( z

;

1 )

F

d + 2 ( z

;

1)

...

F

d + N

( z

; 1)

3

7

7

7

7

5

Al depender los ultimos terminos de la ecuacion (3.9) solo del pasado, pueden

agruparse en f , dando lugar a:

y = G u + f (

3:

10)

Ob servese qu e es la misma expresion que se obtuvo para el DMC, aunque en este

caso la respu esta libre es distinta.

Obtencion de la ley de control

Entonces la ecuacion (3.5) puede escribirse como:

J = ( G u + f ; w )

T

( G u + f ; w ) + u

T

u ( 3: 11)




donde:

w =

h

w ( t + d +

1) w ( t + d +

2) w ( t + d + N )

i

T

(3.12)

La ecuacion (3.11) se pu ede p oner como:

J =

12

u

T

H u + b u + f 0 ( 3 : 13)

donde:

H = 2( G

T

G + I )

b =

2( f ; w )

T

G

f 0 = ( f ; w )

T

( f ; w )

El m ınim o d e J , siempre que no existan restricciones en la senal de control, pu ede

ser calculado igualand o a cero el gradiente de J , lo cual cond uce a:

u = ; H

; 1b

T

( 3 : 14)

Debido al uso de la estrategia deslizante, solo se aplica realmente el prim er elemento d el

vector u, repitiendo de nuevo elm ismo procedimiento al siguiente instante de muestreo.

La solucion propuesta involucra la inversion (o al menos la triangularizacion) de una

matriz de dimension N N , lo cual conlleva un a gran carga de calculo. El concepto ya

usado en otros metodos de horizonte de control se emplea con la finalidad de reducir

la cantidad de calculo, asumiendo que las senales de control perm aneceran en un valor

constante a partir del intervaloN u < N

. Por tanto la dimension de la matriz que hay

que invertir qu eda redu cida a N u N u , quedand o la carga de calculo reducida (en elcaso lım ite d e

N u =

1, se redu ce al caso escalar) aunqu e restringiend o la op timalidad.

3.2.2 Ejemplo de calculo

Se presenta a continuacion un ejemplo de calculo de un Controlador Predictivo Ge-

neralizado en un caso sencillo. Se disenara el controlador para un sistema de primer

orden.

Al d iscretizar el proceso continu o se obtiene el siguiente equivalente d iscreto:

(

1+ a z

;

1) y ( t ) = ( b 0 + b 1 z

;

1) u ( t ;

1) +

e ( t )

4

Se va a considerar un retardo d igual a 0 y un polinomio de ru ido C ( z

; 1) igual a 1.

Se usara el algoritmo descrito previamente par a obtener la ley de control, obteniendo

resultados nu mericos par a valores de los p aametros a = 0 : 8, b 0 = 0: 4 y b 1 = 0: 6, siendo



Algoritmos 37

los horizontesN 1 =

1 yN = N

u

=

3. Como se ha mostrado, se calcularan los valores

predichos de la salida del proceso en el horizonte haciendo uso de la ecuacion (3.9),

obteniendo la ley d e control de la expresion (3.14).

Resolviendo la ecuacion (3.6) se obtienen los polinomios del predictor E

j

( z

; 1) ,

F

j

( z

;

1) desde j = 1 hasta j = 3, con

˜A ( z

; 1) = A ( z

; 1) (

1; z

; 1) =

1;

1:

8z

; 1+

0:

8z

; 2

En este caso sencillo donde el horizonte no es demasiado largo, estos polinomios se

pueden obtener directamente dividiendo 1 por ˜A ( z

; 1)

. Como se ha explicado antes,

tambien se pu eden calcular recursivamente, comenza nd o con los valores obtenidos en

el primer paso de la division, es d ecir:

E 1 ( z

; 1) =

1F 1 ( z

; 1) =

1:

8;

0:

8z

; 1

Cualquiera qu e sea el metodo empleado, los valores obtenidos son:

E 2 =

1+

1:

8z

;

1F 2 =

2:

44;

1:

44z

; 1

E 3 =

1+

1:

8z

; 1+

2:

44z

; 2F 3 =

2:

952;

1:

952z

;

1

Con estos valores y el polinomioB ( z

; 1) =

0:

4+

0:

6z

; 1, los elementosG

i

( z

; 1)

resultan

ser:

G 1 = 0: 4 + 0 : 6z

; 1G 2 = 0: 4 + 1 : 32z

; 1+ 1: 08z

; 2G 3 = 0: 4 + 1: 32z

; 1+ 2: 056z

; 2+ 1: 464z

; 3

y por tanto se pueden escribir las salidas predichas como:

2

6

4

ˆy ( t +

1j t )

ˆy ( t + 2 j t )

ˆy ( t +

3j t )

3

7

5

=

2

6

4

0:

4 0 0

1: 32 0: 4 02

:

056 1:

32 0:

4

3

7

5

2

6

4

4 u ( t )

4 u ( t + 1)

4 u ( t +

2)

3

7

5

+

+

2

6

4

0:

64 u ( t ;

1) +

1:

8y ( t ) ;

0:

8y ( t ;

1)

1:

084 u ( t ;

1) +

2:

44y ( t ) ;

1:

44y ( t ;

1)

1: 464 4 u ( t ; 1) + 2: 952y ( t ) ; 1: 952y ( t ; 1)

3

7

5

| { z }

f

El paso siguiente es el calculo deH

; 1b

. Tomando

igual a 0:

8 se tiene qu e:

( G

T

G + I )

; 1G

T

=

2

6

4

0 : 133 0: 286 0 : 147

; 0: 154 ; 0: 165 0 : 286

; 0: 029 ; 0: 154 0 : 1334

3

7

5

Como solo se necesita el valor d e4 u ( t )

para los calculos, solo se emplea realmente la

primera fila de la matriz, con lo que resulta la siguiente expresion para la ley de control:

4 u ( t ) = ;

0:

60424 u ( t ;

1) ;

1:

371y ( t ) +

0:

805y ( t ;

1) +

+ 0: 133w ( t + 1) + 0: 286w ( t + 2) + 0: 147w ( t + 3)




dondew ( t + i )

es la trayectoria de referencia que se puede considerar bien constante

e igual a la referencia actual o bien una suave aproximacion de primer orden a esta.

Entonces la senal de control resulta ser una funcion de la referencia deseada y de

entradas y salidas p asadas, dada p or:

u ( t ) =

0:

3958u ( t ;

1) +

0:

6042u ( t ;

2) ;

1:

371y ( t ) +

0:

805y ( t ;

1) +

+

0:

133w ( t +

1) +

0:

286w ( t +

2) +

0:

147w ( t +

3)

Al mismo resultado se puede llegar sin emplear la ecuacion diof antica, calculando

G

en base a los coeficientes de la respuesta ante escalon (que se pueden calcular en

funcion de los coeficientes de la funcion de transferencia) y calculando la respuesta

libre como se muestra en [2].

3.2.3 Caso multivariable

Al igual que en el DMC todo lo visto para el caso de sistemas con una sola entrada y

una sola salida se pu ede extender al caso m ultivariable, au nque los calculos son mas

complejos.

En este caso el modelo CARIMA para un sistema dem

entradas yn

salidas se pu ede

expresar como:

A ( z

;

1) y ( t ) = B ( z

;

1) u ( t ;

1) +

1

4

C ( z

;

1) e ( t ) (

3:

15)

donde A ( z

;

1 ) y C ( z

;

1 ) son matrices polinomiales monicas de d imension n n y B ( z

;

1 )

es una matriz polinomial de d imensionn m

, definidos como:

A ( z

; 1) = I

n n

+ A 1 z

; 1+ A 2 z

; 2+ + A

n

a

z

; n

a

B ( z

;

1) = B 0 + B 1 z

;

1+ B 2 z

;

2+ + B

n

b

z

; n

b

C ( z

;

1) = I

n n

+ C 1 z

;

1+ C 2 z

;

2+ + C

n

c

z

; n

c

Las variablesy ( t )

,u ( t )

ye ( t )

son de dimensionn

1,m

1 yn

1 respectivamente.

La pred iccion conlleva la resolucion de una ecuacion d iofantina m atricial, que tam bien

pu ede calcularse d e forma recursiva.

En muchas ocasiones el problema radica en la obtencion adecuada del modelo enesta forma a partir de una matriz de transferencia en continuo que puede haberse

obtenido a partir de la curva de reaccion. Una forma de hacerlo se muestra en [2].

Una v ez obtenido el mod elo, el criterio a minimizar tend ra la forma general

J ( N 1 N 2 N 3 ) =

N 2X

j = N 1

k

ˆy ( t + j j t ) ; w ( t + j ) k

2R

+

N 3X

j =

1

k 4 u ( t + j ;

1) k

2Q



Algoritmos 39

dondeR

yQ

son matrices de ponderacion definidas positivas que normalmente se

eligen diagonales. La minimizacion se realiza igual que en el caso mon ovariable dand o

como resultado un vector de senales de control a enviar a la planta en el instante actual:

u 1 ( t ) , u 2 ( t ) : : : u

m

( t ) .



Tema 4

Restricciones en Control Predictivo

En la practica todos los procesos estan su jetos a restricciones. Los actuad ores tienen

un campo limitado de accion imp u esto p or l ımites fısicos (p or ejem p lo un a valvula nopuede abrir mas de un 100 % o un calentador no p uede aportar mas de su potencia

m axima. Tambien existen lımites de segu rid ad (p or ejemp lo presiones o temp eratu ras

m aximas), requerimientos tecnologicos (por ejemplo mantener temperaturas en un

rango dado),limitaciones de calidad del producto (no salirsed e cierta zona) o normativa

medioambiental.

4.1 Tratamiento convencional de restricciones

El tratamiento convencional d e restricciones en control d e p rocesos se basa en que las

restricciones en la variable m anipulada (entrada) se cum plen saturand o la salida del

controlad or. Sin embarg o, las restricciones en la variable controlad a (salida) no pu eden

abordarse; se intenta evitar su violacion trabajand o alejados de los lımites (en zona

segura), operando lejos de la restriccion. Por seguridad se trabaja con una consigna

inferior, mas lejos del punto de operacion optimo, lo qu e normalmente equivale a u na

disminucion d e la calidad y/ o cantidad en la produ ccion, ya que normalmente el punto

optimo se encuentra en la interseccion de las restricciones obligando a acercarse lo mas

posible a las estas pero sin superarlas.

Si el controlad or fuera capaz d e tener en cuenta las restricciones y evitar su violacion ,el proceso p od rıa opera r mas cerca d e estas y por tanto d e forma mas eficiente. La figura

4.1 muestra un ejemplo donde existe una limitacion de presion m axima y se observa

como al alejar el punto de operacion d el lımite la p rod u ccionQ

disminuye.

En cuanto a la forma de operar de un controlador predictivo que no considera res-

tricciones el procedimiento es similar: si la senal de control calculada viola la restriccion ,

se satura. Las senales futuras ni siquiera se tienen en cuenta, ya que normalmente no

41



42 Restricciones en Control Predictivo

Pmax

P

P

P

QQQ

1

2

1 2t

Figura 4.1: Restricciones y punto de operacion optimo

se calculan. Esta forma d e proceder no garantiza el caracter optimo d e la solucion y en

ningun caso garantiza el cumplimiento de las restricciones en la salida. La violacion delos lımites d e las variables controlad as p ued e ser mas costoso y p eligroso, produ ciend o

d anos en equipos y perdidas en la produccion .

La figura 4.2 muestra con claridad el fenomeno de perdida de la solucion optima

cuand o las variables m anipuladas se mantienen en sus lımites por el programa de

control o por el propio actuador. Este hecho puede llevar a valores mayores de la

funcion objetivo y a un comportamiento no deseado (incluso inestabiliad). En 4.2a se

mu estra u n caso con horizonte d e control igual a 2, donde se observa que si se satura

la senal de controlu ( t )

au

m a x

el valor de la funcion de coste no es el mejor que se

pod rıa consegu ir (que serıa el correspon d iente au

c

). Incluso p uede que n o se viole

la restriccion en el instante actual pero s ı en el futu ro (figura 4.2b) con lo qu e la senal

enviada al sistema (sin saturar) no es la mejor para el problema de dimension 2 que se

est a optimizando.

4.2 Restricciones en Control Predi ctivo

En la actualidad el MPC es la un ica m etod ologıa capaz d e incorpor ar las restricciones

de forma sistematica en la fase de d iseno d el controlado r, siend o esta caracterıstica u na

de las razones d e su gran exito en la industria. Parece logico que al disponer de unmodelo dinamico del proceso se pueda conocer la evolucion futura de su salida y por

tanto se pued a saber si esta va a violar o no las restricciones y actuar en consecuencia.

Para formu lar el algoritmo MPC con restricciones hay que expresar estas en funcion

de la variable sobre la qu e se pu ede actuar, es decir, en fun cion deu

. Las restricciones

en la entrada estan ya expresadas en funcion deu

y para las restricciones en la salida

se hace uso d e las ecuaciones de pred iccion que expresan el valor futuro de las salidas



Restricciones en Control P redictivo 43

u(t+1)

maxu

u max u(t)

u(t+1)

maxu

u max u(t)

cu u uc u

a) b)

Figu ra 4.2: Restricciones en la senal de control

en funcion de las senales de control futu ras y valores conocidos en el instante t .

Cualquier controlador pred ictivo calcula la pred iccion como:

y = G u + f

por lo que tanto entradas como salidas se pueden expresar en funcion del vector de

incrementos de la senal d e control.

Las restricciones que aparecen seran basicamente amplitud y velocidad de cambio

en la senal de control y amplitud en la salida y se pueden expresar como:

U u ( t ) U 8 t

u u ( t ) ; u ( t ;

1) u 8 t

y y ( t ) y 8 t

Para un proceso dem

entradas yn

salidas y restricciones en el horizonteN

, las

restricciones se p ued en expresar como:

1 U T u + u ( t ;

1) 1 1 U

1 u u 1 u

1 y G u + f 1 y

dondel

es una matriz de dimension( N n ) m

formada porN m m

matrices

identidad yT

es una matriz triangular inferior por bloques cuyos elementos no nulos

son matrices identidad de dimensionm m

. En forma condensada se pueden expresar

como:

R u c ( 4: 1 )



44 Resoluci on del problema

siendo

R =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

4

I

N N

; I

N N

T

; T

G

; G

3

7

7

7

7

7

7

7

7

5

c =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

4

l u

; l u

l U ; l u ( t ; 1)

; l U + l u ( t ; 1 )

l y ; f

; l y + f

3

7

7

7

7

7

7

7

7

5

Apar te de las restricciones en amp litud , a la salida se le pu eden ap licar otro tipo d e

restricciones de para forzar un determinado comportamiento temp oral (movimiento

dentro de un a banda, comportamiento monotono, evitar respuesta inicial inversa, etc.)

como se mu estra en [12], pu diend o expresarlas tam bien de la forma generica (4.1).

Adem as de la clasificacion en restricciones en la entrada y en la salida segun a qu e

tipo d e variable se apliquen, se pu ede h acer otra clasificacion atendiendo a la forma de

trata rlas. Ası, se pu ede h ablar d e:

Restricciones duras como aq uellas qu e no se p ued en violar bajo ningun concepto.

En este gru po se incluyen las restricciones relacionadas con la op eracion segura

del proceso.

Restricciones blandas, que son aquellas que pueden ser violadas en u n m omento

dado por no ser cruciales, pero la violacion se penaliza en la funcion objetivo

como un termino mas. Es una forma de relajar la restriccion .

4.3 Resolucion de l problema

Con la adicion de restricciones el problema general de control predictivo cambia se

pu ede formu lar como

minimizarJ ( u )

sujeto aR u c

Es decir, el problema consiste en la minimizacion de una funcion cuadratica con

restricciones lineales, lo que se conoce como Programaci on Cuadr atica, QP . En este casono se puede encontrar una solucion a na lıtica com o en el caso sin rest ricciones, sino q u e

hay que recurrir a metodos iterativos.

Resulta evidente que la carga de calculo sera considerable, ya que hay que encontrar

la solucion resolviend o el algoritmo iterativo en cada periodo d e mu estreo. Norm al-

mente el esfuerzo esta justificado por el beneficio economico obtenido al trabajar mas

cerca del punto de operacion optimo.




Para resolver el problema QP existen d iversos algoritmos su ficientemente p robados.

Una revision de estos metodos se puede encontrar en [2].

Un problema asociado a la implementacion del control con restricciones es el analisis

de la estabilidad del bucle cerrado. Como es necesario u tilizar metodos numericos

para resolver el problema de la optimizacion, la ley d e control resultante no se p uede

d escribir d e forma explıcita, ha ciend o el p roblema m uy d ifıcil de atacar m ed iante late or ıa clasica de control.

En los ultimos anos se ha trabajado mucho sobre la estabilidad en estas circuns-

tancias, proponiend ose soluciones basad as en la teorıa de Lyapu nov. La idea basica

consiste en qu e la funcion de coste cuando el horizonte es infinito es monotona decre-

ciente (si existe solucion factible) y se p uede interpretar como funcion de Lyapunov

que garantiza por tanto la estabilidad. Sin embargo, como la solucion tiene que ser

nu m erica, el num ero de variables de d ecision tiene que ser finito, por lo qu e se han pro-

puesto dos ideas. En la primera, se descompone la funcion objetivo en dos partes: una

con horizonte finito y restricciones y otra con horizonte infinito y sin restricciones. La

segund a id ea es en esencia equivalente y consiste en impon er restricciones term inalesal estado y usar un horizonte infinito.

En cualquier caso es un tema muy abierto, sobre todo si se quieren considerar las

incertidu mbres en el mod elo y los temas asociados con la factiblidad .

4.4 Gestion de restricciones

Durante la etapa de optimizacion puede aparecer problemas de no existencia de so-lucion optima para un as restricciones d adas (no existe compatibilidad entre las restric-

ciones), por ejemplo por el planteamiento de unos objetivos inalcanzables para unas

restricciones dadas. Existen otras posibles causas de inexistencia de solucion, como es

el caso de qu e un a p erturbacion saque al proceso fuera de la zona de trabajo usual.

La factibilidad de un problema de optimizacion significa que la funcion objetivo

est e acotada y que todas las restricciones sean satisfechas.

La no factibilidad puede aparecer en regimen p ermanente o en el transitorio. El

problema de la falta de solucion en regimen permanente puede venir provocado por

un objetivo de control irrealizable. Sin embargo, este tipo de no factibilidad pu edeser f acilmente eliminado en la etapa de diseno evitand o la inclusion de tales objetivos.

Tambien puede ser debido a cambios en referencias que hagan incompatibles las res-

tricciones (se quiera llevar alguna variable a un punto que es imposible de alcanzar con

una entrada que esta acotada).

En el regimen transitorio puede aparecer no factibilidad incluso cuando las res-

tricciones impuestas parezcan razonables. Restricciones que no causan problemas en



46 Gesti on de restricciones

operacion normal p ueden produ cir p roblemas bajo ciertas circunstancias. Puede qu e

una perturbacion o cam bio d e referencia grand e fuerce a una v ariable fuera d e su lımite

y sea imposible introducirla de n uevo en su zona permitida con senales de control de

energıa limitada. En estos casos las restricciones se hacen tem poralmen te incomp ati-

bles.

Las soluciones n o factibles aparecen con ma yor frecuencia en casos en que eloptimose encuentre cerca de las restricciones y el sistema este sujeto a perturbaciones, llevando

a la salida a "regiones prohibidas".

4.4.1 Tecnicas de busqueda de soluciones factibles

Los metodos de gestion de restricciones tratan de recuperar la factibilidad actuando

sobre las r estricciones segun diferentes criterios.

Los lımites d e las restricciones se p ued en consid erar d e los siguientes t ipos:

Limites fisicos: nun ca se p ueden sobrepasar, principalmente p or m otivos d e

seguridad o por la propia construccion de los equipos (p.ej. actuadores)

Limites de operacion: son fijados p or los operarios para m antener las cond iciones

nominales d e funcionamiento. Se p ued en sobrepasar bajo ciertas circun stancias

Limites reales: son los que usa el algoritmo de control en cada instante. Son los

que proporciona el gestor de restricciones, quien debe calcularlos de forma quenu nca su p eren los limites fısicos.

Es decir, el gestor de restricciones calculara los l ımites reales (los qu e se env ıan al

algoritmo QP) en base a los lımites d e op eracion pero sin salirse n u nca d e los lımites

fısicos, segun se observa en la figu ra 4.3.

Se an alizan a continu acion posibles soluciones para este problema, que se pueden

agrupar en:

1. Desconexion del controlad or.

2. Eliminacion de restricciones.

3. Relajacion de restricciones.

4. Otras tecnicas.




Límites físicos

Restricciones realesLímites de operación

Figura 4.3: Gestion de restricciones

Desconexion del controlador

La forma mas sencilla de resolver de este tipo de problemas es pasar el controlador

a posicion manual cuando aparecen las incompatibilidades de restricciones y volver a

operacion autom ´ atica cuando se recupera la admisibilidad de la solucion .

Este metodo, como se p uede comprend er tiene serias d esventajas. Norm almente,

cuando aparecen problemas de incompatibilidad de restricciones es porque el sistema

en bucle cerrado se encuentra en un estado crıtico dond e n ormalmente el op erador

tendra muy poca experiencia en la operacion. Ad icionalmen te, si las restricciones estan

relacionadas con aspectos de seguridad o economicos, las decisiones llevadas a cabocuando aparecen problematicas d e comp atibilid ad d e restricciones suelen ser crıticas

da do que en estos casos alguno d e los objetivos del control no p ued e ser satisfecho.

El m etodo su ele ser utilizad o cuand o los problemas d e incomp atibilidad d e restric-

ciones no son frecuentes.

Eliminacion de restricciones

La factibilidad se analiza en cada periodo de muestreo, por lo que la eliminacion derestricciones se realiza de forma temp oral. Periodicamente se chequea la factibilidad

par a p oder reinsertar restricciones eliminadas.

La eliminacion d e un grup o de restricciones ha d e realizarse en aqu ellos casos en que

el conjun to completo d e restricciones qu e se imp onen sobre el sistema sea incompatible.

Cada vez que existe un problema de incompatibilidad de restricciones, se forma un

conjunto de restricciones no admisibles que no se tienen en cuenta en el proceso de




optimizacion. Se p ued en d istingu ir en la metod ologıa d e eliminacion de restricciones

varios tipos.

Eliminacion indiscriminada Con esta estrategia todas las restricciones se eliminan

cada vez que aparezcan problemas de existencia de solucion factible, quedando la

optimizacion d e un p roblema sin restricciones. No es un metodo muy optimo pararesolver el problema d e la existencia de solucion ad misible, pero es la form a mas rapida

de ten er en cuenta incomp atibilidad de restricciones.

La eliminacion indiscriminada de restricciones no es adecuada en tod as las aplicacio-

nes. No debe ser por ejemplo usada en casos en que las restricciones esten directamente

relacionad as con lımites d e segu rid ad .

Eliminacion jerarquica En este caso solo se eliminan las restricciones qu e p rovocan

problemas d e incompatibilidad . En este metodo se asigna en la etapa de diseno una

prioridad a cada restriccion, que da un grado de importancia relativa de dicha res-

triccion frente a las otras. Esta prioridad se usara para clasificar las restricciones de una

forma jerarquica (se asigna un numero que indica su posicion en la jerarq u ıa). De este

modo, cada vez que haya problemas de factibilidad o existencia de solucion el gestor

de restricciones va eliminan do por orden las restricciones m enos pr ioritarias hasta qu e

se restablece la factibilidad de la solucion, que se chequea cada periodo de muestreo

para reinsertar restricciones que hubieran sido temporalmente eliminadas.

En este sentido, a la hora de eliminar restricciones se pueden establecer diferentes

tipos d e reglas para establecer el num ero d e restricciones qu e se eliminan, si conviene

eliminar mas restricciones a costa d e no eliminar un a con p rioridad sup erior, etc.

Relajacion de restricciones

Otro metodo p ara tener en cuenta el problema d e existencia de solucion es la relajacion

de las restricciones. Se p uede hacer una relajacion de los lımites de forma temp o-

ral o convertir restricciones duras (R u c

), cambiand olas en restricciones blandas

(R u c +

, con

0) para asegurar la existencia d e solucion, anadiendo un termino

T

T a la funcion de coste de forma que se penalice la violacion de la restriccion y

obtener u n mejor comportamiento d el sistema controlado. A largo plazo, el termino

de p enalizacion en la fun cion objetivo llevara las variables auxiliares a cero.

Otras tecnicas

Existen tecnicas que se basan en la manipulacion d el hor izonte m ınimo d e las restriccio-

nes. Algunos controladores industriales como el QDMC usan el concepto d e constraint




window. La constraint window comienza en algun punto en el futuro y continua h asta el

estado estacionario. Si existe dinamica del tipo de fase no m ınima, se pu eden mejorar

las prestaciones desplazando la ventana hacia el futuro, lo que equivale a ignorar las

restricciones d uras en la salida d ur ante la fase inicial de la respu esta.



Tema 5

Tendencias actuales y nuevas

perspectivas

En la actualidad existen muchos campos abiertos en Control Predictivo, tanto en lo

referente a aplicaciones p racticas com o a lınea s d e inv estigacion. Tod avıa qued a mu cho

por estudiar en campos como identificacion de mod elos, estimacion del estado y de

las perturbaciones no medibles o tratamiento sistematico de las incertidumbres. El

estud io de estabilidad o robustez d e la solucion es complicado, sobre todo en el caso de

inclusion de restricciones, ya qu e la ley de control es en gen eral variable con el tiempo

y no se puede representar el sistema de la forma clasica d e bu cle cerrado.

Este tema esta dedicado a dos areas de especialinteres: la consideracion de funciones

objetivos multicriterio y un campo que esta emp ezando a tener gran relevancia en la

p ractica como es el Control Predictivo No lineal.

5.1 Multiobjetivo. Jerarquıa de objetivos

Las estrategias que se han considerado hasta ahora estan basadas en la minimizacion

de u na funcion de coste de un unico objetivo para la obtencion de la mejor secuencia

de acciones d e control. Sin embargo, en mu chas situaciones el comportamiento del

proceso no se puede medir con una sola funcion objetivo sino qu e, la m ayor ıa d e las

veces, existen d iversos (y a menu do contrap uestos) objetivos de control. Las razonesde la existencia d e d iversos objetivos de control p ued en ser:

Los procesos deben operar de forma diferente en distintos momentos. Por ejem-

plo, du rante la fase de arran que p ued e interesar u na estrategia de tiemp o m ınimo

y en el regimen nom inal el objetivo pu ede ser redu cir en lo posible la varianza d e

las variables controladas.

51



52 Mu ltiobjetivo. Jerarq u ıa d e ob jetivos

El objetivo de control puede variar aun el caso de estar trabajando en regimen

nominal, dep endiend o del valor de las variables. Por ejemp lo, aun que el objetivo

de control sea minimizar la suma ponderada de los errores de las variables, si

una de ellas alcanza u n valor m uy alto (por ejemplo debido a una perturbacion )

el objetivo de control sera d isminuir el valor d e esta variable lo antes p osible.

En mu chas situaciones el objetivo de control no es minimizar la sum a de errores, sino

man tener ciertas v ariables d entro d e u nos l ımites especificad os. Esto es equivalente

a las restricciones blandas. Este tipo de objetivo se puede expresar p enalizando la

cantidad que se sobrepasa cada variable del setpoint. Considerese, por ejemplo, que el

objetivo es mantener la variabley ( t )

ent re su s lımite sy

l

ey

h

. En este caso, el objetivo

de control se p ued e escribir como:

J = p ( y ( t + j ) ; y

h

)

N 2X

j = N 1

( y ( t + j ) ; y

h

)

2+ p ( y

l

; y ( t + j ) )

N 2X

j = N 1

( y ( t + j ) ; y

l

)

2

siendo p

la funcion escalon (vale 1 cuando el argumento es mayor o igual que 0 y vale

0 en caso contrario).

N otese que ahora la funcion objetivo no es cuadratica y por tanto no se puede

emplear para su minimizacion un algoritmo de programacion cuadratica, au nque se

puede transformar en uno de este tipo anadiendo unas variables de holgura

h

( j )

y

l

( j )

:

y ( t + j ) y

h

+

h

( j )

y ( t + j ) y

l

;

h

( j )

La secuencia optima de control se obtiene con la m inimizacion de

J =

N 2X

j = N 1

(

h

( j )

2+

l

( j )

2)

con la condicion de que las variables de holgura sean no negativas (y el resto de las

restricciones si las hu biera). En defin itiva lo qu e se ha h echo es tran sformar el pr oblema

en un QP con mas restricciones y variables.

En muchas ocasiones todos los objetivos de control se pueden agrupar en una sola

funcion d e coste. Algunos de los objetivos p ueden ser mantener las variables lo mas

cerca posible de los setpoints o dentro de unas determinadas regiones de operacion .

Cada uno de estos objetivos equivale a minimizar una cierta funcionJ

i

(sujeta a un a serie

d e restricciones). Entonces la secu encia de control se pu ede obten er de la minim izaciond e:

J =

m

X

i = 1

i

J

i

sujeta a todo el conjun to d e restricciones. La importan cia relativa d e cada objetivo se

puede ponderar mediante la adecuada eleccion d e los

i

, aunqu e en la practica es d ifıcil

encontrar estos pesos. Ademas, muchas veces los objetivos de control son cualitativos,

haciend o la tarea au n m as d ifıcil.



Tendencias actuales y nuevas perspectivas 53

5.1.1 Jerarquıa de objetivos

En mu chas situaciones, se pu ede establecer u na im portan cia relativa d e un os objetivos

sobre otros por medio de una priorizacion o jerarq u ıa. Es decir, los objetivos d e ma yor

pr ioridad (por ejemp lo los relacionados con la segurid ad) se d eben satisfacer an tes que

otros con menor p rioridad. Aunqu e esto se pu ede resolver con pond eraciones, no es

un asunto trivial.

Tyler y Morari [20] proponen una forma de introducir multiples objetivos jerarqui-

zados. Considerese u n proceso con m objetivos O

i

jerarquizados (el O

i +

1 tiene mayor

prioridad que el O

i

) que se pueden expresar como:

R

i

u a

i

La idea consiste en introducir variables enteras L

i

que toman valor 1 cuand o se satisface

el correspond iente objetivo de control y cero en caso contrario. Los objetivos se expresan

entonces como:

R

i

u a

i

+ K

i

( 1 ; L

i

) ( 5: 1 )

dondeK

i

es una cota superior conservadora paraR

i

u ; a

i

. Si se cump le el objetivoi

, se

tiene queL

i

=

1 y el objetivo reformulado coincide con el original. Con la introduccion

d eK

i

el objetivo reformulad o se satisface incluso cuand o el correspon diente objetivo

O

i

no lo hace (L

i

=

0).

La jerarqu ıa d e objetivos se p u ede estab lecer im pon iend o las restricciones sigu ien-

tes:

L

i

; L

i + 1 0

El problema es maximizar el numero de objetivos de control satisfechosP

L

i

.

Si el mod elo del proceso es lineal el problema se pu ede resolver con Programacion

Lineal Entera Mixta (MILP). El conjun to d e restricciones 5.1 se pued e mod ificar p ara

mejorar el grado de satisfaccion de restricciones de los objetivos que no pueden ser

satisfechos. Supongase que no todos los objetivos se pueden satisfacer y que elO

f

es

el primero que falla. Con la idea de acercarse todo lo posible a la satisfaccion de este

objetivo se introduce una variable de holgura

que cum pla el siguiente conjunto de

restricciones:

R

i

u a

i

+ + K

i

0

@

( 1 ; i ) + ( 1 ; L

i

) ;

i ; 1X

j = 1

L

j

1

A

( 5: 2 )

con la funcion objetivo

J = ; K

m

X

i =

1

L

i

+ f ( )

dondef

es una funcion d e penalizacion d e la variable de holgura (positiva y m onotona

creciente) y K

es su cota superior. El algoritmo de optimizacion intentara maximizar



54 Control predictivo no lineal

el numero de objetivos satisfechos (L

i

=

1) antes de intentar reducirf ( )

porque la

funcion objetivo global se puede hacer ma s p e qu ena incrementando el numero de

variables L

i

distintas de cero que reduciendo la funcion de penalizacion. Como todos

los objetivos O

i

est an satisfechos para i < f , las restricciones (5.2) tam bien se sa tisfacen.

Como O

f

es el primero qu e falla:

i ;

1X

i =

1

L

i

= f ; 1 para i f

Es decir, el termino que mu ltiplica aK

i

es cero parai = f

mien tras qu e p ara ınd ices

mayores es m ayor qu e un o. Esto imp lica que tod as las restricciones se satisfaran para

i > f

. La un ica restr iccion activa esR

f

u a

f

+

.

O sea, el metodo de optimizacion intentara optimizar el grado de satisfaccion del

primer objetivo que falle solo despues de que todos los objetivos mas prioritarios se

hayan satisfecho. Notese que L

i

= 0 no imp lica que el objetivo i-esimo no sea satisfecho,

sino que indica que la restriccion correspondiente ha sido relajada.

Si el mod elo del proceso y la fun cion d e penalizacion son lineales, el problema es del

tipo MILP, pero si f ( ) es cuad ratica se recurre a Program acion Cuadratica Entera Mixta

(MIQP). Aunque existen algoritmos para Programacion Mixta, el esfuerzo compu tacio-

nal es mucho mayor que el requerido para problemas LP o QP, por ello el numero d e

objetivos debe ser pequeno para p oder implementar el metodo en tiempo real.

5.2 Control predictivo no lineal

En los ultimos anos el Control Predictivo Basado en Modelo se ha convertido en la

estrategia d e control preferida p ara u na gran cantidad de procesos ind ustriales. Los

esquemas de MPC lineal, es decir, los vistos hasta ahora en los que la prediccion esta

basada en u n modelo lineal del proceso, se usan de forma ru tinaria como u na op cion

de control mas a tener en cuenta en ciertos sectores de la indu stria y se pu ede d ecir que

sus fundam entos teoricos estan suficientemente estudiados.

Por su parte, el Control Predictivo No Lineal ( Nonlinear Model Predictive Control,

NMPC) surgio hace relativamente poco tiempo y existen pocas referencias de aplicacio-

nes industriales. Pero debido a su capacidad para tener en cuenta las no-linealidades

del proceso se espera que se convierta en una opcion prometedora a corto plazo.

No hay nada en los conceptos basicos de MPC contra el uso d e mod elos no lineales,

por tanto la extension de tales conceptos a procesos no lineales es en principio sencilla.

Sin emb argo, como se vera seguidam ente esto no es un asu nto trivial y aun hay mu chos

temas abiertos como:

La disponibilidad de modelos no lineales debido a la dificultad de tecnicas de




identificacion p ara p rocesos no lineales.

La complejidad de los calculos necesarios para resolver el problema del control

pred ictivo d e p rocesos no lineales.

La escasez de resultados d e estabilidad y robustez.

En general los procesos industriales son no lineales, pero au n ası la m ayo rıa d e

las aplicaciones de control predictivo estan basadas en el uso de modelos lineales,

del tipo de los vistos hasta ahora. Existen varias razones para ello: por un lado

resulta relativamente f acil identificar modelos lineales a partir d e datos del p roceso,

y por otro los modelos lineales dan buen resultado cuando el proceso opera en las

cercan ıas del p un to d e trabajo nom inal. En el sector p etroqu ımico, don d e tiene lug ar

la m ayor ıa d e las a p licaciones d e MPC, el objetivo es mantener el proceso en torno al

estado estacionario (problema del regulador) mas que realizar frecuen tes cam bios de unpu nto de operacion a otro (problema d el servo) y por tan to un mod elo lineal preciso es

suficiente. Ademas el uso de un mod elo lineal junto con una funcion objetivo cuad ratica

da lugar a un problema convexo de programacion cuadratica (QP) cuya solucion esta

suficientemen te estud iada en la actualidad , existiendo diversos prod uctos comerciales

fiables. La existencia d e algoritmos q ue garan ticen u na solucion que converja en un

corto tiemp o (menor qu e el periodo d e mu estreo) resulta crucial en p rocesos en los que

interviene un gran numero de variables.

Sin embargo, existen situaciones en las qu e los efectos n o lineales justifican el u so

d e la tecn olog ıa NMPC. Estas situ aciones entran d entro d e las dos categorıas siguientes:

Procesos fuertemente no lineales y sujetos a grandes perturbaciones, como por

ejemp lo el control de p H.

Problemas de seguimiento de consigna en los que el punto de operacion cambia

con frecuencia y estos cambios sacan a relucir la dinamica no lineal d el proceso,

como en el caso de la fabricacion d e p olımer os.

En estas situaciones una ley de control lineal puede no ser efectiva siendo necesarioel empleo de un controlador no lineal para mejorar el comportamiento o simplemente

para una operacion estable d el proceso. Es p or tanto en este caso donde se p uede

justificar el empleo de tecnicas de NMPC. Aunque en la actualidad el numero de

aplicaciones es aun reducido, el potencial es considerable, como se desprende del

informe de Qin y Badgw ell [17], dond e se observa qu e MPC no ha penetrado aun en

campos donde las no linealidades son fuertes y el mercado exige frecuentes cambios

del pun to de operacion; es aqu ı don de se espera el auge d el NMPC.




5.2.1 D ife rencias respe cto al metodo lineal

Resulta evidente que la principal ventaja del NMPC frente al MPC radica en la posibilidad

de abordar dinamicas no lineales. A m edida qu e aparecen nu evas herramientas que

hacen posible la obtencion y representacion de modelos no lineales, bien a partir de

primeros principios (leyes de conservacion) o bien a partir de datos experimentales

(modelos de Volterra o redes neuronales) el interes por su utilizacion en NMPC se va

acrecentando.

Aun que la extension d e los conceptos de MPC al caso no lineal es d irecta, a la hora d e

realizar el controlad or ap arecen un a serie de p roblemas a tener en cuenta, qu e dan lu gar

a un a mayor d ificultad en su implantacion. Las principales dificultades derivadas del

empleo de modelos no lineales son:

La obtencion de un modelo no lineal a partir de datos experimentales es un

problema abierto. La utilizacion de redes neuronales o series de Volterra no

parecen solucionar el problema d e forma general. Por otra p arte, la obtencion de

modelos a partir de primeros principios no es siempre viable.

El problema d e optimizacion es no convexo, cuya resolucion es mucho mas d ifıcil

que un problema d e programacion cuad ratica. Aparecen problemas relativos a la

obtencion del optimo g lobal, lo qu e influye no solo en la calidad del control, sino

tambien en problemas relacionados con la estabilidad .

La dificultad del problema d e optimizacion se traduce en un aumento considera-

ble del tiemp o d e calculo, hecho que puede dar lugar a que la aplicacion d e esta

tecnica quede restringida a un conjunto de sistemas con dinamica lenta.

El estudio de temas fundamentales como estabilidad o robustez se complica

enormemente. Este tema constituye u n campo abierto de gran interes para los

investigadores.

5.2.2 Fundamentos teoricos

Se puede definir un algoritmo generico NMPC que englobe a todas las tecnicas que

comparten las mismas ideas. El proceso (en general multivariable) se puede describir

por un modelo en el espacio de estados de la forma:

x ( t +

1) = f ( x ( t ) u ( t ) d ( t ) w ( t ) )

y ( t ) = g ( x ( t ) ) + e ( t )

dondex

es el vector d e estados de d imensionn

,u

es el vector dem

u

entradas,d

son las

pertu rbaciones m edibles yw ( t ) )

las no medibles. El vector d e salidas esy

de dimension

m

y

, la m isma qu e la del vector d e ruidos d e medida e .




El problema qu e hay q ue resolver es el calculo d e la secuencia de senales de control

u que llevan al proceso desd e su estado actual al estado d eseado x

s

. El pu nto d e trabajo

deseado (y

s

, x

s

, u

s

) viene en general determ inado por un a optimizacion estatica basada

normalmente en criterios economicos. Este punto de trabajo debe ser recalculado

periodicamente ya que las p erturbaciones p ueden hacer cambiar el pu nto optimo de

operacion .

Las perturbaciones med ibles se pued en eliminar incluyend o su efecto en la funcion

f

, mientras que el resto se rechaza con la realimentacion, norm almente considerando

que la perturbacion permanecera constante a lo largo d el horizonte. Esto se formalizar

anadiendo un termino constante (bias) e igual al error entre medida y salida calculada

a tod a la pred iccion :

y ( t + j ) = g ( x ( t + j ) ) + b ( t )

dondeb ( t ) = y

m

( t ) ; y ( t )

El problema consiste en la minimizacion de u na funcion objetivo que de la forma

m as generica sera:

J =

P

X

j = 1

k y ( t + j ) ; y

s

k

q

Q

+

M ; 1X

j = 1

k 4 u ( t + j ) k

q

S

+

M ; 1X

j = 1

k u ( t + j ) ; u

s

k

q

R

+ k s k

q

T

(

5:

3)

dondeq

pu ede ser 1 o 2 segun el tipo de norma qu e se este utilizando y Q, S, R y T

son matrices de p ond eracion. La minimizacion estara sujeta a la restriccion del modelo:

x ( t + j ) = f ( x ( t + j ;

1) u ( t + j ; 1 ) d ( t + j ;

1) w ( t + j ;

1) ) y ( t + j ) = g ( x ( t + j ) ) + b ( t )

y al resto de restricciones en entrad as y salidas qu e se quieran considerar:

y ; s y ( t + j ) y ; s 8 j =

1 P

u u ( t + j ) u 8 j = 1 M ; 1

4 u 4 u ( t + j ) 4 u 8 j = 1 M ; 1

Ob servese que se ha considerad o la violacion de las restricciones en la salida con el

termino s, que entra en juego en la minimizacion apareciendo en la funcion de coste

con una penalizacion dad a por la matriz T.

Igual qu e en caso lineal, la solucion del problema es una secuencia de acciones de

control de las cuales solo la p rimera d e ellas es enviada a la planta, d esechand o el resto

y volviendo a la resolver el problema en el siguiente periodo de muestreo.

5.2.3 Problematica asociada al NMPC

La resolucion del NMPC plantea nu evos p roblemas que no existıan en el caso lineal

relacionados por un lado con la m etodologıa d e calculo de la senal de control y por

otro con el comportamiento dinamico del bu cle cerrado, basicamente su estabilidad .




Resolucion

La introduccion de u n modelo no lineal en el algoritmo de op timizacion condu ce a la

p erdida de convexidad, no pudiendo ser resuelto por los algoritmos de programacion

cuadratica (QP), para los cuales existen soluciones fiables y suficientemente estudiadas.

Esta perdida d e convexidad hace que sea mucho mas d ifıcil encon tra r u na solu cion y

que, una vez encontrada, no se pueda garantizar que sea un optimo global.

En estas circunstancias el tiempo de calculo aumenta considerablemente debido

principalmente a dos motivos

Para la obtencion de la secuencia de acciones de control optima, el p aquete d e

programacion n o lineal debe evaluar repetidam ente la fun cion objetivo y en cada

evaluacion se debe resolver el sistema de ecuaciones no lineales que componen

el modelo d e pred iccion, lo cual conlleva mucho tiempo de calculo.

A partir d e los datos obtenidos a traves de la evaluacion d e la fun cion objetivo, elprograma de optimizacion debe calcular el gradiente de la funcion y los proximos

puntos de busqueda, ademas d e comprobar la violacion o n o d e las restricciones

y los criterios d e fin alizacion d el algoritmo. Estas tareas consumen mas tiemp o

d e calculo que en el caso lineal.

Estabilid ad de la sol ucion

El otro problema fundamental es el de la estabilidad de la solucion. Aun en el caso de

que el algoritmo d e minimizacion encu entre la solucion optima, este hecho no garantizala estabilidad del bucle cerrado (incluso en el caso de que el modelo sea perfecto). Este

problema ha sido abordado desde distintos puntos de vistos de vista, existiendo en la

actualidad diferentes p ropu estas, las cuales se describen a continu acion .

1. Horizonte infinito

Existe una solucion propuesta por Meadows et al. ([13]) que consiste en ampliar

los horizontes de control y de prediccion hasta el infinito, P M ! 1 . En este caso la

funcion objetivo tambien sirve como funcion d e Lyapu nov, dand o lugar a la estabilidad

nominal. En el artıculo citado se d emuestra que si existe solucion inicial factible

entonces existe solucion en cada periodo de muestreo posterior.

La idea basica es que si el problema de minimizacion es factible en el instantet

entonces la funcion de coste es finita y

J

t + 1 J

t

+ x ( t )

t

R x ( t ) + u ( t )

t

S u ( t )

Por tanto la fun cion d e coste es monotona d ecreciente y se pu ede interpretar como u na

funcion de Lyapunov, garantizando por consiguiente la estabilidad asintotica.




A la hora de la verdad este concepto tiene principalmente un interes teorico so-

bre el que basar un desarrollo practico, ya que no es viable una implementacion con

horizonte infinito. Para llevarlo a la practica se puede tomar un horizonte lo suficien-

temente grande, pero esta eleccion no tiene por qu e garantizar la estabilidad, ya qu e

las trayectorias de la entrad a y el estad o d iferiran d e las trayectorias pred ichas incluso

si no hay incertidumbres ni perturbaciones.

2. Restriccion terminal

Otra solucion al problema, p ropu esta por Keerthi y Gilbert ([8]) consiste en anadir

una restriccion terminal al estado en el algoritmo NMPC de la forma:

x ( k + P ) = x

s

Con la imposicion de esta restriccion, la funcion objetivo se convierte en una funcion

de Lyapunov para el sistema en bucle cerrado, conduciendo a la estabilidad nominal.

Con la introduccion de esta restriccion el estado al final del horizonte finito es cero y

por tanto tambien lo sera la senal d e control, con lo qu e el sistema (sin p erturbaciones)se qued a par a siempre en el origen. De esta forma es como si el horizonte de pred iccion

fuera infinito.

El problema d e este metodo es que en la practica la introduccion de esta restriccion

artificial anade un coste computacional considerable y, lo que es mas importante au n,

da lugar a una region de operacion mu y restrictiva, por lo que en la realidad resulta

m u y d ifıcil satisfacer esta cond icion .

3. Control dual

La dificultad de la ap roximaci´on anterior llev

´o a M ichalska y Ma yne ([14]) a bu scaruna restriccion m enos estricta. La idea es definir un entorno

W

alrededor del estado

finaldeseadox

s

dentro del cual elsistema pueda ser llevado a dicho estado por medio de

un controlad or lineal por realimentacion d el vector d e estados. Por tanto la restriccion

que se anade a la formulacion es:

( x ( t + P ) ; x

s

) 2 W

Si el estado actual se encuentra fuera de esta region se usa el algoritmo NMPC con la

restriccion anterior. Un a vez que el estado se encuentra enW

, el control conm uta a un a

estrategia lineal determinad a p reviamente (estrategia del tipo dual-mode cont roller ).

Este metodo conlleva p or tan to la gestion de la conmutacion entre los dos controla-

dores y la determ inacion de la region W y d e la matriz d e ganancia de la realimentacion

del v ector d e estados (una forma d e hacerlo se pu ede en contrar en el artıculo citado).

4. Horizonte casi-infinito

Chen y Allgower ([3]) extendieron el concepto anterior, proponiendo un esquema

de control con horizonte casi-infinito. Se hace uso de la idea d e region terminal y




controlador estabilizante, pero solo para el calculo del coste terminal. La senal de

control se determina resolviendo el problema de optimizacion en l ınea (con ho rizon te

finito) sin conmu tar al controlador lineal incluso d entro d e la region terminal.

El procedimiento consiste en anadir el termino k x ( t + T

p

) k

2P

a la funcion de coste,

cuyo objetivo es extender el horizonte d e p rediccion hasta el infinito y por tanto evitar

la conm utacion del controlador. Se puede demostrar que, eligiendo adecuadamente lamatriz de ponderacion P , este termino es u na cota sup erior d e lo qu e costarıa llevar

al sistema no lineal con el controlador lineal hasta el origen partiendo de un estado

perteneciente a la region terminal y la funcion de coste con horizonte finito se aproxima

a una d e horizonte infinito, en cuyo caso la estabilidad qued a asegurad a. Esto se pued e

interpretar como si el horizonte de prediccion se expandiera casi hasta el infinito (es

decir, es como si se minimizara u n coste de horizonte infin ito resolviend o u n p roblema

de h orizonte finito).

5. Contraccion del estado

La idea consiste en imponer la siguiente restriccion :

k x ( t + N ) k

2 k x ( t ) k

2 2 (

0

1)

Esta restriccion fuerza a la magnitud del vector de estado a contraerse segun el factor

elegido cada vez que se calcula la senal de control. La estabilidad queda garantizada

siemp re que el problema sea factible, lo qu e no viene imp uesto n ecesariamente porqu e

sea factible enk =

0, ya que las restricciones que se le imponen al estado son muy

estrictas y pu eden h acer p erder factibilidad . Esto se pu ede m ejorar con valores grandes

d e , p ero entonces la d isminucion d e la magnitud del estado es menor. En general

se p uede decir que en mu chas situaciones reales la condicion es muy restrictiva y la

no-factibilidad aparece con facilidad.

Robustez

Si el estudio de la estabilidad en NMPC resulta d e p or s ı comp licad o, mas aun lo es el de

la robustez, es decir, la estabilidad cuand o existen errores d e mod elado. Los resultados

de estabilidad de la seccion anterior son validos solo en el caso de que el modelo del

proceso sea p erfecto. Resulta evidente qu e esto nun ca va a ser cierto en la p ractica, p or

lo que es n ecesario algun a forma de afrontar la existencia d e incertidu mbres.

Se pu ede considerar el p roblema de la robustez como algo todavıa sin resolver

para NMPC, aunque existen algunos resultados preliminares. Algunos de los esquemas

que garantizan establidad se pueden hacer robustos con algunos cambios, como por

ejemplo el uso de restricciones terminales conservadoras in el dual-mode. P ero en

general los resultados existentes solo ind ican qu e incertidu mbres peque˜ nas no amenazan

la estabilidad del bu cle cerrad o, sin p ermitir el diseno d el controlador q ue garan tice la

estabilidad d ad a una incertidu mb re descrita por su s lımites. Existen alguno s resultad os




para casos muy simples como incertidumbre en la ganancia y se esta avanzando en

algunos campos como en LMI, pero tod avıa qued a mu cho po r ha cer.

5.2.4 Modelos

Estos resultados teoricos proporcionan una base para poner en marcha un NMPC, aun-

que en la practica existen muchos temas abiertos, principalmente en lo referente a la

definicion e identificacion d el modelo y al desarrollo d e metodos d e resolucion fiables.

La obtencion d e mod elos no lineales adecuad os de forma emp ırica pued e ser mu y

difıcil y no existe un a formu lacion que sea claramente adecuada para representar

procesos no lineales de forma generica. Parte del exito del MPC se debe a la relativa

facilidad con la que se pueden obtener experimentalmente modelos del tipo respuesta

ante escalon o funciones d e transferencia d e bajo ord en. En cambio los modelos no

lineales son mucho mas d ifıciles d e constr u ir, tant o ba sand ose en correlacion de d atos

de entrada/ salida como en principios basicos de conservacion d e ma sa y en ergıa.

Un gran obstaculo qu e se encuentra a la hora de desarrollar un a teorıa de sistemas

no lineales es la ausencia de un principio de superposicion para este tipo de sistemas.

Debido a ello, la determ inacion experimental de los modelos se convierte en una tarea

muy complicada, requiriendo u na cantidad de ensayos mucho m ayor que p ara un a

planta no lineal.

Si el p roceso es lineal en teorıa solo es necesario llevar a cabo un ensayo de res-

pu esta ante escalon para calcular el modelo (aunque en la practica no sea realmente

ası). Debido al p rincipio de sup erposicion, la respuesta ante un escalon de diferente

amp litud se pu ede obtener escalando la salida convenientemente. Pero esto no es asıpara procesos no lineales, donde se deben realizar ensayos con escalones de distinto

t a m ano. Ademas, si el proceso es multivariable, la diferencia en el num ero de ensayos

necesarios es m ucho m ayor. En general, si un sistema lineal se ensaya con senales

de entradau 1 ( t )

,u 2 ( t )

,...,u

n

( t )

, y las correspondientes salidas sony 1 ( t )

,y 2 ( t )

,...,y

n

( t )

, la

respu esta a una senal que se p ued e expresar como combinacion lineal de las senales de

prueba

u ( t ) = 1 u 1 ( t ) + 2 u 2 ( t ) + +

n

u

n

( t )

es

y ( t ) = 1 y 1 ( t ) + 2 y 2 ( t ) + +

n

y

n

( t )

Es decir, un sistema lineal no necesita ser probado con ninguna secuencia de senales

de entrada que sea u na combinacion lineal de senales ya probada, m ientras que no

ocurre lo mismo con u n sistema no lineal, cuya resp uesta d ebe ser analizada p ara tod as

las posibles senales de entrada.

Si la desviacion de la linealidad no es demasiado grande, se pueden hacer algu-

nas ap roximaciones que tengan en cuenta el cambio de comportamiento de un pu nto




de operacion a otro y asuman comportamiento lineal en las cercanıas d el pu nto de

operacion. Pero en general habra que recurr ir a mod elos especıficos que reflejen la

d inamica no lineal. Existen d iferentes aproximaciones que u san m odelos de Wiener,

otras basadas en redes de neuronas, modelos de Volterra o de Hammerstein, mode-

los NARX, mod elos borrosos, etc. Los modelos usados en la indu stria se d etallan a

continuacion .

Modelos en el espacio de estados

Se pu ede usar u n mod elo forma do p or la combinacion d e una ecuacion d e estado lineal

con una relacion no lineal de salida:

x ( t +

1) = A x ( t ) + B u ( t ) + D d ( t ) y ( t ) = g ( x ( t ) )

A su vez la no linealidad de la salida se puede modelar con la superposicion de una

relacion lineal y una red neuronal no lineal:

g ( x ( t ) ) = C x ( t ) + N N ( x ( t ) )

Al n o estar el vector de estados limitad o necesariamente a variables fısicas, este

modelo es muy generico y perm ite englobar mas efectos no lineales que los exclusivos

de las medidas.

Pero el principal problema en NMPC no es la eleccion del tipo de modelo, sino de

u n metodo de identificacion fiable y robusto. Segun el modelo propuesto, se identifica

el sistema como lineal y los residuos de las salidas se ajustan a los estados con la red

neuron al. Se pu ede u sar u n ındice de confianza d e mod o qu e la prediccion se basa m as

o menos en la red n euronal segu n este ınd ice, apa gand ose en caso de que su ap ortacion

no sea fiable. Tambien puede anadir u n filtro de Kalman extendido (EKF) par a corregir

los errores de mod elado y las pertu rbaciones no med ibles, reemplazand o de este modo

el error constante en la realimentacion que se emplea normalmente en el MPC.

Model os de e ntrada/salida

Una idea adoptada por algunos fabricantes de controladores predictivos es usar un

modelo no lineal estatico junto con u n mod elo d inamico no lineal. Si se considera el

caso m onovariables, definiend o las variables de d esviacion como:

u ( t ) = u ( t ) ; u

s

y ( t ) = y ( t ) ; y

s

donde los valores en estado estacionario de entrada y salida cumplen:

y

s

= h

s

( u

s

)




Se considera que las variables de desviacion verifican la siguiente relacion dinamica

lineal:

y ( t ) =

n

X

i = 1

a

i

y ( t ; i ) + b

i

u ( t ; i )

La identificacion del modelo lineal se lleva a cabo mediante ensayos ante escalon

mientras que a p artir d e datos historicos se obtiene la representacion de la relacion no

lineal por medio de una red d e neuronas. Como el mod elo dinamico tiene un a ganan cia

fija qu e en gen eral sera distinta de la del modelo no lineal, la ganancia del submodelo

lineal se escala hasta ser igual a la gan ancia local no lineal para la entrad a actual:

K

s

=

d y

s

d u

s

j

u ( t )

Esto se consigue reescalando los coeficientes b

i

.

Para usar este modelo, un programa de optimizacion no lineal calcula los mejores

valores de entrada y salida u

f

s

, y

f

s

a partir del modelo estatico. Durante el calculo

d inamico del controlador, la ganancia estatica no lineal se aproxima por una interpo-

lacion lineal de las ganancias inicial y final:

K

s

( u ( t ) ) = K

i

s

+

K

f

s

; K

i

s

u

f

s

; u

i

s

u ( t ) ( 5: 4 )

siendou

i

s

yu

f

s

los valores estacionarios actual y proximo yK

i

s

yK

f

s

las ganancias

calculadas en esos pu ntos usand o el mod elo no lineal estatico. Sustituyendo la ganancia

dada por (5.4) en la ecuacion d el submod elo lineal se obtiene:

y ( t ) =

n

X

i =

1

a

i

y ( t ; i ) + b

i

u ( t ; i ) + g

i

u

2( t ; i ) (

5:

5)

donde

b

i

=

b

i

K

i

s

( 1 ;

P

n

j = 1 a

j

)

P

n

j =

1 b

j

g

i

=

b

i

( 1 ;

P

n

j = 1 a

j

)

P

n

j = 1 b

j

K

f

s

; K

i

s

u

f

s

; u

i

s

con esto se consigue redu cir la comp lejidad compu tacional.

Se puede observar que los valores en estado estacionario se calculan a partir del

mod elo estatico no lineal, m ientras qu e los m ovimientos dinamicos de control estanbasados en el mod elo cuadratico de la ecuacion (5.5). Sin embargo, los coeficientes del

mod elo cuad ratico (la ganancia local) cambian de u n p eriodo d e mu estro a otro, ya son

reescalados para ajustarse a la ganancia local del modelo no lineal. Esta estrategia se

pu ede interpretar como un a sucesiva linealizacion d e los estados inicial y final seguida

por una interpolacion lineal de las ganancias linealizadas, en una formulacion similar

al gain-scheduling, pero con un modelo global diferente debido el reescalado de la

ganancia.




Modelos basados en primeros principios

En cualquier caso siemp re es difıcil obtener mod elos emp ıricos fiables a partir d e

datos experimentales, por lo que en la practica existe la posibilidad de usar modelos

dados directamente de las ecuaciones de balance, llamados normalmente modelos

de p rimeros principios. Estas ecuaciones pued en ser ecuaciones estaticas de balanceo fun ciones n o lineales d e var iables fısicas que generan otra variable. En este caso

el calculo de la prediccion se realiza mediante una simulacion de las ecuaciones no

lineales (integracion) qu e d escriben el p roceso.

5.2.5 Otras formulaciones del proble ma

Se han propuesto diversas soluciones para intentar resolver los problemas que se

han visto, como por ejemplo en [1], donde la prediccion de la salida del proceso

se hace mediante la adicion de la respuesta libre (la respuesta futura que se obtiene

si la entrada se mantiene en un valor constante durante los horizontes de control y

prediccion) obtenida de un modelo no lineal de la planta, y la respuesta forzada (la

debida a los movimiento de control futuros), calculada con un modelo incremental de

la planta. Las predicciones obtenidas de esta m anera son solo una aproximacion ya

que el principio d e su perposicion, que permite la descomposicion mencionada, solo

es valido para sistemas lineales. Sin embargo, la aproximacion que se obtiene d e esta

forma se comp orta m ejor qu e cuando se usa un modelo linealizado d el proceso para

obtener ambas respuestas.

Si se usa una funcion de coste cuadratica, la fun cion objetivo es cuadratica en lasvariables de decision (futuros movimientos de la senal de control) y la secuencia de

control se puede calcular (en caso de que no haya restricciones) como la solucion de

un conjunto de ecuaciones lineales, dando lugar a una ley de control simple. La unica

diferencia respecto a un MPC estandar es que la respu esta libre se calcula mediante un

modelo no lineal del proceso. Como el principio d e sup erposicion no se cumple, la

aproximacion solo es valida cuan do la secuencia de senales de control es pequena. Esta

circunstancia tendra lugar cuando el proceso opera en torno al punto de trabajo con

pequenas perturbaciones. Si el proceso cambia continuamente de punto de operacion

o las perturbaciones son considerables los incrementos de la senal de control seran en

general mayores y la aproximacion no sera muy buena.

Existe una forma de resolver este problema, prop uesta en [9] para el EPSAC. La idea

basica es considerar la secuencia d e senales de control como la suma de una secuencia

de control base (u

b

( t + j )

) y una secuencia de incrementos de la variable manipulada

(u

i

( t + j )

). Es decir:

u ( t + j ) = u

b

( t + j ) + u

i

( t + j )




La prediccion j-esima de la salida del proceso se calcula como la sum a de la respu esta

del proceso (y

b

( t + j ) ) debida a la secuencia base mas la respuesta ( y

i

( t + j ) ) debida a

los futu ros incrementos d el control en la secuencia base de entrad a u

i

( t + j ) :

y ( t + j ) = y

b

( t + j ) + y

i

( t + j )

Como se usa un modelo no lineal para calcular y

b

( t + j ) mientras que y

i

( t + j ) se

calcula a partir de un modelo lineal del proceso, la funcion de coste es cuadratica en

las variables de decision ( u

i

( t + j ) ) y se pued e resolver mediante un algoritmo QP como

en el MPC estandar. Como se ha indicado, el principio d e sup erposicion no es valido

para procesos n o lineales, y p or ello la salida generada de esta forma solo coincidira

con la generada por el controlador no lineal en el caso de que la secuencia de futuros

movimientos de la senal d e control sea cero.

Si este no es el caso, la secuencia de control base se hace igual a la ultima secuen cia

de control base mas los incrementos de control optimos qu e encuen tre el algoritmo QP.

Este procedimiento se repite hasta que la secuencia de senales de control se lleva lo

suficientemente cerca de cero.

Las condiciones iniciales para la secuencia de control base se pueden hacer inicial-

mente igu ales a la ultima senal de control que se ha ap licado al proceso. Observese que

esto corresponde al calculo de la respuesta libre en el MPC. Se puede probar con u na

secuencia inicial mejor haciendo la secuencia base igual a la optima que se obtuvo en

el ultimo periodo de muestreo (con el desplazamiento temporal correspondiente).

Las cond iciones d e convergencia d el algoritmo son mu y d ifıciles d e obtener y a qu e

dep end en d e la severidad de la caracterıstica no lineal d el proceso, d e las entrad as y

salidas p asadas, de las referencias futu ras y d e las perturbaciones.

Otra m anera d e atacar el problema es teniendo en cuenta qu e en algunas ocasiones,

el modelo no lineal se puede convertir en un modelo lineal mediante aproximaciones

apropiadas. Considerese por ejemplo el proceso descrito mediante la siguiente ecuacion

en el espacio de estad os:

x ( t + 1) = f ( x ( t ) u ( t ) )

y ( t ) = g ( x ( t ) )

El m etodo consiste en encontrar funciones de transformacion de estados y entrada

z ( t ) = h ( x ( t ) ) y u ( t ) = p ( x ( t ) v ( t ) ) tales que:

z ( t + 1) = A z ( t ) + B v ( t ) )

y ( t ) = C z ( t )

El m etodo tiene dos importantes inconvenientes:




Las funciones de transformacionz ( t ) = h ( x ( t ) )

yu ( t ) = p ( x ( t ) v ( t ) )

solo se

pu eden obtener en ciertos casos.

Las restricciones, que usualmente son lineales, se convierten en no lineales.

Es decir, incluso en los casos en que el modelo pueda ser linealizado mediantetransformaciones adecuadas, el problema se transforma de minimizar una funcion no

lineal (no cuadratica) con restricciones lineales en minimizar una funcion cuadratica

con restricciones no lineales.

La forma general de resolver el problema es usar el modelo no lineal completo de

la planta para calcular la prediccion d e la salida. Haciendo esto, se esta anadiendo

una restriccion no lineal a la minimizacion, con lo qu e los algoritmos QP no se pueden

usa r. Sin emba rgo el prob lema se p ued e resolver en lınea, en algu nos casos, gracias al

rapido desarrollo d e algoritmos de programacion no lineal (nonlinear programming,

N LP) capaces de manejar un num ero grand e d e variables y restricciones.

5.2.6 Resolucion del problema. Productos comerciales

Muchos controladores comerciales dividen el algoritmo de control en una optimizacion

local estatica y una optimizacion dinamica. El primer modulo calcula los valores de

entra d a y salida a los que es necesario llegar y el segu nd o calcula la secu encia de control

adecuada.

La optimizacion dinamica se lleva a cabo minimizando la funcion objetivo generica

(5.3) con las restricciones correspondientes. Los distintos esquemas comerciales hacensimplificaciones respecto a la formulacion general.

La ma yorıa d e los p rod uctos (ver tab la 5.1) solo permiten matrices de peso cons-

tantes en todo el horizonte y solo el NOVA-N LC trabaja con norma 1. Por su p arte, el

Process Perfecter minimiza solo la salida pero con un a matr iz de p eso que se incrementa

gradualmente con el horizonte, d ando por tanto mas importancia a los errores mas

lejanos y en consecuencia d and o lugar a un a accion de control mas suave.

En cuanto a las restricciones, normalmente las correspondientes a la entrada se

tratan como restricciones duras, es decir, que n un ca deben ser violadas. El PFC tambien

incluye restricciones d e aceleracion, muy utiles para aplicaciones de servomecanismos.Este metodo no trata estas restricciones de forma optima, sino qu e resuelve el problema

de optimizacion sin restricciones y lu ego satu ra a los l ımites, p rodu ciend o p or tan to

una solucion no optima.

Respecto a restricciones en la salida, la mayorıa de los prod uctos comerciales las trata

como restricciones blandas, debido a que una perturbacion pu ede producir f acilmente

una perdida de factibilidad. Una opcion ofertada p or el Process Perfecter es considerar




Em p r esa A d er sa A sp e n Te ch . C on tin en ta l D OT P ro d u ct s P av illio n Te ch .

Prod ucto PFC Asp en Target MVC N OVA N LC Process Perfecter

Mod elo EE, PP EE E/ S, PN E EE, PP RN , E/ S

F. Objetivo Q Q Q Q, N 1 Q

Restricciones S, BS DS, DE, BS DE, BS DE, BS DE, DS

Estructu ra u FB, UM MM UM MM MMMet. solucion N LS QP GRG MIN LP GD

Tabla 5.1: EE: espacio de estados no lineal. PP: primeros principios. E/ S: en-

trada/ salida. PNE: polinomio no lineal estatico. RN: red neuronal. N1: norma 1.

S: saturacion. BS: bland as (m ınimo y m aximo) en la salida. DS: duras en las salidas.

DE: du ras en las entrad as. FB: fun ciones base. UM: unico movimiento. MM: multiples

movim ientos. NLS: mınimos cuad rad os n o lineales. GRG: Generalized Redu ced Gra-

dient. MINLP: Mixed Integer Nonlinear Programming. GD: Gradient descent.

una restriccion dura en forma d e embudo, de manera que se da mas libertad a la salida

al comienzo d el horizonte que al fin al.

Parametros: normalmente se elige u n horizonte d e p rediccion finito m uy grande,

con la idea de capturar la dinamica hasta el permanente de las salidas para todas las

entradas. Esto se pu ede considerar un a aproximacion al m etodo de horizonte infinito

propuesto para garantizar la estabilidad del bucle cerrado y puede explicar por que

ningu no de los prod uctos comerciales incluye restriccion terminal.

Una idea introducida en el PFC y adoptada por A spen Target es el uso d e puntos de

coincidencia, en los cuales deben coincidir la salida y la trayectoria d e referencia. Estaidea puede ser util cuando las salidas responden con distinta velocidad y se pueden

definir distintos puntos de coincidencia para cada una de ellas.

En cuanto a la estructuracio n d e l a s enal de control, se puede encontrar desde

considerar el horizonte de control igual a 1, horizonte variable o funciones base. Esta

ultima idea, propia del PFC, parametriza la senal de control usando un conjunto de

funciones polinomiales, permitiendo un perfil de entrada complejo para un horizonte

de control grand e (en teorıa p odr ıa ser infinito) emp leando un numero de incognitas

pequeno. Esto p uede resultar u na ventaja en el caso de sistemas no lineales. La

eleccion de la familia de funciones base establece mu chas d e las caracterısticas del

perfil de la entrada, pudiendo asegurar con una correcta eleccion una senal de controlsuave, p or ejemp lo. Si se eligen funciones base p olinomicas, se puede seleccionar el

orden para seguir un setpoint polinomico sin retraso, lo cual pu ede ser importan te para

aplicaciones d e servosistemas m ecanicos.

La solucion del problema no es tarea f acil debido a la no convexidad del problema

generico. El PFC prop one una solucion sencilla resolviend o el prob lema sin restricciones

usand o u n algoritmo de m ınimos cuad rados n o lineal y saturando las entradas a sus




lım ites si estos se violan; logicamente no se asegura una solucion optima, pero se gana

en velocid ad , perm itiendo qu e este controlad or se use en ap licaciones con p erıodos d e

muestreo pequenos, como el caso de seguimiento d e m issiles.

Para el caso generico se usan diversos algoritmos, algunos propietarios, basados

en m etodos mas o menos conocidos de optimizacion. Entre ellos cabe destacar el

que usa A spen Target , desarrollado por Oliveira y Biegler [15], que garantiza que lassoluciones intermedias, aunqu e no optimas, son factibles. Ello garantiza que un a pronta

finalizacion del algoritmo por limitaciones de tiempo produce siempre una solucion

factible. En cualqu ier caso qued a claro qu e el esfuerzo comp utacional es sup erior al

caso lineal, siendo esta u na de las pr incipales razon es la todav ıa escasa imp lantacion

de estas tecnicas en la indu stria.

5.2.7 Ne cesidades futuras

Los temas que pueden considerarse abiertos en esta tecnica son:

Modelado: los modelos no lineales son mas complejos que los lineales, pero

adem as el proceso de identificacion es mu cho m as d ifıcil. Se n ecesita un a g ran

baterıa de ensayos p ara captu rar las no-linealidad es del p roceso, resultando en

un perıodo de p ruebas considerable. Por tanto, la forma de d isponer d e un a

representacion correcta de la dinamica del proceso es un problema que no esta

comp letamente resuelto.

Resolucion d el problema: la inclusion d el modelo no lineal en la optimizacion da

lugar a que esta no sea convexa. Grand es esfuerzos d eben hacerse todav ıa par aencontrar algoritmos de optimizacion fiables que permitan la resolucion dentro

del tiemp o asignado.

Justificacion del esfuerzo: vistas las d ificultades qu e ap arecen en la aplicacion

d e NMPC, debe poder justificarse el beneficio que este tipo de tecnica aporta.

Algunos fabricantes ofrecen un MPC de respaldo, de manera que en el caso de

que no se necesite ese esfuerzo ad icional o el controlador no lineal sea realmente

comp licad o d e po ner en ma rcha, se aplicarıa la estrategia lineal.

Otros temas: temas que son aplicables al Control Predictivo en general, funcio-

nes objetivos multicriterio, sintonizacion de parametros, mal condicionam iento o

tolerancia a fallos.

Es de d estacar q ue ningu na de los prod uctos comerciales incluye restriccion termi-

nal ni hor izonte infin ito, situ aciones requerid as en teorıa para g aran tizar la estabilid ad

nom inal. En lugar de eso, se confıa en qu e con un horizonte d e p rediccion lo suficien-

temente grande se consiga el mismo comportamiento que horizonte infinito.



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control predictivo

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