control lineal de sistemas multivariables

CONTROL LINEAL

DE SISTEMAS MULTIVARIABLES

Ing. Jairo J. Espinosa M.Sc. Ph.D.

2 J. Espinosa

Septiembre 2003-Draft Version 3.0

TABLA CONTENIDO

CAPÍTULO 1 SISTEMAS MULTIVARIABLE ......................................................5 1.1 INTRODUCCIÓN .....................................................................................................5 1.2 SISTEMAS DINÁMICOS...........................................................................................6

1.2.1 Función de Transferencia .............................................................................8 1.2.2 Respuesta dinámica ......................................................................................9

1.3 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD.............................................................12 1.3.1 Controlabilidad...........................................................................................12 1.3.2 Observabilidad............................................................................................13 1.3.3 Prueba de Popov-Belevitch-Hautus (PBH) ................................................14

1.4 ESTABILIDAD, ESTABILIZABILIDAD, DETECTABILIDAD.......................................15 1.4.1 Estabilidad ..................................................................................................15 1.4.2 Estabilizabilidad .........................................................................................15 1.4.3 Detectabilidad.............................................................................................16

1.5 TRANSFORMACIONES SIMILARES Y DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE KALMAN..16 1.5.1 Realización Mínima ....................................................................................19 1.5.2 Otras Formas Canónicas............................................................................19

1.6 EJERCICIOS DEL CAPITULO..................................................................................21

CAPÍTULO 2 CONTROL DESACOPLADO.........................................................25

2.1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................25 2.2 INTERACCIÓN EN SISTEMAS MULTIVARIABLES ...................................................25 2.3 LA MATRIZ DE GANANCIAS RELATIVAS .............................................................27 2.4 SELECCIÓN DE LAZOS DE CONTROL USANDO LA MATRIZ DE GANANCIAS RELATIVAS ...............................................................................................................29 2.5 CONTROL MULTIVARIABLE DESACOPLADO ........................................................32 2.6 COMENTARIOS Y CONCLUSIONES........................................................................36 2.7 EJERCICIOS DEL CAPITULO..................................................................................37

CAPÍTULO 3 MÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS ......................................39 3.1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................39 3.2 REALIMENTACIÓN DE ESTADO ............................................................................39 3.3 UBICACIÓN DE LOS POLOS...................................................................................40

3.3.1 Ubicación de los Polos-Método Directo.....................................................40 3.3.2 Ubicación de los Polos-Sistemas de una entrada. Método de Ackermann.40

4 J. Espinosa

3.3.3 Ubicación de los Polos-Sistemas de múltiple entrada. Método de Ackermann ...........................................................................................................41 3.3.4 Ubicación de los Polos en sistemas de múltiple entrada-salida - Ecuación de Sylvester ..........................................................................................................42

3.4 EJEMPLOS............................................................................................................43 3.4.1 Carros Acoplados con Unión Flexible. [12] ..............................................43 3.4.2 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética (Tomado de [3]) .........46

3.5 DISEÑO DE SERVO SISTEMAS E IMPLEMENTACIÓN DE REFERENCIAS....................50 3.4.3 Ejemplos......................................................................................................52

3.6 OBSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO.....................................................56 3.6.1 Estimadores de Estado Completos..............................................................56 3.6.2 Estimadores Realimentados........................................................................57 3.6.3 Diseño de Estimadores - Ubicación de los polos .......................................58 3.6.4 Estimadores de Orden Reducido ................................................................61 3.6.5 Selección de los Polos para el Estimador...................................................62

3.7 EJEMPLOS............................................................................................................63 3.7.6 Carros Acoplados con Unión Flexible. [12] ..............................................63 3.7.7 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética.....................................65


CAPÍTULO 4 REGULADOR OPTIMO CUADRÁTICO LINEAL....................71 4.1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................71 4.2 REGULADOR OPTIMO CUADRÁTICO LINEAL.(LINEAR QUADRATIC REGULATOR-LQR) ........................................................................................................................72

4.2.1 Problema con Horizonte finito....................................................................72 4.2.2 Problema con Horizonte Infinito ................................................................73 4.2.3 Solución de la ecuación algebraica de Riccati...........................................74 4.2.4 Control Optimo en Sistemas Discretos .......................................................74 4.2.5 Regulador Cuadrático Lineal-Caso discreto..............................................75

4.3 EJEMPLOS............................................................................................................78 4.3.1 Carros acoplados con Unión Flexible........................................................78 4.3.2 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética[4]................................80

4.4 ESTIMACIÓN OPTIMA-FILTROS DE KALMAN-BUCY.............................................83 4.4.1 Estimación Optima-Formulación Discreta.................................................86

4.5 EJEMPLOS DE DISEÑO DE ESTIMADORES OPTIMOS..............................................86 4.5.1 Carros Acoplados con Unión Flexible .......................................................86 4.5.2 Estimación Optima en un Sistema Lector de Cinta Magnética ..................88

4.6 REGULADOR OPTIMO CUADRÁTICO GAUSSIANO ................................................89 4.7 EJEMPLOS............................................................................................................92

4.7.1 Carros Acoplados con Unión Flexible .......................................................92 4.7.2 Sistema Lector de Cinta Magnética............................................................95


Capítulo 1 Sistemas Multivariable

1.1 Introducción El comportamiento de un sistema dinámico se encuentra condicionado por las acciones que se ejerzan sobre el mismo. Esas acciones pueden ser ejercidas como acciones deseadas, a través de variables manipuladas (válvulas, interruptores, relevos, potenciómetros, calefactores, ventiladores, etc.) o a través de variables no manipuladas directamente, generalmente llamadas perturbaciones ( cambios de carga, masas, cambios de concentración, etc.). Los efectos de esas acciones se pueden ver reflejados en una o más variables del sistema (temperaturas, niveles, presiones, velocidad, concentraciones, posición) que bajo ciertas condiciones se desea mantener en un valor determinado (variables controladas). En general, el objetivo de la teoría de control es el diseñar estrategias que permitan comandar un conjunto de variables (variables manipuladas), de manera que se puedan mantener las variables controladas en unos valores deseados a pesar de las perturbaciones que puedan afectar al sistema. Un sistema de control multivariable (MIMO1) permita alcanzar el objetivo de mantener un conjunto de variables en un valor deseado a diferencia del control de sistemas SISO2 que solo permite controlar una variable al tiempo. Ejemplo 1.1 Un ejemplo sencillo de un sistema multivariable es una ducha de agua caliente, en una ducha de agua caliente se desea controlar al mismo tiempo la temperatura y el caudal del agua, a través de la manipulación de las válvulas que regulan el caudal de agua fría y caliente y sin importar las perturbaciones generadas por los cambios de presión en el agua, o las temperaturas originales de los flujos caliente y frío.

Variables Controladas Variables Manipuladas Perturbaciones • Temperatura de la

ducha • Flujo de agua en la

ducha

• Válvula del agua caliente

• Válvula del agua fría

• Temperatura del flujo de agua fría.

• Temperatura del flujo de agua caliente

• Presión del agua fría

• Presión del agua caliente

Table 1 Descripción de las variables para la ducha de agua caliente

1 MIMO - De la sigla en inglés Multiple Input Multiple Output – Multiple entrada Multiple salida 2 SISO- De la sigla en inglés Single Input Single Output – Una entrada una salida

6 J. Espinosa

A este sistema tipo de sistemas se les conoce como sistemas MIMO de 2 x 2 ( dos entradas, dos salidas) Este libro está enfocado al estudio y desarrollo de técnicas de control lineal aplicables a sistemas multivariables. Este primer capítulo se enfoca al estudio y descripción de sistemas multivariables. Incluye conceptos importantes, como la descripción de sistemas en espacio de estado y función de transferencia, función de transferencia multivariable, controlabilidad y observabilidad. El segundo capítulo está dedicado al concepto de desacoplamiento y al uso de herramientas tales como RGA3 (Matriz de Ganancias Relativas) para seleccionar y analizar lazos de control, de forma que se puedan aplicar técnicas usadas en sistemas SISO para controlar sistemas multivariables. El tercer capítulo introduce el concepto de realimentación de estado y el diseño de controladores. El capítulo también incluye la definición y el diseño de observadores de estado. El cuarto capítulo describe el concepto del Regulador Optimo Cuadrático (LQR4), el concepto de estimación óptima y filtros de Kalman y finalmente el Regulador Optimo Gaussiano (LQG5). El quinto capítulo está dedicado al diseño de controladores usando las normas y2H . ∞H

1.2 Sistemas Dinámicos Los modelos dinámicos de muchos sistemas físicos son descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales . Como ecuaciones diferenciales ordinarias se entienden aquellas en las que el tiempo t es la única variable independiente. Las ecuaciones diferenciales parciales tienen como variable independiente no solo a t sino que también tienen derivadas con respecto a las coordenadas espaciales. Si se construye un modelo únicamente con ecuaciones diferenciales ordinarias, este modelo será una aproximación, ya que las variables son independientes del estado puntual del sistema. En nuestro caso son centraremos en los sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

),()(),,(.

uxgyxtxuxfx oo

===

(1.1)

(1.2) donde es el estado del sistema, son las condiciones iniciales del sistema, es la entrada del sistema y es la salida del sistema.

x t n( ) ∈ℜ x to( )u t m( ) ∈ℜ y t p( ) ∈ℜ

3 RGA-Relative Gain Array 4 LQR – Linear Quadratic Regulator 5 LQG – Linear Quadratic Gaussian regulator

Sistemas Multivariables 7

f(.,.) y g(.,.) son funciones no lineales . Un sistema dinámico con una entrada (m=1) y una salida (p=1) se conoce como sistema SISO (por la sigla en inglés: Single Input Single Output), en caso contrario el sistema es llamado MIMO (por la sigla en inglés: Multiple Input Multiple Output).

pnmmnm gf ℜ→ℜℜ→ℜ ++ :y :

En este texto, nuestro análisis se verá restringido a los sistemas dinámicos lineales. Para obtener una representación lineal del sistema descrito por las ecuaciones (1.1) y (1.2) se puede aproximar las funciones f(.,.) y g(.,.) alrededor del punto de operación u*, x* usando series de Taylor de la siguiente forma:

)()(),(

)(),()(),(.

****

****

****

****

uuugxx

xguxgy

xtxuuufxx

xfuxfx

uxux

oouxux

−∂∂

+−∂∂

+≈

=−∂∂

+−∂∂

+≈

(1.3)

(1.4)

Si el punto de operación es además un punto de equilibrio el sistema se verá reducido a un sistema dinámico lineales con parámetros invariantes en el tiempo. Esta representación de los sistemas dinámicos es una aproximación que permite manipular de forma simple las ecuaciones del sistema y así poder llevar a cabo el diseño de sistemas de control; que, pese a las aproximaciones, pueden controlar con aceptable precisión el sistema dinámico alrededor del punto de operación.

0),( ** =uxf

El sistema se describe en forma general de la siguiente forma:

uDxCyxtxuBxAx oo

δδδδδδδδ

+==+= )(,.

(1.5) (1.6)

Donde es la desviación del estado del sistema,

son las condiciones iniciales del sistema, es la desviación de la entrada del sistema con respecto al punto alrededor del cual se realizó la linealización y es la desviación de la salida del sistema. A,B,C y D son matrices con parámetros constantes y dimensiones

ntxxtx ℜ∈=− )()( * δ)()( *

oo txxtx δ=− mtuutu ℜ∈=− )()( * δ

pyyty ℜ∈=− δ*)(

mp

ux

np

ux

mn

ux

nn

ux ugD

xgC

ufB

xfA ×××× ℜ∈

∂∂=ℜ∈

∂∂=ℜ∈

∂∂=ℜ∈

∂∂=

******** ,,,,

y,, .

Nota para el lector: A partir de este punto en el texto y para simplificar la notación, las variables de desviación serán reemplazadas de la siguiente manera:

uuyyxx δδδ === y ,

En el caso discreto el sistema se puede representar en la forma: x Ax Buy Cx Du

k k

k k k

+ = k+= +1 ,

(1.7) (1.8)

con matrices de las mismas dimensiones.

8 J. Espinosa

B C

A

D

+ +u(t) x(t) x(t) y(t).

(a)

B C

A

D

+ +ukxk+1 xk yk∆

(b)

Figura 1.1: Diagramas de bloques de la representación de estado. (a) Continuo (b) Discreto.

1.2.1 Función de Transferencia La matriz de transferencia desde u hasta y se define como:

Y s G s U s( ) ( ) ( )=

donde U(s) y Y(s) son las trasformadas de Laplace de u(t) y y(t) , asumiendo unas condiciones iniciales iguales a cero (x(0)=0). G(s) se obtiene a partir de,

G s C sI A B D( ) ( )= − +−1

Las ecuaciones (1.5) y (1.6) se pueden escribir en forma matricial:


xy

A BC D

xu

.⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

De forma similar para el caso discreto la matriz de transferencia desde u hasta y se define como:

Y z G z U z( ) ( ) ( )=

donde U(z) y Y(z) son las trasformadas zeta de uk y yk con condiciones iniciales (x0=0). G(z) se obtiene a partir de,

G z C zI A B D( ) ( )= − +−1

Las ecuaciones (1.7) y (1.8) también pueden ser escritas en forma matricial:

xy

A BC D

xu

k

k

k

k

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

1.2.2 Respuesta dinámica Dadas la condición inicial x(t0) y la entrada u(t), la respuesta dinámica del sistema para puede ser calculada a partir de: t t≥ 0

x t e x t e Bu d

y t Cx t Du t

A t t A t

t

to( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )= +

= +

− −∫00

τ τ τ

(1.9)

(1.10)

En caso de que u(t) = 0, ∀ ≥ , será posible observar que para cualquier y ,

t t0 t t1 0≥t t≥ 0

x t e x tA t t( ) ( )( )= − 11

La respuesta impulso estará dada por:

g t G s Ce B t D tAt( ) ( ) ( ) ( )= = +−+L 1 1 δ

donde )(tδ es el impulso unitario y 1+(t) es el paso unitario definido como:

11 00 0+ =

≥<

⎧⎨⎩

( ):, ;, .

ttt

con D = 0, la respuesta impulso quedará reducida a:

10 J. Espinosa

g t Ce B tAt( ) ,= ∀ 0≥ En el caso discreto tendremos: Dadas la condición inicial x0 y la entrada uk, la respuesta dinámica del sistema para

puede ser calculada a partir de: k ≥ 0

x A x A Bu

y Cx Du

kk i

k ii

k

k k k

= +

= +

− −=

−

∑0 10

1

(1.11)

(1.12)

En caso de que uk = 0, , ∀ ≥k 0

x A xkk= 0

Si D=0 la respuesta impulso estará dada por:

g k Z G z CA Bk( ) ( )= =−1

1.3 Polos y Ceros Los conceptos de polos y ceros son importantes para definir la estabilidad de un sistema o los limites de desempeño de un sistema de control.

1.3.1Polos y ceros en sistemas SISO La función de transferencia para un sistema SISO esta dada por la siguiente expresión:

1 adj( ) det( ) ( )( ) ( )det( ) ( )

C sI A B D sI A num sG s C sI A B DsI A den s

− − + −= − + = =

−

Una función de transferencia se define como mínima si no existen factores comunes entre los polinomios del numerador y el denominador. Una representación en espacio de estado [ , , , ]A B C D es llamada mínima si el det( )sI A− es igual al denominador de la función de transferencia mínima. Se definen como ceros del sistema aquellos valores que anula el numerador de la función de transferencia (raíces del polinomio num(s)). Se dice entonces que un cero es un valor tal que: is z= ( ) 0iG z = De otro lado los polos del sistema G(s) son las raíces del denominador o las soluciones de la ecuación ( ) 0den s = . Los polos son lo valores is p= de manera que


( )iG p = ∞ Para una representación mínima los polos son la solución de la ecuación característica

det( ) 0sI A− = (1.13)

esta ecuación define a su vez los valores propios de la matriz A. Los polos son de hecho los valores propios de la matriz de estados del sistema.

1.3.2Polos y ceros en sistemas multivariables La función de transferencia de un sistema Multivariable es una matriz de funciones de transferencia SISO. Los polos del sistema Multivariable son la unión de los polos de las distintas funciones de transferencia. Al igual que el sistema SISO los polos del sistema Multivariable son los valores propios de la matriz de estados (A). La definición de los ceros multivariables es la frecuencia a la cual la matriz de funciones de transferencia pierde su rango.

rank[ ( )] min( , )y uG s n n< (1.14)

De otra manera se puede decir que los ceros multivariables son los valores de s=z de manera que:

rank min( , )y u

A zI Bn n

C D−⎡ ⎤

<⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.15)

Esta condición lo que indica es que la salida será cero para una entrada diferente de cero ( ) 0 ( ) ( )Y s G s U s= = usando la transformada de Laplace de la representación de estado, tendremos:

( ) ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )sY s AX s BU sY s CX s DU s

= += = +

si rescribimos esta expresión de forma matricial se obtiene:

( ) 0

( ) 0

sI A B X s

C D U s

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M

L L L

M

L (1.16)

12 J. Espinosa

este problema se puede reducir a un problema de valores propios generalizados. El problema de valores propios consiste en que dadas dos matrices A y B encontrar los valores de los escalares λ y x de manera que Ax Bxλ= . En este caso la ecuación se puede resolver planteando el problema como un problema de valores propios generalizados de la siguiente forma:

( ) 0 ( )

( ) 0 0 ( )

A B X s I X ss

C D U s U s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

M M

L L L L L L

M M

⎤⎥⎥⎥⎦

1.4 Controlabilidad y Observabilidad

1.4.1 Controlabilidad Un sistema dinámico es controlable si es posible alcanzar un estado deseado x(t1) = x1, a partir de un estado inicial x(0) = x0 en un tiempo t1 finito. La controlabilidad de un sistema se puede verificar a través de criterios algebraicos y geométricos. El método más común es la evaluación de la matriz de controlabilidad. La matriz de controlabilidad está dada por:

[ ]C= −B AB A Bn... 1 (1.17)

El par (A,B) es controlable si y solo si el rango de es igual a n, donde n es el orden del sistema. Para explicar este método, se escoge un sistema lineal de la forma:

x Ax Bk k+ uk= +1 Entonces

kkk

k BuBuAxAx +++= ++ ...00

11

operando y presentando en forma matricial,

[ ]x A x B AB A B

uu

u

kk k

k

k+

+ −− =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

11

01

0

... ...

Obsérvese, que para : k n≥ − 1

[ ] [ ]rango ... rango ...B AB A B B AB A Bk n= −1 (Ver: Teorema de Cayley-Hamilton) Obsérvese, que solo será posible calcular un vector de entradas


u

u

u

k

k−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1

0

.

..

que lleve la planta del estado x0 al estado xk+1,sí el rango( ) = n. Las matrices de controlabilidad para sistemas continuos y para sistemas discretos tienen la misma forma.

1.4.2 Observabilidad Un sistema es observable si conociendo la entrada u y la salida y es posible determinar el estado x. La matriz de observabilidad está como:

O=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥−

CCA

CAn

.

..1

(1.18)

Se dice que el sistema es observable si el rango de es igual a n, donde n es el orden del sistema.

Para ilustrar esta idea, se tomará el sistema autónomo (sin entrada) definido por:

x Ay Cx

k k

k k

+ x==

1

La respuesta del sistema estará dada por:

y CA xkk= 0

yy

y

CCA

CA

x

kk

0

10.

....

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Obsérvese que para k n : ≥ −1

14 J. Espinosa

rango...

rango...

CCA

CA

CCA

CAk n

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥−1

Obsérvese que siempre que el rango( ) = n será posible calcular el valor de x0 a partir de las salidas observadas. Las matrices controlabilidad para sistemas continuos y discretos son iguales.

1.4.3 Prueba de Popov-Belevitch-Hautus (PBH)

1.4.3.1 Prueba de Controlabilidad. La prueba de controlabilidad PBH se puede resumir en la siguiente frase: (A, B) es controlable sí y solo sí no existe un vector propio de AT diferente de cero que es perpendicular a B. (A, B) no es controlable si existe un vector q ≠ 0 tal que

A q qB q

T

T

=

=

λ

0

Si existe un vector propio q y un valor propio λ tal que q es perpendicular a B se puede decir que el modo correspondiente al valor propio λ es no controlable. En caso contrario se dice que el modo es controlable. Por ejemplo (tomado de [3]):

A Bi=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⇒ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

*

*,

*

*,λ 0

010

q

i

El sistema (A, B) tiene un modo no controlable x xi i= λ. . Prueba: Si existe un vector q tal que ≠ 0

0=

=

BqqAq

T

TT λ

entonces: 0== BqABq TT λ

y 02 == ABqBAq TT λ

y así sucesivamente hasta que: [ ] 01 == − BAABBq(A,B)q nTT KC


1.4.3.2 Prueba de Observabilidad El sistema dinámico con matrices (A, C) es observable si no existe un vector propio de A que es perpendicular a CT. (A, C) no es observable si existe un vector p ≠ 0 tal que

Ap pCp

==

λ0

Si existe un vector propio p y un valor propio λ tal que p es perpendicular a C se puede decir que el modo correspondiente al valor propio λ no es observable. En caso contrario se dice que el modo es observable. Por ejemplo:

[ ]A Ci=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= ⇒ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

*

*, * * ,λ 0

010

p

i

El sistema (A, C) tiene un modo no observable x xi i= λ. . Prueba: (ver prueba de controlabilidad)

1.5 Estabilidad, Estabilizabilidad, Detectabilidad

1.5.1 Estabilidad Un sistema dinámico autónomo x Ax. = es estable sí y solo sí la parte real de todos los valores propios de A son menores que cero (están ubicados en la parte izquierda del plano complejo), p.e., Reλ(A)<0. Para el caso discreto, se dice que un sistema dinámico autónomo es estable sí todos los valores propios de A están ubicados dentro del circulo unitario en el plano complejo, p.e., |λ(A)|<1.

x Ak k+ =1 x

Una matriz A con esta propiedad se dice que es estable o Hurwitz. Es importante recordar que los valores propios de A son las raíces de la expresión,

det( )λI A− =0 Recordando la representación como matriz de transferencia del sistema [A,B,C,D]

G s C sI A B D CsI AsI A

B D( ) ( )adj( )det( )

= − + =−−

+−1

se puede observar que los polos de la matriz de transferencia son los valores propios de A.

1.5.2 Estabilizabilidad

16 J. Espinosa

Un sistema con matrices (A,B) se dice estabilizable, si sus modos no controlables son estables. Esta propiedad garantiza que cuando se aplique un sistema de control al sistema, las variables que no sean controlables no crecerán a límites que pongan en peligro la operación o la integridad del sistema.

1.5.3 Detectabilidad Un sistema con matrices (A,C) se dice detectable, si sus modos inestables son observables. Esta propiedad garantiza que se puede construir estimadores de estado estables. Ejemplo: Dado el sistema dinámico discreto,

x Ax By Cx Du

k k

k k

+ uk

k

= += +

1

A BC D

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2 0 0 0 20 0 3 0 4 0 40 0 4 0 3 0 20 0 0 3 40 2 3 5 2

. .

. .

Modo Estable? Estabilizable? Detectable?

2 no si no - 0 3 0 4. .± i si si si

3 no si si

Nota: para verificación del anterior ejemplo utilice las pruebas PBH de controlabilidad y observabilidad.

1.6 Transformaciones Similares y Descomposición Canónica de Kalman

Los sistemas dinámicos pueden ser descritos en diferentes sistemas de coordenadas. Por ejemplo, un péndulo puede ser descrito en función del ángulo de su cuerda o de la altura del péndulo. De igual forma cualquier sistema dinámico puede ser representado en otros sistemas de coordenadas distintos al así llamado sistema natural de coordenadas. En ocasiones la representación en otro sistema de coordenadas facilita el análisis del sistema dinámico. Sea una matriz no singular (invertible). Se define la transformación lineal de cambio de coordenadas como:

T n n∈ℜ ×

xTx 1−=


Entonces en el nuevo sistema de coordenadas las ecuaciones el sistema dinámico (1.5) y (1.6) serán

uDxTCyuBTxTATx

+=+= −− 11.

(1.19)

Estas ecuaciones representan el mismo sistema dinámico, para cualquier matriz no singular T. Obsérvese, que la matriz A se ve transformada por una operación de la forma ATT 1− , esta transformación matricial se conoce con el nombre de transformación de similaridad [11]. Fácilmente, se puede probar que la matriz de transferencia G(s) no se ve alterada por el cambio de coordenadas,

.)()()( 1111 DBTATTsICTDBAsICsG +−=+−= −−−−

El principio de la descomposición de Kalman formula que: “Dado un sistema dinámico descrito por [A,B,C,D]. Siempre es posible encontrar una transformación T invertible, tal que las matrices transformadas tengan la estructura:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

oc

oc

oc

co

AAA

AAAAAA

rrrr

rrrr

ATT

43

242321

13

4321

4

3

2

1

1

00000

00

( )4321

4

3

2

1

1 00,

00

rrrrCCpCTB

Bm

rrrr

BT occooc

co

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

(1.20)

donde r1, ...,r4 son las dimensiones de los bloques,

r rr r r n r

1 2

3 1 4 1

= rr r

1

2 3

= −= − = − −

rango( ), rango( ) ,rango( ) , .

OC CO −

El subsistema

[ ]A B C Dco co co, , ,

es controlable y observable, el subsistema

18 J. Espinosa

( )AA A

BB C Dco

co

co

coco

00

21

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥, , ,

es controlable. El subsistema

( )A AA

BC C Dco

co

coco co

13

0 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥, , ,

es observable. El subsistema

[ ]A Dco , , ,0 0 no es controlable, no observable. Para explicar un poco mejor la función de los distintos bloques observe el siguiente sistema dinámico [A,B,C,D] transformado a través de la descomposición de Kalman en:

xxxx

AA

AA

xxxx

BBBB

u

y C C

xxxx

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co

co co

co

co

co

co

.

.

.

.

[ ]

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0 0 00 0 00 0 00 0 0

0 0

La respuesta en el tiempo del sistema será:

x tx tx tx t

e x e B u d

e x e B u de xe x

y t C x t C x

co

co

co

co

A tco

A tco

t

A tco

A tco

t

A tco

A tco

co co co co

co co

co co

co

co

( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

+

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

= +

−

−

∫∫

0

000

0

0

τ

τ

τ τ

τ τ

( );t

Observe, que x tco ( ) y x tco ( ) no son alterados por la entrada u, estos son los estados no controlables, en tanto que x tco ( ) y x tco ( ) no tienen influencia en la salida y, estos son los estados no observables. Si asumimos x( )0 0= la salida queda reducida a:

y t C e B u dcoA t

co

t

co( ) ( )( )= −∫ τ τ τ0

.


Para efectos prácticos la matriz de transformación T se puede calcular a partir de la factorización en valores singulares de la matrices de controlabilidad y observabilidad , la matriz T esta compuesta por cuatro submatrices descritas así:

[ ]4321 TTTTT = donde

⊥⊥

⊥

⊥

∩=∩=

∩=∩=

SRTSRT

SRTSRT

4

3

2

1

R es una base del subespacio controlable, S es una base del subespacio observable y son los respectivos complementos ortogonales o sea las bases de los

subespacios no controlables y no observables. ⊥⊥ SyR

Controlable Observable

Controlable No

Observable

No Controlable Observable

No Controlable

No Observable

+

Figura 1.2 Descomposición canónica de Kalman

La descomposición canónica de Kalman es aplicable a sistemas discretos sin ninguna modificación.

1.6.1 Realización Mínima Una realización mínima es aquella que tiene la matriz A de menor tamaño para todas las tripletas [A,B,C] que satisfacen:

G s C sI A B D( ) ( )= − +−1

donde G(s) es una matriz de transferencia. El sistema [A,B,C,D] es mínimo sí y solo sí es controlable y observable.

1.6.2 Otras Formas Canónicas

20 J. Espinosa

1.6.2.1 Forma Canónica Controlable Dado un sistema de simple entrada múltiples salidas descrito por:

G sA bC d

b C dn p n( ) , , ,=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ× p

d

asumiendo que (A,b) es controlable. El sistema G(s) se puede transformar en un sistema de la forma:

[ ]

A

a a a a

b

C d

n n

n n

1

1 2 1

1

1 1 2 1 1

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

10

00

=

− − − −⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

= =

−

−

...

...

......

.

.....

.

..

...

,... ,

... ,β β β β

(1.21)

donde

G s C sI A b d s s ss a s a s a

dn n

n nn n

n n

( ) ( ) ......

,= − + =+ + + +

+ + + ++−

− −−

−−

1 11

22

1

11

1

β β β β

G sA bC d

T AT T bCT d

A bC d

c c c

c

( ) = ⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

−

1

11 1

1 1

la transformación Tc se define como,

Tc-= C C11

[ ][ ]

C

C

=

=

−

−

b Ab A b

b A b A b

n

n

...

... .

1

1 1 1 1 11

1

Es importante comentar que esta forma canónica es apropiada para análisis y cálculos manuales, pero en algunos casos puede generar problemas de condicionamiento numérico en cálculos computacionales [9].

1.6.2.2 Forma Canónica Observable Dado un sistema de múltiple entrada y simple salidas descrito por:


G sA Bc d

B c dn m T n T m( ) , , ,=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ×

asumiendo que (c, A) es observable. El sistema G(s) se puede transformar en un sistema de la forma:

[ ]

A

aa

aa

B

C d

n

n

n

n

1

1

2

1

1

1

2

1

1 1

1 0 00 1 0

0 0 10 0 0

1 0 0 0

=

d

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

= =

−

...

......

.

.....

.

..

...

...

,... ,

... ,

−

ηη

ηη

(1.22)

donde

G s C sI A b d s s ss a s a s a

dn n

n nn n

n n

( ) ( ) ......

,= − + =+ + + +

+ + + ++−

− −−

−−

1 11

22

1

11

1

η η η η

G sA Bc d

T AT T bcT d

A Bc d

o o o

o

( ) = ⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

−

1

11 1

1 1

la transformación To se define como

To = −O O11

O O=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥− −

ccA

cA

cc A

c An n

.

.., .

...

1

1

1

1 1

1 11

Es importante, tener en cuenta, que esta forma canónica es apropiada para análisis y cálculos manuales, pero sus propiedades desde el punto de vista numérico son pobres y pueden generar errores de cálculo[9].

1.7 Ejercicios del Capitulo Ejercicios Numéricos Construya un vector usando el número de su documento de identidad. p.e. cc=[ 9 2 1 4 5 3 2 0]

22 J. Espinosa

1 -construya el siguiente sistema dinámico continuo [A B C D]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

+−−−−

=

3)4(00002)2(1)3(001)3(2)2(00001)1(

cccccc

cccccc

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

+

=

0001)7(1)6()5(0

01)6(0001)5(

cccccccc

cc

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

1)8(00001)1(00

cccc

C

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000

D

2- Verifique la estabilidad del sistema. 3- Construya las matrices de controlabilidad y observabilidad. 4- Corrobore la controlabilidad y la observabilidad usando el método PBH. 5- Construya una matriz T que permita realizar la descomposición canónica de Kalman, verifique el resultado 6- Para cada una de las entradas genere una matriz de transformación T que permita obtener la representación canónica controlable. 7- Para cada una de las salidas genere una matriz de transformación T que permita obtener la representación canónica observable. Ejercicios teóricos. 1 – Pruebe el criterio de observabilidad PBH 2- Pruebe que para cualquier par [A1,B] donde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

λλ

λ

001000

1A y 0

0B b

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0≠b

siempre será no controlable. 3- Encuentre las condiciones que debe tener el vector fila c tal que [c,A2]sea siempre observable.


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

λλ

λ

001001

2A

Capítulo 2 Control Desacoplado

2.1 Introducción La gran mayoría de sistemas de control se diseñan para comandar sistemas de tipo multivariable. La correcta elección de las variables controladas y las variables manipuladas así como de los lazos de control que las relacionan son de particular importancia para garantizar la implementación de un sistema de control exitoso. La aproximación más natural al problema de control multivariable ha sido la de tratar de desagregar el sistema en múltiples lazos sencillos de una entrada y una salida. En este capitulo se estudiaran los métodos de análisis que permiten definir las interacciones entre los distintos lazos de un sistema y la metodología que nos permite definir cuando un sistema puede ser sintonizado utilizando las metodologías de control clásico aplicadas a sistemas de una entrada y una salida. Este capítulo ha sido dividido en las siguientes secciones, la primera sección muestra la importancia de las interacciones entre los distintos lazos de control, la segunda sección nos presenta una poderosa herramienta para el análisis de las interacciones la matriz de ganancias relativas y finalmente la tercera sección muestra el diseño de desacopladores como herramienta de síntesis de controladores.

2.2 Interacción en Sistemas Multivariables Para facilitar la presentación de los conceptos asumamos la existencia de un sistema como el que se muestra en la Figura 2.1. Los bloques Gij representan bloques de ganancia dinámica. El sistema se encuentra descrito por las siguientes ecuaciones:

2221212

2121111

uGuGyuGuGy

+=+=

2.1

Asuma que las ganancias G11 y G22 son bloques con dinámica de primer orden y sin retardo. Ahora si asumimos que no existe interacción entre los lazos (G12 y G21=0), si se aplica un control de ganancia proporcional (Kp1 y Kp2) a cada lazo, se obtienen que los polinomios característicos del sistema serán:

26 J. Espinosa

G11

G12

G21

G22

u1

u2

y1

y2

Figura 2.1 Multivariable System with 2 Inputs and 2 Outputs

01 111 =+ GK p y 01 222 =+ GK p Ya que los sistemas son de primer orden el sistema será estable para cualquier valor de ganancia en el controlador. Ahora suponga que los dos lazos están interactuando ( 0, 2112 ≠GG ), entonces obtendremos una única ecuación característica del sistema, de la forma:

0)1)(1( 121212222111 =−++ pppp KGKGGKGK La aparición del signo negativo en la ecuación característica nos indica que el sistema será estable, solo para ciertos valores de las ganancias proporcionales Kp1 y Kp2. Entonces diremos que existe interacción si la respuesta de una variable controlada frente al cambio de una variable manipulada cambia al cerrar otro de los lazos presentes en el sistema. El problema de interacción entre lazos puede ser aliviado a través de una selección adecuada de pares de variables manipuladas y controladas. Para un sistema de 2x2 el problema es relativamente simple. Si el sistema en el cual la variable u1 controla la variable y1 y la variable u2 controla la variable y2 no presenta un desempeño adecuado, entonces el sistema se deberá organizar de forma que u1 controle y2 y u2 controle y1. Sin embargo sistemas más grandes serán mucho más complejos, al punto que un sistema de NxN tiene N! (N factorial) posibles combinaciones. Es por ello que es importante evaluar de manera cuantitativa el grado de interacción entre los distintos lazos de control. Esta información se puede utilizar para diseñar un sistema con mínimas interacciones. Esa herramienta cuantitativa existe y se conoce con el nombre de Matriz de Ganancias Relativas (Relative Gain Array-RGA).

Control Desacoplado 27

2.3 La Matriz de Ganancias Relativas La matriz de ganancias relativas es una herramienta muy importante en el análisis de sistemas multivariable. No es solamente una herramienta importante en la selección de pares de variables manipuladas y controladas, sino que también ha sido utilizada para predecir el comportamiento de respuestas controladas. Para presentar esta herramienta inicialmente se utilizara el sistema mostrado en la Figura 2.1. Asuma Kij sea la ganancia estática de la función de transferencia Gij. Si asumimos que u2 se mantiene constante un cambio en la variable u1 de magnitud

producirá un cambio en la salida y1u∆ 1y∆ 1. De forma que:

2

21

111

uu u

yK∆∆

=

si en lugar de mantener u2 constante, ahora mantenemos la salida y2 constante cerrando el lazo entre u2 y y2 (control perfecto!!). Un paso de magnitud producirá un cambio diferente . La ganancia bajo estas nuevas condiciones será expresada de la forma:

1u∆

1y∆

2

21

111

yy u

yK∆∆

=

A pesar de que las ganancias anteriores fueron obtenidas entre la misma entrada y salida esta puede presentar valores distintos ya que ha sido obtenida bajo distintas condiciones. Si existe interacción con otros lazos estas dos ganancias serán distintas. El cociente,

2

2

11

1111

y

u

K

K=λ

2.2

donde 11λ es un valor adimensional llamado ganancia relativa entre la salida y1 y la entrada u1 y que provee la siguiente información:

• Si 011 =λ quiere decir que el cambio en la entrada u1 no afecta la salida y1 y por ende no deberá ser utilizada para controlar y1.

• Si 111 =λ quiere decir que 2

11 uK es igual a

211 y

K . Eso quiere decir que la

ganancia entre la salida y1 y la entrada u1 no se vera afectada por el lazo entre la entrada u2 y la salida y2.

En un sistema de 2x2 existen otras tres ganancias relativas:

( )( )

2

1

2

1

21

21

12

1212

y

u

y

u

uy

uy

K

K

∆∆

∆∆==λ

2.3

( )( )

1

2

1

2

12

12

21

2121

y

u

y

u

uy

uy

K

K

∆∆

∆∆==λ

2.4

( )( )

2

2

2

2

22

22

22

2222

y

u

y

u

uy

uy

K

K

∆∆

∆∆==λ

2.5

28 J. Espinosa

Finalmente agrupando los elementos ijλ se construye la Matriz de Ganancias Relativas (Relative Gain Array-RGA).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Λ

2221

1211

λλλλ

De manera general para un sistema de N entradas y N salidas, existen (NxN) elementos de ganancia relativa entre la salida y la entrada esos elementos están dados por la expresión:

iy ju

( )( )

yji

uji

yij

uijij uy

uy

K

K

∆∆

∆∆==λ

2.6

Donde los subíndices y y u denotan los valores constantes de respectivamente y la matriz de ganancias relativas para el sistema

de NxN será: inyjmu nm ≠≠ ,;,

11 12 1

21 22 2

1 2

N

N

N N NN

λ λ λλ λ λ

λ λ λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Λ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

……

…

2.7

El cálculo de los parámetros de la matriz de ganancias relativas puede parecer complicado y tedioso, en la practica no es ese el caso ya que los elementos de la matriz tienen las siguientes propiedades:

• La suma de todos los elementos de cada columna es igual a uno

1

1, 1, 2, ,N

iji

j Nλ=

= =∑ …

• La suma de todos los elementos de cada fila es igual a uno

1

1, 1,2, ,N

ijj

i Nλ=

= =∑ …

Eso implica que para un sistema de (2x2) solo un elemento deberá ser calculado ( 11λ )

112212211112 1 λλλλλλ ==−= de la misma manera en un sistema de NxN solo (N-1)*(N-1) elementos deberán ser calculados. El método presentado anteriormente es un método experimental. Si conocemos un modelo del sistema será posible calcular la matriz de ganancias relativas de manera analítica. Si tomamos el siguiente modelo de estado estacionario,

2221212

2121111

uKuKyuKuKy

+=+=

donde son las ganancias de estado estable de la matriz de la función de transferencia del sistema. Entonces

ijK

111

111

2

2K

uyK

uu

=∂∂

=

eliminando u2 de las relaciones de estado estable, nos da:


221212121111 /)( KuKyKuKy −+= Derivando con respecto a u1 y manteniendo constante y2 nos da:

222112111

111 /

2

2KKKK

uyK

yy

+=∂∂

=

La ganancia relativa 11λ estará dada por la expresión:

)/()(11

2211211211

1111

2

2

KKKKKK

y

u

−==λ

las demás ganancias relativas se pueden calcular de manera similar.

2.4 Selección de Lazos de Control Usando la Matriz de Ganancias Relativas Una vez construida la Matriz de Ganancias Relativas se lleva a cabo el análisis que permite la selección de los pares variable manipulada-variable controlada. Las siguientes situaciones se pueden presentar: a) Si 0=ijλ , implica que no existe relación entre la variable manipulada j y la

variable controlada i por lo cual para controlar la variable controlada i se necesitará usar otra variable manipulada.

b) Si 1=ijλ , implica que no hay interacción con otros lazos y por ende el controlador podrá ser diseñado sin tener en cuenta los otros lazos

c) Si 10 << ijλ , implica que los otros lazos forman un lazo de realimentación negativa en paralelo con el lazo principal. Esto implica un aumento de la ganancia en estado estable del sistema por lo cual la ganancia del controlador se deberá reducir y ajustes en las acciones proporcional e integral.

d) Si 0<ijλ , significa que el numerador y el denominador tienen distinto signo lo cual implica que cuando se cierran los otros lazos de control el sistema se verá sometido a realimentación positiva lo cual generara inestabilidad, en la práctica esto significa una dificultad muy grande para realizar un controlador distribuido.

e) Si 1>ijλ , significa que la interacción de los otros lazos reduce el efecto de las acciones de control aplicadas al par ij. Entre más grande sea este valor mayor será la inhibición de la acción de la variable manipulada j sobre la variable controlada i.

Ejemplo El sistema de mezcla mostrado en la siguiente figura será motivo de análisis en nuestro texto.

30 J. Espinosa

m1

m2

Analizador

AC

FC

F

X

Figura 2.2 Sistema de Mezcla de dos compuestos

Para efectos de estudios asumiremos solo relaciones estáticas en nuestro modelo, el balance de masa del sistema y de los componentes estará dado por:

21 mmF += 2.8

21

1

mmmx+

= 2.9

En este sistema el objetivo es controlar el flujo total F de manera que mantenga la concentración x en un valor dado. La pregunta es: ¿Cuál es la influencia de cada variable manipulada m1 y m2 sobre las variables controladas F y x? Primero calculamos la ganancia m1-F cuando el lazo m2-x esta abierto. Derivando la ecuación (2.8):

12

1

=∂∂

mmF

2.10

Ahora se hace el análisis asumiendo control “perfecto” de la concentración x . Nuevamente derivamos la ecuación (2.8).

xx mm

mF

1

2

1

1∂∂

+=∂∂

2.11

El término xm

m1

2

∂∂ se obtiene derivando la expresión (2.9) con respecto a m1.

111

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+xm

mx 2.12

Despejando el término xm

m1

2

∂∂ de la ecuación (2.12) y reemplazándolo en la ecuación

(2.11)


xmF

x

11

=∂∂

2.13

La ganancia relativa para el par m1-F será:

x

mF

mF

x

mFm =

∂∂

∂∂

=−

1

11

1λ

2.14

Completando la matriz resultará en:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=Λ

xx

xx

xF

mm

1

121

2.15

El análisis de sistemas con un mayor numero de entradas puede parecer tedioso si se realiza de la manera que se ha hecho hasta este punto. Afortunadamente existe un método eficiente que nos permite calcular la matriz de ganancias relativas de forma matricial:

1( ( )) ( ).*( ( ) )TRGA G j G j G jω ω ω −= 2.16

Donde el símbolo .* denota una multiplicación termino a termino. Observe que hasta este instante solo se habían hecho análisis para valores de 0=ω , sin embargo la expresión (2.16) nos muestra que dicho análisis puede ser extendido a cualquier frecuencia por lo general este análisis solo tiene sentido hacerlo a la frecuencia 0 y a la frecuencia de corte ( cω ) esperada para el sistema. Las reglas de selección se pueden resumir de la siguiente manera:

1- Trate de hacer lazos con aquellos elementos en los cuales el ))(( cjGRGA ω lo más cercano posible al punto 1+j0 en el plano complejo.

2- Evite hacer lazos con aquellos pares que tienen valores negativos de ganancia relativa en estado estable . ))0((GRGA

Ejemplo 2-1

En este ejemplo utilizaremos una columna de destilación para separación de crudo pesado. La columna es alimentada por el plato inferior y genera tres fracciones, nuestro interés se centra en la composición de la fracción superior e intermedia. Consideramos como variables controladas:

Concentración del compuesto retirado en la cabeza de la columna. 1y

2y Concentración del compuesto retirado en la parte media de la columna. Temperatura de reflujo inferior. 3y Las variables manipuladas son:

32 J. Espinosa

1u Flujo del compuesto de la cabeza de la columna.

2u Flujo del compuesto intermedio. Referencia al controlador de la temperatura del plato inferior. 3u

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)()()(

)()()()(

3

2

1

3

2

1

sUsUsU

sGsYsYsY

donde

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

−

+

−+

−

+

−

+

−+

−

+

−

+

−

=

11920.7

144

2242.4133

2038.4140

1590.6160

1472.5150

1839.5150

2788.5160

2877.1150

2705.4

)(

ss

ses

ses

ses

ses

ses

ses

ses

se

sG

asumiendo un ancho de banda 1/50 rad/s, para el análisis usaremos únicamente las variables manipuladas ligadas a la composición el análisis nos dará los siguientes resultados:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

5563.05733.1017.02744.15946.03203.0

))0(~(GRGA

y

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−

+−−−=

jjjjjj

jGRGA3716.04507.00158.05763.13558.01256.0

3716.01532.10158.06325.03558.04792.0))50/(~(

Para hacer el análisis de cual variable deberá controlar , para ello debemos mirar la primera fila de las matrices RGA, de ellas es posible deducir que la variable manipulada deberá ser evitada ya que tiene signo negativo. Es claro que para las dos frecuencias la entrada es la mejor elección para controlar . De manera similar podemos decir que la mejor elección para controlar es la entrada . La composición de la cabeza será controlada a través de la referencia de la temperatura del plato inferior, la composición del compuesto será controlada a través del flujo de dicho compuesto.

1y

2u

3u 1y

2y 2u

2.5 Control Multivariable Desacoplado En ocasiones el encontrar un par adecuado de entrada y salida no es garantía de que el sistema de control distribuido presente un desempeño adecuado debido a la interacción aun presente entre los lazos del sistema. Una solución a este problema es la construcción de un compensador que cancele las interacciones entre los lazos y luego llevar a cabo la sintonía de los controladores en los lazos de manera individual. El compensador que desarrolla la tarea de desacoplamiento se conoce con el nombre de desacoplador.


La función de los desacopladores es la de descomponer el sistema multivariable en subsistemas de una variable. Si dicho sistema puede ser implementado de manera ideal el sistema multivariable podrá ser controlado usando controladores independientes.

Controlador Desacoplador Planta

Figura 2.3 Estructura General de un sistema de control desacoplado

La estructura detallada del sistema de control se muestra en la Figura 2.4

G11

G12

G21

G22

y 1 D11

D12

D21

D22

u1 u1*

y 2

u2* u2

C1

C2

D ESAC OPLAD O R PLAN TA

w 1

w 2

Figura 2.4 Estructura del Sistema de Control Desacoplado

Este sistema se encuentra descrito por las siguientes ecuaciones: )()()( * sUsGsY = 2.17

)()()(* sUsDsU = 2.18

))()()(()( sYsWsCsU −= 2.19

Resolviendo

))()()(()()()()()()( sYsWsCsDsGsUsDsGsY −==

2.20

Nuestro objetivo es construir un sistema diagonal, ya que el controlador C(s) es un sistema diagonal el objetivo será alcanzado garantizando que:

)](),([)()()( 21 sxsxdiagsDsGsX ==

2.21

Para determinar D(s) será necesario calcular el inverso de G(s) ya que:

)()()( 1 sXsGsD −=

2.22

34 J. Espinosa

Donde G(s)-1 es:

))(det())(()( 1

sGsGadjsG =−

2.23

Donde adj(G(s)) y det(G(s)) denota la adjuntan respectivamente la adjunta y el determinante de G(s) y para el sistema presente nos da:

)()()()())(det( 21122211 sGsGsGsGsG −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

)()()()(

))((1121

1222

sGsGsGsG

sGadj

entonces el desacoplador tendrá la forma:

))(det()()()()()()()()(

)()()( 211121

212122

1

sGsxsGsxsGsxsGsxsG

sXsGsD⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

== −

2.24

La representación más simple será asumiendo los términos en la diagonal principal iguales a uno, con lo cual se obtiene el sistema:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1)()()()(1

)(2221

1112

sGsGsGsG

sD

2.25

De esta manera los controladores verán a G(s)D(s) como la planta:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

11

122122

22

211211

)(0

0)()()(

GGGsG

GGGsG

sDsG

2.26

Consideraciones sobre la implementación de desacopladores Las acciones aplicadas por el desacoplador son similares a una acción de tipo feedforward y por ello se encontrarán el mismo tipo de dificultades a la hora de implementar dichos controladores. El uso de los desacopladores esta restringido a la planta lineal, esto debido a que se utiliza un mecanismo de cancelación. Un cambio de punto de operación en una planta lineal causara que la cancelación no sea eficaz. El hecho de ser un mecanismo de cancelación restringe la aplicabilidad del método ya que no podrá ser aplicado con plantas que tienen ceros de fase no mínima ya que la cancelación generara polos inestables. Errores en el modelo también pueden causar problemas.


Un problema aun más serio se puede presentar cuando la metodología se aplica a plantas con retardos. Suponga que la planta incluye las siguientes funciones de transferencia:

seKG

seKG

ss

11

1111

12

1212 1

y 1

1112

ττ

θθ

+=

+=

−−

donde ijθ y ijτ son respectivamente el retardo y la constante de tiempo del sistema, ya que el desacoplador incluye la ganancia 1112 GG si calculamos esta relación obtendremos:

se

sKsK

sGsG )(

1211

1112

11

12 1211

)1()1(

)()( θθ

ττ −

++

=

2.27

Si se da el caso de 1211 θθ > el argumento de la exponencial será positivo lo cual se traduce en la necesidad de tener valores futuros para implementar el sistema, lo cual es imposible. Debido a estas dificultades los desacopladores “ideales” son raramente utilizados. Una aproximación se aplica a problemas en los cuales la planta tiene retardos. En la simplificación se asumen retardos nulos en el desacoplador. Otra aproximación es ignorar las dinámicas de orden superior. Adicionalmente se pueden utilizar redes de dsacoplamiento parcial donde uno sola de las interacciones es cancelada. Posiblemente la simplificación más drástica es la construcción de desacopladores con ganancia fija, calculada bien sea sobre la ganancia estática o sobre la ganancia a la frecuencia de corte. Ejemplo 2-2

En este ejemplo se utilizara el modelo de la columna de destilación presentado en el Ejemplo 2-1. Tomando únicamente las entradas hasta la salidas la función de transferencia es:

Tuu ],[ 23Tyy ],[ 21

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++= −−

−−

16072.5

14090.6

16077.1

15088.5

)( 1415

2827

se

se

se

se

sG ss

ss

el sistema tiene un modelo de perturbación:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

+=

−

−

13226.1

12083.1

14044.1

)(

)()()()()(

15

27

s

sese

sG

sVsGsUsGsY

s

s

d

d

sin desacoplador el siguiente controlador fue diseñado:

36 J. Espinosa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

=

ss

ss

sC

3001600

0300

150

)(

Tomando únicamente la ganancia G(0)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

72.590.677.188.5

)(sG

El desacoplador diseñado con esta estrategia será:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

12063.13010.01

)0(D

La siguiente grafica compara las respuestas de los dos sistemas, observe la apreciable reducción del impacto causado por la interacción entre los lazos del sistema.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 Senhales de Salida para el sistema interactivo

--Y1Y2

Cambio en Setpoint de Y2


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Senhales de Salida para el sistema desacoplado

-- Y1Y2



(a) (b)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Senhales de entrada para el sistema interactivo

-- U3U2



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Senhales de entrada para el sistema desacoplado

-- U3U2



( c ) (d)

Figura 2.5 Comparación del sistema de control para la columna de destilación (a) Salidas sin desacoplador (b) Salidas con desacoplador (c) Entradas sin Desacoplador (d) Entradas con desacoplador

2.6 Comentarios y Conclusiones El diseño de sistemas de control sin interacción, estará precedido siempre de un análisis de ganancia relativa que permite determinar los pares y las interacciones. Este análisis es valioso ya que nos permite mejorar las condiciones de diseño del


desacoplador. La selección de los pares usando el análisis de ganancia relativa permite reducir el trabajo que el desacoplador debe ejecutar. Los pasos de diseño usando las técnicas presentadas en este capítulo se pueden resumir así:

a) Haga un análisis de ganancia relativa que permita encontrar los pares de entrada y salida que reducen las interacciones.

b) Diseñe un sistema de control distribuido, y evalúe el desempeño observando el impacto de las interacciones.

c) Si el desempeño de este sistema no es el adecuado debido a las interacciones con otros lazos diseñe una red de desacople.

2.7 Ejercicios del Capitulo

1- Haga un análisis de ganancia relativa (RGA) para el siguiente sistema:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++=

11

11

23

12

)(

ss

sssG

asuma una frecuencia de corte de 5 rad/s. 2- Para el ejemplo de la columna de destilación presentado en el texto calcule los

controladores PI para los lazos 31 uy − y 22 uy − y analice las respuestas del sistema. (implemente el modelo en Simulink). Haga las simulaciones abriendo y cerrando los respectivos lazos.

3- Haga un análisis de ganancia Relativa para el siguiente modelo linealizado de la caldera de una central termoeléctrica:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=

040.00005672.00001216.0002062.001588.000005509.0

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

040.00002999.007317.00000658.7375.9001348.00280.0

B

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

28.19004133.016.111434.003221.0

000.1000021.14

C

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

000002080.00272.100000000

D

38 J. Espinosa

Las entradas del sistema son: U1 – Entrada de combustible U2- Entrada de aire U3- Entrada de agua U4- Válvula de control de vapor Las salidas Y1- Es la presión en la caldera Y2- %de oxigeno en los gases de salida Y3 Nivel de agua Y4 Flujo de vapor Si es viable defina un sistema de control que mantenga las variables Y1-Y3 constante y permita alcanzar un flujo de vapor determinado. 4- Para el ejemplo de la columna de destilación:

- Diseñe una red de desacople estática evaluada a la frecuencia 1/50 rad/sec

- Diseñe una red de desacople dinámica Compare las respuestas

5- Realice un análisis de ganancia relativa para el siguiente sistema y diseñe un

sistema de control distribuido con y sin acople. Diseñe desacopladores estáticos y dinámicos.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++=

11

11

32

11

)(

ss

sssG

Capítulo 3 Método de Ubicación de Polos

3.1 Introducción Una de las características que hacen atractiva la representación de estado es que la síntesis del controlador se puede llevar a cabo en dos etapas, la primera asume la posibilidad de medir todos los estados y realimentarlos a la entrada (que en la práctica resulta costoso por el número de sensores) y la segunda etapa que involucra el diseño de un estimador u observador de estado que permite estimar el valor presente de los estados a partir de un número reducido de mediciones, haciendo viable la implementación de la ley de control basada en los estados.

3.2 Realimentación de Estado Para la realimentación de estado asuma que la entrada u=-Kx+v, entonces las ecuaciones del nuevo sistema en lazo cerrado serán:

x A BK x Bvy C DK x Dv

. ( )( )

= −.

+= − +

(3.1)

B

D

1/s C

A

K

v

-

Figura 3.1 Realimentación de Estado

Las ecuaciones para el caso discreto tienen la misma presentación.

40 J. Espinosa

El sistema será gobernado por la matriz (A-BK) y los valores propios de esta matriz serán los polos del sistema en lazo cerrado.

3.3 Ubicación de los polos La pregunta que surge ahora es: ¿Dado un polinomio cualquiera de grado n,

α αcn n

ns s s( ) ...= + + +−1

1 α

con coeficientes reales y dadas las matrices (A,B) es posible encontrar al menos una matriz tal que K m n∈ℜ × det( ( )) ( )sI A BK sc− − = α ? La respuesta es siempre que el par (A,B) sea controlable es posible encontrar una matriz K tal que det( ( )) ( )sI A BK sc− − = α (ver prueba [7]). Recuerde que la ubicación de las raíces de A depende de las especificaciones de control tales como tiempo de subida, máximo sobrepico, ancho de banda, margen de fase, tiempo de establecimiento etc. Otros valores típicos pueden ser tomados de los polinomios óptimos para el criterio ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute Error, ver [8]) dan una respuesta rápida pero con sobreimpulso y los polinomios de Bessel que dan una respuesta más lenta pero sin sobreimpulso. Sabiendo que la controlabilidad del sistema garantiza la posibilidad de ubicar los polos en un lugar deseado se hace necesario encontrar un método para calcular K. El primer método y el más intuitivo es el llamado método directo.

3.3.1Ubicación de los Polos-Método Directo Los elementos de la matriz K pueden ser calculados de modo algebraico resolviendo:

det( ( )) ( )( )...( )sI A BK s s s s s sn− − = − − −1 2 donde s1, s2,..,sn son las raíces del polinomio αc(s) y son los polos deseados en lazo cerrado. Los valores de la matriz K pueden ser calculados igualando términos a ambos lados de la ecuación. Sin embargo, este método se vuelve tedioso para sistemas de orden superior a 3.

3.3.2Ubicación de los Polos-Sistemas de una entrada. Método de Ackermann Si tomamos las matrices del sistema Ac, Bc en la forma canónica controlable entonces:

Métodos de Asignación de Polos 41

A B K

a K a K a K

c c

n n

− =

− − − − − −⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 2 2

1 0 00

0 0 1

... ...

... ...... ... ... .

..... ... ... ... .

..

... 0

n

det( ( )) ( ) ( ) ... ( )sI A B K s a K s a K s a Kc c

n n nn n− − = + + + + + + +− −

1 11

2 21

Ya que el polinomio característico deseado tiene la forma:

α α αcn n

n ns s s s s s s s s( ) ... ( )( ) ... ( )= + + + = − − −−1

11 2

los elementos de K serán:

K a K a K an n1 1 1 2 2 2= − = − = −α α α, ,..., El procedimiento de cálculo de K se puede resumir así: • Transforme las matrices (A, B) a su forma canónica controlable (Ac, Bc). • Halle la ley de control Kc utilizando el anterior procedimiento. • Transforme Kc en K K Tc= −1.En forma compacta el procedimiento de diseño es:

[ ]K Ac= −0 0 1 1. . . ( ),C α (3.2) donde es la matriz de controlabilidad y

α α αcn n n

nA A A A( ) ...= + + + +− −1

12

2 α I

))

La formula de Ackermann solo es aplicable a sistemas de una entrada y no es aconsejable en sistemas de gran dimensión, debido a que el cálculo del polinomio αc(A), puede generar errores numéricos, cuando los parámetros de A difieren en magnitud de forma significativa[10]. Para el caso de múltiple entrada la solución de K no es única.

3.3.3Ubicación de los Polos-Sistemas de múltiple entrada. Método de Ackermann En sistemas de más de una entrada se pueden aprovechar las siguientes características para aplicar la fórmula de Ackermann. Si (A, B) es controlable, entonces para casi cualquier y casi cualquier

, es controlable entonces aplicamos la fórmula de Ackermann para el nuevo sistema de una entrada (

Krm n∈ℜ ×

v m∈ℜ ( ,A BK Bvr−,A BK Bvr− y obtenemos que nos

ubica los polos en el lugar deseado. Ks

n∈ℜ ×1

42 J. Espinosa

Los polos de ( )A BK− estarán en el lugar deseado para una realimentación de estado aplicada al sistema (A, B), de la forma:

u Kx K vKr s x= − = − +( ) El procedimiento de cálculo de K se puede reducir a los siguientes pasos: • Escoja arbitrariamente Kr y v de forma que ( ,A BK Bvr )− sea controlable. • Use la fórmula de Ackermann para encontrar Ks para ( ,A BK Bvr )− . • Encuentre la ganancia de realimentación de estado como K K vKr s= + .

3.3.4Ubicación de los Polos en sistemas de múltiple entrada-salida - Ecuación de Sylvester Dada una matriz Λ

Λ =

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

α ββ α

λ

1 1

1 1

1

...

...

,

con valores propios: α β λ1 1 1± j ,..., ,... que son los polos deseados para el sistema en lazo cerrado. Recuérdese que para un par controlable (A, B), existe una transformación de similaridad X tal que:

X A BK X AX X BKX− − = ⇒ − =1( ) Λ Λ . Esta ecuación se puede plantear como:

AX X BGKX G

− ==

Λ ,.

(Ecuación de Sylvester en X) (3.3)

La ecuación de Sylvester es una ecuación matricial lineal en X. Se puede resolver si el valor de G es conocido. Y se obtiene la ley de control:

K GX= −1 . El procedimiento de cálculo de K se puede resumir en tres pasos: • Escoja un valor arbitrario de G. • Resuelva la ecuación de Sylvester en X. • Calcule la ganancia de realimentación . K GX= −1

• El método puede fallar, encontrándose una matriz X no invertible en ese caso se debe realizar todo el procedimiento partiendo de una matriz G diferente.


Es importante tener en cuenta ciertos detalles, por ejemplo, siempre será posible encontrar una solución para X, si A y Λ no tienen valores propios comunes. Para sistema de simple entrada la matriz K es única e independiente de G.

3.4 Ejemplos

3.4.1 Carros Acoplados con Unión Flexible. [12] Este sistema está compuesto por dos carros con masas M1 y M2 como se muestra en la Figura 3.2. Los carros están unidos a través de un resorte con constante K . El carro de la izquierda tiene un motor eléctrico que permite aplicar una fuerza F al sistema. El objetivo del sistema de control es reducir la oscilación del segundo carro cuando el primero cambia de posición, se espera un tiempo de establecimiento de 1 segundo y un sobrepico menor al 10%. Como instrumentación hay instalados en cada carro un potenciómetro que permite medir el desplazamiento.

M1 M2 F K

x1 x2

Figura 3.2 Carros acoplados con union flexible.

El modelo del sistema será:

11

2

22

1

2122

2111

)(.)(

xrRKK

VrRKK

F

xxKxMxxKFxM

a

gm

a

gm &

&&

&&

−=

−=−−=

Donde: M1 Masa del carro uno = 0.98 Kg M2 Masa del carro dos = 0.58 Kg K Constante del resorte = 45.9 N/m x1, x2 Posición de los carros 1 y 2 respectivamente F Fuerza aplicada al carro uno (N) V Voltaje aplicado al motor que acciona el carro uno

44 J. Espinosa

Km, Kg, Ra, r1 Constantes debidas al motor y la transmisión. Las ecuaciones del sistema serán:

1 1

1 1

2 2

2 2

1

1 1

2 2

2

0 1 0 0 046.84 7.4 46.84 0 1.73

0 0 0 1 079.13 0 79.13 0 0

1 0 0 0 00 0 1 0 0

x xx x

Vx xx x

xy x

Vy x

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Primero se hace un análisis de controlabilidad y observabilidad

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

101389.1360089.136000

2538.49870.138.1273.17.138.1273.10

C

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

13.79013.79084.4662.34692.76.346

013.79013.79084.464.78.461000001001000001

O

El rango de ambas matrices es cuatro lo que indica que el sistema es totalmente controlable y observable.


Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0

0.1

0.2

0.3

0.4From: U(1)

To: Y

(1)

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

To: Y

(2)

Figura 3.3 Respuesta Impulso del sistema en lazo abierto

Con las especificaciones dadas los polos deseados serán:

− ± − −4 5 12 12.46 , ,i entonces el polinomio característico tendrá la forma:

α c s s s s s( ) . . .= + + + +4 3 232 381 78 2250 8 6592 9

Para aplicar la fórmula de Ackermann se evalúa A en el polinomio característico,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

136481133899.58391133897.28013648194720245

3457927003380927001152345748.323140

)(Acα

en este cálculo se puede observar la desventaja del método de Ackermann, que nos muestra valores con ordenes de magnitud claramente diferentes, lo cual puede generar problemas por errores de cálculo. Calculando la ley de control de acuerdo con la fórmula [ ]K Ac= −0 0 1 1. . . ( ),C α se obtiene:

[ ]05.27.9922.1488.147 −−=K La respuesta paso del sistema compensado será:

46 J. Espinosa

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025From: U(1)

To: Y

(1)

0 1 2 3 4 5 60

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

To: Y

(2)

Figura 3.4 Respuesta paso del sistema realimentado

3.4.2 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética (Tomado de [3]) En la Figura 3.5se muestra un esquema del sistema. El sistema está compuesto por dos transportadores de cinta, cada una acoplada a un motor eléctrico que puede ser comandado por medio de señales de voltaje. La cinta ha sido modelada como un resorte lineal con amortiguación viscosa, el modelamiento ha sido realizado tomando como tensión nominal 6 N.

Figura 3.5 Sistema Lector de Cinta


Las ecuaciones de movimiento del sistema son:

J ddt

Tr Ki

p r

L didt

Ri K e

J ddt

Tr Ki

p r

L didt

Ri K e

T K p p D p p

p p p

e

e

ϖ βϖ

ϖ

ϖ

ϖ βϖ

ϖ

ϖ

11 1

1 1

11 1 1

22 2

2 2

22 2 2

2 1 2 1

31 2

2 2

2

= − +

=

= − − +

= − +

=

= − − +

= − + −

=+

,. ,

,

,. ,

,

( ) ( . . ),

.

Descripción de la variables: D Amortiguación de la cinta. = 20 N/ms, e1,2 Voltaje aplicado a los motores,(V) I1,2 Corriente en los motores, J Inercia del motor y la rueda, = 4 1 kg.m0 5× − 2, K Constante del resorte de la cinta, N/m, 4 104×Ke Constante eléctrica de los motores = 0.03 V.s, Kt Constante de torque de los motores = 0.03 V.s, L Inductancia de la armadura= 10-3H, R Resistencia de armadura=1Ω, r radio de las ruedas de los transportadores,0.02m, T Tensión de la cinta en el punto de la cabeza de lectura y escritura (N), p1,2,3 Posición de la cinta en los transportadores y la cabeza, θ1,2 Desplazamiento angular de los transportadores, ω1,2 Velocidad angular de los transportadores. Tomando un factor de escala de 103 para el tiempo y 10-5 para la posición, las ecuaciones de estado obtenidas son:

48 J. Espinosa

p

p

ii

p

p

ii

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

0 2 0 0 0 00 1 0 35 0 1 0 1 0 75 00 0 0 2 0 0

0 1 0 1 0 1 0 35 0 0 750 0 03 0 0 1 00 0 0 0 03 0 1

0 00 00 00 01 00 1

......

. . . . .

. . . . ..

.

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

− −

− −− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

− −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ee

pT

p

p

ii

ee

1

2

3

1

1

2

2

1

2

1

2

0 5 0 0 5 0 0 00 2 0 2 0 2 0 2 0 0

0 00 0

,

. .. . . .

.

ϖ

ϖ

Primero se hace un análisis de controlabilidad y observabilidad.

C =

− −− − −

− −− − −

− − − −

0 0 0 0 15 0 2 02 015 189 0 04 164 0 260 0 0 75 0 101 0 07 0 94 0 02 0 82 013 0 78 0150 0 0 0 0 15 015 2 02 0 04 189 0 26 1640 0 0 0 75 0 07 101 0 02 0 94 013 0 82 015 0 781 0 1 0 0 98 0 0 95 0 002 0 92 0 002 0

. . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . .. . . . . . . . .

. . . . . .. . . . . . .

9 0 0030 1 0 1 0 0 98 0 002 0 95 0 002 0 92 0 0024 0 89− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

−

..

.−

−4

.

.

.

.−

O

.

=

− −

− − −− −

− − −− −

− −

− −

0 5 0 0 5 0 0 00 2 0 2 0 2 0 2 0 00 1 0 1 0 0

0 04 0 31 0 04 0 31 015 0150 0 25 0 0 25 0 75 0 75

0 062 0 22 0 062 0 224 0 082 0 0820 0 04 0 0 04 0 94 0 9

0 045 0 026 0 049 0 026 0 25 0 250 0 018 0 0 018 0 97 0 97

0 005 0

.. . . .

. . . . . .. . .

. . . . . .. . .

. . . . . .. . .

. .11 0 005 011 0 23 0 230 0 034 0 0 034 0 95 0 95

0 022 0 0456 0 0217 0 0456 015 015

. . . .. . .

. . . . . .

−− − −− − − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

El rango de ambas matrices es seis lo que indica que el sistema es totalmente controlable y observable.


Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0

50

100

150From: U(1)

To: Y

(1)

From: U(2)

0 15 30 45-1

-0.5

0

0.5

1

To: Y

(2)

0 15 30 45

Figura 3.6 Respuesta paso en lazo abierto

Los polos deseados son:

− ± − ± − −0 0 937 0 947 0 581 116 116.451 . , . . , . , .i i Tomando una matriz G al azar:

G =− − −

− − −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0 8 0 22 2 17 1 01 0 51 0 59

0 53 0 92 0 06 0 61 1 69 0 64. . . . . .

. . . . . .

Resolviendo (Ecuación de Sylvester en X) (3.3) para X con:

Λ c =

−− −

−− −

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 0 937 0 0 0 00 937 0 0 0 0 0

0 0 0 947 0 581 0 00 0 0 581 0 947 0 00 0 0 0 116 00 0 0 0 0 1

.451 .

. .451. .. .

..16

se obtiene:

50 J. Espinosa

X =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1.06 1.48 6.45 0.24 4.47 3.97-0.93 0.16 -3.12 1.76 -2.59 -2.3-2.00 -0.97 -0.52 -0.76 12.45 -4.350.91 -0.72 0.46 0.21 -7.22 2.520.20 -0.77 1.99 -3.72 2.70 3.260.49 0.88 -1.05 -0.18 9.21 -3.53

Calculando la ley de control de acuerdo con la fórmula se obtiene: K GX= −1,

K =⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0.51 2.64 -0.08 0.42 1.57 0.530.38 0.84 0.73 2.11 0.19 0.85

La respuesta paso del sistema compensado será:

Figura 3.7 Respuesta paso del sistema en lazo cerrado

3.5 Diseño de Servo sistemas e implementación de referencias. En los ejemplos anteriores se observo que el regulador de estado estabiliza el sistema hacia el origen. La introducción de referencias distintas al origen causará un error de estado estacionario, lo cual en muchos casos se considera inaceptable, la solución a dicho problema pasa por la introducción de integradores que permitan reducir el error de estado estacionario a cero.


El diseño de dicho sistema involucra la creación de una señal de error por cada variable de referencia que se introduzca al sistema. De hecho el orden del sistema en lazo cerrado se vera aumentado en un orden igual al número de señales de referencia que se introduzcan. El proceso de diseño del controlador será idéntico al presentado en las secciones anteriores ya que las ganancias de los integradores estarán determinadas por la realimentación de estado. En la siguiente figura se muestra la descripción del sistema con las señales de referencia incluidas. Es importante mencionar que en caso de que las especificaciones de control demanden el seguimiento de señales de tipo rampa con cero error de estado estacionario, se deberán incluir mas integradores. Por ahora nuestro estudio se limitará al seguimiento de referencias de tipo paso.

B

D

1/s C

A

K

v

-

1/s Ki e

yref

y

Figura 3.8 Sistema con Realimentación de Estado y Señal de Referencia incluyendo integradores

para cero error de estado estacionario.

El sistema estará descrito en lazo abierto por las siguientes ecuaciones:

ref

x Ax Buy Cx Due y y

= += += −

(3.4)

donde , prefy e∈ℜ y p es el número de salidas del sistema

Expandiendo la anterior expresión obtenemos en lazo abierto: 0 00 ref

x A x Bu y

e C e D Iy Cx Du

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= +

(3.5)

Si calculamos una realimentación de estado, esta tendrá la siguiente forma

[ ]iT KKK = (3.6)

52 J. Espinosa

donde . pmi

nmpnmT KKK ××+× ℜ∈ℜ∈ℜ∈ ,,)(

Introduciendo la realimentación:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ex

KKu i (3.7)

la descripción del sistema en lazo cerrado será:

[ ] [ ]

0

0

iref

i

i ref

A BK BKx xy

C DK DKe e

xy C DK DK y

e

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

I

(3.8)

Si analizamos la situación de estado estacionario y asumiendo que la realimentación estabiliza el sistema obtendremos:

[ ] [ ] )(0)()(

)(

)(0

)()(

00

∞+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∞∞

−−=∞

∞⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∞∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

refi

refi

i

yex

DKDKCy

yIe

xDKDKCBKBKA

(3.9)

de la segunda fila de la matriz, se desprende:

[ ]

ss

ref

refi

eyy

yex

DKDKC

=

∞+∞−=

∞+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∞∞

+−=

0

)()(0

)()()(

0

(3.10)

Lo cual indica cero error de estado estacionario.

3.4.3 Ejemplos

3.4.3.1 Carros Acoplados con Unión Flexible. Para el sistema descrito en la sección 3.4.1 introduciremos nuestra señal de referencia de manera que la posición del segundo carro se posicione en un valor de referencia dado. Seleccionamos como polos los siguientes valores, de forma que se garanticen nuestros objetivos de un error de estado estacionario cero, tiempo de establecimiento de alrededor de 1 segundo y un sobrepico máximo del 10 %.

15,12,12,46.54 −−−±− i

Calculando la ley de control de acuerdo con la fórmula se obtiene: [ ] ),(C10...0 1 AK cα−=

[ ]8396.72211.3145.13089.2234.425 −−=TK


observe que el ultimo termino corresponde a la ganancia del termino integral. La respuesta del nuevo sistema compensado alcanza un error cero de estado estacionario a una referencia paso, el sobrepico máximo no supera el 6%.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta paso de la posicion del carro 2

Tiempo (seg.)

Am

plitu

d

Sobrepico 6 % Tss=1.12 sec

Figura 3.9 Respuesta paso al posicionamiento del carro 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta paso de las posiciones de los carros

Tiempo (seg.)

Pos

Car

ro

Pos.Carro 1 -- Pos. Carro 2

Figura 3.10 Respuesta paso de los 2 carros

54 J. Espinosa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

0

2

4

6

8

10

12

14Senhal de Control

Tiempo (seg.)

Vol

tios

Figura 3.11 Señal de Control enviada por el controlador

3.4.3.2 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética Para el sistema descrito en la sección 3.4.2 introduciremos nuestras señales de referencia de manera que la tensión y la posición de la cabeza lectora puedan ser seleccionadas sin error de estado estacionario. Para ello introducimos dos integradores lo cual incrementará el orden de nuestro sistema será ahora 8 en lugar del orden 6 original. Seleccionando una matriz G arbitraria de la forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

−−−−=

4.12.364.069.161.006.092.053.053.063.059.051.001.117.222.08.0

G

la matriz KT obtenida resolviendo la ecuación de Silvestre tendrá los siguientes valores:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

93.534.384.319.049.961.459.1996.146.829.153.057.454.226.193.1236.5

TK


Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

From: U(2)

0 4 8 120

0.5

1

1.5

To: Y

(2)

0 4 8 12

Figura 3.12 Respuesta paso del sistema de cinta en la figura superior el posicionamiento de la

cabeza, figura inferior cambio en la tensión.

0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Senhales de Entrada- Paso en Posicion

Tiempo (seg.)

Am

plitu

d

Motor 1 -- Motor 2

0 2 4 6 8 10 12-2

-1

0

1

2Senhales de Entrada- Paso en Tension

Tiempo (seg.)

Am

plitu

d

Motor 1 -- Motor 2

Figura 3.13 Señales de control de los motores en las dos respuestas paso

56 J. Espinosa

3.6 Observadores o Estimadores de Estado La implementación de las leyes de control por realimentación de estado requieren información de los estados del sistema. En la práctica, obtener señales de todos los estados es una tarea que puede resultar en costos elevados debido a la necesidad de usar sensores para medir cada uno de los estados del sistema o en el peor de los casos la variable no puede ser medida. Para resolver este problema se ha planteado como solución la construcción de observadores de estado. Un observador de estado tiene como misión reconstruir todas las variables de estado x a partir de la medición de las señales disponibles a la salida del sistema, de forma que los estados reconstruidos x pueden ser usados para implementar la ley de control. Es importante recordar que la construcción de un observador de estado solo es posible sí y solo sí el sistema es observable.

3.6.1 Estimadores de Estado Completos

3.6.1.1 Estimadores en lazo abierto Es la forma más simple de construir un observador, el sistema estima el estado a partir de la entrada u:

x

BuxAx += ˆ&

x es el valor estimado de x. El error de estimación se define como:

xxx ˆ~ −=

Entonces el error estará gobernado por la dinámica:

)0(ˆ)0()0(~,~.~ xxxxAx −== Si A es estable, entonces el error de estimación tiende a cero con la misma dinámica del sistema, en caso contrario no convergerá. No existe una forma de influenciar la dinámica del estimador de forma que la estimación sea más rápida, es por estas dos razones que este tipo de estimación no es útil en la práctica.


C

x

x=Ax+Bu .

x=Ax+Bu . x ^

u(t) y(t)

Observador

Proceso

Figura 3.14 Estimador en lazo abierto

3.6.2 Estimadores Realimentados Una forma de influenciar la dinámica del estimador es introducir en este una señal que sea indicadora del error de estimación, esta señal es la diferencia entre la salida real y la estimada ( ). xCy ˆ− El nuevo modelo del estimador tiene la forma:

( )xCyLBuxAx ˆˆˆ −++=& (3.11)

donde es la matriz que determina la realimentación del error de salida ( ).

L n p∈ℜ ×

xCy ˆ−Se define el error de estimación como:

xxx ˆ~ −=


)0(ˆ)0()0(~,~)(.~ xxxxLCAx −=−=

Ya que la matriz A-LC gobierna la dinámica del error escogiendo un valor apropiado de L se puede lograr que el sistema sea estable y que tenga una convergencia más rápida que la dinámica del proceso.

58 J. Espinosa

C x x=Ax+Bu .

x=Ax+Bu . ^

x

^

u(t)

y(t)

Observador

Proceso

C

+

-

Figura 3.15 Observador de lazo cerrado

3.6.3 Diseño de Estimadores - Ubicación de los polos Con la nueva formulación se pudo observar que el problema de hallar la matriz L para el estimador puede ser enfocado como un problema de ubicación de los polos, ya que lo que nos interesa es seleccionar la dinámica del sistema (A-LC). El problema es calcular L de forma tal que:

det( ( )) ( )( )...( )sI A LC s s s s s sn− − = − − −1 2 donde s1, s2,..,sn son las raíces del polinomio αe(s) que es la ecuación característica del observador. Este problema es equivalente a hallar K LT= en:

det( ( )) ( )( )...( )sI A C K s s s s s sT Tn− − = − − −1 2

Claramente se puede ver que el problema es equivalente al problema de ubicación de polos para el caso de control. Obsérvese que la matriz de controlabilidad de ( )A CT T, , es la transpuesta de la matriz de observabilidad del sistema [A, B, C, D]. Métodos similares a los utilizados en el problema de control de ubicación de los polos serán aplicados al problema de diseño del observador

3.6.3.1 Método Directo La matriz L puede ser calculada resolviendo:

det( ( )) ( )( )...( )sI A LC s s s s s sn− − = − − −1 2


donde s1, s2,..,sn son las raíces del polinomio característico αe(s) del observador deseado. Los valores de la matriz L pueden ser calculados igualando términos a ambos lados de la ecuación. Este método se vuelve tedioso para sistemas de orden superior a 3.

3.6.3.2 Método de Ackermann para sistemas de una salida Si tomamos las matrices del sistema Ao, Co en la forma canónica observable entonces:

A C L

a L a L a L

oT

oT

oT

n n

− =

− − − − − −⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 2 2

1 0 00

0 0 1 0

... ...

... ...... ... ... .

..... ... ... ... .

..

...

det( ( )) ( ) ( ) ... ( )sI A C L s a L s a L s a LoT

oT

oT n n n

n n− − = + + + + + + +− −1 1

12 2

1

Dado que el polinomio característico deseado tiene la forma:

α α αen n

n ns s s s s s s s s( ) ... ( )( ) ... ( )= + + + = − − −−1

11 2

los elementos de Lo serán:

L a L a L an n1 1 1 2 2 2= − n= − = −α α α, , ..., . El procedimiento de cálculo de L se puede resumir así: • Transforme las matrices (A, C) a su forma canónica observable (Ao, Co). • Halle la ley de control Lo utilizando el anterior procedimiento. • Transforme Lo en L T Lo o= −1 .En forma compacta el procedimiento de diseño es:

L Ae=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−α ( ) ...

,O 1

00

1

(3.12)

donde es la matriz de observabilidad y

α α αen n n

nA A A A( ) ...= + + + +− −1

12

2 α I

60 J. Espinosa

La formula de Ackermann para observadores solo es aplicable a sistemas de una salida y no es aconsejable en sistemas de gran dimensión, ya que el cálculo del polinomio αe(A), puede generar errores numéricos [10]. Para el caso de múltiples salidas la solución de L no es única.

3.6.3.3 Método de la Ecuación de Sylvester Dada una matriz Λ :

Λ =

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

α ββ α

λ

1 1

1 1

1

...

...

,

con valores propios: α β λ1 1 1± j ,..., ,... que son los polos deseados en el estimador. Visto que el tratamiento para las ecuaciones del estimador es análogo al del diseño del controlador podemos decir que existe una transformación de similaridad X tal que:

X A C L X A X X C L XT T T T T T− − = ⇒ − =1( ) Λ Λ . Esta ecuación se puede plantear como:

A X X C GL X G

T T

T

− =

=

Λ ,.

(Ecuación de Sylvester en X) (3.13)

Escogiendo un valor de G arbitrario, se obtiene la matriz de realimentación para el estimador como:

( )L GXT

= −1 . El procedimiento de cálculo de L se puede resumir en tres pasos: • Escoja un valor arbitrario de G. • Resuelva la ecuación de Sylvester en X. • Calcule la ganancia de realimentación ( )L GX

T= −1 .

• El método puede fallar, encontrándose una matriz X no invertible en ese caso se debe realizar todo el procedimiento partiendo de una matriz G diferente.

Recuerde, que siempre será posible encontrar una solución para X si A y Λ no tienen valores propios comunes.


3.6.4 Estimadores de Orden Reducido Los estimadores de orden reducido son estimadores cuyos estados se ven reducidos por el número de estados medidos. En otras palabras, son observadores que estiman solamente los estados no medidos. Para aplicar este método el sistema es convertido a la forma:

[ ]

xx

A AA A

xx

BB

u

y Ixx

a

b

aa ab

ba bb

a

b

a

b

a

b

.

.⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

(3.14)

usando una transformación de coordenadas [ ]T C Cn= † donde C† es la seudoinversa de C y Cn es una base del espacio de nulidad de C. Observe que xa son los estados medibles y xb son los estados que necesitan ser estimados,

y xa= Si descomponemos las dinámicas de las variables medidas y las no medidas se obtiene:

x y A y A x Bx A x A x B u

a aa ab b

b bb b ba a b

. .

.ua= = + +

= + +

Son valores conocidos en la dinámica de xa

aa a ab by A y B u A x− − = y en la dinámica de xb

A x B uba a b+ Entonces podemos construir un estimador para los estados xb

( )ˆ ˆb bb b ba b aa a ab bˆx A x A y B u L y A y B u A x= + + + − − − el error de estimación en este caso está dado por:

babaaababbab xAuByAyxAxA ˆ.ˆ −−−=− &

62 J. Espinosa

Note que este estimador es poco inmune al ruido de medición ya que involucra el cálculo de la derivada de y. Para eliminar la derivada de y, definimos Lyxx bc −= ˆy el estimador toma la forma:

( ) ( ) ( )ˆˆ

c bb ab b ba aa b a

b c

x A LA x A LA y B LBx x Ly

= − + − + −

= +

u

( 3.15)

Figura 3.16 Estimador de Orden Reducido

Si definimos error de estimación se define como:

bbb xxx ˆ~ −=


( )~. ~x A LAb bb ab= − xb

)

El método de diseño para los estimadores de orden reducido se puede resumir asi: • Encuentre una transformación T que convierta el sistema a la forma (3.14). • Calcule la matriz L utilizando la fórmula Ackermann si el sistema es SISO o

ecuación de Sylvester si es MIMO, substituyendo el par ( , por . )A C ( ,A Abb ab

• Aplique la transformación T−1 para obtener los estados en las coordenadas originales.

3.6.5 Selección de los Polos para el Estimador Para hacer la selección de los polos del estimador tenemos que decir que lo ideal es que la dinámica del estimador convergiera instantáneamente, para ello deberíamos


poner los polos lo mas cerca posible al infinito, pero esta situación convierte el estimador en un derivador haciendo el sistema sensible al ruido[5]. En forma analítica considere el sistema con ruido en el proceso w y ruido en el sensor v:

vCxywBuBAxx wu

+=++= ,.

La dinámica del error de estimación será:

( ) LvwBxLCAx w −+−= ~.~

en este caso el valor de L está relacionado con la dinámica. Si L es grande la dinámica será más rápida, pero el ruido debido al sensor también aumentará.

3.7 Ejemplos

3.7.6 Carros Acoplados con Unión Flexible. [12] Para el diseño de observadores se asumirá que únicamente el segundo carro tiene potenciómetro para medir la posición. Entonces la matriz C del sistema se reduce a:

[ ]C = 0 0 1 0 La matriz de observabilidad será,

O=−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0 0 1 00 0 0 1

76 0 76 00 76 0 76

El rango de la matriz es cuatro lo que indica que el sistema es totalmente observable. Se eligen los polos de observador 5 veces los deseados para el sistema en lazo cerrado:

− ± − −20 27 29 60 60. , ,i entonces el polinomio característico tendrá la forma:

α e s s s s s( ) . .= + + + + ×4 3 2160 9544 6 281400 4 120 106 .

Para aplicar la fórmula de Ackermann se evalúa A en el polinomio característico,

64 J. Espinosa

α e A( )

. . .. . . .

. .404 .. . . .404

=

× × ×− × × × ×

× ×× × − × ×

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

3 747 10 2 125 10 3 732 10 68679 043 10 2 174 10 9 043 10 3 732 107162 10 11598 3 10 2 692 101 994 10 6 304 10 1 994 10 3 10

6 6 5

6 6 6

5 6

7 6 7

×

5

5

6

en este cálculo se puede observar nuevamente la desventaja del método de Ackermann, que nos muestra valores con ordenes de magnitud claramente diferentes, lo cual puede generar problemas por errores de cálculo. Calculando la ganancia del estimador de acuerdo con la fórmula

se obtiene: L Ae=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−α ( ) ...

,O 1

00

1

L =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

2796 628612152 68294

.

..4

La respuesta del estimador vs. sistema con condiciones iniciales

será: x( )0

111

1

=

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

y x(0)^ =

0000

Figura 3.17 Convergencia del estimador al estado x4 salida del sistema (-), estimador (._)


A continuación se puede observar el efecto del ruido en el estimador calculado anteriormente y un estimador con los polos del orden de 10 veces los polos deseado en lazo cerrado,

Figura 3.18 Inmunidad al ruido. Estado original (--), estado estimado con polos 5 veces los polos

de lazo cerrado (.), estado estimado con 10 veces los polos de lazo cerrado (-).

3.7.7 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética Se eligen los polos de observador 5 veces más rapidos que los deseados para el sistema en lazo cerrado:

− ± − ± − −2 25 4 68 4 73 2 90 5 8 5 8. . , . . , . ,i i . Escogiendo una matriz G arbitraria,

G =− − − −− − − − −

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0 065 0 221 1303 1 984 0 802 0 9391 017 0 228 1 731 1162 0 943 0 241. . . . . .. . . . . .

y construyendo una matriz Λe con los polos deseados para el estimador,

Λe =

−− −

−− −

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2 25 4 68 0 0 0 04 68 2 25 0 0 0 00 0 4 73 2 9 0 00 0 2 9 4 73 0 00 0 0 0 5 8 00 0 0 0 0 5

. .

. .. .. .

..8

66 J. Espinosa

resolviendo la ecuación de Sylvester para X y se calcula la ganancia del estimador como ( )L GX

T= −1

L =

− −

−− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

10 5 120 3251 01 6435 89 111 224 74 116 213 08 457 52

124 71 287 72

. .. .. .. .

. .

. .

4

La respuesta del estimador vs. sistema con condiciones iniciales

será: x( )0

11

11

11

0000

=

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

y x(0)^ =

00

A continuación se puede observar el efecto del ruido en el estimador cálculado anteriormente y un estimador con los polos del orden de 10 veces los polos deseado en lazo cerrado,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 3.19 Inmunidad al ruido. Estado original (-), estado estimado con polos 5 veces los polos

de lazo cerrado (.-), estado estimado (--).


En la siguiente figura se puede comparar la respuesta del sistema a la función paso con realimentación de los estados generados por el estimador. Ahora se diseñará un observador de orden reducido, para diseñar el observador es necesario calcular la matriz de transformación T de la siguiente forma:

[ ]T C Cn= † donde C es la seudoinversa de C y C†

n es una base del espacio de nulidad de C.

T =

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 25 0 5 0 0 00 1 25 0 5 0 707 0 01 1 25 0 5 0 0 00 1 25 0 5 0 707 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

. .

. . .. .. . .

Las matrices transformadas serán:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== −

10021.0015.0037.0001021.0015.0037.0053.053.025.0000

375.0375.0013.131.3015.015.0035.067.0000414.1000

1

bbba

abaat AA

AAATTA

[ ] [ ]

B T BBB

C CT CC CC I

ta

b

t n

= =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

= = =

−1

0 00 00 00 01 00 1

0†

Los polos del estimador de orden reducido serán los primeros cuatro del estimador de orden completo.

− ± − ±2 25 4 68 4 73 2 90. . , . .i i Con estos datos se puede calcular la ganancia del estimador, resolviendo la ecuación de Sylvester,

68 J. Espinosa

L =

− −−

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

11 24 53154 90 3 644131 93 38

25 53 5512

. .. .. .. .

En la figura se puede observar la comparación entre la estimación de orden completo, la estimación de orden reducido y el estado real del sistema

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 3.20 Estado x3 real (--) estimador de orden completo (.-) y estimador de orden reducido (.).


1- Diseñe un sistema de realimentación de estado (usando del método de Ackerman) que permita estabilizar el sistema correspondiente al péndulo invertido mostrado en la figura


M

F

m

mg l θ x

los parámetros del modelo son M= 10 kg m=M/10 kg l=1 m Las ecuaciones del sistema asumiendo un ángulo θ pequeño son:

( )M m x ml F

mx ml mg

θ

θ θ

+ + =

+ =

Haga la descripción de estado del sistema asumiendo como estados asuma como salidas medibles la posición y el ángulo. Ubique los polos del sistema de forma que el tiempo de establecimiento del sistema sea tenga un tiempo de establecimiento de 2 seg y un amortiguamiento de

],,,[ θθ &&xx

5.0=ζ .

Recuerde n

sTζω

1= para un sistema de segundo orden con

polos 21 ζωζω −±− nn j Simule el sistema en simulink y simule es sistema para las siguientes condiciones iniciales:

]0,1.0,0,0[]0,0,0,1.0[

2- Diseñe un sistema de realimentación de estado que estabilice el modelo de la

caldera mostrado en los ejercicios del capitulo anterior y obtenga un tiempo de establecimiento de 250 s y un amortiguamiento razonable, simule la respuesta del sistema usando distintas condiciones iniciales de forma que cada vez un solo estado sea distinto de cero

3- Diseñe un sistema de realimentación de estado para la columna de destilación asumiendo que no existen retardos.

4- Para los siguientes sistemas introduzca referencias y verifique que el error de

estado estacionario se reduce a cero: a. Péndulo invertido variable posición del carro. b. Columna de destilación Concentraciones c. Para la caldera – En la Presión, contenido de O2 y demanda de vapor

70 J. Espinosa

5- Construya observadores que estimen los estados de las siguientes plantas. Use

un factor 5 y un factor 10 para la ubicación de los polos. Aplique ruido de medición,

a. Péndulo invertido b. Columna de destilación c. Para la caldera

6- Aplique la realimentación de estado obtenida en los numerales 1,2 y 3 utilizando los estados estimados por el observador diseñado en el punto anterior, en lugar de los estados de la planta. Para la simulación añada ruido a las mediciones y compare las respuestas con el sistema en el que se realimentaron los estados directamente.

Capítulo 4 Regulador Optimo Cuadrático Lineal

4.1 Introducción Como se vio en el capitulo anterior, la ubicación de los polos en un sistema dinámico controlado viene determinada por las especificaciones de control. Típicamente las especificaciones de control vienen dadas por las condiciones del problema. El problema a su vez, responde a unos índices de desempeño relacionados con la cantidad de energía necesaria para controlar el sistema, así como a limitaciones relacionadas con la máxima cantidad de energía aplicable al sistema de forma instantánea. Estos índices son traducidos por el diseñador a especificaciones como tiempo de subida, sobrepico máximo, tiempo de establecimiento, etc. y a partir de ellos se diseña un sistema que aproxima un sistema de segundo orden aplicando la idea de los polos dominantes. Es importante resaltar que en este método el diseñador no tiene una relación directa entre el desempeño deseado y el resultado obtenido, la verificación de la ‘calidad’ del sistema de control se realiza en las especificaciones intermedias y no directamente en la especificaciones originales. El método no presenta mayores dificultades si se emplea en sistemas de una entrada una salida (SISO), pero en sistemas multivariables las interrelaciones entre entradas y salidas dificultan la formulación del problema. Es por ello, que es deseable tener una técnica de diseño que permita formular las especificaciones de control de forma más simple y que permita obtener el mejor controlador que cumple esa tarea. Ese es el fundamento del control óptimo. Para el control óptimo, las especificaciones de control son formuladas en una función de costo. La función de costo (también conocida como figura de mérito, índice de desempeño, etc.), es una función que penaliza el “mal” comportamiento del sistema, es decir cuanto más lejos este el sistema de la situación deseada, mayor será el valor de la función de costo. Entonces, el objetivo del controlador óptimo, será minimizar esta función. En el presente capítulo se estudiará el diseño de sistemas de control por realimentación de estado con funciones de costo cuadráticas. Existen otras funciones de costo, pero tal vez la más popular sea la cuadrática por su fácil derivación y por estar directamente relacionada con el contenido energético de un sistema. En la primera parte del capítulo se estudiará la síntesis de controladores óptimos cuadráticos por realimentación de estado. Luego se estudiará el diseño de estimadores

Regulador Optimo Cuadratico Lineal 72

óptimos o filtros de Kalman y finalmente se estudiará la estructura conocida como regulador optimo cuadrático Gaussiano.

4.2 Regulador Optimo Cuadrático Lineal.(Linear Quadratic Regulator-LQR)

4.2.1 Problema con Horizonte finito. El problema puede ser planteado como la necesidad de calcular la mejor entrada u(t), que permita llevar el sistema de un estado inicial , a un estado final , en un tiempo .

)( otx )( ftx

of tt −El problema es equivalente a minimizar la función:

dttRututQxtxtxPtxJf

o

t

t

TTff

Tf ))()()()(()()( 2

121 ∫ ++=

(4.1)

con las siguientes restricciones:

)()()()()(.

txtKtutButAxx

−=+=

(4.2)

Las matrices Pf, Q y R son matrices positivas definidas, generalmente diagonales o cuando menos simétricas, que determinan la importancia de cada parámetro dentro de la función de costo. La matriz Pf indica la importancia del estado final, la matriz Q la importancia de los estados durante la transición y R la importancia de la entrada. La formulación del problema utilizando una matriz R distinta de cero, tiene particular importancia en la práctica ya que esta matriz nos limitará el valor de la entrada u, aplicada al sistema. El problema con las restricciones dadas puede ser formulado como una optimización sin restricciones utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange,

)(donde,

,0

)()(;

21

21 BuAxRuuQxxH

uH

txPtxH

TTT

fffT

+++=

=

=−=

λ

∂∂

λ∂∂λ&

(4.3)

(4.4)

(4.5) calculando las derivadas indicadas en (4.3) y en (4.4) se obtiene:

λλ

λλTT

T

BRuBRuAQx

10 −−=→+=

−−=&

(4.6) (4.7)

73 J. Espinosa

El problema se puede plantear como un sistema de ecuaciones diferenciales con dos puntos como condición de frontera,

)()()(

)()(dado )(

.

. 1

txtPt

txPttx

xAQ

BBRAx

fff

o

T

T

=

=→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

λ

λ

λλ

(4.8)

o la ecuación diferencial,

QPBPBRPAPAPx

xQPBPBPPAPAP

TT

TT

−+−−=

≠=+−++

−

−

1

1

.entonces 0 que dado

0).

(

(4.9) La ecuación (4.9) se conoce con el nombre de ecuación matricial de Riccati. Esta ecuación se puede resolver utilizando el método del barrido. El método consiste en integrar en sentido inverso (desde tf hasta to) la ecuación de Riccati con valor “inicial” )()( fff txPt =λ , hasta obtener P(to) y ya que x(to) es conocido será posible calcular )()()( ooo txtPt =λ . Con estos valores iniciales se puede integrar la ecuación (4.8)y obtener los valores de )(tλ y calcular la entrada óptima como,

)()()()()(

)()(1

1

txtKtutxtPBR

tBRtuT

T

−=−=

−=−

− λ

(4.10) Como se puede apreciar en (4.10) la entrada óptima está dada por una realimentación de estado variable en el tiempo.

4.2.2 Problema con Horizonte Infinito En el problema con horizonte infinito se asume que el tiempo ∞=ft . Asuma que es solución de la ecuación ),( fttP

QPBPBRPAPAP TT −+−−= −1.

con condiciones de frontera 0),( =ff ttP . Entonces se puede decir que

∞→=

ft f PttP ),(lim existe y además es constante. Entonces la ecuación de Riccati se

convierte en la ecuación algebraica de Riccati, de la forma:

01 =+−+ − QPBBRPPAAP TT (4.11) y la ley de control será una matriz PBRK T1−= invariante en el tiempo. La existencia de una solución P única para la ecuación de Riccati está garantizada si el sistema


(A,B) es estabilizable y (Q, A) es detectable. Además esta solución estabiliza el sistema, ya que los valores propios de la matriz,

PBRA 1−− (4.12) se encuentran en la parte izquierda del plano complejo (ver detalles [2]).

4.2.3 Solución de la ecuación algebraica de Riccati. La ecuación algebraica de Riccati se puede escribir como:

[ ] 01

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−=+−+−

−

PI

AQBBRA

IPQPBBRPPAAPT

TTT

(4.13)

En esta representación tenemos una matriz de nn 22 × asociada a la ecuación de Riccati, esta matriz se conoce con el nombre de matriz de Hamilton,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

=−

T

T

AQBBRA

H1

(4.14)

Algunas propiedades importantes de la matriz de Hamilton: • Los valores propios de H son simétricos con respecto al eje imaginario. • Existen las matrices y XnnXX ×ℜ∈21 , 1 es invertible de forma que la matriz

formada por X1 y X2 son los vectores propios de la matriz H, si (A, B) es estabilizable y (Q, A) detectable.

0)Re(),,...,diag( 1

2

1

2

1

<=Λ

Λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

in

XX

XX

H

λλλ

(4.15)

Entonces la solución de la ecuación de Riccati se obtiene por descomposición de H en sus espacios propios, y la solución es de la forma:

112−= XXP (4.16)

4.2.4 Control Optimo en Sistemas Discretos Considere el sistema descrito por,

kkk

kkk

DuCxyBuAxx

+=+=+ ,1

(4.17)

75 J. Espinosa

El problema de control consiste en hallar las entradas Nkuk ,...,1, = de forma tal que la función de costo

∑=

−−=N

kkk

TkkN ywywJ

0

)()( (4.18)

sea minimizada, donde es una secuencia dada. Es claro, que entre más pequeño sea el valor de J

Nkwk ,...,1, =

N, menor será la diferencia entre yk y wk. La solución puede ser obtenida en términos de las siguientes ecuaciones de entrada y salida:

uxy

u

uu

HHH

HHHHH

H

x

CA

CAC

y

yy

NN

NNN

NN

HO

...

.....................0...0......0......0

......

0

1

1

0

021

012

01

0

01

0

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

(4.19)

donde Hk son los parámetros de Markov, definidos como:

.,...,2,1,, 10 NkBCAHDH k

k === − La función de costo (4.18)se transforma en:

uxuwxwuuxxwwJ NTN

TN

TN

TN

TN

TN

TN

TTN HO2H2O2HHOO 0000 +−−++=

derivando con respecto a u e igualando a cero se obtiene,

0OHHHH xwu NTN

TNN

TN −=

La secuencia u* optima se puede obtener calculando la solución de mínimos cuadrados de la ecuación anterior. Obsérvese que en este caso el valor de la entrada u no se encuentra limitado, esto quiere decir que la entrada u puede tomar valores muy grandes cosa que en la práctica no es posible por la saturación del actuador. Es por ello, que se hace necesario formular el problema de control discreto en términos análogos a la formulación en tiempo continuo.

4.2.5 Regulador Cuadrático Lineal-Caso discreto.

4.2.5.1 Horizonte Finito En este caso tenemos el sistema descrito por:

conocido , 01 xBuAxx kkk +=+ (4.20)


El problema de control consiste en hallar las entradas Nkuk ,...,1, = de forma tal que la función de costo,

[ ]∑−

=

++=1

021

21 N

kk

Tkk

TkN

TNN RuuQxxPxxJ

(4.21)

sea minima. Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para integrar las restricciones del problema, la función de costo se convierte en:

[ ]∑−

=++ ++−+++=

1

011 )(

21

21 N

kkkk

Tkk

Tkk

TkN

TNN BuAxxRuuQxxPxxJ λ

(4.22)

Donde λk son nuevamente los multiplicadores de Lagrange. Derivando la función de costo con respecto a kkk xu y , 1+λ e igualando a cero se obtiene:

0

0

0

0

1

11

1

=−=

=+−=

=++−=

=+=

+

++

+

NNN

N

Tk

Tk

Tk

k

N

kkkk

N

Tk

Tk

k

N

PxxJ

AQxxJ

BuAxxJ

BRuuJ

λ∂∂

λλ∂∂

∂λ∂

λ∂∂

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Planteando el problema como un sistema de ecuaciones de diferencia con condiciones dos condiciones de frontera tenemos:

kkk

NN

k

kTT

TTTT

k

k

xPPx

x

xAQA

ABBRQABBRAx

==→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−−−

+

+

λλ

λλ

dado 0

11

1

1

(4.27)

(4.28)

La entrada óptima del sistema estará dada por:

BPBRS

AxPBSu

AxPBuBPBR

BuAxPBRu

xPBRu

kT

K

kkT

kk

kkT

kkT

kkkT

k

kkT

k

+=

−=

−=+

+−=

−=

+−+

++

+

++

donde

)(

)(

111

11

1

11

(4.29) (4.30)

77 J. Espinosa

Reemplazando (4.28) en (4.25) se obtiene,

kkkkT

kk

kkkT

kk

QxBuAxPAxP

QxxPAxP

++=

+=

+

++

)(1

11

(4.31) y reemplazando (4.29)en (4.31),

( )[ ] .,011111 kxQAPBBSPPAP kk

Tkkk

Tk ∀=−+− +

−+++ (4.32)

Ya que entonces, 0≠kx

( ) .11111 QAPBBSPPAP k

Tkkk

Tk ++= +

−+++ (4.33)

(4.33) es una ecuación de diferencia de Riccati. Usando el método del “barrido”, resolvemos a partir de las condiciones de frontera. Del estado final

.NNNN xPPx ==λ se pueden calcular todos los valores de Pk hasta P0. La entrada estará descrita como una realimentación de estado,

,kkk xKu −= (4.34) donde,

APBBPBRK kT

kT

k 11

1 )( +−

++= . (4.35) El costo óptimo será

0min

21 PxxJ T

oN = (4.36)

4.2.5.1 Horizonte infinito Para el caso de horizonte infinito en sistemas discretos, se asume que PK alcanza una condición de estado estable y entonces la función de realimentación queda descrita por:

,kk Kxu −= (4.37) donde,

APBBPBRK TT 1)( −+= . (4.38)


Donde P satisface la ecuación algebraica de Riccati,

[ ] .)( 1 QAPBBPBRBPPAP TTT +++= − (4.39) La solución estabilizará el sistema si el par (A,B) es estabilizable y el par ),( 2

1 AP es detectable. El costo óptimo será

0min

21 xPxJ T

oN = (4.40)

La solución de la ecuación algebraica de Riccati para el caso discreto, es similar a la explicada en el apartado 4.2.3.

4.3 Ejemplos En este capítulo se continuará con el estudio de los dos ejemplos mostrados en el capítulo anterior. En este apartado se asumirá que tenemos acceso a todos los estados y se calcularán leyes de control óptimas.

4.3.1 Carros acoplados con Unión Flexible Para el diseño del controlador LQR seleccionamos las matrices Q y R así:

[ ]1,

1000010000000100001000

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= RQ

Observe que la matriz Q penaliza en mayor proporción las desviaciones de los carros de su punto de equilibrio, comparado con las velocidades o con la entrada. La matriz P que satisface la ecuación algebraica de Riccati es

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=

82.343.362.172.2943.333.19561.492.6962.161.47.246.3072.2992.6946.3046.470

P

y la matriz K de realimentación construida a partir de la solución de Riccati,

[ ]8.297.768.469.52 −=K

79 J. Espinosa

Los polos del sistema serán:

4.1151i 5.7951- 10.6106i,1.9521- ±±

Si penalizamos aún más la posición la matriz Q será,

[ ]1,

100001000000001000010000

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= RQ

la nueva matriz de realimentación será:

[ ]57.1058.2114.10163 −=K y los polos del sistema:

10.5267i3.6673-8.4970i, 8.7999- ±±

En la siguiente figura se pueden observar las respuestas de los dos sistemas, es claro que el segundo tiene una respuesta más rápida, pero en la Figura 4.1 se puede apreciar que para lograr esa respuesta más rápida se requiere una entrada con mayor amplitud. La selección de las matrices de costo esta basada en el compromiso entre una respuesta rápida pero sin saturar la entrada o consumir demasiada energía para llevar el sistema al estado deseado.

Figura 4.1 Respuesta del sistema para los dos controladores propuestos


Figura 4.2 Entrada u(t) para los dos controladores

Esto convierte el diseño en la tarea de encontrar los valores adecuados de Q y R que llenen las especificaciones de control.

4.3.2 Control de un Sistema Lector de Cinta Magnética[4] En este caso las especificaciones de control exigen minimizar la energía a la salida del sistema (posición de la cabeza de lectura y escritura y la tensión de la cinta). Sin embargo, la señal de control no puede ser demasiado grande ya que puede saturar el actuador (los drives de los motores). Debido a esto, se requiere un poco de intento y error en la selección de las matrices Q y R. Primero que todo, debemos observar que nuestras especificaciones están dadas en función de las salidas del sistema, entonces la función de costo estará definida como:

dttRututyQtyJ TT ))()()()((0

21 ∫

∞

+′=

Para obtener la matriz Q a partir de Q’ reemplazamos y(t) por Cx(t)

dttRututCxQCtxJ TTT ))()()()((0

21 ∫

∞

+′=

Entonces Q será de la forma:

CQCQ T ′= Como primera elección escogemos Q’ y R como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

,2002

' RQ

Entonces Q será:

81 J. Espinosa

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

==

0000000000000008.008.008.008.00008.058.008.042.00008.008.008.008.00008.042.008.058.0

002.02.02.02.00005.005.0

2002

00002.002.05.02.002.05.0

'

Q

CQCQ T

Observe que Q no es diagonal, pero es positiva definida y simétrica.

Resolviendo la ecuación de Riccati para el Q y R dados, se obtiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

86.046.078.155.014.145.046.086.014.145.078.155.078.114.114.173.102.336.155.045.073.102.136.184.014.178.102.336.135.473.145.055.036.184.073.102.1

P

generando la ley de control:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

86.046.078.155.014.145.046.086.014.145.078.155.0

K

Con esta ley de control los polos de lazo cerrado quedan ubicados en:

1.0413- 0.7266i, 0.4056- 0.8650i, 0.6268- , 1.3145- ±±

Si ahora escogemos un nuevo Q’,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

,9009

' RQ

aplicando el mismo procedimiento anterior obtenemos una ley de control:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

38.153.031.326.168.186.053.038.168.186.031.326.1

K

y los polos de lazo cerrado para esta ley de control serán:


0.9066i.57431.1744i,-00.7836- 1.1583,- 1.5962,- ±±

Las respuestas impulso de ambos sistemas se pueden observar en la Figura 4.3. En la Figura 4.4 se puede comparar las amplitudes de las entradas para los dos controladores propuesto, de nuevo, es claro, que el precio a pagar por un transiente corto es una entrada de mayor amplitud.

Figura 4.3 Respuesta Impulso del Sistema en Lazo Cerrado

Figura 4.4 Salida del controlador del Sistema en Lazo Cerrado durante la respuesta impulso.

83 J. Espinosa

4.4 Estimación Optima-Filtros de Kalman-Bucy En el diseño de estimadores de estado existe la pregunta ¿Cual debería ser la ubicación óptima de los polos del estimador? La ubicación de los polos del estimador está determinada por el compromiso entre la velocidad de convergencia y la inmunidad al ruido. Kalman y Bucy resolvieron este problema y por ello la solución es llamada también filtro de Kalman-Bucy. El término filtro viene de la capacidad del estimador para reducir el impacto del ruido en el valor estimado del estado. En este apartado se presenta la formulación de este estimador. Considere el sistema dinámico,

)()()(),()()()(

tvtCxtytwBtuBtAxtx wu

+=++=&

(4.41) (4.42)

y el estimador,

)())(ˆ)(()(ˆ)(ˆ tuBtxCtyLtxAtx u+−+=& (4.43)

donde las señales w(t) representan las perturbaciones del sistema, v(t) representa el ruido en el sensor. Ruido y perturbaciones son modelados como ruido blanco, con amplitud unitaria y valor medio cero. Es importante aclarar, que en la realidad el ruido blanco no puede existir en sistemas continuos, ya que el ancho de banda del espectro del ruido blanco debe ser infinito y esto implica a su vez un ruido con contenido de energía infinito. Sin embargo, en la práctica el ruido tiene un ancho de banda mucho mayor al del sistema en estudio y por eso es correcto asumir en términos prácticos que la señal se puede modelar como un ruido blanco. Como se mencionó en el párrafo anterior el ruido se asume blanco no correlacionado con los estados ni con la salida. Lo cual implica que:

0)()( =Ttxtvε (4.44)

0)()( =Ttxtwε (4.45)

0)()( =Ttytvε (4.46) donde . es el valor esperado. Estas condiciones se conocen también como condiciones de ortogonalidad del ruido con respecto a los estados y la salida. De otra parte la covarianza del ruido se define como:

vT Rtvtv =)()(ε (4.47)

wT Rtwtw =)()(ε (4.48)

0)()( =Ttwtvε (4.49) El problema consiste ahora en encontrar un valor óptimo de L de forma que la función de costo,


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= ∫T

T dttxtxtxtxT

J0

)))(ˆ)(())(ˆ)(((1E (4.50)

sea minimizada. Si la estimación es óptima, el error de estimación no tendrá ninguna relación con la salida medida,

0)())(ˆ)(( =− Tytxtx τε (4.51) reemplazando (4.42) en (4.51)

0))()())((ˆ)(( =+− TTT vCxtxtx ττε (4.52) expandiendo la expresión se obtiene:

0)()(ˆ)()()())(ˆ)((0

=−+−=

TTTT vtxvtxCxtxtx τετετε43421

TTT vtxCxtxtx )()(ˆ)())(ˆ)(( τετε =−

(4.53)

el segundo término es igual a 0 de acuerdo con la condición de ortogonalidad. Recordando que la respuesta es la solución de la ecuación diferencial (4.43) que esta dada por:

)(ˆ tx

∫∫ Φ+Φ+Φ=tt

u dyLtduBtxttx00

)()(),()(),()0(ˆ)0,()(ˆ γγγγγγγ )(),( ττ −=Φ tAet

(4.54)

donde la matriz L se asume variante en el tiempo. Reemplazando la expresión (4.54) para en (4.53) se obtiene: )(ˆ tx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ Φ+Φ+Φ

=−

∫∫ Ttt

u

TT

vdyLtduBtxt

Cxtxtx

)()()(),()(),()0(ˆ)0,(

)())(ˆ)((

00τγγγγγγγε

τε

(4.55)

∫

∫Φ+

Φ+Φ

=−

==t T

Tt

uT

TT

dvyLt

vduBtvxtCxtxtx

0

00

0

)()()(),(

)()(),()()0(ˆ)0,()())(ˆ)((

γτγεγγ

τεγγγτετε

4342143421

(4.56)

reemplazando )()()( tvtCxty += se obtiene:

∫

∫Φ+

Φ

=−

=t

R

T

t T

TT

dvvLt

dvxCLtCxtxtx

v

0

00

)()()(),(

)()()(),()())(ˆ)((

γτγεγγ

γτγεγγτε

4434421

4434421

(4.57)

lo cual es igual a:

85 J. Espinosa

∫ −Φ=−t

vTT dRLtCxtxtx

0)()(),()())(ˆ)(( γτγδγγτε

(4.58)

reemplazando ετ −= t y resolviendo la integral se obtiene:

vTT RtLCtxtxtx )()())(ˆ)(( εεε −=−−

(4.59)

si calculamos el 0lim →ε se obtiene: v

T RtLCtQ )()( =

(4.60)

donde es la matriz de covarianza del error de estimación. )(tQDe esta forma la matriz que genera una estimación optima estará dada por: )(tL

1)()( −= vT RCtQtL

(4.61)

La matriz de covarianza del error de estimación se obtiene a partir de la ecuación diferencial que gobierna el error de estimación y que esta dado por la resta entre la ecuación (4.41) menos (4.43).

)(tQ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=−=

)()(

)()())(()(ˆ)()(tvtw

tLBteCtLAtxtxte w&&&

(4.62)

La matriz de covarianza del error estará gobernada por la ecuación: )(tQ[ ] [ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−+−=

T

Tw

v

ww

T

tLB

RR

tLB

tQCtLACtLAtQtQ

)(00

)(

)()()()()(&

(4.63)

reemplazando de la expresión (4.61) en (4.73) obtenemos )(tL)()()()()( 1 tCQRCtQBRBtAQAtQtQ v

TTxwW

T −−++=& (4.64)

que corresponde a una ecuación diferencial de Riccati. Si se resuelve la ecuación para condiciones de estado estacionario ( ) se obtiene una ecuacion algebraica de Riccati de la forma:

0)( =tQ&

01 =−++ − CQRQCBRBQAAQ vT

wwTw

T (4.65) Aplicando un procedimiento similar al aplicado para resolver ley de control óptima descrito en la seccion 4.2.3 y resolviendo , el valor óptimo de L para la ganancia del estimador está dado por:

Q

1−= vT RQCL (4.66)

Uno de los problemas encontrados en el diseño de estimadores óptimos, tiene que ver con las imprecisiones en el modelo de la planta, este problema puede ser corregido aumentado el valor de la covarianza Rw. Entre más grande sea el valor de Rw se asume mayor incertidumbre eso hace que el estimador sea mas lento pero mas robusto. Este truco es utilizado para robustificar soluciones optimas de control en la literatura se hace referencia a esta estrategia como Loop Transfer Recovery (LTR).


4.4.1 Estimación Optima-Formulación Discreta Considere el sistema,

kkk

kwkukk

vCxywBuBAxx

+=++=+ ,1

(4.67)

el observador tendrá la forma,

kukkkk uBxCyLxAx +−+=+ )ˆ(ˆˆ 1 (4.68) Para el caso de un observador variante en el tiempo la ganancia del observador está dada por:

11 )( −− += Tkv

Tkk CCQRCAQL (4.69)

Donde Qk es una matriz simétrica, positiva semidefinida, que representa la matriz de covarianza del error de estimación y está dada por la solución de la ecuación de diferencia de Riccati,

Twww

TK

Tkv

Tk

Tkk BRBACQCCQRCAQAAQQ ++−= −

+1

1 )( (4.70) Para el caso invariante en el tiempo tomamos el valor de Q de estado estable y la ecuación de diferencia se convierte en una ecuación algebraica de Riccati, de la forma.

0)( 1 =−++− − Twww

TTv

TT BRBAQCCQCRCQAAQAQ (4.71) y la matriz de realimentación será,

11 )( −− += Tv

T CQCRCQAL (4.72)

Existen otras formulaciones más detalladas para el filtro de Kalman, la formulación es basada en la posibilidad de plantear el problema de estimación como un problema de mínimos cuadrados [10].

4.5 Ejemplos de Diseño de Estimadores Optimos

4.5.1 Carros Acoplados con Unión Flexible

87 J. Espinosa

Para este caso de nuevo asumimos la misma condición descrita en el capítulo anterior para el diseño de observadores. La condición consiste en asumir como única salida la posición del segundo carro. Suponiendo Bw=B. Asumiendo,

1,7.0 == vw RR Resolviendo la ecuación de Riccati se obtiene

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−

−−−−

=

0139.20289.10521.1029.10289.10195.10283.10192.1521.10283.10142.10284.1

029.10192.10284.10192.1

eeeeeeeeeeee

eeee

Q

Con la solución Q se calcula la ganacia L,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

== −

0289.10195.10283.10192.1

eeee

RQCL Tv

T

Figura 4.5 Comparación en la estimación con ruido, (-)estado real, (--) estimador con polos 10

veces los polos de lazo cerrado, (.-) estimador con 5 veces los polos de lazo cerrado, (+) estimador óptimo.


4.5.2 Estimación Optima en un Sistema Lector de Cinta Magnética Tomamos el modelo (A,B,C,D) del sistema dado en el capítulo anterior y tomamos la matriz

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

011000000000

BBw

Suponiendo que la precisión RMS de la posición de la cinta es 2.10-5 y la precisión RMS de la medida de tensión de la cinta es 0,01N la matriz de covarianza de v será,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0001.0004

vR

La matriz de covarianza de w está dada como

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

001.000001.0

wR

resolviendo la ecuación de Riccati, se obtiene,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

475.4565.1422.2439.2533.5407.1565.1475.4533.5407.1422.2439.2422.2533.5481.4316.3435.3302.3439.2407.1316.3123.2302.3122.2533.5422.2435.3302.3481.4316.3407.1439.2302.3122.2316.3123.2

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Q

Con la solución Q se calcula la ganancia L,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−−−−

== −

602.0532.4602.0532.4

571.0474.767.1256.5571.0474.767.1256.5

eeeeee

RQCL Tv

T

89 J. Espinosa

Figura 4.6 Comparación en la estimación con ruido, (-)estado real, (--) estimador con polos 10 veces los polos de lazo cerrado, (.-) estimador con 5 veces los polos de lazo cerrado, (..) estimador

óptimo.

4.6 Regulador Optimo Cuadrático Gaussiano Hasta este punto se han desarrollado dos elementos, • La posibilidad de obtener una ley de control óptima basada en los estados del

sistema. • La posibilidad de estimar los estados del sistema de forma óptima para unas

características de ruido dadas y a partir de los datos de entrada y salida. Estos elementos permiten la construcción de un compensador como se muestra en la Figura 4.7 basado en los datos de salida. Sin embargo, la pregunta que surge es: si el compensador construido con una ley de realimentación de estado óptima y con un estimador óptimo es a su vez óptimo?


Figura 4.7 Realimentación de Estado con Estimador

El problema se puede formular de la siguiente forma: Dada una planta

)()()(),()()()(

tvtCxtytwBtuBtAxtx wu

+=++=&

(4.73)

donde w y v son ruido blanco con covarianzas Rw y Rv respectivamente, no correlacionados. Encontrar la entrada u que minimiza la función de costo

(∞→

−∫ +=

T

T

T

TT tdtRututQxtxT

J )()()()(21lim )

(4.74)

Con matrices Q y R simétricas, positivas definidas. La solución óptima está dada por

)(ˆ)( txKtu −= (4.75)

91 J. Espinosa

donde,

PBRK Tu

1−= (4.76)

donde P se calcula a partir de la ecuación algebraica de Riccati

01 =+−+ − QPBPBRPAPA Tu

T (4.77)

El vector estimado se obtiene de )(ˆ tx

)())(ˆ)(()(ˆ)(ˆ tuBtxCtyLtxAtx u+−+=& (4.78)

donde la matriz L está dada por,

1−= vT RSCL (4.79)

donde S es la solución de la ecuación matricial algebraica de Riccati,

01 =−++ − CSRSCBRBSAAS vT

wwTw

T (4.80) Entonces el compensador tendrá la estructura,

[ ])(ˆ)(

),()(ˆ)(ˆtxKtu

tLytxLCKBAtx u

−=+−−=&

(4.81)

el sistema en lazo cerrado será

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

vwI

xxC

y

vw

LB

xx

LCKBALCKBA

xx w

u

u

000

ˆ000

00

ˆ&&

(4.82)

si se utiliza el vector el sistema quedará )(ˆ)()( txtxte −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

vwI

exC

y

vw

LBB

ex

LCAKBKBA

ex

w

wuu

000

000

00&

&

(4.83)


Se puede observar claramente que los valores propios del sistema en lazo cerrado está dado por los valores propios del sistema compensado por realimentación de estado y los valores propios del estimador. Esta característica es conocida como Principio de Separación. Y este principio permite diseñar compensadores óptimos, diseñando de forma independiente la ley de control óptima por realimentación de estado (LQR) y el compensador óptimo (Filtro de Kalman). Entonces los elementos de diseño serán las matrices Q, R, Rw y Rv. No existen procedimientos sistemáticos para la selección de estas matrices, sin embargo, es importante resaltar que una buena selección las matrices Rw y Rv ayuda a compensar los errores en el modelo, en tanto que la selección las matrices Q y R nos permiten mantener los estados del sistema lo más cercano posible al punto de operación aumentando la validez de modelos linealizados alrededor de un punto de operación, minimizando el esfuerzo de control.

4.7 Ejemplos En esta sección de ejemplos se muestran los compensadores obtenidos al combinar para cada caso la ley de control óptima con el estimador óptimo calculados en los apartados anteriores.

4.7.1 Carros Acoplados con Unión Flexible En la Figura 4.8 se puede observar el resultado de combinar los dos controladores LQR con el estimador óptimo, comparado con la respuesta del controlador LQR, es claro que la respuesta no es la deseada, a pesar de que los dos componentes fueron calculados de forma óptima. Este ejemplo permite ilustrar que a pesar de que el principio de separación permite realizar el calculo del controlador y el estimador de forma separada la elección de las matrices Q, R, Rw y Rv se debe llevar a cabo de manera coordinada. En este caso es claro que los valores propios del estimador son los que dominan la respuesta del sistema cuando en realidad debían ser los del controlador los que dominaran la respuesta.

93 J. Espinosa

Figura 4.8 Desempeño de los sistemas LQR (-- y ..) vs LQG (- y *)

La explicación para esta situación es la siguiente, cuando se realiza el diseño del controlador LQR no se toma en cuenta el ruido en el sistema, por eso el diseño del controlador generó unos polos de frecuencia mayor a los polos del estimador, dejando como polos dominantes los polos del estimador. Como conclusión de este ejemplo podemos sacar que el principio de separación es una herramienta que permite calcular de manera simple las ganancias del controlador y el estimador, sin embargo, el principio de separación no nos garantiza que el desempeño del sistema combinado sea el mismo que se obtuvo cuando se realizaron los cálculos de controlador y estimador por aparte. El procedimiento obvio es colocar nuestros requerimientos de control dentro de los limites alcanzables y recalcular el controlador, si el controlador no cumple con las especificaciones deseadas, se hace necesario reducir el ruido en el sistema. Para reducir el ruido se debe apelar a dos estrategias una es mejorar el modelo del sistema y la otra es mejorar la calidad de los sensores utilizados o su número, es decir medir más estados. Para el presente caso se recalculará el controlador con unas nuevas matrices de costo,

]1[,

1000010000100001

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= RQ


Figura 4.9 Respuesta del sistema con un nuevo Q=diag(1,1,1,1)

la respuesta de se observa en la Figura 4.9 y es claramente no satisfactoria por ello tomando un nuevo sensor y aumentando el margen de confianza en nuestro modelo. Se utilizó para el diseño las matrices de costo y covarianza,

031,027],1[,

1000010000000100001000

−=−==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= eReRRQ vw

Figura 4.10 Respuesta final del sistema

A pesar de que en este ejemplo se variaron de forma “arbitraria” los parámetros de covarianza del ruido, no se debe olvidar que estos parámetros son dados por la calidad de los sensores y el modelo y por ello no son de libre elección en el diseño del compensador, los cambios en estos parámetros deben venir acompañados de cambios en el modelo y en el sensor.

95 J. Espinosa

4.7.2 Sistema Lector de Cinta Magnética Para este ejemplo, se combinarán las soluciones obtenidas en los apartados de LQR y de estimación óptima y se analizará el resultado.

Figura 4.11 Desempeño de los sistemas LQR (-- y ..) vs LQG (- y *)

En la figura es claro nuevamente que los valores propios del estimador, dominan la dinámica del sistema, sin embargo la diferencia en la respuesta no es muy grande y el diseño LQG es menos sensible a las perturbaciones que el diseño realizado por el método de ubicación de los polos, como lo muestra la Figura 4.12.

Figura 4.12 Desempeño del sistema LQG (-) vs. Método de ubicación de polos en presencia de

ruido.



1. Diseñe un regulador optimo de realimentación de estado, introduzca la referencia para la posición horizontal del carro. Utilice los mismos parámetros físicos del ejemplo anterior. Obtenga un Q y un R de manera que el sistema tenga un tiempo de establecimiento de 2 seg y un amortiguamiento de

5.0=ζ .

2. Diseñe un sistema de realimentación de estado que estabilice el modelo de la caldera y obtenga un tiempo de establecimiento de 250 s y un amortiguamiento razonable, simule la respuesta del sistema usando distintas condiciones iniciales de forma que cada vez un solo estado sea distinto de cero

El modelo se linealizo alrededor del siguiente punto de operación U*=[0.32270 0.39503 0.37404 0] Y*=[320 2.5 0.0 9.3053] X*=[22.5 2.5 621.17 0.6941] El controlador deberá evitar saturar las entradas que se encuentran en un valor entre 0 y 1

3. Diseñe un sistema de realimentación de estado optimo calcule Q y R de forma

que el sistema de la columna de destilación cumpla con las especificaciones de control impuestas en el ejercicio anterior asumiendo que no existen retardos.

4. Construya observadores optimos que estimen los estados de las siguientes plantas.

a. Péndulo invertido b. Columna de destilación c. Para la caldera

Defina de antemano las varianzas de los ruidos y examine la ubicacion de los

valores propios de la matriz (A-LC). Aplique los ruidos de medicion y estados y

simule.

5. Aplique la realimentación de estado obtenida en los numerales 1,2 y 3 utilizando los estados estimados por el observador diseñado en el punto anterior, en lugar de los estados de la planta. Para la simulación añada ruido a las mediciones y compare las respuestas con el sistema en el que se realimentaron los estados directamente

97 J. Espinosa

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