Introducción

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE

DEL MEZQUITAL

Ingeniería industrial

Nombre:

Emilio Olguín Bernal.

Profesor:

Ing. Alejandro Mariscal Navarro.

Tema: UNIDAD IV

1.- A partir de un caso práctico elabórese un reporte técnico que contenga:

o Graficas de control de un proceso productivoo Capacidad y rango del proceso productivo

Cuat: 5° Grupo: “B”

PERIOD: ENERO- ABRIL 2013.

Algunas características de calidad no pueden ser representadas convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos casos, las unidades de producto se clasifican en “conformes” o en “no conformes” según la característica o características cualitativas sean o no conformes con las especificaciones. Las características de calidad de este tipo se denominan atributos. Los datos de tipo atributo tienen solamente dos valores: Conforme / no conforme, pasa / no pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. También se consideran atributos aquellas características cuantitativas que se registran en términos de sino como por ejemplo, el diámetro de un eje cuya conformidad solo la medimos en términos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones de pintura en una puerta de un automóvil, las burbujas en la laca de un detonador, la presencia/ausencia de un percutor.

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

Gráficos de control

Ventajas de los gráficos de control

Existen importantes razones para implantar los gráficos de control. Destacamos las siguientes:

a) Los gráficos de control son una técnica de eficacia probada para mejorar la productividad. La adecuada implantación de un programa de C.E.P. reduce la repetición de las operaciones no conformes y los rechazos por desechos que son uno de los principales enemigos de la productividad. De esta reducción se deriva una disminución en los costes y un incremento de producción de producto correcto

b) Los gráficos de control son eficaces en la prevención de defectos. El objetivo básico del gráfico de control es detectar cualquier cambio en el proceso o en el producto. Siempre es más barato hacer las cosas bien de entrada que escoger las unidades buenas dentro de un lote de malas y buenas. Si no se posee un control eficaz, se estará pagando por fabricar producción no conforme.

c) Los gráficos de control previenen de ajustes innecesarios del proceso. El gráfico de control distingue entre el “ruido de fondo” y una variación anormal. Si el operador ajusta el proceso basándose en comprobaciones periódicas no relacionadas con la implantación sistemática de los gráficos de control, a menudo reaccionará frente al ruido de fondo y realizará ajustes innecesarios.

d) El gráfico de control proporciona información sobre la capacidad del Proceso. El gráfico suministra información sobre los parámetros básicos del proceso y sobre su estabilidad a lo largo del tiempo.

La tecnología moderna, utilizando ordenadores, hacen sencilla la implantación de los gráficos de control, en cualquier tipo de proceso. 

Como resumen de lo visto en los capítulos anterores, vamos a tratar sobre los siguientes puntos :

A) Determinación de la característica a controlar y desde donde se va a controlar

B) Selección del gráfico adecuadoA) Selección de la característica a controlar y donde controlarla

a) En el comienzo de la implantación se aplican los gráficos a aquellas características del proceso o del producto que se consideran importantes. Los gráficos nos dirán si son realmente necesarias.

b) Eliminar gráficos que se encuentren innecesarios.

c) Disponer de una información actualizada sobre el número y tipos de gráficos de control existentes en el proceso. Cuando comienza la implantación, el número de gráficos suele crecer de forma continuada, después decrece. Cuando el proceso se estabiliza, el número de variables seguidas por gráficos, suele mantenerse constante aunque éstas no son necesariamente las mismas.

d) Según se va sabiendo más sobre el proceso, el número de gráficos por atributos disminuye y el número de gráficos por variables aumenta.

e) Al comienzo, suelen utilizarse bastantes gráficos por atributos para el producto final o intermedio. Después estos gráficos tienden a ser sustituidos por gráficos por variables para características de las primeras fases del proceso.

f) Los gráficos de control son procedimientos a implantar en la línea tan cerca del puesto de trabajo como sea posible, así, la información llegará con rapidez. Además, las personas responsables de producción tendrán la responsabilidad directa de recoger datos, realizar los gráficos e interpretar resultados. Los operadores e ingenieros que trabajan en el proceso disponen del conocimiento del mismo necesario para corregir fallos y utilizar el gráfico como una herramienta para mejorar la calidad. Los ordenadores facilitan enormemente la rapidez de cálculos y presentación de gráficos por lo que no pueden faltar en ningún procedimiento moderno de control estadístico del proceso.

B) Selección del gráfico adecuado

Graficos X, R (o X, S); Solo para variables cuantitativas.

Los gráficos por variables se utilizan en los casos siguientes:

a) Comienza un nuevo proceso, o un nuevo producto va a fabricarse en un proceso existente.

b) El proceso tiene continuos problemas o es incapaz de cumplir las tolerancias especificadas.

c) La verificación de la calidad producida requiere ensayos destructivos o costosos procedimientos de ensayo.

d) Se desea reducir la inspección por desmuestre y otras verificaciones sobre el producto al mínimo

e) Se han utilizado, sin resultado, gráficos de control por atributos.

f) Procesos con especificaciones muy estrechas.

g) Situaciones en las que el operador debe decidir si ajusta o no el proceso.

h) Cuando ha de demostrarse ante el cliente de forma continuada, la estabilidad y la capacidad del proceso.

Gráficos CUSOM

Se puede utilizar en todos los casos señalados para el gráfico , R, pero donde realmente muestra más ventajas es:

a) Cuando los procesos vayan descorrigiéndose lentamente (por ejemplo procesos químicos)

b) Cuando sea necesario descubrir rápidamente pequeños desajustes.

c) Situaciones en las que es posible disponer un microordenador en la línea

Gráficos por atributos

Se recomienda utilizar los gráficos por atributos en los siguientes casos:

a) Los operadores controlan las causas asignables y es preciso reducir el porcentaje de fallos.

b) El proceso es una operación de montaje compleja y la calidad del producto se mide en términos de conforme/no conforme.

c) Es necesario el control del proceso pero no pueden obtenerse datos cuantitativos.

d) Para facilitar a la dirección una visión con un resumen informativo sobre la eficacia del proceso.

Gráficos de control para valores individuales

Se puede usar conjuntamente con los gráficos de rango móvil en los siguientes casos:

a) Procesos en los que no puede obtenerse más que una medida por muestra o donde las medidas repetidas solo difieren debido a errores analíticos. Esto suele suceder en los procesos químicos.

b) Procesos donde la tecnología existente cuantifica cada unidad producida. En estos casos, también pueden considerarse los gráficos de media móvil.

c) Cuando la cadencia de aparición de nuevos datos es muy lenta y sería impracticable esperar a reunir una muestra mayor porque esto supondría una reacción demasiado tardía ante los problemas.

Análisis de la capacidad del proceso

Las técnicas estadísticas son útiles a lo largo de todo el ciclo productivo incluyendo: Actividades previas a la fabricación, cuantificación de la variabilidad del proceso, comparación de la variabilidad con las especificaciones y la reducción de la variabilidad. Al conjunto de estas actividades se le denomina análisis en la capacidad del proceso.

Definiremos el análisis de capacidad, como el estudio de ingeniería encaminado a estimar la capacidad del proceso. La capacidad del proceso puede estimarse definiendo la forma de la distribución que sigue la variable en estudio y dando una medida del valor central (media) y de la dispersión (sigma).

La capacidad del proceso se refiere a su uniformidad, la variabilidad es una medida de la uniformidad. Existen dos formas de variabilidad, la variabilidad inherente, existente en un momento dado, también llamada variabilidad instantánea y la variabilidad a lo largo del tiempo.

Como medida de la capacidad de un proceso es costumbre tomar un intervalo de 6σ u 8σ en la distribución de la característica en estudio. La figura adjunta muestra un proceso para el que la distribución es Normal con media μ y desviación típica σ. Los límites naturales de tolerancia inferior y superior del proceso caen en el intervalo μ - 3.σ -:- μ+ 3.σ . Para la distribución Normal los límites de tolerancia incluyen el 99,75% de los valores de la variable. Dicho de otra forma, sólo el 0,27% de los valores caen fuera de los límites naturales de tolerancia. Si la distribución no es Normal, el porcentaje de valores fuera de los límitesμ ± 3σ puede desviarse sensiblemente del 0,27% citado.

Se pueden utilizar como medida de la capacidad otros criterios como por ejemplo que el 98% de la producción entre en el intervalo de Tolerancia. En este caso utilizando las tablas de la Distribución Normal (Tabla I) vemos que deben entrar como mínimo

2x2,33σ = 4,66 σ.

El análisis de capacidad del proceso es fundamental en un Programa Integral de Mejora de Calidad. Entre sus aplicaciones, podemos señalar : 

1. Predecir como se comportará el proceso respecto de las especificaciones.

2. Ayudar en la selección o modificación de los parámetros del proceso.

3. Orientar en el establecimiento de la frecuencia de los desmuestres para el control del proceso.

4. Especificar las tolerancias de nuevos equipos

5. Reducir la variabilidad en el proceso de fabricación.Dos son, principalmente, las técnicas utilizadas en el análisis de la capacidad de un proceso: Histogramas y Gráficos de Control.

Análisis de la capacidad del proceso usando histogramas

La distribución de frecuencias suele ser útil para estimar la capacidad del proceso. Se requieren, por lo menos, entre 50/100 observaciones para realizar la estimación. Siempre que sea posible y antes de comenzar la recogida de datos, deben seguirse los siguientes pasos:

a) Escoger adecuadamente la máquina o máquinas sobre las que va a realizarse el estudio de forma que sean representativas del conjunto de máquinas al que van a extenderse las conclusiones.

b) Seleccionar las condiciones operativas del proceso definiendo cuidadosamente estas condiciones ya que su variación puede afectar a la capacidad del proceso.

c) Seleccionar, cuando proceda, un operador representativo.

d) Seguir estrechamente el proceso de toma de datos y registrar el orden en que se producen.

El histograma, con su valor medio X−− y su desviación típica S estima la

capacidad del proceso que esX−−±3S . Una ventaja del histograma es que nos da una impresión inmediata de como es la característica en estudio.

Para cuantificar la Capacidad de Proceso se utilizan coeficientes que permiten comparar el rango de especificaciones con la fluctuación natural del proceso. Uno de ellos es Cp:

Cp=LSE−LIE6σdonde LSE y LIE son, respectivamente, el Límite Superior y el límite inferior de Especificación.

Si el proceso tiene capacidad para fabricar el producto, entonces Cp > 1. En general se exige Cp > 1.30 para mayor seguridad.

Cp tiene el inconveniente de que para poder aplicarlo, el centro de gravedad del rango de especificaciones debe coincidir con la tendencia central de las mediciones del proceso. Cuando esto no ocurre se emplea el Cpk:

Cpk=△3×σDonde:△=min{(LSE−X−−),(X−−−LIE)}En el gráfico podemos observar que una buena parte del producto está por encima del Límite Superior de Especificación (LSE). Aún así resulta Cp > 1, indicando erróneamente que el proceso tiene capacidad suficiente.

En este caso se debe usar el segundo coeficiente que muestra claramente que el proceso no tiene capacidad suficiente (Cpk < 1), tal como se puede observar en el gráfico.

Un proceso suele decirse que es apto cuando Cp > 1 ó incluso Cp > 1,3 Modernamente, ha comenzado a utilizarse :

Cpm=LSE−LIE6×σ′

donde :

 σ′=∑1n(Xi−Nominal)2n−1−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷

siendo :

 Nominal=LES+LEI2El uso de un histograma para analizar la capacidad de un proceso tiene la ventaja de que se puede apreciar la forma de la distribución, con lo cual se puede confirmar o rechazar la hipótesis de que la misma es normal. Pero el problema es que no se puede detectar la presencia de patrones no aleatorios, con lo cual no es posible confirmar o rechazar la hipótesis de que el proceso está bajo control estadístico. Si el proceso no está bajo control estadístico los resultados del análisis de la capacidad de proceso no serán válidos y pueden llevar a conclusiones equivocadas.

Análisis de la capacidad del proceso usando gráficos de control

Los histogramas y otros métodos de análisis tales como los gráficos de probabilidad indican como varía el proceso pero no muestran, necesariamente, la capacidad potencial del proceso ya que éste puede estar en situación de fuera de control o presentar pautas que si se eliminaran reducirían la variabilidad de la característica en estudio. Los gráficos de control son muy útiles en este sentido y deben ser considerados la técnica principal en los análisis de capacidad.

En los análisis de capacidad pueden usarse los gráficos de control por variables y los gráficos de control por atributos aunque son preferibles los primeros por la mayor información que suministran.

Los gráficos X−−,R permiten estimar la variabilidad instantánea (capacidad del proceso a corto plazo) y la variabilidad a lo largo del tiempo(capacidad del proceso a largo plazo). La variabilidad instantanea viene dada por s = R/d2 , donde d2 es un valor tabulado en función del tamaño de muestra n.

No debe estimarse la capacidad del proceso a corto plazo cuando se presenta una situación fuera de control ya que previamente habría que encontrar las causas asignables y poner el proceso bajo control.

Cuando se utilizan gráficos X−−−R, en el gráfico de X−− se representan los promedios de subgrupos, es decir, promedios muestrales. No debe confundirse la desviación standard del proceso con la desviación standard de los promedios muestrales. Si la desviación standard del proceso es s y cada subgrupo tiene m mediciones, la desviación standard entre subgrupos es:

 σm=σm

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Ingeniería industrial

Nombre:

Emilio Olguín Bernal.

Profesor:

Ing. Alejandro Mariscal Navarro.

Tema: UNIDAD V

2.- El alumno elaborará un portafolio de evidencias que contenga ejercicios que contengan modelos matemáticos para los métodos:

o Graficoo Simplexo Gran M

Cuat: 5° Grupo: “B”

METODO GRAFICO

El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).

La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

EJEMPLO 1:

 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total.

 VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

 RESTRICCIONES: Tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones.

Maximizar

Sujeto a:

PERIOD: ENERO- ABRIL 2013.

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

 

 

 

EJEMPLO 2.

 Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.

Los estudios de mercado han mostrado que:

 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.

 2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.

 La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.

 OBJETIVO: Minimizar los costos de publicidad.

 VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).

Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).

 RESTRICCIONES: Porcentaje de presentación.

 Minimizar

Sujeto a:

 SOLUCION ÓPTIMA:

 

 

EJEMPLO 3.

 Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?

 Minimizar

Sujeto a:

SOLUCION ÓPTIMA:

 

EJEMPLO 4.

Resolver mediante el método Gráfico el siguiente problema:

MaximizarZ = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a: 2x + y ≤ 18  2x + 3y ≤ 42  3x + y ≤ 24  x ≥ 0 , y ≥ 0

1.  Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable 'x' y al otro la 'y' (generalmente se asocia 'x' al eje horizontal e 'y' al vertical), como se puede ver en la figura.

2. Se marca en dichos ejes una escala numérica apropiada a los valores que pueden tomar las variables de acuerdo a las restricciones del problema. Para ello en cada restricción se hacen nulas todas las variables excepto la correspondiente a un eje concreto, determinándose así el valor adecuado para dicho eje. Este proceso se repite para cada uno de los ejes.

3. A continuación se representan las restricciones. Comenzando con la primera, se dibuja la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso con las demás restricciones, quedando delimitadas la región de color AZUL y ROJO para la segunda y tercera restricción respectivamente.

4. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas tanto por el conjunto de restricciones, como por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por ambos ejes de coordenadas. Dicha región factible está representada por el polígono O-F-H-G-C, de color VIOLETA.

5. Como existe una región factible, se procede a determinar sus puntos extremos, o vértices del polígono que representa. Estos vértices son los puntos candidatos a soluciones óptimas. En este ejemplo son los puntos O-F-H-G-C de la figura.

6. Finalmente, se evalúa la función objetivo (3x + 2y) en cada uno de esos puntos (resultado que se recoge en la tabla siguiente). Como el punto G proporciona el mayor valor a la función Z y el objetivo es maximizar, tal punto constituye la solución óptima: Z = 33 con x = 3 e y = 12.

Punto extremo Coordenadas (x,y) Valor objetivo (Z)

O (0,0) 0

C (0,14) 28

G (3,12) 33

H (6,6) 30

F (8,0) 24

EJEMPLO 5.

La compañía "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente.

La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades.

Las variables:

X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente

Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente

Las restricciones:

2X + 3Y <= 300

3X + 5Y <= 840

4X + 5Y <= 450

Función Objetivo:

Zmax = 102000X + 98000Y

La gráfica resultante es la siguiente,

La solución óptima corresponde a:

X = 150

Y = 0

y la función objetivo quedaría.

Zmax = $15300000

Claramente podemos observar como la restricción 1 y la restricción 2 no determinan el conjunto solución, por ende se denominan restricciones redundantes o sobrantes.

Método simplex

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

Ejemplo 1.

Resolver mediante el método simplex el siguiente problema:

MaximizarZ = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a: 2x + y ≤ 18  2x + 3y ≤ 42  3x + y ≤ 24  x ≥ 0 , y ≥ 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

2x + y + r = 182x + 3y + s = 423x +y + t = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecerán todas las variables básicas del problema y las variables de holgura/exceso. En las filas se observan, para cada restricción las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y la última fila con los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la función objetivo, y de operar tal como se explicó en la teoría para obtener el resto de valores de la fila:

4. Condición de parada

Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos.

5. Condición de entrada y salida de la base

A. Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor de los negativos. En este caso sería la variable x (P1) de coeficiente - 3.

Tabla I . Iteración nº 1

      3 2 0 0 0

Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5

P3 0 18 2 1 1 0 0

P4 0 42 2 3 0 1 0

P5 0 24 3 1 0 0 1

Z   0 -3 -2 0 0 0

 Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote(En color verde).

B. Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada término independiente (P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos.

 En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

 Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente, y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema

 El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t (P5). Esta fila se llama fila pivote (En color verde).

 Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible).

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote, 3.

6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t (P5), se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

También se puede hacer de la siguiente manera:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila = (Vieja fila) -(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote)

Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la Tabla II):

Tabla II . Iteración nº 2

      3 2 0 0 0

Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5

P3 0 2 0 1/3 1 0 -2/3

P4 0 26 0 7/3 0 1 -2/3

P1 3 8 1 1/3 0 0 1/3

Z   24 0 -1 0 0 1

Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 /

1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r (P3).

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:

Tabla III . Iteración nº 3

      3 2 0 0 0

Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5

P2 2 6 0 1 3 0 -2

P4 0 12 0 0 -7 1 4

P1 3 6 1 0 -1 0 1

Z   30 0 0 3 0 -1

Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable que sale es s (P4).

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:

Tabla IV . Iteración nº 4

      3 2 0 0 0

Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5

P2 2 12 0 1 -1/2 1/2 0

P5 0 3 0 0 -7/4 1/4 1

P1 3 3 1 0 3/4 -1/4 0

Z   33 0 0 5/4 1/4 0

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima.

La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: (x,y) = (3,12)

Ejemplo 2.

1. Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. De esmalte para su pintado y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone semanalmente de 4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. De esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea:

a) Formular un modelo de programación lineal que indique cuántos congeladores deben fabricarse de cada tipo para que el beneficio sea máximo, teniendo en cuenta el estudio de demanda. b) Resolverlo mediante el método simplex. Interpretar la solución óptima incluyendo las variables de holgura. c) Determinar los precios sombra de las horas de ensamblaje y control de calidad. Al fabricante le ofrecen disponer de 200 horas más para ensamblaje con un costo adicional total de $750.000 pesos. ¿Debería aceptar la oferta?

Solución:

Tipo de congelador ensamblaje pintado Control de calidad

A 2.5 3 14

B 3 6 10

disponibilidad 4500 8400 20000

X1: No. De congeladores tipo A

X2: No. De congeladores tipo B

F.O.Z (max)=(52-30)x1+(48-28)x2

S.A 2.5X1+3X2<=4500

3X1+6X2<=8400

14 X1 + 10 X2 <= 20000

X1 + X2 <= 1700

X1 + X2 <= 1700

El empresario debe fabricar 882 unidades de congeladores tipo A y 764 unidades de congeladores tipo B para obtener una utilidad máxima de $ 34706 a son 765 unidades.

EJEMPLO 3.

Una empresa fabrica dos tipos de silla: ergonómica y normal. Para su construcción una silla pasa por 4 departamentos: ensamble, tapizado, color y terminado. Cada departamento tiene disponible 1.000 horas, 450 horas, 2.000 horas, y 150 horas respectivamente. Los requerimientos de producción y utilidades por silla se muestran en la siguiente tabla:

a) Plantea el modelo de programación lineal, definiendo las variables

b) resuelva el problema por el método simplex, para determinar cuántas sillas normales y ergonómicas se deben producir para obtener mayor utilidad.

c) Interprete todas las variables de holgura del problema.

SOLUCION

X1: Silla normal y X2: Silla ergonómica

F.O. Z(máx) : 15X1 + 20X2

S.A. 2X1 + 3X2 <= 1000

X1 + X2 <= 450

4X1 + 6X2 <= 2000

(¼)X1 + (1/2) X2 <= 1000

C.N.N X1, X2 >= 0

Se deben fabricar 350 sillas normales y 100 sillas ergonómicas para obtener una utilidad máxima de $7250

Ejemplo 4.

En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador C1 puede ser manipulado por un estudiante que gana 400 ptas. por hora. En promedio es capaz de contar 5 muestras en una hora. El contador C2 es más rápido, pero también más sofisticado. Solo una persona bien preparada pero que gana 1000 Ptas. Por hora puede manipularlo. Con la misma precisión que C1 el contador C2 permite contar 10 muestras en una hora. Al laboratorio se le dan 1000 muestras para que se cuenten en un periodo que no exceda las 80 horas ¿Cuántas horas deben usar cada contador para realizar la tarea con un coste mínimo? ¿Cuál es el dicho coste?

Solución:

Sean X1 y X2 las horas utilizadas con el primer y segundo contador, respectivamente. Puesto que los dos contadores pueden estar trabajando simultáneamente tendremos dos restricciones X1 <= 80 y X2 <= 80, y el problema que resulta es:

Minimizar Z= 400X1 + 1000X2

S A: X1 <= 80

X2 <= 80

6X1 + 10x2 = 1000

X1, X2 >= 0

El contador 1 debe utilizar 80 horas y el contador 2 utilizar 52 horas para obtener un coste mínimo de 84000.

Ejemplo 5.

En su consumo diario de alimento, un animal rapaz necesita 10 unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies. Una presa de la especie 1 suministra 5, 2 y 1 unidades de los alimentos A, B y C respectivamente; una presa de la especie 2 suministra 1, 2 y 4 unidades respectivamente de los alimentos A, B y C, capturar y digerir una presa de la especie 1 requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie 2 es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimentarias, haciendo un gasto minimo de energía?

Solución:

Sean Xi el numero de presas de cada especie (i=1,2)

Minimizar z=3X1 +2X2

Sujeto a

5X1 + X2 > 12

2X1 + 2X2 >12

X1 + 4X2 = 12

X1. X2 > 0

El animal rapaz necesita 4 presas de la especie 1 y 2 presas de la especie 2 para consumir un mínimo de 16 unidades de energía promedio.

Método de la gran M

El método de la gran M consiste en modificar el problema original para dar lugar a un nuevo problema agregando una variable W llamada artificial y que se penalizara mediante un costo “M” de valores grandes y positivos, y esto permite que la función objetivo tome valores muy grandes.

Cuando W salga de la base en ese momento W=0 y esto indica haber regresado al problema original, pero si se llega a W>0, entonces el problema no tendrá solución.

Ejemplo 1.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE

DEL MEZQUITAL

Ingeniería industrial

Nombre:

Emilio Olguín Bernal.

Profesor:

Ing. Alejandro Mariscal Navarro.

Tema: 3.-A partir de un caso práctico el alumno elaborara un reporte técnico que contenga:

o Diagramas de flujoo Diagramas de operacióno Diagramas hombre-maquinao Diagrama de recorrido

Cuat: 5° Grupo: “B”

Introducción

PERIOD: ENERO- ABRIL 2013.

Diagrama de flujo

Un diagrama de flujo es una representación gráfica de un proceso. Cada paso del

proceso es representado por un símbolo diferente que contiene una breve descripción

de la etapa de proceso. Los símbolos gráficos del flujo del proceso están unidos entre

sí con flechas que indican la dirección de flujo del proceso.

 El diagrama de flujo ofrece una descripción visual de las actividades implicadas en

un proceso mostrando la relación secuencial ente ellas, facilitando la rápida

comprensión de cada actividad y su relación con las demás, el flujo de la información

y los materiales, las ramas en el proceso, la existencia de bucles repetitivos, el

número de pasos del proceso, las operaciones de interdepartamentales… Facilita

también la selección de indicadores de proceso

 Las ventajas que ofrece el diagrama de flujo de procesos, son varias: Facilita la comprensión del proceso. Al mismo tiempo, promueve el acuerdo, entre los

miembros del equipo, sobre la naturaleza y desarrollo del proceso analizado. Proporciona un método de comunicación más eficaz, al introducir un lenguaje común. Supone una herramienta fundamental para obtener mejoras mediante el rediseño del

proceso, o el diseño de uno alternativo. Identifica problemas, oportunidades de mejora y puntos de ruptura del proceso. Pone de manifiesto las relaciones proveedor – cliente, sean éstos internos o externos. Estimula el pensamiento analítico en el momento de estudiar un proceso, haciendo

más factible generar alternativas útiles.

 La realización de un diagrama de flujo es una actividad íntimamente ligada al hecho

de modelar un proceso, que es por sí mismo un componente esencial en la gestión

de procesos.

 Frecuentemente los sistemas (conjuntos de procesos y subprocesos integrados en

una organización) son difíciles de comprender, amplios, complejos y confusos; con

múltiples puntos de contacto entre sí y con un buen número de áreas funcionales,

departamentos y personas implicadas. Un modelo  (una representación de una

realidad compleja) puede dar la oportunidad de organizar y documentar la

información sobre un sistema. El diagrama de flujo de proceso constituye la primera

actividad para odeloar un proceso.

Elaboración del Diagrama de Flujo

El diagrama de flujo debe ser realizado por un equipo de trabajo en el que las distintas personas aporten, en conjunto, una perspectiva completa del proceso, por lo que con frecuencia este equipo será multifuncional y multijerárquico.

Determinar el proceso a diagramar. Definir el grado de detalle. El diagrama de flujo del proceso puede mostrar a grandes rasgos

la información sobre el flujo general de actividades pricipales, o ser desarrollado de modo que se incluyan todas las actividades y los puntos de decisión. Un diagrama de flujo detallado dará la oportunidad de llevar realizar un análisis más exhaustivo del proceso.

Identificar la secuencia de pasos del proceso. Situándolos en el orden en que son llevados a cabo.

Construir el diagrama de flujo. Para ello se utilizan determinados símbolos. Cada organización puede definir su propio grupo de símbolos. En la figura siguiente se muestra un conjunto de símbolos habitualmente utilizados. Al respecto cabe decir que en la figura “Conector de proceso” es frecuentemente utilizado un círculo como símbolo.

Revisar el diagrama de flujo del proceso.

Diagrama de operación

El diagrama de proceso de operaciones representa gráficamente un cuadro general de cómo se realizan procesos o etapas, considerando únicamente todo lo que respecta a las principales operaciones e inspecciones. Con esto, se entiende que única y exclusivamente se utilizaron los símbolos de operación e inspección.

La American society of Mechanical Engineers (ASME) estableció un conjunto estándar de elementos y símbolos mejorados a continuación se presenta los símbolos de Operación e Inspección:

Para comenzar el Diagrama de operaciones de proceso, es práctico comenzar colocando una línea vertical a la derecha de una hoja, y así, de esa manera, colocar todas las operaciones e inspecciones que sea objeto un determinado producto; sin olvidar que la primera pieza deberá ser la principal, o sea, la más importante de todo producto. El tiempo que se fijará por tarea deberá colocarse a la izquierda de cada operación. Con las inspecciones es opcional es opcional colocar el tiempo o no.

En este tipo de diagrama deben tomarse decisiones en cuanto a las piezas que deban comprarse, y las que deben producirse en la propia empresa, además, nos sirve un plan de distribución, ya que muestra en forma clara las operaciones que deben ejecutarse con su secuencia y la maquinaría a utilizar.

El Diagrama de proceso de operaciones, es aplicable a la elaboración de un producto nuevo y a la elaboración de nuevas instalaciones, así como al análisis de operaciones existentes.

Diagrama hombre-maquina

El diagrama hombre maquina es un planeamiento gráfico que define la actividad de recursos en tareas repetitivas. Cada recurso ejecuta las mismas tareas continuamente, y cuando la última tarea es completada, el recurso volverá a la primera. Este estado es llamado el ciclo. La duración del mismo es el tiempo de ciclo, el cual sería el tiempo que se necesitaría para producir una unidad o ensamblar una pieza.

Se basa en los principios de un diagrama de Gantt, de la siguiente forma: dadas las actividades, se debe realizar la tabla de actividades con sus tiempos respectivos en la unidad de tiempo correspondiente.

Actividades Tiempo (min)

Preparar la máquina H 15

Carga y descarga de materiales H/M 9

Sellado empaque M 13

Empaque H 12

Empaletizado H 6

El tiempo de ciclo quedará, en este ejemplo, definido por los 55 minutos.

Del diagrama anterior se puede extraer que:

En una jornada de un día la empresa realizará 8 empaques. Si la jornada es de 480 minutos, la cantidad de ciclos diarios serán de 480/55=8,72 redondeado a 8.

El número de máquinas que debe tener asignado esta correcta y debe ser 1. N=M+L/L => N=42+22/42 => N=1,52 redondeado a 1.

El tiempo muerto del hombre será 113 minutos diarios y la empresa pierde $9,45 al día. TMH = 13 * 8,72 = 113,45 minutos, suponiendo $5/hr de mano de obra, la empresa pierde 113,45 min/jornada*(1hr/60min)*$5/hr = $9,45/jornada

El tiempo muerto de la máquina será 113 minutos diarios y la empresa pierde $9,45 al día.TMH = 33 * 8,72 = 288 minutos, suponiendo $3/hr de alquiler de máquina, la empresa pierde 288 min/jornada*(1hr/60min)*$3/hr = $14,4/jornada

Diagrama de recorrido

Pese a que el diagrama de flujo de proceso es el que suministra la mayor parte de la información relacionada con un proceso de fabricación, no es la representación más objetiva en el plano del curso del trabajo. En ocasiones esta información sirve para desarrollar un nuevo método. Por ejemplo, antes de que pueda realizarse el trabajo de acortamiento de una operación de transporte es necesario visualizar donde se podría disponer de un sitio para agregar una instalación o dispositivo que permita disminuir la distancia que debe recorrerse en la operación señalada. Es también útil, considerar posibles áreas de almacenamiento temporal o permanente, estaciones de inspección y puntos de trabajo. La mejor forma de obtener la información requerida, es tomar un plano de la distribución existente de las áreas a considerar en la planta, y trazar en él las líneas de flujo que indiquen el movimiento del material de una actividad a otra. Una representación gráfica de la distribución de zonas y edificios, en la que se indica la localización de todas las actividades registradas en el diagrama de curso de proceso, se conoce como diagrama de recorrido de actividades.

La elaboración del diagrama de recorrido, requiere que el analista de métodos y movimientos, identifique cada actividad por símbolos y números que correspondan a los que aparecen en el diagrama de flujo de proceso. El sentido del flujo se indica colocando periódicamente pequeñas flechas a lo largo de las líneas de recorrido. Si se quiere mostrar el recorrido de más de una pieza puede emplearse un color diferente para cada una.La representación gráfica (diagrama de recorrido), junto con el diagrama de flujo del proceso, puede lograr ahorros importantes a través de la mejora de métodos de producción en una empresa.

Es claro, que el diagrama de recorrido es un valioso complemento del diagrama de curso de proceso, dado que en él se puede trazar el recorrido que siguen las operaciones de un determinado proceso productivo y de esta manera encontrar las áreas de posible congestionamiento de tránsito. De esta manera se facilita el poder lograr una mejor distribución en planta.A continuación se muestra una parte de un diagrama de recorrido, en una planta de producción.

Bibliografías:

http://www.aiteco.com/que-es-un-diagrama-de-flujo/ http://es.scribd.com/doc/19378788/Diagrama-Hombre-

Maquina http://www.industrialcr.com/2012/05/01/diagrama-hombre-

maquina/ http://ingenieriametodos.blogspot.mx/2011/07/diagrama-de-

recorrido-parte-ii.html Manual de Ingeniería Industrial

Autor Salvendy

Volumen I

http://ingenieriametodos.blogspot.mx/2008/12/