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Control Estadístico de Procesos (SPC). - Sesión 4ª de 4 - JAIME RAMONET FERNÁNDEZ Ingeniero Industrial Superior. PMP ® (PMI ® ). Formador y Consultor. www.jramonet.com

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Control Estadístico de Procesos (SPC).

- Sesión 4ª de 4 -

JAIME RAMONET FERNÁNDEZ

Ingeniero Industrial Superior.

PMP® (PMI®).

Formador y Consultor.

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Curso: Control Estadístico de Procesos (SPC)Curso: Control Estadístico de Procesos (SPC)3ª sesión3ª sesión

Actitud requerida para recibir Actitud requerida para recibir formaciónformación......y obtener y obtener conocimientoconocimiento::

"Quien establece una diferencia entre educación y entretenimiento,no sabe nada ni de una cosa ni de la otra"

Marshall McLuhan.

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Temario de la sesión:Temario de la sesión:● Gráficos de Control avanzados:

● Gráfico CUSUM● Gráfico EWMA● Intro. a Box-Jenkins y ASPC.

● Curva característica y curva ARL.

● Medidas de Capacidad del proceso:

● Índice Cp● Índice Cpk● Interpretación

● Resumen y clausura del curso.

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Gráficos avanzados:Gráficos avanzados:● Motivación:

– Los gráficos de Shewhart solo tienen en cuenta, para cada punto, los valores relativos a la muestra actual y no al conjunto de datos recopilados hasta el momento (conjunto de muestras). Por otro lado, consideramos que cada observación o muestra es independiente de la anterior.

– La solución consiste en trabajar con gráficos con «memoria».

● Gráficos avanzados (con «memoria»):

– CUSUM: En el Gráfico CUSUM se representa la suma acumulada de las desviaciones, con lo que se está recogiendo la información de todas las muestras anteriores.

– EWMA: En el gráfico EWMA se representan las medias móviles con pesos exponenciales (lo que permite detectar desplazamientos muy lentos).

– Box-Jenkins y ASPC: Son métodos para muestras con dependencia entre ellas. Nota: En general se trata de procesos continuos, en que la entrada se ve retroalimentada por una función de la salida.

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Gráfico CUSUM: Sumas Acumuladas Gráfico CUSUM: Sumas Acumuladas ● Complemento a los gráficos de Shewhart (que en principio no

«persiguen» al valor nominal -VN- sino que se centran en detectar los desequilibrios del proceso creados por causas especiales -asignables-).

● «Persigue» centrar los resultados entorno a un valor objetivo «T».

● Detecta las desviaciones respecto a «T» (“target”) en una magnitud superior a un valor determinado preestablecido por nosotros (“d” = desviación a detectar).

● El «T» puede ser: el valor nominal -VN- de un parámetro del propio proceso o del resultado, la varianza de ídem, una proporción «p» de..., los valores de predicción de un modelo teórico, etc.

● Permite realizar el seguimiento y control de cambios moderados (entre 0,5 y 2 veces σ) del valor «T».

● Especialmente útil para muestras de tamaño n =1.

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Gráfico CUSUM:Gráfico CUSUM:● El gráfico representa el valor de la suma acumulada («C») hasta la

muestra actual («i») de la diferencia entre la media de cada muestra («ẍi») respecto al valor objetivo («T»).

● Formula: Ci = ∑ (ẍi – T);

● El valor de Ci va acumulando las diferencias.

● Si el proceso está bajo control, las desviaciones positivas se compensaran con las negativas y el gráfico serán una serie de punto oscilando sobre y bajo el valor 0 (Ver transparencia siguiente).

● La determinación de la situación del proceso se puede hacer mediante:

– Mediante cálculo numérico.

– Mediante “mascara en V”.

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CUSUM – Bajo control: Datos ...CUSUM – Bajo control: Datos ...

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CUSUM - Bajo control: Gráfico ...CUSUM - Bajo control: Gráfico ...

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CUSUM – Mismo caso, 100 muestrasCUSUM – Mismo caso, 100 muestras

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CUSUM – Mismo caso, CUSUM – Mismo caso, otras 100 muestras !!!otras 100 muestras !!!

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CUSUM (cont.)CUSUM (cont.)● Si la media del proceso (evaluado mediante las medias muestrales «ẍi» )

no coincide con el valor objetivo «T», el gráfico se irá separando del valor 0, al irse acumulando la diferencia.

● El «dato» importante en un gráfico CUSUM no es la separación respecto a 0 (recordar el último gráfico) sino la «pendiente» de la línea de puntos: a mayor pendiente, mayor discrepancia entre la media del proceso y el valor objetivo «T».

● Los límites de control de los gráficos CUSUM vienen dados por dos pendientes (+ y -) que dependen de cuatro factores:

– La escala del gráfico.

– La variabilidad «σ» propia del proceso (teórica o de la población).

– El cambio mínimo (del parámetro) que se quiere detectar (valor umbral «K»).

– El riesgo «α» (Error Tipo I) en la toma de decisiones.

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CUSUM: Construcción del gráficoCUSUM: Construcción del gráfico● Escala del gráfico: se recomienda que 1 unidad de la escala del eje

horizontal (eje X) sea = (2 · σ) de la distribución teórica del parámetro de la escala vertical (eje Y). Ejemplo:

– Si σ = 0,7 u. y en la escala horizontal colocamos las observaciones cada 2 mm (unidad horizontal), entonces, en el eje vertical cada 2 mm representarán (2 * 0,7 ) = 1,4 u. (siendo u. la unidad de medida del parámetro representado en el gráfico).

Unidades “u”

Observaciones

(2 * σ)

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CUSUM – Desviación del parámetroCUSUM – Desviación del parámetro● Si no se conoce la desviación teórica o de la población de la

distribución del parámetro sobre el que se realiza el gráfico, esta deberá ser calculada con la formula adecuada. p.e.:

– σe = s / √‾(n – 1) ; Para variables continuas que se ajusten a la Ley Normal.

– σe = sqrt( p * (1-p) / n) ; Para proporciones de parámetro que se distribuya según la Ley Binomial.

– σe = sqrt( np * (1-p)) ; Para número de individuos con un atributo «p» (Ley Binomial).

– σe = λ ; Para número de ocurrencias por unidad (Ley Poisson).

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CUSUM: Control del procesoCUSUM: Control del procesoMétodo numéricoMétodo numérico

● Método:

– Se acumulan solo las desviaciones mas significativas y por separado, las positivas en “C+” y las negativas en “C-”.

– Se considera que una desviación es significativa si es mayor que un valor umbral «K» predeterminado, normalmente K = ½ de la

desviación que se quiere detectar: K = ½ · (µ0- µ1); o bien, si

µ1 = µ0 + δ · σ ; K = ½ δ ; (Nota: µ0 = T)

– Para cada muestra se calculan D+i = ((xi – T) – K); y D-i = ((T - xi) – K);

– Si (D+i > 0) se acumula a C+; Si (D-i > 0) se acumula a C-;

– Finalmente: C+i = C+i-1 + MAX(0; D+i); y

– C-i = C-i-1 - MAX(0; D-i);

c-c-c-c-

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CUSUM: Límites de C+ y C-CUSUM: Límites de C+ y C-● C+ y C- nos proporcionan la acumulación de las desviaciones

significativas positivas y negativas respectivamente.

● Los límites de control para estos dos valores viene dado por un valor de decisión «H» que habitualmente suele ser H = h · σ . El valor de «h» es 4 o 5, según los autores.

● +/- H son los límites de control para C+ y C-.

● Cuando el proceso se muestra fuera de control, se deberán realizar las acciones correctoras pertinentes y se reiniciaran los valores de C+ y C- a cero.

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CUSUM: ejemplo 1CUSUM: ejemplo 1

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CUSUM: CUSUM: ejemplo 2ejemplo 2

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CUSUM: ejemplo 2CUSUM: ejemplo 2

c+

c-cusum

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CUSUM: Control del procesoCUSUM: Control del procesoMétodo gráfico (plantilla en “V”)Método gráfico (plantilla en “V”)

O Pω

Parámetros de la plantilla:- Distancia O-P y ángulo ω

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CUSUM: Control del procesoCUSUM: Control del procesoMétodo gráfico (plantilla en “V”)Método gráfico (plantilla en “V”)

● Algunos paquetes estadísticos implementan este método.

● Los parámetros son función de la escala del gráfico y normalmente no se calculan a mano.

● Algunos autores desaconsejan el método gráfico.

● El método calculado es + exacto y permite realizar adaptaciones, p.e. Asignación de valores iniciales a C+ y C- > 0 tras una acción correctora incierta.

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CUSUM vs. Gráficos de ShewhartCUSUM vs. Gráficos de Shewhart● CUSUM es + sensible a variaciones pequeñas en el proceso.

● Para variaciones grandes (K > 1,5 o 2) son similares o CUSUM un poco peor.

● Las dos ventajas de CUSUM frente a los Gráficos de Control de Shewhart son:

– Tiene “memoria” de las desviaciones anteriores

– Permite controlar variables u otros parámetros (proporciones, rangos, desviación, etc).

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Gráficos EWMA (I)Gráficos EWMA (I)(Medias móviles ponderadas exponencialmente)(Medias móviles ponderadas exponencialmente)

● Para muestras tamaño 1 (observaciones individuales).

● Se representa un valor acumulado en el que tienen mas importancia (peso) las observaciones + recientes.

● El factor de importancia (peso) de cada observación decae exponencialmente con el tiempo.

● El valor de cada punto se define como:

– yi = λ · xi + (1 – λ) · yi-1; Nota: ha que tomar y0 = μ (media).

● El valor λ es discrecional (0 < λ <= 1). Normalmente entre 0,05 y 0,25.

– Cuanto mayor sea λ, mayor perdida de importancia con el tiempo. Para λ = 1 solo cuenta la observación + reciente (ídem a un gráfico de Shewhart. Para λ 0→ tenemos un gráfico del tipo CUSUM.

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Gráficos EWMA (II)Gráficos EWMA (II)(Medias móviles ponderadas exponencialmente)(Medias móviles ponderadas exponencialmente)

● Los límites de control (que son función de la observación) son:

– LCS = μ + 3 · σ · sqrt((λ · (1 – (1-λ)2i ) / (2-λ))

– LC = μ

– LCI = μ - 3 · σ · sqrt((λ · (1 – (1-λ)2i ) / (2-λ) )

● De forma simplificada (aproximada) se puede aceptar:

– LCS = μ + 3 · σ · sqrt( λ/(2 – λ) )

– LC = μ

– LCI = μ - 3 · σ · sqrt( λ/(2 – λ) )

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Gráfico EWMA: Gráfico EWMA: EjemploEjemplo

Puntos del gráfico: y

0 = μ ;

yi = λ · x

i + (1 – λ) · y

i-1;

Límites de control:LCS = μ + 3 · σ · sqrt( λ / (2 – λ) ) LC = μ

LCI = μ - 3 · σ · sqrt( λ / (2 – λ) )

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Gráfico EWMA: EjemploGráfico EWMA: Ejemplo

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Box-Jenkins y ASPCBox-Jenkins y ASPC● Justificación:

– Cuando las observaciones NO son independientes entre si, pueden existir causas especiales (asignables) que pueden actuar continuamente a lo largo de un conjunto de observaciones, sin poder ser eliminadas de una forma operativa (procesos en continuo, por ejemplo).

– Existen dos estrategias:

● Gráficos Box-Jenkins: Son gráficos de control que se adaptan, mediante transformación (corrección) de los datos obtenidos, en función de la dependencia entre observaciones (p.e. Series temporales depndientes de la estacionalidad). Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Jenkins

● ASPC (Control estadístico adaptativo y automático): Se trata de realizar un Control Estadístico del Proceso y una corrección o ajuste automático del mismo (retro-alimentación de control) cada vez que este se desplace de su valor nominal.

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Box-Jenkins: EjemploBox-Jenkins: Ejemplo

Datos originales Datos transformados

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ASPC: Esquemas (ejemplos)...ASPC: Esquemas (ejemplos)...

Controlador

PROCESO ResultadoEntrada

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Curva Característica de OperacionesCurva Característica de Operacionesde un Gráfico de Control (“OC”)de un Gráfico de Control (“OC”)

● Mide la sensibilidad del Gráfico de Control.

● Evalúa la probabilidad de que un punto caiga dentro de los límites de control si se ha producido un cambio de magnitud determinada en el proceso.

● Es función del tamaño de la muestra,

de la desviación tipo y de α (que determina los Límites de Control).

● p.e. Si desplazamiento = 0: OC = α

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Curva ARL (“Curva ARL (“Average Run LengthAverage Run Length”)”)● Mide la rapidez de respuesta del Gráfico de Control frente a un

cambio en el proceso.

● Indica el número medio de muestras necesario para detectar un cambio (“dar la alarma”) de una magnitud determinada en el proceso.

● Está relacionada con la curva OC: ARL (μ) = 1 / (1 – OC(μ)).

● Cuando el proceso se muestra fuera de control, deberemos analizar como mínimo “n” muestras anteriores, siendo “n” el valor de la curva ARL.

● En un proceso bajo ARL = 1 / α; (Para Límites de Control a 3 · σ → α

= 0,03 ARL = 1 / 0,03 = 33,3 muestras !!!. ¿Que pasaría si → α = 1?; pero...!!!)

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VNLTI LTS

Medidas de Capacidad de los ProcesosMedidas de Capacidad de los Procesos● La capacidad de un proceso mide su

nivel de cumplimiento respecto a una especificación dada. Un proceso es capaz si su resultado (producto o el servicio) está dentro de los límites de la especificación establecida.

● Una especificación viene dada por un valor nominal (VN) y unas tolerancias (positiva y/o negativa) que determinan los límites de tolerancia de la especificación (LTS y LTI).

● Mide lo que el proceso es “capaz” de hacer.

Hipótesis: Distribución Normal del parámetro y proceso bajo control.

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Índice de Capacidad CpÍndice de Capacidad Cp● El índice de capacidad viene definido por la relación entre el rango de la

tolerancia y un múltiplo de la dispersión del proceso:

● Cp = ( LTS – LTI ) / k · σ; (siendo “σ” la desviación tipo del proceso)

● El valor de “k” depende del tipo de proceso. Para procesos muy estrictos o básicos (p.e. para la medida de capacidad de máquinas), se toma K = 8. Para resultados finales (p.e. Medida de capacidad del proceso global) se toma k = 6.

● En sectores específicos pueden ser habituales otros valores de “k” (p.e. En aeronáutica o en electrónica, K = 10 o K = 12).

● Si Cp >> 1 Proceso capaz. Deseable: Cp > 1,33→

● Si Cp justo por encima ó = 1 Proceso en el límite. Hay que intentar →mejorarlo ;-(

● Si Cp < 1 proceso No capaz. Hay que mejorar el proceso (o cambiar las →especificaciones).

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Razón de capacidad del proceso CpkRazón de capacidad del proceso Cpk● El índice de capacidad Cp no informa de si en proceso está centrado

en el valor nominal (VN).

● Para tener en cuenta el centrado sobre el valor nominal, se define el valor de Razón de Capacidad Cpk.

● Cpk = Min( (LTS – ) / Ẍ k · σ ; ( - LTI) / k · σ );Ẍ

● Como en el caso anterior, el valor “k” depende del tipo de proceso. Para procesos muy estrictos o básicos (p.e. para la medida de capacidad de máquinas), se toma K = 4. Para resultados finales (p.e. Medida de capacidad del proceso global) se toma k = 3.

● Nota: El valor de “k” en la fórmula de Cpk debería ser = ½ · k de la formula del índice Cp.

● Se cumple que: Cpk <= Cp

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Cp y Cpk: situaciones...Cp y Cpk: situaciones...

VN LTSLTI VN LTSLTI

VN LTSLTI VN LTSLTI

VN LTSLTI

Cp > 1Cpk > 1

Cp = 1Cpk = 1

Cp < 1Cpk < 1

Cp > 10 < Cpk < 1

Cp < 1Cpk = 0

Imaginar:Cp < 1Cpk < 0

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Medida de la Capacidad del proceso:Medida de la Capacidad del proceso:ProcedimientoProcedimiento

● Asegurar que el proceso esta «bajo control».

● Tomar un mínimo de 50 (mejor 100) unidades consecutivas y medir el parámetro.

● Verificar que los datos se distribuyen según una Ley Normal – Prueba o contraste de Normalidad (diversos métodos: p.e. método gráfico).

● Obtener la desviación tipo del proceso σ. La media se tomará igual al VN.

● Calcular Cp y Cpk del proceso.

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Ejemplo: cáculo de Cp y CpkEjemplo: cáculo de Cp y Cpk

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Otro ejemplo índices Cp y Cpk:Otro ejemplo índices Cp y Cpk:● La especificación de un parámetro de un proceso bajo control establece:

– VN = 10,80 mm.

– Tolerancia: +/- 0,20 mm. (LTS = 11,00 mm; LTI = 10,60 mm; Rt = 0,40 mm)

● Se seleccionan 100 muestras consecutivas, se obtienen los valores del parámetro y se verifica la normalidad de la distribución de estos datos.

● Se calculan los datos estadísticos de las 100 observaciones:

– Media μ = 10,72 mm. Y desviación tipo σ = 0,05 mm.

● Cálculos de Cp y Cpk:

– Cp = 0,40 / 6 * 0,05 = 1,33 ;

● Cpk-sup = (11,00 – 10,72 ) / 3 * 0,05 = 0,28 / 0,15 = 1,86● Cpk-inf = (10,72 – 10,60 ) / 3 * 0,05 = 0,12 / 0,15 = 0,80

– Cpk = min( 1,86 ; 0,80 ) = 0,80 Interp

retar...

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Resumen del Curso ;-)Resumen del Curso ;-)(adaptado de la Norma ISO 7870-2:2013)(adaptado de la Norma ISO 7870-2:2013)

Gráficos de ControlPROCESO

AC: Eliminar causas

asignables

EvaluarCapacidad

Bajo control

No

Si

Cpk > 1No

Si

Mejorar Proceso ocambiar especificación

Intentar mejorarCpk > 1,33

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Bibliografía:Bibliografía:● Norma ISO 7870-2:2013 - Control charts — Part 2: Shewhart

control charts.

● ISO 22514-7:2012 Statistical methods in process management - Capability and performance -- Part 7: Capability of measurement processes.

● Norma ISO 11462-1:2001 - Guidelines for implementation of statistical process control (SPC) - Part 1: Elements of SPC.

● Control y mejora de la calidad. A. Prat, X. Tort-Martorell, P. Grima y L. Pozueta. Edicions UPC. Barcelona, 1998

● Shewhart W.A. Economic Control of Manufactured Product. D. Van Norstrand, Co, New York, 1931.

● Grant E ., & L eavenworth R. Statistical Quality Control. McGraw-Hill Series in Industrial Engineering and Management, 1996.

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