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Control de Sistemas No Lineales 1ª Jornada Académica sobre los Sistemas de Telecomunicaciones Dr. Carlos Jiménez Gallegos, Academia de Ingeniería Cuautepec ISEI

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Control de Sistemas No Lineales1 Jornada Acadmica sobre los Sistemas de Telecomunicaciones

Dr. Carlos Jimnez Gallegos, Academia de Ingeniera Cuautepec ISEI

Este Esta presentacin, que se recomienda ver en modo de presentacin, muestra las nuevas funciones de PowerPoint. Estas diapositivas estn diseadas para ofrecerle excelentes ideas para las presentaciones que crear en PowerPoint 2010.

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Agenda de la presentacinOfrecemos caractersticas tiles para cada momento 0Continuidad y Determinismo 1Lineales contra No Lineales 2Control Geomtrico 3Aplicaciones

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Continuidad y DeterminismoEn esta pltica se hablar slo de sistemas dinmicos continuos y deterministas0

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Continuidad

ContinuoDiscreto

Definido para todo tiempoDefinido slo en instantes determinados del tiempo

DeterminismoAsumimos que la naturaleza que integra el sistema dinmico es conocida, o que al menos la solucin del sistema no depende de un proceso aleatorio.

El estado de un sistema es producto de su historia y punto de partida del su futuro

Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.

Se podra concebir un intelecto que en cualquier momento dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para someter los datos a anlisis, podra condensar en una simple frmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del tomo ms ligero.

Para tal intelecto nada podra ser incierto y el futuro as como el pasado estaran frente sus ojos.El Diablito de Laplace

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1Sistemas Lineales vs Sistemas No LinealesComparemos estos dos paradigmas a travs de sus modelos matemticos

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A) Modelos Lineales

Sistemas Lineales vs Sistemas No linealesSon sistemas dinmicos en donde se cumple la superposicin y la homogeneidad

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Modelos LinealesLos sistemas lineales son un subconjunto del universo de los sistemas. Su importancia radica en la conjuncin de dos elementos:

muchos sistemas pueden representarse por modelos lineales de razonable fidelidad

existen poderosas herramientas para analizar y sintetizar este tipo de sistemas.

Sistemas LinealesSuperposicin: La propiedad de superposicin encierra la idea que la salida del sistema se puede calcular separando los efectos de componentes del estado y/o componentes de la salida, y luego sumando (superponiendo) las respuestas a cada uno de esos componentes.

Homogeneidad: se expresa en que, en los sistemas lineales, la proporcionalidad en la entrada y/o el estado se propaga a la salida sin alteracin.

Existen dos representaciones principales para los Sistemas LinealesFuncin de TransferenciaLa funcin de transferencia utiliza la transformada de Laplace para formar relaciones algebraicas a partir de ecuaciones diferenciales

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Funcin de Transferencia

H(s)u(s)Entraday(s)SalidaFuncin de Transferencia=x

Y cuando las computadoras aparecieron tom fuerza elEspacio de EstadosEl Espacio de Estados representa al sistema como una ecuacin diferencial de primer orden matricial y una ecuacin algebraica a la salida

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Espacio de Estados

Se le llama solucin a las funcin del tiempo que cumple el modelo (ecuacin diferencial que le dio origen)Solucin de los Sistemas Lineales

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Para la funcin de transferenciaLos sistemas lineales que proceden de sistemas causales slo tienen modos (polos) reales de primer orden o pares complejos conjugados.

En la funcin de transferencia se pueden calcular las fracciones parciales y aprovechar la superposicin para calcular la respuesta como los suma de transformadas inversas de funciones pequeas:

Para la funcin de transferencia

Para el espacio de estadosEn la solucin misma podemos notar la homogeneidad y la superposicinPodemos notar que la solucin tiene un trmino de decaimiento en el estado y una integral de convolucin en la seal de entrada.La solucin de este sistema generalmente se encuentra de forma numrica usando una aproximacin de la funcin exponencial (serie de Taylor)

Para el espacio de estadosLa exponencial tambin se puede expresar como:

Que est muy relacionada a la funcin de transferencia pues el determinante

Es el denominador de

B) Modelos No Lineales

Modelos Lineales vs Modelos No lineales

Aunque no cumplen la homogeneidad o la superposicin resultan mejores aproximaciones de los fenmenos complejos

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Un sistema no lineal se puede escribir en la llamadaForma NormalDonde f, g y h son funciones vector valuadas posiblemente variantes en el tiempo

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Sistema No linealEn 1963 Lorenz presento su modelo meteorolgico conocido como oscilador de Lorenz

No siempre es posible encontrar una solucin analtica, por lo que frecuentemente se recurre a la simulacin o clculo numrico de estaSolucin de los Sistemas No Lineales

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Solucin de sistemas Lineales

C) Guerra de Modelos

Lineales vs no lineales

Quin es quin en los modelos?

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Para comparar veamos unEjemplo IlustrativoEcuacin de Lotka-Volterra poblaciones presa depredadorImaginemos una poblacin de conejos y de zorros. Todos los coeficientes son positivos

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Lineal vs No linealA) En el punto de equilibrio

Lineal vs No linealFuera del punto de equilibrio

2Control GeomtricoAhora comienza lo divertido

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lgebra de Lie

Nada tan poderoso como el:Sea f(x) y g(x) campos vectoriales y h(x) una funcin real valuada1) La derivada de h(x) en la direccin de f(x) 1) Corchete de Lie entre f(x) y g(x)

Cuasi Linealizacin

Esquema del sistema cuasilineal

Estrategia de Control1) Se busca la inversin de la planta2) v es la dinmica que se le quiere inducir3) Se asume que se puede estimar y que no pasar por cero

3AplicacionesEstilice, edite y anime los archivos multimedia

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El oscilador de Chua

Control del SistemaEn menos de 10 segundos el sistema va a cero

Sincronizacin de dos sistemas de Lorenz

Observe la Seal de control

La Seal de Control Devela la perturbacin

Transmisin de DatosTransmitamos informacin de forma oculta

Nada por AquiNada por ac

Seal a la entradaSeal develada

Estoy a sus rdenes para cualquier duda.

[email protected]@uacm.edu.mxGracias por venir

Aqu termina mi presentacin

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Los esperamos en 15 dias !

1 Jornada Acadmica sobre los Sistemas de Telecomunicaciones

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