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U.P.M.-DISAM P. Campoy

Control de Procesos Industriales

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Control de Procesos Industriales 3. Análisis temporal de sistemas

por

Pascual Campoy Universidad Politécnica Madrid



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Análisis temporal de sistemas

•  Introducción •  Estabilidad •  Ganancia estática •  Caracterización dinámica •  Sistemas de primer orden •  Sistemas de segundo orden •  Sistemas de orden superior •  Sistema reducido equivalente

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Introducción

régimen permanente: régimen transitorio:

estabilidad y ganacia estática

dinámica



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Estabilidad

•  Un sistema se dice que es estable si y sólo si su salida y(t) está acotada ante cualquier entrada u(t) acotada.

sistema estable ⇔ ∀u(t)/up(t)< ∞ ⇒ yp(t)<∞

•  Un sistema lineal, representado por su f.d.t. G(s), es estable si y solo si todos sus polos tienen parte real estrictamente negativa. –  Nota: Los polos de G(s) son las raíces de su denominador

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6

Ejemplos de estabilidad

f1 Depósito sin salida:

1

Depósito con salida:

Puente de Tacoma:

Condensador:

C

Circuito R-C:

C

R Circuito L-C:

C

L



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Ganancia estática

•  Definición: Se denomina ganancia estática de un sistema lineal estable a la relación entre su salida y su entrada cuando ambas se han estabilizado.

•  Dada la ecuación diferencial lineal del sistema:

•  Dada la f.d.t. del sistema:

si es estable:

si es estable:

4



8

estable:

Ejemplos de ganacia estática

!

Uc (s)U(s)

=1

RCs+1I(s)U(s)

=Cs

RCs+1

u C

R a) circuito R-C

1

b) depósito con salida c) modelo lineal depósito con salida

!

H(s) =1

As+ a g /2H0

Fe (s)



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Caracterización dinámica

ts

±5%

tr tp

5



10





11

T = 1, 2, 3, 4, 5

Sistema de 1er orden simple

Ecuación: F.d.T.:

•  Respuesta ante escalón: único polo en

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Ejercicio 3.1: análisis de sistema 1er orden

Dado el siguiente sistema:

a)  Calcular las ganacias Δh(∞)/Δf1(∞) y Δh(∞)/Δs1(∞) del sistema linealizado sobre el p.e. definido por F10=1, s10=0.3, A=1. (2 puntos)

b)  Comparar en Simulink la Δh(∞) obtenida mediante la f.d.t. con la obtenida mediante la ganancia calculada en el apartado anterior, ante entrada Δf1=0.5 (2 puntos)

c)  Comparar en Simulink los dos resultados del apartado anterior con la h(∞) del sistema real (2 puntos)

d)  Calcular el tiempo caracteristico del modelo en f.d.t. de este sistema (2 puntos)

e)  Comparar en Simulink el valor del apartado anterior con el tiempo en el que el sistema real alcanza el 63% de su incremento total (2 puntos)



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•  Introducción •  Estabilidad •  Ganancia estática •  Caracterización dinámica •  Sistemas de primer orden •  Sistemas de segundo orden

–  introducción –  sistemas sub-amortiguados –  sistemas sobre-amoriguados

•  Sistemas de orden superior •  Sistema reducido equivalente

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Sistema de 2º orden simple: introducción

•  Ecuación:

•  f.d.t.: siendo:

•  situación de los polos:



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Sistema 2º orden sub-amortiguado (0≤ζ<1)

•  Respuesta ante escalón:

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σ=1 ωd=0,0.5,1,2,3,4


Efecto de ωd (σ constante):



25

ωd =1 σ = 0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2


Efecto de σ (ωd constante):

9



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ωn = 1,2,3 ζ = 0.3


Efecto de ωn (θ constante):



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ζ = 0, 0.1 ... 0.9


Efecto de ζ =cosθ (ωn constante):

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34

Sistema 2º orden sobre-amortiguado (ζ>1)

1

t2s+1

Kp

t1s+1



35

Sistema 2º orden sobre-amortiguado (ζ>1)

Respuesta ante escalón en función de ζ :

ζ= 1 ... 9

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Sistema 2º orden criticamente amortiguado (ζ=1)

Respuesta ante escalón:



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modelo en f.d.t.

modelo en f.d.t.

Ejercicio: sistemas 2º orden Para el sistema de la figura:

a)  Obtener la función de transferencia de H2(s)/Href(s) (2,5 puntos) b)  Calcular la estabilidad y la ganacia en función de Kc (2,5 puntos) c)  Estudiar la dinámica en función de Kc (2,5 puntos) d)  Comprobar los resultados de los 2 apartados anteriores en Simulink

sobre el sistema real, superponiendo la salida H2(t) para los valores de Kc=1, Kc=3 y Kc=9 (2,5 puntos)

Depósito 1 para f10=1, s10=0.3 y A1=1:

Depósito 2 para f20=1, s20=0.3 y A2=1:

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•  Introducción •  Estabilidad •  Ganancia estática •  Caracterización dinámica •  Sistemas de primer orden •  Sistemas de segundo orden •  Sistemas de orden superior

–  efecto de un polo adicional –  efecto de un cero adicional

•  Sistema reducido equivalente



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Sistema 2º orden con polo adicional

T= 0, 0.1, 0.5, 1, 2, 10

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10 (Td s + 1)

Sistemas 2º orden con cero adicional

Td= 0, 0.1, 0.5, 1, 2



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10 (Td s + 1)

Sistemas 2º orden con cero adicional en semiplano positivo

Td= 0, -0.1, -0.5, -1, -2

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–  Supresión de polos poco significativos –  Supresión de par polo-cero cercanos



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Sistema reducido equivalente: Supresión de polos poco significativos …

•  Supresión de un polo real

10 a

(s+a)((s+1)2+9)

a = ∞,10,5,2,1

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Sistema reducido equivalente: Supresión de par polo-cero cercanos …

•  Supresión de un par polo-cero menos significativo

10 2/1.9 (s+1.9)

(s+2)((s+1)2+9)

10 2/2.1 (s+2.1)

(s+2)((s+1)2+9)

10

((s+1)2+9)



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Sistema reducido equivalente: … supresión de par polo-cero cercanos …

•  Supresión de un par polo-cero significativo

10 1/0.9 (s+0.9)

(s+1)((s+1)2+9)

10 1/1.1 (s+1.1)

(s+1)((s+1)2+9)

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