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Control Automático – Segunda Parte
Efectos de Ruido y Disturbio en Sistemas de Control: Suponga el siguiente Sistema de
Control:
Debido a que se trata de un sistema lineal se puede aplicar Superposición.
1º - Se supone D(s)=0; N(s)=0 y se calcula el aporte de R(s):
2º - Se supone R(s)=0; N(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de D(s):
3º - Se supone R(s)=0; D(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de N(s):
Por lo tanto la salida Y(s) es la suma de los efectos por separados:
Para determinar el Error E(s) se lo puede hacer de 2 maneras:
A – Calcular E(s) = R(s) – ( Y(s) + N(s)). (Es mas complicado)
B – Suponer que E(s) es la salida y aplicar Superposición:
1º - Se supone D(s)=0; N(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de R(s):
2º - Se supone R(s)=0; N(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de D(s):
3º - Se supone R(s)=0; D(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de N(s):
Al final será:
Al observar esta expresión se deduce que:
1 – Con el aporte de R(s) no se puede hacer nada.
2 – Para disminuir el aporte de D(s) se puede hacer Gc(s) lo mas grande posible.
3 - Para disminuir el aporte de N(s) se puede hacer Gc(s) lo mas grande posible.
Conclusión:
Para disminuir el Error se debe poner alta la Ganancia del Controlador.
Sensibilidad: Determinar la Sensibilidad del Sistema Realimentado es encontrar cuanto
varia la variable controlada cuando varia algún parámetro de la Planta. Supóngase el siguiente Sistema de Control:
En donde:
es la F. de T. del Controlador.
es la F. de T. de la Planta. representa pequeñas variaciones de la F.
de T. de la Planta que puede deberse a variaciones por el paso del tiempo, desgastes mecánicos, variaciones por temperatura, tolerancia de los componentes, etc.
se adopta para simplificar los cálculos.
Evidentemente, las variaciones en la Planta se verán reflejadas en la salida Y(s); una
forma de cuantificar esas modificaciones es estudiar el Error E(s). En condiciones
normales E(s) vale:
Considerando las variaciones de la Planta, se modifica:
Operando algebraicamente se puede obtener la expresión de la Variación del Error:
Lo ideal seria que valga 0. Las siguientes suposiciones simplificativas ayudan a visualizar mejor el problema:
Entonces:
Si se supone que tiene un valor muy alto (>100); entonces:
Entonces:
El denominador es bastante grande, o sea que tiende a 0. Observar también que la
entrada R(s) puede ser cualquiera. Recordar que todas estas consideraciones son para
pequeñas variaciones de la Planta.
¿Qué pasa si la Planta tiene variaciones en un Sistema de Lazo Abierto?
Evidentemente toda variación de la Planta se ve reflejada directamente en la salida Y(s).
Se define como Sensibilidad al cociente entre el Porcentaje de Cambio de la F. de T. del Sistema y el Porcentaje de Cambio de la F. de T. de la Planta.
La F. de T. del Sistema es:
Entonces la Sensibilidad S es:
Si los cambios son muy pequeños, se pueden considerar diferenciales; entonces:
Para el caso estudiado seria:
se lee Sensibilidad de T(s) respecto de G(s).
Conclusión: La Sensibilidad depende de y de . Sobre la Planta no se puede
hacer nada, pero si la Ganancia de es grande, la Sensibilidad tendera a 0.
En Lazo Abierto:
Que la Sensibilidad valga 1 significa que todo cambio en la Planta se refleja en la Salida.
¿Cuánto vale la Sensibilidad en un Sistema de Control de Lazo Cerrado que tenga H(s)
distinto de 1?
Exactitud
Se estudia el Error en Estado Estacionario, es decir cuando la salida del Sistema alcanzo
el Régimen Permanente. En Lazo Abierto seria:
En Lazo Cerrado seria:
Teorema del Valor Final: Sirve para estudiar el Error en Estado Estacionario.
Si se supone una Entrada r(t) = 1 para t > 0. (Entrada Escalón)
Entonces, en Lazo Abierto será:
Se puede conseguir si ; para lo cual se debe calibrar exactamente.
En Lazo Cerrado será:
Si tiene un valor muy alto, se puede conseguir que sea muy próximo a 0.
Con lo visto, podría parecer que Lazo Abierto es mejor que Lazo Cerrado pero esto no
es así ya que la Sensibilidad de uno y otro es totalmente distinta (considerar pequeños cambios en la Planta que pueden deberse a oxidación de elementos móviles, variaciones
de valores de componentes por efectos térmicos, etc.).
Estabilidad:
Se comienza analizando un ejemplo mecánico. Suponga que se dispone de una bolita a la cual se le aplica una pequeña fuerza instantánea y que no existe rozamiento:
En la situación A: La bolita se moverá sin detenerse nunca. Esto esta Marginalmente
Estable.
En la situación B: La bolita se moverá en forma oscilatoria, sin detenerse nunca; pero al
existir rozamiento oscila en forma amortiguada hasta quedarse quieta en la posición
inicial. Esto esta Estable.
En la situación C: La bolita se moverá y nunca más vuelve a la posición inicial. Esto
esta Inestable.
“Un Sistema Estable es un Sistema Dinámico con una Salida Limitada cuando se
expone a una Entrada Limitada”
Otro ejemplo mecánico: Un cono.
Situación A: Estable Situación B: Inestable
Situación C: Marginalmente Estable
Estabilidad en Sistemas de Control – Análisis en el dominio del tiempo. Suponga un Sistema al cual se le aplica una entrada r(t) acotada (puede ser un Impulso o
un Escalón) y se observa el comportamiento de la salida y(t).
La Estabilidad o Inestabilidad de un Sistema no se refiere a si esta quieto o en
movimiento; se refiere a un Estado.
Estabilidad en Sistemas de Control – Análisis en el dominio de la frecuencia compleja.
La Función de Transferencia del Sistema G(s) se la puede expresar mediante el cociente de dos polinomios:
Se llama Ecuación Característica del Sistema al polinomio denominador igualado a 0.
Se analiza la ubicación de las raíces del polinomio Q(s) en el Plano S (Polos del
Sistema); si todos los Polos se ubican en el Semiplano Izquierdo el Sistema es Estable;
si se ubican sobre el eje imaginario el Sistema es Marginalmente Estable y si por lo menos un Polo se ubica en el Semiplano Derecho el Sistema es Inestable.
Estabilidad Absoluta: Un sistema es estable, si con condiciones iniciales nulas, ante una entrada acotada, la respuesta también está acotada. Hay dos tipos de estabilidad, la absoluta
y la relativa. La primera hace mención a si el sistema es estable o no, mientras la estabilidad
relativa cuantifica el nivel de estabilidad del sistema. En esta sección se tratara de determinar la estabilidad absoluta de sistemas LTI de tipo SISO.
Estabilidad absoluta de Sistemas LTI en el dominio complejo: Un primer método para
conocer la estabilidad absoluta del sistema es calcular las raíces del polinomio característico y observar que todas están en semiplano negativo.
Criterio de Routh-Hurwitz Este criterio es un método algebraico que determina si las raíces de un polinomio de
coeficientes constantes están en el semiplano izquierdo del dominio en s, sin necesidad de
calcular las raíces. Hoy en día, con los simuladores, la utilidad de este criterio es menor. Actualmente, se suele emplear cuando hay un parámetro intrínseco y variable dentro del
sistema y se desea predecir cuál es el rango que puede tener sin comprometer la estabilidad.
La estabilidad de un sistema LTI-SISO depende de sus polos en Lazo Cerrado. Las condiciones de Cardano-Viete dice que para que un polinomio tenga sus raíces con parte
real negativa, es necesario pero no suficiente que todos los coeficientes tengan el mismo
signo y que ninguno sea nulo.
Para dar condición de suficiencia se requiere el criterio de Routh-Hurwitz basados en los determinantes de este último. Con el objeto de simplificar el cálculo de los determinantes de
Hurwitz, Routh propuso una tabulación tal que si los elementos de la primera columna no
cambian de signo, las raíces están en el semiplano negativo. Sea la Función Transferencia
siguiente:
su ecuación característica posee n + 1 coeficientes ai reales:
Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algún coeficiente nulo o negativo, el sistema no seria estable. Si se cumple la condición
anterior, que se conoce como condición de Cardano-Viete, el sistema puede ser estable o no. Para comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai de forma que sigan el
patrón impuesto por la siguiente tabla:
Donde los coeficientes ai se distribuyen en las dos primeras columnas. Los coeficientes
de las sucesivas filas se calculan empleando los coeficientes de las dos columnas
inmediatamente superiores. Así los coeficientes bi se calculan como sigue:
A partir de un momento, los coeficientes de las filas valen sucesivamente cero. Estos
ceros a veces son necesarios para calcular coeficientes posteriores. Se puede observar
que el cálculo de los coeficientes sigue un patrón que se puede memorizar. El
denominador siempre es el primer coeficiente de la fila inmediatamente superior. El
numerador depende de los coeficientes de las dos filas inmediatamente superiores y es
la diferencia de dos productos cuyos términos poseen una posición cruzada. Para
sucesivos coeficientes, los dos primeros términos siempre se emplean en el producto
cruzado, mientras que los otros dos van avanzando.
El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en s0, que solo posee un
coeficiente no nulo, d en la expresión. El criterio afirma que el sistema es estable si y
solo si todos los coeficientes de la primera columna de Routh-Hurwitz son positivos. Es,
por tanto, una condición necesaria y suficiente. La primera columna la forman los
primeros coeficientes de todas las filas. Aunque el criterio solo se fije en los primeros
coeficientes, las filas hay que completarlas enteras, porque todos los coeficientes son necesarios para calcular los inferiores.
Cuando no se cumple el criterio de Routh-Hurwitz, es posible conocer el número de polos del sistema que están en el semiplano de parte real positiva. Existen tantos polos
con parte real positiva como cambios de signo aparecen a la largo de la primera columna de Routh-Hurwitz.
Es importante recalcar que criterio de Routh-Hurwitz informa sobre la estabilidad absoluta, es decir, se limita a mostrar si el sistema es estable o no, sin indicar el grado
de estabilidad o inestabilidad, lo próximo o lo alejado que se esta de volverse inestable
o estable.
Estabilidad de los sistemas de segundo orden: En el caso de sistemas de segundo orden,
discernir la estabilidad del sistema es especialmente sencillo. Sea la ecuación
característica general de segundo orden:
Si los tres coeficientes a1, a2 y a3 son positivos no nulos, se cumple la condición de
Cardano-Viete y el sistema puede ser estable. Se construye entonces la tabla de Routh-
Hurwitz:
En este caso concreto, los coeficientes de la primera columna coinciden exactamente
con los coeficientes del polinomio de la ecuación característica. Por tanto, basta con
observar si los tres coeficientes de la ecuación característica son positivos para que se
cumpla tanto la condición de Cardano-Viete como el criterio de Routh-Hurwitz y se
pueda afirmar que el sistema es estable.
Estabilidad de los sistemas de tercer orden: En el caso de sistemas de tercer orden, también resulta relativamente sencillo predecir la estabilidad o no del mismo. Sea la
ecuación característica general de tercer orden:
Si los coeficientes son positivos no nulos, el sistema puede ser estable. Se construye
entonces la tabla de Routh-Hurwitz:
Para que todos los coeficientes de la primera columna sean positivos, la única condición
que se debe cumplir es:
Ejemplo numérico de sistema de cuarto orden: El número de condiciones que se deben
cumplir para casos genéricos de sistemas de orden elevado es cada vez mayor. En este
apartado se resuelve el caso concreto de un sistema de cuarto orden con la siguiente
ecuación característica:
Todos los coeficientes son positivos no nulos, por lo que se construye la tabla de Routh-
Hurwitz:
Todos los coeficientes de la primera columna son positivos menos uno que es negativo,
por tanto el sistema es inestable. Asimismo, existen dos cambios de signo en la
columna, por tanto existen dos raíces con parte real positiva. Las raíces de la ecuación
característica, es decir, los polos del sistema son:
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz
La confección de la tabla de Routh-Hurwitz puede ser imposible en varios casos, por
ejemplo cuando alguno de los denominadores de los coeficientes se hace nulo. En los
siguientes apartados se presenta el modo de actuar para el caso de las dos situaciones
especiales mas frecuentes.
Caso 1: Se anula el primer coeficiente de una fila: Si existe un cero en la primera
posición de una fila, todos los coeficientes de la fila inmediatamente inferior se hacen
infinitos. Para evitar esta situación, se puede sustituir el coeficiente nulo por una
constante positiva e muy próxima a cero. Esta constante se arrastra en el cálculo de los
siguientes coeficientes y permite estudiar el signo de todos ellos.
Como ejemplo se puede observar que ocurre cuando la ecuación característica es:
No cumple la condición de Cardano-Viete, por la que ya se puede afirmar que el sistema es inestable.
Si se construye la tabla de Routh-Hurwitz:
Si e toma un valor positivo muy pequeño, el siguiente coeficiente de la columna es
negativo muy grande, por lo que el sistema es inestable. Existen dos cambios de signo,
de la segunda a la tercera fila y de la tercera a la cuarta, por tanto existen dos polos de
parte real positiva. En efecto, s = 1 es un polo doble con parte real positiva, como ya se
mostró en la definición de la ecuación característica.
Caso 2: Se anula toda una fila: Cuando se anula toda una fila de la tabla de Routh-
Hurwitz significa que existen raíces simétricas respecto un eje y situadas encima del
otro. Es decir, serán raíces imaginarias puras conjugadas o reales de signo contrario.
También pueden existir raíces en el origen. Estas raíces peculiares, se obtienen
resolviendo la ecuación que se construye con la fila superior a la nula, es decir, el ultimo
renglón no nulo. Como ejemplo, se puede observar como se obtienen esas raíces
peculiares en la siguiente ecuación característica:
Toda la fila en s1 es nula. Con los coeficientes de la fila inmediatamente superior no
nula, la fila en s2, se construye una ecuación llamada ecuación auxiliar.
Las raíces de la ecuación auxiliar, en este caso + y - j, son también raíces de la ecuación
característica. Para poder seguir construyendo la tabla de Routh-Hurwitz, se realiza de
la forma habitual una vez que se ha sustituido la fila de ceros por los coeficientes que
resultan de derivar el polinomio de la ecuación auxiliar respecto de s. Como ejemplo se
puede observar que ocurre cuando la ecuación característica es:
Su Tabla de Routh-Hurwitz es:
Donde la nueva fila en s3 se obtiene derivando respecto de s el polinomio de la ecuación
auxiliar:
La anterior fila en s3 no se tiene en cuenta para la construcción de la tabla. En este caso,
como era de esperar, por Cardano-Viete, el sistema es inestable y, por tener un único cambio de signo, le corresponde una sola raíz con parte real positiva.
Estabilidad Relativa - Análisis de Bode
La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y desempeño de los
sistemas dinámicos, es en el dominio del tiempo.
Ejemplo de esto es cuando se dice que un sistema responde más rápido que otro, o
cuando se dice que el tiempo de establecimiento de tal sistema es de 0.25 segundos. Sin
embargo a medida que los sistemas se presentan más complejos (en dimensión,
parametrización, identificación, etc.), sus comportamientos son más difíciles de
determinar analíticamente. Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar
tales sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia.
Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control, proveen un conjunto
de análisis y herramientas gráficas que no están limitadas por el orden del sistema o por
otras complejidades. El análisis de respuesta en frecuencia:
• Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre. • Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones racionales.
• Las pruebas de respuesta en frecuencia son relativamente fáciles de realizar y se puede modelar una Función de Transferencia a partir de datos experimentales.
• Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas. • Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.
• Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y la
respuesta transitoria en el tiempo.
Cuando a un sistema se le somete a una excitación de tipo senoidal en la entrada y se
observa la señal de salida en el régimen permanente, las relaciones que se establecen
entre estas dos señales son conocidas como la respuesta en frecuencia de ese equipo. En
los métodos de respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada es la
variable independiente, haciéndose recorrer la frecuencia en un determinado rango o
espectro frecuencial. Esta técnica presenta grandes ventajas. En primer lugar, la
descripción del método muestra que es muy accesible en el terreno experimental.
Resulta relativamente fácil someter un sistema ante una entrada de tipo senoidal y
registrar su salida con una multitud de instrumentos existentes hoy en día. Así, en
general, este procedimiento se aplica para la identificación de la función de transferencia de sistemas complejos. En segundo lugar, con esta técnica es posible
cuantificar la estabilidad relativa de una estructura de realimentación negativa. Hasta ahora, sólo es posible indicar si el sistema es estable o no, pero todavía no se ha medido
cuán estable es. Por último y con el objeto de destacar sólo las propiedades más significativas, los reguladores de control calculados a partir de criterios de respuesta en
frecuencia tienen un comportamiento robusto. Quizá, el mayor inconveniente, aunque de carácter menor, es la falta de relación directa entre la respuesta en frecuencia y el
comportamiento transitorio del sistema en el tiempo, excepto para los modelos de
segundo orden. No obstante, no resulta difícil correlacionar la respuesta frecuencial con
el comportamiento temporal. De hecho, es un objetivo de esta asignatura que los
alumnos maduren en las relaciones existentes entre la respuesta temporal y frecuencial.
Aun más, el futuro ingeniero podrá interpretar los resultados de un analizador de
espectros.
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema
ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por
una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia w, su salida seguirá siendo senoidal de
la misma frecuencia w pero probablemente con otra magnitud C y fase.
Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.
La transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura anterior es:
como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por
donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo:
La relación entre la salida y la entrada en el régimen senoidal
permanente se llama función de transferencia senoidal:
Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de una función en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuación
característica:
Por ser estado senoidal permanente, se cambia s por . Por razones de sencillez se
trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.
Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.
Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia . Para graficar la magnitud de
, se hace uso de la norma de magnitud:
Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar.
La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente
sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos ellos. La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros elementos al sistema.
En estos casos para obtener la nueva gráfica de Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.
Elementos básicos de una Función de Transferencia:
1. Elementos de valor constante (Ganancia).
2. Elementos integrales y derivativos.
3. Elementos de primer orden.
4. Elementos cuadráticos.
1 - Elementos de valor constante (Ganancia):
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Constante.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud Fase
Para K negativo es igual que para K
positivo
Para K negativo es 180º (o -180º) y para K
positivo es 0º
Para 0 < K < 1, la Magnitud es negativa
Si K multiplica por 10, la Magnitud suma
20
2 – Elementos derivativos e integrales
Derivador: Un Cero en el Origen.
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Derivador_Simple.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud Fase
Es una línea recta con pendiente positiva (20db/décadas) que tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a 90º
Integrador: Un Polo en el Origen.
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Integrador_Simple.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud Fase
Es una línea recta con pendiente negativa
(-20db/décadas) que tiene Magnitud = 0
en
La Fase es Constante e igual a -90º
Si existen más de un derivador o integrador:
Derivadores: Ceros en el Origen
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Derivadores.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud Fase
Cero Simple: Es una línea recta con
pendiente positiva (20db/décadas) que
tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a 90º
Cero Doble: Es una línea recta con
pendiente positiva (40db/décadas) que
tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a 180º
Cero Triple: Es una línea recta con
pendiente positiva (60db/décadas) que
tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a -90º (270º)
Integradores: Polos en el Origen
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Integradores.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud Fase
Polo Simple: Es una línea recta con
pendiente negativa (-20db/décadas) que
tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a -90º
Polo Doble: Es una línea recta con
pendiente negativa (-40db/décadas) que
tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a -180º
(180º)
Polo Triple: Es una línea recta con
pendiente negativa (-60db/décadas) que
tiene Magnitud = 0 en
La Fase es Constante e igual a -270º (90º)
3. Elementos de primer orden
Cero de primer orden: Cero Real en el Semiplano Izquierdo
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Cero_1_Orden.m y ejecutarlo. Observar que:
Magnitud Fase
Tiene valor constante 0db hasta la
Frecuencia de Corte
Para frecuencias << tiene Fase = 0º (Se comporta como de Ganancia
Constante)
A partir de es una recta con pendiente positiva de 20 db/décadas
Para frecuencia tiene una Fase
de 45º
Para frecuencias >> tiene Fase = 90º
Polo de primer orden: Polo Real en el Semiplano Izquierdo
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Polo_1_Orden.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud Fase
Tiene valor constante 0db hasta
Para frecuencias << tiene Fase = 0º (Se comporta como de Ganancia
Constante)
A partir de es una recta con pendiente negativa de -20 db/décadas
Para frecuencia tiene una Fase
de -45º
Para frecuencias >> tiene Fase = -90º
3. Elementos de segundo orden: Cuando no se puedan descomponer en dos elementos
de primer orden, se normalizan de la siguiente forma:
Ceros de segundo orden: Ceros Complejos Conjugados en el Semiplano Izquierdo
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Ceros_2_Orden.m y ejecutarlo. Observar que:
Magnitud ( ) Fase ( )
Tiene valor constante 0db hasta
Para frecuencias << tiene Fase = 0º
(Se comporta como de Ganancia
Constante)
A partir de es una recta con pendiente
positiva de 40 db/décadas
Para frecuencia tiene una Fase de 90º
Para frecuencias >> tiene Fase = 180º
Polos de segundo orden: Polos Complejos Conjugados en el Semiplano Izquierdo
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Bode_Polos_2_Orden.m y ejecutarlo.
Observar que:
Magnitud ( ) Fase ( )
Tiene valor constante 0db hasta
Para frecuencias << tiene Fase = 0º
(Se comporta como de Ganancia
Constante)
A partir de es una recta con pendiente
negativa de -40 db/décadas
Para frecuencia tiene una
Fase de -90º
Para frecuencias >> tiene
Fase = -180º
Ejemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistema:
Normalizando:
Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador, un polo en -5
y polos cuadráticos. Se buscan la gráfica de Bode de cada uno y después se suman.
Aportes individuales en Magnitud y Fase:
Diagrama de Bode (Resultante):
Cuantificación de la Estabilidad Relativa: Margen de Fase (MF) y Margen de Ganancia (MG).
Recordando que en un Sistema de Control en Lazo Cerrado es:
Y su Función de Transferencia es:
Se observa que si 1 + GH = 0 ; la Función de Transferencia se hace Infinito, lo
cual indica que el Sistema es Inestable. Entonces, la Inestabilidad sobrevendrá cuando
GH = -1, y como se trata de una función compleja, lo hará cuando el Modulo de GH sea 1 y la Fase sea -180º. GH se llama Función de Transferencia o Ganancia en Lazo
Abierto.
Diagrama de Bode de un Sistema en Lazo Cerrado con Realimentación Negativa Unitaria (H=1).
Para dibujar el diagrama de Bode de la Función de Transferencia del Sistema en Lazo
Cerrado se puede emplear el de la Función de Transferencia en Lazo Abierto.
Se supone conocido el Diagrama de Bode de la Ganancia en Lazo Abierto, y se dibuja
directamente el de la Función de Transferencia en Lazo Cerrado.
Diagrama de Bode del Sistema en Lazo Abierto y en Lazo Cerrado
Para bajas frecuencias el Sistema en Lazo Cerrado es la unidad, 0 dB y 0º, y a
frecuencias elevadas es igual que el Diagrama de Bode el Lazo Abierto. La frecuencia
que marca la zona intermedia es la frecuencia de cruce de ganancias, es decir, la
frecuencia que toma 0 dB el diagrama en lazo abierto.
En torno a la frecuencia de cruce de ganancias, el diagrama de Bode en Lazo Cerrado
puede presentar un pico de resonancia o no, en función de la fase que posea en dicha frecuencia el Diagrama en Lazo Abierto.
Ancho de banda: Es interesante apreciar como es la respuesta en frecuencia de un
sistema controlado, es decir, en lazo cerrado. Sin importar la forma que posea la planta
en lazo abierto, el sistema controlado en lazo cerrado es capaz de seguir fielmente a la
entrada de referencia del sistema hasta un determinado valor de frecuencia.
A partir de ese valor, que es prácticamente la frecuencia de cruce de ganancias del
diagrama de Bode en lazo abierto, el sistema controlado empieza a atenuar y a retrasar
la referencia: la salida del sistema no es capaz de seguir a la entrada.
Este fenómeno es una explicación intuitiva del concepto de ancho de banda de un
sistema controlado. Matemáticamente se define como el valor de la frecuencia en rad/s
en el que la ganancia del diagrama de Bode en lazo cerrado toma el valor de -3 dB. En
la práctica este valor exacto se puede aproximar al valor de la frecuencia de cruce de
fases del diagrama en lazo abierto.
Margen de Fase y Margen de Ganancia: Los márgenes de fase y ganancia y se
relacionan con la estabilidad relativa del sistema. Es importante resaltar que los
Márgenes de Fase y de Ganancia de un sistema controlado, y por tanto en lazo cerrado,
se miden sobre el diagrama de Bode de la función de transferencia en lazo abierto.
Margen de Fase y Margen de Ganancia
El Margen de Ganancia MG se mide en la frecuencia de cruce de fases del diagrama de
Bode en lazo abierto. Es el valor en decibelios faltan al sistema para alcanzar los 0 dB.
Si el diagrama esta por encima de 0 dB a esa frecuencia, se dice que el Margen de
Ganancia es negativo. El Margen de Fase MF se mide en la frecuencia de cruce de ganancias del diagrama de
Bode en lazo abierto. Es el valor en grados que hay por encima de -180º hasta el diagrama de fases. Si el diagrama de fases esta por debajo de -180º a esa frecuencia, se
dice que el Margen de Fase es negativo. Un sistema en lazo cerrado es estable cuando sus márgenes de fase y ganancia son
ambos positivos.
Relaciones entre Respuesta Frecuencial y Respuesta Temporal: Hay una correlación entre el desempeño en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de un
sistema lineal, de tal forma que las propiedades en el dominio del tiempo se pueden
predecir con base en las características en el dominio de la frecuencia.
Pico de Resonancia Mr: Es el valor máximo de la grafica de magnitud en función de la
frecuencia. En general, la magnitud de Mr da una indicación de la estabilidad relativa de
un sistema estable en lazo cerrado. Normalmente, un valor grande de Mr corresponde a
un sobrepico máximo grande en la respuesta al Escalón. Para la mayoría de los sistemas
de control se acepta generalmente, en la práctica, que el valor deseado de Mr debe estar
entre 1,1 y 1,5.
Frecuencia de Resonancia Wr: Es la frecuencia a la cual ocurre el Pico de Resonancia Mr.
Ancho de Banda BW: Es la frecuencia en la cual la magnitud cae al 70,7% de, o 3 db
debajo de su valor en la frecuencia cero.
En general, el Ancho de Banda de un Sistema de Control da una indicación de las propiedades de la respuesta transitoria en el dominio del tiempo. Un Ancho de Banda
grande corresponde a un Tiempo de Subida (Rise Time) corto, ya que las señales de mas alta frecuencia pasan mas fácilmente a través del sistema. Por el contrario, si el Ancho
de banda es pequeño, solamente las señales de frecuencias relativamente bajas pueden
pasar y la respuesta en el tiempo será lenta.
Mr, Wr y Ancho de Banda de un Sistema de Segundo Orden:
Considere la Función de Transferencia de Lazo Cerrado de un Sistema de Segundo
Orden:
Acá se verifica que:
Conclusiones:
1 – Mr depende solamente de . Si es cero, Mr es infinito. Cuando es negativo, el
sistema es inestable y el valor de Mr no tiene sentido. A medida que aumenta , Mr
disminuye.
2 – El Ancho de Banda es directamente proporcional a Wn. Para un Wn fijo, El Ancho
de Banda disminuye con un aumento de . En la respuesta al Escalón Unitario, Rise
Time aumenta cuando Wn disminuye, por lo tanto, el Ancho de Banda y el Rise Time
son inversamente proporcionales entre si.
3 – El Ancho de Banda y Mr son proporcionales para 0 < < 0,707.