INTRODUCCIÓN

MARCO TEÓRICO

Para determinar la estabilidad de un sistema es necesario establecer en primer lugar un modelo matemático, y así luego se puede disponer de diversos métodos para ver el comportamiento del sistema, o la respuesta temporal del sistema. Ésta última está compuesta de una parte transitoria que se refiere al comportamiento que tiene el sistema cuando va del estado inicial al estado final, y una parte estacionaria que corresponde al comportamiento del sistema cuando t tienda al infinito.

ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA PARA 4 DIFERENTES ENTRADAS UNITARIAS

Cuatro funciones de primer orden son sometidas a una entrada de impulso, escalón, rampa y senoidal unitaria. Las funciones tienen la siguiente forma:

G (S )= aTS+1

Las cuatro funciones a las que se les aplicará las distintas entradas son las siguientes:

G (S )= 72S+1

G (S )= 213S+1

G (S )= 35S+1

G (S )= 95S+1

Desarrollo mediante MATLAB y desarrollo teórico

Para la función G (S )= 72S+1

a) Impulso Unitariob) Escalón Unitarioc) Rampa Unitariad) Senoidal

Para la función G (S )= 213S+1

a) Impulso Unitario De acuerdo a los resultados entregados por MATLAB

a) Escalón Unitario De acuerdo a los resultados entregados por MATLAB

Características importantes de la curva:

Puede observarse que la respuesta no comienza inmediatamente en el tiempo cero, tarda un par de unidades de tiempo en ser afectada por la entrada, además se observa que sobre las 50 unidades de tiempo la curva se vuelve asintótica para la entrada correspondiente y que el valor de la función de salida tiende a 2.

Desarrollo manual:

R (S )→ 213S+1

→C (S)

C (S )R (S)

= 213 S+1

;con R (S )=1Sparaescalón unitario

Por lo tanto la función de salida C(S) para la entrada R(S) queda como:

C (S )= 2S∗(13S+1)

Ahora, lo que se pretende es conocer cuánto vale S en el plano del tiempo para la entrada correspondiente, por lo que se hace necesario descomponer la función C(S) en fracciones parciales para posteriormente aplicar la inversa de Laplace y transformar S al plano del tiempo, por lo tanto la función adopta la siguiente forma:

C (S )=C1S

+C2

13S+1

Los puntos para evaluar las constantes son, para C1, S=0; para C2, S=-1/13:

C1=S∗2

S∗(13S+1 ), S=0

C1=2

C2=(13S+1 )∗2S∗(13S+1 )

, S=−1/13

C2=−26

La función de salida es:

C (S )=2∗1S

− 26∗113 S+1

C (S )=2∗1S

− 2∗1

S+ 113

c (t )=2∗(1−e−t13 )

Se obtiene la siguiente gráfica que muestra la respuesta de la función para el escalón unitario como entrada:

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo [Unidades de tiempo]

c(t)

Características importantes de la curva

El origen comienza desde cero, por sobre las 50 unidades de tiempo la curva se vuelve asintótica aproximando el valor de c(t) a 2 como respuesta de la función a la entrada del tipo escalón unitario

b) Rampa unitaria De acuerdo a los resultados entregados por MATLAB

Desarrollo manual:R (S )→ 213S+1

→C (S)

C (S )R (S)

= 213 S+1

;con R (S )= 1S2pararampaunitaria

Por lo tanto la función de salida C(S) para la entrada R(S) queda como:

C (S )= 2S2∗(13 S+1)

Ahora, lo que se pretende es conocer cuánto vale S en el plano del tiempo para la entrada correspondiente, por lo que se hace necesario descomponer la función C(S) en fracciones parciales para posteriormente aplicar la inversa de Laplace y transformar S al plano del tiempo, por lo tanto la función adopta la siguiente forma:

C (S )=C1S2

+C2S

+C3

13 S+1

Los puntos para evaluar las constantes son, para C1, S=0;para C2=0 y para C3, S=-1/13:

C1=S2∗2

S2∗(13S+1 ), S=0

C1=2

C2=ddS [ S2∗2

S2∗(13S+1 ) ] , S=0C2=−26

C3=(13 S+1 )∗2S2∗(13S+1 )

, S=−1 /13

C3=338

La función de salida es:

C (S )=2∗1S2

−26∗1S

+ 26∗1

S+ 113

c (t )=2t−26+26∗e−t13

Se obtiene la siguiente gráfica que muestra la respuesta de la función para la rampa unitaria como entrada:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo [seg]

c(t)

c) Senoidal De acuerdo a los resultados entregados por MATLAB

Para la función G (S )= 35S+1

a) Impulso Unitariob) Escalón Unitarioc) Rampa Unitariad) Senoidal

Para la función G (S )= 95S+1

a) Impulso Unitariob) Escalón Unitarioc) Rampa Unitariad) Senoidal