Control Automático

Regulador PID y ajuste del PID

Eduardo Interiano

2

Contenido

◼ Regulador PID

◼ PID ideal

◼ PID real

◼ Ajuste empírico del PID (Ziegler-Nichols)

◼ Ejemplos

◼ Ejercicios

◼ Referencias

3

+

+

+K

s

I

KP

K sD

El PID ideal

◼ El regulador PID en el

dominio del tiempo

◼ Transformando al

dominio S (ideal)

◼ Factorizando la

ganancia KP (estándar)

sKs

KKsK D

IPPID ++=)(

)1

1()( d

i

PPID TssT

KsK ++=

u t K e t K e d Kd

dte tP I

t

D( ) ( ) ( ) ( )= + + 0

e(t)

E(S)

4

Circuito con regulador PID

)1

1()( d

i

PPID TssT

KsK ++=

KPID(s)

5

El PID real

◼ Debido a que el regulador PID (PD) ideal es impropio, tiene más ceros que polos, presenta problemas para la simulación y para la realización.

◼ La solución: agregar un polo parásito con una constante de tiempo muy pequeña y ganancia estática unitaria. (Factor 100)

◼ El PID real está constituido entonces por dos polos y dos ceros, de forma similar a un compensador de adelanto y un compensador de atraso con el polo en el origen

6

Los casos del regulador PID

7

Ejemplo 1: Especificaciones

◼ Sea el sistema con función de transferencia de lazo

abierto

dadas las especificaciones

◼ t5% 1.1 s

◼ MP 5 %

◼ eSS = 0

realizar la síntesis del compensador PID real usando un

compensador de adelanto (PD) y un compensador de

atraso PI en serie.

)3)(1(

10)(

++=

sssG

8

Ejemplo 1: PD o compensador

de adelanto

◼ Transformamos las condiciones a:

◼ 0.69

◼ n 2.76

◼ = G(s1) = 138.37° , por lo que el ángulo

faltante es = 180° - = 41.63°

◼ Calculamos un compensador de adelanto, o

PD, por el método de la bisectriz con el punto

s1 = -3.25 j3

)97.5(

)28.3(52.1)(

+

+=

s

ssKPD

9

Ejemplo 1: PI o compensador de

atraso

◼ Ubicamos cero del compensador de atraso

con el polo en el origen (PI) en s = -0.95, un

poco a la derecha del polo en s = -1

◼ El compensador PID real queda entonces

s

ssKPI

)95.0()(

+=

s

s

s

ssKPID

)95.0(

)97.5(

)28.3(52.1)(

+

+

+=

10

Ejemplo 1: Lugar de las raíces

11

Ejemplo 1: Respuesta de lazo

cerrado ante escalón

s

s

s

ssKPID

)95.0(

)97.5(

)28.3(52.1)(

+

+

+=

12

Ejemplo 1: Análisis

◼ El sistema original tenía:

◼ Tiempo de estabilización menor a 1.5 s

◼ Sobreimpulso mayor al 12%

◼ Error de estado estacionario del 23%

◼ El sistema compensado posee:

◼ Tiempo de estabilización menor a 0.8 s

◼ Sobreimpulso ligeramente mayor al 4%

◼ Cero error de estado estacionario

Se cumplen las condiciones impuestas

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Conclusiones PID

◼ El regulador PID puede descomponerse en partes para su aplicación de acuerdo a las necesidades.

◼ Por limitaciones técnicas los reguladores PD y PID no pueden ser implementados sin un polo parásito; por lo que se pueden asimilar a otros tipos de compensadores existentes.

◼ El regulador PID puede usarse como si fuera un compensador de adelanto en cascada con un compensador de atraso con el polo en el origen.

◼ Los resultados obtenidos del regulador PID real son los mismos que pueden obtenerse con un compensador de adelanto-atraso con un error de estado estacionario cero; o mejorado en el caso de entradas del orden superior del tiempo.

14

Sintonía de reguladores PID

por Ziegler-Nichols◼ Condición: La planta es lo suficientemente

estable como para experimentar con ella

◼ Tipos de plantas adecuadas:

◼ Caso 1: La respuesta, de lazo abierto, al escalón tiene forma de S. (La planta, de segundo orden al menos o primer orden con tiempo muerto, no tiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados)

◼ Caso 2: Plantas con integradores, respuesta de lazo cerrado.

15

Caso 1: Respuesta al escalón

de lazo abierto

La tangente al punto de inflexión

determina dos puntos:

a) El tiempo muerto, L

b) b) La constante de tiempo más el

tiempo muerto (T+L)

Tenemos además la ganancia estática

K, con entrada escalón de amplitud A

Au

yK t

y(0)-y(t)lim→=

=

Ls

sT

KsG −

+= e

)1*()(

y(t)

16

Caso 1: Respuesta al escalón

de lazo abierto: otro método

Los parámetros:)(tT

)(2 %39%63 tt −=

A

TtTK

it

−= →

)(lim

)(%63 +−= id ttt

)1()(

+

=

−

s

eKsG

dts

)( ittA −

iT

it

17

Caso 1: Tablas de ajuste Z-N

Tipo de controlador KP Ti Td

P ∞ 0

PI L/0.3 0

PID 2L 0.5L

)1

1()( d

i

PPID TssT

KsK ++=

L

T

K

1

L

T

K

9.0

L

T

K

2.1

18

Caso 1: PID

◼ El PID ajustado por el primer método da:

◼ Consiste de un polo en el origen y dos ceros

en -1/L

s

Ls

TsKPID

21

6.0)(

+

=

19

Caso 2: Respuesta de lazo

cerrado

◼ Se ponen Ti en infinito y Td en cero, se ajusta

KP desde 0 hasta que haya oscilación

sostenida con la ganancia KCR

◼ Se determina el periodo TCR de la oscilación

◼ (si no hay oscilación, el método no se puede

aplicar)

20

Caso 2: Oscilación sostenida

◼ La oscilación obtenida con la ganancia Kcr

21

Caso 2: Tablas de ajuste Z-N

Tipo de controlador Kp Ti Td

P 0.5Kcr ∞ 0

PI 0.45Kcr Tcr/1.2 0

PID 0.6Kcr 0.5Tcr 0.125Tcr

)1

1()( d

i

PPID TssT

KsK ++=

23

Caso 2: PID

◼ El PID ajustado por el segundo método da:

◼ Consiste de un polo en el origen y dos ceros

en -4/Tcr

s

Ts

TKsKCR

CRCRPID

2

4

075.0)(

+

=

24

Ejercicio

◼ Utilice el método de Ziegler-Nichols para

compensar el sistema con variantes del PID

◼ Investigue sobre variaciones al PID original.

s

ssG 1.0e

)2(

4)( −

+=

25

Ejemplo 2: Experimento

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e

T=0.9 →

K=0.8 →

s

ssG 1.0e

)19.0(

8.0)( −

+=

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

26

Ejemplo 2: Resultado Z-N

( )

( )

( ) 13.5(1 1 / (0.2 ) 0.05 )

( ) 13.5 67.5 / 0.675

13.5 67.5 / 0.675 ( )( )

1 13.5 67.5 / 0.675 ( )

PID s s s

PID s s s

s s G sT s

s s G s

= + +

= + +

+ +=

+ + +

El PI_D

◼ La parte derivativa solo trabaja en la

realimentación

27

( )

( )

( ) 13.5(1 1 / (0.2 ))

( ) 0.675

13.5 67.5 / ( )( )

1 13.5 67.5 / 0.675 ( )

PI s s

D s s

s G sT s

s s G s

= +

=

+=

+ + +

28

Ejemplo 2: Resultado PI_D

( )

( )

( ) 13.5(1 1 / (0.2 ))

( ) 0.675

13.5 67.5 / ( )( )

1 13.5 67.5 / 0.675 ( )

PI s s

D s s

s G sT s

s s G s

= +

=

+=

+ + +

El I_PD

◼ Las partes proporcional y derivativa solo

trabajan en la realimentación

29

( )

( )

( ) 13.5 / 0.2

( ) 13.5(1 0.05 )

67.5 / ( )( )

1 13.5 67.5 / 0.675 ( )

I s s

PD s s

s G sT s

s s G s

=

= +

=+ + +

30

Ejemplo 2: Resultado I_PD

( )( ) )(54.0/548.101

)(/54)(

)20(54.0)(

/54)(

sGss

sGssT

ssPD

ssI

+++=

+=

=

31

Ejemplo 2: Resultado REI

( )( ) )(187.1/016.16477.81

)(/016.16)(

187.1477.8)(

/016.16)(

sGss

sGssT

ssPDs

ssIs

+++=

+=

=

32

Referencias

◼ Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control

Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª

Ed., Madrid.

◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control

Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996,

México.

◼ http://en.wikipedia.org/wiki/PID_controller

◼ http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/in

dex.php?title=PID_Control