Contribution à L'Étude des Systèmes de Choses Normées

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<ul><li><p>Contribution L'tude des Systmes de Choses NormesAuthor(s): V. GlivenkoSource: American Journal of Mathematics, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1937), pp. 941-956Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2371360 .Accessed: 05/12/2014 21:26</p><p>Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms &amp; Conditions of Use, available at .http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p><p> .JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range ofcontent in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new formsof scholarship. For more information about JSTOR, please contact support@jstor.org.</p><p> .</p><p>The Johns Hopkins University Press is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access toAmerican Journal of Mathematics.</p><p>http://www.jstor.org </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=jhuphttp://www.jstor.org/stable/2371360?origin=JSTOR-pdfhttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsphttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>CONTRIBUTION A L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES.* </p><p>Par V. GLIVENKOI. </p><p>I. Position du probleme. </p><p>1. Dans un article recent,1 j'ai etudie les systemes de choses normees, c'est a dire les ensembles S d'elements a, by, satisfaisant aux axiomes suivants: </p><p>Axiomes des choses. </p><p>10. L'ensemble S contient des couples d'elements a, b lies entre eux par une relation a C b telle que a C b et b C a entralne a b et inversement, et que a C b et b 'C c entralne a C c. </p><p>20. A tout couple d'elements a, b de l'ensemble S correspond un 6116ment ab, de S, tel que ab C a, ab C b et que x C a et x C b entralne x C ab. </p><p>30. A tout couple d'elements a, b de l'ensemble S correspond un 6lement </p><p>*a+b, de S, tel que aCa+b, bCa+b et que aCy et bCy entraine </p><p>a + b C y. 40. L'ensemble S contient un element 0 tel que, quel que soit l'el6ment z </p><p>de S, on a 0 C z. Axiome de la norme. </p><p>A tout element a de l'ensemble S correspond un nombre non negatif I a </p><p>-norme de cet 616ment, tel que a C b et a # b entraine I a &lt; I b 1, qu'on a </p><p>I a + b + I ab = a + I b et qu'on a |0 =0. </p><p>Actuellement, nlous ne considerons qu'un cas particulier des dits systemes, </p><p>que nous appellerons systbmes de choses completement normees et qui satisfont, </p><p>par definition, aux axiomes supplementaires suivants: </p><p>Axiome supplementaire des choses. </p><p>50. L'ensemble S contient un element 1 tel que, quel que soit l'el6ment 2 de S, on a z C 1. </p><p>* Received January 15, 1937. 1 cc Geometrie des systemes de choses normees," American Journal of Mathematics, </p><p>vol. 58 (1936), pp. 799-828. 941 </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>942 V. GLIVENKO. </p><p>Axiome supplementaire de la norme. </p><p>On a I I I 1. Nous appelons systemes distributifs les systbmes o'i', pour tous les trois </p><p>choses a, b, c a lieu la loi distributive dans la forme </p><p>ac + bc (a + b)c ou bien dans la forme </p><p>(a4+c)(b +4c) =ab+c </p><p>qui est equivalente a la precedente. </p><p>2. Dans I'article cite, j'ai introduit la notion d'espace metrique presque ordonne. C'est i'espace metrique D contenant un point que nous appelons origine et qui possede les proprietes suivantes (1' et 2'). Rappelons que, (a, b) designant la distance de point a et de point b, on dit qu'un point c se trouve entre deux points a et b si l'on a </p><p>(a, c) + (c, b) -(a, b). </p><p>Convenons de dire maintenant qu'un point a est plus prochain qu'un point b, ou bien que b est plus lointain que a, si a se trouve entre l'origine et b. Alors: </p><p>1'. Si les points a et b, de D, sont plus prochains qu'un point x, chaque point qui se trouve entre a et b est, lui-aussi, plus prochain que x; de meme, si les points a et b sont plus lointains que y, chaque point qui se trouve entre a et b est, lui-aussi, plus lointain que y. </p><p>2'. Parmi les points, de D, qui se trouvent entre les deux points donnes quelconques, il existe un qui est le plus prochain et il existe un autre qui est le plus lointain. </p><p>J'ai etabli que tout systeme S de choses normees est un espace metrique presque ordonne ou la distance de a et de b est egale a </p><p>|a+b - abf. </p><p>Nous appelons espaces transitifs les espaces metriques presque ordonnes oul a condition suivante est remplie: </p><p>T. Si un point c, de D, se trouve entre x et y et si tous les deux points x et y se trouvent entre a et b, le point c se trouve, lui-aussi, entre a et b. </p><p>Convenons de dire, pour abreger, que le systeme S est metrise, lorsqu'on a pris i'expression I a + b - I ab I pour la distance de a et de b. J'ai etabli que tout systWme metrise distributif S, de choses normees, est un espace metrique presque ordonn6etransitif. </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES. 943 </p><p>Tous les deux resultats mentionnes, concernant les relations entre les systnemes de choses normenes et les espaces metriques, ont ete obtenus en prenant </p><p>toujours la chose 0 du systeme pour l'origine de l'espace correspondant. Or, il est naturel de poser le probleme s'il est possible, ou non, de prendre une autre </p><p>chose u # 0 pour l'origine, en sorte qu'il y restent intactes les conditions 1 et 2' (dans le cas general) et la condition T (dans le cas des systWmes distributifs). </p><p>La solution de ce problEme etant interessante grace a la simplicite des </p><p>enonces definitifs, je suis decide a la publier ici. </p><p>II. Condition de Dedekind. </p><p>3. Dans tout ce qui suit, il nous sera d'une grande importance un fait </p><p>qui a ete bien eelairei, entre autres, dans les travaux de M. Garrett Birkhoff.2 </p><p>C'est que tout systeme S de choses normees satisfait a la condition de Dedelcind. </p><p>Cette derniere peut s'6noncer comme il suit: </p><p>(D,) Quelles que soient les trois choses a, b, c de S, ofu a C c, on a </p><p>(a+ b)c a+ bc. </p><p>On peut lui attribuer aussi une autre forme que voici: (D2) Quelles que soient les trois choses a, b, c de S, on a </p><p>(ac + b)c ac + bc. </p><p>On etablit sans peine l'eqquivalence de (D,) et de (D2) en remarquant que, pour qu'on ait a C c, il faaut et il suffit qu'on ait ac = a. </p><p>De&amp;montrons maintenant que tout systeme S de choses normees satisfait a (D2). En premier lieu, on a toujours </p><p>ac + bc C (ac + b)c. </p><p>Pour s'en convainere, il suffit de remarquer qu'on a ac C ac + b et ae C c, par suite ac C (ac + b)c, et qu'on a bc C ac + b et bc C c, par suite 1fc C (ac + b) c. I1 nous reste done a etablir l'egalite </p><p>I ac + bc I I(ac + b)c 1. </p><p>On s'appuie ici sur un principe general. En effet, s'il 6tait quelque part x C y et x #F y, il serait necessairement I x I &lt; Y. Done, de x C y et </p><p>| x ] ] y I il s'ensuit toujours x = y. Pour etablir l'egalite I ac + bc J = (ac + b) c 1, il suffit d'effectuer un </p><p>simple-calcul, a savoir: </p><p>2 cc On the combination of subalgebras " et "Applications of lattice algebra," Pro- ceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 23 (1933), pp. 441-469, et vol. 30 (1934), pp. 115-112 respectivement. </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>944 V. GLIVENKO. </p><p>I (ac + b)c I I Jc + b I + J c I --I ac + b + c atc f + f b I - I acb I + I c - I b + c </p><p>/ ac /- acbc I + I bc I =I ac + bc 1. </p><p>4. Dans I'article cite, j'ai demontre que, dans 1'espace forme par un systeme me'trise S, un point c se trouve entre deux points a et b si et seulement si l'on a, dans S, (El) ac +bc =c= = (a +[c)(b +fc). </p><p>Grace a la condition de Dedekind, cette condition (E1) peut se presenter aussi sous une forme distincte. En effet, en se servant de la condition de Dedekind, on obtient: </p><p>ac + bc = (ac + b)c et (a + c) (b + c)-c + (a + c)b. </p><p>Par consequent, les egalites (E1) peuvent s'ecrire </p><p>(ac + b)c c = c + (a + c)b, </p><p>ou, ce qui revient anu mreme, </p><p>(E2) (a+c)bCcCac+b. </p><p>C'est la forme en question. </p><p>III. La notion d'extremite6. </p><p>5. Appelons extremite d'un systeme S chaque chose i, de S, qui possede les deux proprietes suivantes: </p><p>1) A la chose u correspond une autre chose ul, de S, telle que </p><p>(1) ui --O, </p><p>(2) u + =1. </p><p>2) Quelles que soient les deux choses a et b, de S, on a </p><p>(3) (a + b)u= au + bu, </p><p>(4) (a+b)uf= af+bui. </p><p>I1 est evident que, ut etant une extremite, ui l'est aussi; nous dirons que u et u- sont les extre'mites opposees. </p><p>IRtablissons tout d'abord que, ut etant une extre6mite d'un systeme metrise S, de choses compl1etement normees, on a., quelles que soient les deux choses a et b, de S, </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES. 945 </p><p>ab +?u= (a?+u)(b +u). </p><p>Puisqu'on a toujours ab + u C (a + u) (b + u), pour etablir 1'egalite qui vient d'etre eerite, il suffit de demontrer 1'egalite </p><p>I ab +u I I(a + u)(b + u). </p><p>A cet effet, remarquons qu'on a </p><p>I (a + u) (b + u) = a + u + b + u - a+ b + ut. Or, </p><p>I a + u + b + u j a I + I u | au I + I b | + I uj- bu </p><p>et, en tenant compte de (3), </p><p>I a+b +u =- Ia+b + iIt - (a+b)ui a + b I + I - au + bu j I a + b j+ u au - bu I + I abu </p><p>Donc, I(a+u)(b +u)I= a + lb a- a+b l+lul-labul. </p><p>Or, a + b - a + b = ab </p><p>et </p><p>I u | - j abu u i - J ab u- It J + ab + u j ab + u - ab </p><p>Done, </p><p>(a + u) (b + u)= Jab + u. </p><p>Remarque. Le fait que u est une extre6mite n'y joue, de fait, aucun role. Quelle que soit la chose determinee c, de S, 1'egalite </p><p>(5) (a + b)c ac + bc a pour consequence I'egalite </p><p>(6) ab + c= (a + c)(b + c). </p><p>Nous venons de voir que ceci a lieu dans les systemes S de choses normees. M. 0. Ore 3 a reussi a etablir une proposition plus generale, a savoir que l'egalite (6) est une consequence de (5) dans tous les systemes oiu la condition de Dedekind est remplie. </p><p>6. THEOREME I. La chose u e'tant une extremitM d'un systeme S de choses completement normees, son opposee u- ne peut etre definie que d'une maniere univoque. </p><p>3 " On the foundation of abstract algebra," I, Annals of Mathematics, vol. 36 (1935), p. 416. </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>946 V. GLIVENKO. </p><p>Demonstration. La chose u e'tant une extremite, on a, quelles que soient les deux choses a et b, </p><p>(a + b)u-=au + bu </p><p>et, comme nous I'avons vu tout a l'heure, </p><p>ab +?u (a?+u)(b +u). </p><p>Prenons maintenat les choses x et y qui possedent, tous les deux, les proprietes de 1'extremite u2, de sorte qu'on a, en particulier, </p><p>ux 0, uy O, </p><p>u+x= 1, u?+y= 1. </p><p>II en resulte qu'on a </p><p>(x + y)u = xu + yu = O, xy+u= (x+u)(y+u) =1. </p><p>On en obtient, en se servant de (D1), </p><p>xy xy+ (x+y)u= (xy+u)(x+y) =x-+y, d'ou x y. </p><p>THE]ORE]ME II. La chose u e6tant une extremite d'un syste'mne metrise S, de choses completement normees, la condition necessaire et suffisante pour que, dans l'espace forme par S, un point a se trouve entre u et un autre point b, est qu'on ait </p><p>ub C a C u + b. </p><p>Demonstration. D'apres (E2), a se trouve entre u et b si et seulement </p><p>si l'on a </p><p>(b + a)u C a C ba + u. Or, ceci equivaut a </p><p>bu+auCaC (b+u)(a+u), </p><p>ce qui equivaut, a son tour, a </p><p>ub C a C u + b. </p><p>THEIOREIME III. Les choses u et ut e'tant deux extremites opposees d'un systeme metrise S, dans l'espace forme par S chaque point z se trouve entre u et ft. </p><p>De'monstration. En vertu du theoreme II, pour que z se trouve entre u et ft, il suffit qu'on ait </p><p>uii C z C u + . </p><p>Or, ceci est toujours vrai, parce que uii = 0 et u + ii = 1. </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES. 947 </p><p>THE'ORE'ME IV. Les choses u et ii etant deux extremites opposees d'un systeme metrise S, si, dans l'espace forme par S, un point a se trontve entre iu et b, alors b se trouve entre a et u et reciproqueement. </p><p>De6monstration. En vertu du theoreme II, si a se trouve entre u et b, on a </p><p>ub C a C u + b. Il s'ensuit que, d'une part, </p><p>uta C iu(u + b) =i2u + ub == ftb C b </p><p>et que, d'autre part, </p><p>b C + b= (ii + u) (i + b) ui + ub C t + a. </p><p>En somme, on a uta C b C ii + a, </p><p>ce qui suffit, d'apres le theoreme II, pour que b se trouve entre a et ft. La reciproque se demontre, naturellement, de memie. </p><p>IV. Theoreme fondamental. </p><p>7. Il serait tres commode d'avoir des symboles speciaux pour le plus </p><p>prochain et le plus lointain des points que se trouvent entre les deux points </p><p>donnes, a et b. Dans la suite, nous employerons les symboles a A b (pour le </p><p>point le plus prochain) et a V b (pour le point le plus lointain). </p><p>Ceci pose, le theoreme fondamental de cet article s'enoncera comme il suit: </p><p>THEOREIME V. Dans l'espace forme par mm systerne metrise S de choses completement normnees, un point u peut etre pris pour l'origine si et seulement si la chose ut est une extre6mite de S. Dans ce cas, on aura, en designant par it l'extremite opposee de u: </p><p>(7) aA b =ab+u(a+b) = ab + ua + ub - (a + b)(u + ab) (a + b) (u + a) (u + b), </p><p>(8) a V b = ab + ii(a + b) =ab +? 'a + ib = (a + b) (fi + ab) (a +b) (ft + a) (X2 + b). </p><p>De'monstration. Nous utiliserons partout le fait que, si un point c se </p><p>trouve entre deux points a et b, on a necessairement </p><p>ab C c C a + b </p><p>(ccci est immediat, car, si c se trouve entre a et b on a, d'apres (-7g1), </p><p>abC (a+c)(b+c) =-c==ac+bcC (a+b) </p><p>This content downloaded from 192.231.202.205 on Fri, 5 Dec 2014 21:26:32 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p><p>http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p></li><li><p>948 V. GLIVENKO. </p><p>et que, lorsque l'un des points a ou b est une extremite, la reciprm que esL vraie elle-aussi (ceci resulte du theoreme II). </p><p>Soit maintenant S un syst&amp;me metrise, de choses completement normees, et soit u une extremite de ce systime. Essayons de prendre ut pour l'origine de l'espace forme par S. Alors, par definition, un point a sera plus prochain qu'un autre point b, ou bien, b sera plus lointain que a, si et seulement si a se trouvera entre u et b. Nous allons voir que tous les deux conditions 1' et 2' y seront remplies et que les points a A b et a V b y seront toujours (7) et (8). </p><p>Ad 1'. Soit c un point qui se trouve entre deux points a et b et soit x un point qui est plus prochain que a et b. II est 'a montrer que x est aussi plus prochain que c. Autrement dit, soit </p><p>ab C c C a + b, uat C x C u + a, ub C x C it + b. </p><p>I1 est 'a montrer que uc C x C u + C. </p><p>Or, ceci resulte des relations: </p><p>ucCu(a+b) ==-ua+ubCxC (u+a)(u+b) ==u+ab Cu+c. </p><p>Ad 2'. Soit c un point qui se trouve entre deux points a et b...</p></li></ul>