contoh soal statistika

DIKTAT KULIAH STATISTIK INDUSTRI I

(TIED 1305)

DOSEN : IMAM SODIKIN, ST., MT

JURUSAN TEKNIK INDUSTRIPROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRIFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRINDYOGYAKARTA

2007

PENDAHULUAN

KOMPETENSI MATA KULIAH:

Setelah mempelajari mata kuliah ini selama satu semester, mahasiswa diharapkan mampu:

Memahami dan menguasai pengetahuan dasar tentang statistik deskriptif, teori

kemungkinan (probabilitas), sampai dengan jenis-jenis distribusi probabilitas baik yang

diskrit maupun kontinu. Pemahaman pengetahuan dasar tersebut ditujukan guna menangani

permasalahan dunia industri (sistem produksi/industri).

Definisi Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana membuat generalisasi harga

statistik. Obyek statistika adalah data yang kemudian diolah menjadi informasi. Informasi

adalah sesuatu yang sudah siap untuk membuat keputusan

Data informasi

Data hasil

Produksi Barang siap dijual/diekspor

.

.

.

Dsbnya

Informasi

Statistika

statistika

Dua konsep penting dalam statistika :

Konsep populasi dari sampel

Tujuan : produksi beras tahun depan (2008)

Keputusan impor beras tahun 2007

Untuk menaksir produksi beras tahun 2008 digunakan data-data panenan sebagian

daerah awal tahun 2008.

Produksi beras tahun 2008 = populasi (tidak bisa diketahui tetapi harus ditaksir).

Sebagian daerah penyelidikan = sampel

Populasi : Himpunan semua obyek-obyek yang kita selidiki

Sampel : Himpunan bagian dari populasi

Populasi

Karakteristik yang dihitung dari populasi disebut parameter.

Karakteristik yang dihitung dari sampel disebut statistik.

Beberapa cara mengubah data menjadi informasi :

1. Menyusun data dalam kelompok (distribusi frekuensi).

2. Menyajikan dalam bentuk gambar (histogram/polygon).

3. Menentukan ukuran tendensi sentral dan deviasi.

Ukuran kondisi sentral

x1 , x2 , x3 ,⋯, xn Ukuran yang mewakili data

15 Km

Sampai di Jogja 20 menit

Prambanan

YK

sampel

Kecepatan x1 , x2 , x3 ,⋯, xn

Kecepatan rata-rata 45 Km/Jam

Tendensi Sentral

Ukuran tendensi sentral yang biasa digunakan adalah mean, median dan modus.

Data x1 , x2 , x3 ,⋯, xn

Mean x =

x1 , x2 , x3 ,⋯, xn

n =∑i≡1

n

x i

x1 = 6 x2 = 4 x3 = 8 x4 = 7

x =

6+4+8+74 =

254 = 6,25

Sifat-sifat notasi sigma

1.∑i≡1

n

( x i+ y i )= (x1+ y1 ) + ⋯ +(xn+ yn)

= (x1+x2+ ⋯ +xn )+( y1+ y2+ ⋯ + yn )

= ∑i≡1

n

x i+ ∑i≡1

n

yi

2.∑i≡1

n

bx1=

bx1−bx2+. .. .. . .. .. . .+bxn=b (x1+. .. .. . .. .. .+xn)=b∑i≡1

n

x i

3.∑i≡1

n

b= b+b+ ⋯ +b=n⋅b

4.∑i=1

n

( x i− x )2= ∑i=1

n

(x i2−2 x i⋅x+ x2)

x =

∑i=1

n

x i

n

= ∑i=1

n

xi2−2⋅x⋅∑

i=1

n

x i+n⋅x2

= ∑i=1

n

xi2− 2

(∑i=1

n

xi)2

n +

(∑i=1

n

x i)2

n

= n⋅∑

i=1

n

xi2−

(∑i=1

n

x i)2

n

UKURAN DEVIASI

Data ukuran tendensi sentral

Perlunya ukuran deviasi :

a. Mengukur ribuan data

1,5,9 = rata-ratanya adalah 5

Tetapi datanya sangat menyebar

b. Kita mempunyai dua kelompok data yang berbeda tetap mempunyai mean yang sama.

Contoh :

Kumpulan data I

x1 x2 x3 x4 x5

3 5 7 7 8

Kumpulan data II

y1 y2 y3 y4 y5

1 4 5 9 11

x =

3+5+7+7+85

=305

=6

y=1+4+5+9+115

=305

=6

DATA I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

DATA II

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Dari gambar terlihat bahwa data II lebih menyebar daripada data I. Ukuran deviasi yang

banyak digunakan adalah standar S,

dimana S = √∑i=1

n

( xi− x )2

n−1=

√∑i=1

n

x i

2

−(∑

i=1

n

x i)2

n

n−1

Contoh :

Data I

Xi X ( Xi−X ) ( Xi−X )2 Xi2

3 6 -3 9 9

5 6 -1 1 25

7 6 1 1 49

7 6 1 1 49

8 6 2 4 64

30 16 196

Sx=√∑i=1

n

( Xi−X )2

5−1 =√164 =√4=2

Sx=√∑i=1

n

Xi−

(∑i=1

n

Xi )2

n

5−1 =√196−(30 )2

54 =√196−180

4 =√4=2

Data II

Yi Y (Yi−Y ) (Yi−Y )2 Yi2

1 6 -5 25 1

4 6 -2 4 16

5 6 -1 1 25

9 6 3 9 81

11 6 5 25 121

30 64 244

Sy=√∑i=1

n

(Yi−Y )2

5−1 =√644 =√16=4

Sy=√∑i=1

n

Yi−

(∑i=1

n

Yi )2

n

5−1 =√244−(30 )2

54 =√244−180

4 =√644 =√16=4

DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL

1. Teori Singkat

Distribusi frekuensi tunggal adalah distribusi yang tidak menggunakan interval

(golongan/kelompok) didalam penyusunan tabel distribusi frekuensinya.

Tabel distribusi frekuensi tunggal dibuat dengan cara menggabungkan data yang sama

kedalam satu kelas kemudian dihitung frekuensinya. Setelah tabel distribusi frekuensi

tunggal terbentuk maka untuk mencari mean, median, modus, simpangan standard dan

kuartil 1,2,3 digunakan;

a. Mean (X ): nilai rata-rata dari sejumlah data.

X=∑ X i f i

n

Dengan Xi = nilai data ke i

fi = frek. Data i

n = banyak data

k = banyak kelas

b. Median (Med): nilai tengah dari data yang telah diurutkan.

Untuk n ganjil med = nilai data ke ½ (n+1).

Untuk n genap med = ½ (nilai data ke ½ + nilai data ke (1/2 n + 1))

c. Modus (Mod) : nilai data yang mempunyai frekuensi tertinggi.

d. Simpangan standard (S);

S=[ n∑ Xi2

f i−(∑ X i f i)2

n( n−1) ]0,5

Atau

S2=n∗∑ X2−(∑ X )2

n(n−1)

(berdasarkan banyaknya data tanpa melihat frekuensinya).

e. Kuartil (K) : membagi seluruh distribusi menjadi empat bagian yang sama.

Ki = nilai data ke ¼ (i(n+1)) i = 1,2,3

Adapun cara pengambilan sampel dengan menggunakan tabel bilangan random dapat

dilakukan seperti dalam contoh soal.

2. Contoh Soal

Disajikan data peserta KB dari suatu Puskesmas sebagai berikut;

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

20 24 28 32 36 40 44 48 24 26

28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

Dari data diatas;

a. Mengambil sampel sebanyak 20 dengan menggunakan tabel bilangan random mulai

dari kolom 1, baris 1 kekanan.

b. Buat tabel distribusi frekuensi tunggal.

c. Hitung mean, median, modus simpangan standar dan kuartil 1,2,3.

3. Penyelesaian

a. Salah satu cara pengambilan sampel dengan tabel bilangan random dapat dilakukan

sebagai berikut;

i. Karena banyaknya data 50 (<=100) maka pengambilan bilangan random

dilakukan 2 digit – 2 digit, misalkan pengambilan bilangan random mulai kolom

1, baris 1 maka sesuai tabel didapat angka 5177 74640 42331 ……. Dst, karena

kita mengambil 2 digit – 2 digit angka tersebut menjadi 51 77 27 46 … dst.

ii. Setiap data usia peserta KB diberi nomor urut sebagai berikut;

Usia peserta KB 16 diberi nomor urut 00 dan 01

--“-- 20 --“-- 02 dan 03

--“-- 28 --“-- 04 dan 05

--“-- .. --“-- .........

--“-- .. --“-- .........

--“-- .. --“-- .........

--“-- 36 --“-- 96 dan 97

--“-- 37 --“-- 98 dan 99

iii. Bilangan random yang telah terambil pada point a.i. juga merupakan nomor

urut, sehingga bilangan random 21 77 27 46 … mewakili usia pserta KB 21,

32, 22, 26;…..dst.

Disamping itu dapat pula dilakukan sbb:

No. Bil 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

00 – 01

02 – 03

04 – 05

06 – 07

08 - 09

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

20 24 28 32 36 40 44 48 24 26

28 30 32 34 36 38 40 40 44 46

18 20 22* 24 26 28 30 32* 34 36

19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

Lebih mudahnya dibuat daftar sebagai berikut;

Daftar pengambilan sampel sebanyak 20(sampel pengambilan) dari 50 data dengan

tabel bil. Random pada baris 1 kolom 1. dapat dilihat tabel sbb.

a. Data

Sampel bil. Random data usia Sampel bil. Random data usia

1. 51 21*

2. 77 32

3. 27 22

4. 46 26

5. 40 20

6. 42 36

7. 33 32

8. 12 24

9. 90 25

10. 44 36

11. 46 26

12. 62 44

13. 16 20

14. 28 23

15. 98 37

16. 03 20

17. 58 29

18. 20 18

19. 41 20

20. 80 24

b. Tabel distribusi frekuensi tunggal

Kls Usia KB Tabulasi Frek Kls Usia KB Tabulasi Frek

1. 18 / 1

2. 2. 20 //// 4

3. 3. 21 / 1

4. 4. 22 / 1

5. 5. 23 / 1

6. 6. 24 // 2

7. 7. 7. 25 / 1

8. 26 // 2

9. 29 / 1

10. 32 // 2

11. 36 // 2

12. 37 / 1

13. 44 / 1

-- --- --- ----

c. Tabel perhitungan

No. Usia KB frek. Frek. Komulatif Xi fi Xi2 fi

(Xi) (fi)

1. 18 1 1 18 324

2. 20 4 5 80 1600

3. 21 1 6 21 441

4. 22 1 7 22 484

5. 23 1 8 23 529

6. 24 2 10 48 1152

7. 25 1 11 25 625

8. 26 2 13 52 1352

9. 29 1 14 29 841

10. 32 2 16 64 2048

11. 36 2 18 72 2592

12. 37 1 19 37 1369

13. 44 1 20 44 1936

b. Mean (X ) = 535/20 = 26,75

Median (Med) = ½ (data ke 10 + data ke 11)

= ½ (24 + 25) = 24,5

Modus (Mod) = 20

Simpangan standard (S) = [ (20)(15293 )−(535 )2

(20 )(19 ) ]0,5

= 7,1883

Kuartil 1 (K1) = nilai data ke ¼ (1(20+1))

= nilai data ke 5,25

K1 = nilai data ke 5 + 0,25 (nilai data ke 6 – nilai data ke 5)

= 20 + 0,25 (21-20) = 20,25

Kuartil 2 (K2) = nilai data ke ¼ (2(20+1))

= nilai data ke 10,5


= 24 + 0,5 (25-24) = 24,5

Kuartil 3 (K3) = nilai data ¼ (3(20+1))

= nilai data ke 15, 75


= 32 + 0,75 (32-32) = 32

4. Kesimpulan

Rata-rata usia peserta KB = 27 tahun

Median = 25 tahun

Modus = 20 tahun

Simpangan standard = 7 tahun

Kuartil 1 = 20 tahun

Kuartil 2 = 25 tahun

Kuartil 3 = 32 tahun.

DISTRIBUSI FREKUENSI BERUPA INTERVAL

1. Teori Singkat

Distribusi frekuensi berupa interval adalah distribusi yang menggunakan

pengelompokkan dalam penyusunan kelas-kelasnya.

Dalam susunan tabel distribusi frekuensi berupa interval pelu diperhatikan tentang;

a. Range (R).

Range adalah selisih antara nilai data yang terbesar dengan nilai data yang terkecil.

b. Bayaknya kelas (k).

Salah satu cara menentukan banyaknya kelas adalah dengan aturan dari Sturges,

aturan ini menyatakan banyaknya kelas;

K = 1 + 3,32 log n dengan n = banyaknya data.

c. Lebar (interval) tiap-tiap kelas (C).

C = Range / k

d. Limit bawah kelas dan limit atas kelas.

Jika data merupakan angka satuan maka;

Limit bawah kelas = tepi (ujung) bawah kelas – 0,5

Limit atas kelas = tepi (ujung) atas kelas + 0,5

Dan limit atas kelas – limit bawah kelas = C.

e. Interval disusun mulai data yang terkecil atau terbesar dan susun ke bawah.

f. Titik tengah (Xi) = ½ (nilai data tepi bawah kelas + nilai data tepi atas kelas).

g. Hitung frekuensi tiap-tiap kelas dengan jalan memeriksa setiap data masuk ke

dalam kelas yang sesuai.

Setelah tabel distribusi frekuensi berupa interval terbentuk maka untuk mencari mean,

median, modus, simpangan standard dan kuartil 1, 2, 3, digunakan;

Mean X = (Σ Xi fi) / n

Dengan

Xi = titik tengah kelas i.

fi = frekuensi kelas ke i.

k = banyaknya kelas.

n = banyaknya data.

Median Med = LBmed +

1/2n−Ff med * C

Dengan

LBmed : limit bawah kelas median.

fmed : frekuensi pada kelas median.

C : lebar kelas.

F : frek. komulatif semua kelas sebelum kelas median.

Modus Mod = LBmod +

AA+B * C

Dengan

LBmed : limit bawah kelas modus.

A: selisih frek. kelas modus dengan frek. kelas terdekat sebelumnya.

B: selisih frek. kelas modus dengan frek. Kelas terdekat sesudahnya.

Kelas modus: kelas yang mempunyai frek. tertinggi.

Simpangan standard.

S=[ n∑ Xi2

f i−(∑ X i f i)2

n∗(n−1 ) ]0,5

Kuartil Ki = LKi +

( i∗1/ 4n )−Fi

fK i

Dengan

Ki : kuartil ke i dan i = 1, 2, 3

LKi : limit bawah kuartil ke i

Fi : frek. komulatif kelas-kelas sebelum kelas kuartil ke i.

fKi : frek. kelas kuartil ke i.

2. Contoh Soal

Hasil pengambilan sampel dengan menggunakan tabel bilangan random sebanyak 100

data sebagai berikut;

29 64 118 74 86 53 38 70 64 71

39 78 72 33 64 41 36 78 58 48

42 96 48 43 39 63 71 43 69 60

72 120 102 26 86 39 20 64 61 39

83 78 96 38 63 71 43 53 86 78

83 103 64 64 78 96 54 48 50 56

139 48 73 63 63 123 62 36 50 112

27 73 42 71 54 28 96 81 63 108

48 100 62 48 62 71 72 63 71 67

28 28 43 39 38 36 83 62 60 83

Dari sampel yang terambil;

a. Susunlah tabel distribusi frekuensi berupa interval.

b. Hitunglah mean, median, modus, simpangan standard dan kuartil 1, 2, 3.

3. Penyelesaian

Range = 139 – 20 = 119

k = 1 + 3, 32 log 100 = 7,64 = (k = 7 atau k = 8)

jika diambil k =8, maka C = 119/8 = 14,875 = 15

Tepi bawah kelas ke 1 = 20 (diurutkan dari data terkecil).

Limit bawah kelas 1 = 20 – 0,5 = 19,5

Limit atas kelas 1 = 15 + 19,5 = 34,5

Sehingga tepi atas kelas ke 1 = 34,5 – 0,5 = 34

Titik tengah kelas ke 1 = ½ * (20 + 34) = 27.

Untuk kelas ke 2, 3, ...8 cara sama dengan diatas.

a. Tabel distribusi frekuensi berupa interval.

Interval kelas Tabulasi Frek

20 – 34

35 – 49

50 – 64

65 – 79

80 – 94

95 – 109

110 – 124

125 - 139

//// ///

//// //// //// //// ////

//// //// //// //// //// //

//// //// //// ////

//// ///

//// ///

////

/

8

24

27

20

8

8

4

1

b. Tabel perhitungan

No. Interval Titik tengah frek. Frek. Kom Xi fi Xi2 fi

(Xi) (fi)

1. 20 – 34 27 8 8 216 5832

2. 35 – 49 42 24 32 1008 42336

3. 50 – 64 57 27 59 1539 87723

4. 65 – 79 72 20 79 1440 103680

5. 80 – 94 87 8 87 696 60552

6. 95 – 109 102 8 95 816 83232

7. 110 – 124 117 4 99 468 54756

8. 125 – 139 132 1 100 132 17424

6315 455535

c. Mean = 6315 / 100 = 63,15

Median terletak pada data ke 50 dan pada kelas ke 3

LBmed = 50 – 0,5 = 49,5;

F = 32 dan fmed = 27

Median = 49,5 +

(50−32 )27

∗15=59 ,5

Modus (frek. Tertinggi) terletak pada kelas ke 3.

LBmod = 50 – 0,5 = 49,5

A = 27 – 24 = 3 dan B = 27 -20 = 7

Modus = 49,5 +

33+7

∗15=54

Letak K1 = data ke ¼ (1*100) = data ke 25 dan terletak pada kelas ke 2, sehingga;

LK1 = 35 – 0,5 = 34,5 ; F1 = 8; fK1 = 24

K1 = 34,5 +

25−824

∗15=45 ,12


LK2 = 50 – 0,5 = 49,5; F2 = 32; fK2 = 27

K2 = 49,5 +

50−3227

∗15=59 ,5


LK3 = 65 – 0,5 = 64,5; F3 = 59; fK3 = 20

K3 = 64,5 +

75−5920

∗15=76 , 5

Simpangan standard = [100∗( 455 .535 )−(6 .315 )2

100∗(100−1 ) ]0,5

= 23,94

4. Kesimpulan

Mean = 63,15

Median = 59,5

Modus = 54

Simpangan standard = 23,94

Kuartil ke 1 = 45,12

Kuartil ke 2 = 59,5

Kuartil ke 3 = 76,5

PROBABILITAS

Statistika membuat generalisasi parameter berdasarkan statistik pasti terjadi kesalahan,

yang bisa kita kerjakan hanya mengontrol kesalahan.

Timbulnya kesalahan dari ketidakpastian probabilitas adalah ukuran ketidak pastian yang

tidak pasti adalah kejadian-kejadian yang muncul dari hasil eksperimen.

Eksperimen yaitu proses yang menghasilkan variasi di dalam hasilnya.

Hasil eksperimen : Out came eksperimen = biasanya dinyatakan dalam huruf-huruf kecil =

c,a,b,….

Ruang sampel : Himpunan semua hasil atau outcame dari suatu eksperimen.

Ruang sampel dinyatakan dengan Ω

Kejadian : Himpunan bagian dari ruang sample.

1. Contoh :

Sebuah mata uang dilontarkan dua kali M : muka dan B : belakang.

Ω = {MM,MB,BM,BB} M M B M

B B

A = Paling sedikit satu muka

A = {MM,MB,BM}

B = Lontaran kedua menghasilkan belakang

B = {MB,BB}

2. Mengamati cuaca antara jam 16.00-17.00

Ω = {Cerah, Mendung, Hujan}

HUBUNGAN ANTAR KEJADIAN

Gabungan:

A∪B= { x Ιx∈ A atau x∈ B }

Ω

Irisan

A∩B= { x Ιx∈ A dan x∈ B }

Ω

Komplemen

AC = { x Ιx∉ A }

Himpunan A dan B disebut saling asing bila A∩B = Ø

Ω={ℓ 1 , ℓ 2 , ℓ 3 , ℓ 4 ,. .. . .. ..}

Probabilitas P(.) adalah aturan yang mengawankan setiap ℓ i dengan bilangan real P0≤P()(ℓi )

dengan sifat-sifat sebagai berikut:

1. 0≤P(ℓi )≤1

2.P(Ω)=∑

i=1

n

P (ℓi )=1

3.P( A )=∑

ℓiεΑ

P (ℓi )

4. Bila A1,A2,A3…..saling asing maka P(¿ Ai )=∑ P ( Ai)

Contoh 1 :

Ω={ MB, MM , BM , BB }=

14

,14

,14

,14

A = {MM,MB,BM}

P(A) =

14+ 1

4+ 1

4=3

4

B = {MB,BB}

P(B) =

14+ 1

4 =

12

Α∩Β={MB}= P ( Α∩Β )=1

4

Contoh 2

Ω={Cerah , Mendung, Hujan}= 0.9, 0.09, 0.01

Akan kita buktikan:

Ρ ( Α∪Β )=Ρ ( Α )+Ρ ( Β )−Ρ ( Α∩Β )

Α∪Β=( Α∩Βc )∪( Α∩Β )∪( Αc∩Β )

∴Ρ ( Α∪Β )=Ρ ( Α∩Βc )+Ρ ( Α∩Β )+Ρ ( Αc∩Β )Dari lain pihak:

Α=( Α∩Βc )∪ ( Α∩Β )

Ρ ( Α )=Ρ ( Α∩Βc )+Ρ ( Α∩Β )

Atau,

Ρ ( Α∩Βc )=Ρ ( Α )−Ρ ( Α∩Β )

Juga berlaku,

Ρ (Β∩Αc )=Ρ ( Β )−Ρ ( Α∩Β )

Akibatnya

Ρ ( Α∪Β )=Ρ ( Α )−Ρ ( Α∩Β )+Ρ ( Α∩Β )+Ρ ( Β )−Ρ ( Α∩Β )

= Ρ ( Α )+Ρ (Β )−Ρ ( Α∩Β )

Contoh :

Ρ ( Α∪Β )=34+1

2− 1

4=1

PROBABILITAS BERSYARAT

Suatu barang diproduksi oleh 3 buah mesin M1, M2, dan M3

M1 M2 M3

C = Produksi cacatP = Produksi cacat dari semua produksi

Sekarang misalkan kita mengetahui bahwa suatu barang adalah produksi mesim M2.

berapakah probabilitasnya barang tersebut cacat.

Pertanyaan terakhir adalah produksi cacat bersyarat bahwa barang tersebut produksi

M2 P(C/M2).

Definisi:

Misalkan A dan B adalah kejadiah dimana P(B) > 0.

Probabilitas bersyarat A diketahui

B telah terjadi ditulis P(A/B) kita definisikan sebagai :

P(A/B) =

P ( A∩B )P (B )

Contoh:

Kesehatan BeratKelebihan Normal Kurang Jumlah

Hipertensi 0,10 0,08 0,02 0,20Normal 0,15 0,45 0,20 0,80Jumlah 0,25 0,53 0,22 1,00

A = Hipertensi

B = Kelebihan berat badan

P( A )=0 , 20

P( A /B )=P ( A∩B)

P( B )=0 , 10

0 , 25=0,4≠P( A )

Dari definisi P( A /B )=

P ( A∩B)P( B ) atau P( A∩B )=P( A /B )⋅P( B)

P( A /B )=P ( A∩B)

P( B )⇒ P( A∩B )=P( A )⋅P( B)

Dalam kasus hipertensi : P( A /B )≠P( A )

A tergantung pada B.

Untuk hal ini A dan B disebut dependen.

Sekarang lihat eksperimen berikut:

Pelontaran sebuah mata uang seimbang dua kali

Ω= {MM, MB, BM, BB}

A = lontaran kedua mendapat belakang

B = lontaran pertama mendapat muka

A = {MB,BB}P( A )=1

2

B = {MM, MB}P( B)=1

2

A∩B={MB} P( A∩B )=14

P( A /B )=P ( A∩B)

P( B )=

14

12

=12=P( A )

P( A /B )=P( A )⇒ A dan B independen

P( A∩B )=P( A )⋅P( B)

A dan B independen ⇒P ( A∩B)=P( A )⋅P (B )

A dan B disebut kejadian independen bila:

a.) P( A /B )=P( A ) atau

b.) P( B/ A )=P(B ) atau

c.) P( A∩B )=P( A )⋅P( B)

Hubungan dengan rumus :

P( A∪B )=P( A )+P( B)−P ( A∩B )

P( A )P( B/ A ) P( A )P( B ) hanya dalam hal A dan B independen

atau P( B) P( A/ B)

Contoh: (keandalan suatu sistem)

Probabilitas : keandalan : probabilitas suatu sistem dapat bekerja

Sistem A : keandalannya 0,98

Sistem B : keandalannya 0,95

S* : A dan B dihubungkan secara seri

A 0 B

Berapakah keandalan S?

S = A∩B dengan A dan B independen

∴P( S )=P( A∩B)=P ( A )⋅P( B )=(0 ,98 )⋅( 0 ,95 )=0 ,931

S¿ , A dan B dihubungkan secara parallel

A

B

S¿=A∪B

P( S¿ )=P( A )+P( B)−P ( A∩B )= 0,98 + 0,95 – 0,931

= 0,995

Contoh:

Misalkan A dan B adalah dua kejadian dimana P( A )=0,5 , P( B)=0 ,25 , P( A /B )=0,8 .

Hitung P( A∪B )!

P( A∪B )=P( A )+P( B)−P ( A∩B )

P( A∩B )=P( B )⋅P( A / B)

= (0,25) . (0,8)

= 0,2

P( A∪B )=0,5+0 ,25−0,2

= 0,55

Variabel Random

X = Pajak yang dibayar (dalam ribuan)

Petugas pajak tertarik pada propinsi pembayar pajak yang membayar suatu harga.

Contoh: melontarkan mata uang yang seimbang dua kali

Ω= {MM, MB, BM, BB}

X = banyaknya muka

X

MM3

MB2

BM1

BB0

-1

P( x=2 )= P( MM )=1

4

P( x=1 ) = P( MB , BM )=1

2

P( x=0 )= P( BB)=1

4

Sekarang kita mempunyai daftar

x P( x=x )=f ( x )

0 14

1 12

2 14

1

Atau

{(0 ,1

4 ) ,(1 ,1

2) ,(2 ,1

4)}Tabel atau himpunan {x , f ( x )} disebut distribusi probabilitas dari X atau fungsi

massa probabilitas dari X.

{x , f ( x )}⇒ ditulis f ( x ) saja.

f ( x ) adalah distribusi probabilitas dari X bila:

(a) 0)( xf

(b)∑

x

f ( x )=1

x boleh negatif, tetapi f ( x ) harus ¿0

Contoh:

x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x )

2 0,4 1 0,0 -2 0,25 0 0,3

8 0,6 3 0,5 0 0,50 1 -0,1

13 0,2 9 0,3 2 0,25 2 0,8

bukan distribusi probabilitas

10 0,2 1 bukan distribusi probabilitas1 distribusi

probabilitasdistribusi probabilitas

Contoh:

f ( x ) = kx x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

(a) Tentukan k agar f ( x ) merupakan distribusi probabilitas

(b) Tentukan P(1≤x≤3)

(c) P( x≤2 )

(d) P( x>3 )

Jawab:

(a)

x f ( x ) 15 k = 1

k =

115

x f ( x )

0 0 0 0

1 k 1 115

2 2k 2 215

3 3k 3 315

4 4k 4 415

5 5k 5 515

15 k

(b) P(1≤x≤3) = P( x=1 )+P (x=2)+P( x=3 )

=

115

+ 215

+ 315

=

615

(c) P( x≤2 )= P( x=0 )+P( x=1)+P( x=2)

= 0+ 1

15+ 2

15

=

315

=15

(d) P( x>3 )= P( x=4 )+P ( x=5)

=

415

+ 515

=

915

=35

Mean dan Variasi Variabel Random X

Misalkan variabel random X mempunyai probabilitas f ( x ) ditulis E( x ) atau μ x atau μ

kita definisikan sebagai :

E( x )= ∑

x

x⋅f ( x )

Sedang variasi dari x vitulis sebagai Var(x) atau σ2 x atau σ

2 kita definisikan sebagai:

σ 2 =

E( x−μ )2=∑x

( x−μ )2 f (x )

Mean positif dari variasi disebut durasi standar.

Rumus:

σ 2 = E( x2 )−μ2

dimana

E( x2 ) = ∑

x

x2⋅f (x )

Bukti:

σ 2 =

E( x−μ )2=∑x

( x−μ )2 f (x )

= ∑

x

( x2−2 μx+μ2 ) f ( x )

= ∑

x

x2 f ( x )−2 μ∑x

x f ( x )+ μ2∑x

f ( x )

= ∑

x

x2 f ( x )−2 μ2+ μ2

= E( x2 )−μ2

Contoh:

x f ( x ) xf ( x ) x−μ ( x−μ )2 ( x−μ )2

f ( x )

x2 x2 f ( x )

0 0,1 0 -2 4 0,4 0 0

1 0,2 0,2 -1 1 0,2 1 0,2

2 0,4 0,8 0 0 0 4 1,6

3 0,2 0,6 1 1 0,2 9 1,8

4 0,1 0,4 2 4 0,4 16 1,6

2,0 1,2 5,2

= ∑

x

x⋅f ( x ) = 2

σ 2= ∑

x

( x−μ)2 f ( x )= 1,2

σ 2= ∑

x

x2 f ( x )− μ2

= 5,2−(2)2=5,2−4=1,2

σ = √1,2 = 1,095

Tentukan P (μ−σ≤x≤μ+σ )

μ+σ = 2 + 1,095 = 3,905

μ−σ = 2 – 1,095 = 0,905

P (0 , 905≤x≤3 ,905 ) = P( x=1 )+P (x=2)+P( x=3 )= 0,8

contoh soal statistika

Documents