Contoh Soal Kalkulus III

Download Contoh Soal Kalkulus III

Post on 28-Jun-2015

7.416 views

Category:

Documents

29 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

SOAL SOAL DAN JAWABAN KALKULUS III Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus III Dosen : Dra.Haniek SP, MPd Disusun oleh : Muhammad Adib Achsan (08144100088) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2010 D AFT AR I SI Halaman Sampul ........................................................................................................... 1 Daftar Isi ....................................................................................................................... 2 1.Barisan Tak Terhingga ...................................................................................... 3 2.Deret Tak Terhingga .......................................................................................... 3.Deret Positif :a)Uji Integral............................................................................................. b)Uji Banding Limit .................................................................................. 4.Deret Kuasa dan Operasi Deret Kuasa ............................................................... 5.Deret Taylor dan MacLaurin .............................................................................. 6.Fungsi Dua Peubah atau Lebih........................................................................... 7.Turunan Parsial ................................................................................................. 8.Limit dan Kekontinuan ...................................................................................... 9.Keterdeferensialan ............................................................................................. 10. Aturan Rantai .................................................................................................... BARISAN TAK TERHINGGA Diketahui rumus eksplisitnya on untuk barisan { on }. Tuliskan dari tiap barisan itu lima sukuyangpertama.Tentukanapakahbarisankonvergenataudivergen.Apabila konvergen, tentukan l i m x on. 1.an=3n2+2n+4 Jawab =o1=3.12+21+4= 1o4=3.42+24+4=254

o2=3.22+22+4=73 o5=3.52+ 25 + 4=779 o3=3.32+23+4=297

IIIIIIIII 01 73 297 254

779 l i mnon= l i mn3n2+ 2n + 4= l i mn3n2/ n2nn2 = l i mn 6n1= l i mn6 = 6

Jadion=3n2+2n+4, adalah konvergen, dan nilai limitnya adalah 6. 2.an=n2n-1 Jawab = o1=12.1-1= 1o4=42.4-1=47 o2=22.2-1=23o5=52.5-1=59 o3=32.3-1=35

IIIIII 0 59 47 35

231 l i m non= l i m nn2n-1= l i m nnn2nn = l i m n 12=12 Jadi barisan diatas adalah konvergen, dan nilai limitnya adalah 12. 3.an= ( 1)n3n2n+2 Jawab =o1= 113.12.1+2= 24 o4= 143.42.4+2=810 o2= 1222.2+2=46 o5= 153.52.5+2= 1012 o3= 133.32.3+2= 68

Kerena barisan diatas adalah deret divergen maka nilai limitnya tidak ada. 4.an =n3n-1 Jawab = o1=13.1-1=12o5=53.5-1=514 o2=23.2-1=25 o4 =43.4-1=411

o3 =33.3-1=38 on=n3n-1 , adalah konvergen.l i mnon= l i mxn3n 1= l i mxnn3nn 1n = 13-0 = 13 Jadi nilai limitnya adalah = 13 5.an =4n2+1n2-2n+3 o1=4.12+112-2.1+3=52o4=4.42+142-2.4+3=6511

o2=4.22+122-2.2+3=173 o5=4.52+ 152 2.5 + 3=10118 o3=4.32+132-2.3+3=376 [oJi on konvergen dan limitnya adalah 4. l i mnon= l i mn4n2+ 1n2 2n + 3= l i mn4n2/ n2n2n2 = l i mn 41= l i mn4 = 4 DERET TAK TERHINGGA Tentukan jumlah deret berikut ini dan tentukan hasil bilangan desimal sebagai hasil bagi dua bilangan bulat tersebut! 1.0,22222... Jawab : 0,22222...= 21o+2100+21000+210000+2100000+ .... S=2101- 110=210910=29 Jadi jumlah deret diatas adalah 29 2.0,125125125... Jawab : 0,125125125...=1251000+1251000000+1251000000000+ =125(110] )3+125(110] )6+125(110] )9+... =125 ( 110)n=13n S=1251000]1-11000=1251000x 1000999=125999 Jadi jumlah deret diatas adalah 125999 3. |3 I14]k2 I15]k|k=1 Jawab : Sn=3 (14)k 2 (15)k k=1k=1 =3 14]1-142 15]1-1S =3143421S4S= 3 24 =3-12=212 Jadi deret tersebut konvergen jumlahnya 2 12 4.Hitungan [ 3(18)k5(13)k]k=1 Jawab: Sn=3 (18)k 5(13)k k=1 =3181-185131-13 =318851323 =3752 =-2914 Jadi jumlahnya -2914 dan merupakan deret konvergen. 5.1( k+2) ( k+3)k=1 Jawab : Sn= (1k+21k+3)k=1 =I11+211+3] + I12+212+3] + + I1n+21n+3] =131n+3 Jadi deret konvergen dan jumlahnya 13 DERET KUASA DAN OPERASI DERET KUASA 1.Tentukan himpunan kekonvergenan deret pangkat yang bersangkutan dan tentukan rumus suku ke-n, kemudian gunakan uji hasil bagi mutlak. 1 x2+ x222 x323+ x424 , `( 1)nxn2nn=1 Jawab = = l i mn| un+1|| un|= l i mnxn+12n+1 xnn = l i m n xn.x2n.2nxn =l i m n | x| 2 = | x| 2 Konvergen jika |x2| < 1, atau (-2 x < 2). Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ( -2 , 2 ). 2.Tentukan himpunan kekonvergenan deret pangkat yang bersangkutan dan tentukan rumus suku ke-n, kemudian gunakan uji hasil bagi mutlak. ( x + 5)1. 2+( x + 5)22. 3+( x + 5)33. 4+( x + 5)44. 5+ , `( x + 5)nn. ( n + 1)n=1 Jawab = = l i mn| un+1|| un|= l i mn( x + 5 )n+1( n + 1) ( n + 1 + 1)( x + 5)nn2 = l i m n( x+5)n.( x+5)( n+1) ( n+2)n2( x+ 5)n =l i m n | x+5| 111+3nn2+ 2n2 = | x + 5| Konvergen jika | x + 5 |< 1, atau (-6 x < -4). Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ( -6 , -4 ). Tulislah deret pangkat yang jumlahnya adalah) (x f : 3. ) (x f = Jawab =f(x) = = Apabila dalam deret geometri, diganti dengan akan kita peroleh: == 4.) (x f=Jawab == Apabila dideferensialkan diperoleh: = 5.) (x f= Jawab =) (x f= = =) == x 11x 11... 13 2 x x xx x x 11... 13 2 x x x0) 1 (nn nx2) 1 (1x x 11... 13 2 x x x2) 1 (1x 11 22 ) 1 ( ... 3 2 1nn nx x xxx 12xx 12xx 11.2(2x ... 13 2 x x x...5 4 3 2 x x x x2) 1 (nn nxFUNGSI DUA PEUBAH ATAY LEBIH 1.Andaikan f(x,y) = x2y + .ycarilah setiap nilai berikut! a.f(2,1) b.f(1,4) penyelesaian: a.f(x,y) = x2y + .y f(2,1) = 22.1 + 1 = 5 b.f(x,y) = x2y + .y f(1,4) = 12.4 + 4 = 7 2.Andaikan g(x,y,z) = x2 sin yz, carilah nilai dari g(1,,2) ! Penyelesaian: g(x,y,z) = x2 sin yz g(1, ,2) = 12 sin 2 = 0 3.Andaikan g(x,y,z) = .x cos y + z2 , carilah nilai untuk g(2,/3,-1) Penyelesaian: g(x,y,z)= .x cos y + z2 g(2,/3,-1) = .2 cos 60 + ( 1 )2 = 2.12+ 1 = 2 4.Andaikan g(x,y,z) = .x cos y + z2 , carilah nilai untuk g(2,/3,-1) Penyelesaian: g(x,y,z) = .x cos y + z2 g(-9,,-1) = 9 cos 180 + 32 = 9 . 1 + 9 = 18 = 32 5.Andaikan f(x,y) =yx + xy, carilah nilai dari f(4,14) ! Penyelesaian: f(x,y) = yx+ xy f(4,14) = 144 + 4. 14 = 116 + 1 = 1 116 FUNGSI DUA PEUBAH 6.Andaikan f(x,y) = x2y + .ycarilah setiap nilai berikut! c.f(2,1) d.f(1,4) penyelesaian: c.f(x,y) = x2y + .y f(2,1) = 22.1 + 1 = 5 d.f(x,y) = x2y + .y f(1,4) = 12.4 + 4 = 7 7.Andaikan g(x,y,z) = x2 sin yz, carilah nilai dari g(1,,2) ! Penyelesaian: g(x,y,z) = x2 sin yz g(1, ,2) = 12 sin 2 = 0 8.Andaikan g(x,y,z) = .x cos y + z2 , carilah nilai untuk g(2,/3,-1) Penyelesaian: g(x,y,z)= .x cos y + z2 g(2,/3,-1) = .2 cos 60 + ( 1 )2 = 2.12+ 1 = 2 9.Andaikan g(x,y,z) = .x cos y + z2 , carilah nilai untuk g(2,/3,-1) Penyelesaian: g(x,y,z) = .x cos y + z2 g(-9,,-1) = 9 cos 180 + 32 = 9 . 1 + 9 = 18 = 32 10. Andaikan f(x,y) =yx + xy, carilah nilai dari f(4,14) ! Penyelesaian: f(x,y) = yx+ xy f(4,14) = 144 + 4. 14 = 116 + 1 = 1 116 TURUNAN PARSIAL 1.Jika f(x,y) = 2x2 xy + y2, carilah df/dx dan df/dy ! Penyelesaian: - df/dx = 4x y - df/dy = -x + 2y 2.Jika f(x,y) = x3y + exy2, carilah fx, fy, fxx, fyy, fxy dan fyx ! Penyelesaian: -fx(x,y)= x (x3y + exy2) = 3x2y + exy2y2 -fy(x,y) = y (x3y + exy2) = x3 + 2xy exy2

-fxx(x,y) = x (3x2y + exy2 y2) = 6xy + y2 (exy2 y2) = 6xy + y4 exy2 -fyy(x,y) = y (x3 + 2xy exy2) = 0 + 2xy + y (exy2) + exy2y (2xy) = 2xy.2xy. exy2 + exy2.2x = 4x2y2. exy2+ 2x exy2 -fxy(x,y) = y (3x2y + exy2 y2) = 3x2 + y2.2xy. exy2+ 2y exy2 =3x2 + 2xy3 exy2 + 2yexy2 -fyx(x,y) = x (x3 + 2xy exy2 ) = 3x2 + 2xy. exy2.y2 + exy2. 2y= 3x2 + 2xy3. exy2+2y exy2 3.Misalkan f(x,y) = 3x2y 2y3 tentukan fx(2,2) dan fy(2,2) ! Penyelesaian: fx(x,y) = 6xy fx(2,2) = 6.2.2 = 24 fy(x,y) = 3x2 6y2 fy(2,2) = 3(2)2 6(2)2 = 12 24 = -12 4.Tentukan turunan ketiga dari f(x,y,z) = x3 2xyz + 3y3z2 . . . Penyelesaian: -fx(x,y,z) = 3x2 2yz fxx(x,y,z) = 6x fxy(x,y,z) = -2z fxz(x,y,z) = 3x2 2y -fy(x,y,z) = -2xz + 9y2z2 fyy(x,y,z) = 18yz2 fyx(x,y,z) = -2z fyz(x,y,z) = -2x + 9y22z -fz(x,y,z) = -2xy + 3y32z fzz(x,y,z) = -2y + 6y3 fzy(x,y,z) = -2 + 18y2 = 16y2 5.Tentukan turunan kedua dari f(x,y) = x2y + 7y Penyelesaian: fx(x,y) = 2xy fy(x,y) = x2 + 7 fxx(x,y) = 2y fyy(x,y) = 0 fxy(x,y) = 2x fyx(x,y) = 2x UJI BANDING LIMIT 1.n1+n2n=1 Penyelesaian: bn = nn2=1n (deret harmonik) l i m nn1+n21n =l i mn n1+n2x n1 = n1+n2: n2n2 = n2n21n2+n2n2 = 1 (divergen) ` n + 51 + n3n=1 bn = nn3=1n2 l i m nn+S1+n31n2 = n+51+n3x n21 = n3+5n21+n3: n3n3 = n3n3+00+n3n3 = 1 (konvergen) 2.2n+33n4+2n3+3n+1n=1 Penyelesaian: bn = 2n3n4=2n3n3.n=23n3

l i m n2n+33n4+2n3+3n+123n3 = 2n+33n4+2n3+3n+1x 3n32 = 6n4+9n36n4+4n3+6n+3: n4n4 = 6n4n4+06n4n4+0+0+0 = 1 (konvergen) 3.3n2-2n4-2n3+11n=1 Penyelesaian: l i m n3n2-2n4-2n3+113n2 =l i mn 3n2-2n4-2n3+11x n23 = 3n4-2n23n4-6n3+33: n4n4 = 3n4n4-03n4n4-0+0 = 1 (konvergen) 4.n+5n2+19nn=1 Penyelesaian: l i m n1.n2+19n1n =l i mn 1n2+19n x n1 = nn2+19n = 1 (konvergen) KETERDIFERENSIALAN Carilah gradien ! 1.f(x,y) = x2y + 3xy Penyelesaian: oox= 2xy + 3y ooy= x2+ 3x Jadi, = (2xy + 3 y)i + (x2+ 3 x)j 2.f(x,y) = x3y + y3 Penyelesaian: oox= 3x2y ooy= x3 3y2 Jadi, = (3x2y)i + (x3 3y2)j 3.f(x,y,z) = x2y + y2z + z2x Penyelesaian: ]x= 2 xy + z2 ooy= x2 2yz ooz= y2+ 2zx Jadi, = (2xy + z2)i + (x2 2yz)j + (y2+ 2zx)k 4.f(x,y) = xexy Penyelesaian: oox= cxy( 1 + xy)ooy= x2cxy Jadi, = (cxy( 1 + xy) )i + (x2cxy)j 5.f(x,y,z) = .x2+ y2+ z2 Penyelesaian: f(x,y,z) = ( x2+ y2+ z2)-12 ]x=12( x2+ y2+ z2)-12 . x (x2) = 12( x2+ y2+ z2)-12 . 2x = x( x2+ y2+ z2)-12 ]y=12( x2+ y2+ z2)-12 . y (y 2) = 12( x2+ y2+ z2)-12 . 2y = y( x2+ y2+ z2)-12 ]z=12( x2+ y2+ z2)-12 . z (z2) = 12( x2+ y2+ z2)-12 . 2z = z( x2+ y2+ z2)-12 Jadi, = [x( x2+ y2+ z2)-12]i + [y( x2+ y2+ z2)-12]j + [z( x2+ y2+ z2)-12]k