SOAL – SOAL DAN JAWABAN KALKULUS III Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus III

Dosen : Dra.Haniek SP, MPd

Disusun oleh :

Muhammad Adib Achsan (08144100088)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2010

DAFTAR ISI

Halaman Sampul ........................................................................................................... 1

Daftar Isi ....................................................................................................................... 2

1. Barisan Tak Terhingga ...................................................................................... 3 2. Deret Tak Terhingga .......................................................................................... 3. Deret Positif :

a) Uji Integral............................................................................................. b) Uji Banding Limit ..................................................................................

4. Deret Kuasa dan Operasi Deret Kuasa ............................................................... 5. Deret Taylor dan MacLaurin .............................................................................. 6. Fungsi Dua Peubah atau Lebih........................................................................... 7. Turunan Parsial ................................................................................................. 8. Limit dan Kekontinuan ...................................................................................... 9. Keterdeferensialan ............................................................................................. 10. Aturan Rantai ....................................................................................................

BARISAN TAK TERHINGGA

Diketahui rumus eksplisitnya 푎 untuk barisan { 푎 }. Tuliskan dari tiap barisan itu lima suku yang pertama. Tentukan apakah barisan konvergen atau divergen. Apabila konvergen, tentukan lim → ∞ 푎 .

1. 풂풏 = ퟑ풏ퟐ ퟐ풏 ퟒ

Jawab =

푎 = . = 1 푎 = . =

푎 = . =

푎 =3.5 + 2

5 + 4 =779

푎 = . =

I I I I I I I I I

0 1

lim→∞

푎 = lim→

3푛 + 2푛 + 4 = lim

→∞

3푛 /푛푛푛

= lim →∞ = lim →∞ 6 = 6

Jadi 푎 = , adalah konvergen, dan nilai limitnya adalah 6.

2. 풂풏 = 풏ퟐ풏 ퟏ

Jawab =

푎 =.

= 1 푎 =.

=

푎 =.

= 푎 =.

=

푎 =.

=

I I I I I I

0 1

lim → 푎 = lim → = lim →

= lim → =

Jadi barisan diatas adalah konvergen, dan nilai limitnya adalah .

3. 풂풏 = (−ퟏ)풏 ퟑ풏ퟐ풏 ퟐ

Jawab =

푎 = −1 ..

= − 푎 = −1 ..

=

푎 = −1.

= 푎 = −1 ..

= −

푎 = −1 ..

= −

Kerena barisan diatas adalah deret divergen maka nilai limitnya tidak ada.

4. 풂풏 풏ퟑ풏 ퟏ

Jawab =

푎 = .

= 푎 =.

=

푎 =.

= 푎 =.

=

푎 =.

=

푎 = , adalah konvergen.

lim→

푎 = lim→

푛3푛 − 1 = lim

→

푛푛

3푛푛 − 1

푛

=

=

Jadi nilai limitnya adalah =

5. 풂풏 ퟒ풏ퟐ ퟏ

풏ퟐ ퟐ풏 ퟑ

푎 = ..

= 푎 = ..

= 푎 = .

.=

푎 =4.5 + 1

5 − 2.5 + 3=

10118

푎 = ..

= 퐽푎푑푖 푎 konvergen dan limitnya adalah 4.

lim→∞

푎 = lim→

4푛 + 1푛 − 2푛 + 3 = lim

→∞

4푛 /푛푛푛

= lim →∞ = lim →∞ 4 = 4

DERET TAK TERHINGGA

Tentukan jumlah deret berikut ini dan tentukan hasil bilangan desimal sebagai hasil bagi dua bilangan bulat tersebut!

1. 0,22222... Jawab :

0,22222...= + + + + +....

S= = =

Jadi jumlah deret diatas adalah

2. 0,125125125... Jawab : 0,125125125...= + + + ⋯ =125(1 10)3+125(1 10)6+125(1 10)9+...

=125∑ ( )∞ 3n

S= = x =

Jadi jumlah deret diatas adalah

3. ∑ 3 − 2 Jawab :

Sn=3∑ ( ) − 2∑ ( )

=3 − 2

=3 − 2 = 3−

=3- =2

Jadi deret tersebut konvergen jumlahnya 2

4. Hitungan ∑ [3( ) − 5( ) ] Jawab: Sn=3∑ ( ) − 5( )

=3 − 5

=3 − 5

= −

=-

Jadi jumlahnya - dan merupakan deret konvergen.

5. ∑ ( )( )

Jawab :

Sn=∑ ( − )

= − + − +⋯+ −

= −

Jadi deret konvergen dan jumlahnya

DERET KUASA DAN OPERASI DERET KUASA

1. Tentukan himpunan kekonvergenan deret pangkat yang bersangkutan dan tentukan rumus suku ke-n, kemudian gunakan uji hasil bagi mutlak.

ퟏ −풙ퟐ +

풙ퟐ

ퟐퟐ −풙ퟑ

ퟐퟑ +풙ퟒ

ퟐퟒ −⋯ , (−ퟏ)풏풙풏

ퟐ풏풏 ퟏ

Jawab =

휌 = lim→

|푢 ||푢 | = lim

→

푥2

÷푥푛

= lim →. .

×

= lim → | |

= | |

Konvergen jika < 1, atau (-2 x < 2). Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ( -2 , 2 ).

2. Tentukan himpunan kekonvergenan deret pangkat yang bersangkutan dan tentukan rumus suku ke-n, kemudian gunakan uji hasil bagi mutlak.

(풙 + ퟓ)ퟏ.ퟐ +

(풙 + ퟓ)ퟐ

ퟐ.ퟑ +(풙 + ퟓ)ퟑ

ퟑ.ퟒ +(풙 + ퟓ)ퟒ

ퟒ.ퟓ + ⋯ ,(풙 + ퟓ)풏

풏. (풏+ ퟏ)풏 ퟏ

Jawab =

휌 = lim→

|푢 ||푢 | = lim

→

(푥 + 5)(푛 + 1)(푛 + 1 + 1) ÷

(푥 + 5)푛

= lim →( ) . ( )

( )( )×

(푥+5)푛

= lim → | |

×

= |푥 + 5|

Konvergen jika |푥 + 5| < 1, atau (-6 x < -4). Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ( -6 , -4 ).

Tulislah deret pangkat yang jumlahnya adalah )(xf :

3. )(xf =

Jawab =

f(x) =

=

Apabila dalam deret geometri , diganti dengan akan kita peroleh:

= =

4. )(xf =

Jawab =

=

Apabila dideferensialkan diperoleh:

=

5. )(xf =

Jawab =

)(xf = =

= )

= =

x11

x11

...1 32 xxx

x x

x11 ...1 32 xxx

0

)1(n

nn x

2)1(1x

x11 ...1 32 xxx

2)1(1x

1

12 2)1(...321n

nn xxx

xx1

2

xx1

2

xx

11.2

(2x ...1 32 xxx

...5432 xxxx

2

)1(n

nn x

FUNGSI DUA PEUBAH ATAY LEBIH

1. Andaikan f(x,y) = x2y + 푦 carilah setiap nilai berikut! a. f(2,1) b. f(1,4)

penyelesaian:

a. f(x,y) = x2y + 푦 f(2,1) = 22.1 + √1 = 5

b. f(x,y) = x2y + 푦 f(1,4) = 12.4 + √4 = 7

2. Andaikan g(x,y,z) = x2 sin yz, carilah nilai dari g(1,π,2) ! Penyelesaian: g(x,y,z) = x2 sin yz g(1, π,2) = 12 sin 2 π = 0

3. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)

Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos푦 + 푧 g(2,π/3,-1) = 2 cos 60 + (−1)

= 2. + 1

= √2 4. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)

Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 g(-9,π,-1) = √−9 cos 180 + 3 = √−9.−1 + 9 = √18 = 3√2

5. Andaikan f(x,y) = + xy, carilah nilai dari f(4, ) ! Penyelesaian: f(x,y) = + xy

f(4, ) = + 4.

= + 1

= 1

FUNGSI DUA PEUBAH

6. Andaikan f(x,y) = x2y + 푦 carilah setiap nilai berikut! c. f(2,1) d. f(1,4)

penyelesaian:

c. f(x,y) = x2y + 푦 f(2,1) = 22.1 + √1 = 5

d. f(x,y) = x2y + 푦 f(1,4) = 12.4 + √4 = 7

7. Andaikan g(x,y,z) = x2 sin yz, carilah nilai dari g(1,π,2) ! Penyelesaian: g(x,y,z) = x2 sin yz g(1, π,2) = 12 sin 2 π = 0

8. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)

Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos푦 + 푧 g(2,π/3,-1) = 2 cos 60 + (−1)

= 2. + 1

= √2 9. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)

Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 g(-9,π,-1) = √−9 cos 180 + 3 = √−9.−1 + 9 = √18 = 3√2

10. Andaikan f(x,y) = + xy, carilah nilai dari f(4, ) ! Penyelesaian: f(x,y) = + xy

f(4, ) = + 4.

= + 1

= 1

TURUNAN PARSIAL

1. Jika f(x,y) = 2x2 – xy + y2, carilah df/dx dan df/dy ! Penyelesaian: - df/dx = 4x – y - df/dy = -x + 2y

2. Jika f(x,y) = x3y + e , carilah fx, fy, fxx, fyy, fxy dan fyx ! Penyelesaian: - fx(x,y) = (x3y + e )

= 3x2y + e y2 - fy(x,y) = (x3y + e )

= x3 + 2xy e - fxx(x,y) = (3x2y + e y2)

= 6xy + y2 (e y2) = 6xy + y4 e

- fyy(x,y) = (x3 + 2xy e )

= 0 + 2xy + (e ) + e (2xy)

= 2xy.2xy. e + e .2x = 4x2y2. e + 2x e

- fxy(x,y) = (3x2y + e y2)

= 3x2 + y2.2xy. e + 2y e =3x2 + 2xy3 e + 2ye

- fyx(x,y) = (x3 + 2xy e )

= 3x2 + 2xy. e .y2 + e . 2y = 3x2 + 2xy3. e + 2y e

3. Misalkan f(x,y) = 3x2y – 2y3 tentukan fx(2,2) dan fy(2,2) ! Penyelesaian: fx(x,y) = 6xy fx(2,2) = 6.2.2 = 24 fy(x,y) = 3x2 – 6y2 fy(2,2) = 3(2)2 – 6(2)2 = 12 – 24 = -12

4. Tentukan turunan ketiga dari f(x,y,z) = x3 – 2xyz + 3y3z2 . . . Penyelesaian: - fx(x,y,z) = 3x2 – 2yz

fxx(x,y,z) = 6x fxy(x,y,z) = -2z fxz(x,y,z) = 3x2 – 2y

- fy(x,y,z) = -2xz + 9y2z2 fyy(x,y,z) = 18yz2 fyx(x,y,z) = -2z fyz(x,y,z) = -2x + 9y22z

- fz(x,y,z) = -2xy + 3y32z fzz(x,y,z) = -2y + 6y3 fzy(x,y,z) = -2 + 18y2 = 16y2

5. Tentukan turunan kedua dari f(x,y) = x2y + 7y Penyelesaian: fx(x,y) = 2xy fy(x,y) = x2 + 7 fxx(x,y) = 2y fyy(x,y) = 0 fxy(x,y) = 2x fyx(x,y) = 2x

UJI BANDING LIMIT

1. ∑ Penyelesaian: bn = = (deret harmonik)

lim → = lim→

x

= :

=

= 1 (divergen) 푛 + 5

1 + 푛

bn = =

lim → = x

= :

=

= 1 (konvergen)

2. ∑ Penyelesaian: bn = =

.=

lim → = x

= :

=

= 1 (konvergen) 3. ∑

Penyelesaian:

lim → = lim→

x

= :

=

= 1 (konvergen)

4. ∑√

Penyelesaian:

lim → = lim→

√

푥

= √

= 1 (konvergen)

KETERDIFERENSIALAN

Carilah gradien ∇푓 !

1. f(x,y) = x2y + 3xy Penyelesaian: 휕푓휕푥 = 2푥푦 + 3푦 휕푓휕푦 = 푥 + 3푥

Jadi, ∇푓 = (2푥푦+ 3푦)i + (푥 + 3푥)j 2. f(x,y) = x3y + y3

Penyelesaian: 휕푓휕푥 = 3푥 푦 휕푓휕푦 = 푥 − 3푦

Jadi, ∇푓 = (3푥 푦)i + (푥 − 3푦 )j 3. f(x,y,z) = x2y + y2z + z2x

Penyelesaian: = 2푥푦 + z2

휕푓휕푦 = 푥 − 2푦푧

휕푓휕푧 = 푦 + 2푧푥 Jadi, ∇푓 = (2푥푦 + z2)i + (푥 − 2푦푧)j + (푦 + 2푧푥)k

4. f(x,y) = xexy Penyelesaian: 휕푓휕푥 = 푒 (1 + 푥푦) 휕푓휕푦 = 푥 푒

Jadi, ∇푓 = (푒 (1 + 푥푦))i + (푥 푒 )j 5. f(x,y,z) = 푥 + 푦 + 푧

Penyelesaian: f(x,y,z) = (푥 + 푦 + 푧 )

= (푥 + 푦 + 푧 ) . (x )

= (푥 + 푦 + 푧 ) . 2x

= 푥(푥 + 푦 + 푧 )

= (푥 + 푦 + 푧 ) . (y )

= (푥 + 푦 + 푧 ) . 2y

= y(푥 + 푦 + 푧 )

= (푥 + 푦 + 푧 ) . (z )

= (푥 + 푦 + 푧 ) . 2z

= z(푥 + 푦 + 푧 ) Jadi, ∇푓 = [푥(푥 + 푦 + 푧 ) ]i + [y(푥 + 푦 + 푧 ) ]j + [z(푥 + 푦 + 푧 ) ]k