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  • CONSTRUINDO PRTICAS INVESTIGATIVAS EM GEOMETRIA

    PUC/MINAS 2017 Caderno de Provas Experimentais

    ORGANIZAO: Sabrina Alves Boldrini Cabral

    ORIENTAO: Dra. Eliane Scheid Gazire

  • Construindo prticas investigativas em geometria

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    Construindo prticas investigativas em

    geometria

    C A D E R N O D E P R O VA S E X P E R I M E N T A I S

    APRESENTAO:

    O que chamamos de aprendizado s um processo de reminiscncia.

    (Plato)

    Entender como os alunos compreendem um processo de prova matemtica buscar

    elementos que possam auxiliar na estruturao do conhecimento que decorre da prtica escolar

    cotidiana. Compreender as relaes que definem o conhecimento dos objetos matemticos e a

    realidade que circunscreve seu saber fazem com que a ao pedaggica do professor incorpore

    diferentes concepes, tornando-a capaz de elevar os estudantes a um nvel de compreenso

    que transcenda o conhecimento de determinadas propriedades matemticas.

    Encontrar situaes de diferenciao entre o que se estuda e por qu se estuda,

    constitui um dos principais objetos de pesquisa relacionadas didtica da Matemtica que no

    se preocupa apenas em fazer com que os alunos sejam capazes de resolver o problema mais

    difcil, mas sim com que esses sejam capazes de ampliar os horizontes da prpria Matemtica.

    Na tentativa de elucidar alguns aspectos da aprendizagem matemtica, principalmente

    no que diz respeito construo do pensamento geomtrico, o Caderno de Provas

    Experimentais apresenta uma proposta de trabalho que busca tornar mais significativo o

    ensino de geometria. Partindo da investigao e da experimentao, os alunos so levados a

    construir modelos explicativos para uma determinada situao proposta.

    Desenvolver a capacidade investigativa e a construo do conhecimento cientfico com

    base na experimentao compe um dos principais objetivos desse Caderno. Acreditamos

    que a utilizao de provas experimentais em sala de aula, pode proporcionar situaes

    especficas e momentos de aprendizagem que dificilmente aparecero em aulas tradicionais.

  • Construindo prticas investigativas em geometria

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    Alm de construir uma ferramenta significativa para o ensino das propriedades

    geomtricas, o impacto que essas atividades provocam na construo do conhecimento do

    aluno, tanto do ponto de vista cognitivo quanto da aprendizagem de conceitos, confirma que a

    experimentao auxilia o aluno a agir com autonomia e desenvoltura diante dos problemas

    propostos em sala de aula.

    Esse Caderno produto de uma pesquisa de mestrado e foi construdo com base nos

    experimentos realizados durante o ano de 2016 (dois mil de dezesseis), com trs turmas da rede

    pblica de ensino, que se encontravam em diferentes nveis de aprendizagem: nono ano do

    Ensino Fundamental; terceiro ano do Ensino Mdio e terceiro perodo do curso de

    Licenciatura em Matemtica.

    As Provas Experimentais aqui apresentadas foram elaboradas com base na proposta

    curricular de ensino para essas turmas e com o auxlio do material didtico adotado pela escola.

    importante destacarmos que o livro didtico de Matemtica torna-se uma ferramenta poderosa

    de ensino quando aliado aes planejadas.

    Nessa perspectiva, faz-se necessrio que o professor leve em considerao que, para

    ensinar estudantes a desenvolverem mtodos de argumentao e prova, preciso estar atento

    ao seu nvel de desenvolvimento cognitivo e ao caminho pelo qual suas experincias prvias

    construiro estruturas conceituais que podero ajudar ou impedir esse desenvolvimento.

    Ns objetivamos, aqui, mostrar que a utilizao de Provas Experimentais importante

    nas aulas de Matemtica, pois abrem caminhos para a investigao e desenvolvimento do

    raciocnio lgico. Entendemos que os conceitos matemticos so formados pela ao

    interiorizada do aluno, pelo significado que do s formulaes que enunciam e s verificaes

    que realizam, ressaltando, assim, a relevncia de que a estratgia utilizada permite uma

    formao significativa da aprendizagem.

    Espera-se que esse Caderno contribua com o desenvolvimento de competncias

    cognitivas, prticas e sociais que todo aluno tem direito e que essas se traduzam na capacidade

    de descrever e interpretar a realidade, de planejar aes e agir sobre o mundo real.

  • Construindo prticas investigativas em geometria

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    SUMRIO

    APRESENTAO: ................................................................................................................. 1

    O PAPEL DAS PROVAS E DEMONSTRAES NO ENSINO .................................................. 4

    COMPREENDENDO OS ASPECTOS COGNITIVOS E DIDTICOS DAS PROVAS E

    DEMONSTRAES ............................................................................................................... 7

    CONSTRUINDO PROVAS EXPERIMENTAIS ........................................................................ 10

    ENGENHARIA DE GREGO .................................................................................................. 13

    A EXCENTRICIDADE DOS PLANETAS E A PRIMEIRA LEI DE KEPLER ................................. 16

    CURVAS, SUPERFCIES E ARQUITETURA ........................................................................... 20

    CURVAS DE NVEL.............................................................................................................. 24

    DEMONSTRANDO O TEOREMA DE PITGORAS ............................................................... 31

    DESCOBRINDO PROPRIEDADES DAS CNICAS COM O GEOGEBRA ............................... 36

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................ 41

    ANEXOS ............................................................................................................................. 43

  • Construindo prticas investigativas em geometria

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    O PAPEL DAS PROVAS E DEMONSTRAES NO ENSINO

    Muito se discutiu e ainda se discute sobre a funo das provas e das demonstraes

    no ensino de Matemtica. Explicaes fundamentadas no senso comum apontam que o uso de

    demonstraes no ensino no passa da apresentao de uma linguagem formal cujo objetivo

    principal buscar padres e relaes de uma cincia que possui carter exato e dedutivo. Porm,

    no h dvida que, ao contrapor e avaliar diferentes interpretaes sobre sua funo no ensino,

    as provas e as demonstraes favorecem atitudes crticas e investigativas.

    Durante sculos, observou-se uma crescente busca nas cincias cognitivas por uma

    justificativa para a compreenso dos fundamentos da Matemtica na cognio humana. Muitos

    estudiosos empenharam-se em encontrar subsdios tericos da Cincia Cognitiva que

    apontassem a dinmica estabelecida entre funcionamento cognitivo e a construo intelectual

    desse saber.

    Nos ltimos anos, estudiosos em Educao Matemtica tm se ocupado em estudar

    formas de aprimorar o conhecimento matemtico e desenvolver estratgias de ensino que

    aproximem essa disciplina s situaes vivenciadas no cotidiano.

    Atualmente, uma das maiores preocupaes quanto ao ensino de Matemtica

    desenvolver no educando, diversas habilidades, como aquelas concernentes aos procedimentos,

    e especialmente, as exigidas na elaborao de argumentao, na validao de solues, na

    apresentao de concluses que levam a estruturao do raciocnio lgico.

    Nesse sentido, pensar no ensino de Matemtica, por meio de provas e demonstraes,

    propor um confronto entre o modelo cognitivo do aluno com o de outros alunos ou at mesmo

    com o do professor, percorrer um caminho marcado por continuidades e rupturas.

    A questo fundamental que as provas e as demonstraes devem ser vistas como uma

    forma de argumentao, que tem valiosos benefcios para o desenvolvimento de competncias

    e habilidades como: explorar situaes-problemas, observar implicaes da utilizao de

    distintas definies, formular conjecturas e contribuir para a comunicao de resultados ou para

    a formalizao de um corpo de conhecimento matemtico.

    Segundo Bachelard (1996), as construes de processos de pensamentos que as provas

    produzem tornam-se ferramentas importantes para auxiliar os alunos a avanarem alm das

    habilidades matemticas inatas. Para o pesquisador, os alunos precisam ser encorajados a fazer

    perguntas, analisar erros e propor solues diferentes (BACHELARD, 1996, p.21).

  • Construindo prticas investigativas em geometria

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    Compreender um processo de prova compreender que o fato de uma afirmao ser

    verdadeira est relacionado com a consistncia da argumentao utilizada nesse processo. Ao

    considerarem a prova um meio de comunicao de ideias matemticas que envolvem todo um

    processo de buscar regularidades, propor conjecturas e pensar logicamente, os alunos alcanam

    novas dimenses na estruturao desse saber.

    Para Hanna (2000), a prova matemtica til somente quando o professor capaz de

    us-la de forma que transmita entendimento. Para a pesquisadora, mais do que permitir que as

    hipteses confirmem veracidade aos teoremas, as provas tm o efeito de questionar essas

    condies e promover a percepo dos limites de diversos modelos.

    [...] a melhor prova que ajuda compreender melhor o significado do teorema a ser provado: no s para ver que

    verdade, mas tambm, porque verdade. claro que tal prova tambm mais convincente e mais propensa a

    levar a novas descober

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