conjuntos numéricos

Números

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1

1. NÚMEROS

A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y sirva de apoyo para futuras unidades. A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias.

La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia. La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del mar en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2, con una costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia - Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico, emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo de 30 pies (10 mts.).

Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.

Curso de Apoyo en Matemática

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1.1. Números Naturales

Los números naturales también sirven para ordenar. Así, decimos que la Tierra es el tercer planeta a partir del Sol, que ésta es la primer unidad del Módulo del Ingreso, etc.

A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números.

N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.

Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos,

si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N. Observemos que...

1 - 1 = 0 ∉ N 1 - 2 = -1 ∉ N 3 – 1 = 2 ∈ N

Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números naturales es un número natural. Así,

si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N.

Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue:

Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo conjunto que denotamos con

N0 = N ∪ {0}.

Observemos que...

w a ∈ N si y sólo si - a ∈ N- w N ∩ N- = ∅, es decir, no existe

un número que pertenezca al conjunto N y al conjunto N- simultáneamente. Recordemos que el símbolo ∅ denota al “conjunto vacío”.

Por otro lado, si reemplazamos cada elemento del conjunto de los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1 escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo, obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con

N- = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N }

Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta:

El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3

1 2 3

Números

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3

1.2. Números Enteros

Definimos al conjunto de los números enteros como Z = N

- ∪∪ {0} ∪∪ N.

De inmediato resulta que todo número natural es un número entero.

Retoma la lectura del artículo al principio de esta unidad.

¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el puerto local?

Recuerda que... 1 pie = 30 cm.

Puede serle útil representar en la recta numérica los números indicados y

analizar allí la situación.

Para pensar….

ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás? ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?. ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?. ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?.

Observemos que...

-2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z

4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z

4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z

4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z

w b ∈ Z implica - b ∈ Z

w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z

w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z, pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior resulta

a + (- b) ∈ Z .

w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z

7 : 2 = 3,5 ∉ Z

Observemos que...

no siempre la división de dos números enteros es un número entero

N Z

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Divis ib i l idadDivis ib i l idad

Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b

(o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que

a es divisor de b ).

Ejemplos:

6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0 y así 2 divide a 6

12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2 y así 5 no divide a 12

a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3

b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que

multiplicado por 5 dé 12.

2 , 11 , 463 son números primos

Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro divisores:

1, -1, a y - a.

7 2 a b 1 3 r q

Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero.

Algor itmo de la Algor itmo de la d iv i s ión d iv i s ión

Sean a , b ∈∈ Z , a ≠≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que

b = a . q + r con 0 ≤≤ r < a

| 2 | = 2

|-2 | = 2

Recordemos que…

|a| denota al “valor absoluto” del número a.

En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad.

Ejemplos:

El resto de la división entre

dos números enteros nunca puede ser negativo.

a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39, pues 84 = 45 . 1 + 39

b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39, pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39

c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6, pues - 84 = 45 . (- 2) + 6

d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6, pues - 84 = (- 45) . 2 + 6

Números

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5

Máximo común Máximo común d iv i so rd iv i so r

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es el producto de los factores primos comunes, con el menor exponente.

Se denota mcd (a , b).

Ejemplo:

Recordemos que...

para realizar la descomp osición de un número en factores primos

comenzamos dividiendo, de ser posible, por los números primos

2, 3, 5, 7, 11, … hasta obtener el número 1.

La segunda columna obtenida presenta la descomposición del

número en factores primos.

Si a = 72 y b = 84 resulta

72 2 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1

72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 .

mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12,

o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.

Mínimo común Mínimo común múlt ip lomúlt ip lo

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.

Se denota mcm (a , b)

Ejemplo:

72 2 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1

72 = 23 32 84 = 22 3 7

Tomando los números del ejemplo anterior resulta

mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.

Actividades de Aprendizaje

1) Efectuar las siguientes operaciones: Ejercicios complementarios a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5 b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) d) 22 - 42 : 8 + 25

e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 – 1 f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2 g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25

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2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 .

a) ¿Es (-15)2 menor que 32? b) ¿Es (-15)3 menor que 33?

3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 . a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ? b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ? 4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F).

Dar un contraejemplo en caso de ser falso. a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z.

c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z. 5) a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados? b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos? 6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?. 7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo.

a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes: § x . y . x . y

§ (-1) x . y

§ x . x . y § ( - x )( - y )( - x )

b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: § ( - 1 ) ( - x ) y = § x y : ( - 4 ) =

§ - 2 x y =

§ x y : 4 =

§ 3 x y =

8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥ según corresponda:

a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q

c) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 0

9)

a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, hallar a y b.

b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número a ?

Números

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7

10)

a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.

b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492. 11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno.

a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo?

b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo? 12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?. 13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente.

a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres simultáneamente, en un número entero de días?.

b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?. 14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0

c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1

e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a

w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, es

decir, “Para cada par de números enteros a y b, su suma a + b es un número entero. ” w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo

número natural z, es un número entero”. w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0,

es decir, “Para todo número entero a, existe el número entero (-a), llamado opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ” w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0.

∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q + r con 0 ≤ r < a. (Recordar el Algoritmo de la división)

Recordemos que...

El símbolo ∀ se lee “para todo”, así, ∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a

continuación se verifica “para todos los números enteros”

El símbolo ∃ se lee “existe”, así,

∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a

continuación se verifica “al menos para algún número entero”


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1.3. Números Racionales

a : b se lee “a dividido b”

Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z .

Ejemplo:

1 : 2 = 21

∉ Z .

Pueden usar los racionales, por ejemplo, para indicar la quinta parte de x como

5x

Llamamos número racional a todo número que se puede

expresar como fracción mn

donde n y m son enteros y

m ≠≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números

racionales.

Observemos que...

w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z

escribimos m = 1m

∈ Q . Es decir Z ⊂ Q .

w La recíproca es falsa, por ejemplo, 21

∈ Q pero 21

∉ Z.

La suma, la diferencia y el producto de dos números racionales es un

número racional.

Si u , v ∈ Q entonces: w u + v ∈ Q

w u - v ∈ Q

w u . v ∈ Q

El inverso de cualquier número racional no nulo es un número

racional.

w Si u ≠ 0 entonces

u1

∈ Q

Para pensar….

Recordemos que... no existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás, ni tampoco uno que sea mayor o igual que cualquier otro entero. Además, no podemos encontrar un número entero entre dos enteros consecutivos, pero sí podemos hallar una cantidad finita de enteros entre dos números enteros no consecutivos.

ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?

ü Hallar un número racional entre 32

y 73

. Hallar un

número racional entre 37

y 38

. ¿Puede hallarse más de un

número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.

Z Q

Números

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9

Los números racionales se expresan en diferentes formas.

Ejemplo:

El número racional tres cuartos puede expresarse como:

43

= 4 -3 -

= 86

= 129

= 10075

= 0,75 = 0,750 = ....

forma fraccionaria forma decimal

Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.

Ejemplos:

21

= 0,5 es decimal exacto

31

= 0,333..... = 30,)

período 3

1186

= 7,81818181... = ∩817, período 81

629

= 4,83333... = 34,8)

período 3

Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:

Parte entera

Parte decimal

5 4 , 8 3)

Parte periódica

Parte no periódica

A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria.


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FORMA

DECIMAL EJEMPLO OBSERVACIÓN

Exactas 0,75 = 10075

En el numerador aparece la parte decimal,

y en el denominador tenemo s el 1 seguido de tantos ceros como

cifras decimales tengo.

Puras 0,2525... = ∩250, =

9925

En el numerador aparece la parte periódica, mientras que en el denominador tenemos

tantos números 9 como cifras tiene el período.

Per

iódi

cas

Mixtas

0,75454…= ∩

540,7 =

= 990

7 - 754 =

990747

En el numerador aparece la diferencia entre la parte decimal y la parte decimal no periódica, mientras que en el

denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período seguido de

tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.

Más ejemplos:

FORMA DECIMAL

EJEMPLO

Exactas

0,015 = 100015

2,23 = 100223

Pura

s 0,333... = 30,)

= 93

1,282828... = ∩281, = 1 +

9928

= 99

127

Per

iódi

cas

Mix

tas

0,8333... = 30,8)

= 90

8 - 83 =

9075

12,75454... = ∩5412,7 = 12 +

9907 - 754

= 12 + 990747

= 990

12627

5,12444... = 45,12)

= 5 + 900

12 - 124 = 5 +

900112

= 9004612

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

15) Calcular: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

a)

+

+

53 -

21

. 310

21

43

- - 95

d)

⋅

⋅

51 -

43

114

- 21

- 35

83

Números

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11

b) 73

: 43

- 31

34

54

- 32

: 53 +⋅

c)

+

++

61

- 32

34

- : 41

65

- 27-

32

e) 61 -

32

34

- : 41

65

- 27-

32 +

++

16) Escribir en forma decimal y fraccionaria:

a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos

17) a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?.

18) Dadas las fracciones 1112

y 1213

?. ¿Cuál es mayor?

19) Expresar en forma fraccionaria y resolver:

a) ( )

( ) 240 - 30 - 51

6 -

518121

2

2

,,,,,, +

b) 250 -

23

51 - 70 - 70

21

09022

,

,,,

++

c) 10 - 33 . 502 . 500 - 30 : 10 - 30 : 900 2 ,,,,,,,,))))

+ d) ( )

( )12,0 - 23,0

3,0 - 91,0. 5,1 - 3,04))

))))+

20) En un colegio, 31

de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más

elegida? 21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el más rápido? 22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán después? 23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 litros de agua después de helarse?.

24) Una aleación está compuesta por 2924

de cobre, 294

de estaño y 291

de cinc. ¿Cuántos

kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?. 25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta. 26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María

toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma 52

. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del

cordel?.


Página 12

27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los 920

de la edad de su padre y Carlos los 25

.

¿Cuál es el mayor?. 28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió? 1.4 Números Reales

A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, un número irracional expresado en forma decimal no es exacto ni periódico.

El número π aparece al calcular la longitud de una circunferencia y el

área de un círculo.

El número e se presenta en procesos de crecimiento de una población

animal o vegetal, y en problemas de desintegración radiactiva.

Seguramente habrás visto en el tendido de cables eléctricos que los

cables entre un poste y otro determinan una curva en cuya

ecuación también está presente el número e.

Otro número irracional muy famoso,

llamado el número de oro, se obtiene si realizas, por ejemplo, el cociente

entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A4

que comúnmente se utilizan en fotocopiadora, o realizando el mismo

cálculo con los lados de una tarjeta de crédito.

¿No te parece curioso?

Ejemplos:

a) 0,1234567891011... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales.

b) π ≅ 3,141592654 El símbolo ≅ indica que se esto representa una aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.

c) e ≅ 2,71 Representa una aproximación del número irracional e. Al efectuar cálculos en los que intervienen los números irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅ 2,718 o bien e ≅ 2,71828.

La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales.

251 +

Números irracionales

R Q

N Z

Números

Página

13

Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real.

No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.

Observemos que...

no existe un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni

uno que sea menor o igual que todos los demás.

Además, entre dos números reales dados cualesquiera existen infinitos

números racionales, e infinitos números irracionales.

Ejemplos:

La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; - 45

y 2

es la que sigue:


29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.

a) 35

b) 0,494949... c) 3,75

d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537...

g) 0,101001000100001... h) 7

30) Escribir:

a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2

b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2

c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2 31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:

a) 3,2222........ b) 0,101001000100001.........

c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........

32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla:

-1

0.2 -3

-2 0 1 21

245−

Página 14

Número 7

-2,08 1,1212212221...

-2,2424...

Natural

Entero

Racional

Irracional

Real

33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.

a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero.

c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional.

34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada:

a) -5 b) 31

c) - 73

d) 5 d) p e) 2,5

Observemos que... al efectuar las representaciones de estos números, los mismos

están ordenados en la recta numérica. Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos. 1.4.1. Orden en R

a ≤ b se lee: a es menor o igual que b

Si en R definimos la relación de orden que indicamos “≤≤ ” observamos que:

Siempre podemos comparar dos números reales cualesquiera.

Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de las siguientes situaciones:

a < b ; b < a ; a = b

Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.

1025 4− 6

7

28−

Números

Página

15

Además se satisfacen las siguientes propiedades: - 3 < 4 ⇔ - 3 + 1 < 4 + 1

- 3 < 4 y 2 > 0 ⇒ - 3 . 2 < 4 . 2

- 3 < 4 y- 2 < 0 ⇒ - 3 . (- 2) > 4 . (-2)

w ∀ a , b ∈ R, a 0 ⇒ a . c b . c

El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si” El símbolo ⇒ se lee “implica”


35) Completar con > ó < según corresponda:

a) - 2 < 0 y 41

> 0 ⇒ - 2 . 41

..... 0 . 41

b) 25

> 37

y - 1 < 0 ⇒ 25

. (- 1) ..... 37

. (- 1)

c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01

d) - 7 < - 6 y - 21

< 0 ⇒ - 7 .

21

- ..... (- 6) .

21

-

36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda:

a b a ........b

.......

a(-3) ........b(-3)

8 2 8 > 2 28

> 22

8 (-3) < 2 (-3)

-6 -10

-4 8

0 4

37) Si a y b son reales positivos y además a 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa?. Justificar dando un contraejemplo.

a) a b > 0 b) b2 > a c) 1

0a b−

>

d) 1

0b a+

> e) b + a > 1

38) Escribir un número comprendido entre los siguientes:

a) 31

y 52

b) 1,4142 y 1,4143

2a

2b


Página 16

c) 2 y 3 d) π y 113355

1.4.2 Potenciación y Radicación en R

PotenciaciónPotenciación

Recordemos que... an =

donde a es un número real al que denominaremos base y

n es un número natural que llamaremos exponente.

Ejemplo:

4

32

− =

−

32

.

−

32

.

−

32

.

−

32

= 8116

E x t e n s i ó n d e l aE x t e n s i ó n d e l a

d e f i n i c i ó nd e f i n i c i ó n de pde p oo t e n c i a c i ó nt e n c i a c i ó n

a e x p o n e n t e s ea e x p o n e n t e s e nn t e r o st e r o s

Por convención se tiene, para a ≠≠ 0 que

a0 = 1 y a - n = na

1

Ejemplo:

5-3 = 125

1

5

13

=

Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:

22 . 23 = 25 x4 . x -2 = x2 • Producto de potencias con

la misma base. am . an = am+n

23 : 23 = 20 = 1 x4 : x -2 = x6 • Cociente de potencias con

la misma base. am : an = am-n

(3 -5)3 = 3 -15 (x-2) -1 = x2 • Potencia de una potencia. (am)n = am .m

(2 . 5) -2 = 2 -2 5-2 (x . y2)3 = x3 y6 • Potencia de un producto. (a . b)n = an . bn

(2 : 5)-2 = 2-2 : 5-2 (x : y2)3 = x3 : y6 • Potencia de un cociente. (a : b)n = an : bn

43421 veces

.... . . n

aaaa

Números

Página

17

RadicacRadicac iónión

Definimos

n a = b si bn = a

donde: n es un número natural.

n a se lee raíz n-ésima de a .

Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando.

3 27 - = -3 pues (-3)3 = - 27

4 81 = 3 pues 34 = 81

Observemos que ...

para que la definición tenga sentido,

w si n es impar, a puede ser cualquier número real,

No tiene sentido considerar 4 - en el conjunto R, dado que no existe un número real tal que elevado al cuadrado nos dé por resultado - 4.

w si n es par, a debe ser un número real positivo.

51

5 66 =

37

3 7 33 =

21

55 =

La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia

n a = na1

. Además

n pa = np

a si a ≥≥ 0 .

Observemos que...

Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente:

(-3)4/2 = ( )43 - pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2)4 = ( )4 3 - no tiene sentido en el conjunto R.

También se satisfacen las siguientes propiedades:

2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1 ⇒ 32

31 >

w a > 0 , b > 0 y a b -1

-2

3 < -

32

⇒ 1

3

21

2

3−

−>−

⇒ 23

32 −>−

w a < 0 , b < 0 y a b -1


Página 18

El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto, potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste.

OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c ×× ×× ×× ××

2. Conmutativa a + b = b + a ×× ×× ×× ×× 3. Elemento neutro 0 ×× ×× ×× 4. Elemento opuesto de a - a ×× ×× ××

Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) ×× ×× ×× ×× 6. Conmutativa a . b = b . a ×× ×× ×× ××

7. Elemento neutro 1 ×× ×× ×× ××

8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) a1

×× ××

Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c ×× ×× ×× ××

Potencias 1. Producto de potencias con la misma base am . an = am+n ×× ×× ×× ××

2. Cociente de potencias con la misma base am : an = am-n ×× ×× ×× ××

3. Potencia de una potencia (am)n = am .m ×× ×× ×× ××

4. Potencia de un producto (a . b)n = an . bn ×× ×× ×× ×× 5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn ×× ×× ×× ××

Raíces 1. Producto de radicales con el mismo índice

n a . n b = . n ba ×× ×× ×× ××

2. Cociente de radicales con el mismo índice

n a : n b = : n ba ×× ×× ×× ××

3. Raíz de una raíz m n a = . mn a ×× ×× ×× ××

4. Potencia de un radical ( )mn a = n ma ×× ×× ×× ××

Observaciones: • En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún número natural posee elemento opuesto. • Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo. • Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan sentido.

En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤≤ .

Números

Página

19


39) Calcular las siguientes potencias: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

a) 3

52

-

b)

0

51

g)

3

23 −

h)

1

101 −

c) 2-2 d) (- 3)-2 i) - 125 j) (- 1)25 e) (- 3)2 f) 105 k) - 12325 l) (0,1)-2 40) Calcular las siguientes expresiones: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) x2 . x5 b) (- x)2 . x5 e) (- x)2 . (- x)5 f) (- x)3 : (- x)5 c) x5: x-5 d) x-3 : x-6 g) x3: x-4 h) (- x)3 : x5

41) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma ?. Justificar. 42) Escribir como radicales los siguientes números:

21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3 43) Expresar como potencia fraccionaria

a) x

1 b) 3 : xx c) 5 23 xxx ⋅⋅ d)

5

1

x

44) Simplificar, si es posible:

a) 4 23 b) 8 45 c) 9 27 d) 5 1024

45) Extraer factores del radicando:

a) 8 b) 18 c) 32 d) 50 46) Calcular usando propiedades: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

a) 322 ⋅ b) 3 : 15 g) 152 ⋅ h) 33 2:32

c) 33 93 ⋅ d) 33 2 : 8 i) 33 5 : 2 j) 4 2 : 8

e) 3 32 : 2 f) 4 : 3 k) 5082 ,⋅ l) 63 3 : 9

47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:

a) 32 - 1882 ++ b) 80 - 180455 ++

c) 4866 5 - 24 + d) 33 16 - 54

e) 252

32

50 5 - 92

5 - 92

3 +


Página 20

48) Simplificar las siguientes expresiones:

a) 222 ⋅⋅ b) 31

-53 25 .

51

: 5 . 5

c) ( ) 2

134 18 : 126 ⋅

d) 3

21

0010 : 10

100-

, e)

( )

( ) 31

2

110

32

23

2-3

32

32

⋅

⋅

49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar:

a) 2 - 3

3 b)

2 -3

1 c)

5222+

d) yx

yx

-

+

50) Resolver

a) 2/1

3/14/1

42716 ⋅

b) 1

3/13/2

111

12764−

−−

c)

( )

8 3 9

12

3

2 3 3 2

10

2

/ /− ⋅

−

−

−

a

donde a ≠ 0

51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado con dos decimales. 52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con tres decimales. 53) El área de un cuadrado mide 50 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?. 54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales exactos. 55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105, 420. 56) Indicar el error cometido:

4 - 10 = 9 - 15

4 -10 + 425

= 9 - 15 + 425

Números

Página

21

22 – 2 . 2 . 25

+ 2

25

= 32 – 2 . 3 .

25

+ 2

25

2

25

- 2

=

2

25

- 3

2 - 25

= 3 - 25

2 = 3 57) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) a.0 = 0 b) (-a)(-b) = -(ab)

c) a

b cab

ac+

= + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

d) b c

aba

ca

+ = + , siendo a ≠ 0

e) a (b - c) = ab - ac

f) a + (-b + c) = a - b + c g) a - (b + c) = a - b + c h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0 i) ∀ a ∈ R, (a-1)-1 = a , donde a ≠ 0 j) el cociente entre un número a y su opuesto es igual a (-1), donde a ≠ 0 k) a (-b) = ab l) - (-a) = a

1.5 Números Complejos No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real. Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existe a ∈ R tal que a2 = -4.

El nombre de i a 1− surgió en 1777, y se debe al matemático Euler.

Hasta entonces se trabajaba con

expresiones tales como 4− , manipulándolas del mismo modo

que a los números reales.

La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i2 = -1, también se suele escribir 1− en lugar de i.

A los números de la forma a + b i donde a y b son reales se les llama números complejos. Al conjunto formado por dichos números se lo denota C.

Re(2 – 3i) = 2

Im(2 – 3i) = -3

En un número complejo a + b i, con a, b ∈∈ R, a se llama parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i).


Página 22

No es cierto que la parte imaginaria de 2 + 4i sea 4i,

sino que Im(2 + 4i) = 4.

Observemos que...

para el número complejo a + b i,

w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es decir, es imaginario puro.

w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el conjunto C de los números complejos.

w la parte imaginaria está conformada solamente por b.

Ejemplos: Los siguientes son complejos conjugados:

a) 3 + 2 i y 3 - 2 i

b) - 5 + 3 i y - 5 - 3 I

A dos números complejos se les llama conjugados si tienen la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias.

Observemos que...

en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora, las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del

radicando.

Ejemplos:

a) 4 - = (-1) . 4 = 4 1 - = 2 i

b) ( ) ( ) 933 424

=−=−

c) ( ) ( ) ( ) 919333 4444 =⋅=⋅=⋅=− ii Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más adelante:

x2 + 1 = 0

x2 + 4 = 0

x2 - 6 x + 13 = 0

x2 + 5 x + 11 = 0

Números

Página

23

Representación de 5 + 3 i

El número complejo a + b i

se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas (a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un número complejo.

Representación de 5 + 3 i y su conjugado 5 – 3 i

Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento

orientado que llamamos vector y representamos por →OP . Así

pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector.

1.5.1 Operaciones en C

Suma y RestaSuma y Resta La suma y resta de números complejos se realiza sumando

o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí respectivamente.

Ejemplos:

Ahora resolveremos algunas operaciones:

Re(2+3i) = 2 Re(8 – 5i) = 8

Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10 Im(2 + 3i) = 3 Im(8 – 5i) = -5

Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2

a) (2 + 3 i) + (8 - 5i)

(2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i

= 10 - 2 i

b) (2 + 3 i) - (8 - 5i)

(2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i

y

32

1

0 1 2 3 4 5

5 + 3 i

x

y

x0 a

b

P(a, b)

y

x

3

2 1

0 -1 -2

-3

1 2 3 4 5

5 + 3 i

5 - 3 i


Página 24

ProductoProducto

El producto de dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y recordando que i2 = -1.

Divis iónDivis ión

La división de dos números complejos se realiza multiplicando dividendo y divisor por el complejo conjugado del divisor.

Ejemplo:

Resolveremos: i

i 3

30 20++

Multiplico dividendo y divisor por el complejo conjugado del

denominador.

El complejo conjugado de 3 + i es 3 – i.

ii

3 30 20

++

= ) - (3 . ) (3

) - (3 . ) 30 (20

ii

ii

++

= 2

2

- 9

30 - 20 - 90 60

i

iii+

= 10

70 90 i+ = 9 + 7 i


58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica:

a) ( ) ( ) ( )27523

21 −−−+

++− iii

b) ( )ii 4521

32 +−⋅

+

c) ii

−+

243

d) 4912516 +−−+−

e) ( ) ( ) ( )iii 31231 +⋅−++−

f) i

i

−−2

41

g) ( )( )

iii

ii −+−−

++

321

131

59) Calcular Recordemos que...

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de un binomio (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2+ b3 Cubo de un binomio (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3a b2 - b3

a) ( ) ( ) ( ){ }223 2 - 35 - 42 -3 - 1 2 iiRe ++

b) ( ) ( )

+

i

iiIm

2 - 3

2 - - 1

Números

Página

25

60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2.i = -i, y también se tiene que i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1. Teniendo esto en cuenta, calcular

i5, i6 , i7 , i8 , i26 , i32, i45 .

61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i. 62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i. Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1, z2 y z1 + z2. 63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de zz + y zz. . 64) Calcular

a) Re

+−+

−+ 2)2(

2543

iii

b) Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3}

c) Im

+−

−2)24(

8

i

i d) Im ( )

−3

38727

ii

conjuntos numéricos

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