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CÓNICAS EN APOLONIO
APOLONIO DE PERGA
TRATADO DE CÓNICAS
DEFINICIONES
OBRAS PERDIDAS
APORTES
¿QUIÉN FUE ?
Nació en Perga en Pamfilia (Sur Asia Menor) ¿262-192? A.C.
Epoca helenística ( Euclides, Arquímedes y Apolonio)
Siglo de oro
Esquema de “Tetradas”
Libros: “Reparto Rápido”, ”Tesoro de análisis”
Astrónomo y geómetra
Secciones en una razón dada
Secciones en una área dada
Secciones determinadas
Tangencias
Inclinaciones
Lugares planos
Apolonio hace un tratado de las cónicas en ocho libros:
Fundamentación
Profundización
I. Trata de la generación de las tres secciones y sus propiedades.
II. Teoría de los diámetros conjugados y de las tangentes.
III. Teoremas para construcción de lugares sólidos y determinación de límites.
IV. Intersección de las cónicas entre sí y con el círculo.
V. Estudia segmentos máximos y mínimos respecto a una cónica.
VI. Investiga las secciones cónicas iguales y semejantes.
VII. Proposiciones relativos a los diámetros de las secciones cónicas
VIII. Problemas sobre cónicas ¿?
CONO
DIÁMETRO
VÉRTICE
EJE
EJE CONJUGADO
PARÁMETRO, ABSCISA
Propiedad fundamental en la construcción de las cónicas
Apolonio demuestra que en la parábola el cuadrado de la ordenada es igual al producto del parámetro y la abscisa, mientras que en la hipérbola es mayor y en la elipse es menor.
PROPOSICIÓN 11
Cortando un cono por un plano que pasepor el eje y por otro que corte a la base según una perpendicular a la base deltriángulo en dónde el diámetro de lasección es paralelo a uno de los lados deltriángulo, se obtiene la sección cónica parábola, en la que el cuadrado de la ordenada es igual que el producto delparámetro y la abscisa.
PARÁBOLA
Para la construcción se debe tener en cuenta:
Proposición 3-I
Proposición 4
PROPOSICIÓN 3-I
Un cono de vértice el punto A y base el círculo BG, cortado por un plano que pase por A, determinará en la superficie cónica las rectas AB y AG y el base la recta BG. Entonces se dice que ABG es un triángulo.
PROPOSICIÓN 4-I
Una superficie cónica de vértice Ay base el círculo BG, al ser cortadapor un plano paralelo al del círculo BG se tiene como intersección la línea DE, que es una circunferencia de centro en el eje de la superficie.
PARÁBOLA
Por construcción Apolonioestablece la longitud del parámetro teniendo encuenta la siguiente proporción: (1-)
AG
BG
AB
BG
AGAB
BG
ZA
ZT*
*
2
PARÁBOLA
Por propiedad del círculose tiene(4-):
LNLMKL *2 Por construcción:
DE BGZT ZHZH // AGKL // DEMN // BG
PARÁBOLADebido a las relaciones de paralelismo y ángulos congruentesse obtienen los siguientes triángulos semejantes:
AMN ABG ZML y por el teorema de proporcionalidad aplicado a AMN y ZML, resulta:
AZ
LN
ZM
ML
AM
MN
AB
BG
PARÁBOLA
De la proporción anterior se toma:(2-)
AZ
LN
AB
BG
AZ
LNABBG
*
De la semejanza de los triángulos anteriores también resultan las siguientes proporciones (3-)
LZ
ML
NA
MN
AG
BG
LZ
MLAGBG
*
PARÁBOLA
Reemplazando (2-) y (3-) en (1-), se obtiene (5-):
LZ
ML
AZ
LN
ZA
ZT*
Ahora reemplazando (4-) en (5-), tenemos
LZAZ
KL
ZA
ZT
*
2
PARÁBOLA
De la igualdad anterior resulta: ZLZTKL *2
PROPOSICIÓN 14
Cortando dos superficies cónicasopuestas por el vértice por un plano que no pase por el eje se tendrá en cada superficie una sección llamada hipérbola
Características….
El diámetro de ambas secciones será la misma.
Los parámetros de las rectas trazadas ordenadamenteal diámetro y paralelas a la situada en el cono serániguales.
El eje transverso de la figura será la recta que une los vértices de las dos secciones.
Estas secciones se llaman opuestas.
En esta proposición Apolonio por primera vezconsidera como una sola curva a las dos ramas.
Para la construcción se debe tener en cuenta:
Proposición 4-I
Elementos XI-16
Proposición 12-I
Se consideran las ramas semejantes y congruentes en la proposición 16 del libro VI
Elementos XI-3
PROPOSICIÓN 4-I
Sea una superficie cónica de vértice A, y BG lacircunferencia que recorre la recta para describirlay si se traza un plano paraleloa BG, entonces la circunferenciava a tener centro en el eje AZ .(ZAH va a ser el eje de la superficie).
ELEMENTOS 16-XI
Si un plano interseca a dos planosparalelos, entonces la intersecciónconsiste en dos rectas paralelas.
ELEMENTOS 3-XI
La intersección de dos planos es una recta.
PROPOSICIÓN 12-IConstrucción de una hipérbola “sencilla”.
El cuadrado de la ordenada es mayor al rectángulo cuyos lados son el parámetro y la abscisa.
PROPOSICIÓN 12-I
Cuando Apolonio construye la hipérbola lo hace de manera tal que:
KGKB
KA
ZL
ZT
*
2
Secciones Opuestas
NTEM es el diámetro
EW=TV
ET es el lado transverso de ambassecciones
Secciones Opuestas
DZ es paralela a HK , PO es paralela a BG (Euclides XI,16) .
LAR es el eje de la superficie (Prop. 4-I)
Debido a los planos que cortan el cono y por las paralelas establecidas anteriormente se puede deducir quePO HK y que BG DZ.
Secciones Opuestas
El plano que pasa por eleje corta a las secciones enM y N, en T y E; por tanto estos puntos pertenecen a ese plano.
Y estos puntos también están en el plano HKDZ.
Entonces los puntos pertenecena una misma recta (Euclides XI,3)
Secciones Opuestas
TV NM y EW NM
Por tanto EW es el parámetro de las trazadas ordenadamente a la EM y ET por definición de hipérbola es denominado el lado transverso de la figura.
Secciones Opuestas
Como AQP ASG y QAO SAP, entonces
Por tanto
SG
SA
QP
QA y SB
SA
QO
QA
QOQP
QA
SBSG
SA
**
22
Secciones Opuestas
Y al construir las hipérbolas ya se había deducido que
por tanto EW = TV
entonces:
SGSB
SA
EW
ET
*
2
yQPQO
QA
TV
ET
*
2
TV
ET
EW
ET
PROPOSICIÓN 13
Cortando un cono por un planoque pase por el eje y por otro no paralelo ni en sentido contrario que cumple ciertas características se obtiene la sección cónica elipse, en la queel cuadrado de la ordenada es menor que el producto delparámetro y la abscisa.
ELIPSE
Por construcción Apolonioestablece la longitud del parámetro teniendo encuenta la siguiente proporción: (1)
KG
KA
KB
KA
KGKB
KA
ET
ED*
*
2
ELIPSE
Por propiedad del círculose tiene: (2)
MRMPLM *2 Por construcción:
AK // EHPR // BGET // MN // DQ
ELIPSE
Debido a las relaciones de paralelismo y ángulos congruentesse obtienen los siguientes triángulos semejantes:
ABK EBH EPM
MP
ME
HB
HE
KB
KA
ELIPSE
AGK DGH DRM
MR
MD
HG
HD
KG
KA
De las proporciones anteriormenteestablecidas se tiene:(3)
MRMP
MDME
KGKB
KAKA
*
*
*
*
ELIPSE
Sustituyendo en (1), (2) y (3) se obtiene:
2
**
LM
MDME
MR
MD
MP
ME
ET
ED
Despejando lo anterior tenemos:(4)
ED
ETMDMELM
**2
ELIPSE
Por otro lado tenemos los siguientestriángulos semejantes:
DET DMV
Por tanto: (5)
MV
MD
ET
ED
ED
ETMDMV
*
ELIPSE
Sustituyendo (5) en (4), tenemos: MEMVLM *2