Congruencias y solucin de problemas

Instituto de VeranoAFAMaC 2010Arturo Portnoy

Congruencias Supongamos que en este momento son las

10:00 am. Qu hora ser dentro de 2500 horas? Y qu hora fue hace 2500 horas?

Congruencias Decimos que ab (mod n) si n|a-b. La congruencia induce una relacin de

equivalencia en los enteros. Encontrar las clases de equivalencia mdulo 4.

Congruencias Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos

38 (mod 3).

Congruencias Propiedades algebricas de la congruencia.

Congruencias Encontrar el residuo mdulo 5 de

37^4+49(801)+120.

Congruencias Principio de sustitucin: en sumas y productos

en una congruencia podemos sustituir cantidades congruentes.

OJO: 12^62^6 (mod 5) pero 2^6 no es congruente a 2^1 (mod 5).

Congruencias Demostrar que mdulo 3 y mdulo 9, cualquier

nmero es congruente a la suma de sus dgitos. Estos son los criterios de divisibilidad para el 3 y 9.

Congruencias Encontrar el dgito de las unidades de

2(325)+3(8^7)+5104+123^5.

Congruencias Encontrar el dgito de las unidades de

3^2008+3^2006.

Congruencias Deducir el criterio de divisibilidad del 11,

usando congruencias.

Congruencias Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se

remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que qued la tarjeta 1002. Miente o dice la verdad?

Congruencias Conjuntos de residuos: Zn. Operaciones en Zn.

Congruencias Probar que en cualquier coleccin de 7 o ms

enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.

Congruencias Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3,

Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y multiplicativos.

Congruencias Encontrar el inverso multiplicativo de 3 mdulo

17.

Congruencias Encontrar el inverso multiplicativo de 12 mdulo

15.

Congruencias Aparear cada uno de los elementos invertibles

bajo el producto de Z12 con sus inversos. Repetir para Z17.

Congruencias Encontrar, si existen, las soluciones de 4x5

(mod 7). Repetir para 4x5 (mod 6). Repetir para 4x8 (mod 6).

Congruencias Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas

naranjas tena ayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando haca montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.

Congruencias Si S(n) denota la suma de los dgitos de un

nmero natural n, encuentre todas las soluciones de n(S(n)-1)=2010, mostrando que son las nicas. (Problema 1, XII OMCC)

Congruencias Solucin de Marcos Pertierra (estudiante de OMPR). Sabemos que S(n)n (mod 9). n(S(n)-1)n(n-1)20103 (mod 9). n-n-3n-n-120 (mod 9). (n+3)(n-4)0 (mod 9). Por lo tanto, n6 (mod 9) o n4 (mod 9). Adems, como n|2010, los nicos factores que satisfacen lo

anterior son 6, 15, 67, 402, 670 y 1005. Probando cada uno vemos que el nico que sirve es 402.