0[ TRANSFERT DE CHALEURPAR CONDUCTION ]

[ Licence es Sciences & Techniques en Gnie Civil ]

Programme[ Concepts fondamentaux, loi de Fourier, Rsistance thermique,Equations gnrales de la conduction, Formes de l'quation de lachaleur, Conditions aux limites spatio-temporelles, Etudeanalytique des problmes thermocintiques, Analogie lectrique,Grandeurs Thermiques, rgime permanent,Rgime variable,Mthodes de rsolution de lquation de la chaleur. ]

[Pr : J.BEN ABDELOUAHAB] [Anne 2015/2016]

[Universit Abdelmalek Essaadi

MODULE DES TRANSFERTS THERMIQUES Transfert de Chaleur par Conduction

Facult des Sciences & Techniques Tanger ]

[ Dpartement de Physique ]

[MODULE DES TRANSFERTS THERMIQUES]

1TABLE DES MATIERESIntroduction1 Concepts fondamentaux

1.1 Champs thermiques, loi de Fourier1 1 1 Gnralits et dfinitions1 1 2 Loi de Fourier1 2 Equations gnrales de la conduction1 2 1 Bilan nergtique1 2 2 Equation de la chaleur pour un milieu homogne et isotrope1 3 Conditions aux limites spatio-temporelles1 3 1 Condition initiale1 3 2 Conditions de surface1 4 - Les grandeurs thermiques1 4 1 Dimensions et units1 4 2 Valeurs numriques

2 Etude analytique des problmes thermocintiques2 1 Rgime permanent.2 1 1 Mur simple faces isothermes2 1 2 Cylindre creux surfaces isothermes2 1 3 Sphre creuse surfaces isothermes2 1 4 Sources linaire et ponctuelle2 1 5 Conduction travers plusieurs corps2 1 6 Problmes deux dimensions2 2 Rgime variable2 2 1 Cas des corps temprature uniforme2-3 Mthode de rsolution de lquation de la chaleur2 3 1 Mthode de sparation des variables2 3 2 Mthode utilisant la transforme de Laplace

2IntroductionQuelles sont les tapes dun calcul en transfert thermique ?

Cela signifie : Bonne comprhension de la ralit physique, Comprendre les simplifications crites dans le modle, Matriser loutil mathmatique, Examiner en dtail les rsultats et leurs consquences.

Dfinition des transferts conductifs

Transferts de la chaleur dans des matriaux opaques en labsence de mouvementsmacroscopiques de matire (convection)Au niveau des atomes et molcules les interactions lies leur nergie font que lachaleur est transfre des rgion chaudes vers les rgion froides.

Les rgimes thermiques

A partir de la rpartition des tempratures au temps t=0 (conditions initiales),des perturbations externes (conditions aux limites) et des perturbations internes ( sources dechaleur), la temprature en chaque point volue T(M ,t).

ModleSyst dqt

CalculAnalytiquesNumriques

RsultatsExamenUtilisation

1 2

3

perturbations externesconvt force, rayt etc

perturbations interneseffet Joule, ract chimique

RalitSituation complique Mesure de la ralit

Exprimentation

3Suivant lvolution des perturbations on distingue :

Cette classification ne correspond pas seulement la ralit, elle rsulte de lcriture desmodles (systme dquations prend des formes particulires pour chacun des rgimes) et desmthodes de calcul qui sont utilises.

temps

Temprature

Rgime transitoire li la condition initiale Rgime permanent

Perturbation constante

temps

TempratureRgime transitoire li la condition initiale

Rgime priodique tabli

Perturbation priodique

temps

TempratureRgime transitoire li la condition initiale

Rgime variable

Autre Perturbation

41 Concepts fondamentaux1 1 Champs thermiques. loi de Fourier

1 1 1 Gnralits et dfinitions

Champ de temprature:On peut dfinir en chaque point M d'un corps solide, liquide ou gazeux une temprature, fonctionscalaire des coordonnes du point considr et du temps: T (M,t)Lorsque la temprature dpend du temps, on dit que le rgime thermique est variable. Dans le cascontraire, on dit qu'il est permanent.Surfaces isothermes:Le lieu des points ayant, chaque instant, la mme temprature est appel surface isotherme. Enrgime variable, les surfaces isothermes sont mobiles et dformables; en rgime permanent, ellessont invariantes.Quantit de chaleur. flux et densit de flux thermique:On appelle:

dtdQ

(w)le flux chang par une surface S. Il correspond la quantit de chaleur dQ change par lasurface S pendant dt.On dfinit galement la densit de flux comme le flux chang par unit de surface:

SdtdQ

.

(W/m2) ouS

(W/m2)D'une faon plus gnrale (fig.1.1):

dSnd .. dSd .cos. n : normale unitaire de dS

n, Figure 1.1-Densit locale du flux thermique

Dans les formules prcdentes:Q s'exprime en Joule s'exprime en Watt s'exprime en W/m2

Lignes et tube de courant:On appelle lignes de courant les courbes tangentes aux vecteurs densit de flux chaqueinstant t. L'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur un contour ferm constitue un tube decourant.Source interne:Une source interne est dfinie par la puissance thermique p qu'elle produit par unit de volume dumilieu. Dans le cas gnral, p est fonction de la position du point M, de la temprature et dutemps: P(M,T,t).

53.1.2 - Loi de FourierEnonc:

En tout point d'un milieu isotrope, la densit de fluxthermique instantane est proportionnelle laconductivit thermique . du milieu et au gradient detemprature (fig. 1.2):

T

ou encore: dSTnd ...

Par convention, est compte positivement dans le sens d'coulement de la chaleur, c'est direvers les tempratures dcroissantes; T est un vecteur port par le mme axe, mais de senscontraire , d'o le signe moins de la loi de Fourier.

Orthogonalit du gradient et de lisotherme:En tout point M quelconque du milieu, on a, toutinstant (fig. 1.3):

MdTdT

.Dans le cas o on se dplace sur uneisotherme:

0. MdT

Le gradient de temprature en chaque point estnormal la surface isotherme passant par ce point.Les lignes de courant sont donc normales en chaque point aux isothermes correspondantes.

Les parois d'un tube de courant tant normales aux isothermes, aucun flux ne les traverse: cesparois sont donc des adiabatiques.En rgime permanent, le flux thermique est conservatif dans un tube de courant.

Rsistance thermique:Soit un tube de flux dans un matriauhomogne et isotrope l'intrieurduquel il existe un gradient detemprature (fig. 1.4).

En rgime permanent, le flux estconservatif et nous pouvons crire:

xdx

dTxSx

).(.

Ou encore :

dT

xSxdx

)(.

Figure 1.2 Loi de Fourier

Figure 1.3: Orthogonalit du gradientet de l'isotherme

Figure 1.4: Rsistance thermique

6En intgrant entre S1et S2 il vient: 21

)(.2

1

TTxSx

dxx

x

La rsistance thermique est dfinie par. 21

)(.2

1

TTxSx

dxRx

x

th

De mme la conductance thermique comme tant l'inverse de la rsistance thermique :thR

Kt 1

1 - 2 Equations gnrales de la conduction1.2.1 Bilan nergtique

On applique le premier principe de la thermodynamique un volume fini dV, de surface dS, contenu dans unvolume V (fig, 1.5):

dVPdSndVt

TCpVSV

..

avec: masse volumique (kg/m3)Cp chaleur massique (J/kg K)

Dans l'expression du bilan nergtique:dV

t

TCpV

reprsente la variation d'nergie interne.

S

dSn.. est le flux chang la surface.dVP

V reprsente la puissance gnre par les sources internes.

D'aprs la formule d'Ostrogradsky, l'intgrale sur le volume dV est applicablesur la surface dS:

dVdivdSnVS

...

D'o l'quation de la chaleur: 0

pt

TCpdiv

1.2.2 - Equation de la chaleur pour un milieu homogne et isotropeSi , et Cp ne dpendent que de la temprature, l'quation de la chaleur s'crit:

0,

TMpt

TTCpTTTdiv

en introduisant la diffusivit thermique:Cp

a

ainsi que le Laplacien :

011 2

pTdTd

t

Ta

T

Figure 1.5: Bilan nergtique

7Formes de l'quation de la chaleur (, a et p indpendants de la temprature)- Milieu avec sources internes, en rgime permanent:

0pT Equation de Poisson

- Milieu sans sources internes, en rgime permanent:0T Equation de Laplace

- Milieu sans sources internes, en rgime variable:

t

Ta

T

1 Equation de Fourier

Expressions analytiques de l'quation de la chaleur (., a et p indpendants de la temprature)- Expression en coordonnes cartsiennes: T = f{x,y,z,t)

0122

2

2

2

2

p

t

Taz

TyT

x

T

- Expression en coordonnes cylindriques: T = f{r,x,t)011 2

2

2

2

p

t

Tax

Tr

Trr

T

- Expression en coordonnes sphriques: T = f{r,t)0122

2

p

t

Tar

Trr

T

1-3 Conditions aux limites spatio-temporellesL'quation gnrale de la chaleur est une quation aux drives partielles, linaire du deuximeordre qui admet en principe une infinit de solutions.Chaque solution particulire de l'quation de la chaleur sera dtermine par l'application desconditions aux limites spatio-temporelles du problme pos.1.3.1 - Condition initialeLa distribution de temprature l'intrieur du solide et sur sa surface est suppose connue l'instant t = 0:T (x,y,z,O) = To(x,y,z)1.3.2 - Conditions de surface

-Temprature impose. Ts = f(Ms,t) Problme de Dirichlet-Densit de flux impose.

Sn

T

tMf S , Problme de Neumann-Transfert de chaleur linaire la surface = h (TS - T.) Problme mixte ou de Fourrier

h coefficient d'change superficielT temprature du fluide au loin

-Transfert de chaleur l'interface de deux solides de natures diffrentesL'criture de la conservation du flux l'interface donne:

2211 TT

Dans le cas d'un contact parfait entre les deux solides:T1 = T2

Milieu 1 Milieu 2

la surface

8Dans la ralit, on tiend compte d'une rsistance thermique de contact qui introduit unediffrence de temprature entre T1 et T21-4 Les grandeurs thermiques

1.4.1 - Dimensions et unitsGrandeurs symboles Equations de dfinition dimensions unitConductivitthermique

TdtdSdQ

1

LTtML 22

mKW

Chaleurmassique

CpdTdQ

mCp 1

MTtML 22

kgKJ

diffusivit aCp

a

12 tL

s

m2

Effusivit b 21Cpb 21

2

22

TtL

tML

21

2 Ksm

J

Coefficientdchange

hTTdtdS

dQh

1TLtML

2

32

KmW

2

1.4.2 - Valeurs numriquesLes caractristiques thermiques ., Cp, a et b d'un matriau dpendent de sa compositionchimique, de ltat physique, de la structure, de la temprature et de la pression. Pour les solideshomognes, l'influence de la pression est gnralement nglige et dans un intervalle detemprature limit, on peut adopter une loi linaire de variation de la conductivit en fonction dela temprature:

=0(1+T) est une constante appelecoefficient de temprature. Pour laplupart des solides, est petit etngatif.

Le coefficient d'change h est fonction descoordonnes, du temps, de la gomtrie, desproprits physiques, mais surtout. dans unelarge mesure, des conditions externes del'coulement dans lequel est plac le solide.

Figure 1.6: Conductivit thermique de divers corps enfonction de la temprature

92 - Etude analytique des problmes thermocintiquesConsidrons un milieu isotrope et homogne dont les caractristiques thermiques a et . sontconstantes et o p est indpendant de la temprature. Le problme fondamental de la conductionconsiste trouver dans un tel milieu, limit de volume V et de surface S, la fonction tempratureT(M,t) satisfaisant l'quation de la chaleur et aux conditions aux limites spatio-temporelles.Cela revient rsoudre le systme suivant:

01

p

t

Ta

T , t>oCondition initiale: T(M,O) = To(M) , M dans V ou sur S , t> 0Conditions aux limites: ),( tMf

n

TT

, M sur S , t>O2-1 Rgime permanentEn rgime permanent, la temprature en chaque point du milieu est indpendante du temps.L'quation de la chaleur se rduit l'quation de Poisson dans le cas o le milieu comporte dessources internes ou l'quation de Laplace pour un milieu sans sources.2.1.1 - Mur simple faces isothermesLes parois sont maintenues des tempraturesTp1, et Tp2 uniformes, constantes et connues(fig. 1.7).

Le systme rsoudre devient alors:02

2

dx

Td

Conditions aux limites: T(O) = T p1T(L) = T p2

Rpartition de temprature:

xL

TpTpTpxT .)( 121

(C)

La rpartition de temprature est linaire.Flux:

SL

TpTp.

21 (W) Le flux est conservatif.Densit de flux:

LTpTp 21 (W/m2) La densit de flux est conservative.

Remarque : Si TP1 > Tp2 alors > 0

Rsistance thermique: .21 thRTpTp SLRth

. (K/W)

Figure 1.7: Mur simple tempraturesimposes

10

2.1.2 Cylindre creux sulfates isothermesLes parois sont maintenues des tempratures T1 et T2 uniformes, constantes et connues (fig. 1.8).

Le systme rsoudre devient alors:012

2

r

Trr

T

Conditions aux limites: T(r1)=T1 ; T(r2)=T2Rpartition de temprature:

1

2

1

211 ln

ln)(

r

r

r

r

TTTrT

la rpartition de la temprature est logarithmiqueFlux:

1

2

21

ln2

r

r

TTL Le flux est conservatif.

Densit de flux:r

r

r

TT 1

ln1

2

21

La densit de flux est non conservative.

2.1.3 - Sphre creuse surfaces isothermesLes parois de la sphre sont maintenues des tempratures T1 etT2 uniformes, constantes et connues (fig 1.9).Le problme rsoudre est alors: 022

2

r

Trr

T

Conditions aux limites: T(r1)=T1 ; T(r2)=T2Rpartition de temprature:

21

1211 11

11

)(rr

rrTTTrT

La rpartition de temprature est hyperbolique.Flux:

12

21214rr

TTrr

Le flux est conservatif.

Densit de flux: 212

2121 1rrr

TTrr

La densit de flux est non conservative.

Rsistance thermique:21

12

4 rrrr

Rth

Figure 1.8: Cylindre creux tempraturesimposes

Remarque:Dans le cas d'un cylindre mince d'paisseur e telle que e r1 alors onpeut utiliser l'approximation suivante:ln(1+e/r1) e/r1L'expression du flux devient alors:

e

TTS 211

Rsistance thermique:

Lr

r

Rth 2

ln1

2

Figure 1.9: Sphre creuse tempratures imposes

11

2.1.4 - Sources linaire et ponctuelleSource linaire:Soit une source linaire uniforme dlivrant une puissance thermique par unit de longueur, dansun milieu homogne de conductivit thermique .Le champ cre dans ce milieu est cylindrique et ilest identique dans toute section normale la source linaire. r

drdT

2

D'o aprs intgration suivant r: CterrT )ln(2

)(

Source ponctuelle :De mme pour une source ponctuelle, la puissance libre par la source et traversant unesurface sphrique de rayon r a pour expression: 24 r

drdT

D'o aprs intgration suivant r: Cter

rT

4)(

2.1.5 - Conduction travers plusieurs corps

Corps placs en srie :Considrons n corps placs ensrie de rsistances thermiquesRth1, Rth2, , Rthn (fig. 1.10).

Figure 1.10: Corps placs en srieSi un transfert de chaleur se fait de manire ce que les surfaces de sparation concident avecles isothermes T1 T2 ..., Tn. en crivant que le flux de chaleur est conservatif:

thn

nn

th RTT

RTT

11

21...... D'o:

th

n

RTT

1

La rsistance thermique totale est donc dfinie par:

n

ithith RR

1Les corps placs en srie ont leurs rsistances thermiques Qui s'ajoutent.

Corps placs en parallle:Pour les corps placs en parallle, nouspouvons crire (fig. 1.11):

TK th 11TK th 22

.TK thnn

La conservation du flux nous permet d'crire:

n

ithiKT

1 Les corps placs en parallle ont leurs conductances thermiques qui s'ajoutent.

Figure 1.11: Corps placs en parallle

12

Analogie lectrique:Cette analogie est base sur la similitude existant, en rgime permanent, entre les lois rgissantles rpartitions des tempratures et des potentiels lectriques:

Electricit: V = 0Conduction: T = 0

De plus, pour chaque problme, nous pouvons dfinir une rsistance (lectrique ou thermique) telle que:Electricit: V1 - Vo = Re IConduction: T1 - T0 = Rth

Nous pouvons donc mettre en vidence les grandeurs associes l'analogie:Electricit Conduction

V1 - Vo: Diffrence de potentiel T1 - T0: Diffrence de tempratureI: Intensit : Flux

Re: Rsistance lectrique Rth: Rsistance thermiquePour des corps placs en srie, nous aurons le rseau analogique suivant (fig. 1.12):

Figure 1.12: Rseau analogique pour des corps placs en srie

Le flux s'exprime alors par:

1

11

n

ithin RTT

De mme, pour des corps placs en parallle (fig. 1.13):Le flux s'exprime par:

n

ithiKT

1

2.1.6 - Problmes deux dimensionsOn utilise la mthode de sparation des variables qui permet l'integration complte de l'quationde Laplace dans le cas o la temprature dpend de plus d'une variable mais o la symtrie duproblme reste leve.Gomtrie cartsienne: T = f(x,y) 02

2

2

2

yT

x

T

Figure 1.13: Rseau analogique pour des corpsplacs en parallle

13

On recherche une solution de la forme: T(x,y) = X(x) Y(y)La solution obtenue est: T(x,y) = (A ekx + B e-kx) (C eiky + D e-iky)A. B. C et D sont des constantes dterminer l'aide des conditions aux limites.

Gomtrie cylindrique: T = f(r,) 011 22

22

2

T

rr

Trr

T

On recherche une solution de la forme: T(r,) = R(r) ()La solution obtenue est: T(r,) = (A rk + B r-k) (C eik + D e-ik)

2-2 Rgime variableReprenons l'quation de la chaleur sous sa forme gnrale:

div (T) + p = pCpt

T

Nous nous plaons dans la configuration suivante:

Conduction morte: p=O. constantChamp de temprature monodimensionnel: T = f{x,t)

L'quation de la chaleur s'crit alors:

t

Tax

T

1

2

2

L'exprience montre que l'on peut classer les corps, du point de vue de leur comportementthermique, en corps minces et corps pais. Pour les corps minces la temprature peut y treconsidre comme uniforme. Elle ne dpend alors que du temps. Tandis que pour les corps pais latemprature est fonction du point considr et du temps.L'approximation des systmes mince/pais est faite l'aide d'un nombre adimensionnel appelnombre de Biot (Bi). Il est dfini par le rapport entre la rsistance thermique interne du corpsdans le sens du flux et la rsistance thermique de surface:

hS

SL

Bi 1 Ou encore:

hLBi

De nombreuses expriences permettent d'admettre le critre suivant:BiO.1 le systme est dit pais

L : distance entre surface et lintrieur du matriauou le flux reste nul

14

2.2.1 - Cas des corps temprature uniformeBien que ce cas n'existe pas en toute rigueur puisqu'il faut un gradient de temprature pour avoirun transfert de chaleur, on peut considrer dans certains cas pratiques et avec une approximationacceptable que la temprature dans le corps est uniforme.

Trempe d'une billette mtalliqueConsidrons une billette en acier (,=50 W/mK) de diamtre D=1cm plonge dans un fluide (h=200W/m2K). Calculons le nombre de Biot:

2Dh

Bi Il vient: Bi = 0.02Ce systme thermique peut tre considr, en premire approximation, comme tempratureuniforme.La billette est pralablement chauffe To et est plonge, t=0, dans un bain froid temprature T., (T0> T .,).Le coefficient d'change de la billette est h.

L'criture du bilan thermique de la billette donne: 0 TThSdt

dTCpV

Ou encore, puisque T est une constante: dt

CpVhS

TTTTd

D'o l'expression de la temprature de la billetteen fonction du temps:

tCpVhS

eTTTtT

0

)(

La figure 1.14 donne l'volution de la tempraturede la billette en fonction du temps.

Le groupement:

hSCpV

est appele la constante de temps du systme.

Figure 1.14: Evolution de la temprature enfonction du temps

15

2-3 Mthode de rsolution de lquation de la chaleur2.3.1 Sparation des variables

On cherche s'il existe une solution particulire, variables spares, de la forme:T(x, t) = X(x) Y(t) ou X(x) fonction de x

Y(t) fonction de tEn reportant dans l'quation de la chaleur, il vient:

)()('1

)()(''

tYtY

axXxX

D'o: )()(''

xXxX 1 )(

)('1tYtY

a2 avec = cte

D'aprs l'quation (2): Y( t) = A eatDeux cas peuvent tre distingus:1 - Le processus thermique tend vers une solution finie c'est dire

16

2.3.2 Mthode utilisant la transforme de Laplace

La transforme de Laplace F(p) d'une fonction F(t) est dfinie, sous certaines conditions, parl'intgrale: ')'()(

0'

'

t

pt dttFepF

avec p variable relle ou complexe.)( pF est appele image ou transforme de la fonction originale F(t).

Appliquons la transforme de Laplace l'quation de la chaleur:

002

2 1 dtt

Te

adt

x

Te ptpt

Calculons le premier membre:

02

2

02

2

),( dtetxTx

dtx

Te ptpt

Or,. par dfinition:

0'

),(),(t

pt dtetxTpxT

Calculons le second membre: dttxTpetxTedtt

Te ptptpt ),(),(

00

0

Or: )0,(),( 0 xTtxTe pt

et: ),(),(0

pxTpdttxTpe pt

D'o la transforme de l'quation de la chaleur:

a

TT

a

pdx

Td 02

2

avec: To = T(x,O) condition initiale.On a transforme une quation aux drives partielles en une quation diffrentielle du second degr.Posons: T*(x,t) = T(x,t) - ToLa transforme de T*(x,t) est:

pT

TT 0*

D'o la transforme de Laplace de l'quation de la chaleur: 0**22

Ta

pdx

Td

Cherchons une solution de la forme:kx

eT * On obtient alors:a

pk

La solution gnrale est donc de la forme:kxkx BeAepxT ),(*

17

A partir de la solution transforme, on parvient la solution originale T(x,t) l'aide de latransforme inverse.

Caractristique thermo physique de quelques matriaux.Nature du Corps Masse volumique

Chaleur massique

CpConductivit

Diffusivit

aMtaux et Alliage kglm3 J/(kg.K) W(m.K) m2s

Argent 10500 0,23 x 103 418 1,71 x 10-4Cuivre 8 940 0,38 389 1,14Aluminium 2 700 0,86 200 0,86Laiton (70 Cu, 30 Zn) 8500 0,37 100 0,33Acier (0,1 C) 7 850 0,49 46 0,12Acier inox 18/8 7900 0,51 16 0,04

DiversBton 2300 0,96 0,92 0,42 x 10-6Granit 2 600 0,87 2,5 1,10verre 2530 0,84 1,2 0,58Bois 410 1,25 0,23 0,45pVC 44Polystyrne expans 44 0,025Neige (poudreuse) 100 2,1 0,1 0,50Amiante 577 0,816 0,16Laine de verre 200 0,67 0,04

- Quelques transforme de Laplace

18

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES[1] ARPACI, V.S. - CoIrluction heat transfer, lIddison-wesley Cy., 1966.[2] CARSIAW, B.S., JAEr;ER, J.C. - Ca1duction of heat in solids, Oxford: University Press, IDn