Condies Necessrias e Suficientes para um Mnimo Local

Bianca NahimeJuliana MoraisLouise TessarolliPatricia DuarteSayonara soaresCondies Necessrias e Suficientes para um Mnimo LocalndiceProblemas de otimizaoExemplo de um problema de otimizaoUtilizando o multiplicador de Lagrange no problema de otimizaoCondies necessrias de primeira ordem para um extremoMultiplicadores de Lagrange como medidores de sensibilidadeProblemas contendo inequaes como restriesProblemas convexosCondies necessrias de segunda ordemProblemas de otimizaoProblema: necessrio otimizar uma funo objetivo f(x), sujeita a restries h(x) = 0.

Necessrio encontrar extremos (mnimos ou mximos) locais para o valor de x.

Em x* (um extremo local), existem relaes entre f(x*) funo objetivo e h(x*) restrio.

Nesse ponto x*, as funes objetivo e restrio so paralelas, ou seja, tm grandientes proporcionais.

Funo Objetivo: funo a a ser minimizada f(x)f(x1, x2) = x1 + x2Funo de restrio: Equao base: hj(x) = bjh(x1, x2) = x1 + x2-1

x1x2Equao baseFuno a ser minimizadaExemplo de um problema de otimizaox1x2TangenteProjeo no nula.No mnimo local!A componente negativa da projeo do gradiente indica que, para melhorar a funo objetivo, deve-se fazer um movimento para baixo com a funo a ser minimizada.x no timoUtilizando o multiplicador de Lagrange no problema de otimizaoMultiplicador de LagrangeCondies necessrias de primeira ordem para um extremoAs condies de primeira ordem apresentadas so apenas necessrias, mas no so suficientes para dizer se um ponto um extremo local.Por exemplo, em casos onde h inflexo, o gradiente nulo, no entanto no h extremo.Para dizer se um ponto que satisfaz as condies de primeira ordem um extremo local, necessrio verificar se ele satisfaz as condies de segunda ordem.Multiplicadores de Lagrange como medidores de sensibilidadeTer valor timo aps resoluo do problemaLado direito da restrioProblemas contendo inequaes como restries

fcil observar que o ponto mnimo est na interseo entre as duas primeiras restries.No ponto timo, essas restries agem como igualdades e so chamadas de restries de ligao ou restries ativais

Ponto de menor raio (mnimo da funo objetivo) que est dentro das restries.Uma direo vivel de busca definida como um vetor tal que um movimento diferencial ao longo desse vetor no viola nenhuma restrio.Para o problema exemplificado, o conjunto desses vetores est na regio do cone formado pelos gradientes das duas restries ativas.

Cone entre os gradientes das restries ativasGradientes das restries ativas

Qualquer vetor dentro do cone poder ser uma direo vivel de busca, pois resultados nessa regio respeitam as restries

DireesviveisDiminuio em fNo ponto timo, a diminuio em f no ocorre em uma direo vivel.

Gradiente da funo objetivo contida em um cone convexo.

Propriedade: restries de desigualdade inativas possuem multiplicadores nulos NEGLIGNCIA COMPLEMENTAR (Complementary Slackness)

Formas nas quais as condies de Kuhn-Tucker (KTC) normalmente so apresentadas.

Problemas contendo equaes e inequaes como restries

Condies necessrias para um ponto crtico

Solues crticas do problemaPonto de inflexo (ponto de sela)

Ponto de mnimoPonto de mximo

Curvas de nvel da regio estudada RestrioPonto de sela

Valor timo da funo objetivo f no mnimo local, visto como uma funo do lado direito das restries b e c.b: restrio de igualdadec: restrio de desigualdade

Os multiplicadores indicam que as mudanas na pureza de B provocariam maior impacto na funo objetivo. Essa a varivel mais sensvel das trs.Funo objetivo: LUCROProblemas ConvexosFuno objetivo f(x)Matriz Hessiana H(x)Autovalores de H(x)Estritamente convexoPositivo definido> 0ConvexoPositivo semi-definido 0CncavoNegativo semi-definido 0Estritamente cncavoNegativo definido< 0A definio de problemas convexos depende dos valores da matrix hessiana H, a qual amatriz quadradacom "n" colunas e "n" linhas dasderivadas parciaisde segunda ordem dafuno objetivo f, onde n o nmero de variveis.41Problemas ConvexosAs condies de Kuhn-Tucker so necessrias e suficientes para a otimizao de problemas convexos suavesPara a situao em que:Funo objetivo f(x) convexaInequaes limitantes gj so convexasFunes de igualdade limitantes hj so linearesA regio de soluo factvel convexaMnimo local o mnimo globalx* uma soluo factvelTodas as funes tm derivadas primeira contnuas em x*Os gradientes das restries em x* so independentesx* soluo tima se e apenas se as condies de Kuhn-Tucker so satisfeitas em x*Problemas ConvexosConsideraes prticasAs hipteses para caracterizar um problema como convexo nem sempre se aplicam ao problema real e comum ter dificuldade em identificar se as inequaes limitantes ou a prpria funo objetivo so convexas ou no. Portanto, em problemas reais difcil saber se um ponto que satisfaa as consideraes de Kunh-Tucker um timo local ou global ou mesmo um ponto de sela. A soluo para problemas reais ento encontrada para pontos que satisfao as consideraes de KT e que tambm estejam dentro dos limites de tolerncia pr-definidos. A tolerncia de viabilidade indica se o ponto x vivel enquanto a tolerncia de otimizao deve satisfazer as condies de KT.43Condies necessrias de segunda ordemSe o sinal > na inequao for substitudo por , as condies acima, juntamente com as de Kuhn-Tucker so as condies de segunda ordem necessrias para um mnimo local.Como as condies de KT so satisfeitas para qualquer ponto de mnimo ou mximo local e pontos de sela, a otimizao s garantida se tanto as condies necessrias de KT como as condies de suficincia de segunda ordem forem satisfeitas no ponto. As condies de otimizao de segunda ordem envolvem a matriz de derivadas parciais segundas com respeito a x, ou seja, a matriz hessiana da funo lagrangiana e definida por:44