CONCEITOS DE NÚMERO COMO REDES DE RELAÇÕESEQUIVALENTES: CONTRIBUIÇÕES AO ENSINO DA MATEMÁTICA

ELEMENTAR1

João dos Santos CarmoProfessor da Universidade da Amazônia

Doutorando do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de São Carlos

A Matemática tem sido apontada como uma disciplina cuja aprendizagem gera aversão nosalunos, o que é constatado pelo alto índice de reprovação tanto no Ensino Fundamental quanto noEnsino Médio. Um dos possíveis fatores determinantes dessa situação pode ser encontrado na formacomo vêm sendo ensinados os “primeiros passos” que levam ao entendimento de conceitos maisabstratos, típicos daquela disciplina.

Segundo Pires (1987) muitos professores dessa disciplina reclamam que os alunos chegamàs séries mais adiantadas do Ensino Fundamental sem aprenderem conceitos elementares vistos emséries anteriores. Por outro lado, esta mesma autora informa que “o conteúdo a ser desenvolvidonem sempre é dominado integralmente pelo professor (...) ou então, por vezes, embora dominandorazoavelmente o conteúdo, ele não chega a identificar claramente os objetivos que pretende atingir.”(p.104). Pires (1987) afirma ainda que nenhum ensino de Matemática (e, diríamos, de qualquerdisciplina), deve ser concebido a partir de uma programação única e inflexível, e nem deve serproposto sem uma avaliação prévia do repertório trazido pela criança.

Parece que o problema enfrentado até hoje, quanto à aprendizagem da Matemática, não podeter sua origem apenas nas primeiras séries do Ensino Fundamental. De acordo com Costa (1988) “éno pré-escolar que a criança forma os conceitos matemáticos básicos, ou seja, aqueles que sãofundamentais para o trabalho posterior com números, medidas e geometria” (p.2). Assim, a pré-escola pode ser vista como uma das primeiras agências de instrução formal cuja responsabilidadeseria estabelecer as noções iniciais que formariam os alicerces para se alcançar conhecimentos maiscomplexos. É na pré-escola, portanto, que deveria ser adquirido um primeiro conceito fundamentalpara o resto da aprendizagem formal e informal do aluno: o conceito de número2.

Muito provavelmente os professores da 1a. série do Ensino Fundamental trabalham com opressuposto de que a criança já traz uma idéia do que seja número, enquanto que os professores queatuam em Educação Infantil, em sua grande maioria desconhecendo a complexidade do conceito denúmero, esperam que este mesmo conceito seja adquirido mais especificamente no EnsinoFundamental, formando-se com isso um círculo vicioso.

Não se pode, entretanto, negar que a aprendizagem da Matemática elementar está construídaa partir do conceito de número que, conforme veremos, constitui-se em uma noção bastantecomplexa.

Conceitos de NúmeroBaratojo (1994) apresenta uma noção bastante difundida de número, a qual será nosso ponto

de partida para novas proposições. Para Baratojo (1994), número é a“idéia que nasceu quando ohomem estabeleceu a relação entre os elementos de dois conjuntos com algo em comum que é aquantidade de elementos que possui a correspondência biunívoca, isto é, que se correspondem um aum.” (p.82). Nesta definição encontram-se presentes três idéias fundamentais. A primeira diz que oconceito de número envolveria relações entre estímulos semelhantes ou não fisicamente (elementosde conjuntos). A segunda é a idéia de operações entre esses estímulos (correspondência um-para- 1 Apoio CAPES e FIDESA2 O termo conceito será aqui tratado como sendo a possibilidade de discriminação interclasses e generalizaçãointraclasse, conforme Keller e Schoenfeld (1971), ou ainda, “tornar eqüivalentes objetos, eventos e pessoas que sãodiscriminavelmente diferentes, e responder a eles em função de sua inclusão como membros de uma classe e não comoentidades particulares” (Witter e Lomônaco, 1984, p.59).

um). A terceira idéia é de que há, no conceito de número, uma abstração: a numerosidade nãoestaria presente intrinsecamente nos objetos, mas seria uma propriedade abstraída a partir dasrelações estabelecidas entre os elementos dos conjuntos ou através de outras operações, como acontagem e a subtização3.

Maciel e Benedetti (1992) referindo-se ao conceito de número na pré-escola, afirmam que “onúmero não é dado imediato da natureza (...). É abstração a partir do objeto físico, mas não épropriedade deste objeto; faz parte do universo de relações.” (p.34). As idéias básicas de relação,operação e abstração deveriam estar contidas em qualquer tentativa de definição de número e, porconseguinte, em qualquer proposta de ensino desse conceito. É comum, entretanto, que osindivíduos refiram-se a número como sendo equivalente à idéia de quantidade ou, quando muito, àrelação entre numeral e quantidade correspondente. Mais comum ainda é a confusão entre número enumeral, isto é, professores e alunos utilizam quotidianamente esses dois termos como sendo amesma coisa. Faz-se necessário, então, levantar duas questões básicas: a idéia de número estarialimitada à relação e operação entre numerais e quantidades? Ou existiriam outras relações eoperações que o constituiriam?

Sendo a Matemática uma ferramenta e linguagem especializada, tratada de formadiferenciada em diversas épocas e culturas, proponho que não há apenas um conceito de número, esim conceitos de número, os quais são ensinados em uma dada cultura e tendem a modificar-se aolongo da vida de cada indivíduo. Um conceito de número seria composto por uma série de relaçõesestabelecidas pela cultura como válidas. Assim, respondendo à primeira questão do parágrafoanterior, afirmamos que, seguramente, a relação entre numeral e quantidade é apenas uma dasrelações presentes no conceito de número. Quanto à segunda questão, temos sugerido (ver Carmo,2000 e Carmo e Galvão, 2000) que, em nossa cultura letrada, as relações e operações mínimasexigidas para que uma criança apresente o conceito de número são as que se seguem:

1) Diante de um numeral, escolher (apontar, separar, marcar etc.), dentre dois ou maisconjuntos de objetos, aquele cuja quantidade de elementos corresponde ao numeral;2) Diante de um numeral, escolher (apontar, separar, marcar etc.), dentre dois ou mais nomesescritos de números, aquele que corresponde ao numeral apresentado;3) Diante de uma coleção de objetos, escolher, dentre dois ou mais nomes escritos de numerais,aquele que corresponde à quantidade apresentada;4) Diante de uma coleção de objetos, escolher, dentre dois ou mais numerais, aquele quecorresponde à quantidade apresentada;5) A partir de um nome escrito de número, escolher o numeral correspondente, dentre dois oumais disponíveis;6) A partir de um nome escrito de número, escolher o conjunto com número de elementoscorrespondente, dentre dois ou mais disponíveis;7) A partir de um número ditado qualquer, escolher a palavra escrita correspondente, dentreduas ou mais palavras escritas apresentadas;8) A partir de um número ditado qualquer, escolher o numeral correspondente, dentre dois oumais disponíveis;9) A partir de um número ditado qualquer, escolher a quantidade correspondente de objetos(neste caso e nos itens 1, 3, 4 e 6 podemos apontar alguns indícios de que a criança já sabecontagem);10) Diante de um numeral, ou de um conjunto de objetos, ou do nome escrito de um número,dizer o nome correspondente;11) Estabelecer a correspondência entre uma quantidade determinada de objetos, um numeral,a palavra escrita e o nome falado do número, tratando-os como equivalentes;

3 a subitização refere-se à possibilidade de discriminar a quantidade de elementos de um conjunto, sem o uso dacontagem ou de correspondência biunívoca. Alguns estudos têm indicado que, na espécie humana, é possíveldiscriminar até o máximo de seis objetos, sem o uso das operações formais de contagem ou correspondência termo-a-termo.

12) Ordenar numerais ou palavras ou quantidades, em seqüência crescente;13) Ordenar numerais ou palavras ou quantidades, em seqüência decrescente;14) Produzir o correspondente verbal das seqüências dos itens 8 e 9;15) Diante de dois numerais, dizer qual tem valor mais alto, qual tem valor mais baixo ou sesão iguais em valor;16) Comparar dois conjuntos de objetos (corresponder um a um os elementos ou contar), edizer qual “o maior” (ou que tem mais elementos), qual “o menor” (ou que tem menoselementos) ou se possuem a mesma quantidade;17) Apresentar as operações acima descritas em contextos diversificados, dentro ou fora doambiente escolar, desde que tais operações sejam apropriadas à situação em que a criança estáinserida

Ainda há dúvidas quanto a ser a contagem uma habilidade necessária na aprendizagem dasrelações que compõem um determinado conceito de número. Além disso, existe a discussão emrelação a quais propriedades numéricas seriam fundamentais na aquisição de conceito numérico:ordenação, cardinação e habilidades com números naturais. A ordenação está fundamentada nanoção lógica de uma relação transitiva-assimétrica, por meio da qual os números naturais podem serordenados dentro de uma progressão aritmética, onde cada número representa um e somente um dostermos dessa progressão. A cardinação refere-se à noção de classe e correspondência termo-a-termo. Segundo Brainerd (1973, 1974), a aquisição do conceito de número natural derivaria de umentendimento prévio da ordenação e não de um entendimento prévio de cardinação como seria de sesupor. Entretanto, apesar de poder parecer um processo natural de desenvolvimento, a aquisiçãoprogressiva dessas habilidades foi verificada em grande parte das crianças pertencentes à nossacultura ocidental letrada, o que fortalece a sugestão aqui apresentada de que a aprendizagem deconceitos matemáticos elementares dependeria diretamente das operações e relações indicadascomo válidas em cada cultura. Ainda como apoio, temos alguns estudos (Gerdes, 1993; Ifrah,1997;Levy, 1993; Resnick, 1989; Wilson, 1995) apontando que cada cultura desenvolve sistemasnuméricos e notações variados, alcançando maior ou menor complexidade conforme asnecessidades e problemas vivenciados por seus membros.

Rede de Relações Equivalentes e Conceito de NúmeroConforme vimos no item anterior, o conceito de número aqui proposto é formado por uma

série complexa de relações que podem ser verificadas a partir de operações executadas pela criança.Chamamos a atenção do leitor para o fato de que muitas das relações pertencentes ao conceito denúmero podem ser analisadas com base no Paradigma da Equivalência de Estímulos (Sidman eTailby, 1982).

“A Equivalência de Estímulos é um modelo teórico que permite prever que, para umindivíduo, um estímulo passa a pertencer a uma classe de estímulos equivalentes na qual osestímulos são substituíveis uns pelos outros, a partir de relações condicionais arbitrariamenteestabelecidas entre ele e um ou alguns membros dessa classe” (Carmo e Galvão, 2000: 51).

Tal modelo é definido com base na presença de três propriedades extraídas da teoria dosconjuntos: reflexividade, simetria e transitividade. Na reflexividade um determinado elementorelaciona-se consigo mesmo, ou seja, a relaciona-se a a. Em notaçào matemática, diríamos aRa,onde R significa relação. Para que uma relação seja simétrica é preciso que dois elementos,relacionados numa certa ordem, estejam relacionados na ordem inversa, isto é, se aRb, então bRa.Na transitividade, estando dois elementos relacionados a um elemento em comum, esses doiselementos devem estar relacionados entre si, ou seja, se aRb e bRc, então aRc.

Os estudos utilizando o modelo de Equivalência de Estímulos têm utilizado umprocedimento chamado de Pareamento ao Modelo, o qual, por sua simplicidade, facilita tanto oensino quanto a verificação da aprendizagem de relações equivalentes. Basicamente, apresenta-se à

criança4 um estímulo visual ou auditivo, o qual será o estímulo modelo, e pede-se a ela que escolha,dentre dois ou mais estímulos, chamados estímulos de escolha ou de comparação, qual se relacionaao modelo. Esta relação pode se dar por semelhança física ou arbitrariamente. No caso do conceitode número, as relações entre a quantidade de elementos de um conjunto, o nome falado do número,o nome escrito do número e o algarismo correspondente, são relações arbitrariamente definidas.Aprendemos que à palavra falada “cinco” corresponde o algarismo 5; neste caso as naturezas dosestímulos (auditiva e visual, respectivamente) não guardam nenhuma relação óbvia entre si.

Assim, por exemplo, se apresentarmos à criança a palavra escrita “dois” (estímulo modelo),o sujeito deverá escolher dentre as palavras escritas “dois” e “quatro” (estímulos de comparação),aquela que se relaciona ao modelo. Estará correta a escolha da palavra “dois”, caso estejamosquerendo estabelecer uma relação de identidade. Nesse caso, após aprendida esta relação, seapresentarmos a palavra escrita “cinco” como modelo, podemos esperar que a escolha da criançarecairá sobre a comparação “cinco” e não outra palavra qualquer, mesmo que esta relação nuncatenha sido ensinada anteriormente, demonstrando-se dessa forma a propriedade de reflexividadegeneralizada. A simetria é verificada se, após a criança ter aprendido que a palavra escrita “dois”(estímulo modelo) está relacionada ao símbolo numérico 2 (estímulo comparação), for capaz deestabelecer, sem ensino prévio, a relação inversa, isto é, relacionar o numeral 2 (desta vezapresentado como modelo) à palavra escrita “dois” (estímulo comparação). A simetria, portanto,refere-se à possibilidade de reversibilidade funcional entre modelo e comparação. Uma relação étransitiva se, ao ter aprendido que a palavra escrita “dois” corresponde ao numeral 2, e o numeral 2corresponde à quantidade , a criança for capaz de relacionar, sem ensino anterior, a palavraescrita “dois” à quantidade . Nesse caso uma nova relação, não diretamente ensinada, emerge apartir de duas outras aprendidas previamente. Um teste final, chamado de teste de equivalência,seria a verificação da simetria da relação transitiva, ou seja, a correspondência da quantidade àpalavra escrita “dois”. Esta emergência só é possível se as outras propriedades estiverem presentes,segundo Sidman (1994).

Embora as possibilidades do uso desse modelo no contexto de ensino e aprendizagem játenham sido apontadas (Stromer, 1991; Stromer, MacKay e Stoddard, 1992), ainda são poucos osestudos que tratam da avaliação e ensino de repertórios numéricos básicos utilizando o paradigmada Equivalência de Estímulos. Desses poucos estudos, destacam-se: Green (1993) ensinou aestudantes portadores de atraso no desenvolvimento cognitivo, as relações entre palavras ditadas,algarismos e conjuntos de bolinhas, nos valores de 1 a 6. Kahhale (1993). trabalhando com quatroestudantes pré-escolares, investigou a aquisição do conceito de número, nos valores de zero a sete.O objetivo foi a formação de classes equivalentes entre quantidades, palavras impressas e numerais,além da verificação da nomeação oral dos valores de zero a sete. Silva, Carmo e Galvão (1997)replicaram o estudo de Green (1993), obtendo êxito no ensino de relações numéricas a três pré-escolares. Prado (1995), trabalhando com 20 pré-escolares verificou as habilidades pré-aritméticasque os sujeitos já possuíam em seu repertório, e quais as que faltavam, para, a partir daí, decidirquais os desempenhos que deveriam ser estabelecidos, completando uma rede de relações queformaria um conceito de número. Prado e De Rose (1999) replicaram o estudo de Prado (1995),desta vez incluindo uma criança com Síndrome de Down, e sugeriram que devemos buscarconstruir instrumentos que permitam traçar o perfil individual do repertório comportamental pré-aritmético, antes de decidirmos por um ou outro procedimento de ensino.

De fato os estudos acima levantam a noção de que os repertórios pré-aritméticos quecomporiam o conceito de número fariam parte de redes de relações e, como tal, podem fornecerinformações consistentes sobre as relações já aprendidas por cada criança. Descreveremos, a seguir,parte dos dados obtidos por Carmo e Galvão (2000) no ensino de algumas relações componentes doconceito de número. Os dados que nos interessam para o presente texto são os referentes à avaliaçãoinicial do repertório das crianças.

4 Nos referiremos, no presente texto, a crianças, embora os estudos com Pareamento ao Modelo sejam aplicáveis aqualquer indivíduo independentemente de sua idade.

Participaram três crianças em idade pré-escolar. A idade variou entre 4 anos e cinco meses e5 anos e dez meses. Destas, somente uma, a mais nova, não freqüentava a pré-escola. As relaçõesensinadas encontram-se esquematizadas na Figura 1 (reproduzida de Carmo e Galvão, 2000).

PalavraDitadaD

NumeralImpresso

A

BolinhasB

CasinhasE

PalavraImpressa

C

NomeaçãoOralF

Figura 1. Rede de Relações utilizada no estudo de Carmo e Galvão (2000). Com permissãodos autores.

Como pode ser notado, as relações presentes na Figura 1 são as seguintes: algarismos equantidades; quantidades e algarismos; algarismos e palavras escritas; palavras escritas ealgarismos; quantidades e palavras escritas; palavras escritas e quantidades; nomeação dosestímulos; palavras ditadas e algarismos; palavras ditadas e quantidades; palavras ditadas e palavrasescritas.

As crianças receberam tarefas para avaliar seus repertórios quanto àquelas relações. Osresultados mostraram que cada criança apresentava diferentes repertórios numéricos. Mesmo asduas crianças que freqüentavam o pré-escolar não haviam passado por experiências numéricassemelhantes. Com base nisso, foram planejados diferentes procedimentos e estratégias de ensinopara o ensino de cada criança. Os detalhes do estudo podem ser encontrados em Carmo e Galvão(2000).

ConclusõesNovos estudos precisam ser conduzidos de forma a abranger todas as operações da rede de

relações proposta5. Entretanto, podemos afirmar que o modelo de Equivalência de Estímulosapresenta vantagens quanto a:

1. Descrição operacional das relações envolvidas em um determinado conceito;2. Descrição das operações a serem executadas e que correspondem às relação presentes

em um dado conceito;3. Identificação das relações já aprendidas pela criança e que fazem parte de uma dada rede

de relações;

5 Um estudo envolvendo a rede completa está sendo conduzido pelo autor a fim de avaliar o repertório de adolescentescom Síndrome de Down, bem como ensinar as relações que faltam em seus repertórios.

4. A partir da identificação acima, promover ensino de outras relações que ainda não foramaprendidas pela criança ou que não estão bem estabelecidas;

5. Verificação da emergência de novas relações que fazem parte do conceito, relações estasque não foram diretamente ensinadas, mas que são derivadas de ensino prévio de outrasrelações. Dessa forma seria completada a rede de relações;

6. Individualização do ensino;7. Melhor compreensão dos determinantes das dificuldades de aprendizagem de cada

indivíduo;8. Feedback imediato para o professor acerca das estratégias e procedimentos utilizados no

ensino de relações;9. Economia de tempo, uma vez que, para completar uma rede de relações, não seria

necessário o ensino de todas as relações componentes.

Consideramos a rede de relações numéricas proposta um início de esforço no sentido deinvestigar como a criança passa a formar conceitos de número e acreditamos que, na gênese dasdificuldades de aprendizagem da Matemática escolar, encontraremos uma formação inadequada ouincompleta de redes de relações. Com a continuidade dos estudos, obteremos dados suficientes quepermitirão um diálogo mais proveitoso tanto com professores quanto com alunos.

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