TEMA 2

MODULACIONES DIGITALES

LINEALES: PASO BANDA

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Tema 2: Indice

2.1 Modulaciones lineales (PAM) paso bajo

I 2.1.1. Espectro de PAM banda baseI 2.1.2. Transmision con ruido gaussianoI 2.1.3. Canal discreto equivalente

2.2. Criterio de Nyquist

2.3. Transmision PAM sobre canales lineales

2.4. Diagrama de ojo

2.5. Modulacion lineales (PAM) paso banda

I 2.5.1. Espectro de PAM paso bandaI 2.5.2. Receptores PAM paso bandaI 2.5.3. Caracterısticas del ruido en el receptorI 2.5.4. Canal discreto equivalente

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PAM paso banda - Modulacion AM

Hasta ahora hemos estudiado PAM paso bajo. Muy util paraentender los conceptos pero poco practico:

I Atenuacion en baja frecuencia de algunos medios detransmision. Ejemplo, cable telefonico

F No transmite senales proximas a la contınua debido a bobinashıbridas.

I Canales compartidos. Ejemplo, canales radio:F Se divide el rango de frecuencias disponibles en bandas que se

asignan con distintos propositos.F Es ilegal transmitir fuera de la banda.F El ancho de banda siempre es mucho menor que la frecuencia

central.

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PAM paso banda - Modulacion AM

Recordatorio: PAM en banda base

s(t) =∑

n

A[n] · g(t − nTs)

Ahora se debe modular s(t) en amplitudI PAM de doble banda lateral (PAM-DSB)I PAM de banda lateral unica (PAM-SSB)

F Banda lateral inferior.F Banda lateral superior.

I Banda lateral vestigial (PAM-VSB).F Banda lateral inferior.F Banda lateral superior.

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Inconvenientes de la modulacion AM

PAM de doble banda lateral (PAM-DSB)I Eficiencia espectral (se reduce a la mitad)

PAM de banda lateral unica (PAM-SSB)I Filtros analogicos de banda lateral ideales

Banda lateral vestigial (PAM-VSB).I Filtros analogicos de banda lateral vestigial

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Modulacion mediante dos portadoras encuadratura

Objetivo: Mantener la eficiencia espectral de banda base.

Dos secuencias de sımbolos (no necesariamente independientes), A0[n]y A1[n]

Dos senales en banda base obtenidas al modular dichas senales cong(t).

sI(t) =∑

n

A0[n] · g(t − nTs), sQ(t) =∑

n

A1[n] · g(t − nTs)

sI(t): componente en fase, sQ(t): componente en cuadratura

Senal PAM paso banda

x(t) =√

2 · sI(t) · cos(ωc t)−√

2 · sQ(t) · sen(ωc t)

=√

2 ·∑

n

A0[n] · g(t − nTs) · cos(ωc t)−√

2 ·∑

n

A1[n] · g(t − nTs) · sen(ωc t)

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Notacion compleja para PAM paso banda

Se define una secuencia compleja de sımbolos

A[n] = A0[n] + jA1[n]I A0[n] = Re{A[n]}, A1[n] = Im{A[n]}

Se define la senal compleja en banda base, s(t):

s(t) = sI(t) + jsQ(t) =∑

n

A[n] · g(t − nTs)

La senal PAM en paso banda se puede

x(t) =√

2 · Re{

s(t) · ejωc t}=√

2 · Re

{∑n

A[n] · g(t − nTs) · ejωc t

}

I La senal transmitida x(t) es real.I x(t) igual a la transparencia anterior pero con otra notacion.

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Modulador PAM paso banda

-B[`]

CODIFICADOR

-Re{A[n]}

g(t)

-Im{A[n]}

g(t)

-� ����@@?√

2 cos(ωc t)

sI(t)

-� ����@@6√

2 sen(ωc t)

sQ(t)

� �� -x(t)

6

?+

−

-B[`]

CODIFICADOR -A[n]

g(t) -� ����@@6√2ejωc t

s(t)-

x(t)

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Relacion con espacio de senales 2D

Senal en espacio de senales 2D

x(t) =∑

n

A0[n] · φ0(t − nTs) + A1[n] · φ1(t − nTs)

I φ0(t) y φ1(t) son senales ortogonales

Solo es valido si la frecuencia de la portadora es multiplo de la tasa desımbolo. Recordar que ωc >> Rs

ωc =2πNTs

= 2πNRs

En este caso

φ0(t) = g(t) · cos(ωc t), φ1(t) = −g(t) · sen(ωc t)

φ0(t − nTs) = g(t − nTs) · cos(ωc(t − nTs)) = g(t − nTs) · cos(ωc t)

φ1(t − nTs) = −g(t − nTs) · sen(ωc(t − nTs)) = −g(t − nTs) · sen(ωc t)

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Modulador en espacio 2D

-B[`]

CODIFICADOR

-Re{A[n]}

φ0(t)

-Im{A[n]}

φ1(t)

���� -x(t)

6

?+

−

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Constelaciones QAM

QAM es una extension a 2D de las modulaciones PAM.

r rr r

A1

A0

r r r rr r r rr r r rr r r rA1

A0

r r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rA1

A0

Constelaciones 4-QAM (QPSK), 16-QAM y 64-QAMPara tener constelaciones cuadradas, el numero de simbolostiene que ser de la forma M = 4k

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Codificacion Gray QAM

t t t t

t t t t

t t t t

t t t t

00 01 11 10

01

00

10

1100

00

00

00

01

01

01

01

11

11

11

11

10

10

10

1001 01 01 01

00 00 00 00

10 10 10 10

11 11 11 11

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Constelaciones QAM en cruz

r rr rr rr

r Im{A[n]}

Re{A[n]}

r r r rr r r rr r r rr r r rr r r rr r r r

rrrrrrrr

Im{A[n]}

Re{A[n]}

q q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q q

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

Im{A[n]}

Re{A[n]}

Constelaciones 8-QAM, 32-QAM y 128-QAM

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Otras constelaciones

ssss

ss ss

Im{A[n]}

Re{A[n]}

s s s s s ss s s s s ss s s s s s

s s s s s

s s s s s

s s

s sIm{A[n]}

Re{A[n]}

Constelaciones 1-7-AM-PM y 32-hexagonal

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Caso especial PSK: Modulacion por cambio defase

Sımbolos en PSKA[n] =

√Es · ejϕ[n]

I Modulo constanteI Informacion en la fase

Forma de onda de una PSK

x(t) =√

2EsRe

{∑n

g(t − nT ) · ej(ωc t+ϕ[n])

}=√

2Es∑

n

g(t − nT ) cos(ωc t + ϕ[n])

I Saltos de fase

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Constelaciones PSK

rrIm{A[n]}

Re{A[n]}

rrrr

Im{A[n]}

Re{A[n]}

r rrrrr

rr

Im{A[n]}

Re{A[n]}

Constelaciones 2-PSK (BPSK), 4-PSK (QPSK), 8-PSK

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Codificacion Gray PSK

u uuuuu

uu 000

001

010

011

100

101

110

111

A1

A0

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Modulacion QPSK

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1 . ........................................................................................................... .

................

................

................

................

................

................

...........

. ........................................................................................................... .

...........................................................................................................

. ........................................................................................................... .

................

................

................

................

................

................

...........

. ...................................................................................................................................................................................................................... .

...........................................................................................................

. ...........................................................................................................

t/T

s I(t)

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1 . ........................................................................................................... .

................

................

................

................

................

................

...........

. ...................................................................................................................................................................................................................... .

...........................................................................................................

. ...................................................................................................................................................................................................................... .

................

................

................

................

................

................

...........

. ...........................................................................................................t/T

s Q(t)

0 1 2 3 4 5 6-2

0

2 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................

................

................

................

................

................

.....

......................................................................................................................................................................................................................................................................

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.....................................................................................

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................

................

................

................

..

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..................................................................

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...............................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................

t/T

x(t)

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2.5.1. Espectro de una PAM paso banda

Para garantizar la cicloestacionariedad de la senal x(t):

E {A[n + k ] · A[n]} = 0, para todo n, k , k 6= 0 (simbolos blancos)

I Modulacion QAMF Los sımbolos A0[n] y A1[n] son mutuamente independientes.F Las funciones de autocorrelacion de A0[n] y de A1[n] son iguales

(una delta).I Modulacion PSK

F Las muestras de ϕ[n] son mutuamente independientes.

Densidad espectral de potencia

Sx(jω) =12[Ss(jω − jωc) + S∗s (−jω − jωc)]

Ss(jω) =1Ts· SA

(ejωTs

)· |G(jω)|2

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Espectro de una PAM paso banda (II)

Para secuencias blancas: SA(ejω)= Es

Ss(jω) =Es

Ts· |G(jω)|2

Es el pulso conformador el que da forma al espectro

Sx(jω) =12

[|G(jω − jωc)|2 + |G(jω + jωc)|2

]

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Potencia transmitida

La potencia media transmitida es

P =1

2π

∫ ∞−∞

Sx(jω)dω

Si la secuencia A[n] es blanca

SA

(ejω)= Es

I Potencia para una secuencia blanca

P =EsTs· 1

2π

∫ ∞−∞|G(jω)|2 dω =

Es

Ts· E{g(t)}

F Si el filtro esta normalizado

P =Es

Ts= EsRs

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2.5.2. Receptores PAM paso banda

-� ����@@6√

2e−jωc t

y(t)- f (t) ��

?t = nT

-q[n]

DECISOR -A[n]

-y(t)

-� ����@@6√

2 cos(ωc t)

-� ����@@6

−√

2 sen(ωc t)

- f (t)

- f (t)

��

��

?

-Re{q[n]}

-Im{q[n]}

DECISOR -A[n]

t = nT

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Demodulador alternativo equivalente

Senal a la entrada del muestreador

q(t) =(

y(t) · e−jωc t)∗(√

2 · f (t))

Expresion de la convolucion

q(t) =√

2∫ ∞−∞

f (τ) · y(t − τ) · ejωcτ · e−jωc t dτ

Reordenando terminos

q(t) = e−jωc t ·∫ ∞−∞

√2 · f (τ) · ejωcτ · y(t − τ) dτ

q(t) = e−jωc t ·(

y(t) ∗(√

2 · f (t) · ejωc t))

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Demodulador PAM paso banda equivalente

-y(t)

f (t)ejωc t -� ����@@6√

2e−jωc t

��

?t = nT

-q[n]

DECISOR -A[n]

-y(t)

- Re{

f (t)ejωc t}

- Im{

f (t)ejωc t}-� ����@@6√

2 sen(ωc t)

-� ����@@?-� ����@@6

-� ����@@?−√

2 sen(ωc t)

√2 cos(ωc t)

-� ��6

-� ��?

-Im{q(t)}

-Re{q(t)}

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2.5.3. Caracterısticas de ruido en el receptor

-n(t) √

2f (t)ejωc t -������@@6

e−jωc t

��

?t = nT

`(t) z(t)-

z[n]

Filtro receptor:

fc(t) =√

2 · f (t) · ejωc t , Fc(jω) =√

2 · F (jω − jωc)

Espectro S`(jω):

S`(jω) = 2 · Sn(jω) · |F (jω − jωc)|2

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Ruido discreto z[n] en el receptor

Si se cumple que:1 f (t) es real2 f (t) ∗ f ∗(−t) cumple el criterio de Nyquist. P(jω) = |F (jω)|2

1Ts

∞∑k=−∞

P(

jω − j2πkTs

)= 1

3 n(t) es AWGN

Entonces:I Rz [k ] = δ[k ], i.e, z[n1] es independiente de z[n2] si n1 6= n2.I Re{z[n]} es independiente de Im{z[n]}

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Varianza y distribucion de z[n]

La varianza del ruido complejo discreto es

σ2z =

12π

∫ π

−πSz

(ejω)

dω

Si el ruido n(t) es blanco, con Sn(jω) = N0/2 W/Hz, y si f (t) satisface elcriterio de Nyquist

σ2z = N0

Si el ruido es circularmente simetrico

I La parte real (I) e imaginaria (Q) son independientes y convarianza σ2

I = σ2Q = N0/2

I La funcion densidad de probabilidad de este ruido es

fZ (z) =1πN0

e−|z|2N0

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2.5.4. Canal discreto equivalente PB→ BB

Canal equivalente en banda base, heq(t)

heq(t) = e−jωc t · h(t)↔ Heq(jω) = H(jω + jωc)

Senal a la salida del filtro adaptado como en banda base:

q(t) =∑

n

A[n] · p(t − nTs) + z(t)

I p(t) = g(t) ∗ heq(t) ∗ f (t)

Canal discreto equivalente: p[n] = p(t)∣∣t=nTs

= p(nTs)

P(

ejω)=

1Ts

∑k

P(

jω

Ts− j

2πkTs

)=

1Ts

∑k

G(

jω

Ts− j

2πkTs

)· Heq

(jω

Ts− j

2πkTs

)· F(

jω

Ts− j

2πkTs

)

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Canal complejo equivalente en BB

-A[n]g(t)

T

- f (t)- h6√2ejωc t

s(t).

..................

................. -x(t)

h(t) - h6n(t)

- h6√

2e−jωc t

y(t).

..................

................. -r(t)

?

t = nT

q(t) -q[n].

..................................

SS(jω)

−ωc +ωc−W2 +W

2

SX (jω) (notacion compleja)

−ωc +ωc−W2 +W

2

|H(jω)|

−ωc +ωc

W

SR(jω) SS(jω)× |Heq(jω)|2

−ωc +ωc−W2 +W

2

|F (jω)|2

−ωc +ωc−W2 +W

2Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 29 / 36

Canal complejo equivalente en BB (II)

-A[n]

g(t)

T

- f (t)- i6√

2ejωc t

s(t).

......................

..................... -

x(t)h(t) - i

6n(t)

- i6

√2e−jωc t

y(t).

......................

..................... -

r(t)

?

t = nT

q(t)-

q[n].

.........................................

|H(jω)|

−ωc +ωc

W

-A[n]

g(t)

T

-s(t)

heq(t) - i6

neq(t)

-r(t)

f (t)?

t = nT

q(t)-

q[n].

.........................................

|Heq(jω)| = |H(jω + jωc)|

−ωc +ωcW

Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 30 / 36

Canal discreto equivalente PB→ BB

-A[n]

p[n] - j6

z[n]

-q[n]

El canal discreto equivalente es el mismo en BB que en PB.I Sımbolos A[n]I Canal discreto equivalente p[n]I Ruido discreto z[n]

Observacion: en BB todo es real y en PB es complejo.De nuevo, si no hay ISI (se cumple el criterio de Nyquist):

q[n] = A[n] + z[n]Y al ser independientes la parte Real y la Imaginaria:

qI [n] = AI [n] + zI [n] y qQ[n] = AQ[n] + zQ[n]

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Diagrama de Dispersion

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

q

q

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Re{q([n])}

Im{q

([n])}

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

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-1

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q qRe{q([n])}

Im{q

([n])}

p[n] = δ[n] p[n] = δ[n]− 0,25δ[n − 1]Cumple Nyquist: ¡No ISI! Cada sımbolo se mezcla con el anterior: ISI

Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 32 / 36

Revision - Producto con una sinusoide

Multiplicar por una sinusoide de frecuencia ωc genera, espectralmente, dos replicas delespectro de la senal, desplazadas ±ωc

x(t) = m(t)× cos(ωc t) TF↔ X(jω) =12

M(jω − jωc) +12

M(jω + jωc)

Densidad espectral de potencia: SX (jω) =14

SM(jω − jωc) +14

SM(jω + jωc)

....................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........

............

...................................................... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ............

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......................... ....... ....... ..........

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.. ............ ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... .........

...........................

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.................................... ............

........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............... ....... .........

........................

...

............................................................ ................................ ..........................................................

ω

AM

6 6

−ωc +ωc ω

............................................................ ................................ .......................................................... ..........................

.................................. ................................ ..........................................................

−ωc +ωc ω

AM2

- h6

c(t) = cos(ωc t)

m(t).

..................

................. -x(t)

Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 33 / 36

Analisis modulacion / demodulacion

Digrama de bloques de transmisor y receptor

-AI [n]

g(t)

-AQ [n]

g(t)

-� ����@@?√

2 cos(ωc t)

sI(t)

-� ����@@6

√2 sin(ωc t)

sQ(t) � ��-x(t)

6

?+

−-

y(t)-� ����@@?√

2 cos(ωc t)

-� ����@@6

−√

2 sin(ωc t)

- f (t)

- f (t)

��

��

?

-qI [n]

-qQ [n]

t = nT

Transmisor: modula dos senales en banda base con portadorasortogonalesReceptor: demodula cada componente y filtra con f (t)

I El filtro receptor f (t) tiene una caracterıstica banda base (paso bajo)I Configuracion tıpica: filtro en raız de coseno alzado

Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 34 / 36

Analisis modulacion / demodulacion (II)

La senal recibida sin distorsion (senal modulada) tiene la forma

y(t) = A cos(ωc t) + B sin(ωc t)

En el receptor, la senal se procesa dividiendola en dos componentes

yA(t) = [A cos(ωc t) + B sin(ωc t)]× cos(ωc t)

yB(t) = [A cos(ωc t) + B sin(ωc t)]× sin(ωc t)Identidades trigonometricas y eliminacion (filtrado) de terminos paso banda

................................................................................................... ..................................... .................................................................................................

ω0 +ωc +2ωc−ωc−2ωc

................................................................ ..................................... ..........................................................................................

.................................... ..................................... ..............................................................

X cos(ωc t) cos(ωc t) =X2︸︷︷︸

Deseado

+X2

cos(2ωc t)︸ ︷︷ ︸Paso banda en 2ωc

X sin(ωc t) sin(ωc t) =X2︸︷︷︸

Deseado

−X2

cos(2ωc t)︸ ︷︷ ︸Paso banda en 2ωc

X sin(ωc t) cos(ωc t) =X2

sin(2ωc t)︸ ︷︷ ︸Paso banda en 2ωc

Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 35 / 36

Distintas fases o frecuencias

Portadoras con misma frecuencia y desfase de 20o

Portadoras con misma frecuencia y desfase de 45o

Portadoras con frecuencias distintas: desfase “variable”

Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 36 / 36