Computeralgebra

Udo Hebisch

WS 2002

Dieses Skript enthalt nur den “roten Faden”der Vorlesung. Wesentliche Inhalte werden ausschließlich

in der Vorlesung vermittelt. Daher ist diesesSkript nicht zum Selbststudium gedacht, sondern

nur als “Erinnerungsstutze”.

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0 Zur Motivation

Viele mathematische Probleme lassen sich so formulieren, daß zu ihrer Beantwor-tung eine Gleichung der Form

f(x) = 0(1)

mit einer geeigneten Funktion f(x) zu losen ist. Dabei sind in der Regel systema-tische Verfahren gesucht, die fur eine ganze Klasse gleichartiger Funktionen dasAuffinden derartiger Nullstellen gestatten. So liefert etwa im Fall der quadrati-schen Gleichung

f(x) = x2 + px+ q = 0

die bekannte Formel

x1,2 = −p2±√p2

4− q

ein Verfahren, die gesuchten Nullstellen exakt (oder, mit geeigneten numerischenVerfahren zur Berechnung der Quadratwurzel, naherungsweise mit beliebiger Ge-nauigkeit) zu finden, bzw. die Formel gibt an, ob innerhalb des zulassigen Zah-lenbereiches (etwa Z,Q oder R) uberhaupt eine solche Nullstelle existiert.

Das Newtonsche Iterationsverfahren gestattet es, auch fur Funktionen, bei deneneine Nullstelle nicht exakt durch “Wurzelausdrucke” angebbar ist, vorgegebengenaue numerische Naherungen zu finden, falls f(x) gewisse analytische Eigen-schaften hat.

Wiederum bei anderen Funktionen, etwa bei

f(x) = cos(x),

gibt man sich damit zufrieden, die Nullstellen

xk =π

2+ k · π k ∈ Z

mit Hilfe “symbolischer” Zahlen, hier also π, auszudrucken.

Die Werte der Variablen x in der Funktion f(x) liegen bei vielen Problemen abernicht nur in geeigneten Zahlenbereichen (ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelleZahlen, komplexe Zahlen), sondern es darf sich dabei beispielsweise auch umVektoren (im Falle linearer Gleichungssysteme) oder Funktionen (im Falle vonDifferentialgleichungen) handeln.

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In der Algebra beschaftigt man sich nun hauptsachlich mit der Losung solcherGleichungen (1), bei denen die Funktion ein “Polynom (in eventuell mehreren Un-bestimmten)” ist. Man verallgemeinert dann aber insofern, als man gleichzeitigeNullstellen von endlich vielen Polynomen betrachtet, also anstelle einer einzelnenGleichung (1) ein Gleichungssystem der Form

f1(x) = 0, . . . , fm(x) = 0.(2)

Dabei ist naturlich zunachst einmal der Begriff des Polynoms prazis zu definieren,wobei auch die “Rechenregeln” fur solche Polynome anzugeben sind. (Darf manetwa Polynome durcheinander dividieren, und wenn ja, wie geschieht das?) Wei-terhin ist jeweils genau anzugeben, in welchen “Rechenbereichen” die Nullstellendieser Polynome zu suchen sind, bevor man beantworten kann, ob ein Polynomuberhaupt eine Nullstelle hat, und wenn ja, mit welchem Verfahren man sie “be-rechnen” kann.

In der Computeralgebra kommen dann noch die Fragen hinzu, wie man die Funk-tionen fi(x) und die Werte x im Computer darstellt, um die Verfahren zur Null-stellenberechnung auch effektiv zu machen.

In der Vorlesung werden daher zunachst allgemein Ringe (speziell Polynomringein mehreren Unbestimmten) betrachtet, zusammen mit Konstruktionsverfahrenzur Gewinnung weiterer Nullstellen von Polynomen (wie etwa beim Ubergangvon Z nach Q oder von R nach C) sowie mit Zerlegungsverfahren von “komplizier-teren” Polynomen in “einfache” (etwa die Division mit Rest oder die Primfak-torzerlegung fur Polynome). Danach wird dann auf die Frage eingegangen, wiePolynome in Computeralgebrasystemen dargestellt und behandelt werden, umihre Nullstellen effektiv berechnen zu konnen.

Zum Abschluß dieser Einfuhrung sollen noch einige bereits aus den Grundvorle-sungen bekannte Methoden angesprochen werden, bei denen es sich im wesent-lichen um die (simultane) Nullstellenbestimmung von Polynomen in mehrerenUnbestimmten gehandelt hat.

Betrachtet man zunachst ein einzelnes Polynom f(x) in einer Unbestimmten x,so kann man die “Schwierigkeit” des Problems der Nullstellenfindung nach demGrad des Polynoms einordnen.

Fur ein lineares Polynom f(x) = ax+ b mit a 6= 0 lernt man die Berechnung derLosung x = − b

abereits in der Mittelschule, wobei man gleichzeitig den Ubergang

von dem naturlichen Rechenbereich der “naturlichen” Zahlen zu dem Rechenbe-reich der rationalen Zahlen vollzieht.

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Fur ein quadratisches Polynom wurde die Losung oben bereits angegeben, wo-bei man zur Berechnung von beliebigen Quadratwurzeln den Ubergang von denrationalen zu den reellen (oder gar den komplexen) Zahlen vollziehen muß.

Fur Polynome dritten und vierten Grades kann man innerhalb der komplexenZahlen noch allgemeine Losungsformeln angeben, fur Polynome ab dem Gradfunf konnte man schließlich zeigen, daß keine allgemeine Formel existieren kann,obwohl andererseits durch den Fundamentalsatz der Algebra gesichert ist, daßfur ein beliebiges reelles Polynom n-ten Grades innerhalb der komplexen Zahlen(bei geeigneter Zahlung) stets n Nullstellen existieren. (In der klassischen Algebraubertragt man dieses Ergebnis auf Polynome uber viel allgemeinere Rechenberei-che, als es die reellen Zahlen darstellen.)

Betrachtet man ein einzelnes Polynom in n > 1 Unbestimmten, so kann manzunachst wiederum nach dem Grad des Polynoms klassifizieren.

Kommen alle Unbestimmte nur einzeln und in hochstens erster Potenz vor, sohandelt es sich um eine lineare Gleichung in n Unbestimmten und aus der Linea-ren Algebra ist bekannt, daß die Nullstellen eine Hyperebene bilden (fur n = 2eine Gerade in der Ebene, fur n = 3 eine Ebene im Raum).

Kommen alle Unbestimmte in hochstens zweiter Potenz vor, so handelt es sichum eine Quadrik, die ebenfalls in der Linearen Algebra untersucht wurden. (Bein = 2 handelt es sich um Kegelschnitte in der Ebene, bei n = 3 um Flachenzweiter Ordnung im Raum.)

Fur hohere Grade k und n = 2 oder n = 3 erhalt man viele interessante und (unterEinsatz analytischer Methoden) gut untersuchte Kurven und Flachen hohererOrdnung (von denen einige in den Ubungen behandelt werden sollen).

Der Fall mehrerer Polynome in einer Unbestimmten ist uninteressant, da jedeseinzelne Polynom nur endlich viele Nullstellen hat und man unter diesen nurdiejenigen identifizieren muß, die allen Polynomen gemeinsam sind.

Es bleibt der allgemeine Fall mehrerer Polynome in n > 1 Unbestimmten. Dabeiwird wiederum der Spezialfall, daß es sich ausschließlich um lineare Polynomehandelt, in der Linearen Algebra mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfah-rens umfassend gelost. Der Fall schließlich, daß auch nichtlineare Gleichungenvorkommen, wird in einem besonderen Teilgebiet der Algebra, der AlgebraischenGeometrie ausfuhrlich untersucht.

Literatur

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William W. Adams, Philippe Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases,AMS Graduate Studies in Mathematics Vol. 3, 1994.

Joachim von zur Gathen, Jurgen Gerhard, Modern Computer Algebra, Cam-bridge University Press, 1999.

Maurice Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer, 1992.

Attila Petho, Algebraische Algorithmen, Vieweg, 1999.

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1 Elementare Konstruktionen fur Ringe

Definition 1.1 Unter einer Halbgruppe (S, ·) versteht man eine nichtleere Men-ge S zusammen mit einer binaren Verknupfung (der Multiplikation) ·, die alsoje zwei Elementen a, b ∈ S genau ein Produkt a · b ∈ S zuordnet, so daß dasAssoziativgesetz gilt:

a · (b · c) = (a · b) · c fur alle a, b, c ∈ S.(3)

Besitzt die Halbgruppe ein Einselement e ∈ S gemaß

e · a = a · e = a fur alle a ∈ S,(4)

so spricht man von einem Monoid. Besitzt in einem Monoid jedes a ∈ S einInverses a−1 gemaß

a−1 · a = e = a · a−1,(5)

so nennt man das Monoid eine Gruppe. Gilt in (S, ·) das Kommutativgesetz

a · b = b · a fur alle a, b ∈ S,(6)

so nennt man die Halbgruppe (das Monoid, die Gruppe) kommutativ. Kommu-tative Gruppen heißen auch abelsche Gruppen.

Definition 1.2 Ein (assoziativer) Ring (R,+, ·) besteht aus einer nichtleerenMenge R, auf der zwei binare Verknupfungen (eine Addition + und eine Multi-plikation ·) erklart sind, so daß die folgende Axiome gelten:

(R,+) ist eine kommutative Gruppe mit dem Nullelement o.(7)

(R, ·) ist eine beliebige Halbgruppe.(8)

Die Multiplikation · ist distributiv gegenuber der Addition +,(9)

d. h. es gelten die Distributivgesetze

a · (b+ c) = a · b+ a · c(10)

(a+ b) · c = a · c+ b · c(11)

Ist auch (R, ·) kommutativ (bzw. ein Monoid (R, ·)), so heißt (R,+, ·) ein kom-mutativer Ring bzw. ein Ring mit Einselement.

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Bemerkung 1.3 Wie in der Definition schon angedeutet, werden manchmalauch nichtassoziative Ringe betrachtet, bei denen man auf die Forderung (8)verzichtet. Derartige Ringe werden auch Alternativringe genannt. Sie spielen imRahmen dieser Vorlesung aber keine Rolle.

Weiterhin wurde bei der Formulierung der Distributivgesetze davon Gebrauchgemacht, daß die Multiplikation “starker binden” soll, als die Addition. Wir wer-den im folgenden das Multiplikationssymbol oft auch fortlassen und a · b einfachals ab schreiben.

Beispiel 1.4 Die ganzen Zahlen (Z,+, ·) sind, ebenso wie jeder Restklassenring(Z/(n),+, ·) modulo n, ein kommutativer Ring mit Einselement, die geraden Zah-len (2Z,+, ·) sind, ebenso wie ganz allgemein (nZ,+, ·) fur n = 2, 3, . . ., ein Bei-spiel fur einen kommutativen Ring ohne Einselement.

Die Matrizenringe Mn,n(R) fur R = Z, R = Q oder R = R sind fur n ≥ 2 Beispielefur nichtkommutative Ringe mit Einselement.

Lemma 1.5 Fur alle Elemente x, y eines Ringes (R,+, ·) und ihre “Entgegen-gesetzten” −x,−y in der Gruppe (R,+) gelten:

o · x = o = x · o(12)

x · (−y) = (−x) · y = −(x · y)(13)

(−x) · (−y) = x · y.(14)

Besitzt (R,+, ·) ein Einselement e, so gilt noch

(−e) · x = −x.(15)

Definition 1.6 Ist (R,+, ·) ein Ring und S eine nichtleere Teilmenge von R, sodaß (S,⊕,�) mit den auf S eingeschrankten Verknupfungen ⊕ von + und � von· selbst ein Ring ist, so heißt (S,⊕,�) ein Unterring von (R,+, ·) bzw. (R,+, ·)ein Oberring von (S,⊕,�). Man schreibt dann auch einfach wieder + fur ⊕ und· fur �.

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Beispiel 1.7 Es sei R = M2,2(Z) der Matrizenring aller 2×2-Matrizen uber demRing Z der ganzen Zahlen. Dieser Ring hat bekanntlich die 2× 2-Einheitsmatrixals Einselement. Nun bilden

S1 = {(a 00 0

)| a ∈ Z} und S2 = {

(0 00 a

)| a ∈ Z}

Unterringe von R, welche die Matrizen(1 00 0

)bzw.

(0 00 1

)als Einselemente besitzen. Diese drei Ringe mit Einselement haben also verschie-dene Einselemente, obwohl S1 und S2 Unterringe von R ist. Im Unterschied dazubilden

S3 = {(a 00 a

)| a ∈ Z} und S4 = {

(a 00 a

)| a ∈ Z, a ist gerade}

ebenfalls Unterringe von R, wobei S3 dasselbe Einselement besitzt wie R, dagegenS4 gar keins.

Bemerkung 1.8 Der nachste Satz, der hier nicht bewiesen wird, zeigt, daß mansich bei der Untersuchung von Ringen “im Prinzip” auf Ringe mit Einselementbeschranken kann. Wie eben gesehen, kann es dann durchaus Unterringe solcherRinge geben, die kein Einselement besitzen. Spatestens bei der Betrachtung vonIdealen (vgl. Definition 1.19) lassen sich derartige Unterringe nicht vermeiden.

Satz 1.9 Zu jedem Ring (R,+, ·) existiert ein Oberring (R′,+, ·), der ein Eins-element besitzt. Ist (R,+, ·) kommutativ, so existiert auch ein kommutativer Ober-ring mit Einselement.

Definition 1.10 Elemente a 6= o 6= b eines Ringes (R,+, ·) heißen Nullteiler (ge-nauer: a heißt linker und b rechter Nullteiler), wenn a · b = o gilt. Einen kommu-tativen Ring mit Einselement e 6= o ohne Nullteiler nennt man Integritatsbereich.Ein (kommutativer) Ring (R,+, ·), fur den (R \ {o}, ·) eine Gruppe ist, heißt(Korper) Schiefkorper.

Lemma 1.11 Jeder Korper ist ein Integritatsbereich, jeder endliche Integritats-bereich ist ein Korper.

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Beispiel 1.12 Im Restklassenring Z/(n) sind genau die Elemente x 6= 0 Nulltei-ler, fur die ggT(x, n) 6= 1 gilt. Also ist Z/(n) genau dann ein Integritatsbereichund damit ein Korper, wenn n eine Primzahl ist. Es gibt aber weitere endlicheKorper, z. B. auf R = {0, 1, α, α + 1} mit folgenden Strukturtafeln:

+ 0 1 α α + 10 0 1 α α + 11 1 0 α + 1 αα α α + 1 0 1

α + 1 α + 1 α 1 0

· 0 1 α α + 10 0 0 0 01 0 1 α α + 1α 0 α α + 1 1

α + 1 0 α + 1 1 α

Bezuglich der Kommutativitat endlicher Korper gilt der folgende Satz.

Satz 1.13 (Wedderburn) Jeder endliche Schiefkorper ist ein Korper.

Ahnlich wie man den Ring der ganzen Zahlen Z zum Korper Q der rationalenZahlen erweitern kann, geht dies auch bei einer großeren Klasse von Ringen. Esgilt namlich der folgende Satz, der hier ebenfalls nicht bewiesen wird.

Satz 1.14 Ist (R,+, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement, dann gibt eseinen Obering Q = Q(R) von R mit Einselement, der Q(R) = {p · q−1 | p ∈R, q ∈ N} mit N = {q ∈ R | q 6= o ist kein Nullteiler von R} erfullt.

Bemerkung 1.15 Der Oberring Q(R) von R ist (bis auf Isomorphie) eindeutigbestimmt. Man nennt ihn auch den (vollen) Quotientenring von R. Offensicht-lich ist dieser genau dann ein Korper, der Quotientenkorper von R, wenn R einIntegritatsbereich ist.

Definition 1.16 Es sei (R,+, ·) ein Ring. Eine Aquivalenzrelation κ auf R heißteine Kongruenzrelation von (R,+, ·), wenn fur alle a, a′, b, b′ ∈ R gelten

a κ a′ und b κ b′ =⇒ a+ b κ a′ + b′ sowie(16)

a κ a′ und b κ b′ =⇒ ab κ a′b′.(17)

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Bemerkung 1.17 a) Fur jeden Ring (R,+, ·) sind die identische Relation unddie Allrelation Kongruenzen auf (R,+, ·), die sogenannten trivialen Kongruenzen.

b) Die Bedingung (17) ist gleichwertig zu

a κ a′ und c ∈ R =⇒ ac κ a′c und ca κ ca′.(18)

Satz 1.18 Es seien (R,+, ·) ein Ring, κ eine Kongruenzrelation auf (R,+, ·)und R/κ = {[a]κ | a ∈ R} die Menge aller Aquivalenzklassen (auch: Restklassen)[a]κ = {b ∈ R | a κ b}. Dann werden durch

[a]κ + [b]κ = [a+ b]κ und(19)

[a]κ · [b]κ = [ab]κ(20)

zwei Verknupfungen auf R/κ definiert, so daß (R/κ,+, ·) ein Ring ist, der Rest-klassenring oder Faktorring von R nach κ.

Definition 1.19 Eine nichtleere Teilmenge I eines Ringes (R,+, ·) heißt ein Idealvon R, wenn gelten

a, b ∈ I =⇒ a− b ∈ I, d. h. (I,+) ist Untergruppe von (R,+),(21)

a ∈ I, x ∈ R =⇒ ax, xa ∈ I.(22)

Lemma 1.20 Fur jedes Ideal I eines Ringes (R,+, ·) wird durch

x ≡ ymod I ⇐⇒ x− y ∈ I(23)

fur alle x, y ∈ R eine Kongruenzrelation ≡ mod I auf (R,+, ·) definiert. Umge-kehrt bestimmt jede Kongruenz κ von (R,+, ·) ein Ideal I = [o]κ. Hierbei gilt furalle x, y ∈ R

xκ y ⇐⇒ x ≡ ymod I.(24)

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Bemerkung 1.21 a) Die Ideale eines Ringes (R,+, ·) bilden ebenso wie seineKongruenzen einen vollstandigen Verband. Zu jeder Teilmenge A von R existiertdaher (A) =

⋂{I | I Ideal von R mit A ⊆ I}, das von A in R erzeugte Ideal.Gilt I = (A) fur ein Ideal eines Ringes, so heißt die Menge A auch eine Basisvon I. Speziell fur A = {a} schreibt man (a) fur dieses Ideal und nennt (a)ein Hauptideal von R. Ein Integritatsbereich (R,+, ·), in dem sich jedes IdealI als Hauptideal I = (a) mit einem geeigneten a ∈ I schreiben laßt, heißt einHauptidealring.

b) Jeder Ring (R,+, ·) besitzt die trivialen Ideale R und {o} = (o). Besitzt R einEinselement e, so ist auch R = (e) ein Hauptideal. Ein Ring heißt einfach, wenner nur diese trivialen Ideale besitzt. Insbesondere gilt dies fur jeden Schiefkorper,der damit auch ein Hauptidealring ist.

Lemma 1.22 Fur ein Element a eines kommutativen Ringes (R,+, ·) mit Eins-element gilt (a) = Ra = {ra | r ∈ R}.

Beispiel 1.23 Fur den Ring (Z,+, ·) sind die Unterringe I = nZ aus Beispiel 1.4fur n = 0, 1, 2, . . . Ideale von (Z,+, ·) und zwar die Hauptideale I = (n). Diegemaß (23) zugehorigen Kongruenzrelationen sind gerade die bekannten Kongru-enzen modulo n, und Satz 1.18 liefert die Restklassenringe Z/(n).

Definition 1.24 Es seien (R,+, ·) und (R′,+, ·) Ringe. Eine Abbildung ϕ : R→R′ mit

ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b) und(25)

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)(26)

fur alle a, b ∈ R heißt ein Homomorphismus von R in R′. Ein injektiver (sur-jektiver, bijektiver) Homomorphismus heißt Monomorphismus (Epimorphismus,Isomorphismus).

Lemma 1.25 Es seien (R,+, ·) und (R′,+, ·) Ringe und ϕ : R → R′ ein Ho-momorphismus. Dann ist das homomorphe Bild ϕ(R) = {ϕ(a) | a ∈ R} einUnterring von (R′,+, ·). Mit (R,+, ·) ist auch (ϕ(R),+, ·) kommutativ. Besitzt(R,+, ·) ein Einselement e, so ist ϕ(e) Einselement von (ϕ(R),+, ·) (aber nichtnotwendig auch von (R′,+, ·), wie man aus dem Beispiel 1.4 leicht sehen kann).Ist U Unterring von R, so ist ϕ(U) Unterring von ϕ(R) und damit auch von R′.

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Satz 1.26 (Homomorphiesatz) Ist ϕ : R → R′ ein surjektiver Ringhomo-morphismus, dann gibt es eine Kongruenzrelation κ auf (R,+, ·), so daß R′ zumFaktorring R/κ isomorph ist. Dabei gilt xκ y ⇐⇒ ϕ(x) = ϕ(y) ⇐⇒ ϕ(x − y) =o⇐⇒ x− y ∈ Kern(ϕ) = {a ∈ R | ϕ(a) = o} fur alle x, y ∈ R.

Bemerkung 1.27 a) Ist I Ideal eines Ringes R und κ die Kongruenzrelation ≡mod I, dann schreibt man auch R/I fur den Faktorring R/κ. Die Elemente vonR/I sind also die Kongruenzklassen von R modulo I und lassen sich in der Forma+ I fur a ∈ R schreiben. Dabei gilt a+ I = b+ I ⇐⇒ a− b ∈ I.

b) Ist ϕ : R → R′ ein Ringhomomorphismus, dann ist I = Kern(ϕ) = {a ∈ R |ϕ(a) = o} ein Ideal von (R,+, ·) und R/I ist isomorph zum homomorphen Bildϕ(R).

Definition 1.28 Ein Ideal I eines Ringes (R,+, ·) heißt maximal, wenn I 6= Rgilt und es kein Ideal J ⊃ I von (R,+, ·) mit J 6= R gibt.

Definition 1.29 Ein Ideal I 6= R eines kommutativen Ringes (R,+, ·) heißtPrimideal, wenn fur alle a, b ∈ R aus a · b ∈ I stets a ∈ I oder b ∈ I folgt.

Satz 1.30 Es sei (R,+, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement und I 6= Rein Ideal von R. Genau dann ist R/I ein Korper (Integritatsbereich), wenn I einmaximales Ideal (Primideal) ist.

Folgerung 1.31 a) Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann einKorper, wenn er nur die trivialen Ideale besitzt.

b) In einem kommutativen Ring mit Einselement ist jedes maximale Ideal auchein Primideal.

Aufgabe 1.32 Beweisen Sie, daß das Einselement in einem Monoid stets ein-deutig bestimmt ist und daß in einer Gruppe das Inverse a−1 zu jedem Elementa ebenfalls eindeutig bestimmt ist.

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Aufgabe 1.33 Beweisen Sie Lemma 1.5.

Aufgabe 1.34 Beweisen Sie die in Bemerkung 1.17 enthaltenen Behauptungen.

Aufgabe 1.35 Beweisen Sie Lemma 1.20.

Aufgabe 1.36 Beweisen Sie Lemma 1.22.

Aufgabe 1.37 Beweisen Sie Lemma 1.25.

Aufgabe 1.38 Es sei ϕ : R → R′ ein Epimorphismus. Zeigen Sie, daß fur jedesIdeal I von R das homomorphe Bild ϕ(I) ein Ideal von R′ ist. Umgekehrt ist dasvollstandige Original ϕ−1(I ′) ein Ideal von R fur jedes Ideal I ′ von R′.

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2 Polynomringe

Definition 2.1 Es sei (R,+, ·) ein Ring mit Einselement e. Ein Element x einesOberringes (R′,+, ·) von R heißt eine Unbestimmte uber R, wenn es folgendeEigenschaften hat:

a) Es gilt ax = xa fur alle a ∈ R und ex = x.

b) x ist transzendent uber R, d. h. fur alle aν ∈ R gilt

a0 + a1x+ . . .+ anxn = o =⇒ a0 = . . . = an = o.(27)

Jedes Element der Form

f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn =

n∑ν=0

aνxν (mit x0 = e)(28)

aus R′ heißt dann ein Polynom in x mit Koeffizienten aus R. Dabei nennt mann den formalen Grad und den hochsten Index ν mit aν 6= o den Grad von f(x),in Zeichen: grad(f(x)). Fur das Nullpolynom f(x) = o werde grad(f(x)) = −∞gesetzt. Mit R[x] werde die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus Rbezeichnet.

Beispiel 2.2 Fur R = Z oder R = Q ist x = π aus R′ = R (ebenso wie jedeandere transzendente Zahl) Unbestimmte uber R. Mit x ist stets auch jede Potenzxk fur k = 2, 3, . . . Unbestimmte uber R.

Bemerkung 2.3 a) Wir werden im folgenden oft davon Gebrauch machen, daßman zwei Polynome aus R[x] durch geeignete Addition von Summanden der Formoxν stets mit demselben formalen Grad schreiben kann.

b) Stets ist R in Form der konstanten Polynome f(x) = a0 ∈ R in R[x] enthalten.

c) Mit R ist auch R[x] abzahlbar, da man dann alle Polynome mit demselbenfesten Grad n abzahlen kann.

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Satz 2.4 Es sei (R,+, ·) ein Ring mit Einselement und R′ ein Oberring von R,der eine Unbestimmte x uber R enthalt. Dann bildet R[x] einen R umfassendenUnterring von R′, in dem folgende Rechenregeln gelten.

a) Koeffizientenvergleich:n∑ν=0

aνxν =

n∑ν=0

bνxν ⇐⇒ aν = bν fur ν = 0, . . . , n,

b) Polynomaddition:n∑ν=0

aνxν +

n∑ν=0

bνxν =

n∑ν=0

(aν + bν)xν,

c) Cauchy-Produkt: (n∑ν=0

aνxν) · (

m∑µ=0

bµxµ) =

m+n∑λ=0

(∑

ν+µ=λ

aνbµ)xλ.

Insbesondere ist das Einselement e von R auch Einselement von R[x] und mit Rist auch R[x] kommutativ.

Definition 2.5 Der Ring (R[x],+, ·) aus Satz 2.4 heißt ein Polynomring in einerUnbestimmten uber R.

Satz 2.6 Zu jedem Ring (R,+, ·) mit Einselement existiert ein Polynomring ineiner Unbestimmten uber R.

Lemma 2.7 Es seien R[x] und R[y] jeweils Polynomringe in einer Unbestimm-ten (x bzw. y) uber dem Ring R. Dann sind R[x] und R[y] isomorph. Man sprichtdaher von dem Polynomring in einer Unbestimmten uber R.

Bemerkung 2.8 Man sagt auch, der Polynomring R[x] entstehe durch Adjunk-tion der Unbestimmten x zum Ring R. Da mit R auch R[x] ein Ring mit Einsele-ment ist, existiert auch uber R[x] der Polynomring (R[x])[y] in einer (von x un-abhangigen) Unbestimmten y, welcher ebenfalls wieder ein Ring mit Einselementist. Daher kann man auf diese Weise fortfahren und gelangt zu dem folgendenSatz uber Polynomringe in endlich vielen voneinander unabhangigen Unbestimm-ten x1, . . . , xn. Dabei heißen diese Unbestimmte voneinander unabhangig, wenndie beiden folgenden Bedingungen erfullt sind.

a) exi = xi und axi = xia fur alle a ∈ R sowie xixj = xjxi fur alle i, j = 1, . . . , n.

b) Aus∑

ν1,...,νn

aν1...νnxν11 . . . xνnn = o folgt aν1...νn = o fur alle Indices ν1, . . . , νn.

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Satz 2.9 Es sei R ein Ring mit Einselement. Dann gibt es zu jedem n ∈ N

den Polynomring R[x1, . . . , xn] in n voneinander unabhangigen Unbestimmtenx1, . . . , xn uber R, dessen Elemente alle Polynome

f(x1, . . . , xn) =∑

ν1,...,νn

aν1...νnxν11 . . . xνnn(29)

mit Koeffizienten aus R sind.

Definition 2.10 Es sei f(x1, . . . , xn) ∈ R[x1, . . . , xn] wie in (29). Dann heißt eineinzelner (nicht verschwindender) Summand

aν1...νnxν11 . . . xνnn 6= o(30)

ein Monom und ν1+. . .+νn dessen Grad. Unter dem (totalen) Grad von f(x1, . . . , xn) 6=o versteht man dann das Maximum der Grade seiner Monome und schreibt hierfurgrad(f(x1, . . . , xn)). Besitzen alle Monome eines Polynoms denselben Grad m, soheißt das Polynom homogen oder eine n-are Form m-ten Grades.

Unter dem Grad von f(x1, . . . , xn) relativ zu xj gradj(f(x1, . . . , xn)) versteht mandas Maximum von {νj | aν1...νn 6= o}.

Folgerung 2.11 In beliebigen Polynomringen gelten die Aussagen:

a) Der Grad der Summe f + g von Polynomen f und g ist hochstens so groß wiedas Maximum der Grade der Summanden.

b) Der Grad des Produktes f · g von Polynomen f und g ist hochstens so großwie die Summe der Grade der Faktoren.

Fur nullteilerfreie Ringe gilt in b) sogar stets die Gleichheit und ebenso gradj(f ·g) = gradj(f) + gradj(g) fur alle xj.

Satz 2.12 Der Polynomring R[x1, . . . , xn] ist genau dann kommutativ bzw. null-teilerfrei, wenn dies fur den Ring R gilt. Insbesondere ist also jeder PolynomringK[x1, . . . , xn] uber einem Korper K ein Integritatsbereich.

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Beispiel 2.13 Da der Polynomring K[x1, . . . , xn] fur jeden Korper K ein Inte-gritatsbereich ist, existiert der Quotientenkorper

Q(K[x1, . . . , xn]) = K(x1, . . . , xn).

Dieser rationale Funktionenkorper in den Unbestimmten x1, . . . , xn uber K be-steht aus den rationalen Funktionen

f(x1, . . . , xn)

g(x1, . . . , xn)

mit f(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn], g(x1, . . . , xn) 6= o.

Definition 2.14 Es sei f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn ∈ R[x], an 6= o Polynom

in einer Unbestimmten uber dem Ring R. Dann heißt an der Leitkoeffizient vonf(x). Im Fall an = e nennt man f(x) ein normiertes Polynom.

Satz 2.15 (Einsetzungsprinzip) Es sei R ein Ring mit Einselement e und R′

ein Oberring von R. Dann vermittelt jedes Polynom

f(x1, . . . , xn) =∑ν1...νn

aν1...νnxν11 . . . xνnn

aus R[x1, . . . , xn] durch Einsetzen von Elementen α1, . . . , αn aus R′ anstelle vonx1, . . . , xn eine eindeutige Abbildung ϕf : R′n → R′ gemaß

ϕf (α1, . . . , αn) =∑ν1...νn

aν1...νnαν11 . . . ανnn = f(α1, . . . , αn).

Falls dabei die Elemente αν untereinander und mit allen Elementen aus R ver-tauschbar sind sowie eαν = αν erfullen, so gelten die folgenden Aussagen.

a) Aus f(x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn) folgt f(α1, . . . , αn) = g(α1, . . . , αn).

b) Aus f(x1, . . . , xn) + g(x1, . . . , xn) = h(x1, . . . , xn) folgtf(α1, . . . , αn) + g(α1, . . . , αn) = h(α1, . . . , αn).

c) Aus f(x1, . . . , xn) · g(x1, . . . , xn) = h(x1, . . . , xn) folgtf(α1, . . . , αn) · g(α1, . . . , αn) = h(α1, . . . , αn).

Ist insbesondere R′ ein Integritatsbereich, so gelten diese Aussagen fur samtlicheElemente αν ∈ R′.

17

Definition 2.16 Es sei R Ring mit Einselement und f(x) = f(x1, . . . , xn) ausR[x1, . . . , xn]. Ein Element α = (α1, . . . , αn) ∈ R′n fur einen Oberring R′ von Rheißt Nullstelle von f(x), wenn f(α) = f(α1, . . . , αn) = o gilt.

Definition 2.17 Es sei R = K[x1, . . . , xn] der Polynomring in n Unbestimm-ten uber einem Korper K und I = (A) das von der endlichen Teilmenge A ={f1, . . . , fm} von R erzeugte Ideal. Dann heißt

V (I) = {α ∈ Kn | f(α) = 0 fur alle f ∈ I}

die Varietat von I.

Bemerkung 2.18 Wichtige Fragen fur I und V (I) aus Definition 2.17 sind:

a) Wie entscheidet man f ∈ I fur ein beliebiges f ∈ R?

b) Gilt bereits I = R?

c) Gilt V (I) 6= ∅?

d) Wie “groß” ist V (I)?

Die allgemeine Untersuchung der Struktur derartiger Varietaten geschieht in derAlgebraischen Geometrie, in der Computeralgebra ist man mehr an der “Praxis”der Beantwortung dieser Fragen interessiert. Dazu benotigt man Kenntnisse ubergeeignete spezielle Basen eines Ideals I aus R, die wir uns verschaffen werden,nachdem wir einiges uber Teilbarkeit in Integritatsbereichen gelernt haben.

Aufgabe 2.19 Beweisen Sie Lemma 2.7.

Aufgabe 2.20 Ist f(x) ∈ R[x] ein normiertes Polynom und g(x) 6= o aus R[x]beliebig, so gilt grad(f · g) = grad(f) + grad(g).

Aufgabe 2.21 Beweisen Sie Satz 2.15.

18

3 Teilbarkeitslehre

In diesem Abschnitt bezeichne R stets einen kommutativen Ring mit Einselemente 6= o.

Definition 3.1 Gilt b = ca fur Elemente a, b, c ∈ R, so sagt man a teilt b oder aist ein Teiler von b, in Zeichen: a | b. Gilt a | b und b | a, so heißen a und b assoziertzueinander, in Zeichen: a ∼ b. Unter einer Einheit ε von R versteht man ein indem Monoid (R, ·, e) invertierbares Element. Man bezeichnet die Menge allerEinheiten von R auch mit R∗. Ein Teiler a von b heißt echter Teiler von b, wenna weder Einheit von R noch zu b assoziiert ist.

Lemma 3.2 a) Fur Elemente a, b, c, d ∈ R gelten:

a | b ⇐⇒ (b) ⊆ (a),(31)

a | a,(32)

a | b und b | c =⇒ a | c,(33)

e | a und a | o,(34)

a | b und c | d =⇒ ac | bd,(35)

a | b und a | c =⇒ a | b+ c,(36)

ε | e ⇐⇒ ε ist Einheit,(37)

a ∼ b⇐⇒ (a) = (b).(38)

Die Assoziiertheit ∼ ist also eine Aquivalenzrelation auf R.

b) Ist R sogar ein Integritatsbereich, so gilt außerdem fur alle c 6= o

ac | bc =⇒ a | b,(39)

und a ∼ b gilt genau dann, wenn es ein ε ∈ R∗ mit b = εa gibt.

Beispiel 3.3 a) Fur jeden Korper K ist K∗ = K \ {o}.

b) Ist R ein Integritatsbereich, so gilt (R[x])∗ = R∗.

19

Definition 3.4 Es sei A eine nichtleere Teilmenge von R. Ein Element d ∈ Rheißt ein großter gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, wenn folgende zweiBedingungen erfullt sind:

(i) d ist gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, d. h. d | a fur alle a ∈ A,

(ii) fur jeden gemeinsamen Teiler t von A gilt t | d.

Man schreibt dafur auch d = ggT(A) und nennt A teilerfremd, wenn e = ggT (A)gilt. Analog wird das kleinste gemeinsame Vielfache k = kgV (A) von A definiert.

Lemma 3.5 Es sei d ∈ R ein großter gemeinsamer Teiler von A. Genau dannist auch d′ ∈ R ein großter gemeinsamer Teiler von A, wenn d ∼ d′ gilt. Ent-sprechendes gilt fur kleinste gemeinsame Vielfache von A.

Lemma 3.6 Fur endlich viele Ideale I1, . . . , In von R ist auch I1 + · · · + In ={a1+· · ·+an | aν ∈ Iν} ein Ideal von R und zwar das kleinste Ideal von R, welchesjedes Iν enthalt, also gerade das von der Vereinigung

⋃Iν erzeugte Ideal.

Bemerkung 3.7 Im Falle von Hauptidealen Iν = (aν) schreibt man kurz (a1, . . . , an) =(a1) + · · ·+ (an).

Lemma 3.8 Ist R ein Hauptidealring, so existiert zu beliebigen Elementen a1, . . . , anvon R stets ein großter gemeinsamer Teiler. Ist d ein solcher großter gemeinsa-mer Teiler, so gibt es x1, . . . , xn ∈ R mit

d = x1a1 + · · ·+ xnan.(40)

Definition 3.9 Ein Integritatsbereich R heißt euklidischer Ring, wenn es eineGrad-Funktion d : R \ {o} → No gibt, so daß fur a und b 6= o aus R stetsElemente q, r ∈ R existieren mit

a = qb+ r und r = o oder d(r) < d(b).(41)

Man nennt (41) auch Division mit Rest (“a/b = q Rest r”).

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Beispiel 3.10 a) Jeder Korper K ist ein euklidischer Ring mit der Gradfunktiond(k) = 1 fur alle k 6= o aus K.

b) Der Ring der ganzen Zahlen (Z,+, ·) ist ein euklidischer Ring mit der Grad-funktion d(a) = |a| fur alle a 6= 0 aus Z.

c) Ist K ein Korper, so ist der Polynomring R = K[x] ein euklidischer Ring mitder Gradfunktion d(f) = grad(f) fur jedes Polynom f 6= o aus R.

Satz 3.11 Es sei R ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d. Fur a, b 6= oaus R liefert der folgende euklidische Algorithmus einen großten gemeinsamenTeiler an von a und b und Elemente x, y ∈ R mit xa+ yb = an. Setze a0 = a unda1 = b und bilde mittels (41) die Kette

a0 = q1a1 + a2 mit (a2 = o oder) d(a2) < d(a1)

a1 = q2a2 + a3 mit (a3 = o oder) d(a3) < d(a2)...

an−2 = qn−1an−1 + an mit (an = o oder) d(an) < d(an−1)

an−1 = qnan.

Satz 3.12 Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, also speziell der Ringder ganzen Zahlen Z und jeder Polynomring K[x] uber einem Korper K.

Definition 3.13 Ein Element p 6= o von R, das keine Einheit von R ist, heißtirreduzibel oder unzerlegbar, wenn

p = ab =⇒ a ∈ R∗ oder b ∈ R∗(42)

gilt. Dagegen nennt man p prim oder ein Primelement von R, wenn gilt

p | ab =⇒ p | a oder p | b.(43)

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Bemerkung 3.14 In einem Integritatsbereich R ist p 6= o also genau dann ir-reduzibel, wenn p keine Einheit ist und keine echten Teiler besitzt. Insbesonde-re ist also jedes prime Element auch irreduzibel. Die Umkehrung hiervon giltnicht, denn in dem Integritatsbereich R = Z + Z

√−5 ⊆ C gilt 2 · 3 = 6 =

(1 +√−5) · (1−

√−5), aber das auch in R irreduzible Element 2 ist weder Teiler

von 1 +√−5 noch von 1−

√−5.

Folgerung 3.15 Genau dann ist p 6= o aus R prim, wenn das Hauptideal (p) einPrimideal ist.

Folgerung 3.16 Ist p irreduzibles Element eines Hauptidealringes R, so ist R/(p)ein Korper. Insbesondere ist p also prim.

Folgerung 3.17 Der Polynomring R[x] ist genau dann ein Hauptidealring, wennR ein Korper ist.

Definition 3.18 Ein Element a ∈ R besitzt eine Zerlegung in irreduzible Fakto-ren, wenn a eine Darstellung der Form

a = εp1 · · · pn mit ε ∈ R∗ und irreduziblen pν(44)

besitzt. Man sagt a besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenna eine Zerlegung gemaß (44) besitzt und fur jede andere derartige Zerlegung

a = ε′p′1 · · · p′m(45)

bereits n = m und nach geeigneter Umnumerierung pν ∼ p′ν fur ν = 1, . . . , n gilt.Ein Integritatsbereich, in dem jedes a 6= o eine eindeutige Zerlegung in irreduzibleFaktoren besitzt, heißt faktoriell oder ZPE-Ring oder Gaußscher Ring.

Lemma 3.19 Es sei R ein Integritatsbereich, in dem jedes a 6= o eine Zerlegungin irreduzible Faktoren besitzt. Dann sind aquivalent:

a) R ist faktoriell.

b) Jedes irreduzible Element von R ist prim.

22

Definition 3.20 Der Ring R erfullt die Teilerkettenbedingung oder aufsteigendeKettenbedingung fur Hauptideale, wenn jede Kette (a1) ⊆ (a2) ⊆ . . . ⊆ (an) ⊆(an+1) ⊆ . . . von Hauptidealen stationar ist, d. h. es gibt ein n ∈ N mit (aj) = (an)fur alle j ≥ n.

Satz 3.21 Ein Integritatsbereich R ist genau dann faktoriell, wenn er die Tei-lerkettenbedingung erfullt und jedes irreduzible Element von R prim ist.

Folgerung 3.22 Jeder Hauptidealring ist faktoriell.

Aufgabe 3.23 Beweisen Sie Lemma 3.5.

Aufgabe 3.24 Beweisen Sie Lemma 3.6.

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4 Der Hilbertsche Basissatz

Satz 4.1 Fur einen kommutativen Ring (R,+, ·) sind die folgenden Bedingungenaquivalent.

(i) Zu jedem Ideal I von R gibt es endlich viele Elemente a1, . . . , an in R, die Ierzeugen, also mit I = (a1, . . . , an).

(ii) Fur jede aufsteigende Kette von Idealen I1 ⊆ I2 . . . ⊆ Ik ⊆ . . . aus R gibt eseinen Index n, so daß In = In+1 = . . . gilt, d. h. die Kette wird stationar.

Definition 4.2 Die Bedingung (ii) nennt man aufsteigende Kettenbedingung furIdeale und ein kommutativer Ring, in dem die aufsteigende Kettenbedingung furIdeale erfullt ist, heißt ein Noetherscher Ring.

Ein Ideal I wie in (i) heißt endlich erzeugt.

Bemerkung 4.3 Der Satz 4.1 besagt also gerade, daß ein kommutativer Ringgenau dann noethersch ist, wenn jedes seiner Ideale endlich erzeugt wird.

Satz 4.4 Ist R ein noetherscher Ring mit Einselement, so auch der PolynomringR[x].

Da in jedem Korper K die beiden einzigen Ideale I = (o) und I = K von einemElement, namlich a1 = o bzw. a1 = e erzeugt werden, ist K stets noethersch.Dann folgt aber sofort durch mehrfache Anwendung von Satz 4.4 der folgendeSatz.

Satz 4.5 (Hilbertscher Basissatz) Ist K ein Korper und I ein Ideal des Po-lynomringes K[x1, . . . , xn], so ist I endlich erzeugt.

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5 Termordnungen und Reduktionen

In diesem Abschnitt sei K[x1, . . . , xn] ein Polynomring in den n voneinanderunabhangigen Unbestimmten x1, . . . , xn uber einem Korper K. Die Menge derUnbestimmten sei gemaß x1 > x2 > . . . > xn total geordnet.

Definition 5.1 Die Teilmenge T = {xα11 . . . xαnn | αi ∈ N0 fur i = 1, . . . , n} von

K[x1, . . . , xn] heißt die Menge der Terme von K[x1, . . . , xn]. Der Term xα11 . . . xαnn

wird im folgenden kurz als Xα mit α = (α1, . . . , αn) notiert.

Eine totale Ordnung < auf T heißt Termordnung, wenn die beiden folgendenBedingungen erfullt sind.

(i) e < Xα fur alle Xα 6= e aus T.

(ii) Xα < Xβ impliziert XαXγ < XβXγ fur alle Xγ aus T.

Beispiel 5.2 a) Die lexikographische Ordnung wird definiert durch

Xα < Xβ ⇐⇒ α1 = β1, . . . , αi−1 = βi−1, αi < βi fur ein i ∈ {1, . . . , n}.

Offensichtlich sind (i) und (ii) erfullt. Im Falle von zwei Unbestimmten hat man

e < x2 < x22 < . . . < x1 < x2x1 < x2

2x1 < . . . < x21 < . . .

b) Die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung wird definiert durch

Xα < Xβ ⇐⇒

∑ni=1 αi <

∑ni=1 βi oder∑n

i=1 αi =∑ni=1 βi und Xα < Xβ

bezuglich der lexikographischen Ordnung.

Die Bedingung (i) ist offensichtlich erfullt, (ii) pruft man leicht nach. Im Fallevon zwei Unbestimmten hat man also

e < x2 < x1 < x22 < x2x1 < x2

1 < x32 < . . .

c) Die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung wird definiert durch

Xα < Xβ ⇐⇒

∑ni=1 αi <

∑ni=1 βi oder∑n

i=1 αi =∑ni=1 βi und

αn = βn, . . . , αi+1 = βi+1, αi > βi fur ein i ∈ {1, . . . , n}.

Die Bedingung (i) ist offensichtlich erfullt, (ii) pruft man leicht nach. Im Fallevon zwei Unbestimmten stimmen die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnungund die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung uberein.

25

Folgerung 5.3 Ist < eine Termordnung auf T und gilt Xα |Xβ fur zwei Elemen-te aus T, so folgt Xα ≤ Xβ.

Satz 5.4 Jede Termordnung < ist eine Wohlordnung auf T, d. h. jede nichtleereTeilmenge von T besitzt ein bezuglich < kleinstes Element.

Definition 5.5 Es sei < eine Termordnung auf T. Ein vom Nullpolynom ver-schiedenes Polynom f = f(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] werde als Summe seinerMonome geschrieben gemaß

f(x1, . . . , xn) = a1Xα1 + a2X

α2

+ . . .+ arXαr

mit Koeffizienten ai 6= o und Termen Xαi , die

Xα1 > Xα2 > . . . > Xαr

erfullen. Dann heißt

Lt(f) = Xα1 der Leitterm von f ,

Lk(f) = a1 der Leitkoeffizient von f ,

Lm(f) = a1Xα1 das Leitmonom von f .

Fur das Nullpolynom werde Lt(o) = Lk(o) = Lm(o) = o gesetzt.

Definition 5.6 a) Es seien f, g, h ∈ K[x1, . . . , xn] und f 6= o. Dann laßt sich fmodulo g zu h reduzieren, in Zeichen: f g

−→h, wenn Lt(g) ein von o verschiedenes

Monom aαXα von f teilt und h = f − aαX

α

Lm(g)g gilt.

b) Es seien f, h und f1 6= o, . . . , fk 6= o Polynome aus K[x1, . . . , xn] sowie F ={f1, . . . , fk}. Dann laßt sich f modulo F zu h reduzieren, in Zeichen: f F

−→+h,

wenn eine Folge von Indizes i1, . . . , is aus {1, . . . , k} existiert sowie eine Folgevon Polynomen h1, . . . , hs−1 mit

ffi1−→

h1fi2−→

h2fi3−→

. . .fis−1

−→hs−1

fis−→

h.

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Definition 5.7 a) Ein Polynom r heißt reduziert bezuglich einer Menge nicht-verschwindender Polynome F = {f1, . . . , fk}, wenn r = o gilt oder wenn sich rnicht mehr modulo F reduzieren laßt.

b) Gilt f F−→+

r und ist r modulo F reduziert, dann heißt r ein Rest von f bezuglichF .

Satz 5.8 Es seien f, f1 6= o, . . . , fk 6= o aus K[x1, . . . , xn]. Dann berechnet derfolgende Algorithmus q1, . . . , qk, r aus K[x1, . . . , xn], so daß r bezuglich {f1, . . . , fk}reduziert ist, f = q1f1 + . . .+ qkfk + r gilt sowie

max{Lt(q1)Lt(f1), . . . , Lt(qk)Lt(fk), Lt(r)} = Lt(f).

1. Setze q1 = o, . . . , qk = o, r = o und h = f .

2. Solange h 6= o gilt, wiederhole:

Wenn ein i mit Lt(fi) |Lt(h) existiert, dann

wahle das kleinste i mit dieser Eigenschaft und setze

qi = qi +Lm(h)

Lm(fi), h = h− Lm(h)

Lm(fi)fi

sonst setze r = r + Lm(h), h = h− Lm(h).

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6 Grobner-Basen

In diesem Abschnitt sei K[x1, . . . , xn] ein Polynomring in den n voneinanderunabhangigen Unbestimmten x1, . . . , xn uber einem Korper K und < sei eineTermordnung auf T. Fur eine Teilmenge F von K[x1, . . . , xn] sei

Lm(F ) = ({Lm(f) | f ∈ F}).

Definition 6.1 a) Eine Menge G = {g1, . . . , gk} nicht-verschwindender Polyno-me, die in einem Ideal I von K[x1, . . . , xn] enthalten ist, heißt eine Grobner-Basis von I, wenn fur alle f 6= o aus I ein Index i ∈ {1, . . . , k} existiert, so daßLt(gi) |Lt(f) gilt.

b) G heißt Grobner-Basis, wenn G eine Grobner-Basis des Ideals (G) ist.

Satz 6.2 Es sei I 6= (o) Ideal von K[x1, . . . , xn] und G = {g1, . . . , gk} ⊆ I eineTeilmenge nicht-verschwindender Polynome. Dann sind gleichwertig:

(i) G ist eine Grobner-Basis von I.

(ii) f ∈ I ⇐⇒ f G−→+

o.

(iii) f ∈ I ⇐⇒ f =∑ki=1 qigi mit Lm(f) = max{Lm(qi)Lm(gi)}.

(iv) Lm(G) = Lm(I).

Folgerung 6.3 Ist G eine Grobner-Basis von I, dann gilt I = (G).

Satz 6.4 Das Ideal I werde von einer Menge G nicht-verschwindender Monomeerzeugt. Ein Polynom f ∈ K[x1, . . . , xn] liegt genau dann in I, wenn zu jedemMonom aαX

α von f ein Monom aβXβ ∈ G existiert mit Xβ |Xα. Weiterhin

existiert eine endliche Teilmenge G0 von G mit I = (G0).

Folgerung 6.5 Jedes Ideal I 6= (o) besitzt eine Grobner-Basis.

Satz 6.6 Es sei G eine endliche Menge nicht-verschwindender Polynome ausK[x1, . . . , xn]. Genau dann ist G eine Grobner-Basis, wenn fur alle f aus K[x1, . . . , xn]der Rest der Division von f durch G eindeutig ist.

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7 Der Buchberger-Algorithmus

In diesem Abschnitt sei K[x1, . . . , xn] ein Polynomring in den n voneinanderunabhangigen Unbestimmten x1, . . . , xn uber einem Korper K und < sei eineTermordnung auf T.

Definition 7.1 Es seien f 6= o und g 6= o Polynome aus K[x1, . . . , xn] undXα = kgV (Lt(f), Lt(g)). Dann heißt

S(f, g) =Xα

Lm(f)f − Xα

Lm(g)g

das S-Polynom von f und g.

Lemma 7.2 Es seien f1, . . . , fk ∈ K[x1, . . . , xn] mit Lt(fi) = Xα 6= o fur i =1, . . . , k und f =

∑cifi mit ci ∈ K. Gilt dann Lt(f) < Xα, so ist f eine

Linearkombination von S(fi, fj) fur 1 ≤ i < j ≤ k mit Koeffizienten aus K.

Satz 7.3 (Buchberger) Eine Menge G = {g1, . . . , gk} nicht-verschwindenderPolynome aus K[x1, . . . , xn] ist genau dann eine Grobner-Basis von I = 〈G〉,wenn fur alle i 6= j gilt

S(gi, gj)G

−→+o.

Folgerung 7.4 Es sei G = {g1, . . . , gk} nit gi 6= o fur i = 1, . . . , k. Genau dannist G eine Grobner-Basis, wenn fur alle i 6= j gilt

S(gi, gj) =k∑ν=1

hijνgν mit Lt(S(gi, gj)) = max{Lt(hijν)Lt(gν)}.

Satz 7.5 Zu einer gegebenen Menge F = {f1, . . . , fl} nicht-verschwindender Po-lynome aus K[x1, . . . , xn] berechnet der folgende Algorithmus eine Grobner-BasisG = {g1, . . . , gk} von I = 〈F 〉.

1. Setze G = F und G′ = {{fi, fj} | fi 6= fj ∈ G}

2. Solange G′ 6= ∅ ist, wiederhole:

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Wahle {f, g} ∈ G′, setze G′ = G′ \ {f, g} und berechne

S(f, g) G−→+

h, wobei h bezuglich G reduziert ist.

Wenn h 6= o ist, setze

G′ = G′ ∪ {{u, h} | u ∈ G}, G = G ∪ {h}.

Lemma 7.6 Ist {g1, . . . , gk} Grobner-Basis des Ideals I mit Lt(g2) |Lt(g1), soist auch {g2, . . . , gk} eine Grobner-Basis von I.

Definition 7.7 Eine Grobner-Basis {g1, . . . , gk} heißt minimal, wenn fur allei = 1, . . . , k gilt: Lk(gi) = e und Lt(gi) ist kein Teiler von Lt(gj) fur j 6= i.

Satz 7.8 Sind G = {g1, . . . , gk} und F = {f1, . . . , fl} minimale Grobner-Basendesselben Ideals I, so gilt k = l und (bei geeigneter Numerierung) Lm(fi) =Lm(gi) fur i = 1, . . . , k.

Definition 7.9 Eine Grobner-Bais G = {g1, . . . , gk} heißt reduziert, wenn furi = 1, . . . , k gilt: Lk(gi) = e und gi ist reduziert bezuglich G \ {gi}.

Lemma 7.10 Es sei G = {g1, . . . , gk} eine minimale Grobner-Basis fur ein IdealI. Dann liefern die folgenden Reduktionsschritte eine reduzierte Grobner-BasisH = {h1, . . . , hk} von I. Es sei

g1H1

−→h1, wobei h1 reduziert bezuglich H1 = {g2, g3 . . . , gk} ist,

g2H2

−→h2, wobei h2 reduziert bezuglich H2 = {h1, g3, . . . , gk} ist,

...

gkHk−→hk, wobei hk reduziert bezuglich Hk = {h1, . . . , hk−1} ist.

Satz 7.11 (Buchberger) Jedes Ideal I 6= (o) besitzt bezuglich jeder Termord-nung eine eindeutig bestimmte reduzierte Grobner-Basis

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