computational commutative algebra in discrete statistics · computational commutative algebra in...

16
Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno, E., & Wynn, H. P. (2000). Computational commutative algebra in discrete statistics. (Report Eurandom; Vol. 2000041). Eindhoven: Eurandom. Document status and date: Published: 01/01/2000 Document Version: Publisher’s PDF, also known as Version of Record (includes final page, issue and volume numbers) Please check the document version of this publication: • A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. • The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. • The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal. If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement: www.tue.nl/taverne Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us at: [email protected] providing details and we will investigate your claim. Download date: 23. May. 2020

Upload: others

Post on 22-May-2020

13 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

Computational commutative algebra in discrete statistics

Citation for published version (APA):Pistone, G., Riccomagno, E., & Wynn, H. P. (2000). Computational commutative algebra in discrete statistics.(Report Eurandom; Vol. 2000041). Eindhoven: Eurandom.

Document status and date:Published: 01/01/2000

Document Version:Publisher’s PDF, also known as Version of Record (includes final page, issue and volume numbers)

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:[email protected] details and we will investigate your claim.

Download date: 23. May. 2020

Page 2: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

���������� ������ ��

����������� ����������� ����� � �������� ����������

�������� ������ ��� ���������� ��� ���� �� ����

��������� ���� ����� ������ ������� ���� ���� �������� �� ���� �������� ��� �� ���� ���� ��� ���� �� � ������������� ��������� �� �� ��������������� ���� �������� ������� ���������� �� � ������� �� �� ��������� ������������ ��� � ����� ����� ���� ��� �� ������� ������� � ��� ��������� � ������������� ����� �� ���������� ������� ���� ��� �� ������ �� ��������� ���������� ����� �� ����������� ������� ��� ���� ��������� ��������� ����� �� ������ ���������� ���������� ����� �� ������

�� ����������

�� ��� ���� � ����� ��� � ����� � ���� �������� ���� ������ ������� ������������ � �� ��������� �� � � ���� � ������� ������ ���� ���� � �������� �� �������� ������ ��� �� ��� � ���� � ��������� ��� ���������� �������� � �������� ������ ����� � ���� ���������� �� �� ! � ��� ��� � �� ��� ��������� ���! ������� " � ��������� ����������� �� ����� ���� ��� #�$����� ����� %�� �� ������& �� ��������� ����� ��� �������� � ����������� ������ ��� � �'������� �� ���� ����� ����� � ��������� ������� � ���� ������ ����� �������� ��� ������� ����� ������ ���� ��� ���������� ��� ���������� � ������ �� ��������� �� �������� � � ���� � ����������� ��� � � ��� ����������� ������ ���� ����� � ��� ����� ������ ��������� ��� ��������� �� �����������

��� �� � ���� � ���� �������� ���� ������ ������� ��� �� ����������� ���������� �� ������ �� ����� ������� ��� ���� ����� ����� �� ��� ������ ������ ���������� ������� � � �������� � ���� �� ��� ��� �� � �� �! ������ ������������������ � (������� ������) �� � ����� ��� � ������ � � �

� ! ������ �� �����'������� ������ �� � ������ ��� ������ ����� ��������� ��� ������� ���� � �������������� �� ����������� ������ � ��� ���

�%�& � *� � � �� �������

�%�& + ,

-� ���� � � � ����� ���� ��� ���� ��� � � �������� ����������� ����� � ���� �� ����� �� ����� ��� �� ��������� ����� � + �%�& ��� � + ��� �%�&� . ����� ����

!! ���������� �� ��� ������������ "������ # $������� �%�"� ��� �������� �� ��� ����� &'($� ������ ��� �������� ���������� ��� ����� ���

��������� )*� %��������+ �� �� ',( � &���-�����.��� �� /0� ������.��� '�������-� 1����"������� $����������

������ ����� ��� �������

Page 3: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

� �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

�� ��� ������ ���� ��� �� ��� ���������� �� �%�& ����

�%�& + ��� %�%�&& � � � �

�� � ������� ���� ��� � �� � � ���� � �� ������� ������� � ����� ���� �� ���������� ���� �� �����������/����� �%�& ��� �� ������ �� � (���� ���� ��)� 0�������! ���� ����� ����� ������! ��� ��������� �1 ������ �������� �� ��� �%�&! %� � �&!���������� �� ��������������! ��� ���� �� ������ �� � ����� ������

.���������� � �'������ ��� ��� � �� �����������! �� ���� ������ �����! ��� ������ ����������� ���� ��� ���������� �� �%�& �� ��� �%�& �� � ����������! �� ������������� ��� ��������� ������������ �� �� �������� �� ����������! � �� �� ���������� �� �������������� 2��� ���� ��� �� ��� �� � �%�& ���� ��� �� ���� ����������� ������ �� � ������ � ����������� 0�� ������� ������������ ���������� ����� �� ������

�%��� ��& + ��%��&��%��&

���� ��%��& ��� ��%��& ��� ��� �������� ������� ����� � �� ��� �� ��������������� ���� � + %�� 3 ��& �� ���� ��������� � ��� �������� ������ ���� ����������� ����� ��

�%��� ��& + ��� ��%��& ��� ��%��& + ��� %�%��& 4 �%��&&

������ ���������� � ��� ����������� ���������������

�� ���������� ������� �� ���������

��� ��� � ���� ������ ��������� �� � ����������� ����� ��� ��� ��������� ��� �'� �� � � ���� ������ ����� -��� � ������ ���� �� ��� ���� ������� ��� ���� ������������ ���� ������ ������� �� �������� �� �������� ���� ������ �� ���������� ����� ���� ����� ���� ���� �������� ������ ������� ���

�� �� � ����� ��� ����� � ���� ������� �� ���� � ��� ��������� ��������� � ���������� �� ���� ������ ������� � � �� ��������� �� ����������� -� ��������� ������� �� � ���� � ���������� ��� ����������! ��� ���� ������ �� ��� ����������� ! �� ��� ��� � ��� ��� �� ���� �������� ���������� � � � ������� �� ����������0�� ��� � ����� � ��� �������� �� ���� ����� � �� ��� ������ �����! ��� �� ������! 56789*: � ;��� ����� �������� ���� ������ ������� ��� ���������! ��� ��!�������� � ��� ���! .������ ,�5 �� ����� ������� ��� �� � #�$����� ������� ���������� �� � �� ��� � ��� �������� ������������ � �������� ���� ������ ������������� ������� �� �� � ��<����� �������� �� ��� ��� � � �������� ���� �������� ���� ���� � ������������ ��� ������� ����������� � ��� ���������� ���� ����������� �� �� ��� ��� �

��� ��� ������ ������� ��� ��� �� ���� ������ ���� ���������� ����� �� ���� ������ �������� �� ������ =��� � �� � �� � ���� �� � �������������� %�� ���������&! ��������� �� � �������� %��������� � ���� � ����& � �������� �� � ����! � ������������ � � � � ���������� ��� ���� � ����������� ��� ��������� ��� � �� ��� ������������� �� ������� ���� � � �� �

���������� 5�,� >�� �� � �������� �������� � �� ��� �� � �� � ����� ���������������� � ���� ��� ��������� �� �������������� � �� ����

%,& , � �� �� ��� �� + ���� ���� ��� �� � ��� �� ��� � + ,� � !

%5& � �� � �� ���� ���� � ���� �� ��� ������ �� � � ��� ��� ����������������

Page 4: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ����

��� ����� �� � � � ���������� � � ���� � � �� ��� ������� �� ��� ����'�������� � �� ��� ������� � ��� ����� ��� ������� �� �! >�� %�&�

?���� %,& ����������� �� ��� ��1 ������� ���� ��� �������� � �� � ���'��������!���� ?���� %5& ��������� ������������� ��� ������������� � ���������! ���� ��! ��� ������� �� ���� �� � �� � ����������� ��������� �� � ����'�������� ��� �� ���� �

�� � ����� ��� � � �� � �������� ������ ��� ��� ��������� %�� � ��� ' ��1 �

��& � ��� � � + @� �����! �� ���� ��� ��� ���� ������� ���� � ��� �� ����������� ���� ������ ������������ � ����� ������ � ������1 � �� ���� �� ����� �������� ����� �� #�$����� ����� ��� �� ��� ��� � ����'��������� -� ��� ���� �� � �� ������ �� � ������ �����

� � ����� � � �� �� ���� �� �� %���& ��������� ������� ���� �� ��� ��� � /����

� � ������ � ���������� �1 �������

���������� 5�5� >�� � � �� �� � ����� ��� � �������� ������! ���� �� � � ������

>�� ���� � � �� �� ��� ��� � ��� ����������� �� ��� ��A� %� + ,� � & ��� ��� �������������� ��� ��� ����� %�& � ���� � � �� �� ��� ��� � ��� ����������� ����/���� ���� �� ��� ������ �� ��

����� 5�9� ��� � �� � ����� � �� �

%,& ����� %�& � � �������� �����%5& ����� %�& � ��� ���� �� ��� � � � ���� � � �� � �� ��� � ��� ��

��� ��� ������� �� ��� ������ �� �������� ������� �� + + � + *� � ��� ���� ��

%9& ����� %�& � � ����� �����

����� ��� ����� �� -� ������ ���� �� ����� �� � � ���� � ��� ���� ���� �������� �� ������ ������������ ��� ��������� �� ��� ����! ��� �� ����� � �� �������� � � � ������� � � � � �

���������� 5�:� #���� � ���������� ����� � � ���� � � �� ��� � ����'�������� � ! � ����� � ���� � � � �� ������ � #�$����� ����� �� � ��� ��������� � �

����� %>�� %�& 3 � � �& + ����� %>�� %�& 3 � � �&

��� ��������� ���� � ���� ���� �� ������ ���� ����� ���������� ����� %����������� %*&& �� ������� ���������� ���� �� �� ����� ���������� ����� � ����� ������%���' ��1 �& ��� � � � ���� � � �� � �� ���� �� ��� � � � ���� � +

�!� �������� �� � ���� � � �� � ;������� �� ����� ����'�������� ����� ����� #�$����������� 0�� � ����'��������! � ����� ������ � ��1 � ��� ��� #�$����� ����� ���� �#�$����� ����� � �� ��� ��� � �� ��� � � � ,& ��� �������� � >�� %�& �� , ��� 5&�� ���� � � ������� �� ��� ����� ����� %>� %�& 3 � � � � ���&�

#���� �� ����� � � ���� � � �� ��� �1 �������� ��������! �� ���� ���� � � �� ��� �� � �� ������ ��3 �� ��� �� � � ���� � � �� ���� � �� � � ��� ���� �� � � � � ��� 1 ������ ����� �� ���� ������ ��

���� � � �� �� + ��� 3 � �� � �� �� � � ���� � � �� �

����� 5�7� ��� � �� � �������� ���� ���� � � �� �� � � �� ��� �� ��

%,& ��� ������ ����� ���� � � �� �� � � ����� ����� ��� ��� ��� ���� ��%5& ��� � �� � � ���� ���� �� � ��� ������ �� � �

Page 5: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

" �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

%�& � ����� ����� ���� �� ���� � � �� �� � ��� ��

B��� %�& + ��� 3 �� � �� ������ �� >�� %�&� � � ��

+ ��� 3 � � ��

%�& ��� ���� ���� ��� � + ��� ���#��� � �� �����

%9& ��� ! �� � ����� � �� � + ����� %�& ��� �� ������ ����� � ��������%�& � �� � � �� ��� � �%�& + �%�& �� ��� � � �%�& ��� ����� �� ���� � � �� �� �� ������� ����� � ����� �� ���

���� �� ���� ��%�& ��� ���� ��� �� ��� �� ���� �����

� +���

���� 4 �

��� � � � ���� �"�

2��� ���� ��� �������� ����� �������� ��� #�$����� ����� ��� � �� �� ��������� ��� �������� �������� ������ 0�� � ���� ����� � �������� ����� ������� �� �������������! ��� �� �

� �� ��������� ������� ��� ������� � ��

�� ���� ������� � �������� � �'������! ���� �� ��� ������������� ����� ��� ������� ��� ���� � ������������ ������ ��� ��� (����������� ��������) �� ������� �� ���� �� ����� � ���

��� 3 � ���

� �������� ����������� ��������� �� �� ��� ������ ������������ �� ������ ��� ������� �� � � � � �! ���� �� ��� ����� �� � � ���� � ��� �������� ���� �� B��� >��

�� +�������#��

�� ��� ������ ������ ������������� �� ��� ����������� � �'����� � � �� �� ����������! �� ������� �� ����������� �������� �� �� � �'������ � �� �� ������ %������&������ �� 1 ������� ������� 2� ������ �� �� � �� ����� �� ��� ��� �� �����%�����& � � �� �� ���������� ��� -��� �� �� � �������� � ��� ������� � ������ ��������� ���������� ����� ��� ����

� + ��� 3 ��

���� ����� + *� �� ����������� �������� � �������� � �����

� + ��� 4 �

��� ��� ����� �1 ���� �������� � � �� C� + %�����&����� � ��� �� �� C� + �� ����

� �� ��� ��������� ��� %�����&���� ��� ��� ���������� ��������� ��

� � + ���������

�����

�� ��� #�$����� ����! ��� ������������� � ����� ��� ����� ����� ��� ��� ��� ������ ��� �� ��� �� ���� ���� ����� ������� ��� ��� #�$����� ����� ������ �������� ����������� ������ � ����� �������� �� %��� ���& �� (�������� ��� ����� ������ ��)�

D������ ���� ������������� ����������� ��� ��� �� �� � �� �� ��� �� �����'������� -� ��� ��� ���� ������� ��������� ��� �� �! �� ������� ������� ��� �����������

Page 6: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ���� $

������� 9�, %E��'����������� ���������� ����������&� �������� ��� ��� ������� � + �*� ,� � � ,� � �� ������ �� ���������� ����������� �� � ����������� �����

,� ��%�&� � � ����%�&

>�� ��� � �'����� ������� � ������,� �� ��� � ��

����� � ! ,� ���� �� �� ����� ���� � ��������� �� �� ���

��%�&����#�!�����������

2����� ���� ����� � �������� � �������� ��� ��%�& ��� ���� �������� ��������������� ��� �� ��������� �� ������� �� � ������������ � � � ������ �������� ���� ���� ������ ���� ��� �� ������� �� �� ������� �������

������� 9�5� �������� ��� �� �������� ������ 5� ��� ������ , ��� ,� 0����� ����'��������� ��� B�� ��� �� �������� � ��� ��� � ���'������ �����! ���� �� ��� ����� ��� ��� ��� ������� � + �� �� ��� �� + *� , �� ��� � + ,� � � ��������� � , ��� , �� ������ ������� ���� ��� � ������ �� ����������� �� � �� ������ �'����� � � � � ����������� �� + �� % �� ���������� �� �� + �� �

������� 9�9� >�� � �� ��� ��'����������� � ����� ��� ��� ������ ��� ��� �'� ��

��� � �

���� �� � + �%*� 5&� %*� ,&� %*� *&� %,� *&� %5� *&�� ���� �� ������ �� ������� �������B������ ������� ���� ��� �������� ���� � � ����� � + %��� � ��& �� �� � ���� ����%��� � ��& �� �� � � * � �� � �� �� ��� � + ,� � � ���� �� ���� ���� �� ��� ������ �� ���� ��� B��! ������ ��� 3 � � ���

�������� � � ���� � B�� ���� �� ����� �������� 0�� �������� + �%*� *&� %,� *&� %*� ,&������! ����� ���������� �� ��� ��� 3 �� ��� � ����

� +

, * 5 * :, * , * ,, * * * ,, , * , *, 5 * : *

� �

���� ��� ���� ����� ��� ��� ���� �� � ��� ���� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� ������� ������ � ��� ��� ��� �� �� 2� � ��� ����� �� �� ���� ��� ��� ��� ����������� ���� ��'����������� ����� �� ��� ���� �� ��� ��� � � ��� �������� ������ ��� ��� ���������� �� ��� ���� ����� ��� ��� � �� 0�� ������� � ��� ����

�� +

, ** ,* ,, ** 5

� �

-� ��� ��� ���� ��� ��������� � ��� ����� � ����� ��� � � ����� �� ��� ����������� ����� �� ��� ��� �� �� � ��� ��������� ������ � ����������� ������ �� ��������� -� ��� ���� ��� ���� � ������������� ���������! �� ������

Page 7: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

� �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

���������� 9�:� >�� � � ���� �� � ������� � ����� ��� ��� B�� + ��� 3 � � ��

�� � �������� %#�$�����& ������ � � �� � �������� ����� ��� �� +����������

��� ����� ������! � ���� ���� � ������� ����� ���������� � � ��� 1 ����������� ���� � � �� � ����� %�& � �� ����3

%,& ��� ���������� � �� ������� ��� ��! �%�& � �! � � ��%5& ��� ������� ��� �� �%�&� � � � ��� ���������� ������%9& ��� ���������� � �� ���������� �� ��� �����! ���� ���

���

���%�& + *� ��

�� !��� ������

-� ������ ����F� ��� ������ � ����� ����� �� ��������� �� ���! � ������ 9G ��� ��� ! ��� ���� ��� ��� �� � ��� ��������� � ���� ������� �� ��� �������� ������������ ������ �� ���� ������� ��� ��� ����������� �� ��� ������ �� ���������� ��� ���� ������� � � �� �� ! ��� ���� �" � -� ������� ���� � � ����������� ������������� ������ �� ����� �������� � � �

���� -� ��� ��� ����� �� ���� �� ���

�����������! � � ��� ������ ��� �������/�! �� �������! ��� � ��� ���� ����� ����� ��������� ������ � ���'������ ����� �� ����������� ������! ��� ��# �

����� ������ ��� ������� �� ��������� ��������� ������ �������������� �� ����'������

���������� :�,� >�� ��" + ��"� � � " �� � ���������� ���� ��� ��� "���� "��� !

�� � ����� ! � + ,� � !! �� � ����� ���� � ������ �������� �� ��� �������� ������'

���� ���� ���� " + ���� � � ��� "�� � " ��� ����� # ��������� �� ��� ����������� "

���� "��� � � ��� + ���� � � �� ! ��� ����������� ����� � + # �$�� �� ������

��� �� � ���� � ��� ������ �� + ���� �!�������#�!�������

-� � ����� ��� �������� ���� ��� � �� ������ ���'����������� �������� ������������ � ����� ������! ���� ����� ��� ��� ������� ��� ��� ������ �������� ������������� ������ ��� �� ��������� �� ��� ���� .������ 7

������� :�5 %��! .������ :�" &� �� ���� � ��� � � " � �������� ��� ������������ + " ! �� + ""! � + "$� ���� ��� �� ���������� �� ������� ���! ��� ������� �3�& � ���������� ����������� � � � ��� �� ��� ����� ����������� ����� � �������������� ��� � H �& � ������������� � ��� ���� ���� � ��� � ���� ��� ���� ��" ������� ��1 ��� ��� ��� � ��� �� �� " ! �� �� ""! �� �� "$H �& �� ����� # ��������� ����� ����������� �� "

! �� ""! �� "

$� ��� ������ � ��� ������� ������ �� �&�� ��� ����� � ���������� � ��� ����������� �%��� ��� � & � �� ���� �%" � � "

"� � "

$� & + *�

���� ����� �� ������ ���� �� �� �1 �� �� ��� ����������� ����� # � ���� � ��� � � ���� ��� �& �� ��� ������� � ��� ����� � � ��� ���� ������ ���� ����� ����� ��� ������ � 4 ��� ! ��� 4 ��� ! ����� �

� ��� ��� ������������� �1 ������ ��� ��� ��������

�1 ������ �� ��� � ��� �&�2� ��� � �������� � ��� ����� � ��� ������ � ������� �� ������ �������3

��� �� "� � * ��� ������ ��� ������� ���������� �� ��� �� + 9 ��� "! ��� �� + : ��� "!� + 7 ��� "! ���� �� ��� ������ ����� ! �� + %��� ��� � &! �� ������������ �� ��������� % + %9� :� 7&� I� ������ ���� ��� ������� & + %,�5� ,& ��� ' + %9�,�5&���� ���� %�! � ��� ���� &� ����� + *! '� ����� + *! �� ��� + ���! � � + ��� ����������� ��� ��� ������ � ��� ��� ���� ���� ��� �1 ����� �� �������! ���! �������������! ���� ��� ������� �� �������� ��� ���� �� + �� + * ���� �� ��� ���� �

Page 8: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ���� &

��� �������� � ��� �&� ���� ������ � ��� ����� ����� ��������� �

��� �

� ���

�3

����� %��� ��& ����� � ! ����������� ��� ����� ������ ����������

-� �������� �� ��� ������ �������� �� ��� ��� ��� ������ ��� ����� �� ��������� ��� ����� ������ #���� �� ���������� ������ �� # � ���� � � �� ��� ���� ����� 3 # �� ������ ��

� 3 # + �� � ���� � � �� 3 �� � � �� ��� � � #�

��� ��� ������ � ��� ����� � � ���� � � �� ��� ������� �� ��� ����������� � ���� � � �� �� ������ ��

� 3 �� + �� � ���� � � �� 3 �� � � �� ���� ( � *�

����� :�9� ��� � � ���� � � �� �� � ���� �� ��� � � ���� � � �� �� ���������� ���

%,& � 3 �� � � �����%5& � 3 � � � 3 �� � � 3 � �%9& ��� � � ��� ( � * ���� ���� � 3 � + � 3 ���

%:& #������ ���� � � ��� ���� �� ��� � � �� ��$� ��� ���� J� �� ���� ����� �������� � ���� � � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� ,

��� ��� � 3 �� + J������ � � �� �

.�� ������ �� � �� �� ������/� ��� �� � ! ���� �� �� ���� � ��������������� ������ ����� �� ������� �� ��� ������ � ��� �� ������ �� � � ����� �����'

������ %����� + *& ��� �� ������ ��� �� ��� ��� ���� � ������������ �� �������� ���� ��� � �� �� � ���'/��� ������� %��� ���� ����� �� �������& ��� ���� ���������� �� ��� ����� � �� ����� �� ��� ���� ��� ������ � ��� ����� ��� ������� ���������� �� ����� � ��� ��� �� ����� ������� �� �� ��� �� ���������� �� ��<���������� ������� I � ����� ����� ������ ���� ��� ���� ��� ������ ����� ��� ������� ����� ���������� � + �� ��! ���� ! �� ��� � ���� � ��� ��� �� ���

������� :�: %��� &� �������� ��� ������� ������ � �1 ������

%:�,&

�����������

�� + )�

�� + ) ��

� + )�

�" + )$��

��� ����������� � ��� ) ��� � �������������� ��� .����� %:�,& �� �1 ������� ����������� ��� ������ � ��� ������� ������������ � �'��������

* 3 ���� � ��� � � �" � ��)� � %��� ��� � � �"& �� %)�� ) ��� )�"� )$��&

�� .����� %:�,& � ��� ��������� ��� (��) ������

�� +

, ,9 5, 97 5

� �

��� ��� ������ � ������ �1 �������+� 4 9+� 4 + 4 7+" + *

+� 4 5+� 4 9+ 4 5+" + *

Page 9: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

' �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

���� ��� ����� ��� ��� ������� ���������� �������� =��� ��� ��� ��� ���� �� ��'��������� ���������� � ����� ������ �� D���������� ������ �������H ���� �� ����������� � � �� �� � �� ��� ����� �� ���� ������ ��� %+�� +�� + � +"& + %6�5�,� *&��� %:�9� *� ,&� ����! � ����� � ��� (��) ������ ��

�� +

�6 :

5 9, ** ,

� �

��� ��� ��������� �&� ���� ��� �"��" �

� ��� �� ��� ������ � *� ���� ��� �����

����������� �� �������&� �

��� � �

"��" �

�������� �� ��� ������ � *� ��� ����

����� ��� ����� ����������� �� ���%*& �� ������� � ��� � �"� �� ��� �� ���������� ���%*& �� ��� ��� ������ ����� � �����

��&� �

��� � �

"��" �

���� ������� �� ���

���������� ����� �"�D�������� :�, ����� � ������ � ������ �� ���� �� ����� ������ �� �����������

������ � ) ��� � ��� ��� ������ ��������� )��� )

��

� )�

�" )$��

������� ������ �� ���� �� ��� ����� ��� ������ ����� �� �� �������� ��� ������������ �� ��� �������� �����

�������&� �

��� � �

"��" �

�� ����� �"� ,

�� ���� � ��� � � �"� �

��� ��������� �� ��� ���� �� � � � �" �

�� �� �������� ������ ��� ���� ������

�� ���� .������ � ����� ��� ��� ��������� � ������ � .������� �� ������������������ >�� � � �

��� �� � %�������& � ����� ��� ��� � �� � �������� �����! ����

�� ��� ��� �� �������� ������� �� � ����� �� �� ! �� �� � �������� ��������������� -� ��� �� *� �� ��� �������� ��� ����������� �����

%7�,& �%�H,& + ���

�����

,���

��

�� � � ����! ���� �� �� � ���'�������� ������� �� � � ! ��� � ������ �� ���"'���������� ������ ��

%7�5& "� + ��� %,�& � ��

��� �'����������! ���� �� ��� ������ �� ��� ���������� �%�H,&! � � � �������� ��� "'���������� ��������� B1 ������ %7�,& ��� %7�5&! ��� ��� ���������� �� ��������� ������3

%7�9& �%�& +���

"�����

�� �����! � �������� ��� ����� ������ �� +�������#��

��� � ����� �� �������

��� �� ������ ���

Page 10: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ���� (

����� 7�,� ��� �� ����� ��� �������� �� $%�� "& + ���%�&� � ��� "� � � � � $%�& + ���%�&� � � � � $%"& + ��"� � � � � �� ��� # �� ������� ��� ���� $%�� "& �� %������ &'�()� ��� �� ����� ��� ��� �� ��� ���� � ������ ���������� ��� � + # � $%�& �� ��� �� � ���� $%�&�

%,& ��� � ������� �� ����� � �� �� ��� � ������ ����� %����� &'�*)����� �� ��� �������� �� ��� K������ %�& � K������

����� �%�& ,

��

%5& ��� �� � ���� � ��� � ����� ��������� ����� ��� ���� �� ���������� �� ������ �� ��� "��� ����� # �

%9& +� ���� ����� � �� ��� ������ ��� ��� ����� �� �� �� �� ����������� ��� ������ �� ��� ������ �� �� ��� ��� �����

%7�:&����

�%�&��)�* ����

�%�&��)�*

������ �� ��� �� � ���� ��%:& ��� �� �� ��� ���� ��� ���� �� ��� ������ %����� &'�,)� ���

�� � �� �� � � ��� ���� ��� �� �� �� ��� �������

�� "�� -�� ����� � � ���� �� � �� �� �������� �� ��� ������ �� � ������� ��� ���� �� ��� %������ &'�,) �� �

��� "� ,�

%7& ��� ��� �� ����������

�%�&��)�* ����

�%�&��)�*� � � ��

� � ���� �� ��� �� � ���� ��

����� ?���� ,� ����� ��� ��� ����������� ����� ��������� �� ��� "'����������! �� � ��� �������/����� ���������� 2��� ���� ��� ��������� � � ����'������ ���������� �������������� �� ���� ������� ������� ���� ��� ������� �� ����'� ������! ��� ��! .������ :�7 � ?���� 5� �� �� ����������� � ��� ������� ������� ?����9� ����� ��� ����������� �������� ��� �� �� ��� ����������! ��� ��������� ������� ������ � ��� ���'������������� ����� �� � ������ ����������� � ��� ��� ��� ���� ����� ������ ��! ��! �1 ���������! ���������� �� �� ��� ��� � ��� ������ ���?���� :� ����� ��� ��� ������� ������� ?���� 7� ����� ��� ��� ��� ���� ��������� �� �� ��� �� � ��� �� �� �� ��� ��� ���������� � ��� ��������� �� � ������ ��� ����� ����� ��� �� ������� ���������� ������� �

����� �� � ���� ����� ���������� �� ��� ����� ����� ������ ���� �� ������������� �%�& �� ���� ���� ��� ��� ��� ����� �� ����� ������ ����� �� ��� . ��������� � �� �������� -� ��� ����� ������ �� �� ���������� ������ �� %����� + *&��� ������� ���������� ��� �������� ������ ����� � �� �� #���'.������ �� ����������� ���������� ���������� ������ ����� ��� ���� �� � �������� �� ���� ����� ���� ������� �� � ������ � ������������ �� �� �������� 2� �� ����� � ����� ����� ����� ����� �� ������ 0�� ���� ��� �� - � �� ������ ��� �� ������� �� �������� �� ��������� �� �� ������ ��� ����� "�� �� ��������! /��� �� ��������� ���� ���

����� ��� � ������� �� �������� #�� ! #�� ��� #�� ������������� ���� ��� ����� �������� � ����� �

�����

�����

�����

����� �� ��� -

�� ��� ����� ����� ������ ��<����� ����� �� ��� � ������ ���������� �� .��� %��&%��� ��� �� ����� � ��& ������ ��<����� �� ���� �� ��<����� ����� �� ��� ������

Page 11: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

�� �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

E�� ��� ���� ������ ��<����� #�$����� ����� � ��� ����� ����� �� ������� ����������� �������� .! � � ����� �� ���� � ����� � ���� � � �� ������ ����� ������ ����� � #�$����� ����� ��� �� ������ ��� �������� #�$����� ����� � ��� ����� �����%��� ��� &�

L��������� ��� �� ������ ����� ��� ��� ������ ����� �������� �� ������� . ����� ������� ������ ���� �� ������ ���� ��� �� ����������� ��� ������� ��� ����� ��

����� + *

���� ������ �� ������� �������� ���� ������� �� ����������� � ��� ��� �� �� �����%�� ��� #�$����� �����& ��� �� ��� ������ ������

�� $������� ���� ������

�� ����������� �������� ���� � ��� ����������� ������ ��� ��� ����� �� ��'� ������� � ������������ �� ����������� ������������� �� ��� ������� .������� ������� ��� ������������ �� ������������ ��� ����������� ������������ � � ���� ������ � ����� ������� � �����! � � �

���� �������� ���� ��� ������� ������

������� �� ����� �� ����� � � ����� ��� � �� ���� ������������

������� "�,� >�� �� ��� �� �� �� ����������� I���� ��� %*! , ��� ��&������ ��������� ��� �������� ������������� �� + ? %�� + ,& ��� �� + ? %�� + ,&������������� ����! �� ������� ����

? %��� + ,� � ��� + ,�& + ����

2� �������� ��� ����������� ��� ������� I� ������������! ��� ���� �� �������������� ���� ���� �� �������! ���� ��

��� �%��� ��H,& + ���%,� 4 ,��� 4 ,���&

���� � ����

�� +

, * *, , *, * ,, , ,

� � � �� +

,,,,

� �

�� �� ���� �� ����� ���� ��� ��1 � ��� �� � �� �� ���� ��� ��1 � ������� ���������!���� ��� ����� ����� �� ����� � �������� ��

������ ������ + *

���� ��������� �� ���� ������� �� �� ����� � ��� 5� 5 ����������� ������

��� ���������� ��� �� � ��� ����������� ������������� �� ���� ����������� ����������������� ��� �� �� ��� �� ���� ��� �� ��� ��� �� �� � ��� ����� ��� ��� !� � �� ��������� �� ��� � �'�����

%"�,& �%���� �H,& + ���

�� �����

,������ ���

��

=��� ������� ������� ������ ����� � ������������ �� ��� �� �� ��� � ����� � ��� ������� ����� �� ����� � ������ �����������

������������ ��� �� ��� �� � �� ����� ������ ������ ��������� ���� �! ��� � ���� �� ����������� ����������� ����� �! ������ �� �

�� ��� ���� ��� �������

����������� �����H �� �� � ������� � � ��� ���� ��� �� �� ��������� ������! ������! ������� : � -� ��������� ���� ��� ������������ ����� �� �� �

Page 12: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ���� ��

����� "�5� ��� �� � �� � �� ��.�� ����"� �� �� ������ ��� �� ������ ����������/

%,& +� ���� + � �� ��� �� ������ ����� �� ��� ������ ����� � � � �����������!� + ����!� �����!��

%5& ��� .�� ������ � ������ � � ����� %������& ��� � ������ �����

���� ���� ����� ��� �� �� ��� ����� ��� ���� � � � � � �� ������� ����� ���� ���� �� ��� �� ��� ������ ��

����� � ����� %����& �� ���� � � ����� %����&

&��� �������� � �� ����� � �� ��� ��� � ����� ����� ������ + ����� ��� �) ��� �

�� �� ��� ��� ��� ���� %����� &0�*) � �� ��� � ���

����� �� ���� � � ���� �� ���� �� %�� � �& ��� �� ���� �1� �� ���� ��� ��� �� ��� � � �������

����� L���� ��� ���� �� ��� ����� %,& ��� ����������� ������������ ���1 ������� �� ��� ������/�����! ��! ������ ��� ����������! ��� �������������� ��

���� ,������ ��� �� � � � � � ������ �� ����� � ����� %����& �� � �

������ �� ���� � � ����� %����&� L���� ��� ������ ���� � ��� ��� ������ ���� ���������� ���� �� ������� � ��� ��������� ������������� �

��� �������� � ��� ����� ��� ��� ��� � ��� ! ���� ���'/���! %� �+ *&% �+*& + ,! ��� ��� ����� �<���� ��� ��� � ��� ����� �� ������ �� ��� � �� �� ����������� � ��� ������ � �������� ��� �1 ��������� ��� ����� ������� ��� ������������ ����! ����� ��� ����� ��� �� �� ������� �� �

�� �� �� ��� ��� �� �� � ���

����� ������

����� "�9� - ��� ��� �� �� ����� 0�2� ��� � ����� ����� ���� ��� ���� ����� �� �� � ������� ��������� ��� ���� ������� ����� ����� �/�� � �� ��� �� �� � ����������� ��� �� ������ ��� �

�� +�����/�

�)��!�*)� �!�*!�

�� ��� �� � ���� �� �� ���� ����� �� ���� ����

����� ��� ���� �� � ������� ���������� ���������� ����� �� �� ����������������� ���� �� ��� ���� �� ������ �

��� ����� ��� �� ��������/�� �� � ���� ��������� ��� � � ������ ����� ��������

�� ����������� ���� ������ �� �����

-� ���� �� ��� �� ����� ������ �� ��������� ������� 0���� ������ ���� ����� �� � ����� �%0� 1 & ��� �� ������� I� ���������� � �� ��� %����& ������& � 1 ��� ������ ��� ����� ���������� %�����& ��� ��� ��� �� ��� ��� ����������� � ������� ���� � � �������� ������ D������� ������ ��� �� ��� � ������� �I������� ��F ���� �������� ��� ����� � ������ ������������� ��������� ������������!�� ��������� ;������� ����� ��� �� ��������� � ������ � ������ ���� � ��������� �� ��������

������� 6�,� �������� ��� ������ ������ ��������� ��� � �� ��� ��� ��'����� ���� �� ���� ���� ���� ����� ��� � ��� ������ ��������� ������ �� ��� ������ ���� � ������ ������ ��� ������ ,� ��� ���� �� 0�� �� , ����� ��� ����������

Page 13: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

�� �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

,������

������

����

����

������

��

����

��

������

�"

�$

��

������ �� � ���� � ������ ����������

��� � ����������� ������������ �� �����3

��

���

��"���

�$

������

��� � ����� �� ����� �� �� � + �*� ,�� ��� ��� ����� ������� �� �%�& � *! � � ���� �� ������/�� ���� ��� ����� � ��� �� ��������� ������������ �� � ��� � +%��� � ��&

�%�& + � �%� ���&�"�%�"���&�$�%�$���&���%�����&��%��&��%��&

2� ����� �� ��� ����������� �������������� ��� �� B��� %�& �� ��� 5� � ���'������ �����

,� ��� ��� � ����� �"�$��

��� � �'����� ����������� �� ��� ���� ��

� 3 ,���� ��� � � �"� �$� ������ � ���"� ���$� ����

2����� ����! ��� ����! � ��� �� ���� �������� �< ��� ����� I��� � ��� ���� ����������� �� � ����� �����

���������� 6�5� >�� � + �*� ,�� ��� ��� %������& ������ ������������ � ��

���� � ����� ������� ���� �%�& � *! � � � ����

��� �%�& + ,� ��� ��������������� ��� ���� �� �� � ���� ����� ��� ������� �� � �������� ���� 2 %0� 1 & ���@1 + , 4 ��� ���� ������ &� � (��������) ��� ������������� ����������� ���������� �� (�������)

��)���*��)���*

��

��������

���� 0%�� -& �� ��� ��� � �������� ����� � � � ������ ��

Page 14: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ���� �

��� ������������� ������/����� � �%�& ����� ��� ���

�%�& +�

���+�� ��)���*��)���*

�%�� ���&

���������� 6�9� 0�� ��� ���� 2 %0� 1 & ����� � ������� ����� �� � ������������� ��� ��� ���� �� � ���� ������� ��� ������� ������ �������� ��� ��� ������ ����� ��� � ���������� �������� ����� � ����� ��� ���������� ��������� ��������� �� �� ������! � � ���� ��� �� ���������� ���� ��� ���������� ������� ����������� ���� �� �%2 &�

�� ��� B������ 6�, �����! ��� ������� ������ ���� ��� ! ���"! ���$! �����

����� 6�:� ��� ��� � �� �� � � �� ����� ��� ������ �� ��� � �� 2 %0� 1 &�� ��� �%2 & �� ��� ������� ������ ��� ���� �� ��� �� ��� ���� �� 2 � ��� ������ ���� �� �%�& � *� � � � + �*� ,��� ��� ��$� ��� � ������ �� ������

�%�& + ���

����

,���

��� �� �� ) � �%2 & ��$�

�! + �� 3 �� + ,� � � 3 �� �� + *� � �� 3�

���

� + ��! 3 3 � �%2 &�

����� I� �������� ������������ � ��� ������ � >���� "�5 �

-� ��� �� �� � �������� �� ���� �������� ���������� �� ��� ����� ����� �� ����� �%�& ��� ����� �� ��� � ��������� ��� ��� �� ��� ������������� ������ -��������� ��� ��� � � ������� 6�:� ��� ������� �� � ������ �����1 ���� � ���(� �������) ������������� � B������ 9�5�

����� 6�7� ��� � �� ��� ���� ��� �� ��� &���� ����) ����� ������ �� ����������� �� ��� !�$�

� + � ��

&��� � � � ��$�� ���� �� 3�,) ����� ��� ���������� � ��� �� ������ ����� �� � ���� � ��� ���� ��� �� ��� ���� ��� ���� �� ��� ������

��+��!�

�%�&�

�+��!�

�%�& 3 � ��

!

����� I� ���� ������ � ��� �������� �� ��� ��� ��� �� �� ��� ������� �

Page 15: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

�" �������� ����� ��� ���������� ��� ����� � ����

������� 6�"� 0�� ��� B������ 6�, ��� ������� 3 � ��

���

����� ���$���� � ���"�� �"� � �$� � ����"�$� ������$�������� � � �"�$�������� �"� � � �"�$�������� �"�$� � ��� �"�$�������� �"�$��

B��� � ����� ����� �� � ��������� � ��� ����� ������ �������� ��� �������

� �" 3 M�+����!��%�&M�+����!��%�&

��� ��������� ���������� �� ��� �%�& ��� ����� ���M�+��!��%�&M�+��!��%�& + *�� ��

��� ��� ���� ���� ��������� ���� � ��� ����� �� ���� �� ���� ��� �� ������������� �� ���

"� %���� �������

���� ������ ���� ��� �� �������� �� � ������������� �� �� ��� ���� ������� �� �� � ������ ������ �������� �� ���� >����� "�5 ��� "�9�

���� ���� ������� ���� ������ �� �� ��������� ��� ����� � �������� ���������� ����� �� ��� ���� ��������� � I������� ��F ���� �������� %�� ������� ������ &� ����� ��� �� ��������� ������ �� ������ -� ��������� �� ���� ������ &� � ��������� ����� �%0� 1 & � ������ ����������� ���� ��� ��� � �� %���� ! �� ���� ���� � ��������& �� ���� �� ���� ��� ;����� �������� ��� ������� �� �%0� 1 &� %�����& (��������) ��� ������������� ����������� ����� (�������) ��� �� � �� ��� ���� (�������) �������� (��������) ��� (���������) %�������� ����� ���� � �������� ���������� ��� ��������&� =����� ��� ������� ��� ��� ��� �������� ������ �� ��� �� ������� ���� ���� ��� ���� �������� ��� ������ %(������������)�� �� ��� 1 ���� ����& ��� ����� ������� � ���� �� ���� ��� ������ ���������� ��� ��� �������� �� � � ���'���� %������ � (���1 �)&� �� � ��� ������� ������� �� ��� �� ���� �� � ����� �� �������� �������� ��� ������� ��� �� � ��������� ;����� ����� �����

N�� ����� �� ��� ���� ���� � ������������� �� .������ , � ��� ���� ��� ������������ ���� �� ��� ������������� �� ��� ��� ����� ����

�%�& +����

����

�� ������ ����� � ������ + ��� �� + �����

��������� �� ���� ��� ����� ����� ���������� ������� ��� �� � ��� ���� �� ����'������ ������������ ���� ������ ��� ����� ���������� �� ��� �%�& ������� �� �������� � � �� -� ��� �� ������� ���� ��! �� �������� �������� ����! ��� �������������� ������������� �� ��� ���� �����

Page 16: Computational commutative algebra in discrete statistics · Computational commutative algebra in discrete statistics Citation for published version (APA): Pistone, G., Riccomagno,

����� �������� � ���� �$

&�'������

� 2� ,� *����� �� 3� 4� $��5��� ������� ����������� ��� ��������� ���������� 6� ��'�������� "���� 6� ��� 7888�

7� *������ ������� %��� ����� 9����� �� 1����:� (�������� ����*� � ���� ��� ����� ����

�������� �� ����������� �������� *������� �� ��������� �� ��� ������������������;� *�<�� &� ������ ���� �������� �� =��� $���> )���+� ��� ���� �� �������� ��������

*��������� �� ����������� �� &����������� ��� ?� $������� @������ A����� =��������� !!!�?� "� ����� �� �� �������� ���������� ��������� ��� ������� ������������ "��������� � ���

**4���!� 1������ 9���� �� �������� "����������� ��� B;!� $�������� !! � ��� ;8C ;!�B� 2� ���� 3� 1������ �� 2� 6/$���� ��� ��������� ��������� $��������@������ 9�� D��>� !!E��� �� ���� 3��� 1������ �� 2�� 6/$���� !����� ��������� ��� ���������� 7� ��� $��������

@������ 9�� D��>� !!F� �� �� !!7�F� "���� 2������� �� A���� $���� ���� "�������� ��������� ��� ������� ���� ����������� ���

���������� ��� *����� � $��������� �� ) !!E+� ��� � ;�;C;!F�E� 0�� =� 2�������� #�� $�������������� ��������� ��� ���� �� �������� A�������� �

) !!E+� ��� ;� ?8 C? 8�!� (������ ,������� %������ "������� �� &�����"���� (�������� ����������� �� �%���������������� ��������� 3������ � $���������� "������� �� 0� ������ �� )7888+� ?!C F7�

8� $����� 3� =�������� #�� ������ �� ���&����� ����� ��� '�������� � ������� "������������� 0����1����� !F?� $���������� (������� &���������� @��� 0@�

� &� G���:�� �� 1����:� (�������� ������������� ����������� ������� '� $�������� A������=��������� 7888�

7� $��5�� 1� 1�����:��� (�������� ������ ��� �������� "���� 6� �� '�������� "����� 9��D��>� !!�� 6� �� $������ "������������

;� &���� "�������� (�������� ����� ��� ��������� )���� %(6$�*� 0@ ���>����� 0'� $�02&������ 7888�

?� %������ "������� 4� (���������� �� =���� "� ����� "�������� �������* �������������

����������� ������� �� �������� �������H=���� 7888� B� %������ "������ �� =���� "� ����� (��������� ����������� %��� (�+����� ����

A�������>� �� ) !!�+� ��� � �B;C���� �� 1����:� (�������� #���� ������ %(6$�*� 0@ ���>����� 0'� $�02 &������ 7888� F� A� $���� ���� (�+����� ��� ��� ������ ��������� ��� @����� E� 4� *&$� "������� ( 0�

!!B� '�������� 1������ $������

����� ��� � ��� ������ ���� ���� � ������ �����

,����� �����I ������������ ��������

������� �����I ',( � &���-�����.��� �� /0� ������.��� '�������-� 1���� "������� $����������

�������� ������ � ��

,����� �����I ����������������

����� �� � !����������� ���� � "��#�$

,����� �����I � ���������������������