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COMPUTACION APLICADA

Prof. Edmundo González O.

Uno de los métodos más utilizados para la solución numérica de las

ecuaciones diferenciales parciales, es el método de diferencias finitas.

Este método consiste en sustituir aproximaciones de diferencias finitas

en lugar de las derivadas, reduciendo así las ecuaciones diferenciales

parciales en un set de ecuaciones que se pueden resolver utilizando

métodos numéricos estandar tales como Algoritmo de Thomas entre

otros.

Para modelar las diferencias finitas, el dominio de la solución se divide

en celdas de diferencias finitas utilizando una malla de diferencias

finitas.

SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIALES

Esta malla puede ser utilizada para simular por ejemplo distribución de

contaminantes en la agricultura.

MALLA DE DIFERENCIAS FINITAS

y(m) j

3.5 4

2.5 3

1.5 2

0.5 1

1 2 3 4 5 i

1 3 5 7 9 x(m)

La malla es de 10 m de largo en X y 4 m de largo en Y. En este ejemplo

tenemos sólo 20 celdas, cada una de 2 m en la dirección X y 1 m en

dirección Y.

Las celdas están referenciadas utilizando un sistema de coordenadas i,j.

y corresponde al centro de cada una de ellas. En este caso 3,4.

Para el caso de la distribución de la concentración de un contaminante

sobre el plot, esta tiene tres variables independientes (x,y,t) y la

simulación debería avanzar en el tiempo. Pasando de un paso al

siguiente.

En general el paso de tiempo no debiera ser constante.


La mayoría de los problemas, involucran en la simulación el cambio de

una o más variables dependientes (ej, concentración y temperatura) con

el tiempo.

Las ecuaciones de este tipo de problemas son invariables basadas en

las ecuaciones de conservación y en su lado izquierdo tienen la forma

Una buena aproximación a para esta solución es DA.


tut

u

h

uuu

nn

t

1

La aproximación de la derecha para la conservación de la masa es más

difícil de elegir

Dependiendo de la elección en Dt, se originan diferentes esquemas de

cálculo, es así como:


2

11

2

2 )2()(

x

uuuu

x

u iiixx i

plicitoTotalmenteesquemau

NicolsonCrankesquemau

licitoesquemau

n

ixx

n

ixx

n

ixx

Im)(

)(

exp)(

1

5.0

Cada esquema tiene sus ventajas respecto de los otros. Por ejemplo el

esquema explicito genera ecuaciones algebraicas que pueden ser

resuelta directamente, en cambio los otros dos, es necesario resolver un

set de ecuaciones algebráicas para lo cual se requiere de algún

algoritmos de solución para este tipo de sistema.

Los más comunes son Algoritmo de Thomas entre otros.


Generalizando, tenemos:

Donde σ se denomina ponderación temporal implícita, y es cero para

un esquema explícito, 0<σ<1 para un esquema parcialmente implícito

tal como Crank-Nicolson y σ es 1 para un esquema totalmente

implcítito.


un+s

Desarrollar las ecuaciones generales de un esquema parcialmente

implícito para la difusión en una placa de longitud X.

Este es un problema de la ecuación de Calor y el problema matemático

a resolver es de la forma:

Condiciones iniciales:

u(x,0)= 0 para todo x

Condiciones de borde:

u(0,t)= 0 para t>0

u(X,t)= 0 para todo t


Xxx

uD

t

u

0:

2

2

Una adecuada representación de una grilla de diferencias finitas, es

como se muestra.

Esta grilla se establece para un problema particular dependiendo de las

condiciones de borde.

Para este problema, los valores son conocidos a x=0 y x=X en los

nodos x=0 y x=X, nodos asociados a las celdas 1 y p respectivamente.

Esto significa que el largo de la celda, δx, está dado por:

REPRESENTACION DE DIFERENCIAS FINITAS

)1(

p

Xx

La ecuación para los nudos 1 y p viene directamente de las condiciones

de borde.

Para una esquema parcialmente implícito, la ecuación diferencia infinita

para cualquier nodo interno es:

Asumiendo que varía linealmente con σ, tenemos:


u1

n =1 para todo n

y

up

n = 0 para todo n

(un+1 -un)i

h=

D(ui-1 - 2ui +ui+1)n+s

(dx)2

un+s

un+s = (1-s )un +sun+1

Estos resulta:

Donde:

y

La ecuación general diferencia finita, se resuelve a cada paso del

tiempo. Este set de ecuaciones forman una matriz trídiagonal, que

puede ser resuelta usando el algoritmo de Thomas.

SOLUCION DE ECS. DIF. PARCIUALES

-b(ui-1)n+1 + 1+2b[ ] (ui )

n+1 - b(ui+1)n+1 =g(ui-1)

n + 1- 2g[ ] (ui )n +g(ui+1)

n = f n

b =s Dh

(dx)2

g =(1-s )Dh

(dx)2

Matriz Trídiagonal

1 0

-b 1+ 2b -b

-b 1+ 2b -b

. . .

. . .

-b 1+ 2b -b

0 1

é

ë

êêêêêêêêê

ù

û

úúúúúúúúú

u1

u2

u3

.

.

up-1

up

é

ë

êêêêêêêêêê

ù

û

úúúúúúúúúú

n+1

=

1

f2

f3

.

.

fp-1

0

é

ë

êêêêêêêêê

ù

û

úúúúúúúúú

n

Nota, los valores de f dependen solo de la variable evaluada en el tiempo n,

entonces pueden ser calculados directamente por inserción en el Algoritmo de

Thomas. Cualquiera sea el valor de la constante β, esta matriz se puede ver

como diagonal dominante, por lo tanto el algoritmo de Thomas debería

trabajar sin problemas.

Si el esquema es explícito, no se requiere el algoritmo de Thomas y la

solución se obtiene por cálculo directo.

Condiciones de borde

Las condiciones de borde consideradas en el ejemplo anteriores son de la forma:

u= f (x,t)

Este tipo de condiciones de borde son llamadas Condiciones de Primer Tipo.

Las Condiciones de Borde de la forma:

Son condiciones de borde son llamadas Condiciones de Segundo Tipo.

Y las Condiciones de Borde de la forma:

son llamadas Condiciones de Tercer Tipo.

¶u

¶x= f (x, t)

),( txfqux

up

Ejemplo.

Simule la concentración sobre un período de 20 minutos. Asuma una

longitud de 0,5 metros y una constante de D de 1,25x10-5 m 2 s-1. Use

un esquema explícito con 6 celdas y un paso de tiempo de 400s.

Solución:

La ecuación queda por lo tanto queda:


0 + (ui )n+1 + 0 = 0.5 (ui-1)

n + 1- 2x0.5[ ] (ui )n + 0.5 (ui+1)

n

esdecir :

(ui )n+1 = 0.5 (ui-1 + ui+1)

n

dx =X

(p-1)=

0.5

5= 0.1m

h = 400s

s = 0 si b = 0

g =(1- 0) x1.25 x10-5 x 400

0.12= 0.5


Los resultados se muestran tabulados

Repita el problema anterior considerando un paso de tiempo de 200

segundos.

Solución:

La ecuación queda por lo tanto queda:


0 + (ui )n+1 + 0 =1(ui-1)

n + 1- 2x1[ ] (ui )n +1(ui+1)

n

esdecir :

(ui )n+1 = (ui-1 + ui +ui+1)

n

dx =X

(p-1)=

0.5

5= 0.1m

h = 200s

s = 0 si b = 0

g =(1- 0) x1.25 x10-5 x 200

0.12= 0.5


Los resultados se muestran tabulados

Este ejemplo es claramente inestable. La estabilidad del esquema

explícito depende del valor de , el cual es Dh

(dx)2

g

Representación geométrica de la diferencias finitas

SOLUCION DE ECUACIONES ELIPTICAS

La ecuación elíptica es del tipo:

Esta ecuación es llamada ecuación de Laplace

Reemplazando las derivadas por la correspondiente expresión de

diferencias finitas, tenemos.

Esto es el valor de u en el interior de los puntos de la grilla y

corresponde al promedio aritmético de los cuatro puntos vecinos a la

izquierda, derecha, arriba y abajo.

SOLUCION DE ECUASIONES ELIPTICAS

ui-1, j - 2ui, j + ui+1, j

h2+

ui, j-1 - 2ui, j + ui, j+1

k2= 0

tomandouna grilla cuadrada y considerando h = k, tenemos:

ui, j =1

4ui+1, j + ui-1, j + ui, j+1 + ui, j-1

éë ùû

¶2u

¶x2+

¶2u

¶y2= 0 , esdecir, uxx + uyy = 0

Esta solución es llamada la fórmula estandar de los cinco puntos.

(SFPF)

Si en vez del caso anterior se usa la fórmula

Esto muestra que el valor ui,j es el promedio aritmético de los cuatro

valores vecinos en las diagonales de los puntos. Este es llamada la

fórmula de la diagonal de los cinco puntos. (DFPF)

SOLUCION DE ECUASIONES ELIPTICAS

1,11,11,11,1,4

1 jijijijiji uuuuu

SFPF DFPF

Los valores de u(x,y) que satisfacen la ecuación de Laplace pueden ser

reemplazados por SFPF o DFPF .

Liebmann es un método iterativo, para la solución, inicialmente se

encuentran los valores de los puntos en el interior de la malla para luego

ser mejorados por iteración.

SOLUCION DE ECUACIÓN DE LAPALCE

POR EL MÉTODO DE LIEBMANN

Encontraremos primero u5 , utilizando SFPF.

Por lo tanto

Luego utilizando DFPF, encontramos:

u5 =1

4(c15 + c1 + c3 + c11)

u1 =1

4(u5 + c1 + c3 + c15)

u3 =1

4(u5 + c5 + c3 + c7 )

u7 =1

4(u5 + c13 + c11 + c15)

u9 =1

4(u5 + c9 + c7 + c11)

Los valores fueron obtenidos por SFPF.

Con lo anterior, se obtienen todos los valores de los bordes de u y los

valores aproximados en cada punto interior de la región, luego se

procede al proceso iterativo hasta alcanzar los valores óptimos.

u2 =1

4(u1 + u3 + c3 + u5)

u4 =1

4(c15 + u5 + u1 + u7 )

u6 =1

4(u5 + c7 + u3 + u9 )

u8 =1

4(u7 + u9 + u5 + c11)

La formula iterativa es:

Esto es conocido como el proceso de iteración de Liebmann

)1(

1,1,,1

)1(

,1

)1(

,4

1

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji uuuuu

Ejemplo: resolver la ecuación elíptica uxx + uyy = 0, para el siguiente

cuadrado:

Solución: u1 , u2 , …….., u9 son los valores de x en la región interior.

Se puede ver que los valores de borde de u son simétricos en AB.

Por lo tanto: u7= u1 ; u8= u2 ; u9= u3

También, los valores de u son simetricos en CD,

u3= u1 ; u6= u4 ; u9= u7

Por lo tanto, esto es suficiente para encontrar los valores de u1 , u2 , u4

y u5 . Los valores iniciales son mostrados a continuación:

u5

0 =1

4= 2000 + 2000 +1000 +1000[ ] =1500 (SFPF)

u1

0 =1

4= 0 +1500 +1000 + 2000[ ] =1125 (DFPF)

u2

0 =1

4= 1125+1125+1000 +1500[ ] =1187.5 (SFPF)

u4

0 =1

4= 2000 +1500 +1125+1125[ ] =1437.5 (SFPF)

Ahora realizaremos las iteraciones usando la siguiente fórmula por

SFPF:

u1

(n+1) =1

4= 1000 + u2

n + 500 +u4

néë

ùû

u2

(n+1) =1

4= u1

(n+1) +u1

(n+1) +1000 + u5

néë

ùû

u4

(n+1) =1

4= 2000 +u5

n + u1

(n+1) + u1

(n+1)éë

ùû

u5

(n+1) =1

4= u4

(n+1) +u4

(n+1) +u2

(n+1) +u2

(n+1)éë

ùû

Primera iteración (n=0)

u1

1 =1

4= 1000 +1187.5+ 500 +1437.5[ ] =1031.25

u2

1 =1

4= 1031.25+1031.25+1000 +1500[ ] =1140.625

u4

1 =1

4= 2000 +1500 +1031.25+1031.25[ ] =1390.625

u5

1 =1

4= 1390.625+1390.625+1140.625+1140.625[ ] =1265.625

Segunda iteración (n=1)

u1

2 =1

4= 1000 +1140.625+ 500 +1390.625[ ] =1007.8125

u2

2 =1

4= 1007.8125+1007.8125+1000 +1265.625[ ] =1070.3125

u4

2 =1

4= 2000 +1265.625+1007.8125+1007.8125[ ] =1320.3125

u5

2 =1

4= 1320.3125+1320.3125+1070.3125+1070.3125[ ] =1195.3125

Octava iteración (n=8)

Desde la octava y novena iteración, vemos que hay una mayor

diferencia entre los valores. Por lo tanto:

u1= 939, u2= 1001, u4= 1251, y u5 = 1126, implica que.

u3= 939, u6= 1251, u7= 939, u8 = 1001, u9= 939.

u1

9 =1

4= 1000 +1001.0987+ 500 +1251.0987[ ] = 938.04935

u2

9 =1

4= 938.04935+ 938.04935+1000 +1126.0987[ ] =1000.5494

u4

9 =1

4= 2000 +1126.0987+ 938.04935+ 938.04935[ ] =1250.5494

u5

9 =1

4= 1250.5494+1250.5494+1000.5494+1000.5494[ ] =1125.5494

Recordar que:

Debido a que la matriz es diagonalmente dominante, este procedimiento

convergirá a una solución estable. Para acelerar la razón de

convergencia, algunas veces se emplea la sobrerrelajación, aplicando la

siguiente fórmula después de cada iteración:

Donde λ es un factor de peso que varía entre 1 y 2.

)1(

1,1,,1

)1(

,1

)1(

,4

1

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji uuuuu

MEJORAS AL METODO

LIEBMANN

anterior

ji

nuevo

ji

nuevo

ji uuu ,,, )1(

Ejemplo: Determinar la temperatura de la placa cuadrada, según se

indica en la figura.

Placa sometida a una temperatura constante en los borde. Esta

condición es conocida como condición de frontera de Dirichlet.

Si analizamos el punto (1,1), tenemos y utilizamos una nomenclatura de

T en lugar de u, tenemos:

Del problema, tenemos:

Por lo tanto la ecuación queda:

De la misma forma se pueden plantear las restantes ecuaciónes para

los puntos interiores de la placa.

04 1101120121 TTTTT

075 1001 TyT

754 211211 TTT

El resultado corresponde a un set de nueve ecuaciones y nueve

incógnitas.

075 1001 TyT

La solución para el punto (1,1), está dada por:

Si empleamos la sobrerrelajación y un valor de λ=1.5, tenemos:

Para el punto (2,1)

Para 3,1

75.184

0075011

T

125.280)5.11()75.18(5.111 T

03125.74

00125.28021

T

54688.100)5.11()03125.7(5.121 T

13672.154

0054688.105031

T

70508.220)5.11()13672.15(5.131 T

Para la segunda iteración, los resultados son:

Con un error del 13.5%

Con un error del 0.71 %

Distribución de temperaturas en la placa:

Variables secundarias

Para el caso de la placa la variable en la ecuación de Laplace

corresponde a la temperatura, sin embargo en muchos casos de EDP,

las variables secundarias pueden ser más importantes.

Para este cas en particular, la variable secundaria es la razón de flujo de

calor a través de la superficie de la placa, el cual se representa en dos

direcciones (x.y) como:

E flujo de calor resultante se puede calcular como:

Utilizando los resultados del problema anterior, se pude determinar la

distribución del flujo de calor. Suponer que la placa es de 40x40cm y

está hecha de aluminio (k´= 0.49 cal/(s.cm.°C))

Condición de borde de la derivada:

Esta condición conocida como de

Neumann, se utiliza para problemas donde se conoce la derivada. Un

ejemplo de esta situación corresponde a la placa aislada (condición de

frontera natural) donde la derivada es cero.

Para el ejemplo anterior, si consideramos el nudo (0,j) en el extremo

izquierdo, tenemos:

CONDICIONES DE BORDE

04 01,01,0,1,1 jjjjj TTTTT

Para este caso el punto imaginario (-1,j), está fuera de la placa. Este

punto sirve como vínculo para incorporar la condición de frontera de la

derivada. Tenemos:

Para lo cual se puede resolver:

Esta ecuación puede ser reemplazada generando:

Se pueden desarrollar relaciones similares para los otros contornos.

CONDICIONES DE BORDE

x

TxTT jj

2,1,1

x

TT

x

T jj

2

,1,1

0422 01,01,0,1

jjjj TTT

x

TxT

Ejemplo: Placa calentada con espesor aislado (borde inferior)

Placa sometida a una temperatura constante y borde inferior

aislado, tenemos:

Se obtiene la siguiente matriz:

Ejemplo: Placa calentada con espesor aislado (borde inferior)

Placa sometida a una temperatura constante y borde inferior

aislado, tenemos:

BORDES IRREGULARES

Las primeras derivadas:

Las segundas derivadas

DEFLEXIONES EN UNA PLACA

Una placa simplemente apoyada en sus bordes y sujeta a una

carga por unidad de área q, la deflexión (deformación) se puede

determinar resolviendo la EDP elíptica, según:

EJEMPLO

Determine la deflexión de una placa cuadrada simplemente

apoyada en sus bordes y sujeta a una carga por unidad de área,

Considere una placa de 2 m de largo, q= 33.6 KN/m2, = 0.3,

dz=10-2 m y E = 2x1011 Pa. Considere dx=dy= 0.5 m

Naturaleza y tipología de las ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales a

resolver.

Ya se ha señalado que las ecuaciones diferenciales que

interesan son aquellas provenientes de la expresión

matemática de las leyes y principios físicos que explican

fenómenos relacionados a la ingeniería civil. Estas leyes

son normalmente la de conservación de la masa,

conservación de la cantidad de movimiento (o

momentum) y conservación de la energía.

Algunas ecuaciones también provienen del transporte

(en el sentido del teorema de transporte de Reynolds.

presentado normalmente en los cursos de Mecánica de

Fluidos) de las propiedades antes señaladas (masa,

momentum, energía). En sistemas físicos más o menos

complejos lo que se obtiene son sistemas de

ecuaciones en derivadas parciales.

Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden

clasificar a partir de la siguiente ecuación general,

donde U representa a la variable dependiente y ‘x” y ‘t”

(o ‘y’) representan a las variables independientes.

0gfUt

Ue

x

Ud

t

Uc

tx

Ub

x

Ua

2

22

2

2

(1)

x

U

t

U

Esta ecuación se denomina de ‘segundo orden”, ya que

contiene solo primeras y segundas derivadas. Además, se

dice que (1) es ‘lineal” cuando los coeficientes a, b. c y g

son constantes o funciones de “x” y “t” solamente. Una

propiedad importante de las ecuaciones lineales es la

“superposición’, en virtud de la cual la suma de soluciones

particulares es también solución de la ecuación diferencial

Cuando los coeficientes a. b. c y g son funciones de x, t,

U, ,

la ecuación se dice “cuasi-lineal”.

Si los coeficientes son funciones de las segundas

derivadas, la ecuación diferencial se clasificará como “no-

lineal”.

La variable dependiente U puede representar

propiedades físicas muy diferentes, como temperatura,

velocidad, caudal, tensión, deformación, presión,

concentración de un contaminante, etc.

Dependiendo de la Importancia relativa de los

coeficientes a, b, c g la ecuación puede tener diferentes

comportamientos, los que incidirán fuertemente en sus

características y en los métodos de solución aplicables.

Sin entrar en mayores detalles de tipo matemático, los

que pueden ser encontrados por ejemplo en Smith

(1985), las ecuaciones diferenciales parciales se

clasifican en:

a) Ecuaciones elípticas: si b2-4 ac < O

Estas ecuaciones están generalmente asociadas a

problemas que representan una condición de equilibrio, es

decir, problemas donde no aparece la variable “tiempo” (p. e.

movimiento permanente). Casos conocidos son, por ejemplo,

la ecuación de Poisson

(2)0gy

U

x

U2

2

2

2

y también la ecuación de Laplace

(3)

Ecuaciones de este tipo provienen de problemas de

equilibrio de tensiones, flujo potencial (hidráulico, eléctrico),

etc.

La solución de este tipo de ecuaciones se obtiene en un

solo paso. a diferencia de las restantes, donde se debe

avanzar paso a paso en el tiempo.

0

2

2

2

2

y

U

x

U

b) Ecuaciones parabólicas: si b2-4 ac = 0

Generalmente provienen de problemas donde la variable

“tiempo’ es relevante (movimiento impermanente, por

ejemplo) y donde se propaga alguna propiedad física,

como la propagación de calor, de momentum, de un

contaminante, etc.,

La expresión típica de una ecuación parabólica

unidimensional de propagación de calor es, por ejemplo

(4)

2

2

x

UK

t

U

donde K es una constante relacionada con las

propiedades conductivas del medio de transporte.

La solución de este tipo de ecuaciones se obtiene con

un procedimiento de marcha en el tiempo’, partiendo de

una solución inicial (tiempo=0) y avanzando dando ‘sal

tos’ en el tiempo.

c) Ecuaciones hiperbólicas: si b2 - 4 ac > 0

Estas ecuaciones generalmente están asociadas a

fenómenos de vibración o de propagación de ondas en

diferentes medios (ondas de presión en líquidos,

cuerdas superficies o cuerpos vibrantes, etc.). Por

ejemplo, la ecuación

(5)

2

22

2

2

x

Uc

t

U

Puede representar el desplazamiento de una cuerda

vibrante (en la dirección perpendicular a x) o la variación de

la presión en una onda de presión que se desplaza en un

tubo con líquido a presión.

Todas las ecuaciones diferenciales cuasi-lineales pueden

ser resueltas numéricamente mediante diferencias finitas,

aunque en algunos casos existen otros métodos eficientes

alternativos (método de las características, para

ecuaciones hiperbólicas, por ejemplo). Soluciones

analíticas son posibles solo para casos muy simples y

limitados a condiciones especiales.

Metodología general para la construcción de modelos

Problema Real Hipótesis simplificatorias

Formulación de un modelo

matemático

Calibración o ajuste de los

parámetros del modelo

Solución numérica del

modelo

Validación:

Que tan bueno es el

modelo?

Observaciones (datos) del

fenómeno real

Modificación del

modelo

Modelo apto para ser usado con

fines prácticos

No satisfactorio

Satisfactorio

El mundo continuo y el mundo discreto

Mundo Continuo Mundo Discreto

t

f

t

ff n

j

n

j

1

t

t

fff n

j

n

j

1

Conceptos del análisis en que se apoyan los

métodos de diferencias finitas

a) Teorema del valor medio.

Si una función u es continuamente diferenciable (i. e. su

derivada existe y es continua) en un intervalo [a,b],

entonces existe un punto ξ ε [a,b] tal que

(1)

lo que gráficamente puede interpretarse como que existe

un punto tal que la pendiente de la tangente en tal punto es

igual a la pendiente de la secante que pasa por a y b. tal

como se indica en la Fig. 3

)(

)(ab

x

uaubu

a ξ b

u(a)

du(ξ) (b-a)

dx

u(x)

x

Fig. 3. Teorema del valor medio.

ya que de (1)

(2)

El teorema del valor medio también se puede re-escribir

como:

(3)

x

)(u

ab

aubu

)ab(x

)(uaubu

b) Expansión en serie de Taylor.

Si una función u es k-veces continuamente

diferenciable sobre un intervalo [a,b], entonces, para

todo x y xo ε [a, b] existe ξ entre x y xo tal que

(4)

k

ok

o

k

k

ok

o

k

o

o

o

o

o

xxx

xu

kxx

x

xu

k

xxx

xuxx

x

xuxuxu

)()(

!

1)(

)(

)!1(

1

....)()(

!2

1)(

)()()(

1

1

1

2

2

2

Nótese que el signo de igualdad vale tanto para el

teorema del valor medio como para la expansión en

serie de Taylor; la existencia de garantiza la igualdad y

no una aproximación.

Se puede apreciar también que el teorema del valor

medio corresponde a un caso particular de la expansión

en serie de Taylor, para k=1, xo=a y x=b.

c) Aproximación en serie de Taylor.

Si los puntos x y x están suficientemente cercanos, se

puede comprobar que la contribución de los términos

de las derivadas de orden superior es cada vez menor,

ya que (x-xo)n es menor mientras mayor es n. En este

caso, la ecuación (4) puede ser aproximada por

p

op

o

p

o

o

o

o

o

xxx

xu

p

xxx

xuxx

x

xuxuxu

)()(

!

1

....)()(

!2

1)(

)()()( 2

2

2

(5)

La aproximación (5) puede ser utilizada en dos sentidos

diferentes

i) Para aproximar u(x), conocidos u(xo)y las derivadas

dpu(xo).

ii) Para aproximar las derivadas dpu(xo)/dxp, conocidos los

valores de la función u(x) y u(xo).

d) Interpretación geométrica de la aproximación por

serie de Taylor

Es instructivo visualizar el significado geométrico de las

aproximaciones mediante serie de Taylor, en efecto, la

aproximación (5) permite calcular un valor aproximado

de la función, basado en el conocimiento del valor de la

función en un punto conocido xo y de las derivadas de la

función en dicho punto.

Esto es válido siempre que la función sea p-veces

continua y diferenciable en el intervalo [a,b] y tanto x

como xo estén dentro de dicho intervalo. Se debe notar

que esta aproximación no requiere conocer la expresión

analítica de la función, solo u(xo) y las derivadas en xo.

La aproximación mejorará en precisión mientras más

términos de la expansión en serie sean considerados,

generándose, por lo tanto, aproximaciones de diversos

grados, según sea donde se produce el truncamiento de

la serie.

i) Aproximación de orden O

La aproximación más burda que se puede tomar en el

entorno de xo está dada por el truncamiento de la serie (5)

inmediatamente después del primer término, o sea

u(x) u(x ) (6)

con un error del orden de (x-xo)

La Fig. 4 interpreta geométricamente esta aproximación.

La aproximación de orden O puede ser usada cuando no

se conoce las derivadas en el punto xo es decir no se

conoce la pendiente de la curva u(x).

ii) Aproximación de 1er orden

En el caso de disponer de información relativa a la

primera derivada en xo, la aproximación dada por (6)

puede ser mejorada, usando la información adicional

y reduciendo la discrepancia entre el valor real y el

aproximado

)(

)()()( o

o

o xxx

xuxuxu

(7)

con un error del orden de (x-xo)2. Si x está suficientemente

cerca de xo la diferencia (x-xo) será pequeña y elevada al

cuadrado será aún más pequeña.

La Fig. 5 muestra la interpretación gráfica de la aproximación

(7).

a xo x b

u(xo)

Valor Real

Valor Aproximado por (6)

u(x)

x

Fig. 4. Interpretación geométrica de la aproximación de orden O.

a xo x b

u(xo)

Valor Real

Valor Aproximado

por (6)

u(x)

Valor Aproximado

por (7)

)( oxx

x

u

Fig. 5. Interpretación geométrica de la aproximación de 1er orden.

Para mejorar la aproximación dada por (7) se requiere

de información adicional, y esta no es otra que la

relativa a la concavidad de la función en xo.

Evidentemente el grado de aproximación mejorará si se

conoce que en xo la concavidad es positiva o negativa.

Como es sabido del cálculo, la segunda derivada de

una función en un punto representa a la concavidad en

dicho punto.

iii) Aproximación de 2° orden.

Conocidas la primera y segunda derivadas en x

podemos agregar un término adicional, truncando (5) en

el término de orden 3 y sucesivos

(8)

con una aproximación del orden de (x-xo)3.

La Fig. 6 muestra una interpretación gráfica de la

aproximación dada por (8), indicando la contribución de

cada uno de sus términos.

2

2

2

)()(

!2

1)(

)()()( o

o

o

o

o xxx

xuxx

x

xuxuxu

a xo x b

u(xo)

Valor Real


u(x)


x


2

2

2

)(2

1oxx

x

u

)( oxx

x

u

Fig. 6. Interpretación geométrica de la aproximación de 2° orden.

Se debe notar que todas las derivadas en (7) y (9) están

evaluadas en el punto xo.

La extensión de las aproximaciones a espacios de n-

dimensiones es inmediata, obteniéndose derivadas

parciales en lugar de las ordinarias; por ejemplo, la

aproximación de primer orden en un espacio de tres

dimensiones será

(9)

con todas las derivadas parciales evaluadas en el punto

(xo, yo, zo)

)()()(),,(),,( oooooo zz

z

uyy

y

uxx

x

uzyxuzyxu

Discretización del dominio de definición de una

función.

Se ha señalado que la expansión en serie de Taylor será

utilizada para relacionar el mundo continuo con el discreto,

de manera que, si se estudia una función uni-dimensional,

en lugar de interesar su comportamiento sobre todos los

puntos de la recta real que representa a la variable

independiente, interesa solamente en su comportamiento

sobre determinados puntos.

Se describe a continuación la forma de las discretizaciones

generalmente usadas para espacios de 1, 2 o 3

dimensiones.

i) Espacios uni-dimensionales.

Se tiene una sola variable independiente, por ejemplo “x”.

El espacio continuo está representado por una recta

(real), con infinitos puntos. El correspondiente espacio

discreto estará representado por un conjunto de N

puntos, repartidos sobre la recta real de acuerdo con

algún criterio pre-establecido (uniforme o desigualmente

repartidos), tal como se indica en la Fig. 7

Fig. 7 Discretizacion de un espacio uni-dimensional

ii) Espacios bi-dimensionales

En este caso hay dos variables independientes, por

ejemplo “x” y “t” , definiendo un plano como el indicado en

la figura 8.

Fig. 8 Discretizacion de un espacio bi-dimensional

iii) Discretización de un espacio tri-dimensional.

En este caso ahora hay tres variables independientes, por

ejemplo ‘5c”, “y” y “t”. como se indica en la Fig. 9.

Fig. 9 Discretizacion de un espacio tri-dimensional

Uso de la serie de Taylor para aproximar las

derivadas de una función

Se continuara trabajando con funciones de una sola

variable, por razones de simplicidad en la notación, pero

los resultados son igualmente validos para espacio multi-

dimensionales. Se denotara indistintamente como “x” o

“t” la variable independiente. Sin que ello implique

referencia alguna a su significado.

Fig. 10 Aproximación por serie de Taylor

Sean A, B y C tres puntos correspondientes a valores t-∆t, t y t+∆t en una función u(t). Tal como se indica en la

figura 10.

Entonces se puede evaluar el valor de la función en C a

partir de B como:

...

!3!2)()(

3

33

2

22

t

ut

t

ut

t

uttuttu (10)

Asimismo, se puede evaluar el valor de la función en A a partir de b como

(11)

Nótese que:

i) Todas las derivadas están evaluadas en el punto “t”, conocido.

ji) La función “u” es continuamente diferenciable sobre el intervalo en

estudio.

iii) Tanto en (10), (11) como en la Fig. 10, está implícita la idea de

“discretizar” el espacio de definición de la función, algo que ya ha sido visto

en párrafos anteriores.

A partir de las ecuaciones (10) y (11), o de combinaciones de ella, se puede

obtener aproximaciones a las primeras y segundas derivadas, lo que da

origen a diferentes expresiones o esquemas.

...

!3!2)()(

3

33

2

22

t

ut

t

ut

t

uttuttu

Esquema de diferencias hacia adelante o anteriores (forward

differences) de primer orden.

De la ecuación (10), se puede calcular derivada, en efecto, despejando du(t)/dt

(12)

o bien

(13)

donde O( ) agrupa a todos los términos de la serie infinita que involucran

derivadas de orden igual o superior a la segunda, o sea, términos de “primer

orden” en o superior. Lo que es equivalente a decir que la primera derivada

puede ser aproximada por

..

!3!2

)()()( 2

3

3

2

2

t

t

ut

t

u

t

tuttu

t

tu

)(

)()()(tO

t

tuttu

t

tu

t

t

Esquema de diferencias hacia atrás o posteriores (backward

differences) de primer orden.

Análogamente al caso anterior, se puede utilizar (11) para aproximar

la primera derivada como

(15)

con un error de truncamiento del orden de

t

ttutu

t

tu

)()()(

t

(14)

con un error, debido al truncamiento de la serie, del orden de o de

“primer orden”.

t

tuttu

t

tu

)()()(

t

Esquemas de diferencias centrales o centradas (central

differences) de segundo orden.

i) Aproximación de primeras derivadas.

Restando las ecuaciones (10) y (11), se obtiene

o sea

(16)

......

)(

!3

2)(2)()(

3

33

t

tut

t

tutttuttu

)(

2

)()()( 2tOt

ttuttu

t

tu

lo que se aproxima como

(17)

con un error de truncamiento del orden de (segundo orden).

t

ttuttu

t

tu

2

)()()(

El esquema dado por (17) se aplica directamente a derivadas parciales, en

efecto, (17) podría interpretarse como si la función “u” dependiese de otras

variables además de “t”.

ii) Aproximación de segundas derivadas.

Sumando (10) y (11), se obtiene

o sea

(18)

t

u

.....

)(

!4

2)()()(

4

44

2

22

t

tut

t

tutttuttu

)(

)()(2)()( 2

22

2

tOt

ttututtu

t

tu

lo que se aproxima como

(19)

también con un error de truncamiento del orden de (segundo orden).

iii) Terceras derivadas

Las derivadas de orden superior se pueden aproximar mediante diferencias

centrales con la introducción de variables auxiliares. Así, la tercera derivada se

calcula como la primera derivada de una variable auxiliar dada por

(20)

luego

22

2 )()(2)()(

t

ttututtu

t

tu

2

2

t

uV

t

v

t

u

3

3

por lo tanto

y

o sea

(21)

con un error de truncamiento del orden de (segundo orden)

)(

2

)()( 2

3

3

tOt

ttvttv

t

u

t

t

u

t

u

t

u tttt

2

2

2

2

2

3

3

223

3 )2()(2)()()(2)2(

2

1

t

ttuttutu

t

tuttuttu

tt

u

33

3 )2(5.0)()()2(5.0

t

ttuttuttuttu

t

u

2t

iv) Cuartas derivadas.

Similarmente al caso de las terceras derivadas, la cuarta derivada se calcula

como la segunda derivada de la variable auxiliar ya introducida en (20), o sea

por lo tanto

o sea

(22)

con un error de truncamiento del orden de (segundo orden).

)(

)()(2)( 2

22

2

4

4

tOt

ttvtvttv

t

v

t

u

22224

4

t

)t2t(u)tt(u2)t(u

t

)tt(u)t(u2)tt(u2

t

)t(u)tt(u2)t2t(u

t

1

t

u

44

4 )2()(4)(6)(4)2(

t

ttuttututtuttu

t

u

2t

v) Segundas derivadas cruzadas.

Se puede demostrar que

(23)

con un error de truncamiento del orden de O

Esquemas de diferencias finitas de orden superior.

En las secciones 6.1 y 6.2 se han obtenidos aproximaciones de primer orden

[i.e. O ] a las primeras derivadas, a base de diferencias hacia adelante y atrás.

La pregunta ahora es si es posible obtener aproximaciones de orden superior,

por ejemplo

O , de manera de reducir el error de truncamiento. La misma pregunta se

puede plantear a las aproximaciones de segundo orden basadas en las

diferencias centrales de la sección 6.3.

Sí se analiza la aproximación a la primera derivada, por diferencias hacia

adelante, de las expresiones (12) y (13), que se repiten a continuación

yx

uuuu

t

u jijijiji

4

1,11,11,11,1

4

4

),( 22 yx

)t(Ot

)t(u)tt(u

t

)t(u

y

...!3

t

t

u

!2

t

t

u

t

)t(u)tt(u

t

)t(u

3

3

2

2

(12)

(13)

se puede ver que la aproximación dada por (13) resulta de primer orden

debido a que se está despreciando el segundo término del lado derecho

de (12) (y los términos siguientes). Por lo tanto, si se desea buscar alguna

forma de disminuir el error de truncamiento (o sea de obtener una

aproximación de segundo orden), se debería buscar la manera de

introducir ese segundo término en la aproximación de la primera derivada.

Lo anterior conduce a la necesidad de contar con aproximaciones de la

segunda derivada mediante diferencias hacia adelante, las que se

pueden obtener a partir de una expansión en serie de Taylor en torno a “t”

con un intervalo (hacia adelante) de 2 t

multiplicando (12) por 2

(25)

y restando (25)-(24) se puede eliminar la primera derivada, obteniéndose

de donde

....t

)t(u

!3

)t2(

t

)t(u

!2

)t2(

t

ut2)t(u)t2t(u

3

33

2

22

....

)(

!32

)(

!222)(2)2(2

3

33

2

22

t

tut

t

tut

t

uttuttu

....

!3

6

!2

2)()2()2(2

3

33

2

22

t

ut

t

uttuttuttu

...

)2()(2)(3

3

22

2

t

t

u

t

ttuttutu

t

u

(24)

o sea

(26)

con una aproximación de primer orden solamente.

Reemplazando el segundo término del lado derecho de (i2) por (26) se obtiene

la que, reordenada, resulta ser

22

2 )2()(2)(

t

ttuttutu

t

u

)( t

...

!32

)2()(2)()()()( 2

3

3

2

t

t

ut

t

ttuttutu

t

tuttu

t

tu

...

!32

)2()(4)(3)( 2

3

3

t

t

u

t

ttuttutu

t

tu

y truncando después del primer término del lado derecho

(27)

que constituye una aproximación de segundo orden a las primeras

derivadas aproximadas mediante diferencias hacia adelante.

Usando un procedimiento similar se podrían obtener aproximaciones de

primer orden para las terceras y cuartas derivadas, aproximaciones de

segundo orden para la segunda, tercera y cuarta derivada, todas ellas

basadas en diferencias hacia adelante, Nada impide hacer lo mismo para

diferencias hacia atrás y para obtener aproximaciones de ‘cuarto orden

para las diferencias centrales. La Tabla 1, presentada por Abbott y Basco

(1989), resume todas estas aproximaciones, usando una notación solo

levemente diferente (se debe reemplazar “f” de la Tabla por “u”).

t

ttuttutu

t

tu

2

)2()(4)(3)(

Como puede apreciarme, para aproximar derivadas con un orden

superior, hay que incorporar más puntos donde el valor de la función es

conocido Asimismo, es fácil ver que para aproximar una derivada

cualquiera hay muchas alternativas posibles (diferencias hacia adelante,

hacia atrás o centrales, y con variados grados de aproximación (primer,

segundo y cuarto orden), aunque podría ser posible seguir aumentando el

orden de la aproximación. El punto es ahora averiguar cual o cuales de

los esquemas de aproximación es más adecuado en una aplicación

concreta.

Tabla 1. resumen de aproximaciones de primer,

segundo y cuarto orden, para las primeras cuatro

derivadas [tomada de Abbott y Basco (1989)]

- 1 1

1 - 2 1

1 3 - 3 1

1 - 4 6 - 4 1

f j f 1j f 2j f 3j f 4j

x

fx

x

fx

2

22

x

fx

3

33

x

fx

4

44

(a) Diferencias hacia adelante O (∆x)

-1 1

1 -2 1

1 3 -3 1

1 - 4 6 - 4 1

x

fx

x

fx

2

22

x

fx

3

33

x

fx

4

44

f 4j f 3j f 2j f 1j f j

(b) Diferencias hacia atrás O (∆x)

- 3 4 -1

2 - 5 4 1

-5 18 - 24 14 -3

3 - 14 26 - 24 11 -2

f j f 1j f 2j f 3j f 4j

x

fx2

x

fx

2

22

x

fx2

3

33

x

fx

4

44

f 5j

(c) Diferencias hacia adelante O x2

1 -4 3

-1 4 -5 2

3 - 14 24 -18 5

-2 11 -24 26 -14 3

x

fx2

x

fx

2

22

x

fx2

3

33

x

fx

4

44

f 4j f 3j f 2j f 1j f jf 5j

(d) Diferencias hacia atrás O x2

-1 0 1

1 -2 1

-1 2 0 -2 1

1 -4 6 -4 1

x

fx2

x

fx

2

22

x

fx2

3

33

x

fx

4

44

f 2j f 1j f j f 2jf 1j

(e) Diferencias centrales O x2

1 -8 0 8 -1

-1 16 30 16 -1

1 -8 13 0 -13 8 -1

-1 12 -39 56 -39 12 -1

x

fx12

x

fx12

2

22

x

fx8

3

33

x

fx6

4

44

f 3j f 2j f 1j f j f 1j f 2j f 3j

(f) Diferencias centrales O x4

Esquemas explícitos e implícitos.

Al reemplazar las derivadas parciales de una ecuación diferencial por algunas

de las aproximaciones establecidas en la sección 6, se obtendrá una ecuación

en diferencias finitas que aproxima a la ecuación diferencial original y que es

posible de resolver en un computador. Por ejemplo, para resolver la ecuación

diferencial (advección pura)

(1)

usando diferencias hacia atrás para y diferencias hacia adelante para ,

resulta

(2)

de donde, reordenando, se obtiene

(3)

0

x

hc

t

h

x

h

t

h

0

1

1

x

hhc

t

hh n

j

n

j

n

j

n

j

n

jr

n

jr

n

j hChCh 1

1 )1(

con

(4)

La ecuación (3) se denominará un “esquema” numérico para resolver la

ecuación diferencial CI). Dado que el esquema permite calcular explícitamente

el valor de la incógnita al tiempo “n+l”, cono una función directa del valor de la

variable al tiempo anterior “n” (conocido), se dirá que tal expresión es un

‘esquema explicito”.

Dado que las derivadas en (1) se han aproximado con diferencias de primer

orden, el esquema (3) es también una aproximación de primer orden, o sea

O , de (1).

Hay una infinidad de esquemas posibles para resolver (1), así, si en lugar de

tomar diferencias hacia atrás para , se hubiese tornado diferencias

hacía adelante o diferencias centrales (ya sea de primer, segundo o cuarto

orden) el esquema representado por (3) habría sido ligeramente diferente, Lo

más importante es que los diversos esquemas posibles habrían tenido grados

de aproximación diferentes. El punto será entonces determinar el “mejor”

esquema, de entre los infinitos esquemas posibles, con un consumo razonable

de recursos computacionales.

x

tcCr

),( 2xt

xh

Los esquemas de tipo explícito son simples de aplicar, de hecho, programar el

esquema dado por (3) en una computador (o en una calculadora

programable…) es extremadamente sencillo, y esta es la principal ventaja de

los esquemas explícitos. Sin embargo, como se verá más adelante, hay un

precio que se debe pagar por esta simplicidad.

Como en esto de aproximar uno se puede tomar muchas licencias, alguien

podría sugerir que, en vez de tomar diferencias hacia adelante para ,

ubicándonos solo en el punto xj., porque no hacerlo tomando un promedio de

lo que pasa tanto en xj. como en xj+1, o sea

(5)

th

t

hh

t

hh

t

hn

j

n

j

n

j

n

j 1

1

1

1

5.0

De donde, claramente, ya no es posible despejar directamente el valor de las

incógnitas al instante “n+1”, obteniéndose un esquema de los denominados

“implícitos. En este caso, el esquema (5) deberá ser aplicado a todos los

puntos de la discretización, dando lugar a un sistema de ecuaciones lineales

en , con i recorriendo todo el espacio de las “x”. Las condiciones en los

puntos extremos de la discretización (para i=1l e i=N) deberán ser

especificadas, constituyendo las “condiciones de borde del problema.

Tenemos, por lo tanto, una variada gama de aproximaciones (de las derivadas)

que pueden dar origen tanto a esquemas explícitos como implícitos. Se

revisará a continuación algunas de las más conocidas, otras se introducirán

más adelante.

1n

ih

al reemplazar en (1), manteniendo como una diferencia hacia atrás,

resultaría un esquema como el siguiente

(6)

dxdh

n

j

n

jr

n

jr

n

j

n

j hhChChh 11

1

1

1 )21(2

Aproximaciones que dan origen a esquemas explícitos.

a) Esquema difusivo.

Usado en hidráulica para integrar las ecuaciones de Saint Venant del

movimiento impermanente, es básicamente una diferencia hacia adelante,

donde el valor de la función en el instante de tiempo anterior se toma como el

promedio del valor de la función en los puntos vecinos, o sea

(7)

b) Esquema “Leapfrog”(salto de la rana o caballito de bronce).

Donde se toman aproximaciones dadas por diferencias centrales en ambas

direcciones, por ejemplo

t

uuu

t

U jijiji

)(5.0 ,1,11,

t

uu

t

U

y

t

uu

t

U

jiji

ji

jiji

ji

2

2

,1,1

,

1,1,

,

(8)

(9)

este esquema, cuando es aplicado a una ecuación del tipo parabólico, como la

propagación de calor [ver ecuación (4) de la sección 7], con las segundas

derivadas aproximadas como diferencias centrales, es inestable [Abbott y

Basco (l989)]. corno en el siguiente esquema

(10)

c) Esquema de DuFort-Frankel.

Un cambio aparentemente insignificante puede estabilizar el esquema (10), y

consiste en reemplazar por el promedio aritmético de los valores de

a los tiempos n+1 y n-1, o sea, el esquema (10) pasa a ser

(11)

se puede verificar que el nuevo esquema, todavía explicito, es

incondicionalmente estable.

2

11

11 2

2 x

UUUK

t

UU n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

jU jU

2

1

11

1

11 )(

2 x

UUUUK

t

UU n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

Aproximaciones que dan origen a esquemas implícitos.

a) Aproximación de Crank-Nicolson.

Utilizado originalmente en ecuaciones del tipo parabólico, aproxima las

derivadas mediante un promedio aritmético de las derivadas a los tiempos “j” y

“j+1”. En el caso de las segundas derivadas, estas se aproximan mediante

diferencias centrales dadas por

(12)

Las primeras derivadas pueden ser aproximadas por

(13)

claramente, el esquema resultante será implícito, ya que el valor de la incógnita

al tiempo “j+1” aparece en más de un término en las aproximaciones (12) y (13)

2

,1,,1

2

1,11,1,1

2

2 22

2

1

x

UUU

x

UUU

x

U jijijijijiji

x

UU

x

UU

x

U jijijiji ,1,1,11,

2

1

b)Método de los cuatro puntos o de la “caja”

Consiste en una generalización del método de Crack-Nicolson, esta vez

tomando promedios ponderados, en lugar de promedios aritméticos, en el caso

anterior e una función de dos variables (x y t), la aproximación sería

(14)

y

(15)

con un error de truncamiento variable, de acuerdo a los valores de los

coeficientes θ; para θ =0.5 la aproximación es del orden de . Los coeficientes

deben cumplir además con la condición

t

UU

t

UU

t

U jijijiji ,11,1

1

,1,

1)1(

x

UU

x

UU

x

U jijijiji 1,1,1

2

,,1

2 )1(

10

10

2

1

El valor de la función dado por el promedio entre los cuatro puntos que forman

la celda

(16)

La Fig. 11 muestra gráficamente las características del esquema de los 4

puntos, donde se puede apreciar que los coeficientes de ponderación permiten

mover el punto P alrededor de toda la celda.

Evidentemente, por aparecer más de una incógnita al tiempo j+1 e una

ecuación, el esquema es implícito

2)1(

2

,1,

2

1,11,

2

jijijiji uuuu

Fig. 11 Esquema de los cuatro puntos

El esquema de los cuatro puntos es unos de los esquemas de

aproximación mas usados debido a su generalidad y características

numéricas . Si los coeficientes de ponderación se hacen igual a 0.5 , se

vuele al esquema de Crack-Nicolson (o esquema de los cuatro puntos

centrados), mientras que si θ es igual a 0 el esquema se transforma en

una simple diferencia hacia adelante (esquema explícito).

El esquema es conocido también en aplicaciones a la hidráulica como método

de Preissmann .

En el ejemplo de la ecuación (1) de adveccion pura, la aproximación de los

cuatro puntos conduciría al siguiente esquema.

(17)

Para las segundas derivadas, la aproximación de los cuatro puntos seria:

0x

hh

x

hh1C

t

hh

t

hh1

1j,i1j,1i2

j,ij,1i2

j,1i1j,1i1

j1j,i1

x

UU2U

x

UU2U1

X

U2

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computacion, uls, computacion aplicada

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