PREPACOURCELLES 2°année

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Compléments sur l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle

1. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

a. Fonction négligeable devant une fonction

i. Définition d’une fonction f négligeable devant g au voisinage de a Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de a 𝑓(𝑥) = 𝑜 𝑔(𝑥) ⟺ ∃𝜀 telle que 𝑓(𝑥) = 𝜀(𝑥).𝑔(𝑥) à partir d’un certain rang, avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0

Exemple : 𝑥! = 𝑜(𝑥) au voisinage de 0. En effet :𝑥! = 𝑥!. 𝑥 = 𝜀 𝑥 . 𝑥 avec 𝜀 𝑥 = 𝑥! et lim!→! 𝜀(𝑥) = 0

ii. Caractérisation Si 𝑔(𝑥) ne s’annule pas au voisinage de a :

𝑓 𝑥 = 𝑜 𝑔 𝑥 ⟺ lim!→!

𝑓 𝑥𝑔 𝑥 = 0

iii. Propriétés

1. Transitivité

Si 𝑓(𝑥) = 𝑜 𝑔(𝑥) et 𝑔(𝑥) = 𝑜 ℎ(𝑥) alors 𝑓(𝑥) = 𝑜 ℎ(𝑥)

2. Combinaisons linéaires Soit f , g et h trois fonctions définies au voisinage de a Si 𝑓(𝑥) = 𝑜 ℎ(𝑥) et 𝑔(𝑥) = 𝑜 ℎ(𝑥) alors ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅!,𝑎𝑓 𝑥 + 𝑏𝑔 𝑥 = 𝑜 ℎ 𝑥

iv. Rappels sur les polynômes :

• 𝑎!𝑥! ~ !!!! 𝑎!𝑥! au voisinage de ±∞

• 𝑎!𝑥! ~ !!!! 𝑎! au voisinage de 0

v. Traduction en termes de négligeabilité des limites des fonctions usuelles

1. ln 𝑥 = 𝑜 𝑥! 2. 𝑥! = 𝑜 𝑒!

3. ln 𝑥 = 𝑜 𝑒!

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b. Fonctions équivalentes

i. Définition f équivalente à g au voisinage de a

𝑓 𝑥 ~ 𝑔(𝑥)⟺ ∃𝜀 telle que 𝑓(𝑥) = (1+ 𝜀 𝑥 ).𝑔(𝑥) à partir d’un certain rang, avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0

ii. Caractérisation Si 𝑔(𝑥) ne s’annule pas au voisinage de a :

𝑓 𝑥 ~𝑔(𝑥)⟺ lim!→!

𝑓 𝑥𝑔 𝑥 = 1

iii. Traduction en termes d’équivalents au voisinage de 0 des limites des

fonctions usuelles

• ln 1+ 𝑥 ~ 𝑥

• 𝑒! − 1 ~ 𝑥

• 1+ 𝑥 ! − 1 ~ 𝛼𝑥

iv. Compatibilité de l’équivalence vis-à-vis des opérations suivantes

• Produit Si 𝑓 𝑥 ~𝑔(𝑥) alors 𝑓 𝑥 ℎ 𝑥 ~𝑔 𝑥 ℎ(𝑥)

• Composition par une fonction puissance

Si 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) alors 𝑓(𝑥) !~ 𝑔(𝑥) ! ,∀𝑘 ∈ 𝑁

• Quotient Si 𝑓 𝑥 ~𝑔(𝑥) alors !

!(!)~ !!(!)

, si f et g ne s’annulent pas en a

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2. Développements limités

a. Développement limité d’ordre 2 en 𝑥! d’une fonction de classe 𝐶!au voisinage 𝑥!

i. Définition f définie au voisinage de 𝑥! admet un DL2 en ce point si ∃(𝑎!,𝑎!,𝑎!,) ∈𝑅! tels que : 𝑓 𝑥 = 𝑎! + 𝑎! 𝑥 − 𝑥! + 𝑎!(𝑥 − 𝑥!)! + 𝑜( 𝑥 − 𝑥! !)

ii. Formule de Taylor Young Si f est une fonction définie en 𝑥! et de classe 𝐶!au voisinage 𝑥! alors un admet le DL2 suivant en 𝑥! :

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥!)+ 𝑓′(𝑥!) 𝑥 − 𝑥! + 𝑓"(𝑥!)(𝑥 − 𝑥!)!

2 + 𝑜( 𝑥 − 𝑥! !)

b. Unicité Si une fonction admet un développement limité, celui-ci est unique

c. Développements limités usuels d’ordre 2 au voisinage de 0

i. 𝑒! = 1+ 𝑥 + !!

!+ 𝑜(𝑥!)

ii. ln 1+ 𝑥 = 𝑥 − !!

!+ 𝑜(𝑥!)

iii. 1+ 𝑥 ! = 1+ 𝛼𝑥 + !(!!!)!

𝑥! + 𝑜(𝑥!) iv. Cas particuliers usuels

• 𝛼 = −1 ∶ !!!!

= 1− 𝑥 + 𝑥! + 𝑜 𝑥!

• 𝛼 = −1 ∶ !!!!

= 1+ 𝑥 + 𝑥! + 𝑜 𝑥!

• 𝛼 = !!∶ 1+ 𝑥 = 1+ !

!− !!

!+ 𝑜 𝑥!

d. Application à l’étude locale de fonctions Grâce à l’unicité du DL2 et par identification des formules a.i. et a.ii. :

• 𝑎! = 𝑓(𝑥!) donc f est continue en 𝑥!

• 𝑎! = 𝑓′(𝑥!) donc l’équation de la tangente à la courbe de f en 𝑥! est : 𝑦 − 𝑎! = 𝑎!(𝑥 − 𝑥!)

• si 𝑎! > 0, alors la courbe est localement au dessus de sa tangente

au point d’abscisse 𝑥!. Sinon, elle est localement au dessous.