RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Serie II, Tomo XXX (1981), pp. 53-62

C O M P L I M E N T S SUR LES E X T E N S I O N S H E X A P H I Q U E S

ALFRED DONEDDU

This paper follows up [2], [3], [4] (see bibliography).

Une extension L ~ droite d'un corps K d'ordre n, engendr6e par un 61~ment v, est un sur-corps de K dont une K-base h droite est { 1, v . . . . . v "-~ }. I1 existe n scalaires )~1, ~,2 . . . . . )~, tels que

(i) v" + v "-1 kj + r ~.2 + . . . + ),,, = O.

S i n = 3, il existe n6cessairement six 616ments A, B, C, D, E, F s End (K) tels que

(2) a v = a A + v �9 aB + t: �9 aC (a E K)

(3) a t : = a D + v �9 a E + t: �9 aF

et g = (A, B, C, D, E, F) est un hexaphisme de K. Les extensions cubiques g6n6- rales sont done hexaphiques [4].

Pour n > 3, une extension L h droite de K d'ordre n, engendr6e par v, a 6t6 nomm6e hexaphique si elle v6rifie (1), (2). I1 existe alors D,E, FE End (K) qui v6rifient (3) et ~ = (A, B, C, D, E, F) est un hexaphisme de K. On dit aussi que L est une g-extension de K [4]. Pour n _> 5, ~ est un hexaphisme d'int6- grit6 [3].

On donne maintenant quelques pr6eisions sur ce type d'extensions.

1. Le cas 06 ~ est du type (m, m', u).

Supposons d'abord n = 3 (i.e. L e s t une extension cubique g~n6rale :lroite de K). Cherchons 5 quelle condition L e s t pseudo-lin6aire sur K. Pour :elh, il faut et il suffit qu'il existe w E L - K, un anneau-endomorphisme cr de

~ 4 ALFRED DONEDDU

K et une o'-d6rivation A de K tels que

(4) a w = va �9 a~r + a A ( a E K ) .

Si l 'on pose:

w - - - h + v m W v2m ' (h, m, m' E K)

on a w E L - - K si et seulement si (m, m') ~ (O, O), et alors {1, w , w 2} est K-base ~ droite de L. En rempla~ant dans (4) on obtient:

a h q- ( a A -t- v . a B q- v 2 . a C ) m -t- ( a D q- v . a E q- v2 . a l O m ' =

: (h + v m + yam ") �9 a ~ + a A ,

et par cons6quent:

a C r e q- a f r o " = m" �9 a o

a B m q - a E m ' - - - - m . a ~

a A m -t- a D m " = a A q- h �9 a a -- a h ,

est ~ est du type (m, m' , ~) [2]. La r6ciproque est imrn6diate d'oO la

PROPOSITION 1. Soit L une ~-extension ~ droite d 'un corps K d'ordre n - - 3.

Alors L e s t une ex tens ion pseudo-lin~aire de K si, et seu lement si, ~ est du type

(m, m' , ~).

Consid6rons maintenant une 8-extension L h droite d 'ordre n >_ 3 de K et supposons que ~ est du type (m, m', o'). S i m ' = 0, alors C = 0 et L e s t une extension pseudo-lin6aire de K avec l 'endomorphisme B et la B-d6rivation A. Ecartons ce cas bien connu. Alors on peut supposer m ' = 1. Posons:

(5) w = v z -4- v m.

Alors (4) a lieu avec A = A m + D. Consid6rons le sous-corps K (w) de L en- gendr6 par x sur K. On a:

[L : K] , = [L : K ( w ) ] , [K(w) : K ] , .

Mais on a [L : K ( w ) ] , < 2, et l'6galit6 a lieu si et seulement s i v ~ K ( w ) .

Maintenant, il est clair que v r K (w) si et seulement s i n = 2 p (p entier) et il existe ~t . . . . . ~xp dans K tels que

( 6 ) w p -t- w ~ I~1 + . . . -I- l~p = O.

COMPLI~.MENTS SUR LES EXTENSIONS HEXAPHIQUES 5 5

Dans ce cas (6) 6quivaut h (1) compte tenu de (5).

a) Si l'6quation (1) n'est pas du type (6), alors v E K ( w ) et L = K ( w ) .

Par (4), L est extension pseudo-lin6aire ~ droite de K d'ordre n.

b) Si l'equation (1) est du type (6) (ce qui exige n pair), alors par (4) et (6), K (w) est extension quadratique ~ droite de K (w) engendr6e par v. I1 existe alors un anneau-endomorphisme 0 et une 0-d6rivation W du corps K (w) tels que

(7) a W = a v -- v �9 aO ( a E K ( w ) ) .

En particulier, pour a E K, on a

a W = v ( a B -- aO) + a A q- v 2 �9 a C =

= v ( a B -- m . a C - - aO) + a A + w . aC.

Comme 0 et W appliquent K dans K (w) et que v ~, K (w), on a

a O = a B - - m . a C ,

a W = a A + w . a C .

(aEK)

Maintenant, on sait que 0 se prolonge h l'extension quadratique L de K(w) par v0 = - v - m, et on a obtenu le

THEOREME l. Soient K un corps avec un hexaphisme ~ = (A, B, C, D, E, I0

et L une ~-extension ?z droite de K d'ordre n >_ 3, engendr~e par un dI~ment v

vdrifiant (1), (2), (3). Supposons que ~ soit du type (m, 1, ~) et posons w = = v : + v m .

a) Si l'~quation (1) n'est pas du type (6), on a L = K (w) qui est extension

pseudo-lin~aire h droite d'ordre n de K engendrde par w avec l'endomorphisme et la ~-ddrivation h = D + A m .

b) Si l'dquation (1) est du type (6), alors K ( w ) est extension pseudo-

lindaire ?z droite de K d'ordre p = n /2 avec ~, z~, et l'dquation (6); de plus, L

est extension quadratique ?z droite de K (w) engendrde par v avec un endomor-

phisme 0 dont la restriction ~ K est B - - C r n t et qui se prolonge ~ L par I JO ~--- - - V - - m .

Notons que la possibilit6 de prolonger cr ~t l'extension pseudo-lin~aire K (w) de K est caract6ris6e en [1], Th6or~me 5. Remarquons aussi que, si tr est

56 ALFRED DONEDDU

int6rieure, alors K (w) s'obtient en prenant une extension centrale de K, suivie d'une extension binomiale. Si o" est un automorphisme int6rieur de K, alors K (w) s'obtient en prenant une extension eentrale de K suivie d'une extension ~-pure [ 1] Th6or~me 4. De plus, la earaet6ristique de K divise n dans le eas (a) et divise n /2 dans le cas (b).

2. Le cas o~ ker C admet A.

Soient K un corps avec un hexaphisme d'int6grit6 ~ = (A, B, C ,D ,E , F) avec C ~ 0, et L une ~-extension ~ droite de K d'ordre n >__ 3, engendr6e par un 616ment v v6rifiant (1), (2), (3). Si k = ker C, alors K = k (u) avec u C----- 1 et [K: k]r = 2, [3], Th6or~me 4. Done [L : k] , = 2n. On a

0~v = v �9 a B + o~A (6t Ek).

On sait que k admet B, et A est une B-d6rivation de k dans K. D6signons par k (v) le sous-corps de L engendr6 par v sur k. Supposons d 'abord que k n'admette pas A. Alors 6videmment u E k (v) et par suite L = k (v).

Supposons maintenant que k admette A. Alors k (v) est extension pseudo- lin6aire de k avec l 'endomorphisme B e t la B-d6dvation A. S'il existe darts (1) un coefficient )~i r k, alors u E k (v) et L = k (v) qui est extension pseudo-li- n6aire de k d'ordre 2n. Si, au contraire, on a )~iEk (1 <__ i___ n), alors k (v ) est extension pseudo-lin6aire h droite d'ordre n avee l'6quation (1) et [L : k (v)]r = 2. On a done le

TnEO~E~E 2. Soient K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~ = = (A, B, C, D, E, F) et L une $-extension ?l droite de K d'ordre n >__ 3, engen- drde par v vdrifiant (1), (2), (3). Supposons que k = kerC admette A. Alors k (v) est extension pseudo-lindaire de k avec l'endomorphisme B e t la B-d~ri- ration A.

a) S'il existe dans (1) un coefficient )~i tel que )~ ~, k, alors on a L = k (v) qui est extension ?t droite de k d'ordre 2 n.

b) Si )~ ~ k (1 < i < n), alors k (v) est extension ?z droite de k d'ordre n avec l'dquation (1) et L e s t extension quadratique ?t droite de k (v ) engendr~e par u E K tel que u C = l .

3. Id~aux bilat/:res de K Ix; 6].

Soit K un corps avec un hexaphisme d'int6grit6 ~ = (A, B, C, D, E, I0 et consid~rons dans l'anneau hexaphique P = K [x; ~] [3] le polyn6me

(8) ! = x" + x "-1)~1 + . . . +

COMPL~MENTS SUR LES EXTENSIONS HEXAPHIQUES 57

avec )~ C ~ - 1. Alors / est le polyn6me normalis6 de plus bas degr6 dans

l'id6al g droite f P et, pour tout g E P , d ( f g ) = d(f ) + d(g).

Supposons maintenant ] P bilat~re. I1 existe alors un anneau-endomorphisme

0 de P t e l q u e

(9) g ] = f �9 gO (gEP)

et 0 se prolonge au corps O des fractions ~ droite de P (en l 'automorphisme

int6rieur induit par /). En particulier, il existe ~ et b dans K tels que

c'est-~-dire:

x ~-i+l ~,i = O.,:i.en

x f = ] ( x ~ -- b)

Y~ x " - i ( ( x 2" ~,IC + x " )~iB + ) ~ i A ) - )~ib) O~i~n

en convenant O~ = 1). On en d6duit d 'abord ~3 et b e n identifiant les coeffi-

cients h droite de x "+1 et x":

(10) (1 + L I C ) ~ = 1, ( k , B + ~ , 2 C ) - - b = ) ~ t

et en identifiant les autres coefficients:

(11) ki+l = (Xi+2C "3C ki+I B "JC )~i A) - - ki b (1 <_ i <-- n)

(en convenant ~..+1 = )~.+2 = 0). On peut remarquer que ~ E k et que:

1 - - (b ~-1) C = (1 + ~,1C) (1 + ~.~CB) # 0

et par suite, en rappelant que ~ est le groupe des unitds de P:

x = x ~ - b r (12)

Posons maintenant

(13)

Alors par (9) on a

(14)

t= l -X~ .

g t = t �9 gO + g W (gEO)

W 6tant la 0-d6rivation int6rieure de O induite par )~ . I1 nous faut maintenant

distinguer la parit6 de n:

5 8 ALFRED DONEDDU

ler cas: n = 2 p . Alors pour tout a E K

a I - - a ( x 2 P + x 2 p - I L 1 ) - - - - x 2 ~ . a ( F P + F P - 1 C X 1 ) (mod. P2~_0

done d ( a / ) = d ( I ) et par suite

(15) a0 = a ( F p + FP-ICX1) ( a E K ) .

Par cons6quent, K admet h la fois 0 et W.

R6ciproquement, supposons (10), (11) vErifi6s, que (12) et (15) dEfinissent un anneau-endomorphisme 0 de P, et que la restriction h K de W (dEfini en (14)) est la 0-dErivation intErieure de K induite par k~. Alors par (10)-(12) on a x ! = ] . xO et par (14) a f = J . aO ( a E K ) et par suite ] P e s t bilat~re.

I1 est h remarquer que, si C = 0, ce cas vaut quelle que soit la parit6 de n, ce qui donne une caractEristique des idEaux bilat~res de l 'anneau pseudo-

linEaire K Ix; B, A].

2brae cas: n = 2 p + 1, et C ~ 0 . Pour a E K , on a

a x ap -~ x 2p �9 a F p + x ap-I �9 a Gp (mod. P2p_2)

Gv &ant dEfini par recurrence par:

GI = E, Gv+l = F p E + Gp F.

Or, pour tout a E K:

a / ~ a x av+l -.~ x av+" �9 a F P C + x ap+l �9 a(FV B + G v C ) (mod. P2p).

Pour p = 1, on sait [3] que F B + E C = B F + C E . Par recurrence sur p, il est facile de voir que, pour tout p >__ 1,

F vB + G v C = B F ~' + C G v .

Alors, si a E ker C, on a d (a t) = d (t) et par suite

(16) a0 = a B F v (aE k)

et 0 applique k dans k.

Si a ~ k, alors d (a f) = d (/) + 1; il existe ~, ~ E End (K) tels que

a t = t ( x . ae? - - a ~ ) .

COMPLI~.MENTS SUR LES EXTENSIONS HEXAPHIOUES ~ 9

En identifiant les termes de degr6 2 p - t - 2 et 2 p + 1, on trouve

(1 -t- )~IC) �9 a 9 = aFPC (17) (a E K -- k)

( k lB + ~.2C) �9 a ~ -- ad~ = a ( B F p + CGp).

On v6rifie alors que

(a+ �9 ( a ~ ) - l ) C = ~.IBC -- aF~BC(aq~B) -1 = 1,

et par cons6quent a O = x . a ~ - - a t ~ E H ,

H 6tant le corps engendr6 sur k par x -- u (u C = 1) [3], Thfor~me 4. Donc 0 applique K dans H (et par suite H dans K). Dans ce cas, K n'admet pas 0 et n 'admet pas non plus W.

R&iproquement, supposons que (10), (11) aient lieu, que de plus (12), (16), (17) d6finissent un anneau-endomorphisme de P et que la restriction K de W soit la 0-d6rivation de K induite par )~,. Alors J P e s t bilat~re, d'oO la

PROPOSITION 2. Soient K un corps avec un hexaphisme d'int~grit~ ~---

= ( A , B , C , D , E , F ) , Q le corps des Jractions ?~ droite de P = K Ix; ~] et ] = x " + x " - ~ ) ~ 1 + . . . + ~,. un polyn6me de P tel que k , C # - - 1. Posons t = J - )~,. Les propositions suivantes sont ~quivalentes:

1 ~ )

2 ~ )

3 ~ ) de plus:

a)

J P est bilatbre dans P.

L'automorphisme intdrieur 0 de Q induit par ] applique P dans P.

~ E k = k e r C et b E K ~tant calculus par (I0), alors (11) a lieu et

S i n ---- 2 p (ou si C = 0 et quelle que soit la parit~ de n)

x O = x ~ - - b , a O = a ( F V + F P - I C ~ , l ) (a E K)

ddfinissent un anneau-endomorphisme 0 de P et la restriction ?~ K de W d~[ini en (14) est la O-d~rivation de K induite par )v,.

b) S i n = 2 p + 1 et C ~ O, q) et d~ ~tant d~Jinis dans End(K) par (17),

xO = x ~ -- b, ~0 = t z B F p (o~E k), aO -- x �9 atp -- ad? ( a E K -- k)

d~[inissent un anneau-endomorphisme 0 de P (qui applique K dans H engendr~ sur k par x -- u (u C = 1)) et la restriction ~ K de W e s t la O-d~rivation de K dans P induite par )~,.

6 0 ALFRED DONEDDU

4. Construction d'extension hexaphiques.

A partir de cette &ude, il est possible de donner une construction d'exten- sions hexaphiques de degrd pair, construction que l 'on pourra appliquer, avec quelques modifications de ddtail, aux extensions pseudo-lindaires de degrd quel- conque.

Soit K un corps avec un hexaphisme d'int6grit6 ~ = ( A , B , C, D, E, F) et supposons d'abord C ~ 0. Dans l 'anneau P----K [x, ~;] consid6rons le polyn6me de degr6 pair

(18) t = x ap + x2P-l ~,i -t- . . . + x~,2p-i (p > 1, ~,1C ~ -- 1).

Nous supposons que, [3 et b dtant calculds par (10), on ait

(19) ~,i+1 = (~,i+2C + )~i+tB + )~iA) ~1 - - )~ib (1 <__ i <_ 2 p - - 3).

Nous supposons aussi qu'il existe un endomorphisme 0 de P ddfini par

x O = x fJ - - b, et a O = a (FP + FP-I C ~.I) (a fi K)

0 se prolonge 6videmment au corps O des fractions h droite de P. Nous suppo- sons enfin que la 0-ddrivation intdrieure W de O induite par - t (14) applique K dans K.

Alors K [t; 0, W] est un anneau pseudo-lindaire, sous-anneau de P. Soit Q0 son corps des fractions h droite. I1 est bien dvident que O est extension droite d'ordre 2 p de Q0 engendrde par x. Montrons que c'est une extension hexaphique de O0, et pour celh, que ~; se prolonge h Q0 en un hexaphisme d'intdgritd.

D'abord, par le calcul fait prdcddemment, il existe par (19) m e t m" dans K tels que

x t = t ( x f J - - b) + x 2 m + x m "

d 'o~

(20) t x = - - x 2 m + x ( t - - m' ) + t b ,

et on voit que t x est un polyn6me de degrd 2 en x h coefficients h droite dans O0. II s'en suit que, pour tout a de K, a t x est aussi un polyn6me de degr6 2 en x h coefficients h droite dans O0. De plus, en multipliant h droite par x les deux termes de l'dgalitd

on obtient a t = t �9 aO + a W ( a f i K )

(21) a t x = t x a . a O C + t x . a O B + t . a O A + a W x .

COMPLgMENTS SUR LES EXTENSIONS HEXAPHIOUES 61

Or 0 C = F pC(1 J r k l C ) , et pour a E K - - k , on a: a 0 C ~ 0 . Pour un tel

dldment a, (21) montre que t x 2. a O C est, comme a t x et t x . a O B et a W x ,

un polyn6me de degr6 2 en x h coefficients h droite dans O0.

I1 en r6sulte qu'il existe trois dldments A, B, C E End (Oo) tels que

(22) g x = x 2 �9 g C' Jr x �9 g B -t- g X (g E Oo)

dont les restrictions h K sont 6videmment A , B , C respectivement, et par [4],

Thdor~me 1, il existe un hexaphisme 8 = (A, B, C, D, E, F) (qui prolonge l'exa-

phisme ~ de K) tel que O est 3-extension h droite de Q0 d'ordre 2 p. On a donc

le rdsultat suivant:

THEOREME 3. Soient K un corps avec un hexaphisme d'intdgrit$ ~ :

: (A, B, C, D, E, F) avec C ~ O, et t = x 2p Jr x 2p-l )~l Jr . . . Jr x ~,2p_t (p > 1,

~,1C~ -- 1) un po lyn6me de P : K [x; 3] de degr$ pair 2 p. Supposons que

les trois condit ions suivantes (a), (b), (c) soient rempUes:

a) ~ E k et b E K ~tant calculus par (1 Jr ~,IC) [3 = 1, (~.IB Jr ~,2C) -- b =

: ~ . i , On a

~,i+l = O~,i+2C Jr ~.i+lB Jr )~ , iA)~- - ) ~ , i b ( 1 < i < 2 p - - 3 ) .

b) x O = x ~ -- b et a O = a (F p Jr FP-I C )~I) (a E K) ddfinissent un anneau-

endomorph i sme 0 de P ( qui se proIonge alors au corps O des ]factions ?z droite

de P).

c) la O-ddrivation intdrieure W de Q induite par - - t applique K dans K.

Alors, si on ddsigne par Qo le corps des ]ractions 71 droite de I 'anneau

pseudo-lin~aire K [t; 0, W], l 'hexaphisme ~ de K se prolonge ?t Qo en un hexa-

phisme ~ et O est-~-extension ~ droite de Oo d'ordre 2 p engendrde par x avec

l '~quation x 2p Jr x 2p-1 ),1 Jr . . . Jr x )~2p-i - - t = O.

Dans le cas o~ C = 0, la ddmonstration du th6orbme prdcddent donne le

corollaire ci-aprbs pour la construction d'extensions pseudo-lindaires d'ordre n

de paritd quelconque; ii suffira de prendre m = 0 dans (20) et remplacer le

degrd 2 par le degrd 1 pour les polyn6mes en x ~i coefficients ~i droite dans O0

qui interviennent ~i partir de cette relation.

COROLLAIRE. Soient K un corps avec un endomorph i sme B e t une B-ddri-

vation A , et t = x n Jr x "- l ) . l Jr . . . Jr x)~.-1 un po lyn6me de P = K [ x ; B, A]

62 ALFRED DONEDDU

de degr~ quelconque n > 1. Supposons que les trois conditions suivantes (a), (b), (c) soient rempUes:

a) ki+1 : ~,i+iB -]- ~,~A -- k i ( k l B -- ~,1) (1 _< i ~ n -- 2);

b) xO = x + ~1 - ~.IB, et aO = aB" (aEK)

d~finissent un anneau-endomorphisme 0 de P (qui se prolonge alors au corps 0 des /ractions it droite de P);

c) la O-d3rivation intdrieure W de O induite par - t applique K dans K.

Alors, si on d~signe par Oo le corps des ]ractions it droite de I'anneau

K [t; 0, W], l 'endomorphisme B e t la B-d$rivation A se prolongent it Oo (en

B" et A-) et 0 est extension pseudo-lin~aire it droite de Oo d'ordre n engendr3e

par x avec l'endomorphisme B e t la B-d3rivation A e t l'$quation x" + x "-I ~,~ +

+ . . . + x~ , ,_ l - - t = O.

Ce corollaire apporte une information suppl6mentaire h eeUes qui ont 6t6

donn6es en [1] pour les extensions pseudo-lin6aires finies.

BIBLIOGRAPHIE

[ | ] DONEDDU A., Extensions pseudo-lin6aires finies des corps non commutatifs, Journal of Algebra, 28 (1974), 57-87.

[2] DONEDDU A., Anneaux polyn6miaux ,~ deux variables, Rend. Circ. Mat. Palermo, (2) 28 (1979), 80-90.

[3] DONEDDU A., Anneaux hexaphiques d'une variable, (ibidem), (2) 29 (1980), 139-151. [4] DONEDDU A., Extensions hexaphiques des corps non commutatils, (ibidem), (2)

Pervenuto i! 23 /ebbraio 1973, in forma defmltiva tl 10 ottobre 1980.

I0 Allde des Gardes Royales 78000 Versailles (France)