COMPENDIO ESTADSTICA

Definicin de Estadstica

La Estadstica trata del recuento, ordenacin y clasificacin de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.Un estudio estadstico consta de las siguientes fases:Recogida de datos.Organizacin y representacin de datos.Anlisis de datos.Obtencin de conclusiones.

Conceptos de EstadsticaPoblacinUna poblacin es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadstico.IndividuoUn individuo o unidad estadstica es cada uno de los elementos que componen la poblacin.MuestraUna muestra es un conjunto representativo de la poblacin de referencia, el nmero de individuos de una muestra es menor que el de la poblacin.MuestreoEl muestreo es la reunin de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporcin reducida y representativa de la poblacin.ValorUn valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.DatoUn dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Una variable estadstica es cada una de las caractersticas o cualidades que poseen los individuos de una poblacin.Tipos de variable estadsticasVariable cualitativaLas variables cualitativas se refieren a caractersticas o cualidades que no pueden ser medidas con nmeros. Podemos distinguir dos tipos:Variable cualitativa nominalUna variable cualitativa nominal presenta modalidades no numricas que no admiten un criterio de orden.

Ejemplo:El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativaUna variable cualitativa ordinal presenta modalidades no nmericas, en las que existe un orden.Ejemplos:La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1, 2, 3, ...Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativaUna variable cuantitativa es la que se expresa mediante un nmero, por tanto se pueden realizar operaciones aritmticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:Variable discretaUna variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores especficos.Ejemplo:El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.Variable continuaUna variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos nmeros.Ejemplos:La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin se podra dar con tres decimales.

I. Escoge el tipo de variable estadstica de que se habla en cada caso:1El deporte favorito.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cuantitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.2Medalla de plata ganada en una competicin deportiva.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.3Peso de 5 amigos.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cuantitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.4Color de ojos de 10 amigos.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.5Nmero de mascotas de 3 amigos.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.6Lugar que ocupan 10 amigos en la cola del cine.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.7Tiempo que se tarda en recorrer 1 Km.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.8Participantes de una yincana.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cuantitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.9Primer apellido de los habitantes de un pueblo.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.10Pluviosidad de una ciudad.a) Variable cualitativa nominal.b) Variable cualitativa ordinal.c) Variable cuantitativa discreta.d) Variable cuantitativa continua.

Distribucin de frecuenciasLa distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin en forma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.Tipos de frecuenciasFrecuencia absolutaLa frecuencia absoluta es el nmero de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadstico.Se representa por fi.

Distribucin de frecuenciasLa distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin en forma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.Tipos de frecuenciasFrecuencia absolutaLa frecuencia absoluta es el nmero de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadstico.Se representa por fi.La suma de las frecuencias absolutas es igual al nmero total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega (sigma mayscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativaLa frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el nmero total de datos.Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.Frecuencia acumuladaLa frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.Se representa por Fi.Frecuencia relativa acumuladaLa frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el nmero total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.Ejemplo:Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.xiRecuentofiFiniNi

27I110.0320.032

28II230.0650.097

29690.1940.290

307160.2260.516

318240.2580.774

32III3270.0970.871

33III3300.0970.968

34I1310.0321

311

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.Distribucin de frecuencias agrupadasLa distribucin de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un nmero grande de valores o la variable es continua.Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.Lmites de la claseCada clase est delimitada por el lmite inferior de la clase y el lmite superior de la clase.Amplitud de la claseLa amplitud de la clase es la diferencia entre el lmite superior e inferior de la clase.Marca de claseLa marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el clculo de algunos parmetros.Construccin de una tabla de datos agrupados3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.1 Se localizan los valores menor y mayor de la distribucin. En este caso son 3 y 48.2 Se restan y se busca un nmero entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nmero de intervalos queramos establecer.Es conveniente que el nmero de intervalos oscile entre 6 y 15.En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el nmero hasta 50 : 5 = 10 intervalos.Se forman los intervalos teniendo presente que el lmite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el lmite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.cifiFiniNi

[0, 5)2.5110.0250.025

[5, 10)7.5120.0250.050

[10, 15)12.5350.0750.125

[15, 20)17.5380.0750.200

[20, 25)22.53110.0750.275

[25, 30)27.56170.1500.425

[30, 35)32.57240.1750.600

[35, 40)37.510340.2500.850

[40, 45)42.54380.1000.950

[45, 50)47.52400.0501

401

Completa las siguientes tablas atendiendo a los datos que se dan en cada uno de los enunciados:1Las edades de los alumnos de la clase de Pablo son: 12, 13, 12, 12, 13, 12, 12, 11, 13, 13, 13, 12, 12, 13, 14, 12, 14, 12, 11, 11, 12, 11, 13, 11, 11, 12Edad(xi)Frecuencia absoluta(fi)Frecuencia relativa(ni)

11

12

13

14

Total

2Se les pregunta a los empleados de un restaurante de lujo que da de la semana prefieren tomarse libre, sabiendo que deben trabajar todos los domingos. Los resultados de las respuestas son los siguientes:L, S, S, S, M, X, J, J, L, V, V, V, S, L, S, J, J, S, M, J, X, X, L, S, S, X, J, X, V, S, M, L, M, V, J, V, X, S, M, L, V, V, S, S, S.DaFrecuencia absoluta(fi)Frecuencia absoluta(ni)Porcentaje

L%

M%

X%

J%

V%

S%

Total%

II. Contesta a las preguntas planteadas atendiendo a las tablas dadas en cada caso:3La siguiente tabla muestra el estado civil de las personas que trabajan en una oficina, siendo:S = Soltero/aC = Casado/aPH = Pareja de hechoSP = Separado/aD = Divorciado/aV = Viudo/aEstado CivilFrecuencia absoluta(fi)

S8

C9

PH3

SP4

D5

V1

Total30

III. Halla las frecuencias relativas y frecuencias relativas en porcentajes.Estado CivilFrecuencia absoluta(fi)Frecuencia relativa(ni)ni

S8%

C9%

PH3%

SP4%

D5%

V1%

Total30%

Cuntas personas trabajan en la oficina?personas.Cuntas personas son solteras?personas.Cuntas personas no casadas hay?personas.Qu porcentaje de personas viudas hay en la oficina?%IV. 4Se ha realizado una encuesta a 700 usuarios de la web Vitutor.com elegidos al azar. En el apartado relativo a la compra de cursos el resultado, en porcentajes, es el que muestra la siguiente tabla:CursoPorcentaje

1 ESO18%

2 ESO13%

3 ESO14%

4 ESO27%

1 Bachillerato11%

2 Bachillerato17%

Total100%

V. Halla las frecuencias absolutas y relativas:CursoFrecuencia absoluta(fi)Frecuencia relativa(ni)Porcentaje

1 ESO18%

2 ESO13%

3 ESO14%

4 ESO27%

1 Bac11%

2 Bac

17%

Total100%

Qu porcentaje de usuarios compr cursos de ESO?%Qu porcentaje de usuarios compr cursos de Bachillerato?%Cuntos usuarios compraron el curso de 3 de ESO?Y el de 1 de ESO?Cuntos usuarios compraron cursos de ESO?Y de Bachillerato?Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguneofi

A6

B4

AB1

09

20

Polgonos de frecuenciaUn polgono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.Tambin se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y unindolos mediante segmentos.Ejemplo:Las temperaturas en un da de otoo de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

HoraTemperatura

67

912

1214

1511

1812

2110

248

EJERCICIOS

VI. El siguiente diagrama de barras indica el color de pelo de los alumnos de la clase de Mario. Completa la tabla con las frecuencias absolutas correspondientes a cada color y responde las siguientes preguntas:

Color de pelofi

Rubio

Pelirrojo

Moreno

Qu tipo de pelo predomina en la clase?Predomina el peloCuntos estudiantes son pelirrojos?Cuntos estudiantes hay en total en clase de Mario?

VII. 2El siguiente polgono de frecuencia muestra la media de temperatura diaria en una ciudad polaca a lo largo los siete da de una semana. Completa la tabla y responde a las preguntas:

HoraTemperatura

1C

2C

3C

4C

5C

6C

7C

Qu da hizo menos fro?Hizo menos fro el daLa mayora de los das, la temperatura fue bajo cero o sobre cero?cero.Cul fue la temperatura los dos primeros das?La temperatura fue de CVIII. 3El siguiente diagrama de barras muestra las notas de los alumnos de una clase de una clase de 3 ESO. Completa la tabla y responde a las preguntas:

Notafi

Insuficiente

Suficiente

Bien

Notable

Sobresaliente

Qu nota es la ms comn?Cuntos estudiantes han suspendido la asignatura?Han suspendido estudiantes.Cuntos estudiantes han aprobado la asignatura?Han aprobado estudiantes.Cuntos estudiantes hay en la clase?Hay estudiantes.

IX. 4Los siguientes valores indican el nmero de comidas al da que hace un grupo de quince amigos:3, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4.Completa la tabla y responde a las preguntas que se plantean.

N de comidasPersonas

2

3

4

5

6

Sabiendo que los expertos recomiendan comer 5 veces al da, podemos decir que la mayora de estos amigos come correctamente?Cuntos de ellos comen slo 2 veces al da?Cuntas veces al da come la mayora de las personas encuestadas?

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.Los datos se representan en un crculo, de modo que el ngulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ngulos.Ejemplo:En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natacin, 9 juegan al ftbol y el resto no practica ningn deporte.

Alumnosngulo

Baloncesto12144

Natacin336

Ftbol9108

Sin deporte672

Total30360

Completa las tablas:1En una clase de 1 ESO de 24 alumnos se hace una encuesta preguntando a qu dedican su tiempo de ocio. Las respuestas se reflejan en el siguiente diagrama de sectores. Completa la siguiente tabla:

HobbyAlumnosGrados

Televisin150

Lectura75

Deporte90

Otros45

Total

X. 2En un instituto se ha realizado una encuesta a los alumnos de 2 de ESO para saber cules son los libros que ms les gusta leer, y as poder comprar nuevos libros para la biblioteca. Los resultados son los que se muestran en el siguiente diagrama de sectores. Completa la siguiente tabla y, despus, contesta a las preguntas que se te plantean:

Tipo de libroAlumnosGrados

Poesa3

Terror24

Aventuras30

Misterio21

Teatro12

Total

A cuntos estudiantes se les ha realizado la encuesta?Se ha hecho la encuesta a estudiantes.Cuntos alumnos prefieren los libros de terror?alumnos prefieren os libros de terror.Qu libros son los que ms gustan?Los libros deY los que menos?Los libros de

HistogramaUn histograma es una representacin grfica de una variable en forma de barras.Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran nmero de datos, y que se han agrupado en clases.En el eje abscisas se construyen unos rectngulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polgono de frecuenciaPara construir el polgono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectngulo.Ejemplo:El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:cifiFi

[50, 60)5588

[60, 70)651018

[70, 80)751634

[80, 90)851448

[90, 100)951058

[100, 110)105563

[110, 120)115265

65

Histograma y polgono de frecuencias acumuladasSi se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polgono.

Histogramas con intervalos de amplitud diferentePara construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectngulos del histograma.

hi es la altura del intervalo.fi es la frecuencia del intervalo.ai es la amplitud del intervalo.Ejemplo:En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.Marca de lasefihi

[0, 5)2,5153

[5, 7)62010

[7, 9)8126

[9, 10)9,533

50

Parmetros estadsticosUn parmetro estadstico es un nmero que se obtiene a partir de los datos de una distribucin estadstica.Los parmetros estadsticos sirven para sintetizar la informacin dada por una tabla o por una grfica.Tipos de parmetros estadsticosHay tres tipos parmetros estadsticos:De centralizacin.De posicinDe dispersin

Medidas de centralizacinNos indican en torno a qu valor (centro) se distribuyen los datos.La medidas de centralizacin son:Media aritmticaLa media es el valor promedio de la distribucin.MedianaLa mediana es la puntacin de la escala que separa la mitad superior de la distribucin y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.ModaLa moda es el valor que ms se repite en una distribucin.Medidas de posicinLas medidas de posicin dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nmero de individuos.Para calcular las medidas de posicin es necesario que los datos estn ordenados de menor a mayor.La medidas de posicin son:CuartilesLos cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.DecilesLos deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.PercentilesLos percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.Medidas de dispersinLas medidas de dispersin nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribucin.Las medidas de dispersin son:Rango o recorridoEl rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribucin estadstica.Desviacin mediaLa desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.VarianzaLa varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.Desviacin tpicaLa desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.Se representa por Mo.Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.Hallar la moda de la distribucin:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la mxima, la distribucin es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia mxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4Clculo de la moda para datos agrupados1 Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el lmite inferior de la clase modal.fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.ai es la amplitud de la clase.Tambin se utiliza otra frmula de la moda que da un valor aproximado de sta:

Ejemplo:Calcular la moda de una distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:fi

[60, 63)5

[63, 66)18

[66, 69)42

[69, 72)27

[72, 75)8

100

2 Los intervalos tienen amplitudes distintas.En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La frmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo:En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.fihi

[0, 5)153

[5, 7)2010

[7, 9)126

[9, 10)33

50

XI. Escoge la opcin que indica la moda de cada serie de datos:1El nmero de horas que Carmen ha visto la tele durante cada da de la semana pasada es:3, 2, 3, 3, 2, 6, 32Las veces que se cepilla Mara los dientes al da durante seis das:3, 5, 2, 1, 0, 4.3Las notas de los exmenes de matemticas realizados durante el curso por Pablo son:7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.

4El nmero de horas que dedican los veintitres alumnos de una clase a realizar un trabajo de investigacin de Geometra son:10, 20, 15, 15, 12, 12, 17, 20, 10, 5, 18, 15, 13, 14, 20, 15, 15, 11, 18, 15, 12, 23, 15

5Las estaturas en centmetros de un grupo de quince amigos son:150, 160, 164, 157, 163, 182, 170, 159, 157, 151, 161, 163, 178, 173, 172.

No tiene moda porque hay dos valores que podran serlo.6El nmero de veces que va al cine en un mes cada componente de un grupo de once amigos es:2, 0, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3

7Las puntuaciones obtenidas en un test para saber el CI de dieciseis alumnos de una clase son:110, 132, 90, 123, 110, 108, 97, 99, 93, 112, 125, 139, 90, 112, 112, 90

8Los nmeros obtenidos al lanzar un dado 10 veces son:1, 2, 4, 2, 3, 3, 2, 6, 3, 1.

XII. Contesta a las siguientes cuestiones:9Las notas de matemticas de los 26 alumnos de una clase son: 6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4 Calcula la moda:Mo=10Las faltas de asistencia de los 26 alumnos de la clase anterior: 0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7 Calcula la moda:Mo=

MedianaEs el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando stos estn ordenados de menor a mayor.La mediana se representa por Me.La mediana se puede hallar slo para variables cuantitativas.Clculo de la mediana1. Ordenamos los datos de menor a mayor.2. Si la serie tiene un nmero impar de medidas la mediana es la puntuacin central de la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 53. Si la serie tiene un nmero par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5Clculo de la mediana para datos agrupadosLa mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. es la semisuma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.Ejemplo:Calcular la mediana de una distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:fiFi

[60, 63)55

[63, 66)1823

[66, 69)4265

[69, 72)2792

[72, 75)8100

100

100/2 = 50Clase de la mediana: [66, 69)

Media aritmtica

La media aritmtica es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el nmero total de datos. es el smbolo de la media aritmtica.

Ejemplo:Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmtica para datos agrupadosSi los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresin de la media es:

Ejercicio de media aritmticaEn un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuacin media.xifixi fi

[10, 20)15115

[20, 30)258200

[30,40)3510350

[40, 50)459405

[50, 60558440

[60,70)654260

[70, 80)752150

421 820

Propiedades de la media aritmtica1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribucin respecto a la media de la misma igual a cero.

La suma de las desviaciones de los nmeros 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmtica 7.6 es igual a 0:8 7.6 + 3 7.6 + 5 7.6 + 12 7.6 + 10 7.6 == 0. 4 4.6 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 02. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un nmero cualquiera se hace mnima cuando dicho nmero coincide con la media aritmtica.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo nmero, la media aritmtica queda aumentada en dicho nmero.4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo nmero la media aritmtica queda multiplicada por dicho nmero.Observaciones sobre la media aritmtica1. La media se puede hallar slo para variables cuantitativas.2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribucin con los siguientes pesos:65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralizacin poco representativa de la distribucin.4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.xifi

[60, 63)61.55

[63, 66)64.518

[66, 69)67.542

[69, 72)70.527

[72, )8

100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de ltimo intervalo.

XIII. Escoge la opcin que indica la media aritmtica de cada serie de datos:1El nmero de veces que come pasta durante una semana un grupo de tres amigos:2, 4, 3a) 2b) 5c) 32Los litros de agua que beben al da un grupo de cuatro amigos:2, 1, 3, 2a) 3b) 2c) 43El nmero de horas que Carmen ha visto la tele durante cada da de la semana pasada es:3, 2, 3, 3, 2, 6, 3a) 3b) 3.14c) 4.154Las veces que se cepilla Mara los dientes al da durante una semana:1, 2, 3, 3, 4, 2, 1.a) 2.5b) 1.87c) 2.295Las notas de los exmenes de matemticas realizados durante el curso por Pablo son:7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.a) 7b) 8.3c) 7.86El nmero de horas que dedican los veinticuatro alumnos de una clase a realizar un trabajo de investigacin de Geometra:5, 5, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 14, 15, 15, 15, 14, 15, 17, 18, 18, 20, 20, 13, 23a) 14b) 14.61c) 14.717Las estaturas en centmetros de un grupo de cinco amigos:150, 160, 164, 158, 183.a) 163b) 157c) 1708El nmero de veces que va al cine en un mes cada componente de un grupo de once amigos es:2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4a) 1b) 2c) 3Contesta a las siguientes cuestiones:9Las notas de matemticas de los 26 alumnos de una clase son: 6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4 Calcula la media aritmtica de las notas obtenidas, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:

10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son: 0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7 Calcula la media aritmtica:

Cuartiles

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.Q2 coincide con la mediana.Clculo de los cuartiles1. Ordenamos los datos de menor a mayor.2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresin .Nmero impar de datos2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Nmero par de datos2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

Clculo de los cuartiles para datos agrupadosEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.ai es la amplitud de la clase.Ejercicio de cuartilesCalcular los cuartiles de la distribucin de la tabla:fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Clculo del primer cuartil

Clculo del segundo cuartil

Clculo del tercer cuartil

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.D5 coincide con la mediana.Clculo de los decilesEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra el decil.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..ai es la amplitud de la clase.Ejercicio de decilesCalcular los deciles de la distribucin de la tabla:fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Clculo del primer decil

Clculo del segundo decil

Clculo del tercer decil

Clculo del cuarto decil

Clculo del quinto decil

Clculo del sexto decil

Clculo del sptimo decil

Clculo del octavo decil

Clculo del noveno decil

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P50 coincide con la mediana.P50 coincide con D5.Clculo de los percentilesEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.ai es la amplitud de la clase.Ejercicio de percentilesCalcular el percentil 35 y 60 de la distribucin de la tabla:fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Percentil 35

Percentil 60

Desviacin respecto a la mediaLa desviacin respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadstica y la media aritmtica.Di = |x - x|Desviacin mediaLa desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.La desviacin media se representa por

Ejemplo:Calcular la desviacin media de la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviacin media para datos agrupadosSi los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresin de la desviacin media es:

Ejemplo:Calcular la desviacin media de la distribucin:xifixi fi|x - x||x - x| fi

[10, 15)12.5337.59.28627.858

[15, 20)17.5587.54.28621.43

[20, 25)22.57157.50.7144.998

[25, 30)27.541105.71422.856

[30, 35)32.526510.71421.428

21457.598.57

Escoge la opcin que indica la desviacin media de cada serie de datos:1El nmero de veces que come pasta durante una semana un grupo de tres amigos:2, 4, 3a) 0.67b) 0.67c) 02Los litros de agua que beben al da un grupo de cuatro amigos:2, 1, 3, 2a) 0.5b) 2.3c) 13El nmero de horas que Carmen ha visto la tele durante cada da de la semana pasada es:3, 2, 3, 3, 2, 6, 3a) 0.81b) 0.78c) 0.184Las veces que se cepilla Mara los dientes al da durante una semana:1, 2, 3, 3, 4, 2, 1.a) 1.3b) 0.90c) 2.55Las notas de los exmenes de matemticas realizados durante el curso por Pablo son:7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.a) 1.24b) 1.92c) 1.246El nmero de horas que dedican un grupo de cuatro amigos a realizar un trabajo de investigacin de Geometra:10, 23, 12, 13a) 4b) 4.61c) 4.257Las estaturas en centmetros de un grupo de cinco amigos:150, 160, 164, 158, 183.a) 9.4b) 7.4c) 8.48El nmero de veces que va al cine en un mes cada componente de un grupo de cinco amigos es:2, 2, 2, 3, 1,a) 0.4b) 0.6c) 0.8Contesta a las siguientes cuestiones:9Las notas de matemticas de los 26 alumnos de una clase son: 6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4 Calcula la desviacin media, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:

10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son: 0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7 Calcula la desviacin media, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:

VarianzaLa varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribucin estadstica.La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el clculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de varianzaEjercicio 1:Calcular la varianza de la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:Calcular la varianza de la distribucin de la tabla:xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza1 La varianza ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2 Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la varianza no vara.3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho nmero.4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza1 La varianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco ser posible hallar la varianza.3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.

Escoge la opcin que indica la varianza de cada serie de datos:1El nmero de veces que come pasta durante una semana un grupo de tres amigos:2, 4, 3a) 2/3b) 1/3c) 22Los litros de agua que beben al da un grupo de cuatro amigos:2, 1, 3, 2a) 0.5b) 2c) 0.33El nmero de horas que Carmen ha visto la tele durante cada da de la semana pasada es:3, 2, 3, 3, 2, 6, 3a) 1.33b) 1.55c) 2.554Las veces que se cepilla Mara los dientes al da durante una semana:1, 2, 3, 3, 4, 2, 1.a) 1.06b) 1.6c) 1.605Las notas de los exmenes de matemticas realizados durante el curso por Pablo son:7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.a) 3.36b) 2.36c) 2.636El nmero de horas que dedican los diez grupos de alumnos formados en una clase al realizar un trabajo de investigacin sobre de Geometra:5, 5, 12, 13, 15, 15, 15, 20, 20, 23a) 15.21b) 32.32c) 32.217Las estaturas en centmetros de un grupo de cinco amigos:150, 160, 164, 158, 183.a) 120.8b) 121.8c) 60.48El nmero de veces que va al cine en un mes cada componente de un grupo de once amigos es:2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4a) 0.81b) 0.91c) 1.2Contesta a las siguientes cuestiones:9Las notas de matemticas de los 26 alumnos de una clase son: 6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4 Calcula la varianza de las notas obtenidas, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:

10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son: 0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7 Calcula la varianza:

La desviacin tpica

La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza.Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.La desviacin tpica se representa por .

Desviacin tpica para datos agrupados

Para simplificar el clculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de desviacin tpicaEjercicio 1:Calcular la desviacin tpica de la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:Calcular la desviacin tpica de la distribucin de la tabla:xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 60)55844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la desviacin tpica1 La desviacin tpica ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2 Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la desviacin tpica no vara.3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la desviacin tpica queda multiplicada por dicho nmero.4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones tpicas se puede calcular la desviacin tpica total.Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la desviacin tpica1 La desviacin tpica, al igual que la media y la varianza, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco ser posible hallar la desviacin tpica.3 Cuanta ms pequea sea la desviacin tpica mayor ser la concentracin de datos alrededor de la media.

Escoge la opcin que indica la desviacin tpica de cada serie de datos:1El nmero de veces que come pasta durante una semana un grupo de tres amigos:2, 4, 3a) 2/3b) 0.67c) 0.822Los litros de agua que beben al da un grupo de cuatro amigos:2, 1, 3, 2a) 0.5b) 0.71c) 23El nmero de horas que Carmen ha visto la tele durante cada da de la semana pasada es:3, 2, 3, 3, 2, 6, 3a) 1.25b) 1.55c) 2.254Las veces que se cepilla Mara los dientes al da durante una semana:1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 2, 5, 1.a) 1.3b) 1.06c) 1.035Las notas de los exmenes de matemticas realizados durante el curso por Pablo son:7, 5, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10.a) 2.36b) 1.54c) 1.186El nmero de horas que dedican los grupos de alumnos formados en una clase al realizar un trabajo de investigacin sobre de Geometra:5, 5, 12, 13, 15, 15, 15, 20, 20, 23a) 6.80b) 16.11c) 5.687Las estaturas en centmetros de un grupo de cinco amigos:150, 160, 164, 158, 183.a) 10.99b) 60.4c) 10.18El nmero de veces que va al cine en un mes cada componente de un grupo de once amigos es:2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4a) 1b) 0.91c) 0.95Contesta a las siguientes cuestiones:9Las notas de matemticas de los 26 alumnos de una clase son: 6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4 Calcula la desviacin tpica de las notas obtenidas, redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario:

10Las faltas de asistencia de 25 alumnos de otra clase son: 0, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 6, 7 Calcula la desviacin tpica:El coeficiente de variacin

El coeficiente de variacin es la relacin entre la desviacin tpica de una muestra y su media.

El coeficiente de variacin se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variacin permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre s.La mayor dispersin corresponder al valor del coeficiente de variacin mayor.Ejercicio:Una distribucin tiene x = 140 y = 28.28 y otra x = 150 y = 24. Cul de las dos presenta mayor dispersin?

La primera distribucin presenta mayor dispersin.Puntuaciones tpicasPuntuaciones diferencialesLas puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmtica.xi = Xi XPuntuaciones tpicasLas puntuaciones tpicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviacin tpica. Este proceso se llama tipificacin.Las puntuaciones tpicas se representan por z.

Observaciones sobre puntuaciones tpicasLa media aritmtica de las puntuaciones tpicas es 0.La desviacin tpica de las puntuaciones tpicas es 1.Las puntuaciones tpicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.Las puntuaciones tpicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.EjercicioEn una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 52.4 kg. Las desviaciones tpicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de Jos es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. Cul de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse ms grueso?

Jos es ms grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.

Tipos de muestreoLa inferencia estadstica estudia como sacar conclusiones generales para toda la poblacin a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significacin de los resultados obtenidos.Muestreo probabilsticoConsiste en elegir una muestra de una poblacin al azar. Podemos distinguir varios tipos de muestreo:Muestreo aleatorio simplePara obtener una muestra, se numeran los elementos de la poblacin y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.Muestreo aleatorio sistemticoSe elige un individuo al azar y a partir de l, a intervalos constantes, se eligen los dems hasta completar la muestra.Ejemplo:Si tenemos una poblacin formada por 100 elementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo de seleccin que ser igual a 100/25 = 4. A continuacin elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un nmero entre el 1 y el 4, y a partir de l obtenemos los restantes elementos de la muestra.2, 6, 10, 14,..., 98Muestreo aleatorio estratificadoSe divide la poblacin en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un nmero de individuos de cada estrato proporcional al nmero de componentes de cada estrato.Ejemplo:En una fbrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la seccin A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.

Distribucin muestralUn muestreo puede hacerse con o sin reposicin, y la poblacin de partida puede ser infinita o finita.En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una poblacin de partida infinita o a muestreo con reposicin.Si consideremos todas las posibles muestras de tamao n en una poblacin, para cada muestra podemos calcular un estadstico (media, desviacin tpica, proporcin, ...) que variar de una a otra.As obtenemos una distribucin del estadstico que se llama distribucin muestral.

Intervalos caractersticosP[ - k < x < + k] = pHallar el intervalo caracterstico de una distribucin normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p = 0.9.

El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - .El nivel de significacin se designa mediante .El valor crtico (k) como z /2 .P(Z>z /2) = /2P[-z /2 < z < z /2] = 1-

Valores crticos1 - /2z /2

0.900.051.645

0.950.0251.96

0.990.0052.575

En una distribucin N(, ) el intervalo caracterstico correspondiente a una probabilidad p = 1 - es:( - z /2 , + z /2 )1 - /2z /2Intervalos caractersticos

0.900.051.645( - 1.645 , + 1.645 )

0.950.0251.96( - 1.96 , + 1.96 )

0.990.0052.575( - 2.575 , + 2.575 )

Teorema central del lmiteSi una poblacin tiene media y desviacin tpica , y tomamos muestras de tamao n (n > 30, cualquier tamao si la poblacin es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribucin:

Consecuencias1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta est en un cierto intervalo.2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra est, a priori, en un cierto intervalo.

3.Inferir la media de la poblacin a partir de una muestra.Ejemplo:Las bolsas de sal envasadas por una mquina tienen = 500 g y = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.1.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

2.Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese ms de 51 kg.

Estimacin de parmetros

La estimacin de parmetros es el procedimiento utilizado para conocer las caractersticas de un parmetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.Con una muestra aleatoria, de tamao n, podemos efectuar una estimacin de un valor de un parmetro de la poblacin; pero tambin necesitamos precisar un:Intervalo de confianzaSe llama as a un intervalo en el que sabemos que est un parmetro, con un nivel de confianza especfico.Nivel de confianzaProbabilidad de que el parmetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.Error de estimacin admisibleQue estar relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Intervalo de confianza para la mediaEl intervalo de confianza, para la media de una poblacin, con un nivel de confianza de 1- , siendo x la media de una muestra de tamao n y la desviacin tpica de la poblacin, es:

El error mximo de estimacin es:

Cuanto mayor sea el tamao de la muestra, n, menor es el error.Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-, mayor es el error.Tamao de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamao de la muestra.Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamao de la muestra.Ejemplo:El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviacin tpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.

2.Indica el tamao muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n 4

Intervalo de confianza para una proporcinSi en una poblacin, una determinada caracterstica se presenta en una proporcin p, la proporcin p' , de individuos con dicha caracterstica en las muestras de tamao n, se distribuirn segn:

Intervalo de confianza para una proporcin

El error mximo de estimacin es:

Ejemplo:En una fbrica de componentes electrnicos, la proporcin de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analiz una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrndose que 90 de ellos eran defectuosos. Qu nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18E = 0.2 - 0.18 = 0.02

P (z/2 > 1.12) = 1 P (z/2 1.12) = 1 0.8686 = 0.13140.8686 - 0.1314 = 0.737Nivel de confianza: 73.72%

Hiptesis estadsticasUn test estadstico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hiptesis previamente emitida sobre el valor de un parmetro desconocido de una poblacin.La hiptesis emitida se designa por H0 y se llama hiptesis nula.La hiptesis contraria se designa por H1 y se llama hiptesis alternativa.Contrastes de hiptesis1. Enunciar la hiptesis nula H0 y la alternativa H1.BilateralH0=kH1 k

UnilateralH0 kH1 < k

H0 kH1> k

2. A partir de un nivel de confianza 1 o el de significacin . Determinar:El valor z/2 (bilaterales), o bien z (unilaterales)La zona de aceptacin del parmetro o p.3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.4. Si el valor del parmetro muestral est dentro de la zona de la aceptacin, se acepta la hiptesis con un nivel de significacin . Si no, se rechaza.

Contraste BilateralSe presenta cuando la hiptesis nula es del tipo H0: = k (o bien H0: p = k) y la hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: k (o bien H1: p k).

El nivel de significacin se concentra en dos partes (o colas) simtricas respecto de la media.

La regin de aceptacin en este caso no es ms que el correspondiente intervalo de probabilidad para o p, es decir:

o bien:

Ejemplo:Se sabe que la desviacin tpica de las notas de cierto examen de Matemticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hiptesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:H0 : = 6 La nota media no ha variado.H1 : 6 La nota media ha variado.2. Zona de aceptacinPara = 0.05, le corresponde un valor crtico: z/2 = 1.96.Determinamos el intervalo de confianza para la media:(6 1,96 0,4 ; 6 + 1,96 0,4) = (5,22 ; 6,78)3. Verificacin.Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .4. DecisinAceptamos la hiptesis nula H0, con un nivel de significacin del 5%.

Caso 1La hiptesis nula es del tipo H0: k (o bien H0: p k).La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: < k (o bien H1: p < k).Valores crticos1 - z

0.900.101.28

0.950.051.645

0.990.012.33

El nivel de significacin se concentra en una parte o cola.La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Ejemplo:Un socilogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstencin en las prximas elecciones ser del 40% como mnimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estaran dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significacin del 1%, si se puede admitir el pronstico.1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:H0 : p 0.40 La abstencin ser como mnimo del 40%.H1 : p < 0.40La abstencin ser como mximo del 40%;2. Zona de aceptacinPara = 0.01, le corresponde un valor crtico: z = 2.33.Determinamos el intervalo de confianza:

3.Verificacin.

4.DecisinAceptamos la hiptesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significacin del 1%, que la La abstencin ser como mnimo del 40%.Caso 2La hiptesis nula es del tipo H0: k (o bien H0: p k).La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: > k (o bien H1: p > k).

El nivel de significacin se concentra en la otra parte o cola.La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Ejemplo:Un informe indica que el precio medio del billete de avin entre Canarias y Madrid es, como mximo, de 120 con una desviacin tpica de 40 . Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 .Se puede aceptar, con un nivel de significacin igual a 0,1, la afirmacin de partida?1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:H0 : 120 H1 : > 120 2.Zona de aceptacinPara = 0.1, le corresponde un valor crtico: z = 1.28 .Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verificacin.Valor obtenido de la media de la muestra: 128 .4. DecisinNo aceptamos la hiptesis nula H0. Con un nivel de significacin del 10%.

Errores de tipo I y tipo IIError de tipo I. Se comete cuando la hiptesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza.Error de tipo II. Se comete cuando la hiptesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.

H0VerdaderaFalsa

AceptarDecisn correcta

Probabilidad = 1 - Decisin incorrecta:

ERROR DE TIPO II

RechazarERROR DE TIPO I

Probabilidad = Decisin correcta

La probabilidad de cometer Error de tipo I es el nivel de significacin .La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parmetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n.

Inferencia estadstica

1En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan ms a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar.1Explicar qu procedimiento de seleccin sera ms adecuado utilizar: muestreo con o sin reposicin. Por qu?2Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 nios, 7.000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. Determinar el tamao muestral correspondiente a cada estrato.

2Sea la poblacin de elementos: {22,24, 26}.1Escriba todas las muestras posibles de tamao dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.2Calcule la varianza de la poblacin.3Calcule la varianza de las medias muestrales.

3La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribucin normal de media 1,62 m y la desviacin tpica 0,12 m. Cul es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m?

4Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen segn una ley normal de varianza 25 y media desconocida:1Cul es la distribucin de la media muestral?2Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.

5La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con varianza 2 = 0,16 m2.1Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la poblacin.2Cul sera el mnimo tamao muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas est a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?

6Las ventas mensuales de una tienda de electrodomsticos se distribuyen segn una ley normal, con desviacin tpica 900 . En un estudio estadstico de las ventas realizadas en los ltimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 y 5 839 .1Cul ha sido la media de las ventas en estos nueve meses?2Cul es el nivel de confianza para este intervalo?

7Se desea estimar la proporcin, p, de individuos daltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamao n.1Si el porcentaje de individuos daltnicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimacin sea inferior al 3,1%.2Si el tamao de la muestra es de 64 individuos, y el porcentaje de individuos daltnicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significacin del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de daltnicos de la poblacin.

8En una poblacin una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y desviacin tpica 2.1Observada una muestra de tamao 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97 % de confianza, para la media de la poblacin.2Con el mismo nivel de confianza, qu tamao mnimo debe tener la muestra para qu la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como mximo, 1?

9Una marca de nueces afirma que, como mximo, el 6% de las nueces estn vacas. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacas.1Con un nivel de significacin del 1%, se puede aceptar la afirmacin de la marca?2Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que estn vacas y 1- = 0.95, qu tamao muestral se necesitara para estimar la proporcin de nueces con un error menor del 1% por ciento?

10La duracin de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 120 horas de duracin. Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, despus de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significacin de 0,01, habra que rechazar el lote por no cumplir la garanta?

EJERICICIOS II1En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el departamento de atencin al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.1Qu tipo de muestreo deberamos utilizar para la seleccin de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?2Qu nmero de trabajadores tendramos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?2La cantidad de hemoglobina en sangre del hombre sigue una ley normal con una desviacin tpica de 2g/dl.Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12 extracciones de sangre que indique que la media poblacional de hemoglobina en sangre est entre 13 y 15 g/dl.3Un fabricante de lmparas elctricas est ensayando un nuevo mtodo de produccin que se considerar aceptable si las lmparas obtenidas por este mtodo dan lugar a una poblacin normal de duracin media 2400 horas, con una desviacin tpica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lmparas producidas por este mtodo y esta muestra tiene una duracin media de 2320 horas. Se puede aceptar la hiptesis de validez del nuevo proceso de fabricacin con un riesgo igual o menor al 5%?4El control de calidad una fbrica de pilas y bateras sospecha que hubo defectos en la produccin de un modelo de batera para telfonos mviles, bajando su tiempo de duracin. Hasta ahora el tiempo de duracin en conversacin segua una distribucin normal con media 300 minutos y desviacin tpica 30 minutos. Sin embargo, en la inspeccin del ltimo lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 bateras el tiempo medio de duracin en conversacin fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviacin tpica:Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significacin del 1%?5Se cree que el nivel medio de protombina en una poblacin normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviacin tpica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. Se puede aceptar la hiptesis, con un nivel de significacin del 5%?

1Se sabe que la desviacin tpica de las notas de cierto examen de Matemticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hiptesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?2Un socilogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstencin en las prximas elecciones ser del 40% como mnimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estaran dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significacin del 1%, si se puede admitir el pronstico.3Un informe indica que el precio medio del billete de avin entre Canarias y Madrid es, como mximo, de 120 con una desviacin tpica de 40 . Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 .Se puede aceptar, con un nivel de significacin igual a 0,1, la afirmacin de partida?4Una marca de nueces afirma que, como mximo, el 6% de las nueces estn vacas. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacas.1Con un nivel de significacin del 1%, se puede aceptar la afirmacin de la marca?2Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que estn vacas y 1- = 0.95, qu tamao muestral se necesitara para estimar la proporcin de nueces con un error menor del 1% por ciento?5La duracin de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 120 horas de duracin. Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, despus de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significacin de 0,01, habra que rechazar el lote por no cumplir la garanta?6Un fabricante de lmparas elctricas est ensayando un nuevo mtodo de produccin que se considerar aceptable si las lmparas obtenidas por este mtodo dan lugar a una poblacin normal de duracin media 2400 horas, con una desviacin tpica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lmparas producidas por este mtodo y esta muestra tiene una duracin media de 2320 horas. Se puede aceptarr la hiptesis de validez del nuevo proceso de fabricacin con un riesgo igual o menor al 5%?7El control de calidad una fbrica de pilas y bateras sospecha que hubo defectos en la produccin de un modelo de batera para telfonos mviles, bajando su tiempo de duracin. Hasta ahora el tiempo de duracin en conversacin segua una distribucin normal con media 300 minutos y desviacin tpica 30 minutos. Sin embargo, en la inspeccin del ltimo lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 bateras el tiempo medio de duracin en conversacin fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviacin tpica:Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significacin del 2%?8Se cree que el nivel medio de protombina en una poblacin normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviacin tpica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. Se puede aceptar la hiptesis, con un nivel de significacin del 5%?

1En una fbrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la seccin A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.2En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan ms a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar.1Explicar qu procedimiento de seleccin sera ms adecuado utilizar: muestreo con o sin reposicin. Por qu?2Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 nios, 7.000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. Determinar el tamao muestral correspondiente a cada estrato.3En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el departamento de atencin al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.1Qu tipo de muestreo deberamos utilizar para la seleccin de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?2Qu nmero de trabajadores tendramos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?4Sea la poblacin de elementos: {22,24, 26}.1Escriba todas las muestras posibles de tamao dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.2Calcule la varianza de la poblacin.3Calcule la varianza de las medias muestrales.5Las bolsas de sal envasadas por una mquina tienen = 500 g y = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.1Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.2Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese ms de 51 kg.6El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviacin tpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.1Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.2Indica el tamao muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.7En una fbrica de componentes electrnicos, la proporcin de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analiz una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrndose que 90 de ellos eran defectuosos. Qu nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?8La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribucin normal de media 1,62 m y la desviacin tpica 0,12 m. Cul es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m?9Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen segn una ley normal de varianza 25 y media desconocida:1Cul es la distribucin de la media muestral?2Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.10La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con varianza 2 = 0,16 m2.1Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la poblacin.2Cul sera el mnimo tamao muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas est a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?11Las ventas mensuales de una tienda de electrodomsticos se distribuyen segn una ley normal, con desviacin tpica 900 . En un estudio estadstico de las ventas realizadas en los ltimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 y 5 839 .1Cul ha sido la media de las ventas en estos nueve meses?2Cul es el nivel de confianza para este intervalo?12Se desea estimar la proporcin, p, de individuos daltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamao n.1Si el porcentaje de individuos daltnicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimacin sea inferior al 3,1%.2Si el tamao de la muestra es de 64 individuos, y el porcentaje de individuos daltnicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significacin del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de daltnicos de la poblacin.13En una poblacin una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y desviacin tpica 2.1Observada una muestra de tamao 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97 % de confianza, para la media de la poblacin.2Con el mismo nivel de confianza, qu tamao mnimo debe tener la muestra para qu la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como mximo, 1?14La cantidad de hemoglobina en sangre del hombre sigue una ley normal con una desviacin tpica de 2g/dl.Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12 extracciones de sangre que indique que la media poblacional de hemoglobina en sangre est entre 13 y 15 g/dl.15Se sabe que la desviacin tpica de las notas de cierto examen de Matemticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hiptesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?16Un socilogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstencin en las prximas elecciones ser del 40% como mnimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estaran dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significacin del 1%, si se puede admitir el pronstico.17Un informe indica que el precio medio del billete de avin entre Canarias y Madrid es, como mximo, de 120 con una desviacin tpica de 40 . Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 .Se puede aceptar, con un nivel de significacin igual a 0,1, la afirmacin de partida?18Una marca de nueces afirma que, como mximo, el 6% de las nueces estn vacas. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacas.1Con un nivel de significacin del 1%, se puede aceptar la afirmacin de la marca?2Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que estn vacas y 1- = 0.95, qu tamao muestral se necesitara para estimar la proporcin de nueces con un error menor del 1% por ciento?19La duracin de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 120 horas de duracin. Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, despus de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significacin de 0,01, habra que rechazar el lote por no cumplir la garanta?20Un fabricante de lmparas elctricas est ensayando un nuevo mtodo de produccin que se considerar aceptable si las lmparas obtenidas por este mtodo dan lugar a una poblacin normal de duracin media 2400 horas, con una desviacin tpica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lmparas producidas por este mtodo y esta muestra tiene una duracin media de 2320 horas. Se puede aceptarr la hiptesis de validez del nuevo proceso de fabricacin con un riesgo igual o menor al 5%?21El control de calidad una fbrica de pilas y bateras sospecha que hubo defectos en la produccin de un modelo de batera para telfonos mviles, bajando su tiempo de duracin. Hasta ahora el tiempo de duracin en conversacin segua una distribucin normal con media 300 minutos y desviacin tpica 30 minutos. Sin embargo, en la inspeccin del ltimo lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 bateras el tiempo medio de duracin en conversacin fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviacin tpica:Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significacin del 2%?22Se cree que el nivel medio de protombina en una poblacin normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviacin tpica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. Se puede aceptar la hiptesis, con un nivel de significacin del 5%?

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral E un nmero real.Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.Variable aleatoria discretaUna variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros.

El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado.Variable aleatoria continuaUna variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.Ejemplos:La altura de los alumnos de una clase, las horas de duracin de una pila.

Funcin de probabilidad

Se llama funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicacin que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.0 pi 1p1 + p2 + p3 + + pn = pi = 1Calcular la distribucin de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.xp i

1

2

3

4

5

6

1

RepresentacinLa representacin de una distribucin discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

Funcin de distribucin

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos funcin de distribucin de la variable X, y escribiremos F(x) a la funcin:F(x) = p(X x)La funcin de distribucin asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.Ejemplo:Calcular la funcin de distribucin de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.xp i

x a) = 1 - P(Z a)

P(Z > 1.47) = 1 P(Z 1.47) = 1 0.9292 = 0.0708P(Z a) = 1 P(Z a)

P(Z 1.47) = 1 P(Z 1.47) = 1 0.9292 = 0.0708P(Z > a) = P(Z a)

p(Z > 1.47) = p(Z 1.47) = 0.9292P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a)

P( 0.45