comparación de distribuciones estadísticas · comparación de distribuciones estadísticas ......
TRANSCRIPT
7/7/2010
1
Comparación de distribucionesestadísticasestadísticas
Tercer Verano de Probabilidad y Estadística 2010
Eloísa Díaz Francés MurguíaA d P b bilid d E t dí ti /CIMATArea de Probabilidad y Estadística/CIMAT
7/7/2010
2
ContenidoContenido
• Modelado estadístico (G P Box 1980)Modelado estadístico (G. P. Box 1980)
• Comparación de distribuciones: N ét i
( )F x– No paramétricas
• Mann Whitney Wilcoxon Ho: Fx=Fy
• Kruskal Wallis Ho: Las medianas de k grupos son iguales• Kruskal Wallis Ho: Las medianas de k grupos son iguales
– Paramétricas
A li i Ci i N t l
( ; )F x
• Aplicaciones en Ciencias Naturales
• Ejemplo de Neurobiología
7/7/2010
3
George E. P. Box (1919‐ )"Essentially, all models are wrong, but some are useful"
7/7/2010
4
Modelado Estadístico ParamétricoModelado Estadístico Paramétrico
1 Datos de fenómeno aleatorio de interés1. Datos de fenómeno aleatorio de interés
2. Propuesta de
3 C bi ió d i h é
( ; )f x 3. Combinación de experimentos homogéneos
4. Estimación del vector de parámetros
5. Validación del modelo con los datos
6 Aceptar el modelo como razonable hasta que6. Aceptar el modelo como razonable hasta quehaya evidencia en contra de él (y regresarentonces al punto 2)entonces al punto 2).
7/7/2010
5
Hay dos poblaciones de interés a comparar
• Se cuenta con dos distribuciones estimadas:Se cuenta con dos distribuciones estimadas:
1( ; )f x
2 ( ; )f x y1( ; )f x 2 ( ; )f x y
Notar que también se puede desear comparar: q p p
Distribución Empírica Distribución Teórica
vs n oF F
¿Có d ?
n o
¿Cómo se pueden comparar?
7/7/2010
6
Algunas posibilidades:Algunas posibilidades:
Graficar las dos densidades estimadas fx, fy, y Graficar las dos distribuciones estimadas Fx, Fy Graficar los contornos de las verosimilitudes bajo( )(si mismo modelo para los dos grupos)
Gráficas de verosimilitudes perfiles para cadaparámetro del modelo (mismos modelos)parámetro del modelo (mismos modelos)
Gráficas Q‐Q o Cuantil‐Cuantil Gráficas P‐P (de probabilidades)
[ ]P X Q Gráficas P P (de probabilidades)
Curvas ROC (Receiver Operating Characteristic Curve) Parámetro de confiabilidad: [ ]P X Y a á et o de co ab dad [ ]P X Y
7/7/2010
7
Comparación de densidades y d b ldistribuciones Exponenciales
7/7/2010
8
Verosimilitud PerfilVerosimilitud Perfil
7/7/2010
9
Superficie de verosimilitud y sus contornosp y
7/7/2010
10
Contornos de VerosimilitudContornos de Verosimilitud
7/7/2010
11
Gráficas Q‐Q (cuantil‐cuantil) l d ó d d lpara validación de modelos
• Graficar en eje vertical observaciones ordenadas quej qson los cuantiles empíricos ordenados de probabilidades:
( )ix
• Graficar en eje horizontal cuantiles estimados bajo
1 2, , . . . ,1 1 1
nn n n
• Graficar en eje horizontal cuantiles estimados bajomodelo propuesto con mismas probabilidades.
• Coordenadas: 1
( ) para 1XiF x i n
• Agregar la recta de 45o como referencia
( ), para 1,..., .1
X iF x i nn
7/7/2010
12
Gráficas Q‐Q (cuantil‐cuantil) d d bpara comparar dos distribuciones
• Graficar en eje horizontal cuantiles de la G a ca e eje o o ta cua t es de adistribución de X para probabilidades0.01,0.02,….,0.99.
• Graficar en eje vertical cuantiles de la distribuciónde Y, para mismas probabilidades
• Coordenadas:
1 1, para 0.01,0.02,...,0.99.X YF F
• Agregar a manera de referencia la recta de 45o
, p , , ,X Y
7/7/2010
13
Gráficas P‐P (probabilidades) l d ó d d lpara validación de modelos
G fi j h i t l b bilid d• Graficar en eje horizontal probabilidadesacumuladas bajo estimada para un vector de valores en el soporte de X.
( )XF tt p
• Graficar en eje vertical probabilidadesl d l di ib ió í i Xacumuladas con la distribución empírica
para mismos valores de t( )X
nF t
• Coordenadas:
X , para vector de valores XX nF t F t t
7/7/2010
14
Ejemplos gráficas Q‐Q y P‐PEjemplos gráficas Q Q y P P
7/7/2010
15
Curvas ROC(Receiver Operating Characteristic Curves)
• Graficar en eje horizontal probabilidadesacumuladas bajo estimada para un vector ( )XF tde valores t en el soporte de X.
( )
• Graficar en eje vertical probabilidadesacumuladas bajo para mismos valores de t . ( )YF t
• Coordenadas: ( ) ( )X YF t F t ( ), ( )X YF t F t
7/7/2010
16
Ejemplos curvas ROC para comparard b ó b ll b ldistribución Weibull con Gumbel:
7/7/2010
17
Curva ROC, Weibull vs GumbelCurva ROC, Weibull vs Gumbel
7/7/2010
18
Notar que:
= 0.5, dondeX YF F
á b j ROC P[X Y] = área bajo curva ROC = P[X<Y]
7/7/2010
19
Curva ROC para ejemplo de exponenciales
7/7/2010
20
Ejemplo curva ROC donde 0.5 pero donde las distribuciones discrepan:
7/7/2010
21
Aplicaciones en Ciencias Naturales:Aplicaciones en Ciencias Naturales:
• Comparar dos poblaciones biológicas conComparar dos poblaciones biológicas con respecto a alguna característica o desempeño– Dos tratamientos médicos– Dos tratamientos médicos
– Dos tipos de fertilizantes
Tiempos para realizar tareas de dos grupos– Tiempos para realizar tareas de dos gruposindividuos
• Bondad de ajuste de un modelo propuesto• Bondad de ajuste de un modelo propuesto– Distribución empírica vs teórica (estimada)