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Comment améliorer l'identification de systèmes mécaniques à l'aide des polynômes de Chebyshev Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures – UMR CNRS 5259 Département Génie Mécanique et Développement – INSA de LYON par D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon et R. Dufour [email protected] GdR MACS - Journée Identification

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Comment améliorer l'identification de systèmes

mécaniques à l'aide des polynômes de Chebyshev

Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures – UMR CNRS 5259

Département Génie Mécanique et Développement – INSA de LYON

par

D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon et R. Dufour [email protected]

GdR MACS - Journée Identification GdR MACS - Journée Identification

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D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 2 / 40Journée Identification 14 Juin 2007

Origines et objectifs

Identification à temps continu Système contrôlé pas d’hypothèse sur les signaux

pas d’échantillonnage particulier

pas d’excitation « riche » fréquentiellement

pas de transformation discret/continu

modèle proche de la formulation mécanique

Transformation de l’opérateur dérivée en un opérateur

algébrique

Identification de systèmes variables dans le temps, voire

non linéaires

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D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 3 / 40Journée Identification 14 Juin 2007

Plan de la présentation

Principe de la méthode proposée

Comment améliorer l'identification ?

Application à un système mécanique variable

Application à un système non linéaire

Conclusions et perspectives

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Opérateur algébrique de dérivation

Polynômes de Chebyshev Définitions et propriétés

Base orthogonale (ordre n) :

Dérivation :

0 1 2

0 1 2

( ).

. . . .

nn

n nn x

dx tx x x x T

dt

x x x x T D TD

1cos cosnT n

0 1 2

tnnT T T T T

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Matrice de dérivation0

12

2 10

1

2

0 21

1

22 2

2 3

n

nm

m

n

mm

T pour n

dTn T pour n et n pair

dt T

nT n T pour n et n impair

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 4 0 0 0 0 0

3 0 6 0 0 0 02

0 8 0 8 0 0 0

5 0 10 0 10 0 0

0 2 0 2 0 2 0

D si n pairT

n n n

Opérateur algébrique de dérivationPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Modèle mécanique : système à 1 degré de liberté

Sur la base orthogonale de Chebyshev :

Après simplification :

. . . . .n n nX D A XT T U T

1 10 11 1

(2, 1)20 21 22

n

nn

x x x xX

x x xx

1

(2, 1)20 21 22

0 0 0n

n

uU

u u uu

1 2. 0 1 .x D X x

2 2 1 2. .x D a a X u

1 2

1( )x a x a x u t

m

1 1

2 1 22

0 1 0. . ( )

1/

Matrice A

x x x tu t

a a mx x tx

Formulation mécaniquePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Projection des signaux sur la base polynomiale définis sur Ne points :

Résolution de l’équation algébrique :

11, 1, 1( ) .

e

n

N nx t x T

21, 1, 1( ) .

e

n

N nu t u T

( 1, )

n

n NeT

22 2

1

. .t ta

X u D xa

22

1

21

. .. .tta

uX Xa

X D x

(2, 1)nX

Formulation mécaniquePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Généralisation à un système à k ddl

2.k² inconnues (ici 18 inconnues)

1

12

2

3 3

44

5

56

6

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 2 2 1 2 20 0 .1 1 1 1

2 2 3 3 2 2 3 3

2 2 2 2 2 23 3 4 3 3 4

0 03 3 3 3

x

xx

xx K K K C C C x

M M M M xxK K K K C C C C

xM M M M M Mx

xK K K C C Cx M M M M

0

0

0

sin(18 ) / 1

0

0

t M

14 4

25 5

6 618

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

t t

t t

t t

X Da u xaX u D x

u xaX D

Formulation mécaniquePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Simulation sur 3 ddl

8.92x10-5Erreur Relative Moyenne

0.025Erreur Absolue Moyenne

6.25x10-9Écart Moyen Total

7.76x10-10Écart Moyen – position de la masse 3

4.85x10-10Écart Moyen – position de la masse 2

1.25x10-9Écart Moyen – position de la masse 1

2.24x10-8Écart Moyen – Signal d’entrée

-5.998-6- (C3+C4) / M3500.02500K3 / M2

4.0024C3 / M3-1500.018-1500- (K2+K3) / M2

0.0003001000.0181000K2 / M2

-2999.9-3000- (K3+K4) / M30.00100

999.981000K3 / M33.9994C2 / M1

0.0600-5.999-6- (C1+C2) / M1

2.00042C3 / M2-0.0800

-4-4- (C2+C3) / M22000.082000K2 / M1

2.00012C2 / M2-3000.05-3000- (K1+K2) / M1

Valeur identifiéeValeur réelleCoefficientsValeur identifiéeValeur réelleCoefficients

8.92x10-5Erreur Relative Moyenne

0.025Erreur Absolue Moyenne

6.25x10-9Écart Moyen Total

7.76x10-10Écart Moyen – position de la masse 3

4.85x10-10Écart Moyen – position de la masse 2

1.25x10-9Écart Moyen – position de la masse 1

2.24x10-8Écart Moyen – Signal d’entrée

-5.998-6- (C3+C4) / M3500.02500K3 / M2

4.0024C3 / M3-1500.018-1500- (K2+K3) / M2

0.0003001000.0181000K2 / M2

-2999.9-3000- (K3+K4) / M30.00100

999.981000K3 / M33.9994C2 / M1

0.0600-5.999-6- (C1+C2) / M1

2.00042C3 / M2-0.0800

-4-4- (C2+C3) / M22000.082000K2 / M1

2.00012C2 / M2-3000.05-3000- (K1+K2) / M1

Valeur identifiéeValeur réelleCoefficientsValeur identifiéeValeur réelleCoefficients

excitation =sinus 9 rd/s

Horizon =[0 4.2s]

Fréquence =1000 Hz

Résultats de simulationPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Système linéarisé : pendule 3ddl linéarisé autour de la position verticale

Excitation sur une tige

Réponse en accélération des trois masses

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Résultats de l’identificationParamètres Valeurs

réelles Valeurs

identifiées Paramètres Valeurs

réelles Valeurs

identifiées

11 1/K I -25451.7 -25340.59 21 2/C I 0.0362 1.57

12 1/K I 12512.8 12135.11 22 2/C I -0.513 -2.48

13 1/K I 0 253.16 23 2/C I 2.33 1.2

11 1/C I -0.7055 -5.098 31 3/K I 0 797.26

12 1/C I 0.0362 7.373 32 3/K I 12512.8 10615.21

13 1/C I 0.19 -3.86 33 3/K I -12543.74 -11372.52

21 2/K I 12512.8 11450.26 31 3/C I 0.19 0.87

22 2/K I -25056.56 -22470.76 32 3/C I 0.233 1.39

23 2/K I 12512.8 10906.82 33 3/C I -0.47 0.52

EAM 549.22 ERM (sans paramètres nuls) 18.35

système trop peu amorti !

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Comment améliorer l'identification?

Attention aux caractéristiques mécaniques

0.51

1.52

050

100150

2000.000001

0.0001

0.01

1

100

Raideur massiqueAmortissement massique

00.5

11.5

2

x 104

050

100150

2000.000001

0.0001

0.01

1

100

Amortissement massiqueRaideur massique

Raideur massique

Amortissement massique

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Ordre de la base

0 50 100 150 200 250 300 350 40010

-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Ordre de la base n

Eca

rt M

oyen

Tot

al

0 50 100 150 200 250 300 350 40010

-5

100

105

1010

Ordre de la base n

Err

eur

Abs

olue

Moy

enne

signaux

résolution

21 2eN n k

En choisissant l'ordre de la basePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Influence de l’ordre, de la fréquence d’échantillonnage, du nombre de points

Estimation empirique :

100150

200250

20004000

60008000

0.01

1

100

10000

ordre de la basenombre de points

Err

eur

Abs

olue

Moy

enne

0 50 100 150 200 250 300

1000

2000

3000

0.01

1

100

10000

fréquence (Hz)

ordre de la base

Err

eur

Abs

olue

Moy

enne

max4n f T

Nombre de points et fréquence d'échantillonnage

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Impulsion et bruit blanc large bande Chebyshev pas du tout adapté !

Sinus pur (avec régime transitoire !)

0 5 10 15 20 25 3010

0

101

102

103

104

105

Fréquence (Hz)

Err

eur

Abs

olue

Moy

enne

Fréquences propres du système

1

2

3

9.7 Hz 22.2 Hz 25.8 Hz

fff

En sélectionnant une excitationPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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En sélectionnant les points d'identification

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

temps (s)

dépl

acem

ent m

asse

1 (

m)

1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

temps (s)

vite

sse

(ms-1

)

RSB = 20dB

En choisissant les points

déplacement

vitesse

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Ce qui implique une reformulation du problème d'identification :

Les signaux sont décomposés sur toute la fenêtre

L'identification est faite uniquement là où les points sont proches du signal original

22 2

1

. . . . .n n ni

t

i i

tT t T

aX xtut DT

a

22 2

1

. .t ta

X u D xa

En choisissant les pointsPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Résultats de simulation

1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

temps (s)

vite

sse

(ms-1

)

Valeur Valeur Coefficient

réelle identifiée Coefficient

réelle identifiée - (K1+K2) / M1 -3000 -5313.58 C2 / M2 2 0.46

K2 / M1 2000 8412.6 - (C2+C3) / M2 -4 -2.371 0 0 -10752 C3 / M2 2 -0.43

- (C1+C2) / M1 -6 130.9 0 0 0.044 C2 / M1 4 -126.9 K3 / M3 1000 999.78

0 0 174.2 - (K3+K4) / M3 -3000 -2999.79 K2 / M2 1000 1014.73 0 0 -0.0038

- (K2+K3) / M2 -1500 -1544.53 C3 / M3 4 4.004 K3 / M2 500 573.96 - (C3+C4) / M3 -6 -6.006 Erreur Absolue Moyenne 1.114x103

Valeur Valeur Coefficient

réelle identifiée Coefficient

réelle identifiée - (K1+K2) / M1 -3000 -2991.42 C2 / M2 2 1.93

K2 / M1 2000 1961.4 - (C2+C3) / M2 -4 -3.7 0 0 68.15 C3 / M2 2 1.34

- (C1+C2) / M1 -6 -5.94 0 0 0.01 C2 / M1 4 3.91 K3 / M3 1000 999.97

0 0 0.2 - (K3+K4) / M3 -3000 -2999.95 K2 / M2 1000 1003.1 0 0 7,6x10-5

- (K2+K3) / M2 -1500 -1504.4 C3 / M3 4 4 K3 / M2 500 509.13 - (C3+C4) / M3 -6 -6 Erreur Absolue Moyenne 7.4

En choisissant les pointsPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Comparaison pour différentes tailles de fenêtre

En limitant le nombre de pontsPrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Décomposer proprement les signaux sur la base au sens des Moindres Carrés

Sélectionner les points d'identification et ne garder que les plus "proches" du signal initial

Résoudre le problème inverse au sens des Moindres Carrés

•décomposition des signaux•résolution équations

Dissociation

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Application système variable

Évolution d’une masse au cours du temps

Travail sur une fenêtre glissante

22 2

1

( )

( ). . . . .

t tn n ni i iT t X T t u T t

a

a tD x

t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Temps (s)

pla

ce

me

nt

de

la

tig

e 1

(m

)

1 2 3 4 …

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 22 / 40Journée Identification 14 Juin 2007

Résultats pour différentes tailles de fenêtre

Application système variablePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Formulation sans troncature

Application système non-linéaire

2 1c kx t x t f

mt t

m mx

2

2

.

1. . .

. ni

tn

n ni i

ni i

k

mx T tc

m

T t f T t D x

x T t

m

T t x

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Propriétés des polynômes de Chebyshev

Possibilité d’écrire un opérateur produit sur la base polynomiale, en tronquant les ordres supérieurs à n

0

( ) . ( )n

k kk

P p T

0

( ) . ( )n

k kk

Q q T

0

2

( ) ( ) . ( )i ii

n

P Q c T

0 01

0 0

10

2

1 1( ) 1

2 2

1

2

n

j jj

i n i

i j i j j j i j i jj j

n

j i jj i n

p q p q si i

c p q p q p q si i n

p q si i n

Formulation avec troncaturePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Système à résoudre plus simple

Formulation avec troncature

2

2

.

1. . .

ni

tn ni i

ni

k

mx T tc

m

T t f T t D

t

x

T

m

0 01

0 0

10

2

1 1( ) 1

2 2

n

j jj

i i n i

j i j j j i j i jj j

x x x x si i

x x x x x x si i n

2

0

. ( )n

i ii

x T

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Comparaison des deux formulations

Application système non-linéairePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Système 3 DDL, non linéarités en raideurK1=k1. x1 =100.x1 N/m

K2=k2. (x2 - x1) = 200.(x2 - x1) N/m

K3=k3. (x3 - x2) = 50.(x3 - x2) N/m

K4=k4.x3 = 20 .x3 N/m

Fe=2000 Hzn=40T=2s

Excitation=2.sin(3t)

Coefficient Valeur réelle Valeur identifiée

Coefficient Valeur réelle Valeur identifiée

- k1 / M1 -100 -100.249 - (C2+C3) / M2 -4 -4.0045 k2 / M1 200 200.259 C3 / M2 2 2.0068

0 0 0.0713 -k3 / M3 -50 -49.987 - (C1+C2) / M1 -6 -6.0023 0 0 6

2.4 10

C2 / M1 4 4.02 - k4 / M3 -20 -20.0105 0 0 -0.033 0 0 6

3.7 10

-k2 / M2 -100 -99.986 C3 / M3 4 4.00004 k3 / M2 25 24.267 - (C3+C4) / M3 -6 -6.0001 C2 / M2 2 2.0005

Erreur Absolue Moyenne 0.0834

Application système non-linéairePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Validation expérimentale

Dispositif d'essais : hexapode déployable Thales Alénia Space

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Modèle de Dahl généralisé équation générale

forme de h(u)

courbes enveloppes

sgnR t u t h u R u t

1sgn

2 u l u lh u h h u t h h

1 1

2 2

u

l

h a u b

h a u b

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Formulation avec troncature

écrite pour tous les points mesurés

1 1

1 1

2 2

2 2

. 2 . .tn

a a

b b

A B C D E F T D Ra a

b b

1 11

12 2

23

32

2. . .

ni

i

nii

ni ti

ni

i

njj

T tF ta T tF tbF t T t

D RaF t T tb

F t T t

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Résultats de l'identification

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Amélioration : prise en compte des oscillations

Nouvelle écriture

avec G

1 1 sinuh a u b A u

1

1

2

2

. 2 . .tn

a

b

aA B C D E G T D R

b

A

sgn sin sinnG T u u u u

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Résultats obtenus

Validation expérimentalePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Introduction de coefficients variableseux-mêmes décrits par une décomposition

Application système variable

1x t f

c tx tt

mt

m

k tx

m

2 2 11 2nn nnn nTf T x D T T T x Tx

1 12 2 2n nnn Hf T D TTx T H

1

1 2 22

T T TH H f D x

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Simulation

Signaux décrits avec 120 polynômes Paramètres décrits avec 20 polynômes Excitation sinus 100 N à 20 rd/s

échantillonnée à 1000Hzpendant 2s

1000 sin 4 N/mk t t 2 sin 3 Ns/m5

c t t

Application système variablePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Résultats sur l'amortissement

Application système variablePrincipe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Conclusions

Méthode d’identification basée sur une base polynomiale (autres fonctions) adaptée à des signaux fréquentiellement « pauvres »

mais persistants à partir d’une formulation mécanicienne adaptée aux systèmes linéaires, variables ou non au

cours du temps, non linéaires adaptée aux systèmes amortis

Validation numérique sur plusieurs cas, sur des signaux bruités

Validation expérimentale sur systèmes non linéaires

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Perspectives

Améliorations possibles Estimation au sens des Moindres Carrés Représentation d’état avec équation de sortie

Utilisation sur d’autres types de non linéarités Système continu ou souple

Avec d’autres bases polynomiales Transformée en Ondelettes

Pour d’autres opérateurs Adaptés à la non linéarité supposée

Principe de la méthodeComment améliorer ?Système mécanique variableSystème mécanique non linéaireConclusions et perspectives

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Perspectives

Base d’ondelettes définies sur Chebyshev

2 1.n n

C T

.OD DC

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