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Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

1 Nuestro profesor de matemáticas tiene en el departamento dos estantes de dos baldas cada uno con dos

cajas en cada balda y dos centenas de exámenes en cada caja. Escribe en forma de potencia el número total de exámenes y calcúlalo.

Solución: 2

4 = 16 centenas de exámenes que son 1 600 exámenes.

2 Escribe en forma de potencia y calcula su valor:

a) El cubo de 5.

Solución: a) 5

3 = 125

3 En el parque había 5 niños en cada uno de los cinco columpios que había en cada una de las 5 zonas de juego. Escribe en forma de potencia el número total de niños y calcúlalo.

Solución: 5

3 = 125 niños.

4 Los pañuelos de papel vienen en envases de 10 paquetes de 10 pañuelos cada uno. ¿Cuántos pañuelos hay

en un envase? ¿Y en 10 envases?

Solución: 10

2 = 100 pañuelos en cada envase.

10

3 = 1000 pañuelos en 10 envases.

5 En mi habitación hay 3 cajones con tres filas cada uno de tres videojuegos cada una. Escribe en forma de

potencia el número total de videojuegos y calcúlalo. Solución: 3

3 = 27 videojuegos.

6 ¿Cuántos metros cuadrados ocupan dos jardines cuadrados de 15 y 20 metros de lado respectivamente?

Solución: 15

2 + 20

2 = 225 + 400 = 625 m

2

b) 2 a la quinta.

5b) ( 2) = 32



7 El patio de la casa de Pedro tiene 12 m. de ancho y el doble de largo. Calcula su superficie utilizando

potencias. Solución: El patio de Pedro lo forman dos cuadrados unidos de 12 m de lado cada uno, por tanto la superficie es de: 2 · 12

2 = 2 · 144 = 288 m

2

8 Expresa primero en forma de multiplicación y después calcula el resultado de las potencias:

Solución:

9 El balcón de la casa Marta es de 2 m. de ancho por 6 m. de largo. Calcula su superficie utilizando potencias. Solución: El balcón de la casa de Marta lo forman 3 cuadrados unidos de 2 m. de lado, por tanto su superficie será de: 3 · 2

2 = 3 · 4 = 12 m

2

10 Completa la siguiente tabla:

Potencia Base Exponente Forma de multiplicación Valor

4 3

(-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2)

Solución:


43 4 3 4 · 4 · 4 64

(-2)6 -2 6 (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) 64

3

4

5

2

a) 7

b) ( 4)

c) ( 3)

d) 9

3

4

5

2

a) 7 = 7 · 7 · 7 = 243

b) ( 4) = ( 4) · ( 4) · ( 4) · ( 4) = 256

c) ( 3) = ( 3) · ( 3) · ( 3) · ( 3) · ( 3) = 243

d) 9 = 9 · 9 = 81



11 Escribe en forma de potencia los siguientes productos:

Solución:

12 Demuestra, sin hallar el resultado, que 92 = 3

4.

Solución: 9

2 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3

4

13 Completa la siguiente tabla:


4 256

3 -343

Solución:

Potencia Base Exponent

e Forma de

multiplicación Valor

44

4 4 4 · 4 · 4 · 4 256

(-7)3

-7 3 (-7) · (-7) · (-7) -343

14 Razona si son ciertas las siguientes igualdades:

Solución:

a) ( 2) · 2 · 2 · 2 · 2

b) ( 4) · 4 · 4

c) ( 7) · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7

5

3

a) ( 2) · 2 · 2 · 2 · 2 = ( 2) · ( 2) · ( 2) · ( 2) · ( 2) = ( 2)

b) ( 4) · 4 · 4 = ( 4) · ( 4) · ( 4) = ( 4)

c) ( 7) · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) =

7( 7)

6 6

3 3

5 5

a) ( 4) = 4

b) ( 5) = 5

c) ( 6) = 6



a) Es cierta porque al elevar un número negativo a un exponente par se obtiene un número positivo y las bases y los exponentes de las potencias son iguales. b) Es falsa porque al elevar un número negativo a un exponente impar, el resultado es positivo. c) Es cierta porque un número negativo elevado a un exponente impar da otro número negativo y las bases y exponentes de las potencias coinciden.

15 Escribe el producto de 64 · 16 como potencia de dos formas distintas.

Solución: Primera forma: 64 · 16 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2

10

Segunda forma: 64 · 16 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4

5

16 Efectúa aplicando propiedades de potencias:

a) (-3)

7 : (-3)

4

b) 2

3 · 2

2

Solución: a) (-3)

7 : (-3)

4 = (-3)

3 = -27

b) 2

3 · 2

2 = 2

5 = 32

17 Resuelve de la forma más adecuada:

a) (-4)

8 : (-4)

6

b) 2

4 · 2

3

Solución: a) (-4)

8 : (-4)

6 = (-4)

2 = 16

b) 2

4 · 2

3 = 2

7 = 128

18 Para cada uno de los siguientes apartados di si es verdadera o falsa la expresión y explica por qué:

a) 7

4 : 7

2 = 7

4-2

b) 3

4 : 3

2 = (3 : 3)

4-2 Solución: a) Verdadero, porque 7

4 : 7

2 = 2 401 : 49 = 49, es igual a 7

4-2 = 7

2 = 49

b) Falso, porque 3

4 : 3

2 = 81 : 9 = 9, no es igual a (3 : 3)

4-2 = 1

2 = 1

19 Expresa como una única potencia y calcula su valor:

b) 6

4 : 3

4

2 3 a) [( 3) ]



Solución:

b) 6

4 : 3

4 = 2

4 = 16

20 Resuelve de la forma más adecuada:

a) (-4)

4 : (-4)

2

b) 2

2 · 2

3

Solución: a) (-4)

4 : (-4)

2 = (-4)

2 = 16

b) 2

2 · 2

3 = 2

5 = 32

21 Para cada uno de los siguientes apartados di si es verdadera o falsa la expresión y explica por qué:

a) (3 - 2)

2 = 3

2 - 2

2

b) (6 : 2)

2 = 6

2 : 2

2 Solución: a) Falso, porque (3 - 2)

2 = 1

2 = 1, no es igual a 3

2 - 2

2 = 9 - 4 = 5.

b) Verdadero, porque (6 : 2)

2 = 3

2 = 9, es igual a 6

2 : 2

2 = 36 : 4 = 9.

22 Calcula de dos maneras distintas las siguientes potencias:

a) [(-1) · (-2) · (-3)]

3

b) [(-2)

3]2

Solución: Primera forma, operando paréntesis: a) [(-1) · (-2) · (-3)]

3 = (-6)

3 = -216

b) [(-2)3]2 = (-8)

2 = 64

Segunda forma, aplicando propiedades de potencias: a) [(-1) · (-2) · (-3)]

3 = (-1)

3 · (-2)

3 · (-3)

3 = (-1) · (-8) · (-27) = -216

b) [(-2)3]2 = (-2)

6 = 64

23 ¿Es cierto que la diferencia de potencias de la misma base es otra potencia cuya base es la misma y cuyo

exponente es la diferencia de los exponentes del minuendo y sustraendo? Justifica la respuesta con un ejemplo.

Solución: Es falso, por ejemplo: 2

4 - 2

2 = 16 - 4 = 12, no es igual a 2

4-2 = 2

2 = 4.

24 Expresa el número 32 como un producto de potencias de la misma base.

2 3 6a) [( 3) ] = ( 3) = 729



Solución: Una de las posibles soluciones sería: 2

3 · 2

2

25 Expresa como una única potencia: a) 4

3 · (-3)

3 : 2

3

b) (6

2)4 : 6

5 · 6

Solución: a) 4

3 · (-3)

3 : 2

3 = [4 · (-3) : 2]

3 = (-6)

3

b) (6

2)4 : 6

5 · 6 = 6

8 : 6

5 · 6 = 6

3 · 6 = 6

4

26 Expresa como una única potencia utilizando sus propiedades:

Solución:

27 Escribe como una potencia: a) 125 · 5

4 : 25

b) 243 : [81 : 3] Solución: a) 125 · 5

4 : 25 = 5

3 · 5

4 : 5

2 = 5

7 : 5

2 = 5

5

b) 243 : (81 : 3) = 3

5 : (3

4 : 3) = 3

5 : 3

3 = 3

2

28 Escribe cada producto o cociente en forma de potencia: a) -27 · (-3)

5 · (-3)

3

b) -32 : (-2)

3

Solución: a) -27 · (-3)

5 · (-3)

3 = (-3)

3· (-3)

5 · (-3)

3 = (-3)

11

b) -32 : (-2)

3 = (-2)

5 : (-2)

3 = (-2)

2

2

4 3a) 3 : 3 ·9

2

6 32b) 2 ·2 : 2

2

4 3 8 3 2 8 5 3) 3 : 3 ·9 3 : 3 ·3 3 : 3 3 a

2

6 3 62 6 2 8 6 2) 2 ·2 : 2 2 ·2 : 2 2 : 2 2

b



29 Sustituye cada recuadro por el número o símbolo que corresponda:

a) (-: 2)3 = (-3)

3 = 27

b) [( )9]2 = (-1)

18 =

Solución: a) (-6 : 2)

3 = (-3)

3 = -27

b) [(-1)

9]2 = (-1)

18 = -1

30 ¿Es cierto que la potencia de una suma sea igual a la suma de las potencias de los sumandos? Justifica la

respuesta con un ejemplo. Solución: Es falso, por ejemplo: (2 + 3)

2 = 5

2 = 25, no es igual a 2

2 + 3

2 = 4 + 9 = 13.

31 Señala cuáles de estas fracciones son equivalentes.

Solución:

32 Escribe la fracción irreducible equivalente a las siguientes.

6 2a) y

15 5

7 14b) y

10 30

7 8c) y

8 9

12 3d) y

32 8

6 2a) y son fracciones equivalentes porque 6 · 5 = 15 · 2

15 5

7 14b) y no son fracciones equivalentes porque 7 · 30 10 · 14

10 30

7 8c) y no son fracciones equivalentes porque 7 · 9 8 · 8

8 9

d)

12 3 y son fracciones equivalentes, ya que 12 8 = 32 3 = 96

32 8



Solución:

33 Las previsiones de una empresa para el próximo año son de 360 mil euros. El reparto en la consecución de ese dinero se hace de la siguiente forma: - Pablo tiene que vender 150 mil - Carlos tiene que vender 90 mil - Pedro tiene que vender 120 mil Expresar en forma de fracción irreducible lo que ha de vender cada uno. Solución:

34 Con las siguientes fracciones forma grupos de fracciones equivalentes:

¿Cuál es la fracción irreducible de cada grupo? Solución:

4a)

16

300b)

400

4 2 1a) = =

16 8 4

300 30 15 3b) = = =

400 40 20 4

150 15 5- Pablo : = =

360 36 12

90 9 1- Carlos : = =

360 36 4

120 12 1- Pedro : = =

360 36 3

5 4 6 10 8 2 16 10 4, , , , , , , ,

6 6 9 12 6 3 12 15 3



35 Señala las fracciones mayores que la unidad y escríbelas como número mixto:

Solución:

36

. Solución:

37

Solución:

5 10 51er grupo : , . Fracción irreducible :

6 12 6

4 6 2 10 22o grupo : , , , . Fracción irreducible :

6 9 3 15 3

8 16 4 43er grupo : , , . Fracción irreducible :

6 12 3 3

8 4 17 20, , ,

5 7 19 7

8 20Las fracciones mayores que 1 son y

5 7

8 5 3 3= + = 1+

5 5 5 5

20 14 6 6= + = 2 +

7 7 7 7

7a) Expresar la fracción como número mixto.

5

1b) Expresar en forma de fracción el número mixto 6

7

7 5 2 2 2a) = + = 1+ = 1

5 5 5 5 5

1 1 42 1 43b) 6 = 6 + = + =

7 7 7 7 7

2¿A cuántos sextos equivale ? Haz un dibujo.

3



Gráficamente:

38 Álvaro y Eli deciden comprarse una casa cuyo valor es de 360 mil euros. Antes de la entrega de llaves tienen que pagar 90 mil euros. ¿Qué fracción de dinero han de pagar? Exprésala como fracción irreducible. Solución:

39

Solución:

40 A lo largo de todo el Camino de Santiago un grupo de amigos ha caminado 62 horas. Escribe ese período como fracción de un día y como número mixto.

2Hay que buscar la fracción equivalente a con denominador 6.

3

2 4Tenemos así : = , luego equivale a 4 sextos.

3 6

90 190 mil de 360 mil =

360 4

1Tienen que pagar del precio del piso.

4

3En una tienda de alquiler de vídeos, en un día alquilaron 245 películas, de las que eran películas de acción.

7

¿Cuántas películas de acción se alquilaron? El resto, ¿qué fracción representa?

1 de 245 = 35

7

3Así, serán 3·35 = 105 películas.

7

4Se han alquilado 105 películas de acción. El resto representa de las películas alquiladas.

7



Solución:

41

a) Calcula la cantidad de dinero ofertada en Bolsa. b) Calcula la cantidad de dinero ofertada a empleados. c) Calcula la cantidad de dinero ofertada al público en general. Solución:

a)

b) La cantidad ofertada a empleados es la tercera parte de 360 mil, es decir, 120 mil euros.

c) La cantidad ofertada al público será 360 120 = 240 mil euros.

42

b) ¿Cuánto le falta a cada número para llegar a la unidad siguiente? Solución:

62 31Un día tiene 24 horas, 62 horas como fracción de día es : =

24 12

31 24 7 7 7Expresado como número mixto será : = + = 2 + = 2

12 12 12 12 12

Una compañía telefónica está valorada en 600 mil euros (la unidad será 1000 euros).

3Se decide sacar de la compañía a Bolsa de la siguiente manera :

5

1 2 para los empleados y para público en general.

3 3

3Se calcula qué cantidad de dinero es de 600 :

5

1 3 es 120 serán 360 mil euros.

5 5

5 2 1 a) Escribe los siguientes números mixtos en forma de fracción : 3 , 6 , 4 .

8 7 6



43

a) Escribe cada fracción en forma de número mixto. b) ¿Cuánto le falta a cada fracción para llegar al siguiente número entero? Solución:

44 ¿Cuáles de las siguientes fracciones se pueden expresar como número mixto? Escribe el número mixto al que equivalen.

5 5 24 5 29a) 3 = 3 + = + =

8 8 8 8 8

2 2 42 2 44 6 = 6 + = + =

7 7 7 7 7

1 1 24 1 25 4 = 4 + = + =

6 6 6 6 6

5 3b) Lo que le falta a 3 para llegar a la unidad siguiente es .

8 8

2 5 Lo que le falta a 6 es .

7 7

1 5 Lo que le falta a 4 es .

6 6

19 15Dadas las fracciones y :

4 8

19 16 3 3 3a) = + = 4 + = 4

4 4 4 4 4

15 8 7 7 7 = + = 1+ = 1

8 8 8 8 8

19 3 1b) A la fracción = 4 + le falta para llegar a 5.

4 4 4

15 7 1 A la fracción = 1+ le falta para llegar a 2.

8 8 8



De entre las que no se pueden expresar como número mixto, algunas se pueden simplificar. Obtén su fracción irreducible. Solución:

45

Solución:

46 Un padre reparte su herencia entre sus 3 hijos:

a) ¿Cuánto dinero ha sido repartido?

17 36 13 25 34 17, , , , , .

9 48 5 16 40 18

17 9 8 8a) = + = 1

9 9 9 9

13 10 3 3= + = 2

5 5 5 5

25 16 9 9= + = 1

16 16 16 16

b) 36 3

=48 4

34 17=

40 20

2Escribe una fracción equivalente a con denominador 30.

5

? 2 ?La fracción será de la forma y se cumplirá que : =

30 5 30

Observar que basta multiplicar numerador y denominador por 6 luego ? = 12

12La fracción pedida es .

30

1- a Isabel le dio del total.

7

2- a Marina le dio del total.

7

- a Roberto le dio 8000 euros.



b) ¿Qué cantidad corresponde a cada hijo? Solución:

47 Escribe con una fracción: a) La fracción de año que representan 4 meses. b) La fracción de día que representan 10 horas. c) La fracción de hora que representan 12 minutos. Simplifica las fracciones cuando sea posible, dando la fracción irreducible. Solución:

1 2 3a) Si a Isabel le dio y a Marina , a las dos les dio un total de del dinero.

7 7 7

4Luego a Roberto le dio del dinero, que son 8000 euros.

7

1 8000Con lo que serán : = 2000 euros.

7 4

7El dinero que tiene el padre es que corresponde a 7·2000 = 14000 euros.

7

1b) A Isabel le dio , esto es, 2000 euros.

7

2A Marina le dio , es decir, 2000·2 = 4000 euros.

7

4 1a) =

12 3

10 5b) =

24 12

12 1c) =

60 5



48

Solución:

49 Representa en los rectángulos dados las siguientes fracciones:

Después, compáralas y simplifícalas.

Solución:

2En un partido de fútbol, Juan ha metido de los goles de su equipo y Raúl ha metido los otros 2 goles.

3

a) ¿Qué fracción de goles ha metido Raúl?

b) ¿Cuántos goles ha metido Juan?

2 1a) Si Juan ha metido de los goles, Raúl ha metido .

3 3

1 2b) representa 2 goles, serán 4 goles, que es el número de goles que ha metido Juan.

3 3

10

4y

8

2,

4

1

4

1

8

2

10

4

1 2 4Se observa que = <

4 8 10

1 es una fracción irreducible.

4



50 Completa la siguiente tabla.

Fracciones

Fracciones con común

denominador

Solución:

Fracciones

Fracciones con común

denominador

51

Solución:

52 Ordena las fracciones de menor a mayor:

. Solución: m.c.m. (3, 5, 15, 6) = 30

2 1= es la fracción irreducible.

8 4

4 2= es la fracción irreducible.

10 5

10

3 y

9

8

5

2 y

3

1

7

6 y

5

2

4

3 y

3

2 ,

2

1

10

3 y

9

8

5

2 y

3

1

7

6 y

5

2

4

3 y

3

2 ,

2

1

90

27 y

90

80

15

6 y

15

5

35

30 y

35

14

24

18 y

24

16 ,

24

12

2En una tienda de discos tienen la quinta parte de los discos sobre música clásica, sobre música moderna

3

y el resto sobre música infantil. ¿De qué tipo de música hay más discos?

1 2 3 10Se reduce a común denominador y y .

5 3 15 15

.15 3 10 2

Luego de música infantil habrá =15 15

10Así pues la fracción mayor es que corresponde a la música moderna.

15

6

5,

15

7,

5

2,

3

4



Con el mismo denominador, podemos comparar los numeradores:

53

Solución:

Luego:

Recibe mayor cantidad Eduardo.

4 4 · 10 40= =

3 3 · 10 30

2 2 · 6 12= =

5 5 · 6 30

7 7 · 2 14= =

15 15 · 2 30

5 5 · 5 25= =

6 6 · 5 30

12 14 25 40 2 7 5 4< < < < < <

30 30 30 30 5 15 6 3

1 2Marta recibe de los beneficios de una empresa y Eduardo de los mismos. ¿Quién recibe mayor cantidad?

9 7

Si la empresa genera unos beneficios de 9450 Euros. ¿Cuánto recibe cada uno?

1 2Se reduce a común denominador y .

9 7

63

7

7·9

7·1

9

1

63

18

9·7

9·2

7

2

18 7 2 1> >

63 63 7 9

1 9450Marta recibe de 9450 € = = 1050 €

9 9

2 1 9450 2Eduardo recibe de 9450 €; como de 9450 € = = 1350 € ; serán 2·1350 = 2700 €

7 7 7 7



54

Solución: Para saber qué bici va en primera posición, se reducen las fracciones a común denominador: m.c.m.(5,7,11) = 385 Luego:

Luego comparando fracciones, se observa que la bici 2 va en primera posición.

55

Solución: Se reduce a común denominador las fracciones dadas:

4En una carrera de bicis se ha de recorrer 770 Km. La bici 1 lleva recorridos los del trayecto;

5

6 9la bici 2 los y la bici 3 los .¿Cuál de las 3 bicis va en primera posición?

7 11

¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada una?

385

308

77·5

77·4

5

4

385

330

55·7

55·6

7

6

385

315

35·11

35·9

11

9

4 1 770 4La bici 1 ha recorrido de 770; de 770 = = 154 son 4·154 = 616 Km.

5 5 5 5

6 1 770 6La bici 2 ha recorrido de 770; de 770 = = 110 son 6·110 = 660 Km.

7 7 7 7

9 1La bici 3 ha recorrido de 770; de

11 11

770 9770 = = 70 son 9·70 = 630 Km.

11 11

.2 2

Escribir 3 fracciones mayores que y menores que 5 3

15

6

3·5

3·2

5

2

15

10

5·3

5·2

3

2



56

Solución: Denominador: 7 · 11 = 77

57

Solución: Mínimo común denominador: m.c.m. (6, 4) = 12

58

Solución:

7 8 9Así : , , son las fracciones pedidas.

15 15 15

3 4La edad de dos hermanas son, respectivamente, los y de la edad de su padre.

7 11

Reduce a común denominador estas fracciones.

3 3 · 11 33= =

7 77 77

4 4 · 7 28= =

11 77 77

En una pastelería dividen las tartas en porciones para venderlas.

2 3De una tarta quedan sin vender y de otra .

6 4

Reduce a mínimo común denominador estas fracciones.

2 2 · 2 4= =

6 6 · 2 12

3 3 · 3 9= =

4 4 · 3 12

5En una tienda de ropa se vendieron en 1 semana 585 prendas distintas, de las cuales eran camisetas,

13

1 pantalones y el resto otra clase de prendas. ¿Qué tipo de prenda se vendió más?

3

¿Cuántas camisetas y pantalones se vendieron?



De igual manera para el número de pantalones:

59

Solución: Mínimo común denominador: m.c.m. (36, 24) = 72

60 Ordenar de mayor a menor las fracciones:

. Solución: Mínimo común múltiplo de los denominadores: 5 = 5 9 = 3 · 3 20 = 2 · 2 · 5 6 = 2 · 3 12 = 2 · 2 · 3

5 1 15 13Se reduce a común denominador y y

13 3 39 39

39 - 15 - 13 11luego : = se vendió del resto de prendas.

39 39

15 5La fracción mayor es = se vendieron más camisetas.

39 13

5Para hallar el número de camisetas vendidas hay que calcular de 585.

13

1 585 5de 585 = = 45, luego serán 5·45 = 225. Se vendieron 225 camisetas.

13 13 13

1 585de 585 = = 195 pantalones.

3 3

13 7Un depósito contiene de su capacidad y otro .

36 24

Reduce esas fracciones a mínimo común denominador.

13 13 · 2 26= =

36 36 · 2 72

7 7 · 3 21= =

24 24 · 3 72

12

13,

6

11,

20

4,

9

7,

5

2



m.c.m. (5, 9, 20, 6, 12) = 5 · 3 · 3 · 2 · 2 = 180 180 : 5 = 36 180 : 9 = 20 180 : 20 = 9 180 : 6 = 30 180 : 12 = 15 Con lo que:

Comparamos los numeradores:

61 Escribe una fracción irreducible que cumpla la condición:

¿Es única la solución? Solución:

62

2 2 · 36 72 7 7 · 20 140 4 4 · 9 36= = ; = = ; = = ;

5 5 · 36 180 9 9 · 20 180 20 20 · 9 180

11 11 · 30 330 13 13 · 15 195= = ; = =

6 6 · 30 180 12 12 · 15 180

330 195 140 72 36 11 13 7 2 4> > > > > > > >

180 180 180 180 180 6 12 9 5 20

9

4?

8

3

( )

3 4Reducimos a común denominador y :

8 9

3 3·9 27= =

8 8·9 72

4 4·8 32= =

9 9·8 72

3 28 4 28 7Así, < < . La fracción irreducible de es .

8 72 9 72 18

29 30 315La solución no es única. Otras posibles soluciones son : , = , .

1272 72 72

5 7 9 3¿Cuál es la fracción más grande de entre las siguientes : , , , ?

12 20 16 5



Solución: Se reducen a denominador común: m.c.m.(12, 20, 16, 5) = 240

63

Solución:

64 Ordena de menor a mayor los números:

Solución: Se expresan los números mixtos en forma de fracción:

240

100

12

5

240

84

20

7

240

135

16

9

240

144

5

3

7La fracción mayor es .

20

5Antonio tiene de los sellos de una colección. Si la colección tiene en total 120 sellos

8

1y tiene repetidos de esta cantidad. ¿Cuántos tiene repetidos?

6

¿Cuántos sellos tiene Antonio? ¿Cuántos sellos le faltan para completar la colección?

5 1 15 4Reducimos a común denominador y : y .

8 6 24 2424 1

Si 120 sellos corresponden a , a le corresponden 5 sellos.24 24

4Luego, serán 5·4 = 20 sellos repetidos.

2415

Antonio tiene sellos, es decir, 15·5 24

= 75 sellos incluyendo los repetidos.

Sin repetir, Antonio tiene 75 20 = 55 sellos, luego le faltan 120 55 = 65 sellos para completar la colección.

5 19 7 323 , , 4 ,

6 4 9 5



Se reducen las fracciones a común denominador que es m.c.m.(6, 4, 9, 5) = 180

Ordenándolas de menor a mayor:

La ordenación de los números es:

65 Ordena de mayor a menor las fracciones:

Solución: Se reducen a denominador común: m.c.m.(32, 9, 15, 45) = 1440

6

23

6

5

6

18

6

53

6

53

9

43

9

7

9

36

9

74

9

74

23 690=

6 180

180

855

4

19

180

860

9

43

180

1152

5

32

690 855 860 1152< < <

180 180 180 180

5

32

9

74

4

19

6

53

45

28,

15

11,

9

8,

32

15

1440

675

32

15

1440

1280

9

8

1440

1056

15

11



Ordenando las equivalentes con igual denominador se obtiene:

Por tanto:

66

Solución:

67 Ordena de forma creciente las fracciones:

1440

896

45

28

1440

1280

1440

1056

1440

675

1440

896

9

8

15

11

32

15

45

28

Carlos tiene una colección de cromos de los cuáles la cuarta parte son sobre motos,

2partes son sobre coches y el resto de bicis. ¿Qué fracción de cromos tiene de bicis?

5

¿De qué parte tiene más? Si sobre motos tiene 100 cromos, ¿cuántos cromos tiene la colección?

1 2Se reduce a común denominador las fracciones y .

4 5

1 1·5 5= =

4 4·5 20

2 2·4 8= =

5 5·4 20

20 20 - 5 - 8 7El total es , luego la fracción de cromos de bicis será =

20 20 20

8 2La fracción mayor es = ; luego el mayor número

20 5de cromos los tiene sobre coches.

5 1Sobre motos tiene 100 cromos que le corresponde la fracción , luego le corresponderá 100 : 5 = 20 cromos

20 20

20La colección completa será luego 20·20 = 400 cromos t

20iene la colección.



Solución: Se halla el denominador común: m.c.m.(16, 6, 3, 2) = 48 Las equivalentes con denominador 48 son:

Ordenando éstas de menor a mayor:

Las del enunciado quedan ordenadas en la forma:

68

Solución: Se expresan los números mixtos en forma de fracción:

Se reducen a común denominador: m.c.m.(5, 4, 8, 7) = 280

7 5 10 1, , ,

16 6 3 2

7 21=

16 48

48

40

6

5

48

160

3

10

48

24

2

1

160 40 24 21

48 48 48 48

10 5 1 7

3 6 2 16

23 1 5 45De los números ,2 ,3 , , ¿cuál es el más pequeño?

5 4 8 7

4

9

4

1

4

8

4

12

4

12

8

29

8

5

8

24

8

53

8

53

280

1288

5

23



69 ¿Están ordenados correctamente los siguientes números?

Si no lo están, escribe el orden adecuado. Solución: Se expresan los números mixtos en forma de fracción:

Se reducen las fracciones a denominador común: m.c.m.(3, 4, 5, 6) = 60

No están ordenadas correctamente. Debería ser:

70 Ordena de mayor a menor las fracciones:

9 630=

4 280

280

1015

8

29

280

1800

7

45

1El más pequeño es 2 .

4

6

13

5

7

4

14

3

12

3

7

3

1

3

6

3

12

3

12

6

19

6

1

6

18

6

13

6

13

60

140

3

7

60

165

4

11

60

84

5

7

60

190

6

19

6

13

4

11

3

12

5

7



Solución: Se reducen a común denominador que es: m.c.m.(9, 4, 6, 3, 8) = 72

Ordenando de mayor a menor las equivalentes con igual denominador:

Las que pedían quedan ordenadas como sigue:

71

a) ¿Qué fracción de capital invirtió? b) ¿Qué cantidad de dinero invirtió en cada momento? Solución:

8

7,

3

5,

6

9,

4

7,

9

5

72

40

9

5

72

126

4

7

72

108

6

9

72

120

3

5

72

63

8

7

72

120

72

108

72

40

72

63

72

126

3

5

6

9

9

5

8

7

4

7

3Una persona invirtió en Bolsa primero de su capital y luego

5

4los del resto. Si disponía de 45.000 euros :

9



72

Solución:

73 Calcula y simplifica el resultado cuando sea posible:

Solución:

74 Halla el resultado y exprésalo en forma de fracción irreducible:

5 3 2 4a) De la primera inversión sobra = del capital, del cual invierte ,

5 5 5 94 2 8

es decir · = es la segunda inversión. 9 5 45

3 3 · 45000b) de 45000 = = 27000 euros en la primera inversión.

5 5

8 8·45000 de 45000 = = 8000 euros en la segunda inversión.

45 45

Marta se gasta la mitad de la paga semanal para ir al cine,

3para la colección de cromos y le sobran 2 Euros. ¿Cuánto dinero tenía?

7

14

13

14

6

14

7

7

3

2

1

13 11 = le sobra, que son 2 euros.

14 1414 1 14

Marta tenía de su dinero. Luego si son 2 Euros, serán 14·2 = 28 Euros.14 14 14

9 1 5 4 2a) · + :

4 3 2 3 72 1 8

b) 1 · + 25 6 3

9 1 5 4 2 9 5 28 54 20 112 146 73a) · + : = + = + = =

4 3 2 3 7 4 6 6 24 24 24 24 122 1 8 2 5 1 12 8 3 13 8 39 8 39 80 119

b) 1 · + 2 = · + = · = = =5 6 3 5 5 6 6 3 5 6 3 30 3 30 30 30



Solución:

75

a) ¿Qué fracción representa el gasto en ropa y en comida? b) ¿Cuánto ahorra mensualmente? Solución:

76 Calcula y simplifica:

4 7 2 3 9a) : + ·

5 5 4 2 101 2 3 7

b) · 3 · 18 5 2 4

4 7 2 3 9 4 28 27 16 56 27 -13a) - : + · = - + = - + =

5 5 4 2 10 5 10 20 20 20 20 20

1 2 3 7 1 15 2 3 7 4 1 13 3 3 13 9 13 45 -32 -4b) · 3 - - · - 1 = · - - · - = · - · = - = - = =

8 5 2 4 8 5 5 2 4 4 8 5 2 4 40 8 40 40 40 5

Isabel se gasta al mes la cuarta parte de su sueldo en ropa,

3en comida y el resto lo ahorra para comprarse un piso.

5

Si en comida se gasta 2.400 euros.

1 3 5 12 17a) + = + = se gasta en ropa y comida.

4 5 20 20 20b) La fracción que representa el ahorro anual mensual es :

17 3 1 =

20 20

3 12La fracción de gasto en comida es = equivalente a 2.400 Euros, luego

5 20

1estará

203

representado por 2400 :12 = 200 Euros. Como ahorra , en Euros será 3 · 200 = 600 Euros.20

3 1 7 3a) + : 2

5 5 6 2

7 3 1 9b) + ·

8 8 2 6



Solución:

77 Resuelve estas operaciones, expresando el resultado en forma de fracción irreducible:

Solución:

78

Solución: Se ve qué fracción queda para jardines:

79 Halla el resultado, simplificándolo hasta obtener la fracción irreducible:

3 1 7 3 3 1 12 7 3 3 1 5 3 3 6 3 30 12 75 33a) + : 2 = + : = + : = + = + =

5 5 6 2 5 5 6 6 2 5 5 6 2 5 25 2 50 50 50 50

7 3 1 9 7 3 9 42 9 72 21 7b) + · = + = + = =

8 8 2 6 8 16 6 48 48 48 48 16

8 3 1a) ·

6 2 42 5 7

b) + · 5 3 27 1 4 29

c) + :5 3 9 5

8 3 1 24 1 1 8 1 7a) · = = 2 = =

6 2 4 12 4 4 4 4 42 5 7 2 35 12 175 187

b) + · = + = + = 5 3 2 5 6 30 30 307 1 4 63 15 20 58

c) + = + =5 3 9 45 45 45 45

58 29 290 10 2 Así : = = =

45 5 1305 45 9

5Se divide un solar en 3 partes : la cuarta parte para un polideportivo,

9

para edificar pisos y el resto para jardines. ¿Cuál es la menor de las 3 partes?

1 5 9 20 29+ = + = para polideportivos y pisos.

4 9 36 36 36

29 7Así 1 = para jardines, que es la menor de las tres.

36 36



Solución:

80 Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado hasta obtener la fracción irreducible:

Solución:

81 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado si es posible:

7 1 1 7a) · : +1

9 4 2 3

1 5 9 3b) + ·

6 6 4 5

7 1 1 7 7 1 7 3 14 10 14 120 106 53a) · : +1 = : + = = = =

9 4 2 3 36 2 3 3 36 3 36 36 36 18

1 5 9 3 1 5 45 12 1 5 33 1 165 20 165 145 29b) · = · = · = = = =

6 6 4 5 6 6 20 20 6 6 20 6 120 120 120 120 24

4 1 3 8 1

a) + · 7 7 4 7 2

2 4b) 3 1 ·

5 3

4 1 3 8 1 4 3 16 7 4 3 9 16 3 18 1a) + · = + = + = + =

7 7 4 7 2 7 28 14 14 7 28 14 28 28 28 28

2 4 2 5 4 3 4 9 45 9 54 18b) 3 1 · = 3 · = 3 · = 3 = + = =

5 3 5 5 3 5 3 15 15 15 15 5

1 1 2a) : ·

2 3 5

2 1 3b) : ·

3 2 4

1 7c) 1 : :

2 3

2 4 6d) · ·

3 5 8



Solución:

82 Halla el resultado en forma de fracción irreducible de:

Solución:

83 Calcula, simplificando el resultado:

1 1 2 1 2 15a) : · = : =

2 3 5 2 15 4

2 1 3 4 3b) : · = · = 1

3 2 4 3 4

1 7 7 6c) 1: : = 2 : =

2 3 3 7

2 4 6 2·4·6 48 4 2d) · · = = = =

3 5 8 3·5·8 120 10 5

3 2 7 5a) 4 3 : ·

8 9 4 2

2 1 7 3b) · + 2

5 3 2 4

3 2 7 5 3 2 7 10 3 2 3 3 6a) 4·3 : · = 4·3 : · = 4·3 : · = 4·3 : + =

8 9 4 2 8 9 4 4 8 9 4 8 36

108 48 156 13 72 288 = 4·3 : + = 4·3 : = 4·3 : = 4· =

288 288 288 24 13 13

2 1 7 3 2 1b) · + 2 =

5 3 2 4 5 3

7 3 8 2 1 7 11 2 1 77 2 1 77· + = · = = + =

2 4 4 5 3 2 4 5 3 8 5 3 8

48 40 1155 1163+ =

120 120 120 120

7 3 4 2 5a) · + : 2

2 8 3 5 4

1 5 3b) 3 · : 2

4 3 2



Solución:

84 Opera y simplifica:

Solución:

85

a) ¿Qué fracción ha quedado para el resto? b) ¿Cuántas golosinas ha cogido Fernando? ¿Y Beatriz? Solución: a) Hay que ver que fracción han cogido entre Beatriz y Fernando:

7 3 4 2 5 7 9 32 2 5 8 7 23 2 3 161 8a) · + : 2 = · + : = · + : = =

2 8 3 5 4 2 24 24 5 4 4 2 24 5 4 48 15

805 128 933 311 = = =

80240 240 240

1 5 3 1 5 3 4 1 5 1b) 3 · : 2 = 3 · : = 3 · :

4 3 2 4 3 2 2 4 3 2

3 1 6 36 6 42 7= 3 : = 3 + = + = =

212 2 12 12 12 12

4 2 3 2a) · 1 : 1

3 3 4 5

6 1 1 5 1 3b) · : · 2

9 8 3 3 3 2

4 2 3 2 4 2 15 4 2 8 15 4 2 7 4 14a) · 1 : 1= · 1 1= · 1= · 1= + 1=

3 3 4 5 3 3 8 3 3 8 8 3 3 8 3 24

32 14 24 22 11= + = =

24 24 24 24 12

6 1 1 5 1 3 6 3 5 1 4 3 18b) · : · 2 = · · =

9 8 3 3 3 2 9 8 3 3 2 2

5 1 1 18 5 1 18 10 1· = = =

72 3 3 2 72 3 6 72 6 6

18 9 18 108 90 5= = = =

72 6 72 72 72 4

2 3En una fiesta hay un montón de golosinas. Beatriz coge y Fernando .

7 8

Al final han quedado para el resto 475 golosinas.



.

86

Solución:

87

a) ¿Qué fracción representan los vendidos por la tarde? b) Si hay 60 helados no vendidos, ¿cuántos había a primera hora de la mañana?

Solución:

56

37

56

21

56

16

8

3

7

2

37 56 37 19Quedan para el resto 1 = =

56 56 56

b) 19 1

representa 475 golosinas, luego será 475 : 19 = 25 golosinas.56 56

2 16 Fernando ha cogido = , luego Fernando tendrá 16·25 = 400 golosinas.

7 56

3 21 Beatriz ha cogido = , luego Beatri

8 56z ha cogido 21·25 = 525 golosinas.

3 1Un pozo se llena de agua en 8 horas y . Sabiendo que cada minuto se arrojan 4 litros y .

7 5

¿Cuántos litros de agua caben en el pozo?

1 1 21En 1 minuto se arrojan 4 litros y = 4 litros + litro = litros por minuto.

5 5 5

3 3 180 35408 horas y = 8 · 60 minutos + · 60 minutos = 480 + = minutos tarda en llenarse el pozo.

7 7 7 7

21 3540 · = 212

5 74 litros.

4En un puesto de helados se han vendido en una mañana los de los helados.

7

Por la tarde se han vendido la tercera parte de los que quedaban.



88 Realiza estas operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

¿Qué relación hay entre el resultado de a) y b)? Solución:

7 4 3a) Se ve cuántos quedan por vender para la tarde = .

7 7 73 3 3 1 1

Por la tarde se han vendido la tercera parte de , es decir, : 3 = · = se vendieron por la tarde.7 7 7 3 7

b) En forma de fracción quedan s

7 4 1 2in vender = , correspondiente a 60 helados.

7 7 7 71 7

Luego corresponde a 30 helados será 7·30 = 210 helados había a primera hora de la mañana.7 7

3 1 9a) : ·

4 2 5

1 9 3b) · :

2 5 4

3 1 9c) : ·

4 2 5

3 9 3d) : :

5 10 5



89 Completar:

Solución:

3 9 30 5a) : = =

4 10 36 6

9 3 36 6b) : = =

10 4 30 5

5 6 Se observa que a) y b) son fracciones inversas ya que · = 1

6 5

3 1 9 6 9 54 27c) : · = · = =

4 2 5 4 5 20 10

3 9 3 30 3 2 3 10d) : : = : = : =

5 10 5 45 5 3 5 9

2 αa) + = 0

5 10

α 2 17b) + =

7 3 21

1 7 βc) + =

α 3 15

2 α 4 αa) + = 0 + = 0 α = 4

5 10 10 10α 2 17 3α 14 17

b) + = + = α = 17 3 21 21 21 211 7 β 1 7 3 35 38

c) + = tiene dos soluciones + = + = α = 5; β = 38α 3 15 5 3 15 15 15

1 7 1 35 36 + = + = α = 15; β = 36

15 3 15 15 15



90

Solución:

91 Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases: a) Un número sumado a 8 es igual a 36. b) La mitad de un número más 7 es igual a 15. c) La cuarta parte de un número más 12 es igual al número. d) El cubo de un número menos su cuadrado es 100. Solución: a) x + 8 = 36

d) x

3 - x

2 = 100

92 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas:

a) 4x

2 + 2x

2

b) 7a + 3b c) 8x - 5x + x d) x

2 - x

e) x3 + 3x

2

f) 9x2 - 2x

2 + 5x

2 Solución: a) 4x

2 + 2x

2 = 6x

2

b) No se puede reducir c) 8x - 5x + x = 4x d) No se puede reducir e) No se puede reducir

9 3a) El producto de dos fracciones es . Si una de ellas es . ¿Cuál es la otra?

35 5

5 7b) El cociente de dos fracciones es . Si la fracción que actúa como dividendo es . ¿Cuál es la otra?

8 4

3 α 9a) · = , luego para calcular la fracción pedida se realiza la siguiente operación :

5 β 35

α 9 3 9 5 45 3 = : = · = =

β 35 5 35 3 105 7

7 α 5 α 7 5 56 14b) : = = : = =

4 β 8 β 4 8 20 5

xb) + 7 = 15

2

xc) + 12 = x

4



f) 9x

2 - 2x

2 + 5x

2 = 12x

2

93 Halla el valor numérico de cada una de las expresiones siguientes en los valores que se indican:

Solución:

94 El precio de 1 kg de naranjas es x euros. Expresa en lenguaje algebraico: a) Lo que cuestan 5 kg de naranjas.

c) El dinero que devolverán si se paga con 5 euros y se compran 3 kg de naranjas. Solución: a) 5x

c) 5 - 3x

95 Calcula la expresión algebraica del perímetro de un triángulo equilátero de lado a. Calcula el valor numérico para el caso de tener a = 5 cm, a = 8 cm y a = 3,2 cm. Solución: El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados. Un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados con la misma longitud. Así: perímetro = a + a + a = 3a El valor numérico del perímetro es: Para a = 5 cm ; Perímetro = 3 · 5 = 15 cm

Para a = 8 cm Perímetro = 3 · 8 = 24 cm

Para a = 3,2 cm ;Perímetro = 3 · 3,2 = 9,6 cm

96 Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x - 2

x 2a) + 6 2x en x = 84

b) 3 · x 1 + 4x en x = 1

8 2a) + 6 2 · 8 = 2 + 6 128 = 1204

b) 3 · 1 1 + 4 · 1 = 6 4 = 10

1b) Lo que cuesta kg de naranjas.

2

xb)

2

xb)

4



c) (x + 2)

2

d) x - y Solución: a) El triple de un número disminuido en 2. b) La cuarta parte de un número. c) El cuadrado de un número aumentado en 2. d) La diferencia de dos números.

97 Reduce cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas: a) a

2 + 3a

2

b) 4a3 - 2a

2

c) 4x - 3x d) 5x + x e) 4a - a f) 4a + b Solución: a) 4a

2

b) No se puede reducir porque sus términos no son semejantes c) x d) 6x e) 3a f) No se puede reducir porque sus términos no son semejantes

98 Calcula la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la medida de la base es el doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro? Solución: El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados. x 2x Perímetro = x + x + 2x + 2x = 6x

Si x = 4 cm ;Perímetro = 6 · 4 = 24 cm

99 Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases: a) Dos números pares consecutivos. b) La edad de Carmen dentro de 6 años, que ahora tiene x años. c) La edad de Alberto hace 5 años, que ahora tiene x años. d) El doble de un número más el cuadrado de dicho número. Solución: a) 2x, 2x + 2 b) x + 6 c) x - 5 d) 2x + x

2

100

Expresa en lenguaje algebraico el área de un triángulo de base a y altura b. Hallar el valor numérico del área para el caso de tener a = 5 cm y b = 7 cm.



Solución:

; Se ha de calcular el valor numérico para a = 5 cm y b = 7 cm:

Luego el área es 17,5 cm

2.

101

Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas: a) x

2 + (x + 1)

2 + (x + 2)

2

b) x3 - y

3

c) 3x - y2

d) (x - y)3

e) (3x)2

Solución: a) Suma de los cuadrados de tres números consecutivos. b) Diferencia de los cubos de x, y. c) Diferencia del triple de x y del cuadrado de y. d) El cubo de la diferencia de x, y. e) Cuadrado del triple de x.

102

Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas: a) a - x b) axz c) x - z

2

d) (2p)3

Solución: a) Diferencia de a y x. b) Producto de a, x, z. c) Diferencia de x y el cuadrado de z. d) El cubo del doble de p.

103

Halla el valor numérico de las expresiones algebraicas dadas para los siguientes valores de x: 1, -2, 3 y 5. a) 3 · (1 - x

2)

Solución:

base · alturaÁrea =

2

a · bÁrea =

2

5 · 7 35Área = = = 17,5

2 2

xb) + 3x 1

2

2x +1 xc)

3 2



a) Para x = 1 ;3 · (1 - 1

2) = 3 · 0 = 0

Para x = -2 ;3 · [1 - (-2)2] = 3 · (-3) = -9

Para x = 3 ;3 · (1 - 32) = 3 · (-8) = -24

Para x = 5 ;3 · (1 - 52) = 3 · (-24) = -72

104

Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas: a) 7x

2y + 4x

2y + 5yx

2

b) 8xy + 9x2y + 2xy

2

c) 14xy + 7x2y

2 + 6xy

d) 9x3 + 7x

2y - 5yx

2 Solución: a) 16x

2y

b) No se puede reducir. c) 20xy + 7x

2y

2

d) 9x3 + 2x

2y

105

Solución: Altura = x cm

1 1 5b) Para x = 1 + 3·1 1= + 2 =

2 2 2

2

Para x = 2 + 3· 2 1= 1 6 1= 82

3 3 19Para x = 3 + 3·3 1= + 8 =

2 2 2

5 5 33Para x = 5 + 3·5 1= +14 =

2 2 2

21 +1 1 2 1 1c) Para x = 1 = =

3 2 3 2 6

2

2 +1 2 5 8Para x = 2 = +1=

3 2 3 3

23 +1 3 10 3 11Para x = 3 = =

3 2 3 2 6

25 +1 5 26 5 37Para x = 5 = =

3 2 3 2 6

3Calcula la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es de la altura.

2

Hallar el valor numérico para el caso en que la altura mida 4 cm.



106

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:

Solución:

107

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases: a) El cubo de un número menos el doble de su cuadrado. b) El cuadrado de la diferencia de dos números. c) La suma de los cuadrados de dos números. d) La mitad del producto de la diferencia de dos números por su suma. Solución: a) x

3 - 2x

2

b) (x - y)2

3Base = x cm

2

2

3 3 2x·x x

base · altura 3 22 2Área = x cm2 2 2 4

3 3·162 2

Si x = 4 cm Área = 4 = = 12 cm4 4

x3 2a) x + 3x para x : 1, 4 y 64

2

1 x xb) para x : 2, 3, 5

5 3

1 1 93 2

a) Para x = 1 1 + 3 1 = 1+ 3 + =4 4 4

→

43 2

Para x = 4 4 + 3 4 = 64 + 48 +1= 1134

6 3 3 2133 2Para x = 6 6 + 3 · 6 = 216 108 = 108 =

4 2 2 2

2

1 2 2 9 2 37b) Para x = 2 = + =

5 3 5 3 15

2

1 3 3 4 1Para x = 3 = 1=

5 3 5 5

2

1 5 5 16 5 23Para x = 5 = =

5 3 5 3 15



c) x

2 + y

2

108

Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas: a) x - y b) x

2 - y

2

c) 3 · (x + y) d) x

2 + (x + 1)

2

e) (x + y)3

Solución: a) Diferencia de 2 números. b) Diferencia del cuadrado de x menos el cuadrado de y. c) El triple de la suma de 2 números. d) Suma de los cuadrados de 2 números consecutivos. e) Cubo de la suma de 2 números.

109

Completa la tabla calculando los valores de las expresiones algebraicas dadas para los distintos valores de a y b.

a b (a + b)2 a

2 + b

2 (a - b)

2 a

2 - b

2

2 1 9 5 1 22 - 1

2 = 3

3 4

-3 2

-5 -1

Solución:

a b (a + b)2 a

2 + b

2 (a b)

2 a

2 b

2

2 1 (2 + 1)2 = 9 2

2 + 1

2 = 5 (2 1)

2 = 1 2

2 1

2 = 3

3 4 49 25 1 7

3 2 1 13 25 5

5 1 36 26 16 24

110

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica 'diferencia de la quinta parte de a y del triple de b', tomando a = 75 y b = 4. Solución:

x y · x + yd)

2

a

La expresión algebraica es: 3b5

75

Para a = 75 y b = 4, el valor numérico será: 3 4 15 12 35



111

Solución: Lado desigual = x cm

112

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado?

b) 7x

2 - 5x = 0

c) x3 + 5 = 16

d) 7x4 - 1 = 13

e) 5 · (x - 2) = 20 f) 5x + 10 = 7x + 2 Solución: Las ecuaciones de los apartados a, e y f son de primer grado porque el exponente de la incógnita x es 1.

113

Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases: a) El triple de un número más 4 es igual a 10. b) La cuarta parte de un número es igual a 5. c) La suma de 3 números consecutivos es 18. d) El cuadrado de un número menos su tercera parte es igual a 8. Solución: a) 3x + 4 = 10

c) Tres números consecutivos son: x, x + 1 y x + 2. La ecuación será: x + x + 1 + x + 2 = 18 ; 3x + 3 = 18

114

Explica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) 12 m

2 equivalen a 120 dm

2.

Calcula la expresión algebraica del perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado igual

2es del lado desigual.

3

2Lado igual = x cm

3

2 2 3x 2x 2x 7xPerímetro = x + x + x = cm

3 3 3 3

5xa) = 10

3

xb) = 5

4

2 xd) x = 8

3



b) 0,3 cm

2 es una medida mayor que 15 mm

2.

c) 0,07 dm2 es una cantidad menor que 3 mm

2.

Solución: a) Falso: 12 m

2 = 1 200 dm

2

b) Verdadero: 0,3 cm2 = 30 mm

2 > 15 mm

2

c) Falso: 0,07 dm2 = 700 mm

2 > 3 mm

2

115

Comprueba si los siguientes valores de x son soluciones de la ecuación correspondiente: a) 2 · (x + 2) = x - 1, para x = 4 b) 2x - 7 = 5, para x = 6 c) 5 - x = 7, para x = -2 d) 8 · (x + 5) = 30x, para x = -1 Solución: Se sustituye el valor de x en los miembros de la ecuación y se ve si se obtiene el mismo valor.

a) 2 · (x + 2) = x - 1, para x = 4 ;2 · (4 + 2) = 12 y 4 - 1 = 3 ;x = 4 no es solución

b) 2x -7 = 5, para x = 6 ; 2 · 6 - 7 = 5 y 5 = 5 ; x = 6 es la solución de la ecuación

c) 5 - x = 7, para x = -2 5 -(-2) = 7 y 7 = 7 x = -2 es la solución de la ecuación

d) 8 · (x + 5) = 30x, para x = -1 ;8 · (-1 + 5) = 32 y 30 · (-1) = 30 ; x = -1 no es la solución de la ecuación.

116

Averigua si son ciertas las igualdades: a) 55 + 20 = 3 · 25 b) (7 + 9 + 4) · 2 = (8 + 3 + 5 + 4) · 2 c) (55 + 20) : 5 = (3 · 25) : 5 Solución: a) 55 + 20 = 75 3 · 25 = 75 Sí es cierta. b) (7 + 9 + 4) · 2 = 20 · 2 = 40 (8 + 3 + 5 + 4) · 2 = 20 · 2 = 40 Sí es cierta. c) (55 + 20) : 5 = 75 : 5 = 15 (3 · 25) : 5 = 75 : 5 = 15 Sí es cierta.

117

Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes: a) 2x = 6 b) 4 - x = 1 c) x + 4 = 7 d) 3x = 6 Solución: a) El número que multiplicado por 2 da 6 es 3. La solución es x = 3. b) El número que hay que restar a 4 para que dé 1 es 3. La solución es x = 3. c) El número que hay que sumar a 4 para que dé 7 es 3. La solución es x = 3. d) El número que multiplicado por 3 da 6 es 2. La solución es x = 2. Son equivalentes las ecuaciones de los apartados a, b y c.

118

Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado:



Solución: Son ecuaciones de primer grado las de los apartados b y c que tienen la incógnita elevada a 1.

119

Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones con los valores de x que se indican: a) x - 3x = 4 para x: 3, -2 b) 5x - x = x + 12 para x: 3, 4

Solución:

a) x - 3x = 4 para x = 3: 3 - 3 · 3 = 4 ; 3 - 9 = 4 ;-6 = 4 No.

para x = -2: -2 - 3 · (-2) = 4 ;-2 + 6 = 4 ;4 = 4 Sí.

b) 5x - x = x + 12 para x = 3: 5 · 3 - 3 = 3 + 12 ;15 - 3 = 15 ;12 = 15 No.

para x = 4: 5 · 4 ;4 = 4 + 12 ;20 -4 = 16 ;16 = 16 Sí.

120

Si al doble de un número se le resta 6, resulta el número más 6. Halla el número planteando la ecuación correspondiente, y resolviéndola mediante la aplicación de la regla de la suma. Solución: Si el número es x, la ecuación a resolver es: 2x - 6 = x + 6.

Aplicando la regla de la suma: 2x - 6 - x = x - x + 6 ; x - 6 = 6 ;x - 6 + 6 = 6 + 6 x = 12

121

Plantea las ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones y estudia si son o no equivalentes: a) El doble de x es 4 b) El triple de x es 3 c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4 d) x menos 5 es igual a 6 Solución:

2a) t 1 = t

b) 2· a +1 = a 1+ a

2c) v 2 = 3 + v

2

d) y + y = 8

9x

c) 4x x = para x : 7, 82

9x 9·7 63 63c) 4x x = para x = 7 : 4 · 7 7 = ; 28 7 = ; 21= No.

2 2 2 29 · ( 8) 72

para x = 8 : 4 · ( 8) 8 = ; 32 8 = ; 40 = 36 No.2 2

2x 4a) 2x = 4 ; = ; x = 2

2 2



c) x + 2 = 4 ;x + 2 - 2 = 4 - 2 ;x = 2

d) x - 5 = 6 ;x - 5 + 5 = 6 + 5 x = 11

Son equivalentes las ecuaciones de los apartados a y c.

122

Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases: a) La suma de tres números pares consecutivos es 18. b) La cuarta parte de un número más 3 es igual a 8. c) El cubo de un número menos su mitad es igual a 62. d) El perímetro de un rectángulo cuyo ancho es el doble que el largo es 18. Solución: a) Tres números pares consecutivos son: 2x, 2x + 2 y 2x + 4.

La ecuación será: 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 18 6x + 6 = 18

d) Largo = x; Ancho = 2x Perímetro = 2 · largo + 2 · ancho = 2x + 2 · 2x = 6x ;6x = 18

123

Resuelve la ecuación 2x + 2 = x + 1 aplicando la regla de la suma. Solución:

2x + 2 - x = x - x + 1 x + 2 = 1 ; x + 2 - 2 = 1 - 2 ;x = -1

124

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto: a) 8x = -2 b) 3x = 0,6 Solución:

125

Inventa un problema que se pueda plantear mediante la siguiente ecuación:

Comprueba para cuál de los siguientes valores se cumple: 60, 35 y 90. Solución: Es un problema de respuesta abierta. Por ejemplo:

3x 3b) 3x = 3 ; = ; x = 1

3 3

xb) + 3 = 8

4

x3c) x = 622

8x 2 4 1

a) = x = =8 8 8 2

3x 0,6b) = x = 0,2

3 3

2 2x + x + 10 = x

3 9



·

La solución es 90 Euros.

126

Escribe dos ecuaciones equivalentes a: x + 3 = -1. Solución: Una de las posibles respuestas es:

x + 3 + 8 = -1 + 8 ;x + 11 = 7

2 · (x + 3) = 2 · (-1) 2x + 6 = -2

127

Calcula un número que cumple que si a su doble se le resta 17 da lo mismo que si al número se le suma 5. Solución: Si x es el número, la ecuación a resolver es: 2x - 17 = x + 5 2x - 17 - x = x - x + 5

x -17 = 5

x -17 + 17 = 5 + 17 x = 22

128

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma: a) 4x + 1 = 3x + 7 b) 6x + 1 = 5x + 3 Solución: a) 4x - 3x + 1 = 3x - 3x + 7 x + 1 = 7 x + 1 - 1 = 7 - 1 x = 6 b) 6x - 5x + 1 = 5x - 5x + 3 x + 1 = 3 x + 1 - 1 = 3 - 1 x = 2

129

Plantea las ecuaciones correspondientes a las sigientes condiciones y estudia si las ecuaciones son o no equivalentes: a) El inverso de x es 0,25. b) El triple de y es 12.

2 2"María se gasta de su dinero en ropa, en el coche y aún le sobran 10 euros. ¿De cuánto dinero dispone?"

3 9

2 2 40 190Si x = 60 · 60 + · 60 + 10 = 40 + +10 = No se cumple.

3 9 3 3

2 2 70 70 370Si x = 35 · 35 + · 35 + 10 = + +10 = No se cumple.

3 9 3 9 9

2 2Si x = 90 · 90 + · 90 + 10 = 60 + 20 + 10 = 90 Se cumple.

3 9



c) El número siguiente a z es 5. d) El opuesto de t es 3. Solución:

b) 3y = 12 ;y = 4

c) z + 1 = 4 ;z = 4

d) -t = 3 t = -3 Son equivalentes las ecuaciones de los apartados a, b y c.

130

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma: a) 3x - 3 = 2x - 5 b) x - 8 = 2x + 7 Solución: a) 3x - 2x - 3 = 2x - 2x - 5 x - 3 = -5

x -3 + 3 = -5 + 3 x = -2

b) x - x -8 = 2x - x + 7 -8 = x + 7

-8 -7 = x + 7 - 7 -15 = x

131

Resuelve las siguientes ecuaciones y di cuáles son equivalentes: a) 3 + x = 0 b) 2,5x = 7,5 c) 0 = x - 3

e) x + 9 = 8 f) 4x = 12 Solución: a) 3 + x - 3 = 0 - 3 ; x = -3

c) 0 + 3 = x - 3 + 3 x = 3

e) x + 9 -9 = 8 - 9 x = -1

Las ecuaciones de los apartados b, c y f son equivalentes.

1a) = 0,25 ; x = 4

x

x 1d) =

2 2

x 1c) 2 · = 2 · ; x = 1

2 2

4x 12f) = ; x = 3

4 4



132

Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:

133

Un solar tiene forma rectangular y su perímetro mide 102 m. Calcula el área del solar sabiendo que un lado mide 23 m más que el otro. Solución: Supongamos que un lado mide x m, luego el otro medirá x + 23 m.

El perímetro es 102 m ;x + x + (x + 23) + (x + 23) = 102 ;x = 14

Luego un lado mide 14 m y el otro 14 + 23 = 37 m El área será: Área = lado1 · lado2 = 14 · 37 = 518 m

2.

134

Entre Pablo y Mar cobran al mes 3600 euros. Si Pablo se gasta 100 euros entonces tendrá 500 euros más que Mar. ¿Cuánto cobra cada uno mensualmente? Solución: Supongamos que Pablo cobra x €, luego Mar cobrará 3600 - x € Pablo se gasta 100 €, luego le quedará x - 100 € Así, x - 100 = 3600 - x + 500 ; x = 2100

Luego Pablo cobra 2100 € y Mar cobra 1500 €.

135

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3 · (x - 2) + 5 · (2x + 7) = 2 · (6x - 9) + 3 b) -x + 5 · (3x - 1) = -2x + 4 · (x - 2) c) 2 · (7x - 1) + 5 · (3 - x) = 22 Solución:

a) 3 (x - 2) + 5 ( 2x + 7) = 2 (6x - 9) + 3 ; 3x - 6 + 10x + 35 = 12x - 18 + 3 ; x = -44

x xa) + = 7

4 3

-2xb) = -5

7

4xc) + 1 = -7

3

x x x xa) + = 7 12 ( + ) = 12 7 3x + 4x = 84 7x = 84 x = 12

4 3 4 3

-2x 35b) = -5 - 2x = -35 x =

7 2

4x 4xc) +1= -7 = -8 4x = -24 x = -6

3 3



c) 2 · (7x - 1) + 5 · (3 - x) = 22 14x - 2 + 15 - 5x = 22 x = 1

136

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 · (x + 5) - x = 7x - 2 b) 3 · (2x + 1) = x - 7

Solución:

a) 2 · (x + 5) - x = 7x - 2 ;2x + 10 - x = 7x - 2 ;10 + 2 = 7x - 2x + x ;12 = 6x ;x = 2

b) 3 · (2x + 1) = x - 7 ;6x + 3 = x - 7 ;6x - x = -7 - 3 ;5x = -10 ;x = -2

137

Se reparten 128 Euros entre 2 chicos y 5 chicas de manera que cada chica recibe las dos terceras partes de lo que recibe un chico. ¿Cuánto recibe cada chico y cada chica? Solución:

Cada chico recibe 24 Euros y cada chica recibe 16 Euros.

138


Solución:

1b) x + 5 · (3x 1) = 2x + 4 · (x 2) ; x + 15x 5 = 2x + 4x 8 ; x =

4- - - - - - - - -

3xc) 14 = + 4

10

3x 3x 100c) 14 = + 4 ; 10 = ;100 = 3x ; x =

10 10 3

2Sea x euros la cantidad que recibe cada chico Cada chica recibirá x

3

2 2Como en total han recibido 128 euros 2x + 5 · x = 128 3 (2x + 5 x) = 3 128 6x +10x = 384 x = 24

3 3

x + 2a) = 1

42x 3

b) +1 = 7x2

x xc) + 2 = x

2 3



139

Escribe la ecuación para cada uno de los siguientes dibujos, después resuélvelas para hallar el valor de x.

Solución: a) 3x + 2x + x = 180 6x = 180 x = 30º b) 3x + 3x + (x + 5) = 180 7x + 5 = 180 7x = 180 - 5

x = 25º c) 3x + 2x + (x - 15) = 180 6x - 15 = 180 6x = 180 + 15

x = 32,5º

140

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones e indica cuales son equivalentes: a) 5x + 2 = x + 6

c) 3x + 1 = x + 7

x + 2a) = 1 x + 2 = 4 x = 6

42x 3 2x 3 2 1

b) +1= 7x + = 7x 2x 1= 14x x =2 2 2 12

x x 3x 2x 12 5x 12c) + 2 = x + = x = x 5x 12 = 6x x = 12

2 3 6 6 6 6

175x =

7

195x =

6

x 1b) =

4 2



d) 2x + 3 = x + 5 Solución:

a) 5x + 2 = x + 6 ;x = 1

c) 3x + 1 = x + 7 ;x = 3

d) 2x + 3 = x + 5 ;x = 2 Son equivalentes las ecuaciones de los apartados b y d por tener la misma solución x = 2.

141

Tres hermanos se reparten 1800 Euros que les tocó en la lotería. El mayor recibe el doble que el menor y éste dos tercios de la cantidad que recibe el mediano. ¿Cuánto recibe cada uno? Solución:

Así:

Luego, el hermano mediano recibe 600 euros, el pequeño recibe 400 Euros y el mayor recibe 800 Euros.

142

Marta, Isabel y Carmen se gastan en compras 1609 Euros. Marta se gasta 250 Euros más que Carmen y ésta 300 Euros más que Isabel. ¿Cuánto se gasta cada una? Solución:

Isabel se gasta x € Carmen se gasta x +300 € arta se gasta x + 300 + 250 € El total ha sido de 1609 Euros con lo que:

x + x + 300 + x + 300 + 250 = 1609 x = 253 Luego: - Isabel se gasta 253 euros. - Carmen se gasta 553 euros. - Marta se gasta 803 euros.

143

La suma de dos números es 577. Si se divide el mayor entre el menor se obtiene 24 de cociente y 2 de resto. ¿Cuáles son esos números? Solución: Un número es x, luego el otro es 577 - x.

Se aplica que: Dividendo = Divisor · Cociente + Resto 577 - x = x · 24 + 2 es la ecuación pedida. Resolviendo:

x 1b) = ; x = 2

4 2

2Supongamos que el mediano recibe x Euros el pequeño recibe x Euros

3

2 4 el mayor recibe 2 = x Euros

3 3

2 4 2 4x + x + x = 1800 3 (x + x + x) = 3 1800 3x + 2x + 4x = 5400 x = 600

3 3 3 3



-x - 24x = 2 - 577 -25x = -575 25x = 575

x = 23 Un número es 23 y el otro 577 - 23 = 554.

144

Halla un número de 2 cifras sabiendo que la suma de las mismas es 17 y que si se invierte el orden de sus cifras el número disminuye 9 unidades. Solución:

Cifra de las unidades = x Cifra de las decenas = 17 - x Número inicial = x + 10 · (17 - x) Número invertido = 17 - x + 10x La ecuación será: x + 10 · (17 - x) - 9 = 17 - x + 10x x + 170 - 10x - 9 = 17 - x + 10x x = 8

La cifra de las unidades es 8 y la cifra de las decenas es 9 el número es 98.

145


Solución:

14 Resuelve las siguientes ecuaciones:

575x =

25

4x 8 3x 3 x 1a) =

12 4 2x + 3 x + 5

b) 2x + = 68 10

2 9 - 3x 5x +13c) 3·(2x + ) =

3 3 2

4x 8 3x 3 x 1 4x 8 3x 3 x 1a) = 12 ( ) = 12 ( ) 4x 8 = 9x 9 6x + 6 x = 5

12 4 2 12 4 2x + 3 x + 5 x + 3 x + 5

b) 2x + = 6 40 ( 2x + ) = 40 ( 6) 80x + 5x +15 = 4x + 20 240 8 10 8 10

235 71x = 235 x =

712

c) 3·(2x + )3

9 3x 5x +13 2 9 3x 5x +13= 6 (3 (2x + )) = 6 ( ) 36x +12 = 18 6x 15x 39

3 2 3 3 233

57x = 33 x =57



6

Solución:

147

Plantea la ecuación que da respuesta al siguiente enunciado: 'Un hijo tiene 30 años menos que su padre y dentro de 5 años el padre tendrá el triple que el hijo'. Calcula la edad actual de cada uno por tanteo. Solución:

Supongamos que la edad actual del hijo es x años.

Edad actual Edad futura

Padre x + 30 x + 30 + 5

Hijo x x + 5

Según el enunciado: x + 30 + 5 = 3 · (x + 5)

x + 35 = 3x + 15 x = 10

Luego el hijo tiene ahora 10 años y el padre tiene 40.

148


1 xa) 3 · ( 2x ) + 7x = 2 (1 )

3 35x 7

b) = x + 24

x 4xc) + 8 = + 9 (x +1)

2 3

1 x 2x 2xa) 3 · ( 2x ) + 7x = 2 (1 ) 6x 1+ 7x = 2 13x 3 =

3 33 39

39x 9 = 2x 41x = 9 x =41

5x 7 15 5b) = x + 2 5x 7 = 4x + 8 9x = 15 x = =

9 34x 4x 4x x 4xx

c) + 8 = + 9 (x +1) + 8 = + 9x + 9 6 ( + 8) = 6 ( + 9x22 3 3 2 3

+ 9)

6 3x + 48 = 8x + 54x + 54 59x = 6 x =

59

x 2x xa) = 7

2 5 3x +1 x + 5 1

b) + =2 3 2

2x 1 4 x 3c) = + x

2 4 2



Solución:

149

A un número se le suma el 25%. Al resultado obtenido se le disminuye un 10%. El número obtenido es 5 unidades mayor que el número inicial. Calcula dicho número. Solución: Sea x el número buscado.

Paso 1: Sumar a x el 25% de x ;x + 0,25x = 1,25x

Paso 2: Restar a 1,25x el 10% de 1,25x 1,25x - 0,1 · 1,25x = 1,25x - 0,125x = 1,125x

Así, 1,125x = x + 5 1,125x -x = 5 0,125x = 5 ;x = 40 El número buscado es 40.

150

El perímetro de un rectángulo mide 27 cm. Explica los pasos a dar para calcular el área de dicha figura sabiendo que la altura mide la mitad de la base. Solución: Área del rectángulo = base · altura Paso 1: Calcular la longitud de la base y la altura

Luego la base es 9 cm y la altura (la mitad de la base) es 4,5 cm. Paso 2: Calcular el área Área = base · altura = 9 · 4,5 = 40,5 cm

2

151

Solución:

x 2x x x 2x x 210a) + = 7 30 ( + ) = 30 7 15x +12x 10x = 210 x =

172 5 3 2 5 3x +1 x + 5 1 x +1 x + 5 1

b) + = 6 ( + ) = 6 3x + 3 + 2x +10 = 3 x = 22 3 2 2 3 2

2x -1 4 - x 3 2x 1 4 x 3c) = + x 4 ( ) = 4 ( + x) 4x 2 4 + x = 6 + 4x x = 0

2 4 2 2 4 2

xbase = x cm altura = cm

2

xLa ecuación será : 2x + 2 = 27 2x + x = 27 3x = 27 x = 9

2

2 4En una excursión, una persona hace del recorrido en bici, los el resto en moto y andando realiza 23 Km.

7 5

Calcula los Km recorridos.



Sea x el número de Km. recorridos.

Así:

Luego el número total de kilómetros recorridos es 161.

152

Solución:

2En bici serán x Km.

74 2

En moto serán (x x) Km.5 7

Andando serán 23 Km.

2 4 2 2 4 2x + (x x) + 23 = x 35 ( x + (x x) + 23) = 35x 10x + 28x + 8x + 805 = 35x x = 161

7 5 7 7 5 7

23 5¿Qué número hay que restar al numerador y al denominador de para obtener una fracción equivalente a ?

19 4

23 x 5Sea x el número a restar =

19 x 4

23 3 20Por tanteo se obtiene x = 3 que cumple lo pedido ya que : =

19 3 16

20 5Y es equivalente a ya que 20 · 4 = 16 · 5 80 = 80

16 4

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