Çok katli integral

s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬1

6 ÇOK KATLI ·INTEGRALLERÇok katl¬integraller basl¬¼g¬alt¬nda, önce iki katl¬integralleri ve özelliklerini inceleyece¼giz.·Iki katl¬integrallerin, integral alma tekni¼gi yönünden tek de¼giskenli fonksiyonlar¬n integralalma tekniklerinden farkl¬olmad¬¼g¬n¬, integral alma s¬ras¬n¬n de¼gistirilebilece¼gini ve bununyöntemini verece¼giz. Ayr¬ca de¼giskenlerimizi de¼gistirerek daha kolay integral alabilece¼giz.

f : R2 ! R2 fonksiyonu ve D � R2 bölgesi verilsin. Bu durumda iki katl¬integral

ZZD

f (x; y) dxdy

D bölgesinin üzerinde z = f (x; y) fonksiyonunun belirledi¼gi yüzeyin alt¬nda kalan hacimolarak belirlenebilir.

6.1 Sekil

D bölgesini küçük dikdörtgen bölgelere bölsek her bir hacmi yaklas¬k olarak hesaplayabil-


iriz. Yüzey alt¬nda kalan hacim için yaklas¬m Sekil 6.2 deki gibi gösterilebilir.

6.2 Sekil: Ai tabanl¬prizman¬n hacmi : Ai � f (xi; yi)

Buradaki yaklas¬k hacimlerin yaklas¬k toplamlar¬, f sürekli iseZZD

f (x; y) dxdy

dir. Çok katl¬integraller daha yüksek boyutlara da uygulanabilir. Benzer olarak

ZZD

:::Rf (x1; x2; :::; xn) dx1dx2:::dxn

n-katl¬ integrali verilebilir; ancak bu durumda bu integrali gözönünde canland¬rabilmekçok kolay de¼gildir.

6.1 ·Iki Katl¬·Integraller·Iki katl¬ integral hesab¬nda ard¬s¬k olarak integral alma kurallar¬kullan¬l¬r. Bu k¬s¬mdaöncelikle iki katl¬integral tan¬mlan¬p, baz¬örnekler verilecektir.

6.1.1 Dikdörtgen Üzerinde ·Iki Katl¬·Integraller

Önce [a; b]�[c; d] düzgün dikdörtgensel bölgede durumu inceleyece¼giz. [a; b] nin parçalan¬s¬

a = x0 < x1 < x2 < ::: < xm = b

ve her j = 1; 2; :::;m için xj�1 � rj � xj olsun. �xj = xj � xj�1 ise j = 1; 2; :::;miçin �xj = h ise parçalan¬s¬n h-incelikte oldu¼gu söylenir. Böylece bu islemlerin tümünü


fx0; xj ; rjg ; j = 1; 2; :::;m : [a; b] nin h incelikte bir parçalan¬s¬d¬r seklinde tan¬mlaya-biliriz. Benzer sekilde [c; d] nin l-incelikte bir parçalan¬s¬n¬ da fy0; yk; tkg ile göstere-lim. Bu durumda [xj�1; xj ]� [yk�1; yk] dikdörtgenleri [a; b]� [c; d] dikdörtgenlerinin birerparçalan¬s¬d¬r ve (rj ; tk) noktalar¬[xj�1; xj ]� [yk�1; yk] dikdörtgenlerinin içindedir.

6.3 Sekil : D bölgesi [xj�1; xj ]� [yk�1; yk]

6.1.2 Tan¬m (Riemann Toplam¬) [a; b]�[c; d] nin fx0; xj ; rjg j = 1; 2; :::;m ve fy0; yk; tkgk = 1; 2; :::; n parçalan¬s¬olsun.

mXj=1

nXk=1

f (rj ; tk)�xj�yk

toplam¬na bir f (x; y) fonksiyonunun Riemann toplam¬denir.

6.1.3 Tan¬m (·Iki Katl¬·Integral) h ve l ince parçalan¬slar¬üzerinden Riemann toplam-lar¬n h ve l; 0 a yaklas¬rken limitleri [a; b] � [c; d] üzerinden f (x; y) nin iki katl¬integraliolarak adland¬r¬l¬r.

ZZ[a;b]�[c;d]

f (x; y) dA = limh!0

liml!0

mXj=1

nXk=1

f (rj ; tk)�xj�yk

ile verilir.

6.1.4 Herhangi Bir Bölge Üzerinden ·Iki Katl¬·Integral

Bir dikdörtgenden çok D s¬n¬rl¬ bölgesi üzerinde iki katl¬ integrali tan¬mlamak için Dbölgesini içinde bulunduran [a; b]� [c; d] dikdörtgenini seçeriz ve g (x; y) fonksiyonunu

g (x; y) =

�f (x; y) ; (x; y) 2 D0 ; di�ger yerlerde


biçiminde tan¬mlar¬z. Böylece key� bir D bölgesi üzerindeki f (x; y) nin iki katl¬integrali

ZZD

f (x; y) dA =

ZZ[a;b]�[c;d]

g (x; y) dA

ile tan¬mlan¬r (Sekil 6.4). Simdi iki katl¬ integraldeki toplamlar¬daha iyi anlayabilmekiçin asa¼g¬daki sekilleri inceleyelim.

6.4 Sekil : Key�D bölgesi

Bölgemiz her zaman düzgün bir dikdörtgen olmayabilir. Bu bölgeyi x ve y-eksenine paraleldo¼grularla küçük parçalara ay¬r¬r¬z.

6.5 Sekil : Birim parça


Bu bölgede herbir sat¬r¬ayr¬ayr¬gözönüne alal¬m.

4.6.Sekil (a) : Üstten bak¬s

Bu bölgeye yandan bakarsak,

6.6 Sekil (b) : Yandan bak¬s

seklinde görürüz. D bölgesinde yj ve yj + �yj aras¬ndaki küçük dikdörtgen bölgeninüzerindeki hacmi gözönüne al¬rsak,

6.7 Sekil : Uzaydan bak¬s


yaklas¬k olarak; Xi

f (xi; yj)�xi�yj =

(Xi

f (xi; yj)�xi

)�yj

ile hesaplan¬r. Yani bu ince serit üzerinde olusan hacim

6.8.Sekil

yaklas¬k olarak, 8><>:b(yj)Za(yj)

f (x; yj) dx

9>=>;�yjelde ederiz. Her bir ayr¬sat¬rdan elde edilen hacimleri toplayarak yaklas¬k hacmi bulabil-iriz. Böylece z = f (x; y) yüzeyi alt¬nda kalan tahmini hacim

Xj

8><>:b(yj)Za(yj)

f (x; yj) dx

9>=>;�yjolur. Bu yaklas¬k esitlikten

dZc

8><>:b(y)Za(y)

f (x; y) dx

9>=>; dy

elde ederiz. Bu integrali daha çok parantez kullamadan

dZc

b(y)Za(y)

f (x; y) dxdy seklinde ifade

ederiz. Her bir dikdörtgenin alan¬s¬f¬ra do¼gru daralt¬l¬rsa dikdörtgenlerin say¬s¬h¬zla artarve asa¼g¬daki integrali buluruz.

ZZD

f (x; y) dxdy =

dZc

b(y)Za(y)

f (x; y) dxdy


Bu integral, tekrar eden integral olarak hesaplanabilir. Önce her bir c � y � d için

I (y) =

b(y)Za(y)

f (x; y) dx

hesaplan¬r daha sonradZc

I (y) dy

hesaplan¬r. Bazen de her bir sat¬r yerine her bir kolon al¬narak hesaplan¬r. Buna göre

6.9 Sekil

ZZD

f (x; y) dxdy =

bZa

d(x)Zc(x)

f (x; y) dydx

elde edilir. Burada suna dikkat edelim;

dZc

b(y)Za(y)

f (x; y) dxdy =

bZa

d(x)Zc(x)

f (x; y) dydx

dir.

Not: ·Iki katl¬integralin de¼geri :D üzerinde f (x; y) = 1; ise iki katl¬integral D nin alan¬d¬r ve buradanZZ

D

f (x; y) dA =

ZZD

1dA = A (D)

elde edilir. Önce düzgün bir bölge üzerinde f (x; y) fonksiyonunun iki katl¬ integralhesab¬n¬bir örnekle verdikten sonra, tekrar eden integralin yorumuna yönelik bir örnek


verece¼giz.

6.1.5 Örnek: z = f (x; y) =

8<: 1 ; 0 � x � 3; 0 � y � 12 ; 0 � x � 3; 1 � y � 23 ; 0 � x � 3; 2 � y � 3

ile tan¬ml¬ f fonksiy-

onunun, asa¼g¬da verilen D bölgesi

D = f(x; y) : 0 � x � 3; 0 � y � 3g

üzerinden ZZD

f (x; y) dA

iki katl¬integralinin de¼gerini hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Öncelikle D bölgesini gözönüne alal¬m D = f(x; y) : 0 � x � 3; 0 � y � 3gBu D bölgesini D1, D2 ve D3 (Bknz. Sekil 6.10).

6.10 Sekil : D ve D = D1 [D2 [D3 bölgesi

D1 = f(x; y) : 0 � x � 3; 0 � y � 1gD2 = f(x; y) : 0 � x � 3; 1 � y � 2gD3 = f(x; y) : 0 � x � 3; 2 � y � 3g

biçminde olmak üzereD = D1 [D2 [D3

seklinde yazal¬m. O zaman iki katl¬ integrali, integralin toplamsal özelli¼ginden yararla-narak ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZD1

f (x; y) dA+

ZZD2

f (x; y) dA+

ZZD3

f (x; y) dA

= 1 �A (D1) + 2 �A (D2) + 3 �A (D3)= 1 � 3 + 2 � 3 + 3 � 3 = 18


istenen sonuca ulas¬r¬z.

6.1.6 Örnek: f (x; y) = 116

�64� 8x+ y2

�fonksiyonu için D bölgesi,

D = f(x; y) : 0 � x � 4; 0 � y � 8g

olmak üzere ZZD

f (x; y) dA

integralini yaklas¬k olarak hesaplay¬n¬z (Bknz.Sekil 6.11).

Çözüm: Seçti¼gimiz baz¬noktalarda fonksiyon de¼gerlerini hesaplayal¬m.

(x1; y1) = (1; 1)) f (x1; y1) =57

16; (x2; y2) = (1; 3)) f (x2; y2) =

65

16

(x3; y3) = (1; 5)) f (x3; y3) =81

16; (x4; y4) = (1; 7)) f (x4; y4) =

105

16

(x5; y5) = (3; 1)) f (x5; y5) =41

16; (x6; y6) = (3; 3)) f (x6; y6) =

49

16

(x7; y7) = (3; 5)) f (x7; y7) =65

16; (x8; y8) = (3; 7)) f (x8; y8) =

89

16

6.11 Sekil : f (x; y) = 116

�64� 8x+ y2

�fonksiyonunun gra�¼gi

Böylece �Ak = 4 oldu¼gundanZZD

f (x; y) dA �8X

k=1

f (xk; yk)�Ak = 48X

k=1

f (xk; yk)

=4 (57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89)

16= 138


elde edilir. Bu integralin gerçek de¼geri ise;

8Z0

4Z0

1

16

�64� 8x+ y2

�dxdy =

1

16

8Z0

�64x� 4x2 + xy2

�40dy

=1

16

8Z0

�256� 64 + 4y2

�dy

=

�12y +

y3

12

�80

= 96 +512

12= 138

2

3

bulunur.

6.1.7 Örnek: z = 4�x�y düzlemi alt¬nda D : f(x; y) : 0 � x � 2; 0 � y � 1g dikdört-gen bölgesi üzerindeki hacmi yaklas¬k olarak yukar¬daki aç¬klamalara göre hesaplay¬n¬z.

Çözüm: x-eksenine paralel dilim boyunca hacim hesaplamak istersek; (Sekil 6.12) y sabittutulup, x e göre integral al¬narak kesit alan elde edilir.

6.12 Sekil

y nin fonksiyonu olarak;

I (y) =

x=2Zx=0

(4� x� y) dx =�4x� x

2

2� xy

�x=2x=0

= 6� 2y

buluruz. Böylece tüm hacim:

V =

y=1Zy=0

I (y) dy =

y=1Zy=0

(6� 2y) dy = [6y � y]y=1y=0 = 5


sonucunu elde ederiz. Benzer yolla x sabit tutulup, y ye göre integral al¬narak kesit alanelde edilir. (Sekil 6.13)

6.13 Sekil

I (x) =

y=1Zy=0

(4� x� y) dy

x in herbir de¼geri için I (x) =

y=1Zy=0

(4� x� y) dy hesaplanabilir. Bu x deki kesit düzlemde

z = 4�x�y alt¬ndaki aland¬r. x sabit tutularak y ye göre integral alarak I (x) i hesaplar¬z.Toplam hacmi hesaplamak için

V =

x=2Zx=0

I (x) dx =

x=2Zx=0

0@y=1Zy=0

(4� x� y) dy

1A dx=

x=2Zx=0

�4y � xy � y

2

2

�y=1y=0

dx

=

x=2Zx=0

�7

2� x

�dx

=

�7

2x� x

2

2

�20

= 5

elde ederiz. ·Iki hacim hesaplamas¬nda da tekrar eden integraller kullan¬lm¬st¬r. D =


f(x; y) : 0 � x � 2; 0 � y � 1g bölgesi üzerindeZZD

(4� x� y) dA

ile hesaplan¬r.

Bu dikdörtgen bölge üzerinde iki katl¬integral hesab¬üzerine Guido Fubini (1879-1943)taraf¬ndan 1907 de yay¬nlanan teoreme göre bir dikdörtgen üzerinde herhangi bir süreklifonksiyonun integrali, integral s¬ras¬de¼gistirilerek hesaplanabilir. Bu teoremi vermedenönce örneklerde de gerek duydu¼gumuz iki katl¬integralin baz¬özelliklerini verelim. Dahasonra da Fubini teoremlerini verece¼giz.

6.1 Problemler

1. Asa¼g¬daki integralleri hesaplay¬n¬z.

(a)

0Z�1

2Z�2

(2x+ 2y + 3) dxdy

(b)

�2Z0

xZ0

sin ydydx

(c)

1Z0

y2Z0

ye2xdxdy

(d)

ln 8Z0

ln yZ0

yex+ydxdy

(e)

2Z0

4�y2Z0

2xydxdy

(f)

1Z0

p1�y2Z

�p1�y2

xdxdy

(g)

2Z0

p4�x2Z

�p4�x2

4ydydx

2. D = f(x; y) : jxj � 2; jyj � 2g karesi üzerindenZZD

(x+ y) dA integralini hesaplay¬n¬z.


3. D =�(x; y) : x2 + y2 � 4

üzerinde

ZZD

xydA integralini hesaplay¬n¬z.

6.2 ·Iki Katl¬·Integralin ÖzellikleriSürekli fonksiyonlar¬n iki katl¬ integralleri, tek katl¬integrallere benzer, hesaplamada veuygulamada faydal¬cebirsel özelliklere sahiptir. Bu özellikler:

1. k herhangi bir say¬olmak üzereZZD

kf (x; y) dA = k

ZZD

f (x; y) dA d¬r.

2.ZZD

(f (x; y)� g (x; y)) dA =ZZD

f (x; y) dA�ZZD

g (x; y) dA d¬r.

3. D üzerinde f (x; y) � 0 iseZZD

f (x; y) dA � 0 d¬r.

4. D üzerinde f (x; y) � g (x; y) iseZZD

f (x; y) dA �ZZD

g (x; y) dA d¬r.

5. Ayn¬çesit tan¬m kümesi üzerinde tan¬ml¬iki, iki katl¬integral toplam¬; bu bölgelerinbirlesimi üzerinden al¬nan iki katl¬integrale esittir. Yani,ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZD1

f (x; y) dA+

ZZD2

f (x; y) dA

d¬r(Bknz. Sekil 6.14 ).

6.14 Sekil:ZZD1[D2

f (x; y) dA =

ZZD1

f (x; y) dA+

ZZD2

f (x; y) dA

6.2.1 Örnek: 0 < r1 < r2 ve D =�(x; y) : r21 � x2 + y2 � r22; y > 0

olsun. Bu bölge

üzerinden f (x; y) = xy fonksiyonunun integralini hesaplay¬n¬z.


Çözüm:

6.15 SekilZZD

xydA =

ZZD1

xydA+

ZZD2

xydA+

ZZD3

xydA

d¬r. Buradaki her bir integral ayr¬ayr¬hesaplan¬r (Bknz. Sekil 6.15). D1 bölgesi için:

ZZD1

xydA =

�r1Z�r2

2664y=pr22�x2Z

y=0

xydy

3775 dx =�r1Z�r2

hx2y2iy=pr22�x2y=0

dx

=1

2

�r1Z�r2

x�r22 � x2

�dx =

1

2

�x2

2r22 �

x4

4

�x=�r1x=�r2

= ��r22 � r21

�28

bulunur. D2 bölgesi için:

ZZD2

xydA =

r1Z�r1

2664pr22�x2Z

pr21�x2

xydy

3775 dx =r1Z�r1

1

2x�r22 � r21

�dx = 0

bulunur. Son olarak D3 bölgesi için:

ZZD3

xydA =

r2Zr1

2664pr22�x2Z0

xydy

3775 dx =r2Zr1

1

2x�r22 � x2

�dx =

�r22 � r21

�28

olarak bulunur. Bu üç bölge üzerinden integrallerin toplam¬D bölgesi üzerindenZZD

xydA

integralinin de¼geridir. Böylece ZZD

xydA = 0


elde edilir.

6.2.2 Teorem (1. Fubini Teremi) D : f(x; y) : a � x � b; c � y � dg dikdörtdenselbölgesi üzerinde sürekli f (x; y) fonksiyonu verilsin.

ZZD

f (x; y) dA =

dZc

bZa

f (x; y) dxdy =

bZa

dZc

f (x; y) dydx

dir. Buna göre Fubini teremi, dikdörtgen bölge üzerinde iki katl¬integral al¬rken integrals¬ras¬n¬n de¼gistirilebilir oldu¼gunu ifade etmektedir. Yukar¬daki örnekte görüldü¼gü gibi x-eksenine dik düzlemler veya y-eksenine dik düzlemler kullan¬larak hacim hesaplanabilir.Bu islemde önce x veya y ye göre integral almak integralin sonucunu etkilemez.

6.2.3 Örnek: D = f(x; y) : 0 � x � 1; �1 � y � 1g bölgesi üzerinden f (x; y) = 1 �3x2y fonksiyonu için ZZ

D

f (x; y) dA

integralini hesaplay¬n¬z.

Çözüm:

ZZD

f (x; y) dA =

1Z�1

1Z0

�1� 3x2y

�dxdy =

1Z�1

�x� x3y

�x=1x=0

dy =

1Z�1

(1� y) dy

=

�y � y

2

2

�y=1y=�1

= 2

integralin s¬ras¬de¼gistirilirse de sonuç ayn¬ç¬kacakt¬r. Gerçekten

1Z0

1Z�1

�1� 3x2y

�dydx =

1Z0

�y � 3

2x2y2

�y=1y=�1

dx =

1Z0

2dx = 2

elde ederiz.

6.2.4 Teorem (2. Fubini Teremi) f fonksiyonu D bölgesi üzerinden sürekli bir


fonksiyon olarak verilsin.

6.16 Sekil

(i) D = f(x; y) : a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x) j g1 ve g2; [a; b] üzerinde süreklig ol-sun (Sekil 6.16 (a)).

ZZD

f (x; y) dA =

bZa

g2(x)Zg1(x)

f (x; y) dydx

dir.(ii) D = f(x; y) : c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y) j h1 ve h2; [c; d] üzerinde süreklig

olsun. ZZD

f (x; y) dA =

dZc

h2(y)Zh1(y)

f (x; y) dxdy


dir (Sekil 6.16 (b)).

6.17 Sekil

Simdi Fubini teoremini örneklerle kavramaya çal¬sal¬m.

6.2.5 Örnek:1Z0

y2Z0

2yexdxdy


Çözüm:

1Z0

y2Z0

2yexdxdy =

1Z0

264y2Z0

2yexdx

375 dy = 1Z0

[2yex]x=y2

x=0 dy =

1Z0

�2yey

2

� 2ye0�dy

=

1Z0

ey2

2ydy � 21Z0

ydy =hey

2iy=1y=0

� 2�y2

2

�y=1y=0

= e� 1� 2�1

2

�= e� 2:

6.2.6 Örnek: D = f(x; y) : 0 � x � 1; 0 � y � xg bölgesi üzerindenZZD

sinx

xdA



Çözüm: (Bknz. Sekil 6.18)

6.18 Sekil

1Z0

0@ xZ0

sinx

xdy

1A dx = 1Z0

�ysinx

x

�y=xy=0

dx =

1Z0

sinxdx = � cos (1) + 1 � 0; 46

Dikkat edilecek olursa integrasyon s¬ras¬yerde¼gistirilirse,

1Z0

1Zy

sinx

xdxdy

integrali elde edilir. BuZ

sin xx dx integrali bildi¼gimiz temel tekniklerle hesaplanamaz. Bu

durumda bazen integral s¬ras¬n¬n de¼gistirilmesi ise yarayabilir. Buna ait örneklere geçme-den önce integral s¬n¬rlar¬n¬belirlemek için yap¬lan islemleri gözden geçirelim.

6.2.7 ·Integral S¬n¬rlar¬n¬n Belirlenmesi

D =n(x; y) : 0 � x � 1; 1� x � y �

p1� x2

oD bölgesi üzerinden

ZZD

f (x; y) dA iki katl¬integralini hesaplayabilmek için iki yol izleye-

biliriz.(a) Önce y ye göre sonra x ye göre integral alabiliriz. Bu durumda:


1. Önce bölgeyi belirleyen e¼grileri çizeriz (Bknz. Sekil 6.19).

6.19 Sekil

2. ·Integralin y s¬n¬rlar¬n¬belirlemek için: D bölgesini y nin artan yönünde bir L do¼grusuile keseriz. Bu bölgeyi dikey kesen hayali bir do¼grudur. D bölgesini ilk kesti¼gi ve bölgeyiterk etti¼gi noktalar¬belirleriz. Bunlar y için integral s¬n¬rlar¬d¬r (Bknz Sekil 6.20).

6.20 Sekil

3. ·Integralin x s¬n¬rlar¬n¬belirlemek için: Dikey do¼grunun bölgeyi tarad¬¼g¬nda x in ald¬¼g¬


en küçük ve en büyük de¼gerlerdir.

6.21 Sekil

Böylece integral s¬n¬rlar¬önce y sonra x e göre al¬n¬rsaZZD

f (x; y) dA integrali

ZZD

f (x; y) dA =

x=1Zx=0

y=p1�x2Z

y=1�x

f (x; y) dydx

biçiminde belirlenir(Bknz. Sekil 6.21).(b) Benzer islemler bölgeyi kesen yatay do¼gru boyunca yap¬larak integral s¬n¬rlar¬

kolayca bulunur (Bknz. Sekil 6.22).

6.22 Sekil :ZZD

f (x; y) dA integrali,

ZZD

f (x; y) dA =

y=1Zy=0

x=p1�y2Z

x=1�y

f (x; y) dxdy


biçiminde belirlenir.

Simdi integrasyon s¬ras¬n¬n de¼gistirilmesi ile ilgili örneklere geçebiliriz.

6.2.8 Örnek: Asa¼g¬daki integraller için integral bölgelerini belirleyiniz, integral almas¬ralar¬n¬de¼gistiriniz ve hesaplay¬n¬z. Ayr¬ca bölge üzerinde integral s¬ras¬n¬n de¼gismesiintegral de¼gerini de¼gistiriyor mu? Arast¬r¬n¬z.

(a)

2Z0

2xZx2

(4x+ 2) dydx

(b)

3Z1

� 32 (x�3)Z0

dydx

Çözüm: (a) (Bknz. Sekil 6.23)

6.23 Sekil

4Z0

pyZy2

(4x+ 2) dxdy =

4Z0

�2x2 + 2x

�x=pyx= y

2

dy =

4Z0

�2y + 2

py � y

2

2� y

�dy

=

4Z0

��y

2

2+ y + 2

py

�dy =

��y

3

3+y2

2+4

3y32

�y=4y=0

= �43

6+42

2+4

3432 = 8


olarak sonuç elde edilir. Verilen integrali hesaplarsak:

2Z0

2xZx2

(4x+ 2) dydx =

2Z0

[4xy + 2y]y=2xy=x2 dx =

2Z0

�8x2 + 4x� 4x3 � 2x2

�dx

=

2Z0

��4x3 + 6x2 + 4x

�dx =

��x4 + 2x3 + 2x2

�x=2x=0

= �16 + 16 + 8 = 8

elde edilir. Buradan görüldü¼gü gibi integral s¬ras¬yerde¼gistirdi¼ginde integral de¼geri de¼gismemek-tedir. Önemli olan integralin bilinen yöntemlerle hesaplanabilir olmas¬d¬r.(b) (Bknz. Sekil 6.24)

6.24 Sekil

3Z0

� 23y+3Z1

dydx =

3Z0

[x]x=� 23y+3x=1 dx =

3Z0

�� 23y + 2

�dx =

3Z0

�� 13y2 + 2y

�y=3y=0

= �3 + 6 = 3

elde edilir. Verilen integrali hesaplarsak:

3Z1

� 32 (x�3)Z0

dydx =

3Z1

[y]x=� 32 (x�3)y=0 dx =

3Z1

�� 32x+

9

2

�dx =

�� 34x

2 +9

2x

�x=3x=1

= �274+27

2��34+9

2

�= 3

bulunur.

6.2 Problemler

1. Asa¼g¬daki integrallerin integrasyon bölgelerini çiziniz ve integralleri hesaplay¬n¬z.


(a)

0Z�1

1Z�1

(x+ 2y + 1) dxdy

(b)

�Z0

xZ0

x sin ydydx

(c)

1Z0

y2Z0

3y3exydxdy

(d)

ln 8Z0

ln yZ0

ex+ydxdy

2. D =�(x; y) : x2 + y2 � r2

üzerinde

ZZD

x2y2dA integralini hesaplay¬n¬z.

3. S = f(x; y) : jxj � 1; jyj � 1g karesi üzerindenZZS

�x2 + y2

�� 12 dA integralini hesaplay¬n¬z.

4. D =�(x; y) : x2 + y2 � 1

dikdörtgeni üzerinden

ZZD

�x3 + y3 � 3y

�x2 + y2

��dA in-

tegralini hesaplay¬n¬z.

5. 0 � x � �; 0 � y � 1 dikdörtgeni üzerinden f (x; y) = y cosxy fonksiyonunun inte-gralini hesaplay¬n¬z.

6. Asa¼g¬daki fonksiyonlar¬n integrasyon bölgelerini çiziniz, integral alma s¬ralar¬n¬de¼gistirinizve integrallerini hesaplay¬n¬z.

(a)

2Z0

pyZy

dxdy

(b)

1Z0

1�x2Z1�x

dydx

(c)

1Z0

exZ1�x

dydx

(d)

32Z0

9�4x2Z0

16xdydx


(e)

2Z0

4�y2Z0

ydxdy

(f)

1Z0

p1�y2Z

�p1�y2

3ydxdy

(g)

2Z0

p4�x2Z

�p4�x2

6xdydx

7. y = x; y = 2x ve x + y = 2 do¼grular¬ aras¬nda kalan bölge üzerindenZZ

xydA


8. D = f(x; y) : jxj+ jyj = 1g karesinin içindeki bölge üzerindenZZD

�x� 2y2

�dA inte-

gralini hesaplay¬n¬z.


6.3 Düzlemin Dönüsümüx = x (u; v) ; y = y (u; v) seklindeki denklemler (u; v) noktas¬ ile (x; y) noktas¬n¬ ilisk-ilendirirler. Bu iki denklemle tan¬mlanan bir T fonksiyonu:

T (u; v) = (x = x (u; v) ; y = y (u; v)) (1)

formülüne göre uv-düzlemindeki noktalarla xy-düzlemindeki noktalar¬ birlestirir. Budönüsüme, uv-düzleminden xy-düzlemine bir T dönüsümü deriz. Buradaki (u; v) nok-tas¬n¬n T dönüsümü alt¬ndaki görüntüsü (x; y) noktas¬d¬r (Sekil 6.25).

6.25 Sekil

uv-düzlemindeki S kümesinin tüm görüntülerinin R kümesi, T dönüsümü alt¬nda S ningörüntüsü olarak adland¬r¬l¬r. uv-düzlemindeki farkl¬noktalar, xy-düzleminde farkl¬görün-tülere sahipse bu durumda T dönüsümüne bire-birdir denir. Bu durumda x = x (u; v) ; y =y (u; v) denklemlerinden x ve y nin fonksiyonlar¬olarak u ve v yi tan¬mlar.

u = u (x; y) ; v = v (x; y) (2)

denklemleri x = x (u; v) ; y = y (u; v) denklemlerinden u ve v çözülerek elde edilir. xy-düzleminden uv-düzlemine tan¬mlanan bir dönüsüm, T nin ters dönüsü- mü alt¬nda (u; v)görüntüsünü veren bir dönüsümdür. Bu dönüsüm T nin tersi olarak adland¬r¬l¬r ve T�1

ile gösterilir.

T dönüsümünün geometrik etkisini görmek için bir yol, uv-düzleminde yatay ve düseydo¼grular¬n, xy-düzlemindeki görüntülerini belirlemektir. Yatay (v = sabit) do¼grular¬ngörüntüleri olan xy-düzlemindeki noktalar¬n kümesi u-e¼grileri olarak adland¬r¬l¬r ve benzersekilde dikey (u = sabit) do¼grular¬n görüntüleri v-e¼grileri olarak adland¬r¬l¬r (Sekil 6.26).

6.26 Sekil


6.3.1 Örnek: T dönüsümü uv-düzleminden xy-düzlemine

x =1

4(u+ v) ; y =

1

2(u� v) (3)

denklemleri ile verilsin.(i) T (1; 3) de¼gerini bulunuz,(ii) v = �2;�1; 0; 1; 2 de¼gerine kars¬l¬k gelen u-e¼grilerini çiziniz,(iii) u = �2;�1; 0; 1; 2 de¼gerine kars¬l¬k gelen v-e¼grilerini çiziniz,(iv) u = �2; u = 2; v = �2 ve v = 2 do¼grular¬ ile s¬n¬rl¬uv düzlemindeki karesel

bölgenin T dönüsümü alt¬ndaki görüntüsünü çiziniz.

Çözüm :(i) (3) denkleminde u = 1; v = 3 de¼gerlerini yerine koyal¬m.

T (1; 3) = (1;�1) buluruz.(ii) ve (iii): x ve y nin fonksiyonlar¬olarak u ve v yi ifade edersek:

4x = u+ v

2y = u� v

den u = 2x + y; v = 2x � y elde ederiz. Böylece v = �2;�1; 0; 1 ve 2 için 2x � y =�2; 2x � y = �1; 2x � y = 0; 2x � y = 1 ve 2x � y = 2 buluruz. Benzer sekildeu = �2;�1; 0; 1 ve 2 için 2x+ y = �2; 2x+ y = �1; 2x+ y = 0; 2x+ y = 1 ve 2x+ y = 2elde ederiz. Bu e¼grileri çizelim(Sekil 6.27).

6.27 Sekil

(iv) u = �2; u = 2; v = �2 ve v = 2 s¬n¬r do¼grular¬n¬n belirledi¼gi bölgenin görüntüsü xy

düzleminde bir baklava dilimidir (Sekil 6.28).

6.28 Sekil


6.3.2 ·Iki De¼giskenli Fonksiyonlar ·Için Jakobiyen (Jacobians)

·Iki katl¬integraller için de¼gisken de¼gistirme formülünü elde etmek için, uv-düzlemindekiküçük dikdörtgen bölgenin alan¬n¬ve

x = x (u; v) ; y = y (u; v)

denklemleri ile verilen T dönüsümü alt¬nda xy-düzleminde bulunan görüntüsünün alan¬aras¬ndaki ba¼g¬nt¬y¬anlamaya çal¬smal¬y¬z. Bu amaçla �u ve �v yi pozitif kabul edelimve

u = u0; u = u0 +�u; v = v0; v = v0 +�v

do¼grular¬ile s¬n¬rlanm¬s uv-düzleminde S dikdörtgensel bölgesini gözönüne alal¬m. E¼gerx (u; v) ve y (u; v) fonksiyonlar¬sürekli ve �u ve �v çok büyük de¼gilse xy-düzleminde Snin görüntüsü bu do¼grularla ilgili u ve v e¼grileri ile s¬n¬rlanm¬s e¼grilerden meydana gelmisdikdörtgen R bölgesidir (Sekil 6.29).

6.29 Sekil

uv-düzleminde (u; v) noktas¬na kars¬l¬k xy-düzleminde bu noktaya

r = r (u; v) = x (u; v)�!i + y (u; v)

�!j

yer vektörü kars¬l¬k geliyorsa, v = v0 a kars¬l¬k u-e¼grisi ve u = u0 a kars¬l¬k v-e¼grisi

r (u; v0) = x (u; v0)�!i + y (u; v0)

�!j u� e�grisi (4)

r (u0; v) = x (u0; v)�!i + y (u0; v)

�!j v � e�grisi (5)

vektör formunda gösterilebilir. �u ve �v yi çok küçük kabul etti¼gimizden, R bölgesini

�!a = r (u+�u; v0)� r (u0; v0)�!b = r (u0; v +�v)� r (u0; v0)


vektörleri yard¬m¬yla bir paralelkenar ile yaklas¬k olarak belirleyebiliriz (Sekil 6.30).

6.30 Sekil

Burada kesen vektörleri, te¼get vektörlere asa¼g¬daki gibi yaklast¬rmaya çal¬sal¬m

�!a =r (u0 +�u; v0)� r (u0; v0)

�u�u � @r

@u�u =

�@x

@u

�!i +

@y

@u

�!j

��u

�!b =

r (u0; v0 +�v)� r (u0; v0)�v

�v � @r

@v�v =

�@x

@v

�!i +

@y

@v

�!j

��v

Burada k¬smi türevler (u0; v0) da hesaplanm¬st¬r. Fakat T (u0; v0) da s¬ras¬yla @r@u ve

@r@v

vektörleri u ve v e¼grilerine te¼gettir ve sonuç olarak,�@r@u

��u ve

�@r@v

��v dir. Böylece

R bölgesi te¼get vektörler taraf¬ndan paralelkenar ile yaklas¬k olarak belirlenebilir. Te¼getvektörler:

@r

@u�u =

�@x

@u

�!i +

@y

@u

�!j

��u

@r

@v�v =

�@x

@v

�!i +

@y

@v

�!j

��v

dir (Sekil 6.31).

6.31 Sekil

Buradan�A ile gösterdi¼gimizR bölgesinin alan¬, buradaki vektörler ile belirlenen paralelke-nar¬n alan¬olarak yaklas¬k hesaplan¬r. Böylece vektörlerle belirlenen paralelkenar¬n alan¬


bilindi¼gi gibi:

Alan = (taban) : (y�ukseklik) = kuk kvk sin � = ku� vk

6.32 Sekil

Yani di¼ger bir deyisle u ve v vektörleri ile belirlenen paralelkenar¬n alan¬u ve v vektör-lerinin vektörel çarp¬m¬n¬n uzunlu¼guna esittir, buna göre paralelkenar¬n alan{ = ku� vkdir (Sekil 6.32).

Simdi problemimize tekrar geri dönelim.

�A � @r@u�u� @r

@v�v

= @r@u � @r

@v

�u�v (6)

burada türevler (u0; v0) da hesaplan¬r. Vektörel çarp¬m¬hesaplarsak;

@r

@u� @r

@v=

��!i

�!j

�!k

@x@u

@y@u 0

@x@v

@y@v 0

�� =��@x@u

@y@u

@x@v

@y@v

��!k =��@x@u

@x@v

@y@u

@y@v

��!k (7)

d¬r. (7) deki determinanta özel bire ad verilir. Buna Jakobiyen denir.

6.3.3 Tan¬m (T nin Jakobiyeni) T dönüsümü uv-düzleminden xy-düzlemine

x = x (u; v) ; y = y (u; v)

denklemleri ile tan¬mlanan bir dönüsüm ise T nin Jakobiyeni J (u; v) veya@ (x; y)

@ (u; v)ile

gösterilir ve

J (u; v) =@ (x; y)

@ (u; v)=

��@x@u

@x@v

@y@u

@y@v

�� = @x

@u

@y

@v� @y

@u

@x

@v

ile tan¬mlan¬r. Bu tan¬mdaki gösterimler (6) ve (7) den

�A � @ (x; y)@ (u; v)

�!k

�u�vveya

�!k birim vektör oldu¼gundan

�A � @ (x; y)@ (u; v)

�u�v (8)


ile belirlenir.

(u0; v0) noktas¬nda bu önemli formül, Sekil 5 de R ve S bölgelerinin alanlar¬yla ilgilidir.�u ve �v nin çok küçük de¼gerler olmas¬halinde, R nin alan¬, yaklas¬k olarak; S nin alan¬ile jakobiyeninin mutlak de¼gerinin çarp¬m¬na esittir. Ayr¬ca, �u! 0 ve �v ! 0 iken buyaklas¬mdaki hata s¬f¬ra yaklas¬r.Simdi geometrik bir yaklas¬m olarak asa¼g¬daki kesimde de¼gisken de¼gisimini inceleye-

biliriz.

6.4 ·Iki Katl¬·Integrallerde De¼gisken De¼gisimi

uv-düzlemindeki S bölgesi xy-düzlemindeki R bölgesine x = x (u; v) ; y = y (u; v) den-klemleri ile dönüstürülsün. @(x;y)@(u;v) Jakobiyeni s¬f¬r de¼gil ve S üzerinde isaret de¼gistirmiyorsadönüsüm üzerine baz¬k¬s¬tlamalar ile,

ZZR

f (x; y) dAxy =

ZZS

f (x (u; v) ; y (u; v))��@(x;y)@(u;v)

�� dAuv (9)

dir. Burada dA alt¬ndaki indisler ilgili integrallerin de¼giskenlerini belirlemekte yard¬mc¬olmaktad¬r.

Uyar¬: (9) formülü bu bölümün en önemli k¬sm¬d¬r. T birebir bir dönüsüm, f (x; y) ; Rüzerinde sürekli, R ve S bölgeleri çok karmas¬k de¼gilseler bu formül sa¼glan¬r. Bu formülükullan¬rken asa¼g¬daki islemler yap¬l¬r.

6.33 Sekil : S bölgesinin T dönüsümü alt¬nda R bölgesine dönüsümü

Sekilde görüldü¼gü gibi x = x (u; v) ; y = y (u; v) denklemleri ile tan¬ml¬T dönüsümü, uv-düzlemindeki Sk y¬xy-düzlemindeki Rk bölgesine dönüstürür ve dönüsüm Sk bölgesindeki(u�k; v

�k) noktas¬n¬Rk bölgesindeki

(x�k; y�k) = (x = x (u�k; v

�k) ; y = y (u

�k; v

�k)) noktas¬na dönüstürür. �Ak ile Rk bölgesinin

alan¬gösterilmistir.R bölgesi üzerinde f (x; y) nin iki katl¬ integrali dik koordinatlarda, R bölgesi alt

dikdörtgenlere bölünerek Riemann toplam¬n¬n bir limiti olarak tan¬mlanm¬st¬r. Uygun


kosullar alt¬nda altbölgeler, e¼grilerle s¬n¬rland¬r¬lm¬s dikdörtgen altbölgelerle yerde¼gistirir.Bu kabullerle R bölgesi üzerinden f (x; y) nin iki katl¬integrali yaklas¬k olarakZZ

R

f (x; y) dAxy �nXk=1

f (x�k; y�k)�Ak

�nXk=1

f (x (u�k; v�k) ; y (u

�k; v

�k))

��@ (x; y)@ (u; v)

��uk�vkd¬r. Burada jakobiyen (x�k; y

�k) da de¼gerlendirilmistir. Fakat, bu son ifade integral için

Riemann toplam¬d¬r; ZZS

f (x (u; v) ; y (u; v))

��@ (x; y)@ (u; v)

�� dAuvböylece (9) formülünden n!1 iken hata s¬f¬r olur.

6.4.1 Örnek: x� y = 0; x� y = 1; x+ y = 1 ve x+ y = 3 do¼grular¬ile s¬n¬rland¬r¬lm¬sR bölgesi üzerinden ZZ

R

x� yx+ y

dA


Çözüm:

6.34 Sekil

R bölgesi üzerinden integral almak istedi¼gimizde üç ayr¬iki katl¬integral üzerinden yukar¬-daki integrali hesaplayailiriz ve bu oldukça s¬k¬c¬bir durum. Ancak x�y ve x+y ifadelerineu ve v dersek, yani

v = x� y; u = x+ y (10)

dersek çok yararl¬bir dönüsüm elde ederiz. S¬n¬r do¼grular¬olan bu dönüsümlerle

u = 1; u = 3; v = 0; v = 1

dir. Sekil 6.34 de R ve S bölgeleri görülmektedir. Bu dönüsümün jakobiyeni @(x;y)@(u;v) bulmakiçin x ve y yi u ve v cinsinden ifadesini (10) denkleminden

x =1

2(u+ v) ; y =

1

2(u� v)


olarak buluruz. Böylece jakobiyen;

@ (x; y)

@ (u; v)=

��@x@u

@x@v

@y@u

@y@v

�� =��12

12

12 � 1

2

�� = �14 � 14 = �12dir. Buradan (9) formülünü kullanarak:ZZ

R

x� yx+ y

dA =

ZZS

v

u

��@ (x; y)@ (u; v)

�� dAuv = ZZS

v

u

��12�� dAuv

=1

2

1Z0

3Z1

v

ududv =

1

2

1Z0

[v ln juj]u=3u=1 dv =1

2ln 3

1Z0

vdv =1

4ln 3

olarak istenen sonuç elde edilir.

6.4.2 Örnek: y =1

xve y =

2

xhiperbolleri ve y =

x

2; y = x do¼grular¬ taraf¬ndan

s¬n¬rlanan R bölgesinde ZZR

exydA


Çözüm: Önceki örnekteki gibi xy-düzlemindeki e¼grilerle s¬n¬rl¬bir bölge dönüstürülürseu ve v do¼grular¬n¬verir. Buna göre dört s¬n¬r e¼grisini,

y =1

x; y =

2

x; xy = 1; ve xy = 2

ile tan¬mlayal¬m. Bunun içinu =

y

xve v = xy (11)

dönüsümünü uygularsak, xy-düzlemindeki s¬n¬r e¼grileri uv-düzleminde u = 12 ; u = 1;

v = 1; v = 2 do¼grular¬ile ilgili u ve v-e¼grileri kars¬l¬k gelir (Sekil 35).

6.35 Sekil


Jakobiyeni bulmak için (11) deki denklemlerden yararlanarak

x =

rv

uve y =

puv

elde ederiz. Buradan

@ (x; y)

@ (u; v)=

��@x@u

@x@v

@y@u

@y@v

�� =�� 12u

pvu

12puv

12

pvu

12

puv

�� = � 1

4u� 1

4u= � 1

2u

buluruz. Simdi integrali hesaplayabiliriz,ZZR

exydA =

ZZS

ev�� 1

2u

�� dAuv = 1

2

ZZS

ev

udAuv

=1

2

2Z1

1Z12

1

uevdudv =

1

2

2Z1

[ev ln juj]u=1u= 12dv

=1

2ln 2

2Z1

evdv =1

2

�e2 � e

�ln 2

istenen sonuç elde edilir.

6.4.3 Örnek: ZZR

1

y2x3dxdy

integralini R =�(x; y) : a > 0 o.ü. yx2 � a ve c > b > 0 için cx2 � y � bx2

bölgesi üz-

erinden hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Verilen R bölgesi Sekil 6.36 deki gibidir.

6.36 Sekil

u = yx2 ve v = yx2 de¼gisken de¼gistirmesi yaparsak; jakobiyen

@(x;y)@(u;v) için

@ (x; y)

@ (u; v)=

�@ (u; v)

@ (x; y)

��1=

�� 2xy x2

� 2yx3

1x2

�� = �2yx +2y

x

��1=x

4y


buluruz. Buradan;ZZR

1

y2x3dxdy =

ZZS

1

y2x3

��@ (x; y)@ (u; v)

�� dudv = 1

4

ZZS

1

y2x4x2

ydudv

=1

4

ZZS

1

u21

vdudv =

1

4

1Za

1

u2

cZb

dv

vdu

=1

4

1Za

1

u2[ln v]

cb du =

1

4lnc

b

1Za

1

u2du

=1

4lnc

b

�� 1u

�1a

=1

4alnc

b

olarak istenen sonuç elde edilir.

6.4.4 Örnek:1Z0

1Zy

(x+ y)

x2e(x+y)dxdy

integralini u = x+ y; v = yx de¼gisken de¼gisimi yaparak hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Önce R bölgesini ve S bölgesini belrileyelim. (Bknz Sekil 6.37)

6.37 Sekil

S bölgesini belirlerken: y = 0 do¼grusu v = 0 ¬ve x = y do¼grusu v = 1 i verir. x = 1oldu¼gundan u = 1+y ve v = y elde ederiz. Böylece x = 1 al¬rsak; u = v+1 elde ederiz. Budurumda S bölgesi belirlenmis olur fakat bu durumda küçük bir ayr¬nt¬ya dikkat etmekgerekir, R bölgesinde kritik bir nokta olmamal¬d¬r. x = 0 oldu¼gunda ne oldu¼gu hakk¬ndabir problem vard¬r. Bu problem kolayca çözülebilir. 0 � � � 1 olan her � için y = �x(0 < x � 1) do¼grusu v = � (0 < u � �+ 1) e dönüsür. Jakobiyen

@ (x; y)

@ (u; v)=

�@ (u; v)

@ (x; y)

��1=

�� 1 1� yx2

1x

�� = � 1x + y

x2

��1


olur. Buradan,

1Z0

1Zy

(x+ y)

x2e(x+y)dxdy =

ZZR

(x+ y)

x2e(x+y)dxdy

=

ZZS

(x+ y)

x2e(x+y)

�� x2x+ y

�� dudv=

ZZS

eududv =

1Z0

v+1Z0

eududv

=

1Z0

[eu]u=v+1u=0 dv =

1Z0

�ev+1 � 1

�dv

=�ev+1 � v

�v=1v=0

= e2 � e� 1

elde ederiz.


6.4 Problemler

1. @(x;y)@(u;v) jakobiyenini(a) x = u+ 4v, y = 3u� 5v(b) x = u+ 2v2, y = 2u2 � v(c) x = sinu+ cos v, y = � cosu+ sin v(d) x = 2u

u2+v2 , y = �2v

u2+v2

ifadeleri için bulunuz.

2. Asa¼g¬daki sorularda u ve v ile ile ilgili x ve y yi çözünüz, ayr¬ca @(x;y)@(u;v) jakobiyenlerini

bulunuz.(a) u = 2x� 5y, v = x+ 2y(b) u = ex, v = ye�x

(c) u = x2 � y2, v = x2 + y2 (x > 0; y > 0)(d) u = xy, v = xy3 (x > 0; y > 0)

3. R bölgesi x� 2y = 1, x� 2y = 4, 2x+ y = 1, 2x+ y = 3 do¼grular¬ile s¬n¬rl¬dikdörtgenbölge olmak üzere ZZ

R

x� 2y2x+ y

dA

integralini u = x� 2y, v = 2x+ y dönüsümü yaparak hesaplay¬n¬z.

4. R bölgesi x + y = 0, x + y = 1, x � y = 1, x � y = 4 do¼grular¬ile s¬n¬rl¬bölge olmaküzere ZZ

R

(x� y) ex2�y2dA

integralini u = x+ y, v = x� y dönüsümü yaparak hesaplay¬n¬z.


7 ·Iki Katl¬·Integral Uygulamalar¬Bu k¬s¬mda iki katl¬integrallerin uygulamalar¬n¬verece¼giz. Önceki örneklerde gördü¼gümüzgibi iki katl¬integrallerin basl¬ca uygulamalar¬alan, hacim, kütle merkezi, a¼g¬rl¬k merkezive moment hesaplamalar¬nda iki katl¬integrallerin kullan¬lmas¬oldukça etkili bir araçt¬r.

7.1 ·Iki Katl¬·Integrallerde Alan Hesab¬Düzlemde s¬n¬rl¬bir bölgenin alan¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplanabilir. f (x; y) = 1

al¬narak, iki katl¬integralin tan¬m¬gere¼giZZ

f (x; y)| {z }1

dA iki katl¬integrali bölgenin alan¬

verir.

7.1 Sekil

Sn =nXk=1

f (xk; yk)| {z }1

�Ak =nXk=1

�Ak

Bilindi¼gi gibi burada �x ve �y s¬f¬ra giderken toplam sonsuza gider ve D bölgesininalan¬n¬verir (Bknz. Sekil 7.1).

Alan = limn!1

nXk=1

�Ak =

ZZdA

7.1.1 Tan¬m: D kapal¬ve s¬n¬rl¬bölgesinin alan¬

A (D) =

ZZD

dA

ile verilir.


7.1.2 Örnek: y = x2 e¼grisi ve y = x do¼grunun aras¬nda kalan bölgenin alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.


7.2 Sekil

A =

1Z0

y=xZy=x2

dydx =

1Z0

[y]xx2 dx =

1Z0

�x� x2

�dx =

�x2

2� x

3

3

�=1

6br2

bulunur.

7.1.3 Örnek: y = x+ 2 do¼grusu ve y = x2 parabolünün s¬n¬rlad¬¼g¬D bölgesinin alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.


7.3 Sekil

A =

ZZD

dA =

2Z�1

y=x+2Zy=x2

dydx =

2Z�1

[y]x+2x2 dx =

2Z�1

�x+ 2� x2

�dx

=

�x2

2+ 2x� x

3

3

�2�1=9

2br2


elde edilir.Bu bölgede

A =

ZZD1

dA+

ZZD2

dA =

1Z0

pyZ

�py

dxdy +

4Z1

pyZ

y�2

dxdy

integrali ile de hesaplanabilir.

7.1.4 Örnek: y = (x� 1)2 ve y = 4� (x� 3)2 parabollerinin s¬n¬rlad¬¼g¬bölgenin alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.

7.4 Sekil

(x� 1)2 = 4� (x� 3)2 ) x2 � 2x+ 1 = 4� x2 + 6x� 9) (x� 1) (x� 3) = 0) x = 1 veya x = 3 dür.

A =

3Z1

y=4�(x�3)2Zy=(x�1)2

dydx =

3Z1

h4� (x� 3)2 � (x� 1)2

idx = �2

3Z1

�x2 � 4x+ 3

�dx

= �2�x3

3� 2x2 + 3x

�31

= 2 � 23=4

3br2

elde edilir.


7.1 Problemler

1. Asa¼g¬daki bölgelerin alanlar¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.(a) x+ y = 2 do¼grusuve koordinat eksenlerinin s¬n¬rlad¬¼g¬bölge,(b) x = 0; y = 2x ve y = 4 do¼grular¬aras¬ndaki bölge,(c) x = y � y2 parabolü ve y = �x do¼grusu aras¬ndaki bölge,(d) y = ex e¼grisi xe y = 0; x = 0 ve x = ln 2 do¼grular¬aras¬ndaki bölge,(e) y = lnx; y = 2 lnx e¼grileri ve x = e do¼grusunun 1. çeyrekteki bölgesi,(f) x = y2 � 1 ve x = 2y2 � 2 parabolleri aras¬ndaki bölge.


7.2 ·Iki Katl¬·Integrallerde Hacim Hesab¬·Iki katl¬ integrallerin tan¬m¬gere¼gi herhangi bir z = f (x; y) fonksiyonunun belli bir Dbölgesi üzerindeki iki katl¬integralleri, taban¬D bölgesi; yüksekli¼gi f (x; y) olan bir cisminhacmini verdi¼gini daha önce görmüstük. Buna göre üstten z = f (x; y) ; alttan D bölgesiile s¬n¬rls¬bölgenin hacmi

V =

ZZD

f (x; y) dA

ile verilir. Simdi bununla ilgili birkaç örnek verece¼giz.

7.2.1 Örnek:yaz¬lacak7.2.2 Örnek:yaz¬lacak


7.2 Problemler

1. x2+y2 = 4 silindiri, y+ z = 4 ve z = 0 düzlemleri ile s¬n¬rl¬bölgenin hacmini bulunuz.

2. z = 2x+ y düzlemi ve R = f(x; y) j 3 � x � 5; 1 � y � zg üçgensel bölgesi ile s¬n¬rl¬bölgenin hacmini bulunuz.

3. z = x2 yüzeyi ve x = 2, y = 3, y = 0, z = 0 düzlemleri aras¬nda kalan bölgenin hacminibulunuz.

4. x2 + y2 = 4 silindiri ve z = 0 z = 3 � x düzlemleri aras¬nda kalan bölgenin hacminibulunuz.

5. y2 = x, z = 0 ve x+ z = 1 düzlemleri aras¬nda kalan bölgenin hacmini bulunuz.

6. z = 9� x2, z = 0 ve y2 = 3x ile s¬n¬rl¬bölgenin hacmini bulunuz.

7. z = ey�x yüzeyi, x + y = 1 düzlemi ve koordinat düzlemleri aras¬nda kalan bölgeninhacmini bulunuz.


7.3 ·Iki Katl¬·Integrallerde Kütle Hesab¬Konunun kolay anlas¬lmas¬n¬sa¼glamak için bir dikdörtgen bölge üzerinde herbir noktadafarkl¬yo¼gunlu¼ga sahip bir düzlemsel plakan¬n kütlesinin iki katl¬integralle hesaplayabiliriz.

7.9 Sekil: Birim dikdörtgenin kütlesi = � (x; y)�x�y

7.3.1 Tan¬m: (Kütle Hesab¬): D = f(x; y) : a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g bölgesiüzerinde sürekli, � (x; y) yo¼gunlu¼guna sahip plakan¬n kütlesini

m =

ZZD

� (x; y) dA

ile verilir.

7.3.2 Örnek: Herhangi bir (x; y) noktas¬nda yo¼gunlu¼gu � (x; y) = x2y3+3x olan asa¼g¬dakidikdörtgen plakan¬n kütlesini hesaplay¬n¬z.

Çözüm:

7.10 Sekil : Dikdörtgenin kütlesi = � (x; y)�x�y


m =

ZZD

� (x; y) dxdy =

ZZD

�x2y3 + 3x

�dxdy =

bZ0

aZ0

�x2y3 + 3x

�dxdy

=

bZ0

�1

3a3y3 +

3

2a2�dy =

�1

12a3y4 +

3

2a2y

�ba

=1

12a3b4 +

3

2a2b

veya

m =

ZZD

�x2y3 + 3x

�dydx =

aZ0

bZ0

�x2y3 + 3x

�dydx

aZ0

�1

4x2b4 + 3xb

�dx

=

�1

12x3b4 +

3

2x2b

�a0

=1

12a3b4 +

3

2a2b

elde ederiz.

7.3.3 Örnek: x- ekseni, x = 8 do¼grusu ve y = x23 e¼grisi ile s¬n¬rl¬ince levhan¬n yo¼gunlu¼gu

� (x; y) = xy olsun. Levhan¬n toplam kütlesini bulunuz.

Çözüm:

7.11 Sekil

m =

ZZD

xydA =

8Z0

x23Z0

xydydx =

8Z0

�xy2

2

�x 230

dx =1

2

8Z0

x73 dx

=1

2

�3

10x103

�80

=768

5= 153; 6

7.3.4 Uyar¬: Kütle formülünden aç¬kça anlas¬laca¼g¬ gibi � (x; y) = 1 olmas¬ halindekütle formülü alan formülünü verir.Yani � (x; y) = 1 al¬n¬rsa belirlenmis bölgenin alan¬n¬buluruz.

Simdi de kütle merkezinin hesab¬için ilgili formülü verebiliriz. Bundan sonra ki bölümdekütle merkezins ele alaca¼g¬z.


7.3 Problemler

1. Köseleri (0; 0) ; (0; 1) ve (1; 0) noktas¬na yerlestirilen üçgensel bir levhan¬n yo¼gunlu¼gu� (x; y) = xy dir. Bu bölgenin kütlesini hesaplay¬n¬z.

2. x = 1 do¼grusu, y =px e¼grisi ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin

yo¼gunlu¼gu � (x; y) = x+ y dir. Bu cismin kütlesini hesaplay¬n¬z.

3. y = sinx; y = 0; x = 0 ve x = � ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin yo¼gunlu¼guher noktada, o noktan¬n x-eksenine olan uzakl¬¼g¬na esittir. Bu cismin kütlesini bulunuz.

4. Birinci bölgede x2+ y2 = a2 çemberi ve koordinat eksenleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestir-ilen bir cismin yo¼gunlu¼gu � (x; y) = xy dir. Bu cismin kütlesini hesaplay¬n¬z.

5. x2+y2 = 1 çemberinin alt yar¬s¬yla ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cisminyo¼gunlu¼gu � (x; y) = x2 + y2 dir. Bu cismin kütlesini hesaplay¬n¬z.


7.4 Kütle Merkezi - A¼g¬rl¬k Merkezi·Iki kütle m1 ve m2 bir kald¬raçta dayanak noktas¬ndan d1 ve d2 uzakl¬kta yerlessin.Kald¬rac¬n dengede kalmas¬için gerek ve yeter kosul d1m1 = d2m2 olmas¬d¬r.

Asa¼g¬daki sekilde oldu¼gu gibi dayanak noktas¬orijin olan, yatay koordinat eksenli kald¬raçile iyi bir matematiksel model olusturabiliriz.

7.12 Sekil

Bu durumda m1 in x1 koordinat¬x1 = �d1 dir, m2 nin x2 koordinat¬x2 = d2 dir. Dengedurumunda

x1m1 + x2m2 = 0

d¬r. Bilindi¼gi gibi m kütlesi ile bir noktadan olan uzakl¬¼g¬n çarp¬m¬ moment olarakadland¬r¬l¬r. Benzer sekilde m1;m2; :::;mn kütleleri x1; x2; :::; xn noktalar¬nda x-ekseniboyunca uzanm¬s ise momentlerin toplam¬

M = x1m1 + x2m2 + :::+ xnmn =nXi=1

ximi

dir.

7.13 Sekil

Özel durumlar d¬s¬nda bu sistemin dengelendi¼gini düsünmemeliyiz. Böyle bir sistem her-hangi bir noktada dengelenebilir. Sistemi dengede tutan dayanak noktas¬nedir? Arast¬rd¬¼g¬m¬zkoordinata x dersek buna göre toplam moment s¬f¬r olmal¬d¬r, yani

(x� x1)m1 + (x� x2)m2 + (x� x3)m3 = (x4 � x)m4 + :::+

(xn�1 � x)mn�1 + (xn � x)mn

veyax1m1 + x2m2 + :::+ xnmn = xm1 + xm2 + :::+ xmn :


buradan x çekersek

x =M

m=

nPi=1

ximi

nPi=1

mi

elde ederiz. Kütle merkezi x denge noktas¬d¬r. Dikkat ediniz ki kütle merkezini bulmakiçin orijine göre toplam moment, toplam kütleye bölünür. Benzer olarak düzlemsel bölgeyeyerlestirilmis bir sistem içinde x ve y kütle momentleri hesaplan¬r. Bu konu birinci s¬n¬fta�zik ve analiz derslerinde incelenmisti, biz simdi iki katl¬integrallerde inceleyece¼giz.

Düzlemsel bir bölgede (x1; y1) ; (x2; y2) ; :::; (xn; yn) noktalar¬na m1; m2; :::;mn kütleleris¬ras¬yla yerlestirilsin. y-eksenine ve x-eksenine göre toplam momentler

My =nXk=1

xkmk; Mx =nXk=1

ykmk

ile verilsin. Denge noktas¬n¬n koordinatlar¬(x; y)

x =My

m=

nPk=1

xkmk

nPk=1

mk

; y =Mx

m=

nPk=1

ykmk

nPk=1

mk

ile verilir. xy-düzleminde D bölgesindeki levhan¬n yo¼gunlu¼gu � (x; y) ise kütle merkezininkoordinatlar¬

x =My

m =

RRD

x�(x;y)dARRD

�(x;y)dA; y = Mx

m =

RRD

y�(x;y)dARRD

�(x;y)dA

ile verilir.

7.4.1 Örnek: Birinci çeyrekte, y = 2x; x = 1 do¼grular¬ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬üçgenselbölgedeki levhan¬n yo¼gunlu¼gu � (x; y) = 6x+6y+6 ise bu levhan¬n kütle merkezini bulunuz.


Çözüm:

7.14 Sekil

Önce üçgensel bölgeye yerlesmis levhan¬n kütlesini hesaplayal¬m.

m =1R0

2xR0

� (x; y) dydx =1R0

2xR0

(6x+ 6y + 6) dydx

=1R0

�6xy + 3y2 + 6y

�2x0dx =

1R0

�24x2 + 12x

�dx

=�8x3 + 6x2

�10= 14

x - eksenine göre moment:

Mx =1R0

2xR0

y� (x; y) dydx =1R0

2xR0

�6xy + 6y2 + 6y

�dydx

=1R0

�3xy2 + 2y3 + 3y2

�y=2xy=0

dx =1R0

�28x3 + 12x2

�dx

=�7x4 + 4x3

�10= 11

Benzer olarak y-eksenine göre moment:

My =1R0

2xR0

x� (x; y) dydx = 10

elde ederiz. Böylece x = My

m = 1014 =

57 ; y = Mx

m = 1114 olarak bulunur.

7.4.2 A¼g¬rl¬k Merkezi : Bir nesnenin yo¼gunlu¼gu sabit ise x ve y için verilen formüllerdepay ve paydadaki sabit yo¼gunluk sadelesir, böylece x ve y deki � yerine 1 al¬narak eldeedilen kütle merkezlerine a¼g¬rl¬k merkezi denir.

7.4.3 Örnek: Birinci çeyrekte, y = x2 parabolü ve y = x do¼grusunun s¬n¬rlad¬¼g¬bölgeyeyerlestirilmis homojen (sabit yo¼gunluklu) levhan¬n a¼g¬rl¬k merkezini bulunuz.


Çözüm:

m =1R0

xRx21dydx =

1R0

[y]y=xy=x2 dx =

1R0

�x� x2

�dx =

�x2

2� x

3

3

�10

=1

6;

Mx =1R0

xRx2ydydx =

1R0

�y2

2

�y=xy=x2

dx =1R0

�x2

2� x

4

2

�dx =

�x3

6� x

5

10

�10

=1

15;

My =1R0

xRx2xdydx =

1R0

[xy]y=xy=x2 dx =

1R0

�x2 � x3

�dx =

�x3

3� x

4

4

�10

=1

12

olarak m; Mx ve My bulunur. Buradan

x =My

m=

11216

=1

2; y =

Mx

m=

11516

=2

5

dir; yani (x; y) =�12 ;

25

�elde ederiz.

7.15 Sekil

Uyar¬: Bilindi¼gi gibi homojen cisim için yo¼gunluk sabit oldu¼gundan m = Alan yanim = A al¬rsak, a¼g¬rl¬k merkezi için formüller:

x =1

A

ZZD

xdA; y =1

A

ZZD

ydA

ile verilir.

7.4.4 Örnek: y2 = �2x + 4; y2 = 4x + 4 parabolleri ve y = 0 do¼grusu taraf¬ndans¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬n a¼g¬rl¬k merkezini bulunuz.


Çözüm: Önce bölgenin alan¬n¬hesaplayal¬m.

7.16 Sekil

A =

2Z�2

12 (4�y

2)Z14 (y

2�4)

dxdy = 2

2Z0

12 (4�y

2)Z14 (y

2�4)

dxdy =1

2

2Z0

��3y2 + 12

�dy = 8br2

elde ederiz. Buradan,

x =1

A

ZZD

xdxdy =1

8

2Z�2

12 (4�y

2)Z14 (y

2�4)

xdxdy =1

8

2Z�2

�x2

2

� 12 (4�y

2)

14 (y

2�4)dy

=1

16

2Z�2

�3

16y4 � 3

2y2 + 3

�dy =

2

5

Bölge simetrik oldu¼gundan y = 0 d¬r. Böylece (x; y) =�25 ; 0�bulunur.


7.4 Problemler

1. Köseleri (0; 0) ; (0; 1) ve (1; 0) noktas¬na yerlestirilen üçgensel bir levhan¬n yo¼gunlu¼gu� (x; y) = xy dir. Bu bölgenin kütle merkezini bulunuz.

2. x = 1 do¼grusu, y =px e¼grisi ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin

yo¼gunlu¼gu � (x; y) = x+ y dir. Bu cismin kütle merkezini bulunuz.

3. y = sinx; y = 0; x = 0 ve x = � ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin yo¼gunlu¼guher noktada, o noktan¬n x-eksenine olan uzakl¬¼g¬na esittir. Bu cismin kütle merkezinibulunuz.

4. Birinci bölgede x2+ y2 = a2 çemberi ve koordinat eksenleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestir-ilen bir cismin yo¼gunlu¼gu � (x; y) = xy dir. Bu cismin kütle merkezini bulunuz.

5. x2+y2 = 1 çemberinin alt yar¬s¬yla ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cisminyo¼gunlu¼gu � (x; y) = x2 + y2 dir. Bu cismin kütle merkezini bulunuz.

6. y = x; x = 1 do¼grular¬ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬nkütle merkezini bulunuz.

7. y = x2; x = 1 ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬ bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬n kütlemerkezini bulunuz.

8. x = 3y2�6y ve x = 2y�y2 parabolleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬nkütle merkezini bulunuz.

9. x2+ y2 = a2 ve x2+ y2 = b2 (a < b) çemberleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen homojenlevhan¬n kütle merkezini bulunuz.


7.5 Eylemsizlik MomentiFizikten bildi¼gimiz gibi kinetik enerji (KE) ; m kütleli bir parçac¬¼g¬n, v h¬z¬ile bir do¼gruüzerindeki hareketinde

KE =1

2mv2 (1)

Seklinde tan¬mlan¬r. Bir do¼gru üzerinde hareket yerine parçac¬k bir eksen etraf¬nda !aç¬sal h¬z¬ile hareket ederse bunun do¼grusal h¬z¬v = r! olur. Böylece

KE =1

2m (r!)

2=1

2

�r2m

�!2

dir. Bu formüldeki r2m; bu parçac¬¼g¬n eylemsizlik (atalet) momenti olarak adland¬r¬l¬r veI ile gösterilir. Buna göre kinetik enerji

KE =1

2I!2 (2)

olur. (1) ve (2) formüllerinden, dairesel harekette ki bir kimsenin eylemsizlik momentido¼grusal harekette ki bir kimsenin kütlesine benzer bir rol oynar.

7.17 Sekil

Düzlemde m1;m2; :::;mn kütleli n parçac¬¼g¬n L do¼grusundan r1; r2; :::; rn uzakl¬kta yeralmas¬yla olusan sistemde L ye göre eylemsizlik momenti,

I = m1r21 +m2r

22 + :::+mnr

2n =

nXk=1

mkr2k

ile verilir. Di¼ger bir deyisle her bir kütlenin eylemsizlik momentlerinin toplam¬d¬r. Simdixy-düzleminde D bölgesine yerlestirilmis � (x; y) yo¼gunluklu levhay¬gözönüne alal¬m. ·Il-gili toplamlar¬n limitleri al¬narak eylemsizlik momenti için asa¼g¬daki formüller elde edilir.S¬ras¬yla x-eksenine göre, y-eksenine göre ve orijine göre (bazen z-eksenine göre olarak da


adland¬r¬l¬r) eylemsizlik momentleri:

Ix =

ZZD

y2� (x; y) dA; Iy =

ZZD

x2� (x; y) dA;

Io = Iz =

ZZD

�x2 + y2

�� (x; y) dA = Ix + Iy

dir.

7.5.1 Örnek: Örnek 7.4.1 deki levhan¬n x; y ve or·Ijine göre eylemsizlik momentlerinibulunuz.

Çözüm:

Ix =1R0

2xR0

y2� (x; y) dydx =1R0

2xR0

�6xy2 + 6y3 + 6y2

�dydx

=1R0

�2xy3 +

3

2y4 + 2y3

�y=2xy=0

dx =1R0

�40x4 + 16x3

�dx

=�8x5 + 4x4

�10= 12:

Benzer sekilde y-eksenine göre

Iy =1R0

2xR0

x2� (x; y) dydx =39

5

elde ederiz. Ix ve Iy bilindi¼gine göre or·Ijine göre eylemsizlik momenti Io = Ix + Iydenkleminden

Io = 12 +39

5=99

5

olarak bulunur.

Uyar¬: � (x; y) yo¼gunluklu bir levhaD bölgesinde ise, bölge içinde olmayan bir l do¼grusunaolan uzakl¬k d (x; y) ise bu l do¼grusuna göre eylemsizlik momenti

Il =

ZZD

� (x; y) d2 (x; y) dA

dir

7.5.2 Örnek: y2 = 4x parabolü ile x = 4 do¼grusu taraf¬ndan s¬n¬rlanan homojen levhan¬n


y = �4 do¼grusuna göre eylemsizlik momentini hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Levha üzerinden al¬nan bir B (x; y) noktas¬n¬n y = �4 do¼grusuna göre uzakl¬¼g¬d = y + 4 ile verilir. Do¼gru denklemi 0x+ y + 4 = 0 oldu¼gundan

d (x; y) =jax+ by + cjp

a2 + b2=

jy + 4jp02 + 12

= jy + 4j

ile verilir.

7.18 Sekil

Dolay¬s¬yla

I =

y=4Zy=�4

x=4Zx= y2

4

(y + 4)2dxdy =

y=4Zy=�4

(y + 4)2

�4� y

2

4

�dy =

y=4Zy=�4

��y

2

4� 2y3 + 32y + 64

�dy = 45

2

5

dir..


7.5 Problemler

1. �a=2 � x � a=2 ve �b=2 � y � b=2 esitlikleri ile belirlenen levhan¬n Iz momentinibulunuz.

2. x2 + (y �R)2 � R2 ile verilen dairesel levhan¬n Iz momentini bulunuz.

3. 0 � y � 2 � 2x ve x � 0 esitlikleri ile belirlenen üçgensel levhan¬n Iy momentinibulunuz.

4. y = x2 ; y = 2 ve x = 2 do¼grular¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen

bir levhan¬n x-eksenine göre eylemsizlik momentini bulunuz.

5. y + 2 = 2; y = 2 ve x = 2 do¼grular¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan üçgenin x-eksenine göreeylemsizlik momentini bulunuz.

6. y2 = ax parabolü ve x = a do¼grusu taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojenbir levhan¬n 0 (0; 0) noktas¬na göre eylemsizlik momentini bulunuz.

7. x = y2 ve x = 2y � y2 parabolleri taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen ve her(x; y) noktas¬ndaki yo¼gunlu¼gu � (x; y) = y+1 olan bir levhan¬n x-eksenine göre eylemsizlikmomentini bulunuz.

8. R yar¬çapl¬daire seklindeki bir levhan¬n daire merkezine göre eylemsizlik momentinibulunuz.

9. r2 = a2 cos 2� e¼grisi taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬n kutupnoktas¬na göre eylemsizlik momentini bulunuz.


7.6 ·Iki Katl¬·Integraller ·Için Ortalama De¼ger Teoremi

xy düzleminde kapal¬ve s¬n¬rl¬bir D bölgesi üzerindeZZD

dA pozitif bir alana sahip ve

f (x; y) fonksiyonu D üzerinde sürekli olsun. Bu durumda f in bu bölgede (x1; y1) ve(x2; y2) noktalar¬nda minimum ve maksimum de¼gerleri vard¬r. Yani her (x; y) 2 D için

f (x1; y1) � f (x; y) � f (x2; y2)

dir.

A =

ZZD

dA

ile gösterirsek ve D üzerindeki bu esitsizlik integre edilirse,

f (x1; y1)A =

ZZD

f (x1; y1) dA �ZZD

f (x; y) dA �ZZD

f (x2; y2) dA = f (x2; y2)A

elde ederiz. Böylece,

f =1

A

ZZD

f (x; y) dA

de¼geri D üzerinde f in maksimum ve minimum de¼gerleri aras¬nda olur, yani

f (x1; y1) � f � f (x2; y2)

dir.

Düzlemdeki D bölgesi ba¼glant¬l¬d¬r, yani herhangi iki noktas¬n¬x = x (t) ve y = y (t)(0 � t � 1) sürekli parametrik e¼grileri ile D de birlestirebiliriz. Simdi asa¼g¬daki teoremiverelim.

7.6.1 Teorem (·Iki Katl¬ ·Integraller ·Için Ortalama De¼ger Teoremi): xy düzle-minde kapal¬, s¬n¬rl¬ve ba¼glant¬l¬D bölgesi üzerinde f (x; y) fonksiyonu sürekli iseZZ

D

f (x; y) dA = f (x0; y0)� (D bölgesinin alan¬)

olacak sekilde D bölgesinde en az bir (x0; y0) 2 D noktas¬vard¬r.

Bu ifade tek de¼giskenli fonksiyonlar için ortalama de¼ger teoremine oldukça benzerdir. Tekde¼giskenli fonksiyonlardaki [a; b] aral¬¼g¬yerine xy düzlemindeki D bölgesi gelmistir.

Teoremden de kolayca görülece¼gi gibi D kümesi üzerinde integrallenebilir bir f (x; y)fonksiyonunun ortalama de¼geri

f =1

D nin alan¬

ZZD

f (x; y) dA


dir. D üzerinde f (x; y) � 0 ise z = f (x; y) yüzeyinin alt¬nda ve D üzerinde uzanan kat¬cisim için hacim D taban¬n¬n alan¬ile, f sabit yüksekli¼ginin çarp¬m¬na esittir.

Ço¼gunlukla bu ifade D üzerinde f (x; y) fonksiyonunun iki katl¬ integralinin ortalamade¼geri olarak ifade edilir.

7.6.2 Örnek: (0; 0) ; (1; 0) ve (1; 1) noktalar¬n¬birlestiren T üçgeni üzerinde f (x; y) =x2 + y2 fonksiyonunun T bölgesi üzerindeki noktalarda yaklas¬k ortalamas¬n¬bulunuz.

Çözüm:

.18 Sekil

T nin alan¬= 12

f =112

x=1Zx=0

y=xZy=0

�x2 + y2

�dydx = 2

x=1Zx=0

�x2y +

y3

3

�y=xy=0

dx

= 2

x=1Zx=0

�x3 +

x3

3

�dx = 2

�x4

3

�x=1x=0

=2

3

olarak bulunur.


7.6 Problemler

1. f (x; y) = sin (x+ y) fonksiyonunun B = f(x; y) : 0 � x � �; 0 � y � �g bölgesi üz-erindeki ortalama de¼gerini hesaplay¬n¬z.

2. x2+ y2 � a2; x � 0 ve y � 0 çeyrek dilimindeki noktalardan x+ y = 0 do¼grusuna olanortalama uzakl¬¼g¬bulunuz.

3. Asa¼g¬daki fonksiyonlar ve bunlar¬n tan¬mlad¬¼g¬bölgeler üzerinden ortalama de¼gerlerinibulunuz.(a) x2; D = f(x; y) j a � x � b; c � y � dg

(b) x2 + y2; D = f(x; y) j 0 � x � a; 0 � y � a� xg

(c)1

x; D =

�(x; y) j 0 � x � 1; x2 � y �

px

(d) xy; D = f(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � xg

7.7 Yüzey Alan¬Hesab¬

7.8 Dönel Cismin Hacmi


8 Kutupsal Koordinatlarda ·Iki Katl¬·IntegrallerBazen kutupsal koordinatlarda integral hesaplamak çok daha kolay olabilir. Bu k¬s¬mdakutupsal denklemlerde verilen bölgelerin üzerinde iki katl¬integral hesaplamalar¬n¬n nas¬lyap¬laca¼g¬n¬verece¼giz.

8.1 Kutupsal Koordinatlarda ·Iki Katl¬·Integral Hesab¬

xy-düzleminde D bölgesi üzerinde bir fonksiyonun iki katl¬ integralini tan¬mlayaca¼g¬z.Bilindi¼gi gibi dik koordinat sisteminde x ve y eksenlerine paraleller çizerek bölgeyi do¼galbir sekilde bölerek iki katl¬ integral hesaplam¬st¬k. Simdi kutupsal koordinatlar¬n temelde¼giskenleri r ve � ya ba¼gl¬olarak bölgeyi do¼gal olarak bölece¼giz.

Kabul edelim ki f (r; �) fonksiyonu D bölgesinde � = � ve � = � ¬s¬nlar¬ile r = g1 (�) ver = g2 (�) sürekli e¼grileri aras¬nda tan¬mlanm¬s olsun. Böylece bölgeyi

D = f(r; �) : � � � � �; g1 (�) � r � g2 (�)g

ile belirleyebiliriz. Q bölgesi ise 0 � r � a ve � � � � � aras¬ndaki bölge olsun. Bunagöre asa¼g¬daki sekli çizebiliriz.

8.1 Sekil

Q bölgesi ¬s¬nlar ve dairesel yaylarla bölünsün. Dairesel yaylar O merkezli ve �r =am olmak üzere �r; 2�r; :::;m�r yar¬çapl¬ yaylard¬r. Is¬nlar ise �� = (��)

m0 olmaküzere � = �; � = � + ��; � = � + 2��; :::; � = � + m0�� = � d¬r. Q bölgesinin buparçalan¬s¬ndaki her bir parça kutupsal dikdörtgen olarak adland¬r¬l¬r. Bu bölge içindekiD bölgesi içindeki kutupsal dikdörtgenlerin alan¬�A1; �A2; :::;�An olsun. Bunlar¬nmerkezlerini de (rk; �k) olarak adland¬ral¬m. Bu nokta, �Ak bölgesinin ortas¬ndan geçen¬s¬n¬n ortas¬ndaki noktad¬r. Bu durumda toplam form:

Sn =nXk=1

f (rk; �k)�Ak (1)


ile verilir. f , D bölgesi üzerinde sürekli ise �r ve �� s¬f¬ra giderken bu parçalanm¬sbölgeleri küçülterek limit al¬rsak bu toplam D bölgesi üzerinden f fonksiyonunun iki katl¬integralini verir:

limn!1

Sn =

ZZD

f (r; �) dA

ile gösterilir. Simdi Sn deki �Ak n¬n nas¬l hesaplanaca¼g¬n¬arast¬raca¼g¬z.

8.2 Sekil

�Ak n¬n iç yay s¬n¬r¬�rk � �r

2

�; d¬s yay s¬n¬r¬ ise

�rk +

�r2

�dir. Dolay¬s¬yla �Ak n¬n

alan¬n¬büyük parçadan küçük parçay¬ç¬kartarak bulabiliriz. Buna göre,

Büyük parça : 12

�rk +

�r

2

�2��

Küçük parça : 12

�rk �

�r

2

�2��

Büyük parça-Küçük parça : �Ak

olmak üzere;

�Ak =��

2

(�rk +

�r

2

�2��rk �

�r

2

�2)

=��

2(2rk�r) = rk�r��

elde ederiz. Denklem (1) de bu sonucu yerine koyarsak,

Sn =nXk=1

f (rk; �k) rk�r��


elde ederiz. Fubini teoremini de kullanarak,

ZZD

f (r; �) dA =

�=�Z�=�

r=g2(�)Zr=g1(�)

f (rk; �k) rdrd�

buluruz.

Dik koordinatlarda integrallerde kullan¬lan yöntemler kutupsal koordinatlarda da kul-lan¬l¬r.

8.1.1 Kutupsal Koordinatlarda ·Integral Almada ·Islem Ad¬mlar¬ZZD

f (r; �) dA integralinin D bölgesi üzerinden kutupsal koordinatlarda ad¬m ad¬m nas¬l

hesaplanaca¼g¬n¬bir örnek üzerinde görelim.1. Bölge çizilir ve s¬n¬rlar¬belirlenir.

8.3 Sekil

2. L ¬s¬n¬bölgeye y =p2 veya y = r sin � =

p2 ise, r =

p2 csc � do¼grusundan girer;

r = 2 yay¬ndan ç¬kar. D bölgesini belirlemek için � aç¬s¬L ¬s¬n¬n¬n x-ekseniyle yapt¬¼g¬aç¬ile belirlenir.

8.4 Sekil


3. ·Integralin � s¬n¬rlar¬n¬bulmak için bölgenin hangi � de¼gerleri aras¬nda çizildi¼gini be-lirlemeliyiz. Burada

y = x) r sin � = r cos �

olmas¬nedeniyle birinci bölgede sin ve cos de¼gerleri birbirine esit olan � de¼geri �4 oldu¼gun-dan � = �

4 olmal¬d¬r.

8.5 Sekil

4. Bu sonuçlara göre

ZZD

f (r; �) dA =

�=�2Z

�=�4

r=2Zr=p2 csc �

f (r; �) rdrd�

elde edilir.

8.1.2 Örnek: r = 1+cos � kardiodinin içinde r = 1 çemberinin d¬s¬ndaki bölge üzerindenf (r; �) fonksiyonunun integralini hesaplay¬n¬z.


Çözüm:

�2Z��

2

1+cos �Z1

f (r; �) rdrd�

8.6 Sekil

8.2 Kutupsal Koordinatlarda ·Iki Katl¬·Integral Uygula-malar¬Bu k¬s¬mda önce kutupsal koordinatlarda alan formüllerini vererek, di¼ger uygulamalariçnde örnekler verece¼giz.

8.2.1 Kutupsal Koordinatlarda Alan

Kutupsal koordinat düzleminde D s¬n¬rl¬ve kapal¬bölgesinin alan¬

A =

ZZD

rdrd�

ile verilir.

8.2.2 Örnek: r2 = 4 cos 2� lemniskat e¼grisinin s¬n¬rlad¬¼g¬bölgenin alan¬n¬bulunuz.


Çözüm:

8.6 Sekil

Dört bölge ayn¬oldu¼gundan

A = 4

�4Z0

p4 cos 2�Z0

rdrd� = 4

�4Z0

�r2

2

�r=p4 cos 2�r=0

d�

= 4

�4Z0

2 cos 2�d� = 4 sin 2�]�40 = 4

bulunur.

8.2.3 Dik Koordinat Sistemindeki ·Integralden Kutupsal Koordinatlara Geçmek

Bunun için islem ad¬mlar¬n¬s¬ras¬ile verelim:(1) x = r cos �; y = r sin � ve dxdy yerine rdrd� yaz¬l¬r.(2) D bölgesinin s¬n¬rlar¬kutupsal s¬n¬rlara dönüstürülür.

ZZD

f (x; y) dxdy =

ZZG

f (r cos �; r sin �) rdrd�

Burada G; kutupsal koordinatlarda integral bölgesini göstermektedir. Burada aç¬kçagörülece¼gi gibi dxdy sadece drd� ile yer de¼gistirmez; rdrd� ile yer de¼gistirir. Bununnedenini konunun bas¬nda aç¬klam¬st¬k.

8.2.4 Örnek: Birinci çeyrekte, x2 + y2 = 1 çemberinin s¬n¬rlad¬¼g¬plakan¬n yo¼gunlu¼gu� (x; y) = 1 ise bu plakan¬n orjine göre eylemsizlik momentini bulunuz.


Çözüm:

8.7 Sekil

Kartezyen koordinatlarda integralin de¼geri

1Z0

p1�x2Z0

�x2 + y2

�dydx

dir. y ye göre integral al¬rsak

1Z0

0@x2p1� x2 + �1� x2� 323

1A dxelde ederiz. Bu integral görüldü¼gü gibi biraz karmas¬kt¬r. Bu integrali kutupsal koordi-natlarda çözmek daha kolay olabilir.x = r cos �; y = r sin � ve dxdy yerine rdrd� koyarsak

1Z0

p1�x2Z0

�x2 + y2

�dydx =

�2Z0

1Z0

�r2�rdrd�

=

�2Z0

�r4

4

�r=1r=0

d� =

�2Z0

1

4d� =

�

8

bulunur. Baz¬ integrallerin hesab¬nda kutupsal koordinatlar¬kullanmak oldukça önemlikolayl¬k sa¼glar.

8.2.5 Örnek: D =�(x; y) : x ekseni ve 0 � y �

p1� x2

olmak üzereZZ

D

ex2+y2dydx



Çözüm:

8.8 Sekil

ZZD

ex2+y2dydx =

�Z0

1Z0

er2

rdrd� =

�Z0

�1

2er

2

�10

d�

=

�Z0

1

2(e� 1) d� = �

2(e� 1)

bulunur.

8.2.5 Örnek: Üstten z = 4 � x2 � y2 paraboloidi, alttan z = 0 düzlemi taraf¬ndans¬n¬rlanan bölgenin hacmini bulunuz.

Çözüm: Paraboloidin z = 0 düzlemi ile arakesiti

0 = 4� x2 � y2 ) x2 + y2 = 4

çemberidir. Buradan D integrasyon bölgesi bu çemberin iç bölgedir.

21

01

2

21

01

2

4

2

0

2

4

xy

z

xy

z

8.9 Sekil : z = 4� x2 � y2 yüzeyi ve z = 0 düzlemi

Hacim

V =

ZZD

zdxdy =

2Z�2

p4�x2Z

�p4�x2

�4� x2 � y2

�dydx


olacakt¬r. Kutupsal koordinatlara geçersek, x2 + y2 = 4 çemberinin kutupsal koordinat-lardaki gösterimi r = 2 olaca¼g¬ndan 0 � r � 2 aras¬nda 0 � � � 2� garas¬ndaki bölgeyitarar. Buna göre

V =

2�Z0

r=2Zr=0

�4� r2

�rdrd� =

2�Z0

2r2 � 1424��r=2r=0

d�

=

2�Z0

(8� 4) d� = 4 � 2� = 8�br3

elde edilir.


8.2 Problemler

1. Birinci bölgede, r = 2 çemberinin d¬s¬nda ve r = 2 (1 + cos �) kardiyoidinin içinde

bölge R ile gösterilmek üzere,ZZR

sin �d� integralini hesaplay¬n¬z.

2. r = 3 sin � e¼grisinin yapraklar¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgenin toplam alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

3.

1Z�1

p1�x2Z0

�x2 + y2

�3=2dydx integralini kutupsal koordinatlar yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

4. r = a (1 + cos �) e¼grisi taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬na¼g¬rl¬k merkezini bulunuz.

5. r = a çemberi, � = �� ve � = � do¼grular¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilenhomojen levhan¬n a¼g¬rl¬k merkezini bulunuz.

Çok katli integral

Documents