cm3 - transformée de fourier
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Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 96
Novembre 2011.
Traitement Numérique du SignalCM3 : Transformée de Fourier
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII
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Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 96
PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNATF, compression, codage
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Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 96
Conversion Analogique-Numérique
Représentation d'un signal
Séries de Fourier
Transformée de Fourier
Temps-fréquence
Exemples
Transformée en Cosinus Discret
Plan
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Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 96
1. Représentation d’un signal
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Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 96
Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)
t
s(t)
0
00
1T
f=
Traitement du Signal
f
|S(f)|
0
00
1f
T=
( )0( ) sin 2s t A f tπ= ( )0( )S f f fδ= −Signal sinusoïdal : Signal Dirac: "Pic" à f = f0TF
TFI
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Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 96
2. Composantes d'un signal
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0 20 40 60 80 100-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 1000
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +
0T
Traitement du Signal
0f
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
Composante continue :
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0a
1a
Composante continue
Composante fondamentale
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0 20 40 60 80 100-8
-6
-4
-2
0
2
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 1000
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +
0T
Traitement du Signal
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0f
0a
1a
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
Composante continue :
Composante continue
Composante fondamentale
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0 20 40 60 80 100-8
-6
-4
-2
0
2
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 1000
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )0 1 0( ) cos 2s t a a f tπ= +
0T
Traitement du Signal
Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0f
( )0 1 0( ) sin 2 / 2s t a a f tπ π= + +
Phase
0a
1a
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
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3. Notion de phase
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Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 96
t
a
( )0 0sin 2a a f tπ=
t
a
( )0 0sin 2 ( )pa a f tπ τ= −
τ0
( )0 0sin 2pa a f tπ ϕ= −
Temps τ
de propagation
Déphasage temporel :
0
22 f
T
πϕ π τ τ ωτ= = =
00
1T
f=
Déphasage
Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
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Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 96
Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 20 40 60 80 100-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
0 50 100 1500
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2
s t a a f t
a f t
ππ
= +
+( ) ( )
( )0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
Déphasage
![Page 13: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/13.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 96
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 50 100 1500
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2 / 2
s t a a f t
a f t
ππ π
= +
+ +( ) ( )
( )0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Déphasage
![Page 14: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/14.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 96
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 50 100 1500
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2
s t a a f t
a f t
ππ π
= +
+ +( ) ( )
( )0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Déphasage
![Page 15: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/15.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 96
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 50 100 1500
1
2
3
4
5
f (Hz)|x
(f)|
( )( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2 3 / 2
s t a a f t
a f t
ππ π
= +
+ +( ) ( )
( )0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Déphasage
![Page 16: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/16.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 96
4. Séries de Fourier
![Page 17: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/17.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 96
Décomposition en séries de Fourier :
( ) ( )( )00 0
1
( ) cos 2 sin 22 n n
n
as t a nf t b nf tπ π
+∞
=
= + +∑
( )
( )
0
0
1/
0 0
0
1/
0 0
0
2 ( )cos 2
2 ( )sin 2
f
n
f
n
a f s t nf t dt
b f s t nf t dt
π
π
=
=
∫
∫
Coefficients de Fourier :
Décomposition en séries de Fourier
Autre notation :
( )0
( ) sin 2n
n n nn
s t c f tπ ϕ→+∞
=
= −∑
( )0
( ) sin 2 ( )N
n n n bruitn
s t c f t s tπ ϕ=
= − +∑
( )0
( ) sin 2N
n n nn
s t c nf tπ ϕ=
= −∑
Signal utile et bruit :
Signal utile :
Le bruit est le signal "non désiré".
Le signal utile contient N composantes harmoniques "utiles".
![Page 18: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/18.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 96
Signal carré :
Signal triangle :
Signal dent de scie :
Signal |Sinus| :
( )01
4 1( ) sin 2 (2 1)
2 1n
s t n f tn
ππ
+∞
=
= −−∑
( )( )022
1
8 1( ) sin 2 (2 1)
2 1n
s t n f tn
ππ
+∞
=
= −−
∑
( ) ( )1
01
12( ) sin 2
k
n
s t nf tn
ππ
++∞
=
−= ∑
( ) ( ) ( )01
2 4 1( ) sin 2 2
2 1 2 1n
s t nf tn n
ππ π
+∞
=
= −− +∑
Décomposition en séries de Fourier
![Page 19: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/19.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 96
( ) ( ) ( )0 0 0
4 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...
3 5s t f t f t f tπ π π
π = + + + ÷
( ) ( ) ( )0 0 02 2 2
8 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...
3 5s t f t f t f tπ π π
π = + + + ÷
( ) ( ) ( )0 0 0
2 1 1( ) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 ...
2 3s t f t f t f tπ π π
π = − + − ÷
( ) ( )0 0
2 4 1 1( ) sin 2 2 sin 2 4 ...
1 3 3 5s t f t f tπ π
π π = − + + ÷× ×
Signal carré :
Signal triangle :
Signal dent de scie :
Signal |Sinus| :
Décomposition en séries de Fourier
![Page 20: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/20.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 96
Signal f = 0 f = f0 f = 2f0 f = 3f0
Sinus 0 1 0 0
Cosinus 0 1 0 0
Carré 0 4/π 0 4/(3π)
Triangle 0 8/π2 0 8/(3π)2
Dent de scie 0 2/π −1/π 2/(3π)
|Sinus| 2/π 0 −4/(3π) 0
Synthèse :
Décomposition en séries de Fourier
![Page 21: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/21.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 96
Fondamental
Signal carré :
h1 + h3
Décomposition en séries de Fourier
h1+h3+h5
h1+h3+h5+h7 h1+h3+…+h11 h1+h3+…+h15
![Page 22: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/22.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
f (kHz)
|x(f
)|
0 0.5 1 1.5 2-15
-10
-5
0
5
10
15
f (kHz)
φ (r
ad)
Décroissance des harmoniques impairs en 1/n
Décomposition en séries de Fourier
![Page 23: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/23.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f
)|
0 0.5 1 1.5 2-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ (r
ad)
Décroissance des harmoniques impairs en 1/n2
Décomposition en séries de Fourier
![Page 24: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/24.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 96
Fondamental
Signal dent de scie :
Fondamental + h2
Fondamental + h2 et h3
Fondamental + h2 à h4
Fondamental + h2 à h5
Décomposition en séries de Fourier
![Page 25: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/25.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f
)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ (r
ad)
Décroissance des harmoniques pairs et impairs en 1/n
Décomposition en séries de Fourier
![Page 26: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/26.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f
)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ (r
ad)
Décroissance des harmoniques pairs en 1/((n−1)(n+1)) ≈ 1/n2
Décomposition en séries de Fourier
![Page 27: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/27.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 96
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
Effet d’une troncature :
0 100 200 300 400 5000
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f
)|
Troncature à 90 % de l’amplitude
Décomposition en séries de Fourier
![Page 28: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/28.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 96
Effet d’une troncature :
Troncature à 75 % de l’amplitude
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
0 100 200 300 400 5000
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f
)|
Décomposition en séries de Fourier
![Page 29: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/29.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 96
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
Effet d’une troncature :
Troncature à 50 % de l’amplitude
0 100 200 300 400 5000
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f
)|
Décomposition en séries de Fourier
![Page 30: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/30.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 96
Effet d’une troncature :
Troncature à 25 % de l’amplitude
0 100 200 300 400 5000
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f
)|
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
Décomposition en séries de Fourier
![Page 31: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/31.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 96
5. Transformée de Fourier
![Page 32: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/32.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 96
Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus et de cosinus.
( )00 0
1
( ) cos( ) sin( )2 n n
n
ax t a n t b n tω ω
∞
=
= + +∑
/ 2
0
/ 2
2( ).cos( ).
T
n
T
a x t n t dtT
ω−
= ∫
/ 2
0
/ 2
2( ).sin( ).
T
n
T
b x t n t dtT
ω−
= ∫
1 (4/π)
1+ 3 (4/3π)
a0 = 0
1+ 3+5 (4/5π)
1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)
Continu / Fondamental / Harmoniques
Séries de Fourier
![Page 33: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/33.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 96
Sinusoïde
Rectangle périodique
Triangle périodique
Dent de scie
{ } { }( ) : 0,1, 2,... : 1,2,3...n nx t a n b n= = + =
Signaux périodiques
![Page 34: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/34.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 96
( ) ( ).exp( 2 ).X f x t j f t dtπ+∞
−∞
= −∫
( ) ( ).exp( 2 ).x t X f j f t dfπ+∞
−∞
= ∫
sin( / 2)( ) .
/ 2X A
ωτω τωτ
= ÷
Signal "porte"
![Page 35: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/35.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 96
Signal "porte"
![Page 36: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/36.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 96
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Am
plitu
de
Spectre
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
t (s)
Am
plitu
de
Signal temporel
Signal "porte"
( )x t
( )X f
![Page 37: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/37.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 96
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
2
t (s)
Am
plitu
de
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-30
-20
-10
0
10
f (Hz)
Éne
rgie
(dB
)
Spectre
Signal "porte"
( )x t
( )X fConservation de l’énergie
![Page 38: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/38.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 96
Signaux "classiques"
( )tδ
0cos(2 )f tπ
0sin(2 )f tπ
( )0 0
1( ) ( )
2f f f fδ δ− + +
( )0 0
1( ) ( )
2f f f f
jδ δ− − +
1
02j f te π0( )f fδ −
( )fδ1
0( )t tδ − 02j fte π−
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=
( )H t1 1
( )2 2
fj f
δπ
+
( )H t− 1 1( )
2 2f
j fδ
π− +
![Page 39: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/39.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 96
Signaux "classiques"
0sin(2 ) ( )T
f t tπ ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )2
Tf f T f f T
jπ π− − +
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=
( ) ( ) ( )sign t H t H t= − −1
j fπ
( ) tH t e α−1
2j fα π+
| |te α−2 2
2
(2 )f
αα π+
( )T
t∏ sin( ). .sinc( )
fTT T fT
fT
π ππ
= ÷
. ( ) tt H t e α−
( ) 2
1
2j fα π+
![Page 40: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/40.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 96
Signaux "classiques"
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=
( )en
t nTδ −∑ 1
ne e
nf
T Tδ
− ÷
∑
( )d
tdt
δ 2j fπ
0sin(2 ) ( ) tf t H t e απ −
( ) ( )0
2 2
0
2
2 2
f
j f f
πα π π+ +
( )TtΛ ( )
22sin( )
. . sinc( )2 2
T fT TfT
fT
π ππ
= ÷
2
0
0 0
1
2 2 ( )1
2t
t t
j f t t
t
e eσ π
πσ
−− ÷ ÷ −
2
0
0 0
1
2 2f
f f
j f te eσ π
− ÷− ÷
1
2tf
σπσ
=
( ).t
t dtδ∫ 1
2j fπ
![Page 41: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/41.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 96
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Am
pli
tud
e
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Am
pli
tud
e
Spectre
Signaux “sinus"
( )x t
( )X f
![Page 42: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/42.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 96
Signaux périodiques
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Am
plitu
de
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Am
plitu
de
Spectre
( )x t
( )X f
![Page 43: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/43.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 96
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Am
plitu
de
Signal temporel
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Am
plitu
de
Spectre
0 5 10 15 20 25 30
Signaux périodiques
( )x t
( )X f
![Page 44: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/44.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 96
6. Représentation temps-fréquence
![Page 45: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/45.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitu
de (mV)
0 5 10 15 20 25 30
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Am
plitu
de (
mV
)
Fenêtre
![Page 46: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/46.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
0 5 10 15 20 25 30
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Am
plitu
de (
mV
)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)
280 Hzcf =
22 msit =
FFT
![Page 47: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/47.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
3140 Hzcf =
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Am
plitu
de (
mV
)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.02 s (223 points at 11025 Hz)
600 msit =
FFT
![Page 48: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/48.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.02 s (223 points at 11025 Hz)
2 600 msit =1 20 msit =
2 3140 Hzcf =
1 280 Hzcf =
Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
![Page 49: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/49.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglais)
Temps-fréquence
Détection de la fréquence instantanée: Fondamental et harmoniques caractéristiques.
( ) ( ).sin(2 )i cx t A t f tπ=0
1( ) ( '). '
t
c if t f t dtt
= ∫avec
où Ai(t) est l'amplitude instantanée, fc(t) la pseudo-fréquence et fi(t) la fréquence instantanée.
Exemple: Chirp linéaire
( )1 2 1max
( )i
tf t f f f
t= + − ( )1 2 1
max
( )2c
tf t f f f
t= + −soit
2f
1f
![Page 50: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/50.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 50 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Application: Fréquence variable dans le temps (FM)
Temps-fréquence
Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.
minf
maxf
![Page 51: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/51.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 51 sur 96
Représentation temps-fréquence :
Application: Analyse de la parole
Temps-fréquence
Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.
![Page 52: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/52.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 52 sur 96
7. Illustrations temps-fréquence
![Page 53: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/53.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 53 sur 96
Décomposition
Représentation temporelle et spectrale :
Spectre avec fondamental et harmonique 2
Spectre riche avec 12 fréquences harmoniques
![Page 54: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/54.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 54 sur 96
La3 Diapason
Représentation temporelle :
0 500 1000 1500 2000 2500-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
Décroissance exponentielle
0 2 4 6 8 10-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
Pseudo période: T = 2,3 ms
T
![Page 55: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/55.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 55 sur 96
La3 Diapason
Représentation spectrale :
0 200 400 600 800 10000
0.05
0.1
0.15
0.2
f (Hz)
|x(f
)|
430 435 440 445 4500
0.05
0.1
0.15
0.2
f (Hz)
|x(f
)|
870 875 880 885 8900
0.005
0.01
0.015
0.02
f (Hz)
|x(f
)| Deux composantes "visibles":
1 440f Hz=
2 880f Hz=
Fondamental: f1 = 440 Hz
Harmonique 2: f2 = 880 Hz
Amplitudes relatives: a2 / a1 = 10
![Page 56: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/56.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 56 sur 96
La3 Diapason
Représentation spectrale :
On parle de "dynamique" d’un signal:
Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
Harmonique 3: f3 = 3×440 = 1320 Hz
Amplitudes relatives: a1 / a2 = 10 et a1 / a3 > 1000
0 1000 2000 3000 4000 5000-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f
)| (d
B) 20log
max( )dB
xx
x
= ÷ ÷
Echelle dB:
Cette échelle permet de visualiser les composantes de très grand rapport d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f3
![Page 57: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/57.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 57 sur 96
La3 Diapason
Représentation temps/fréquence :
Décroissance exponentielle en échelle linéaire:
⇔ Décroissance linéaire en échelle dB:
Harmoniques n: fn = n×440 Hz
1f
2f
3f
![Page 58: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/58.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 58 sur 96
560 562 564 566 568 570-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
La3 Piano
Représentation temporelle :
Troncature du signal Pseudo période: T = 2,3 ms
T
500 1000 1500 2000-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
![Page 59: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/59.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 59 sur 96
430 435 440 445 4500
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f (Hz)
|x(f
)|
860 870 880 890 900 9100
0.01
0.02
0.03
0.04
f (Hz)
|x(f
)|
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f (Hz)
|x(f
)|La3 Piano
Représentation spectrale :
Neuf composantes "visibles":
1 442f Hz=
2 886f Hz=
Fondamental: f1 = 442 Hz
Harmonique 2: f2 = 886 Hz
Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4
![Page 60: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/60.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 60 sur 96
0 1000 2000 3000 4000 5000-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f
)| (d
B)
La3 Piano
Représentation spectrale :
On parle de "dynamique" d’un signal:
Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
Harmonique 9: f3 = 9×442 = 3980 Hz contre 4080 Hz mesurés.
Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4 et a1 / a9 = 50
20logmax( )dB
xx
x
= ÷ ÷
Echelle dB:
Cette échelle permet de visualiser les composantes de très grand rapport d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f9
![Page 61: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/61.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 61 sur 96
La3 Piano
Représentation temps/fréquence :
Harmoniques 1 à 7:nettement visibles.
Harmoniques n: fn = n×442 Hz
1f
5f
3f
7f9f11f
Décroissance variable en amplitude, selon t et f.
![Page 62: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/62.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 62 sur 96
450 452 454 456 458 460-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (ms)
x(t)
La3 Violon
Représentation temporelle :
Augmentation de l’amplitude du signal avec le temps
Pseudo période: T = 2,3 ms
T
0 500 1000 1500 2000-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
![Page 63: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/63.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 63 sur 96
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f
)|
430 435 440 445 4500
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f
)|
860 870 880 890 900 9100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
f (Hz)
|x(f
)|
La3 Violon
Représentation spectrale :
Neuf composantes "visibles":
1 442f Hz=
2 884f Hz=
Fondamental: f1 = 442 Hz
Harmonique 2: f2 = 884 Hz
Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1
![Page 64: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/64.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 64 sur 96
0 1000 2000 3000 4000 5000-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f
)| (d
B)
La3 Violon
Représentation spectrale :
On parle de "dynamique" d’un signal:
Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
Harmonique 11: f3 = 11×442 = 4860 Hz.
Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1 et a1 / a11 = 24
20logmax( )dB
xx
x
= ÷ ÷
Echelle dB:
Cette échelle permet de visualiser les composantes de très grand rapport d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f11
![Page 65: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/65.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 65 sur 96
La3 Violon
Représentation temps/fréquence :
Harmoniques 1 à 11 nettement visibles.
Harmoniques n: fn = n×442 Hz
1f
5f
3f
7f9f11f
Décroissance variable en amplitude, selon t et f.
![Page 66: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/66.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 66 sur 96
Recomposition temporelle et spectrale :
Extrait original en bleu Les 20 pics les plus importants ont été retenus
La3 Violon
500 600 700 800 900 1000
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t (ms)
x(t)
Extrait recomposé en noir
0 1000 2000 3000 4000-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f
)| (d
B)
![Page 67: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/67.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 67 sur 96
Recomposition temporelle et spectrale :
Extrait original en bleu Les 20 pics les plus importants ont été retenus
La3 Violon
Extrait recomposé en noir
600 602 604 606 608 610-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t (ms)
x(t)
0 500 1000 1500 2000-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f
)| (d
B)
![Page 68: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/68.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 68 sur 96
Notes Violon
Représentation temps/fréquence :
Nombreux harmoniques nettement visibles.
Harmoniques n: fn = n× f0
Décroissance variable en amplitude, selon t et f.
![Page 69: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/69.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 69 sur 96
gamme.wav
Représentation temporelle et spectrale :
On distingue 8 paquets d’ondes distincts
On distingue 8 pics
0 500 1000 1500 2000-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 200 400 600 800-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f
)| (d
B)
LADO
![Page 70: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/70.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 70 sur 96
gamme.wav
Représentation temps/fréquence :
Gamme complète.
Fréquences fondamentales seulement.
Dans l’ordre des fréquences croissantes.
DO RE MI FA SOL LA SI DO
![Page 71: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/71.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 71 sur 96
SOUND1.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Rien de visible... Nombreux pics
0 1000 2000 3000 4000 5000-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 40000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f
)|
![Page 72: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/72.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 72 sur 96
SOUND1.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Le signal ne semble pas périodique Nombreux pics
0 200 400 600 8000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f
)|
1000 1050 1100 1150 1200-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
![Page 73: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/73.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 73 sur 96
SOUND1.wav
Représentation temps/fréquence :
Spectre large.
Harmoniques.
Croissance en fréquence.
![Page 74: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/74.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 74 sur 96
SOUND68.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Rien de visible... Nombreux pics
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 40000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
f (Hz)
|x(f
)|
![Page 75: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/75.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 75 sur 96
Représentation temps/fréquence :
Nombreuses fréquences.
Nombreux harmoniques.
Décroissance en fréquence.
SOUND68.wav
![Page 76: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/76.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 76 sur 96
0 100 200 300 400 500 600-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
SOUND999.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Décroissance en fréquence Décroissance exponentielle
0 1000 2000 3000 40000
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f
)|
![Page 77: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/77.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 77 sur 96
SOUND999.wav
Décroissance exponentielle
0 1000 2000 3000 40000
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f
)|
150 200 250-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
Représentation temporelle et spectrale :
Troncature du signal de 150 à 250 ms
![Page 78: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/78.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 78 sur 96
Représentation temps/fréquence :
Une fréquence fondamentale.
Harmoniques 2 et 3 visibles de 150 à 250 ms.
Décroissance exponentielle en fréquence.
SOUND999.wav
![Page 79: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/79.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 79 sur 96
LASER.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Décroissance en fréquence Spectre large
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 40000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
f (Hz)
|x(f
)|
![Page 80: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/80.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 80 sur 96
Représentation temps/fréquence :
Une fréquence fondamentale.
Décroissance exponentielle en fréquence.
LASER.wav
![Page 81: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/81.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 81 sur 96
Calcul de fréquence moyenne :
Une fréquence fondamentale.
Décroissance exponentielle en fréquence.v
LASER.wav
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
1000
2000
3000
4000
5000
f mea
n (H
z)
Time (ms)
La fréquence décroît de 4700 à 450 Hz.
![Page 82: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/82.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 82 sur 96
accel.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Croissance en fréquence Spectre large
0 200 400 600 800 1000-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.005
0.01
0.015
0.02
f (Hz)
|x(f
)|
![Page 83: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/83.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 83 sur 96
Représentation temps/fréquence :
Une fréquence fondamentale.
Croissance linéaire en fréquence, de 310 à 4200 Hz.
accel.wav
![Page 84: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/84.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 84 sur 96
Effet Doppler :
Décalage négatif lorsque la source s’approche :
accel.wav
Décalage de la fréquence d ’émission.
Décalage positif lorsque la source s’éloigne :
0v 0vθθ
0 02 cosD
air
f vf
c
θ=
0 Df f f= +
0 Df f f= −
![Page 85: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/85.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 85 sur 96
sirene.wav
Représentation temporelle et spectrale :
Rien de visible... Spectre large
0 1000 2000 3000 4000-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 200 400 600 800 10000
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f
)|
![Page 86: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/86.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 86 sur 96
Représentation temps/fréquence :
Une fréquence fondamentale.
Variation de fréquence, de 0 à 1000 Hz.
sirene.wav
![Page 87: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/87.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 87 sur 96
8. Application: DCT
![Page 88: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/88.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 88 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Coefficients réels; Regroupement de l'énergie.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
Principe: La transformée en cosinus discrète (DCT) est une
transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT). Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficients réels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentielle complexe et qui crée donc des coefficients complexes.
La DCT [directe] la plus courante est la DCT type-II. La DCT [inverse] correspondante est la DCT type-III.
Applications: La DCT est très utilisée en traitement numérique du
signal et spécialement en compression. Coefficients non nuls retenus : JPEG et MPEG.
![Page 89: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/89.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 89 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.
1 1
2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
Cm n
m nP i j C i C j p m n i j
N N Nπ π
= =
− − = − − ÷ ÷ ∑∑
1 1
2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
Ci j
m np m n C i C j P i j i j
N N Nπ π
= =
− − = − − ÷ ÷ ∑∑
2 si 1
( ) 21 si 1
kC k
k
==
>http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
DCT [directe]:
IDCT [inverse]:
Coefficients:
![Page 90: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/90.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 90 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.
1 1
2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
Cm n
m nP i j C i C j p m n i j
N N Nπ π
= =
− − = − − ÷ ÷ ∑∑
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
Application: DCT
DCT
![Page 91: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/91.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 91 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
DCT
8×8 = 64 pixels 1+4 = 5 pixels
Compression: !!! Négatif couleur !!! α = 5/64 = 7,8%.
![Page 92: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/92.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 92 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Quantification: La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appelée matrice de quantification, et qui contient les coefficients choisis pour atténuer les hautes fréquences, celles auxquelles l’œil est peu sensible.
Opération de quantification [et filtrage]:
http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG
( , )( , )
( , )C
CQFQ
P i jP i j fix
Q i j
= ÷ ÷
( , ) 1 ( 1)FQQ i j i j FQ= + + −
Facteur de qualité: FQ
Exemple: FQ = 5
5
6 11 16 21 26 31 36 41
11 16 21 26 31 36 41 46
16 21 26 31 36 41 46 51
21 26 31 36 41 46 51 56
26 31 36 41 46 51 56 61
31 36 41 46 51 56 61 66
36 41 46 51 56 61 66 71
41 46 51 56 61 66 71 76
Q
=
![Page 93: CM3 - Transformée de Fourier](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052301/559f61e11a28ab7a528b480c/html5/thumbnails/93.jpg)
Mise en œuvre du TNS Page 93 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Exemple:
Résultats:
5
6 11 16 21 26 31 36 41
11 16 21 26 31 36 41 46
16 21 26 31 36 41 46 51
21 26 31 36 41 46 51 56
26 31 36 41 46 51 56 61
31 36 41 46 51 56 61 66
36 41 46 51 56 61 66 71
41 46 51 56 61 66 71 76
Q
=
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
p
=
1020 184 0 217 0 325 0 924
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
CP
− − − − =
1020 176 0 210 0 310 0 902
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
CQ FQP Q
− − − − =
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Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Exemple:
Résultats:
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
p
=
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
QFQp
=
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
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Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Chen Le calcul de la DCT est optimisé pour le cas N = 8 (JPEG et MPEG)en réécrivant la transformée sous forme matricielle et en factorisant la décomposition, pour réduire le nombre de multiplications nécessaires.
http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG
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Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Loeffler
L'algorithme de Chen (qui calcule la DCT 1D à 8 points avec 16 multiplications) est à la base des optimisations suivantes par factorisation des sous-matrices.
L'algorithme de Loeffler est actuellement le plus efficace ayant été publié:Loeffler :11 multiplications (DCT 1D à 8 points)Chen : 16 multiplications (DCT 1D à 8 points)
Ces algorithmes se différencient seulement en termes de stabilité et de précision.
Pour une DCT 2D 8×8:Loeffler :112 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)Chen : 256 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)
Plus de détails: normes de compression JPEG et MPEG.
http://www.vtvt.ece.vt.edu/research/references_video_DCT.php