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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE CORSO DI COSTRUZIONI METALLICHE A.A. 2012 - 2013 CONCETTI DI PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO STUDENTI: Enrico Beltrami Nico Di Marco DOCENTE: Prof. Ing. Franco Bontempi ASSISTENTI: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati

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Elaborato corso di Costruzioni Metalliche

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE

CORSO DI COSTRUZIONI METALLICHE

A.A. 2012 - 2013

CONCETTI DI PROGETTAZIONE DI

STRUTTURE IN ACCIAIO

STUDENTI: Enrico Beltrami Nico Di Marco

DOCENTE: Prof. Ing. Franco Bontempi

ASSISTENTI: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati

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SOMMARIO

1) Introduzione ....................................................................................................................... 7

2) Basi di Comportamento Strutturale .................................................................................... 9

2.1) Concetti di base .............................................................................................................. 9

2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali......................................................................... 9

2.1.2) Comportamenti elementari ..................................................................................... 9

2.1.3) Percorso dei carichi ................................................................................................12

2.1.4) Conclusioni ............................................................................................................12

2.2) Performance strutturali .................................................................................................14

2.2.1) Stato Limite di Esercizio ..........................................................................................14

2.2.2) Stato Limite Ultimo ................................................................................................16

2.2.3) Comportamento ciclico ..........................................................................................18

2.3) Shear Lag .......................................................................................................................20

3) Ottimizzazione Strutturale .................................................................................................23

3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing) .............................................................................23

3.2) Ottimizzazione topologica ..............................................................................................24

3.3) Ottimizzazione morfologica ...........................................................................................25

3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS.................................................................25

4) Concezione Strutturale ......................................................................................................27

4.1) Strutture interne ............................................................................................................29

4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF) ...........................................................................29

4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF) .............................................................................31

4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF) ...............................................................................33

4.1.4) Pareti di taglio ........................................................................................................34

4.1.5) Sistema ibrido ........................................................................................................34

4.1.6) Outrigger ...............................................................................................................35

4.2) Strutture esterne ...........................................................................................................36

4.2.1) Soluzioni tubolari ...................................................................................................37

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4.2.2) Traliccio spaziale .................................................................................................... 39

4.2.3) Super telaio ........................................................................................................... 40

4.2.4) Esoscheletro .......................................................................................................... 40

5) Zone Nodali ....................................................................................................................... 41

6) Teoria della plasticità ......................................................................................................... 45

6.1) Livello di materiale ........................................................................................................ 46

6.2) Livello di sezione – elemento ......................................................................................... 52

6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa ............ 52

6.2.2) Elementi presso-inflessi ......................................................................................... 59

6.2.3) Elementi soggetti a flessione e taglio ..................................................................... 62

6.3) Livello di sistema strutturale .......................................................................................... 63

6.3.1) Iperstaticità............................................................................................................ 63

6.3.2) Distribuzione dei carichi ......................................................................................... 63

6.3.3) Distribuzione delle rigidezze ................................................................................... 64

6.3.4) Ridistribuzione delle energie immesse ................................................................... 64

6.3.5) Meccanismi di collasso locale e globale .................................................................. 66

6.4) Comportamento ciclico di una sezione inflessa .............................................................. 66

7) Analisi plastica ................................................................................................................... 69

7.1) Metodo incrementale (push-over) ................................................................................. 69

7.2) Metodo semi-analitico ................................................................................................... 72

7.3) Analisi limite .................................................................................................................. 75

7.3.1) Teorema statico ..................................................................................................... 75

7.3.2) Teorema cinematico .............................................................................................. 77

7.3.3) Teorema di unicità ................................................................................................. 78

7.3.4) Spazio delle azioni esterne ..................................................................................... 79

8) Progettazione in zona sismica ............................................................................................ 81

8.1) Metodo semplificato di progetto ................................................................................... 82

8.1.1) Fattore di struttura ................................................................................................ 82

8.1.2) Gerarchia delle resistenze ...................................................................................... 87

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Pagina | 3

9) Instabilità ..........................................................................................................................89

9.1) Trattazione ....................................................................................................................89

9.1.1) Formulazione continua ...........................................................................................90

9.1.2) Formulazione energetica ........................................................................................91

9.2) Interazione tra instabilità e plasticità .............................................................................92

10) Fatica .................................................................................................................................93

10.1) Curve di Wöhler e Metodo del serbatoio ....................................................................94

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Corso di COSTRUZIONI METALLICHE

Prof. Franco Bontempi

Studenti:

Enrico Beltrami

Nico Di Marco

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Pagina | 7

1) INTRODUZIONE

Nel presente lavoro si vogliono affrontare i concetti e alcune problematiche alla base della

progettazione delle strutture in acciaio, riportando inoltre alcuni approfondimenti su argomenti

specifici, talvolta supportati da modellazioni agli elementi finiti. Lo scopo è quello di presentare una

“guida ai concetti”, sintetica ed esaustiva.

Risulta utile far riferimento ad una mappa concettuale che presenta il flusso di lavoro da seguire

nel concepimento e nella successiva progettazione di una struttura in acciaio.

I processi di analisi e di sintesi strutturale sono due processi concettualmente distinti. Mentre

per il primo ci si affida a modelli di calcolo più o meno complessi e si segue un processo lineare,

utilizzando in ogni step successivo i dati ottenuti nello step precedente, il secondo è un processo

iterativo, nel quale entra direttamente in gioco la capacità del progettista di fornire soluzioni

adeguate alle necessità: si parla di ottimizzazione strutturale. Basandosi sulla conoscenza dei

concetti base alla base del comportamento strutturale, il progettista è in grado di prevedere diverse

tipologie di intervento.

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A monte di questo lavoro di progressiva ottimizzazione, vi è una fase di concezione strutturale,

che delinea le linee guida all’interno delle quali dovrà muoversi l’intero processo, definendo lo

schema strutturale in grado di sopportare i carichi.

Le due fasi sono comunque fortemente interconnesse, poiché in entrambi i processi si fa

riferimento alle medesime conoscenze ed agli stessi comportamenti elementari alla base del

comportamento di una struttura.

Con riferimento dal digramma di flusso precedentemente riportato, meritano un

approfondimento almeno due tra i blocchi presenti. In particolare con dati del problema strutturale

si intende l’insieme delle informazioni che concorrono nel definire il sistema strutturale e che

risultano indispensabili per affrontare la fase di calcolo.

Per quanto riguarda la modifica della soluzione di tentativo, questa si può esplicare intervenendo sul

complesso dei dati, a livello di dominio strutturale o di condizioni al contorno, ovvero sui limiti di

accettabilità; quest’ultima possibilità comporta un coinvolgimento dell’intero team di lavoro, dagli

architetti ai committenti dell’opera.

In generale, la soluzione del problema strutturale non è detto che esista e, anche quando

esistesse, non necessariamente è unica.

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2) BASI DI COMPORTAMENTO STRUTTURALE

Per affrontare qualunque attività di concezione ed ottimizzazione strutturale è necessario avere

chiari alcuni concetti, derivanti dalla conoscenza degli aspetti strutturali di base, dei comportamenti

e delle performance delle strutture. Tali conoscenze costituiscono la base comune per un corretto

sviluppo delle successive attività di progettazione, nel senso più ampio del termine.

Questo studio viene articolato in due parti, introducendo dapprima i concetti di base e trattando

in seguito le performance strutturali richieste. Si riporta inoltre un comportamento strutturale tipico

degli edifici alti, lo shear lag.

2.1) Concetti di base

Le nozioni sulle quali si vuole porre l’accento sono:

1. Semplicità ed affidabilità strutturali;

2. Comportamenti elementari;

3. Percorso dei carichi.

2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali

Il concepimento di un sistema strutturale adatto a sopportare i carichi verticali ed orizzontali non

è solitamente un’operazione semplice. Per far ciò ci si può riferire a comportamenti elementari noti e

a schemi di comprovata affidabilità, ovvero prendere spunto dalle forme naturali, evolutesi per

sostenere le medesime azioni. Si parla in quest’ultimo caso di evolutionary optimization.

In questo processo si deve comunque tenere presente che un eccessivo incremento delle parti

strutturali produce una diminuzione dell’affidabilità della struttura stessa. Si dimostra infatti che

all’aumentare del numero degli elementi strutturali, aumenta la probabilità che qualcuna di questi

collassi.

2.1.2) Comportamenti elementari

Si trattano brevemente i diversi tipi di comportamento strutturale coinvolti per resistere ad azioni

orizzontali e verticali, seguendo lo schema logico riportato nel diagramma.

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o Azioni verticali

Il sistema resistente alle azioni verticali raccoglie i carichi agenti e li trasferisce alle strutture di

fondazione. Risultano quindi coinvolti due comportamenti elementari:

Tipo di comportamento

Funzione strutturale

Distribuzione tensioni

Elementi strutturali coinvolti

Comportamento

1D 2D SLE SLU

FLESSIONALE raccolta carichi

Travi Piastre flessibile duttile

ASSIALE trasferimento sollecitazioni

Colonne Cavi o funi

Lastre rigido fragile

Per quanto riguarda il comportamento assiale è necessario distinguere le sollecitazioni di trazione

e di compressione. Nel primo caso è possibile infatti impiegare elementi strutturali quali cavi o funi,

non resistenti a compressione ma di proprietà meccaniche decisamente migliori; nel caso di aste

compresse si deve invece considerare la possibilità di fenomeni di instabilità.

Un esempio pratico permette di evidenziare un ulteriore aspetto. Consideriamo una massa,

vincolata ad un supporto rigido per mezzo di un numero variabile di bielle, sollecitate con sforzi

assiali di trazione o di compressione.

(a) Aste tese

Nel caso (a.1), l’asta, di area A, è sollecitata da uno sforzo di trazione N dovuto al peso proprio

della massa, che induce nell’elemento uno stato di sollecitazione ⁄ . È possibile disporre un

numero maggiore di elementi, in modo da aumentare la robustezza del sistema, ognuno dei quali

potrà avere un’area della sezione trasversale pari ad ⁄ , come mostrato in figura (a.2). Risulta

quindi vantaggioso suddividere la trazione in più elementi, incrementando la robustezza della

struttura.

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Pagina | 11

(b) Aste compresse

Nel caso di assenza di instabilità, le due soluzioni con aste tese o compresse, sarebbero del tutto

identiche; tuttavia quando le aste sono compresse, si deve considerare la possibilità che le aste si

instabilizzino. Consideriamo ancora i due casi, con la massa sostenuta da un unico elemento di area A

o da tre aste ognuna di area ⁄ , e calcoliamo il momento d’inerzia di ogni asta ed il relativo carico

critico. Le grandezze calcolate sono riferite al singolo elemento compresso.

carico critico euleriano

Schema Area elemento Momento d’inerzia

Carico critico euleriano

(b.1) – 1 elemento ( )

( )

[

]

(b.2) – 3 elementi ( )

(

( )

) [

]

Nel caso di compressione è quindi nocivo suddividere l’elemento in più parti, poiché elementi più

piccoli sono caratterizzati da un carico critico nettamente minore (funzione del cubo del lato). Si

cerca quindi di convogliare la compressione in pochi elementi di dimensioni maggiori.

o Azioni orizzontali

Il comportamento di una struttura sotto carichi orizzontali può essere di tipo flessionale o

tagliante. Nel primo caso il comportamento della struttura è quello di una mensola incastrata alla

base, nella quale vale la teoria di Bernoulli-Navier e si ipotizza che le sezioni ruotino restando piane.

Nel secondo caso invece non sono trascurabili gli scorrimenti dovuti al taglio (teoria della trave di

Timoshenko), le sezioni restano rettilinee, ma non più perpendicolari alla linea d’asse; il

comportamento è quello di un telaio shear-type.

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I due comportamenti presentati rappresentano le due situazioni estreme di edifici con

comportamento flessionale puro e comportamento tagliante puro. In questi casi si osserva che:

comportamento flessionale puro più flessibile in testa più rigido alla base

comportamento tagliante puro più rigido in testa più flessibile alla base

È possibile accoppiare i due comportamenti, pervenendo ad uno schema ibrido in cui si sfrutti la

rigidezza del comportamento flessionale ai piani bassi e la rigidezza del comportamento tagliante ai

piani alti. Si presenterà questa possibilità in seguito, parlando di sistemi ibridi.

2.1.3) Percorso dei carichi

Il percorso dei carichi all’interno di una struttura può essere di vario tipo, coinvolgendo diversi

elementi strutturali. Una regola generale suggerisce di limitare tale percorso, rendendo più

immediata e diretta possibile la trasmissione del carico alle strutture di fondazione.

2.1.4) Conclusioni

Quelli presentati sono i concetti fondamentali di cui tener conto nel processo di progettazione di

una struttura, in particolare di una struttura in acciaio. Tali requisiti posso tuttavia condurre ad

esigenze di progettazione tra di loro contrastanti: è quindi necessario valutare il caso in esame

pesando ogni esigenza in funzione degli scopi cui si intende pervenire. Alla pagina seguente si

propone un esempio.

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Esempio

Consideriamo due possibili schemi strutturali per sopportare i carichi verticali:

Schema (a): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi e trasferiti a terra direttamente

mediante elementi verticali compressi;

Schema (b): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi, trasferiti ad elementi verticali

tesi e, attraverso una struttura a traliccio, trasmessi ad un nucleo centrale compresso.

Analizzando il comportamento delle due strutture mediante i criteri precedentemente illustrati

possiamo delineare vantaggi e svantaggi di entrambe:

Schema Vantaggi Svantaggi

(a)

Percorso dei carichi più breve

Semplicità strutturale

affidabilità

Instabilità membrature compresse

(b)

Elementi tesi: assenza instabilità

elementi più snelli

suddivisione della sollecitazione in più parti Elementi compressi:

concentrazione compressione

Percorso dei carichi più lungo Struttura complessa

minore affidabilità Maggiore sensibilità al danneggiamento

propagazione del collasso

Si è accennato alla sensibilità al danneggiamento nelle strutture con schema di tipo (b). Ciò deriva

dal fatto che, nel caso di collasso di un elemento verticale teso, in particolare se di bordo, la parte di

struttura al di sotto di esso perde la sospensione e il collasso si propaga. Questo comportamento può

essere corretto posizionando diversi outrigger, che permettono di suddividere adeguatamente la

struttura.

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2.2) Performance strutturali

Nelle fasi di concezione e sintesi strutturale si devono considerare i requisiti che si intende

soddisfare.

Consideriamo una generica struttura soggetta ad una forza orizzontale H in sommità e misuriamo

lo spostamento in testa. Possiamo tracciare su un piano ,H una curva che rappresenti il

comportamento della struttura.

I requisiti legati al comportamento in esercizio e al comportamento ultimo dell’opera sono

differenti e saranno affrontati separatamente.

2.2.1) Stato Limite di Esercizio

Nello Stato Limite di Esercizio il requisito principale è quello di garantire una buona rigidezza della

struttura al fine di assicurare un adeguato confort agli utenti. Quest’obiettivo può essere raggiunto

controllando i diversi parametri riportati nel diagramma seguente.

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o Spostamenti: indipendentemente dalla tipologia, per ottenere una rigidezza adeguata occorre

limitare gli spostamenti;

spostamenti rigidezza

o Frequenze: la rigidezza della struttura o di una sua parte possono essere controllate

monitorando una caratteristica dinamica come la frequenza di vibrazione (o il suo inverso, il

periodo proprio di vibrazione ⁄ ); in particolare per garantire una rigidezza adeguata

occorre che la frequenza sia elevata;

frequenza rigidezza

o Tensioni: modo indiretto per assicurare una adeguata rigidezza è quello di limitare lo stato

tensionale nelle membrature e negli orizzontamenti; difatti:

tensioni deformazioni spostamenti rigidezza

Si nota come il controllo delle frequenze sia uno strumento più potente e versatile, poiché

permette di superare problemi specifici ed ambiguità che potrebbero presentarsi controllando

direttamente gli spostamenti ed è più affidabile del controllo indiretto delle tensioni. La frequenza

propria di vibrazione è determinata effettuando un’analisi modale, ovvero risolvendo un problema

agli autovalori.

Una volta individuato il parametro dimensionante nelle condizioni di esercizio, ci si pone il

problema di come raggiungere tale obiettivo. Ricordando che la rigidezza assiale è maggiore della

rigidezza flessionale, si cerca di coinvolgere elementi che siano sollecitati da azioni di compressione o

trazione introducendo elementi diagonali nei telai.

L’introduzione di elementi diagonali permette di ancorare direttamente il nodo ad un vincolo

esterno, individuando un sistema reticolare nel quale il comportamento meccanico coinvolto è di

tipo assiale (concetto di triangolazione).

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Introducendo due diagonali, si deve considerare la possibilità che quello compresso sia soggetto

ad instabilità. Se i diagonali sono dimensionati in modo da resistere anche alle sollecitazioni di

compressione si può ulteriormente ridurre lo spostamento f, realizzando una doppia triangolazione.

Maglie triangolari possono essere individuate con diverse disposizioni degli elementi diagonali.

2.2.2) Stato Limite Ultimo

Nelle condizioni ultime i requisiti da tenere in considerazione sono molteplici:

Si trascura in questa sede il primo punto.

o Instabilità

Il fenomeno dell’instabilità, per quanto riguardi condizioni ultime, è determinata da grandezze

proprie del comportamento in esercizio (rigidezza flessionale membrature) e non da caratteristiche

ultime come la resistenza del materiale.

Dalla definizione del carico critico euleriano si evince come la stabilità della struttura sia

direttamente proporzionale alla rigidezza della stessa, sia in termini di rigidezza della membratura,

sia in funzione delle condizioni di vincolo

(attraverso la lunghezza libera di inflessione).

Si conclude quindi che più la struttura è

rigida o è rigidamente vincolata, più il carico

critico è alto e la struttura è stabile.

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o Duttilità

Con il termine duttilità si indica la capacità di un corpo di deformarsi plasticamente prima di

arrivare a rottura. Le proprietà duttili del materiale possono essere studiate e definite in campo

statico o in termini ciclici; per la trattazione del comportamento ciclico si rimanda ad un successivo

paragrafo.

In campo statico, ovvero fin tanto che la forza applicata cresce in modo monotono, si possono

fornire diverse definizioni di duttilità. In particolare la si definisce in termini cinematici ed energetici

con riferimento al comportamento di un elemento teso.

(a) Considerazioni CINEMATICHE

La duttilità è definita in questo caso come il rapporto tra lo

spostamento ultimo e quello relativo alla fine del tratto elastico.

Nel caso in cui nella curva forza-spostamento non sia facilmente

individuabile la fine del ramo elastico, si procede ad

un’approssimazione della curva stessa con una bilatera.

(b) Considerazioni ENERGETICHE

Facendo riferimento a criteri energetici, si può definire la duttilità come il rapporto tra il lavoro

necessario ad arrivare fino a rottura e il lavoro elastico (ovvero l’energia elastica immagazzinata).

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La duttilità, a differenza dell’instabilità, risulta avere una correlazione negativa con la rigidezza.

Difatti più la struttura è rigida meno è duttile, ovvero il lavoro che devo spendere per portarla a

collasso è più basso.

Quindi, riassumendo:

instabilità k Pcr

duttilità k

2.2.3) Comportamento ciclico

Consideriamo ora il medesimo schema di trave appoggiata, soggetta questa volta ad una forza o

ad uno spostamento ciclici.

Il comportamento ciclico è definito da due aspetti: il profilo della risposta strutturale (skyline) e la

modalità di scarico.

o Profilo della risposta strutturale

Il profilo è ottenuto sottoponendo il sistema ad un carico monotono crescente, positivo o

negativo. Nel caso dell’acciaio si possono considerare profili di tipo elastico perfettamente plastico o

elasto-plastico incrudente. Mentre la pendenza del ramo elastico è definita dal modulo elastico E,

l’eventuale incrudimento assume valori

.

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o Modalità di scarico

Nei materiali metallici, ed in particolare per l’acciaio, si assume che il ramo che si percorre nella

fase di scarico sia caratterizzato da una pendenza pari a quella del materiale vergine (E).

Si possono individuare due modelli di comportamento:

(a) Incrudimento di tipo CINEMATICO: la distanza tra i punti di snervamento in direzioni di

carico opposte rimane costante; si segue quindi un comportamento di carico e scarico

sempre con pendenza E all’interno del range definito da . Questo modello simula con

sufficiente approssimazione il comportamento degli acciai ed in particolare coglie bene

l’effetto Bauschinger.

(b) Incrudimento di tipo ISOTROPO: modello appropriato per gli acciai ad alta resistenza,

lavorati a freddo (trafilati), prevede un incremento delle caratteristiche meccaniche del

materiale di ciclo in ciclo. Limitandoci al tratto di ciclo riportato in figura (b.1), si osserva

che lo snervamento a compressione è raggiunto per il valore di tensione massimo

raggiunto nella direzione di carico opposta. Gli acciai il cui comportamento è descritto da

questo modello generalmente sopportano un numero minore di cicli.

Per entrambi i casi perde di significato la definizione cinematica di duttilità, poiché non è possibile

individuare spostamenti ultimi, mentre resta sempre valida la definizione energetica, legata all’area

compresa nel ciclo.

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Pagina | 20

2.3) Shear Lag

Nello studio delle strutture si fa sovente riferimento a modelli semplificati per interpretare e

descrivere il comportamento strutturale, tanto a livello di elemento (locale) che a livello di struttura

(globale). Uno dei modelli più semplici e potenti è quello di considerare, in un elemento inflesso, che

una generica sezione ruoti restando piana e perpendicolare all’asse dell’elemento. Tale ipotesi può

essere applicata anche ad un’intera struttura, a patto però che tale sezione piana sia materializzata

mediante l’inserimento di outrigger, dei quali si dirà in seguito. Diversamente infatti, tale ipotesi non

risulta soddisfatta.

Consideriamo una struttura soggetta ad un’azione orizzontale che viene sopportata da più

colonne che lavorano in parallelo. Tra queste le colonne di spigolo, essendo le più rigide, assorbono

una aliquota di carico maggiore: la deformazione risulta esaltata nelle colonne di spigolo e l’ipotesi si

sezione che ruota restando piana decade. Questo fenomeno, che tiene conto della deformabilità

delle sezioni trasversali, è noto come shear lag.

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Possiamo spiegare questo comportamento con riferimento ad una trave a doppio T incastrata ad

un estremo e sollecitata con forze concentrate all’altro estremo come in figura. Si considera un

profilo sottile, per il quale la generica sezione non ruota restando piana.

Si nota come i punti in cui sono applicate le forze concentrate risentono maggiormente del carico,

mentre il punto centrale subisce uno spostamento minore: la deformazione non risulta costante sullo

spessore (in figura è rappresentata mediante una spezzata, a rigore l’andamento sarebbe continuo).

Il trasferimento del carico alle fibre interne avviene per taglio (da cui la definizione shear); tali

fibre, come detto, ne risentono con un certo ritardo (lag).

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3) OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

Il processo di progettazione di una struttura o di un oggetto è un insieme di operazioni che

collegano la fase di concezione a quella di realizzazione del prodotto. In questa fase assumo rilevanza

i processi di ottimizzazione, che consentono la ricerca della migliore configurazione, tra una serie di

configurazioni ammissibili, in funzione delle esigenze progettuali.

Si possono individuare diversi livelli di ottimizzazione, propri di diverse fasi o di diverse esigenze

progettuali. Inoltre devono essere presi in considerazione gli aspetti relativi ai costi di realizzazione,

ovvero ai profitti, che spesso possono condizionare ed indirizzare le scelte progettuali. Nella

definizione dell’obiettivo del processo di ottimizzazione di devono quindi contemplare le seguenti

proprietà strutturali:

Economicità: costo dei materiali, costo di fabbricazione, costo di manutenzione e utilizzo;

Proprietà meccaniche: globali e locali;

Esigenze estetiche.

3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing)

L’ottimizzazione dimensionale consiste nella determinazione delle sezioni ottimali delle

membrature, una volta che siano state individuate configurazione, forma, condizioni di carico e di

vincolo della struttura.

Si prenda ad esempio il dimensionamento di una delle colonne di un edificio in acciaio. L’obiettivo

è quello di realizzare un elemento in grado di assicurare una adeguata resistenza nei confronti delle

sollecitazioni cui è sottoposto, senza però porre in opera materiale in eccesso. Tale fine è raggiunto

rastremando la sezione della colonna, impiegando profili più grandi in basso, dove le sollecitazioni

sono maggiori, e profili più snelli ai piani alti, dove la colonna è meno sollecitata. Idealizzando tale

concetto si potrebbe pensare ad una colonna che assicuri in ogni sezione solamente la quantità di

materiale strettamente necessario. Tuttavia le colonne sono realizzate impiegando profili

commerciali, ed ad ogni cambiamento di sezione corrisponde la realizzazione di una unione.

Minimizzando il costo relativo al materiale si incrementa il costo relativo alla realizzazione delle

giunzioni, che presentano un onere non trascurabile. Rappresentando tali funzioni su un medesimo

piano cartesiano, si può determinare una funzione somma Costo Totale, sulla quale individuare il

punto di minimo, che consente di ottimizzare il dimensionamento.

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La struttura conserva quindi una topologia fissata, ovvero i percorsi dei carichi rimangono i

medesimi, indipendentemente dalle dimensioni degli elementi.

3.2) Ottimizzazione topologica

Per ottimizzazione topologica si intende un processo che consente, una volta definiti dominio

strutturale, condizioni di carico e condizioni di vincolo, di determinare il grado di connessione e la

configurazione strutturale. Per definire il grado di connessione (o grado di ottimizzazione topologica)

ci si riferisce al concetto di classe topologica: una classe topologica è detta n-volte connessa se si

rendono necessari n-1 tagli per continuare a collegare due punti dello stesso dominio, trasformando

un dato dominio molteplicemente connesso in un altro semplicemente connesso.

Classe topologica Dominio e tagli Grado di connessione

Dominio semplicemente

connesso

1

Dominio doppiamente

connesso

2

Dominio tre volte connesso

3

Avendo definito il grado di connessione come la capacità di unire due punti di un dominio

seguendo percorsi diversi (ovvero la possibilità di unire due punti del dominio a seguito di un certo

numero di tagli), risulta intuitivo giungere alla conclusione che l’ottimizzazione topologica, applicata

ad una struttura, modifica il percorso dei carichi. Nel processo di ottimizzazione topologica si

inseriscono e si eliminano elementi, cambiando le connessioni tra varie parti della struttura, in modo

che il carico possa fluire seguendo percorsi differenti.

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3.3) Ottimizzazione morfologica

Quest’ultimo livello di ottimizzazione riguarda la forma dell’oggetto ed è il più generale tra i livelli

di ottimizzazione finora presentati e li coinvolge entrambi. L’ottimizzazione morfologica consente

infatti di intervenire sulla disposizione degli elementi e sullo spessore degli stessi (rispettivamente

ottimozzazione topologica e sizing).

3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS

Il problema della scelta dello schema resistente i carichi è affrontato nel capitolo relativo alla

concezione strutturale; si vuole fornire in questo paragrafo un esempio di ottimizzazione del

comportamento strutturale. A tal fine in alcuni casi può risultare conveniente introdurre

sottostrutture, come nel caso degli ouriggers, ovvero lame di controvento orizzontali che ripristinano

la planarità della sezione. In questa sede si vuole presentare la ricerca della posizione ottimale di tali

sottostrutture al fine di limitare lo spostamento della struttura in sommità.

Si considera un generico edificio alto in acciaio (50 piani) e si sceglie inizialmente di posizionare un

unico outrigger. Si nota come l’effetto di questa sottostruttura dipenda dalla posizione di

inserimento dalla stessa; in particolare l’efficienza maggiore è raggiunta posizionando l’outrigger

intorno al 32° piano. Non sembra invece essere conveniente introdurre un secondo outrigger,

almeno nella configurazione presentata. Infatti, a fronte di un raddoppio dei costi, si ottiene una

modesta diminuzione dello spostamento in sommità della struttura.

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4) CONCEZIONE STRUTTURALE

Per la trattazione degli aspetti relativi alla concezione del sistema resistente i carichi si segue la

classificazione presentata nell’articolo “Structural Developments in Tall Buildings: Current Trends and

Future Prospects” (Mir M. Ali e Kyoung Sun Moon). La scelta di uno schema strutturale dipende da

molteplici fattori, dalle esigenze architettoniche e ingegneristiche a quelle economiche; si ritiene

pertanto conveniente presentare e commentare le diverse soluzioni adottabili.

A partire dalla fine del 1800 lo sviluppo economico ed industriale ha portato all’edificazione di

edifici adibiti ad uso uffici. L’impiego dell’acciaio in campo strutturale ha peraltro permesso di

realizzare edifici alti minimizzando le dimensioni delle membrature e garantendo pertanto ampi spazi

interni. Nella maggior parte delle strutture in questo periodo sono impiegati sistemi di telai rigidi con

controventature. Per assistere all’introduzione di innovazioni tecnologiche che permettano

un’ottimizzazione del materiale strutturale impiegato e il raggiungimento di altezze più elevate, si

deve aspettare la seconda metà del 1900, quando, sotto la spinta di un nuovo sviluppo economico e

tecnologico, si introducono innovazioni quali l’inserimento di sottostrutture orizzontali (outriggers),

forme tubolari resistenti ai carichi, strutture artificialmente smorzate o miste acciaio-calcestruzzo. La

maggiore conoscenza della meccanica dei materiali e del comportamento delle membrature e il

progressivo affermarsi del calcolo automatico, hanno permesso di sviluppare un approccio globale

all’analisi strutturale, con simulazioni tridimensionali piuttosto che lo studio di sistemi piani.

Negli edifici multipiano, il parametro che controlla il progetto è solitamente l’azione laterale del

vento; ciò dipende dal fatto che quando l’altezza della struttura supera i dieci piani lo spostamento

laterale diventa importante e la rigidezza, più che la resistenza, assume carattere vincolante.

L’ingegnere bengalese Fazlur Khan dimostrò che aumentare l’altezza della struttura produce un

aumento di materiale impiegato per resistere ai carichi orizzontali maggiore rispetto all’incremento

di materiale necessario per sopportare i carichi verticali. Egli chiamò la differenza tra queste due

quantità di materiale “structural height premium” ed osservò come tale scarto fosse differente per

ogni altezza prevista per l’edificio.

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Lo stesso Khan riconobbe quindi la necessità di sviluppare schemi strutturali adeguati a soddisfare

i requisiti propri di ogni range di altezza raggiunta; nel 1969 classificò quindi i sistemi strutturali di

edifici alti in funzione della loro altezza e con riferimento alla loro efficienza. Si riporta un grafico

relativo alle strutture in acciaio.

I sistemi strutturali possono essere suddivisi in base alla distribuzione dei componenti del sistema

resistente primario ai carichi orizzontali. In quest’ottica si distinguono strutture interne, nella quali la

maggior parte del sistema resistente è posizionata all’interno della struttura, e strutture esterne,

nella quali il sistema resistente è dislocato lungo il perimetro dell’edificio o addirittura all’esterno

della struttura.

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4.1) Strutture interne

4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF)

Sono i telai con comportamento flessionale, nei quali travi e colonne

sono rigidamente collegate tra di loro, in modo da ripristinare la continuità

flessionale. Difatti resistono alla azioni orizzontali principalmente mediante

la rigidezza flessionale delle membrature.

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Consideriamo una mensola, la cui deformabilità sia tutta concentrata in un concio prossimo

all’incastro, mentre il resto sia rigido. Si nota come gli spostamenti dovuti ad una deformazione

flessionale del concio si esaltino al crescere della distanza dal concio stesso. Si deduce che il

comportamento flessionale non sia particolarmente rigido.

Le membrature soggette a flessione, a fronte di una scarsa rigidezza, offrono una buona duttilità,

sia in termini monotoni che ciclici. Ciò dipende tuttavia dalle caratteristiche di duttilità della sezione

degli elementi. Possiamo classificare le sezioni delle membrature in acciaio in quattro classi, in

funzione della zona in cui queste collassano (presentando una brusca caduta di resistenza in un piano

momento-curvatura normalizzati).

Classe I duttile

Classe II duttile, impiegabile con limitazioni

Classe III non duttili

Classe IV non duttili, neanche in campo statico

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I telai con comportamento flessionale presentano quindi:

MRF

rigidezza K (SLE)

Duttilità (SLU)

4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF)

L’introduzione di controventi concentrici e nodi che non trasferiscano

momento flettente permette di realizzare strutture reticolari che resistono

ai carichi laterali principalmente attraverso la rigidezza assiale delle

membrature.

Considerando la medesima mensola soggetta ad un’azione assiale, vediamo come lo spostamento

della parte rigida sia uguale alla deformazione del concio. A parità di carico P, coinvolgendo un

comportamento assiale si ottengono spostamenti ridotti rispetto al caso flessionale;

conseguentemente la rigidezza assiale risulta essere maggiore.

Per quanto riguarda il comportamento ultimo, è necessario distinguere una sollecitazione assiale

monotona crescente da una storia di carico ciclica (propria peraltro di un elemento diagonale in un

sistema CBF). Mentre nel primo caso il materiale assicura un comportamento duttile, nel secondo si

ha un rapido deterioramento dello stesso.

Per studiare il comportamento ciclico del materiale si considera un elemento soggetto ad una

prova sperimentale a controllo di spostamenti assiali. Si riportano la storia di spostamenti imposta al

sistema e si rappresentano i valori delle forze assiali misurate. I risultati sono riportati su un piano

Forza – Spostamento.

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tratto OA Comportamento elastico lineare

A Snervamento del materiale

tratto AB Comportamento plastico perfetto: scorrimento a forza costante

B Termina la fase di carico, inizia lo scarico

tratto BC Scarico, stessa pendenza del ramo di carico, recupero la deformazione elastica

C Forza nulla, spostamento plastico residuo (allungamento)

tratto CD Compressione nell’asta, ma spostamenti ancora positivi

D Si è riportata l’asta alla sua configurazione iniziale; stato caratterizzato da tensioni di compressione non nulle per via dell’allungamento plastico subito nella fase di trazione

tratto DE Compressione, parte elastica

E Insorgono fenomeni di instabilità

tratto EF Asta instabilizzata, formazione di una cerniera plastica (kink)

F Termina la fase di compressione, si ricomincia a allungare l’asta

Tratto F

Seguo un percorso rettilineo con pendenza minore rispetto al ramo elastico iniziale, la rigidezza è minore;

Per la presenza della cerniera plastica precedentemente formatasi non si ha più una distribuzione uniforme di sforzi: anche la soglia in corrispondenza della quale entro nuovamente in campo plastico è più bassa, la resistenza è minore.

Se rappresentiamo un certo numero di cicli notiamo come

questa combinazione tra plasticità ed instabilità conduca

rapidamente ad una notevole perdita di rigidezza e resistenza

del sistema.

Quando è coinvolto Il comportamento assiale delle membrature, il sistema strutturale presenta

quindi le caratteristiche:

CBF

rigidezza K (SLE)

Duttilità (SLU)

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o Soluzioni progettuali

Possibili soluzioni progettuali per di ovviare al problema dell’instabilità dei diagonali (ovvero al degrado che

ne consegue) possono essere:

Aumento sezione dei diagonali;

Contenimento dell’instabilità.

È senz’altro possibile aumentare la dimensione dei controventi in modo che questi non si instabilizzino

affatto. Tuttavia, in questo modo tali membrature rimarrebbero in campo elastico, alterando il comportamento

della struttura in quanto provvedendo alla dissipazione di energia. Ciò si riflette inoltre in una diminuzione del

fattore di struttura e quindi in un aumento dell’azione sismica.

Viceversa, è possibile contenere l’instabilità dei diagonali all’interno di una camicia, nella quale si possano

formare tanti ondeggiamenti, cui corrisponde un incremento del carico critico euleriano. Confinando

l’instabilità si riesce ad avere un comportamento abbastanza duttile, evitando inoltre la formazione di

plasticizzazioni localizzate (kink).

4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF)

Posizionando un diagonale eccentrico che insista sul traverso e non

direttamente sul nodo, si possono cogliere i benefici di entrambi i sistemi

MRF e CBF, realizzando una struttura reticolare imperfetta, che introduca

perturbazioni flessionali che migliorano il comportamento ciclico del

telaio.

Comportamento in campo lineare (SLE) molto simile a quello

delle strutture reticolari, assicura una buona rigidezza;

Concentrazione negli elementi di tipo link del comportamento duttile sotto carico ciclico

(SLU), concentrando le plasticizzazioni e lasciando il resto della struttura in campo elastico

lineare.

In funzione dei rapporti geometrici tra altezza e lunghezza dell’elemento e degli spessori di anima

e piattabande della trave, si possono distinguere elementi caratterizzati da due diversi

comportamenti:

(a) Link flessionali o link lunghi: l’elemento è sottoposto ad un regime tensionale flessionale,

il comportamento legato al momento è preponderante;

(b) Link taglianti o link corti: elemento tozzo, il regime tensionale preponderante è quello

tagliante.

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Possiamo calibrare i momenti secondari che si sviluppano in modo da ottenere una buona

duttilità regolando l’inclinazione del diagonale, ovvero la lunghezza dell’elemento link. L’introduzione

di questo sistema consente di assorbire in modo proficuo le azioni cicliche (strutture in zona sismica)

e consente una agevole manutenzione.

EBF

rigidezza K (SLE)

Duttilità (SLU)

4.1.4) Pareti di taglio

Sono pareti in calcestruzzo armato e possono essere trattate come mensole incastrate alla base.

Nel caso in cui sia necessario conferire una rigidezza notevole si può ricorrere ad un sistema

costituito da due o più pareti accoppiate: in questo caso la rigidezza del sistema supera la rigidezza

delle singola pareti. Questi elementi strutturali sono dislocati nel nucleo centrale dell’edificio.

4.1.5) Sistema ibrido

Si può pensare ad un sistema ibrido che consenta di sfruttare i punti di forza di pareti di taglio (o

analoghi tralicci) da un lato e dei sistemi intelaiati (MRF) dall’altro. Difatti la seconda soluzione non

risulta efficiente oltre i 30 piani poiché la componente della deformazione a taglio dovuta alla

flessione di travi e colonne implica una eccessiva deformazione della struttura; viceversa le pareti a

taglio assicurano una rigidezza adeguata in questo range di altezze. Quando i due sistemi sono

collegati mediante orizzontamenti rigidi, i due componenti sono obbligati ad assumere la medesima

deformata: ne risulta che nella parte superiore il nucleo centrale è sostenuto dai telai, mentre nella

parte inferiore dell’edificio è la parete di taglio a trattenere il sistema intelaiato, come mostrato in

figura.

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4.1.6) Outrigger

Nelle strutture con sistema resistente ai carichi orizzontali localizzato nel nucleo centrale, questo

si comporta come una mensola incastrata a terra; il resto della struttura risulta trascinato dal nucleo.

Inoltre, per grandi altezze, la resistenza a flessione del nucleo risulta essere inefficiente. La soluzione

risiede nel coinvolgere anche le colonne più esterne nel sistema resistente, introducendo strutture

reticolari disposte orizzontalmente: gli outriggers.

Il comportamento di una struttura con nucleo resistente interno ed outrigger, è analogo al

sistema di albero, crocette e sartie che permettono ad una imbarcazione a vela di sopportare l’azione

del vento sulle vele.

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L’introduzione di questi elementi consente inoltre di:

Ripristinare l’ipotesi di sezione che ruota restando piana: l’intera struttura si comporta

come un’unica mensola;

Coinvolgere le colonne più esterne, che offrono un braccio maggiore nei confronti del

momento ribaltante;

Il sistema di telai perimetrali non necessita di connessioni rigide;

Evitare picchi di sollecitazione nei punti più esterni (vedi shear lag);

Pregio estetico.

4.2) Strutture esterne

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4.2.1) Soluzioni tubolari

Una soluzione tubolare sfrutta un sistema strutturale tridimensionale che impegna l’intero

perimetro dell’edificio per resistere alle azioni orizzontali. Questo tipo di schemi resistenti

permettono di sfruttare esplicitamente per la prima volta la risposta tridimensionale delle strutture.

Una scelta di questo tipo condiziona fortemente l’estetica della facciata, poiché implica il

posizionamento, a seconda della tipologia, di elementi diagonali, nodi resistenti a momento, colonne

molto vicine tra loro.

Le forme tubolari possono essere di diversi tipi in funzione dell’efficacia strutturale che possono

fornire per le diverse altezze, come rappresentato nella figura precedentemente riportata.

(a) Sistema tubolare intelaiato

Prevede il dimensionamento di telai a nodi rigidi sull’intero perimetro della struttura. Ciò

comporta un notevole vincolo architettonico sulla facciata, poiché inevitabilmente si perviene a

colonne tra loro vicine e travi alte, e l’insorgere del fenomeno dello shear lag.

(b) Sistema tubolare controventato

Per garantire una adeguata rigidezza si può far ricorso ad elementi sollecitati assialmente,

disponendo controventi diagonali. Questa soluzione porta quindi i seguenti benefici:

Irrigidimento dei telai nel loro piano;

I diagonali possono essere impiegati non solo come sistema di stabilizzazione per la azioni

orizzontali, bensì possono comportarsi anche come colonne inclinate, raccogliendo i

carichi verticali dagli orizzontamenti;

Eliminazione degli effetti del fenomeno dello shear lag;

Possibilità di spaziare maggiormente le colonne e ridurre le sezioni delle travi e delle

colonne stesse.

Si è individuata una inclinazione ottimale dei diagonali di

approssimativamente 45°.

Questa soluzione è stata sviluppata per il John Hancock

Center di Chicago dall’ingegnere Fazlur Khan, e successivamente

adottata in altre strutture. Khan dimostrò che in questo modo

era possibile raggiungere un comportamento a mensola puro

per tutta la struttura; diversamente, nel caso di un sistema

tubolare intelaiato, solo il 30% dello spostamento orizzontale

totale sarebbe stato attribuibile a questo comportamento,

mentre il restante 70% sarebbe stato dovuto ad un

comportamento a telaio. Il sistema intelaiato inoltre avrebbe

sviluppato del fenomeno dello shear lag, mentre il sistema

controventato permette di ridistribuire gli sforzi dovuti ad azioni

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verticali ed orizzontali attraverso i diagonali, consentendo

alla struttura di rispondere in modo unico.

Come accennato, i diagonali provvedono ad una

ridistribuzione dei carichi gravitazionali. Fazlur Khan

dimostrò che il sistema di controventamento del John

Hancock consente ai carichi verticali di diffondersi tra le

colonne, seguendo percorsi diversi rispetto ad un sistema

intelaiato, nel quale il percorso dei carichi verticali è

prevalentemente verticale. In figura si nota come,

caricando direttamente anche solo due delle cinque

colonne, alla base risultino tutte ugualmente sollecitate.

Si nota inoltre come questa configurazione permetta di realizzare una migliore triangolazione di

più nodi direttamente a terra, con percorsi di carico per le forze orizzontali conseguentemente più

diretti.

(c) Sistema tubolare in fascio

Sistema costituito da una serie di tubi indipendenti collegati

insieme in modo da formare una singola entità. Una sezione

pluricellulare consente una migliore distribuzione delle

rigidezze, riducendo e frazionando il fenomeno dello shear lag.

Ciò consente di:

Raggiungere altezze maggiori;

Colonne perimetrali più spaziate tra loro

consentono di disporre le linee dei telai interni (di

bordo per ogni tubo) senza compromettere

l’utilizzabilità degli spazi;

Questa soluzione consente inoltre di realizzare architetture

innovative, come nel caso della Sears Tower a Chicago.

Osservando il diagramma delle tensioni su una sezione alla

base dell’edificio riportata di lato e replicata alla pagina

seguente, si osserva come l’introduzione del fascio di tubi

consenta di avvicinare l’andamento reale delle tensioni a

quello ideale di una sezione che ruoti restando piana.

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(d) Sistema tubolare “tube in tube”

Basato sulla soluzione di un sistema tubolare intelaiato, prevede una collaborazione con il nucleo

centrale per resistere alle azioni orizzontali. Le azioni sono trasferite dal tubo esterno al nucleo

centrale mediante gli orizzontamenti. Questa soluzione consente inoltre una migliore difesa nei

confronti di attacchi terroristici alla struttura, come l’impatto di un aeromobile.

(e) Sistema tubolare “DIAGRID”

Consente di portare i carichi sia verticali che orizzontali

sfruttando una configurazione triangolare diagonale, distribuita

in modo uniforme su tutta la struttura: le colonne verticali di

facciata sono eliminate. Questa soluzione presenta un ulteriore

miglioramento rispetto all’introduzione di outrigger in quanto

consente di aumentare, oltre che la rigidezza flessionale, anche la

rigidezza a taglio. Tale obiettivo è raggiunto poiché il taglio è

portato attraverso azione assiale nei diagonali.

È la soluzione adottata nella St. Mary

Axe di Londra.

4.2.2) Traliccio spaziale

Soluzione che consiste in un sistema tubolare controventato modificato con

diagonali che connettono la facciata con l’interno della struttura. Nel caso della

Bank of China Tower di Hong Kong, questo sistema è realizzato disponendo

strutture tubolari controventate di forma triangolare, convergenti in un’unica

colonna centrale.

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4.2.3) Super telaio

Sistema composto da megacolonne costituite da telai,

eventualmente controventati, di grandi dimensioni disposti ai vertici

dell’edificio, connessi da tralicci orizzontali multipiano ogni 15-20

piani. È il caso del Parque Central Complex Towers di Caracas.

4.2.4) Esoscheletro

Il sistema resistente ai carichi

orizzontali può essere infine dislocato

fuori dal perimetro dell’edificio,

esternamente alle facciate, realizzando

particolari architetture. Ne sono esempi

l’Hotel de las Artes di Barcellona e l’O-14

building di Dubai

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5) ZONE NODALI

Quando si pensa alle zone nodali di una struttura in acciaio, si fa generalmente riferimento alle

due condizioni di vincolo di cerniera o di incastro. Tali condizioni rappresentano però situazioni

estreme, cui raramente è possibile o è lecito ricorrere: in generale tutte le condizioni di vincolo

possono essere considerate intermedie.

Rappresentiamo una trave inflessa ed evidenziamo la dipendenza dell’andamento di spostamenti

e sollecitazioni flettenti in funzione delle condizioni di vincolo.

Nel caso di cerniera ideale la trave agli estremi è libera di ruotare ed il vincolo non offre nessun

ritegno flessionale. Nel caso di trave incastrata invece la sezione terminale della trave è vincolata a

rimanere verticale; ciò incrementa notevolmente la rigidezza del sistema strutturale.

Queste condizioni, come detto, sono da considerarsi estreme. In generale ogni configurazione di

vincolo fornisce una coppia di ritegno, che modifica la distribuzione dei momenti lungo l’asse della

trave. Tale condizione può essere considerata modellando il vincolo per mezzo di una molla

rotazionale, di rigidezza opportunamente calibrata.

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Considerando un comportamento elastico lineare del

materiale, si può determinare la rigidezza della molla

rotazionale come rapporto tra il momento agente nel

nodo e la rotazione della sezione terminale.

La rigidezza k fornisce la pendenza di una retta in un piano Momento-Rotazione. È quindi possibile

posizionare su questo piano tutte le possibili configurazioni di nodi semirigidi.

In letteratura sono forniti abachi di questo tipo, che legano particolari configurazioni nodali con

valori delle rigidezze rotazionali. Tali abachi sono utilizzabili per un predimensionamento, mentre per

una determinazione accurata della rigidezza k è consigliabile effettuare modellazioni più accurate

delle regioni nodali.

Si sottolinea inoltre che gli abachi, come quello riportato di seguito, sono tracciati in funzione di

grandezze adimensionalizzate, in accordo a quanto definito nell’Eurocodice 3 parte2 [§ 5.2.2], che

normalizza la classificazione dei nodi in funzione della rigidezza.

EC3[2] – § 5.2.2.1

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rigidezza adimensionalizzata

momento adimensionalizzato

rotazione adimensionalizzata

ki rigidezza rotazionale iniziale della connessione

Mpb momento plastico della trave

Ib momento di inerzia della trave

L lunghezza della trave

Classificazione:

Cerniere perfette

Nodi semirigidi

Nodi rigidi

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6) TEORIA DELLA PLASTICITÀ

Affrontare lo studio di una struttura in campo plastico consente di introdurre nella trattazione le

non linearità che caratterizzano il comportamento strutturale. I tipi di non linearità che si possono

riscontrare sono molteplici:

Di materiale: legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico;

Di geometria: equilibrio scritto nella configurazione deformata, regime di grandi

spostamenti;

Di vincolo: vincoli non bidirezionali (monolateri);

Di forze: forze posizionali, che seguono la deformata.

In questa sede ci si sofferma sullo studio dei primi due tipi.

In termini di risoluzione del problema il considerare queste non linearità comporta:

Non validità principio di sovrapposizione degli effetti: non si ha più diretta proporzionalità

tra l’aumento dell’azione esterna e l’aumento della risposta;

Non validità del teorema di unicità della soluzione (Kirchoff);

Equazioni risolutive del problema non lineari: le matrici di rigidezza e delle forze esterne

dipendono dai gradi di libertà

( ) ( )

Affrontiamo ora lo studio della plasticità a livello di materiale, di sezione e di struttura, per poi

riportare alcuni cenni di comportamento ciclico in campo elasto-plastico.

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6.1) Livello di materiale

Per la caratterizzazione in campo plastico del materiale occorre definire la soglia a partire dalla

quale si ha tale comportamento e caratterizzare lo stato post-snervamento. Si analizza

successivamente il legame costitutivo dell’acciaio e si presentano alcuni legami semplificati.

(a) Individuazione limite plastico

In funzione del tipo di materiale strutturale impiegato il passaggio da un comportamento di tipo

elastico ad un comportamento di tipo plastico può essere più o meno definito e localizzato.

Tracciando i legami costitutivi si nota come per l’acciaio (a) il limite di plasticità sia ben definito,

mentre il calcestruzzo (b) presenta un comportamento più graduale.

In generale tuttavia gli stati di tensione non sono mai monoassiali; per definire il limite di

plasticità si fa ricorso a superfici di snervamento, definite come il luogo dei punti sul piano delle

tensioni che rappresentano stati di snervamento del materiale.

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Superfici di snervamento adottabili sono quelle fornite dai criteri di rottura di Tresca e Von Mises.

Si riportano le relazioni che definiscono tali superfici limite.

o Criterio di Tresca

{ [ ] [ ] [ ] } massima tensione tangenziale agente

massima tens.tg. ammissibile in stato monoassiale

o Criterio di Von Mises

( )

√ √( )

( ) ( )

tens.tg. media

Tutti i criteri di resistenza per i materiali duttili hanno nello spazio delle tensioni principali una

rappresentazione cilindrica con l’asse del cilindro l’asse idrostatico (uguaglianza delle tensioni

principali). La sezione del cilindro è definita dal particolare criterio considerato.

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(b) Incrudimento: comportamento post-snervamento

Il comportamento nel ramo post-snervamento è caratterizzato dall’incrudimento, ovvero dal

comportamento del materiale a livello dei cristalli che lo compongono, con conseguente variazione di

diverse proprietà fisico-meccaniche del materiale.

Nel caso dell’acciaio, l’incrudimento si caratterizza in funzione dello stato di tensione:

Stato monoassiale: pendenza del tratto post-snervamento;

Stato biassiale: isotropia e staticità.

Considerando il caso biassiale, la prima caratteristica riguarda il cambiamento di dimensioni ma non

di forma del dominio, mentre la seconda riguarda lo spostamento dei punti del dominio. Si

ottengono quindi quattro combinazioni.

ISOTROPIA incrudimento isotropo dominio cambia di dimensioni ma non di forma 1

incrudimento non isotropo dominio cambia di dimensioni e di forma 2

STATICITA’ incrudimento statico dominio non si sposta 3

incrudimento cinematico dominio si sposta 4

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(c) Legame costitutivo

Sottoponendo un provino di acciaio cilindrico di sezione A0 ad una prova di carico di trazione

monoassiale a controllo di spostamenti, si traccia la curva tensioni-deformazioni caratteristica del

materiale.

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Si possono individuare i seguenti tratti:

1. Fase elastica lineare: proporzionalità diretta tra tensioni e deformazioni;

2. Fase elastica non lineare: tratto leggermente curvo, in caso di scarico si recuperano queste

deformazioni;

3. Decadimento: decadimento verticale della tensione a deformazioni costanti fino ad un limite

di snervamento inferiore;

4. Fase di snervamento: aumento di deformazioni a tensioni costanti;

5. Hardening: aumento tensioni fino a rottura con pendenza variabile;

6. Softening (a): ramo decrescente, se

⁄ ;

7. Softening (b): ramo crescente, se ⁄ ;

8. Deformazioni residue: nel caso in cui si effettui uno scarico ed un successivo ricarico in fase

plastica, le due curve sono caratterizzate da una pendenza media pari a quella che

caratterizzava il materiale in fase elastica; al termine dello scarico il provino subisce una

deformazione residua plastica, mentre la parte elastica è recuperata.

Il legame reale, ricavato da una prova sperimentale, è evidentemente troppo complesso per

essere implementato e considerato come legame costitutivo nei calcoli strutturali; si deve pertanto

ricorrere a legami semplificati, introducendo necessarie approssimazioni. Si riporta di seguito un

elenco di possibili legami semplificati, a complessità crescente.

Legame rigido perfettamente plastico 1 o 2 parametri ( )

Legame elasto-plastico perfetto 3 parametri

Legame elasto-plastico incrudente 4 parametri

Legame elasto-plastico incrudente con tratto a deformazione libera

5 parametri

Aggiornamento modulo tangente

Sono presentati:

Forma del legame costitutivo;

Modello reologico corrispondente;

Legame in comportamento ciclico.

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Altro legame costitutivo, utilizzato prevalentemente in ambito di ricerca, è il legame Menegotto-

Pinto. Tale legame si adatta a studi del comportamento ciclico delle strutture, quindi

prevalentemente in zona sismica. È uno dei metodi più affidabili, ma i coefficienti di

adimensionalizzazione 0 ed 0 ed il parametro n devono essere calibrati con riferimento ad

evidenze sperimentali.

(

) (

)

( ) (

)

[ (

) ]

6.2) Livello di sezione – elemento

Si distingue la trattazione in funzione dello stato di sollecitazione dell’elemento; in particolare si

affronta lo studio di elementi semplicemente inflessi e di elementi presso-inflessi.

6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa

La teoria della trave si basa su tre assunzioni, riportate di seguito, che consentono di descrivere lo

stato tensionale nell’elemento in termini di caratteristiche di sollecitazione, ovvero di risultanti delle

tensioni sulla sezione.

Una dimensione predominante rispetto alle altre;

Validità del Principio di De Saint Venant: ad una certa distanza dagli estremi del solido si

può ipotizzare che la distribuzione delle forze sulle sezioni sia ininfluente, lo stato di

sollecitazione è descritto dalle risultanti;

Sezioni ruotano restando piane e perpendicolari all’asse.

Nello studio della teoria elasto-plastica della trave inflessa si considera inoltre:

Piccoli spostamenti: l’equilibrio è scritto nella configurazione indeformata;

Assenza fenomeni di instabilità;

Legame costitutivo elasto-plastico perfetto.

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Consideriamo la generica sezione di una trave inflessa, aumentiamo progressivamente la

sollecitazione e tracciamo alcuni andamenti di tensioni e deformazioni, riferiti a situazioni tipiche o

limite:

(a) Limite elastico: tutte le fibre sono in campo elastico, solo le fibre estreme hanno

raggiunto la tensione di snervamento;

My: momento di snervamento

(b) Generica situazione in campo plastico: le deformazioni sono ancora a farfalla (la sezione

ruota restando piana), mentre le tensioni non aumentano oltre la tensione di

snervamento (legame elasto-plastico perfetto);

(c) Completa plasticizzazione della sezione: tutte le fibre hanno raggiunto la tensione di

snervamento, il diagramma delle deformazioni non è tracciabile ().

Mp: momento plastico

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Come mostrato in figura, si individuano due valori tipici del momento, in corrispondenza delle

situazioni (a) e (c). E’ inoltre possibile individuare un valore ultimo del momento (Mu: momento

ultimo), corrispondente al raggiungimento della deformazione ultima nella fibra più sollecitata.

Questa situazione corrisponde al distacco di materiale per rottura delle fibre.

In funzione della duttilità del materiale si può avere .

Per descrivere il comportamento di una sezione di una trave

inflessa in campo elasto-plastico si studia un concio di trave di

lunghezza unitaria inflesso secondo un raggio di curvatura r. Lo

scopo è quello di trovare la relazione tra momento sollecitante e

curvatura in campo elastico ed in campo elasto-plastico.

Considerando la fibra baricentrica ab e la generica fibra cd, si

ricava, ricorrendo alle similitudini tra gli archi, la dipendenza della

deformazione dalla curvatura.

( ) ( ( )) ( )

Essendo la curvatura, in piccoli spostamenti, pari all’inverso del

raggio di curvatura

, è possibile ricavare:

( )

o Campo elastico per tutte le fibre

Scriviamo la relazione momento-curvatura per una trave semplicemente inflessa in campo

elastico:

{

( ) ( )

( )

{

( )

( )

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Pagina | 55

e ricaviamo la curvatura al limite elastico, corrispondente al raggiungimento della tensione di

snervamento nelle fibre più sollecitate:

{

{

{

o Campo elsto-plastico per tutte le fibre nel nucleo elastico, altrove

Concentrando l’attenzione sul nucleo elastico, ovvero nella porzione di sezione più vicina all’asse

neutro le cui fibre non hanno ancora raggiunto lo snervamento, possiamo determinare l’espressione

della curvatura al limite dello stesso:

( )

Resta quindi determinato il legame tra la curvatura in campo elasto-plastico e la curvatura al limite

elastico:

{

Si vuole ora determinare il legame momento-curvatura in campo elasto-plastico di una sezione

inflessa. Il diagramma delle tensioni precedentemente riportato può essere visto come la somma di

tre diagrammi relativi a condizioni elementari:

Considerando il contributo di ogni diagramma costituente, si può scrivere l’espressione del momento

come:

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dove We, Z, e Ze sono rispettivamente il modulo di resistenza elastico del nucleo elastico, il modulo

plastico dell’intera sezione ed il modulo plastico del nucleo elastico.

È possibile ottenere il medesimo risultato per via analitica, risolvendo l’integrale che lega la

tensione alla caratteristica di sollecitazione flessionale. Tale relazione, come mostrato, si può

scindere in due termini legati rispettivamente al contributo del nucleo elastico e delle fibre

plasticizzate.

∫ ( )

∫ ( )

Per raggiungere l’obiettivo che ci si prefigge è utile procedere in termini di grandezze

adimensionalizzate. Dividendo l’espressione del momento per il momento di snervamento si ottiene:

[

] [

] [

]

Si osserva che i moduli di resistenza We e Ze che rientrano nella formulazione finale dipendono

dall’ampiezza del nucleo elastico ye la quale, a sua volta, mediante la relazione precedentemente

ricavata, dipende dalla curvatura della sezione.

{

[

]

(

)

La funzione non esiste sempre in forma chiusa in funzione del tipo di sezione. La soluzione

esatta può essere determinata nel caso di sezione rettangolare.

SEZIONE RETTANGOLARE

modulo elastico sezione

modulo elastico nucleo elastico

modulo plastico sezione

modulo plastico nucleo elastico

Noti i moduli di resistenza, si determinano il fattore di forma e il legame momento curvatura in

forma chiusa:

[

(

)

]

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DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA

È quindi ora possibile tracciare il legame tra il momento sollecitante e la curvatura della sezione.

Tale legame è lineare in campo elastico,

mentre è quadratico in campo elasto-

plastico. L’andamento tende asintoticamente

al valore del momento plastico .

Il diagramma può essere rappresentato in forma adimensionalizzata: ciò consente di

rappresentare il comportamento in campo elasto-plastico di diverse sezioni. Si nota come, mentre il

tratto elastico sia comune, il limite massimo raggiunto sia funzione delle risorse plastiche della

sezione, proporzionali alla quantità di materiale strutturale che si trova in prossimità dell’asse

neutro.

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CERNIERA PLASTICA

Per lo studio dei sistemi di travi, ovvero il comportamento degli elementi e delle sezioni in campo

elasto-plastico, un concetto importante è quello di cerniera plastica. Si considera uno schema di

trave semplicemente appoggiata sollecitata con una forza concentrata in mezzeria.

Ipotizzando che la sollecitazione P sia tale da portare a

completa plasticizzazione la sezione di mezzeria, si può

determinare, facendo ricorso alla similitudine tra triangoli,

l’ampiezza l della zona con fibre in campo plastico.

( )

L’ampiezza ricavata, essendo funzione del fattore di forma

, risulta essere dipendente dalla forma della sezione

corrente. Per le sezioni a doppio T, caratterizzate da un

valore di basso, l’estensione della zona plasticizzata risulta essere percentualmente limitata

rispetto alla luce della trave; è quindi accettabile l’approssimazione di considerare le plasticizzazioni

concentrate in un punto.

Una volta raggiunto il momento plastico Mp in corrispondenza di una sezione, ad un ulteriore

incremento di carico non corrisponde un incremento di momento interno: lo schema, per carichi

incrementali, diventa un meccanismo. La cerniera plastica fornisce quindi momento non nullo

(M=Mp), ma momento incrementale nullo (M=0). La sezione (e il suo intorno) ha un

comportamento a cerniera solo in carico monotono, ma in scarico si comporta in modo elastico.

Facendo l’ipotesi che la plasticizzazione sia concentrabile in un punto, lo studio della capacità

portante dell’elemento può essere effettuato monitorando lo stato della cerniera su un diagramma

momento-curvatura. Al raggiungimento del momento plastico corrisponde una curvatura ultima

teoricamente infinita, che può praticamente essere considerata pari a tre o quattro volte la curvatura

di snervamento.

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6.2.2) Elementi presso-inflessi

Si vuole ora investigare come la presenza di uno sforzo assiale possa influenzare il momento

plastico. In questo caso per rappresentare il comportamento di una sezione di un elemento presso-

inflesso in campo elasto-plastico si fa ricorso a superfici di interazione, definite su un piano

momento-sforzo assiale. Le superfici di interesse sono:

Superficie limite plastica: luogo dei punti che produce la completa plasticizzazione della

sezione;

Superficie limite elastica: luogo dei punti che definisce la prima plasticizzazione di una

fibra della sezione.

Considerando una generica sezione sollecitata da uno sforzo assiale costante di compressione P e

da un momento flettente variabile M. Si nota come, al crescere della sollecitazione flettente, la

posizione dell’asse neutro sia variabile. I diagrammi sono tracciati nell’ipotesi di legame elasto-

plastico perfetto.

Determiniamo ora le due superfici limite.

o Superficie limite plastica

Prendendo in esame la situazione, ideale, di completa plasticizzazione, possiamo dividere i

contributi dovuti alle due sollecitazioni.

risultante di compressione

momento flettente con |

( )

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Definiamo ora i limiti plastici sotto sollecitazioni semplici, ovvero lo sforzo assile ed il momento

che, se agiscono da soli, plasticizzano l’intera sezione:

È ora possibile ricavare la relazione che definisce la

superficie limite:

(

)

(

)

(

)

La superficie limite è definita da una curva del secondo ordine, con concavità verso il basso nel primo

quadrante e intersezione con gli assi per valori unitari delle grandezze adimensionalizzate.

o Superficie limite elastica

Ci si riferisce ora alla situazione al limite elastico, in cui la prima fibra raggiunge lo snervamento.

Si riportano come sopra dapprima i termini relativi a questa situazione e successivamente i

termini di adimensionalizzazione, che questa volta rappresentano le sollecitazioni che, se applicate

da sole, portano a snervamento la prima fibra della sezione.

Con riferimento alla similitudine tra i triangoli evidenziati, si definisce la relazione:

(

)

( ) (

)

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(

)

(

)

È ora possibile ricavare la relazione che definisce la superficie limite:

(

)

In questo caso la superficie limite è una retta.

Le due superfici permettono

quindi di controllare lo stato di

sollecitazione della sezione,

definito come un punto sul

piano M/Mp – P/Pp.

Data la forma delle superfici,

risulta evidente che le risorse

plastiche della sezione sono

funzione del percorso di carico

seguito.

tratto campo sollecitazioni

O-A elastico aumento proporzionale carichi

A-A*

elasto-plastico

aumento proporzionale carichi

A-A’ aumento solo M, P=cost

A-A’’ aumento solo P, M=cost

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6.2.3) Elementi soggetti a flessione e taglio

Per lo studio dell’interazione tra il taglio e lo sforzo assiale prodotto nelle fibre dalla flessione, si

può far ricorso al criterio di rottura di Von Mises:

La sezione è dichiarata in crisi secondo il criterio di Von Mises, non quando tutte le fibre

ragglingono la tensione di snervamento y.

Questo problema di interazione non è semplicemente risolvibile in forma chiusa, sono quindi stati

proposti diversi modelli semplificativi basati sul criterio di Von Mises. Tali modelli si propongono di

determinare la riduzione di momento platico dovuta alla presenza di sforzi di taglio.

Per la distribuzione degli sforzi di taglio si assume che:

Siano concentrati nel solo nucleo elastico (consegueza criterio di rottura assunto);

Si abbia un andamento parabolico (teoria di Jourawsky);

Lo sforzo massimo di taglio è maggiore del 50% rispetto al valore medio.

Considerando una sezione rettangolare si ha la distribuzione di tensioni mostrata in figura, con

valore massimo dello sforzo di taglio localizzato in corrispondenza dell’asse neutro (baricentrico).

È quindi possibile determinare l’ampiezza del nucleo elastico:

||

Al fine di valutare la riduzione del momento plastico dovuto alla presenza dello sforzo di taglio, si

commenta l’andamento delle tensioni assiali sulla sezione.

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[(

) (

)]

Definendo in modo ideale la forza agente che porterebbe a completa plasticizzazione la sezione

per solo taglio , si può esprimere il momento ridotto adimensionalizzato rispetto al

momento plastico:

(

)

(

)

6.3) Livello di sistema strutturale

Passando a considerare gli aspetti legati alla plasticità per i sistemi strutturali, di devono

considerare ulteriori fattori che intervengono nella trattazione:

Iperstaticità;

Distribuzione dei carichi;

Distribuzione delle rigidezze;

Ridistribuzione energie immesse;

Meccanismi di collasso locale e globale.

6.3.1) Iperstaticità

L’entrata in campo plastico può avere effetti differenti in funzione dell’iperstaticità del sistema. La

completa plasticizzazione di una sezione, come visto, materializza sull’elemento una cerniera

plastica. Definendo il collasso come la formazione di plasticizzazioni tali per cui la struttura non ha

più capacità portanti per successivi incrementi di carico e si trasforma in un cinematismo, è evidente

che maggiore è il grado di iperstaticità, maggiore è il numero di cerniere plastiche che si devono

formare prima che la struttura collassi.

6.3.2) Distribuzione dei carichi

Consideriamo una trave doppiamente incastrata soggetta a due condizioni di carico differenti. Si definiscono con l’apice (*) le grandezze di carico relative alla formazione della prima cerniera plastica e con il pedice (u) le grandezze di carico relative al collasso del sistema.

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Raggiungo la prima plasticizzazione

contemporaneamente nella sezione di

mezzeria e nelle sezioni di estremità

Le risorse plastiche del sistema sono nulle:

Il collasso avviene per la formazione

contemporanea di tre cerniere allineate.

La prima plasticizzazione è raggiunta nelle

sezioni di estremità; Il sistema diventa

isostatico e può ancora sopportare un

incremento di carico

Le risorse plastiche del sistema non sono

nulle:

Per la trattazione completa di questo sistema

si rimanda al punto (4).

La distribuzione dei carichi influisce in modo determinate sulla risposta del sistema.

6.3.3) Distribuzione delle rigidezze

In campo elastico due elementi in parallelo lavorano nei confronti di un incremento dell’energia

esterna, proporzionalmente alla loro rigidezza. Questa assunzione può essere estesa al campo

plastico, poiché in generale un problema plastico può essere affrontato come una successione di stati

elastici.

6.3.4) Ridistribuzione delle energie immesse

Una plasticizzazione locale comporta un cambio di schema statico e quindi una distribuzione di

energia differente rispetto alla situazione precedente.

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Dopo il raggiungimento del momento plastico nelle sezioni più

sollecitate la struttura non è collassata, bensì resiste con uno

schema statico differente: da p* in poi (in ottica incrementale) è

una trave doppiamente appoggiata. Posso incrementare ancora il

carico di una quantità p tale che:

La trave quindi collassa per un carico:

Possiamo quindi quantificare le risorse plastiche del sistema

strutturale:

Il carico di collasso è il 33% più grande rispetto al carico di prima

plasticizzazione.

Si definiscono le risorse plastiche come la capacità del sistema di resistere ad un successivo

incremento di carico dopo aver raggiunto la plasticizzazione. Queste possono essere definite in

termini di:

Sistema: successione differenziata delle plasticizzazioni;

Forma della sezione: valore del fattore di forma ;

Incrudimento del materiale.

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6.3.5) Meccanismi di collasso locale e globale

Si possono individuare meccanismi di collasso a livello globale (di struttura) o a livello locale (di

elemento). Nel primo caso dato un sistema strutturale n volte iperstatico, questo collassa (ovvero

diventa un cinematismo) se si formano n+1 cerniere plastiche ben poste. Il secondo caso si verifica

invece quando la formazione di cerniere plastiche è tale che queste siano allineate lungo un

elemento; si ha un numero di cerniere minore di n+1.

6.4) Comportamento ciclico di una sezione inflessa

È di interesse estendere lo studio della teoria della plasticità di una sezione semplicemente

inflessa al caso in cui il carico sia di tipo ciclico. Ciò risulta essenziale nella progettazione di strutture

in zona sismica.

Tracciando gli usuali diagrammi delle tensioni sulla sezione, si associa un livello tensionale ad ogni

fibra; tutte le fibre sono descritte mediante il medesimo legame costitutivo, considerato in questo

caso di tipo elasto-plastico perfetto. Considerando una sezione rettangolare parzializzata possiamo

rappresentare la posizione di alcune fibre sul diagramma -:

Sottoponendo la sezione ad una storia di carico non più monotona, bensì ciclica, ogni fibra

differirà dalle altre, oltre che per il livello tensionale corrente, anche per la propria storia di

sollecitazione. Immaginiamo di sottoporre la sezione alla seguente storia di carico:

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(a) Carico: incremento momento sollecitante fino al raggiungimento di un momento M*>My

e M*<Mu, tale quindi da parzializzare la sezione ma senza che risulti completamente

plasticizzata;

(b) Scarico: decremento del momento applicato fino ad annullamento dello stesso (-M*): si

nota come, anche se la sollecitazione esterna è stata rimossa, rimane determinato un

diagramma di autotensioni residue di equilibrio sulla sezione e permane una

deformazione plastica residua;

(c) Carico in direzione opposta: inversione del carico, incremento in direzione negativa fino al

raggiungimento dello snervamento nelle fibre estreme della sezione: sovrappongo al

diagramma del passo (a) un diagramma lineare di tensioni prodotto da un momento

complessivo pari a 2My: la sezione può essere sottoposta a storie di carico inverse

all’interno del range di 2My senza che si produca alcuna nuova plasticizzazione.

(d) Raggiungimento momento platico: continuo la fase di carico fino al completo

sfruttamento delle risorse plastiche della sezione.

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Se una volta raggiunta la completa plasticizzazione della sezione per valori negativi del momento

si inverte la direzione di carico fino ad invertire il segno del momento sollecitante e fino al

raggiungimento del momento plastico positivo, e si ripete il percorso descritto in modo ciclico, si

producono cicli isteretici sul piano M-.

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7) ANALISI PLASTICA

Lo studio della capacità portante di una struttura in campo elasto-plastico può essere affrontato

seguendo tre differenti metodi di calcolo:

Metodo incrementale;

Metodo semi-analitico;

Metodo dell’analisi limite.

Partendo dalla conoscenza della geometria, delle condizioni di vincolo, della distribuzione dei

carichi e delle rigidezze ed ipotizzando un legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico

perfetto, si vuole determinare il moltiplicatore del carico che porta la struttura a collasso.

7.1) Metodo incrementale (push-over)

Il metodo incrementale è un metodo step-to-step che consiste nel seguire il comportamento

strutturale attraverso una serie di analisi, tutte elastiche, considerando la formazione progressiva di

cerniere plastiche che modificano lo schema statico di calcolo. Si considera quindi un modello a

plasticità concentrata.

Aumentando il carico applicato alla struttura la distribuzione dei momenti su di essa aumenta

linearmente fino al raggiungimento, nella sezione caratterizzata da momento massimo, del momento

plastico: si forma la prima cerniera plastica. La struttura, se iperstatica, subisce pertanto un

cambiamento di schema statico ed è ancora in grado di sopportare incrementi di sollecitazione. La

seconda cerniera plastica si forma quando la somma dello stato tensionale riferito allo schema

statico attuale e dello stato limite dello schema statico originario consente il raggiungimento del

momento plastico in un’altra sezione. Si procede in questo modo fino alla trasformazione della

struttura in un meccanismo, con conseguente collasso della stessa.

Si riporta a titolo di esempio il caso di una trave doppiamente incastrata soggetta ad un carico

verticale eccentrico progressivamente crescente. Si considera una trave IPE120 (modulo plastico

Z=60.73 cm3), di acciaio S235. Il momento plastico risulta essere pari a .

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Page 73: CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO

Pagina | 71

Si è ricavata la soluzione del problema elasto-plastico risolvendo una successione di problemi

elastici, riguardanti l’aumento incrementale del carico.

Si può rappresentare il comportamento in campo elasto-plastico della struttura su un piano forza-

spostamento (lo spostamento è relativo al punto di applicazione della forza). Si nota come in

corrispondenza di ogni plasticizzaizone si abbia un cambiamento di pendenza, dovuto ad una

riduzione di rigidezza del sistema. È inoltre possibile stimare la duttilità come rapporto tra la freccia

ultima e quella relativa alla formazione della prima cerniera plastica.

È importante infine notare che ad ogni modifica dello schema statico corrisponde una

ridistribuzione delle energie immesse. Tale cambiamento produce un sistema strutturale differente

rispetto a quello precedente; non è quindi possibile definire a priori quale sarà la successione nelle

formazione delle cerniere plastiche.

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7.2) Metodo semi-analitico

Un metodo analitico permetterebbe di trovare soluzioni del problema elasto-plastico in forma

chiusa; tuttavia ciò risulta possibile in un numero limitato di casi. Si può ricorrere in modo proficuo ad

un metodo di tipo semi-analitico, che consenta di trovare la soluzione in forma chiusa a tratti.

Si tratta il caso di un sistema reticolare costituito da tre aste (9 gradi di libertà), nell’ipotesi di

materiale elasto-plastico perfetto (ipotesi di infinita duttilità di materiale). Il sistema è una volta

iperstatico. Si ricavano separatamente le soluzioni al problema elastico ed al problema elasto-

plastico.

o Soluzione elastica

Si procede nell’ottica del metodo degli spostamenti: si impone lo spostamento del punto in cui

convergono le tre aste, si scrive la congruenza ed imponendo l’equilibrio si ricavano gli sforzi nelle

aste X, Y. Le equazioni risolutive sono le equazioni di equilibrio scritte in termini di spostamento.

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si scrive l’equilibrio nella posizione indeformata (

).

Congruenza

asta OA

aste OB, OC

( ⁄ )

( ⁄ )⁄

Equilibrio

(

)

Si risolve il sistema e si ricavano gli

sforzi nelle aste:

{

L’asta che assorbe la sollecitazione maggiore è l’asta OA, che sarà quindi anche la prima a entrare

in campo plastico. Si determina il valore del carico per il quale si raggiunge la tensione di

snervamento e la conseguente deformazione al limite elastico.

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o Soluzione elasto-plastica

Una volta raggiunto lo snervamento dell’asta OA, continuiamo ad incrementare il carico agente.

Per le ipotesi fatte lo sforzo nell’asta OA rimane costante e pari a , mentre cresce la

sollecitazione nelle aste OB ed OC fino al raggiungimento del campo plastico.

Equilibrio

(

) {

È quindi possibile determinare il carico di rottura del sistema e, sfruttando le equazioni di

congruenza precedentemente riportate, lo spostamento corrispondente a tale condizione:

√ ( √ )

Possiamo quantificare i benefici portati dallo sfruttamento delle risorse plastiche del sistema in

termini di sovraresistenza e duttilità. In entrambi i casi l’incremento di capacità è consistente.

( √ )

Osservando quest’ultimo risultato è

interessante osservare che, nonostante si sia

ipotizzata una duttilità di materiale infinita, la

duttilità di struttura non lo è. Ciò dipende dal

fatto che la struttura non collassa per crisi del

materiale, bensì perché si trasforma in un

meccanismo.

Si riportano infine i risultati ottenuti su un piano sforzo nelle aste – sollecitazione.

Page 76: CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO

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o Scarico

Si può ipotizzare di effettuare uno scarico completo del sistema e valutare il comportamento delle

aste:

Asta OA: è plasticizzata, presenterà una deformazione residua;

Aste OB ed OC: non sono plasticizzate, tendono a recuperare interamente la

deformazione subita.

Conseguentemente:

Per congruenza le aste OB ed OC presenteranno una deformazione residua di allungamento,

saranno quindi tese;

L’asta OA, per equilibrio del nodo, risulterà compressa.

Analogamente a quanto ricavato per la fase elastica di carico e definito lo scarico P si ha:

( √ )

{

Si ricavano quindi gli sforzi residui nelle aste come:

{

{

{

Per la convenzione dei segni scelta, come previsto l’asta OA risulta compressa (X), mentre le aste OB

ed OC risultano tese (Y).

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7.3) Analisi limite

L’analisi limite è un metodo energetico per il calcolo del moltiplicatore critico dei carichi esterni,

ovvero del coefficiente di amplificazione di tali carichi che produce il collasso strutturale in campo

elasto-plastico. Per la determinazione del moltiplicatore critico si può far ricorso ai due teoremi

statico e cinematico, che consentono l’individuazione di due soluzioni “limite”.

In entrambi i casi si assume che siano rispettate le seguenti ipotesi:

Le sezioni ruotano restando piane;

Piccoli spostamenti (con conseguente assenza di fenomeni di instabilità);

Legame costitutivo elasto-plastico perfetto;

Duttilità infinita di elemento o di struttura.

Successivamente alla trattazione dei due teoremi si commenteranno i risultati ottenuti ed il loro

significato. In conclusione ci si soffermerà brevemente sulla definizione grafica del moltiplicatore di

collasso.

7.3.1) Teorema statico

Il teorema statico si basa su considerazioni legate all’equilibrio del sistema. In particolare si

assume che il carico di collasso possa essere stimato considerando una distribuzione di momenti in

equilibrio con i carichi esterni, tale che il momento in ogni punto lungo la struttura non ecceda il

momento plastico. Tale stima rappresenta il reale carico di collasso se il diagramma dei momenti

mostra che si sono formate un numero sufficiente di cerniere plastiche e che conseguentemente si

sia sviluppato un meccanismo di collasso. Nel caso in cui non siano state determinate un numero

sufficiente di cerniere, il carico determinato è una stima per difetto del carico di collasso esatto.

Si riporta a titolo di esempio il medesimo sistema precedentemente trattato e si elencano di

seguito i passi del metodo:

(a) Per ogni struttura iperstatica, si eliminano i gradi di iperstaticità interni e si determina il

sistema principale;

(b) Si determina il diagramma dei momenti del sistema isostatico di cui sopra;

(c) Si determinano i diagrammi risultati dall’applicazione di ogni incognita iperstatica al

sistema isostatico;

(d) Si combinano i diagrammi ricavati;

(e) Dal diagramma combinato si determinano le equazioni di equilibrio;

(f) Si stabilisce in quali punti il diagramma raggiunge il momento platico;

(g) Si risolvono le equazioni di equilibrio.

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Il sistema in esame è, per carichi verticali, due volte iperstatica (n=2); sono quindi necessarie

n+1=3 cerniere plastiche affinché si sviluppi un meccanismo. Questo particolare sistema strutturale

genera una unica possibile dislocazione delle cerniere plastiche (f):

Ai nodi esterni;

Nel punto di applicazione del carico.

Si determina pertanto un'unica relazione di equilibrio (e) relativa al sistema (d):

(

) (

)

Inoltre devono essere sodisfatte le condizioni di ammissibilità statica (condizioni limite delle singole

sezioni):

| | | | | |

Si ricava il carico di collasso quando tutte le sezioni in esame raggiungono il momento plastico:

(

) (

)

( )

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Considerando come nel caso dell’analisi incrementale un profilato IPE120, di momento plastico

MP=14.27kNm, si ottiene un carico critico pari a Pcr = 19.98 kN, coincidente con il valore

precedentemente determinato.

Nel caso in cui fosse possibile individuare più configurazioni staticamente ammissibili, si ricava il

carico di collasso relativo ad ognuna di esse. Il collasso sopraggiunge quando è raggiunto il carico

massimo tra quelli associati ad ogni configurazione staticamente ammissibile.

La potenza del metodo risiede nella possibilità di ottenere una stima del carico di collasso

mediante considerazioni grafiche, sommando i diagrammi dei momenti, operazione agevole per i

calcoli a mano.

7.3.2) Teorema cinematico

Nel metodo cinematico si ipotizza di conoscere il corretto cinematismo di collasso compatibile con

i carichi ed i vincoli del sistema strutturale. Il carico di collasso è il carico associato al meccanismo

ipotizzato, e può essere determinato attraverso il metodo dei lavori virtuali, ovvero deve essere

verificata l’uguaglianza tra il lavoro esterno prodotto dai carichi applicati ed il lavoro interno che il

momento plastico compie nelle rotazioni delle cerniere plastiche.

∫ ( ) ( )

dove:

rotazione i-esima cerniera plastica

∑ lavoro che i carichi concentrati compiono nei spostamenti

∫ ( ) ( )

lavoro che i carichi distribuiti compiono nei rispettivi spostamenti

Nell’applicazione del metodo si trascurano le deformate elastiche, essendo queste molto più

piccole rispetto a quelle plastiche.

Lo svantaggio del metodo consiste nel fatto che una erronea ipotesi circa il meccanismo di

collasso produce risultati a sfavore di sicurezza, stimando per eccesso il carico ultimo.

Risolvendo il precedente caso di studio:

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Pagina | 78

(

)

Tenendo conto che

, uguagliando lavoro interno e lavoro esterno si ottiene:

( )

ovvero il medesimo valore di carico critico determinato nell’approccio statico e nell’analisi

incrementale.

7.3.3) Teorema di unicità

Nella presentazione dei due precedenti teoremi si è messo in luce come debbano essere

soddisfatte tre condizioni:

Equilibrio tra carichi esterni e sollecitazioni interne;

In ogni sezione il momento non deve mai superare il momento plastico;

Quando si raggiunge il carico di collasso si deve sviluppare un meccanismo di collasso

cinematicamente compatibile.

È tuttavia possibile, come dimostrato nel caso dei teoremi statico e cinematico, sviluppare una

procedura di calcolo in campo plastico basandosi solo su alcune di queste condizioni. Ciò comporta

che i due suddetti teoremi non conducano necessariamente a soluzioni esatte, bensì rappresentino

rispettivamente un limite inferiore ed un limite superiore per la soluzione.

o Teorema statico: LIMITE INFERIORE

Un carico di collasso calcolato sulla base di un assunto diagramma dei momenti in cui non sia

mai raggiunto il momento plastico è minore o al massimo uguale al reale carico di collasso.

Poiché l’equilibrio è soddisfatto tracciando un diagramma dei momenti, non si pone attenzione

allo sviluppo di un meccanismo di collasso valido.

o Teorema cinematico: LIMITE SUPERIORE

Un carico di collasso calcolato sulla base di un assunto meccanismo di collasso risulterà sempre

più grande o al massimo uguale al reale carico di collasso.

Poiché l’equilibrio è soddisfatto ipotizzando un cinematismo di collasso, non si controlla se il

diagramma dei momenti supera il momento plastico, ma ci si affida a considerazioni energetiche per

la determinazione del carico ultimo.

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o Teorema di unicità

Il carico di collasso reale è il carico per il quale le soluzioni di limite superiore ed inferiore

coincidono.

Ciò è verificato quando sono soddisfatte tutte e tre le condizioni precedentemente esposte.

7.3.4) Spazio delle azioni esterne

È possibile individuare graficamente il moltiplicatore ultimo su un piano che riporti in ascissa ed

ordinata le azioni cui è sottoposto il sistema strutturale. A differenza delle superfici limite nello

spazio delle tensioni (i,j) e nello spazio delle caratteristiche della sollecitazione (N,M)

precedentemente presentate, la superficie nello spazio delle azioni esterne (Pi,Pj) non è univoca,

poiché dipende dalle condizioni di carico e di vincolo, ovvero dipende da come la membratura è

inserita all’interno del sistema strutturale.

Una volta nota questa superficie, il problema della

determinazione del moltiplicatore di collasso è facilmente

risolvibile, come indicato in figura.

È inoltre dimostrabile che tutte le superfici limite

menzionate sono convesse. Se infatti fossero presenti

concavità non sarebbero soddisfatte le due seguenti

ipotesi:

Data una combinazione di carico ammissibile il moltiplicatore cr di questa combinazione

è il massimo tra quelli che da questa producono combinazioni ancora ammissibili (ci

muoviamo lungo una retta);

Data una combinazione di carico ammissibile il moltiplicatore cr è unico.

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8) PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

Nell’affrontare lo studio ed il dimensionamento di una struttura in zona sismica si può ricorrere a

due metodi di progetto, come mostrata nel digramma riportato di seguito. Le normative moderne

sono sempre più orientate verso un approccio di tipo prestazionale, che consenta maggiore libertà al

progettista, purché questo soddisfi i requisiti prestazionali imposti dalla norma stessa. Di seguito ci si

soffermerà tuttavia sull’approccio tradizionale in duttilità e sulle assunzioni alla base della

trattazione.

Dimensionare una struttura in modo che questa, se soggetta all’azione sismica di design, rimanga

in campo elastico, è sicuramente possibile anche se comporta un impegno economico molto elevato;

ricorrere a questa soluzione risulta giustificato quindi solo per strutture di tipo strategico, che

devono rimanere perfettamente agibili ed operative

nelle prime fasi di emergenza post-sisma. Per le

strutture ordinarie si accetta che si verifichi un

danneggiamento, ovvero che parti della stessa

entrino in campo plastico; è responsabilità del

progettista decidere in quali elementi strutturali

concentrare le plasticizzazioni. Si parla di

progettazione in duttilità.

Ad esempio in una struttura a ritti pendolari si

concentrano le plasticizzazioni negli elementi

diagonali, mentre è richiesto che le colonne,

responsabili del trasferimento dei carichi verticali,

rimangano in campo elastico.

L’entrata in campo plastico permette inoltre una notevole dissipazione di energia, essendo questa

proporzionale all’area sottesa dai cicli di isteresi relativi alle singole membrature.

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8.1) Metodo semplificato di progetto

Il metodo semplificato di progetto consiste in:

(a) Considerare le risorse plastiche in modo indiretto attraverso un fattore di struttura q:

tale fattore permette di considerare la dissipazione plastica continuando ad eseguire analisi di tipo

elastico lineare;

(b) Localizzare le plasticizzazioni mediante la gerarchia delle resistenze;

(c) Assicurare la duttilità locale nelle zone dissipative:

questo obbiettivo è raggiunto imponendo il rispetto delle due condizioni sul materiale

Si devono inoltre considerare eventuali errori nella

stima della resistenza fy del materiale: una eventuale

sovrastima potrebbe produrre un comportamento

differente da quello ipotizzato, con una differente

dislocazione delle plasticizzazioni. È quindi opportuno

adottare un opportuno coefficiente di sovraresistenza

come riportato in normativa.

La variabilità in funzione del tipo di acciaio dipende dal fatto che la fy può è un parametro

caratterizzato da incertezza minore per gli acciaio di caratteristiche più scadenti.

(d) Verifica a posteriori degli Stati Limite di Esercizio:

a differenza del metodo avanzato di progetto (Performance Based Design), nel quale il

dimensionamento può essere guidato indipendentemente da requisiti di SLU o SLE, nell’approccio

tradizionale si risolve un problema di resistenza per poi verificare le condizioni di esercizio.

8.1.1) Fattore di struttura

Il fattore di struttura permette di stabilire un legame tra un comportamento elasto-plastico

dissipativo reale ed un comportamento elastico lineare sfruttato nel calcolo. In particolare consente

di abbattere le forze sismiche elastiche, facendo affidamento sulle capacità di duttili della struttura.

La determinazione del fattore di struttura si basa sul principio di uguale spostamento elastico ed

elasto-plastico:

Preso un oscillatore elementare con le stesse caratteristiche di rigidezza e massa e soggetto

alla stessa forzante della struttura reale,

- una volta con capacità strutturale elastica,

- una volta con capacità strutturale elasto-plastica,

i due oscillatori hanno lo stesso spostamento massimo al collasso.

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Riportando su un piano forza-spostamento il comportamento strutturale dell’oscillatore

elementare nei due casi, figura (a), si può rappresentare tale enunciato.

In particolare si osserva, con riferimento alle aree campite, che, definite le grandezze

duttilità in spostamento

fattore riduttivo per la duttilità,

risulta essere:

Sovrapponendo al grafico la curva di puh-over calcolata per il telaio reale, figura (b), si può

individuare un ulteriore un ulteriore punto in corrispondenza della formazione della prima cerniera

plastica. Difatti, essendo iperstatica, la struttura plasticizza progressivamente fino al raggiungimento

della resistenza ultima. Rimane quindi individuato il rapporto:

fattore di sovraresistenza

che indica le risorse plastiche che la struttura è in grado di offrire tra la prima plasticizzazione ed il

collasso (completa plasticizzazione).

È quindi possibile definire la grandezza q0, che rappresenta il massimo valore che il fattore di

struttura q può assumere. Valori caratteristici di q0 sono forniti dalla normativa vigente nella tabella

7.5.II, riportata di seguito, validi a patto che vengano rispettate le prescrizioni imposte dalla

normativa stessa.

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Tabella 7.5.II – Limiti superiori dei valori di q0 per le diverse tipologie strutturali e le diverse classi di duttilità

Paragrafo 7.5.2.2 – fattori di struttura

Si evidenzia come l’abbattimento delle forze, proporzionale a q0, dipenda dalla tipologia

strutturale, oltre che dalla classe di duttilità scelta.

tipologia strutturale note

Intelaiata

Plasticizzazione travi

Flessibilità architettonica Rigidezza modesta (rigidezza flessionale) Costo collegamenti

Controventi concentrici

Plasticizzazione controventi tesi

Rigidezza elevata (rigidezza assiale) Economicità Flessibilità architettonica

Controventi eccentrici

Pasticizzazione elementi “link”

Rigidezza buona (rigidezza assiale) Dissipazione energia Flessibilità architettonica

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Per determinare il fattore di struttura si introducono fattori correttivi relativi alla regolarità

strutturale ed alla duttilità locale. Questa correzione risulta indispensabile per tener conto di altre

grandezze che intervengono nella determinazione delle capacità plastiche della struttura.

o Fattore di regolarità strutturale

La procedura presentata risulta tanto meno rappresentativa del reale comportamento tanto più la

struttura è non regolare, sia in pianta che in altezza. Ad una struttura irregolare corrispondono

minori risorse plastiche, poiché è maggiore la possibilità che si verifichino collassi locali.

Paragrafo 7.3.1 – metodi di analisi e verifica: analisi lineare

o Fattore di duttilità locale

Questo fattore dipende dalla classificazione delle sezioni delle membrature metalliche, ed in

particolare dal valore assunto dal parametro S.

membrature S KD note

duttili > 1.2 1 non si sviluppano fenomeni di instabilità locale

plastiche 1 < S < 1.2 0.75

snelle < 1 0.5 instabilità locale: presenza di interazione tra instabilità e

plasticità

Il parametro S, definito come il rapporto tra la tensione di collasso e la tensione di snervamento,

può essere esplicitato in funzione di:

Parametri geometrici sezionali;

Parametri di materiale (E , fyk);

Distribuzione sollecitazioni assiali e flettenti lungo l’asse dell’elemento.

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Si riassume con un diagramma di flusso il procedimento del metodo semplificato.

L’introduzione del fattore di struttura, come spiegato, consente una riduzione delle sollecitazioni

sismiche da impiegare nel dimensionamento: tale riduzione si opera abbattendo lo spettro di

progetto.

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8.1.2) Gerarchia delle resistenze

Applicare concetto di gerarchia delle resistenze nella progettazione strutturale permette di

definire l’ordine di plasticizzazione degli elementi. Considerando più elementi che lavorino in serie, si

vuole che il collasso sopraggiunga prima negli elementi caratterizzati da comportamento duttile

rispetto a quelli caratterizzati da comportamento fragile, in modo che il comportamento complessivo

risulti duttile. Ciò comporta l’imposizione di una limitazione sulle resistenze degli elementi:

dove 0V è un coefficiente di sovraresistenza, che copre eventuali incertezze nella determinazione

della resistenza degli elementi duttili.

Considerando una struttura con controventi tesi, si vuole assicurare che la colonna rimanga in

campo elastico quando i controventi tesi siano snervati.

Lo sforzo di progetto per l’n-esima colonna, nell’ipotesi che tutti

i controventi siano plasticizzati, è pari alla somma di un termine

dovuto alla trasmissione dei carichi verticali e della componente

verticale della resistenza di design del controvento.

[ ∑ ( )

]

Si sottolinea che si dovrà amplificare mediante il coefficiente di

sovraresistenza solo il termine relativo ai carichi orizzontali, poiché

si ipotizza che sotto carichi verticali non ci siano plasticizzazioni.

La normativa fornisce le formule per la determinazione delle sollecitazioni di progetto e prescrive

la verifica che deve essere soddisfatta. In tale verifica si tiene conto della possibile interazione con il

momento flettente, e la resistenza assiale è data come funzione del momento sollecitante.

( )

La gerarchia delle resistenze implica che i collegamenti siano l’ultimo elemento strutturale a

collassare. La resistenza del collegamento deve essere maggiore della capacità plastica dell’elemento

dissipativo opportunamente amplificata.

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9) INSTABILITÀ

L’acciaio è un materiale caratterizzato dal medesimo comportamento a trazione ed a

compressione; tuttavia il carico corrispondente ad una condizione di collasso non è necessariamente

analogo nei due casi. Difatti una sollecitazione di compressione, che sia uniforme su tutta la sezione

di una membratura, relativa ad alcune fibre della sezione stessa o indotta da uno stato piano di

sforzo, può determinare l’insorgere di fenomeni di instabilità.

Considerando un generico percorso di carico, in corrispondenza di un particolare valore del

moltiplicatore dei carichi cr il sistema sviluppa

istantaneamente un diverso percorso di equilibrio

(ramo secondario) che produce spostamenti

rilevanti rispetto alla configurazione iniziale. Tale

condizione si verifica per un carico critico minore

della capacità portante del materiale, differenza

tanto più importante quanto più l’elemento è

snello. La localizzazione del punto di biforcazione

dipende dalle caratteristiche della sezione

dell’elemento in esame. In seguito si presenta una

classificazione delle membrature metalliche.

L’insorgere dell’instabilità è tendenzialmente associata ad un comportamento fragile, anche se

procedendo con una analisi non lineare si possono individuare eccezioni.

9.1) Trattazione

Lo studio del fenomeno può essere affrontato mediante un approccio tradizionale, ricorrendo a

considerazioni cinematiche e di equilibrio, ovvero mediante lo studio dell’energia potenziale totale

del sistema strutturale.

In entrambi in casi si possono individuare tre ipotesi alla base della trattazione:

Legame costitutivo elastico: non si prevede dissipazione di energia;

Vincoli perfetti (lisci e bilateri);

Forze posizionali: la direzione della forza non segue la configurazione deformata.

È inoltre possibile sviluppare diverse teorie in funzione delle ipotesi fatte riguardo:

Cinematica: piccoli o grandi spostamenti;

Equilibrio: configurazione in cui scrivere l’equilibrio (indeformata o deformata).

Hp cinematiche Hp equilibrio teoria

piccoli spostamenti configurazione indeformata TEORIA DEL PRIMO ORDINE

piccoli spostamenti configurazione deformata TEORIA DEL SECONDO ORDINE

grandi spostamenti configurazione deformata TRATTAZIONE COMPLETA

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9.1.1) Formulazione continua

La trattazione analitica tradizionale dell’instabilità elastica è affrontata nell’ambito della teoria del

secondo ordine, con ipotesi di piccoli spostamenti ed equilibrio scritto nella configurazione

deformata. Si studia il caso di una colonna perfettamente verticale, di sezione costante, sollecitata da

un’azione di compressione perfettamente centrata.

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

La soluzione generale dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti

costanti è del tipo:

( ) ( ) ( )

si impongono le condizioni al contorno e si ricavano le costanti di integrazione:

{ ( )

( ) {

( )

La soluzione dell’equilibrio ai momenti è quindi del tipo:

( ) (

)

dove la costante A indica l’ampiezza della deformata.

Ricordando le due definizioni date per il parametro , si ricava l’espressione del

carico critico euleriano corrispondente all’insorgere del fenomeno di instabilità:

Generalizzando tale risultato si sostituisce la lunghezza L con il parametro

, detto

lunghezza libera di inflessione, che permette di tener conto delle diverse condizioni di vincolo.

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9.1.2) Trattazione completa

Passando da una trattazione del secondo ordine ad una trattazione completa, ovvero rimuovendo

l’ipotesi di cinematica dei piccoli spostamenti, è possibile cogliere diversi andamenti post-critici:

(a) stabile simmetrico: dopo il raggiungimento del carico critico la struttura è in grado di

sopportare successivi incrementi di carico all’aumentare dello spostamento;

(b) instabile simmetrico: dopo il raggiungimento del carico critico, all’aumentare dello

spostamento la struttura è in grado di sopportare carichi decrescenti;

(c) asimmetrico: il comportamento successivo al raggiungimento del carico critico dipende

dalla direzione nella quale avviene lo spostamento.

Gli andamenti presentati sono tuttavia teorici, ricavati da modelli perfetti. Le aste reali sono

infatti caratterizzate da imperfezioni di varia natura che, se trascurate, produrrebbero una

sovrastima della capacità portante. Nel fascicolo allegato si svolgono alcuni casi notevoli che

consentono di indagare gli effetti delle imperfezioni sul percorso di equilibrio.

9.1.3) Formulazione energetica

L’energia potenziale è un tipo di energia dovuta all’azione di una forza: un corpo fermo può essere

spostato dalla sua posizione originaria grazie all’azione di una forza, che compie un lavoro inducendo

una variazione di energia potenziale.

Per affrontare lo studio dell’instabilità in termini energetici si scrive l’energia potenziale totale del

sistema come somma dell’energia dovuta ai carichi esterni (energia esterna) e l’energia relativa alle

forze di deformazione (energia interna).

Le n posizioni di equilibrio possono essere individuate eguagliando a zero la derivata di tale

grandezza rispetto al vettore delle coordinate lagrangiane.

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9.2) Interazione tra instabilità e plasticità

In termini di tensione si ricava:

avendo definito la snellezza

.

È inoltre possibile individuare una soglia di

snellezza superata la quale si ha collasso della

membratura per instabilità, mentre al di sotto della

quale l’elemento raggiunge lo snervamento.

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10) FATICA

Il collasso di un elemento strutturale può sopraggiungere, oltre che per il superamento della

resistenza ultima dello stesso, anche per il raggiungimento di uno Stato Limite di Fatica; questa

possibilità corrisponde ad una condizione di carico ciclico. In particolare si distinguono due tipi di

rottura a fatica, per basso o alto numero di cicli.

o Alto numero di cicli

È una rottura tipica di elementi soggetti a sollecitazioni non particolarmente elevate ma ripetute

con altissima frequenza nel corso della vita utile della struttura, come strutture offshore o ponti

stradali o ferroviari.

La capacità dei metalli e dei dettagli costruttivi di resistere a centinaia di migliaia di cicli di

tensione al di sotto del livello di snervamento è detto “resistenza a fatica per alto numero di

cicli”.

Per assicurare tale resistenza si può intervenire su due fronti, limitando l’escursione di

sollecitazione massima a valori di tensione molto al di sotto del limite di snervamento, ovvero

configurando i dettagli costruttivi in modo da minimizzare le concentrazioni di tensione.

La rottura sopraggiunge per la propagazione di microfessure o imperfezioni del reticolo cristallino

del metallo.

o Basso numero di cicli

Nel caso in cui i livello di sollecitazione sia tale da superare il limite di snervamento, la rottura per

fatica sopraggiunge per un numero più contenuto di cicli.

La capacità dei metalli di resistere ad un numero limitato e quantificabile di cicli di tensione al

di sopra del livello di snervamento è detto “resistenza a fatica per basso numero di cicli” o

“resistenza a plasticità alternata”.

Come nel caso precedente, la rottura avviene per la propagazione di difetti del materiale, ma in

questo caso la resistenza è direttamente legata alla duttilità del materiale. Inoltre tale resistenza sarà

tanto minore quanto più alto sarà il livello di sollecitazione raggiunto, ovvero quanto maggiore è

l’incremento di tensione raggiunto rispetto al limite di snervamento.

Il superamento del limite di snervamento in un profilo metallico soggetto a momento flettente

produce l’insorgere di plasticizzazioni inelastiche permanenti (soprattutto nelle ali del profilo);

queste, al momento dell’inversione del carico, si comportano come imperfezioni iniziali e favoriscono

l’insorgere di instabilità locali per livelli tensionali più bassi rispetto al caso di carico monotono. Tale

comportamento è tenuto in conto nelle normative tecniche, che prevedono rapporti larghezza-

spessore contenuti per le flange dei profili.

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10.1) Curve di Wöhler e Metodo del serbatoio

Gli effetti dei carichi critici, come visto, si risentono in maggiore misura nelle zone nelle quali si

verificano concentrazioni di tensione: si pone quindi l’attenzione sulle zone di giunzione di elementi

strutturali. Si presenta ora un metodo che consente di studiare il fenomeno, nel caso di fatica per

basso numero di cicli.

Le norme tecniche come la CNR-UNI 10011-97 riportano i risultati di prove sperimentali eseguite

sottoponendo i particolari costruttivi a sollecitazioni cicliche di ampiezza costante. Ad ogni

particolare strutturale corrisponde una curva di Wöhler che rappresenta, per ogni incremento di

tensione (di ampiezza costante), il numero di cicli che porta l’elemento a rottura per fatica. Tali curve

sono quindi tracciate su un piano bilogaritmico in base 10 che presenta in ascissa il numero di cicli Nc

ed in ordinata l’incremento di tensione . Le curve su questo piano si presentano come rette di

equazione:

nella quale il coefficiente angolare m assume valori differenti (m=3; m=5) in relazione al tipo di

sollecitazione ed al numero di cicli:

m=3:

m=5:

punto D: rappresenta il limite a fatica per carichi di ampiezza costante, ovvero il limite al di

sotto del quale, per incrementi di tensione di ampiezza costante, la vita del particolare è

indefinita;

punto F: rappresenta il limite per i calcoli a fatica; corrisponde ad un al di sotto del quale

ogni di fatica può essere trascurato.

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Si presenta di seguito l’abaco riportato sulle norme tecniche CNR-UNI 10011-97, nel quale le

diverse curve sono funzione della tensione di rottura dei particolari costruttivi.

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In generale i cicli di sollecitazione inelastica applicati alla struttura hanno ampiezze differenti,

mentre abbiamo visto che le curve sfruttate per definire la rottura sono ricavate da prove

sperimentali condotte sottoponendo i provini a cicli di carico ad ampiezza costante. Il metodo del

serbatoio permette di mettere in relazione le due diverse storie di carico. Tale metodo è presentato

al C4.2.4.1.4.2 della Circolare Esplicativa alle NTC2008.

Rappresentato l’oscillogramma delle tensioni, ovvero l’andamento nel tempo degli incrementi di

tensione dovuti ad uno spettro di carico, si ipotizza che questo rappresenti la linea di fondo di un

serbatoio colmo di liquido, nel quale la quota del pelo libero è definita dalla massima tensione. Si

ipotizza di svuotare il serbatoio in corrispondenza del punto di minimo assoluto; in questo modo

rimangono individuati ulteriori serbatoi compresi tra i massimi relativi, che verranno a loro volta

svuotati. In generale, la differenza di quota tra il pelo libero e il punto di minimo rappresenta

l’incremento di tensione, e ad ogni incremento corrisponde un ciclo. In questo modo gli incrementi di

tensione risultano ordinati in modo decrescente: si perde quindi il reale andamento delle tensioni nel

tempo.

Una volta individuati gli incrementi di tensione ed il relativo numero di cicli, la regola di Miner,

riportata di seguito, permette l’utilizzo delle curve di Wöhler.

nella quale ni rappresenta il numero di applicazioni del carico nell’escursione temporale, mentre Ni

rappresenta il numero di cicli che porta a rottura il pezzo per fatica.

Tale regola si basa sull’assunzione che l’ordine di applicazione degli incrementi di tensione non

influisce sullo studio del fenomeno (ipotesi peraltro indispensabile per quanto detto).

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Considerando una storia di carico caratterizzata da tre incrementi di tensione, ognuno dei quali si

ripete ni volte, si descrive di seguito il procedimento.

Individuazione del primo punto, di coordinate note ( );

Individuazione dell’ascissa incognita n2*: nell’applicazione del secondo incremento si deve

tener conto del fatto che il pezzo ha già subito gli incrementi 1, quindi ha già perso una

parte di resistenza. Si imposta quindi una proporzione tra i numeri di cicli che individuano

l’inizio dei tratti orizzontali nel diagramma ed i numeri di cicli che comportano il collasso

per ogni livello tensionale (noti):

Tracciamento di un tratto orizzontale al livello di tensione 2 per una lunghezza

equivalente a n2.

Ripetizione ultimi due punti per il tratto a livello 3: ipotizziamo che questo tratto porti a

rottura il pezzo.

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BIBLIOGRAFIA

TESTI

Bruneau, Michel; Uang, Chia-Ming; Sabelli, Rafael. Ductile Design of Steel Structures. 2a ed. Mc Graw Hill.

ARTICOLI SCENTIFICI

Ali, Mir M.; Moon, Kyoung Sun. Structural Developments in Tall Buildings: Current Trends and Future Prospects.

Khan, Fazlur. Structural Artist of Urban Building Forms.

fonte: http://khan.princeton.edu/khanHancock.html Bonella, I.; Rovati M. Ottimizzazione topologica: teoria e applicazioni strutturali