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Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual

Kharla Mérida

Cálculos en Z y Q

Damos inicio a este nuevo año académico revisando lo que aprendimos y manejamos acerca de los números enteros y los números racionales. Esta unidad nos pone en contacto con esos conocimientos, a través de ejercicios desarrollados paso

a paso, y de enlaces a las lecciones vistas el año escolar anterior. Así puedes ejercitar yendo siempre que sea necesario a los videos o guiones didácticos de toda la teoría presentada en Matemática de 1er año.

1

Desde empezar a contar con piedritas hasta realizar viajes espaciales han transcurrido algunos milenios, muchas historias, teorías e ideas, que podemos representar con números. Apenas seis conjuntos de números fueron necesarios para expresar todo lo que conocemos e imaginamos.

1.1 Operaciones y Propiedades en Z,

Eliminación de Símbolos de Agrupación.

Descripción

1 1ra Unidad

Cálculos en Z y Q


Kharla Mérida

Cálculos en Z y Q

Manejar con destreza las Operaciones aritméticas.

Esta sección es un repaso de Números Enteros, estudiados en 1er año. Haremos un resumen de los elementos teóricos notables, necesarios para efectuar operaciones en los Enteros, basándonos en los videos disponibles en Matemática de 1er año. Puedes ir a ellos a través de los enlaces cuando sientas necesario revisar la teoría en detalles.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenidos

NÚMEROS ENTEROS. Pérdidas, Representación Grafica de los Números Enteros.

NÚMEROS ENTEROS. Valor Absoluto

Videos disponibles

NÚMEROS ENTEROS. Suma

NÚMEROS ENTEROS. Representación Gráfica de la Suma

NÚMEROS ENTEROS. Propiedad Conmutativa de la Suma

NÚMEROS ENTEROS. Propiedad Asociativa de la Suma

NÚMEROS ENTEROS. Elemento Neutro y Elemento Opuesto de la Suma

NÚMEROS ENTEROS. Resta

NÚMEROS ENTEROS. Reglas de la Multiplicación de Signos

NÚMEROS ENTEROS. Multiplicación

NÚMEROS ENTEROS. Propiedad Conmutativa de la Multiplicación

NÚMEROS ENTEROS. Propiedad Asociativa de la Multiplicación

NÚMEROS ENTEROS. Elemento Neutro de la Multiplicación

NÚMEROS ENTEROS. División

Por tratarse de una sección de repaso, ponemos a tu disposición todos los videos (con sus enlaces) de Números Enteros de 1er año. De modo que puedas revisar los conceptos, operaciones y propiedades que necesites para desarrollar los ejercicios que estudiaremos en esta unidad.

2

https://guao.org/primer_ano/matematica/numeros_negativos_valor_absoluto_opuestos_representacion_en_la_recta-representacion_grafica_de_los_numeros_enteros


















http://www.guao.org/segundo_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_z_eiminacion_de_simbolos_de_agrupacion-valor_absoluto








http://www.guao.org/segundo_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_z_eiminacion_de_simbolos_de_agrupacion-suma_de_numeros_enteros






http://www.guao.org/segundo_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_z_eiminacion_de_simbolos_de_agrupacion-representacion_grafica_de_la_suma














http://www.guao.org/segundo_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_z_eiminacion_de_simbolos_de_agrupacion-propiedad_conmutativa_de_la_suma














http://www.guao.org/segundo_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_z_eiminacion_de_simbolos_de_agrupacion-propiedad_asociativa_de_la_suma














http://www.guao.org/segundo_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_z_eiminacion_de_simbolos_de_agrupacion-elementos_neutro_y_elemento_opuesto_de_la_suma




















http://www.guao.org/primer_ano/matematica/suma_y_resta_de_numeros_enteros-resta_de_numeros_enteros






http://www.guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_-reglas_de_la_multiplicacion_de_signos
















http://www.guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_-multiplicacion






http://www.guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_-propiedad_conmutativa_de_la_multiplicacion














http://www.guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_-propiedad_asociativa_de_la_multiplicacion














http://www.guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_-elemento_neutro_de_la_multiplicacion














http://www.guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_-division







Kharla Mérida

Cálculos en Z y Q

Efectuar las operaciones indicadas y hallar el valor resultante

Ejercicios Propuestos

4


1. (-5)(-3 + 4 – 6) + (11 – 15 + 7)(-9) + 23 2. -2[(-5 + 11 – 9) + 5(4 – 1)] + 8(-15)

3. -{4(-2 + 19 - 7) – (6 – 9)(3 + 5 + 12)}

Transforma las restas en sumas y halla el valor resultante

1. 24 – 8 2. 11 – 28 3. 12 – (-5)

4. (-7) – 8 5. (-9) – (-15) 6. (-36) – (29)

7. -43 – 31 8. 27 – 34 9. 75 – (+39)

Eliminar los símbolos de agrupación y efectuar los cálculos:

1. {-6 + [(9 – 5 + 12) – (35 – 39 + 11) + 23 – 18] + 20} 2. -[-(45 + 111 - 78) + (89 – 102 + 13)] + (-25 + 47)

3. 9 – 4 – {63 – [(41 + 10 – 5) – (53 + 12)] – 91 + 11}

A continuación te presentamos una serie de ejercicios propuestos, por grupos, que atienden las operaciones entre números enteros y la eliminación de símbolos de agrupación.

1. -17 + 3 + 21 – (4 + 9 – 2) + (-5 + 18 + 25) 2. 25 + (-2) – 17 + (-8 + 5 – 13 + 20 + 3) + 29- 3. (-6) – 14 + (-11) + (13 + (-21) + 4) – (26 – 40)


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Cálculos en Z y Q

NÚMEROS ENTEROS. Resta de Enteros. Ejercicios 1 al 9.

Guiones Didácticos

4

Transforma las restas en sumas y halla el valor resultante

1. 24 – 8 2. 11 – 28

3. 12 – (-5)

4. (-7) – 8 5. (-9) – (-15)

6. (-36) – (29)

7. -43 – 31 8. 27 – 34 9. 75 – (+39)

A continuación los guiones didácticos ponen a tu disposición el desarrollo de los ejercicios propuestos, paso a paso, para que evalúes tu aprendizaje respecto a las operaciones, propiedades y eliminación de símbolos de agrupación en los números

enteros. Los

1. 24 – 8

Partimos de la resta dada 24 – 8

Transformamos la resta en una suma cambiando el signo del sustraendo. El sustraendo es 8 se cambia por -8.

= 24 + (-8)

24 + (-8)

24 + (-8) = 16

24 y -8 son números enteros de distintos signos, entonces el resultado es: • Signo: El número de mayor valor absoluto es

positivo, la suma será positiva. • Valor Numérico: La resta de 24 y 8, es 16. Resultado: 16

|24| = 24 , |-8| = 8 , 24 > 8

2. 11 – 28



= 11 + (-28)

11 + (-28)

11 + (-28) = -17


negativo, la suma será negativa. • Valor Numérico: La resta de 28 y 11, es 17. Resultado: -17

|11| = 11 , |-28| = 28 , 28 > 11

24 – 8 = 16

11 – 28 = -17


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Cálculos en Z y Q

4. (-7) – 8

Partimos de la resta dada (-7) – 8


= (-7) + (-8)

(-7) + (-8)

(-7) + (-8) = -15

-7 y -8 son números enteros de igual signo, entonces el resultado es: • Signo: El que tienen los números, negativo. • Valor Numérico: La suma de 7 y 8, es 15. Resultado: -15

|-7| = 7 , |-8| = 8

(-7) – 8 = -15

5. (-9) – (-15)

Partimos de la resta dada (-9) – (-15)

Transformamos la resta en una suma cambiando

el signo del sustraendo. El sustraendo es -15 se cambia por 15.

= (-9) + (15)

-9 + (15)

-9 + (15) = 6

-9 y 15 son números enteros de distintos signos, entonces el resultado es: • Signo: El número de mayor valor absoluto es

positivo, la suma será positiva. • Valor Numérico: La resta de 15 y 9, es 6.

Resultado: 6

|-9| = 9 , |15| = 15 , 15 > 9

(-9) – (-15) = 6

3. 12 – (-5)

Partimos de la resta dada (12) – (-5)

Transformamos la resta en una suma cambiando el signo del sustraendo. El sustraendo es -5 se cambia por 5.

= (12) + (5)

(12) + (5)

12 + 5 = 17

12 y 5 son números enteros de igual signo, entonces el resultado es: • Signo: El que tienen los números, positivo. • Valor Numérico: La suma de 12 y 5, es 17. Resultado: 17

|12| = 12 , |5| = 5

12 – (-5) = 17


Kharla Mérida

Cálculos en Z y Q

8. 27 – 34


Transformamos la resta en una suma cambiando

el signo del sustraendo. El sustraendo es 34 se cambia por -34.

= 27 + (-34)

27 + (-34)

27 + (- 34) = -7


negativo, la suma será negativa. • Valor Numérico: La resta de 34 y 27, es 7.

Resultado: -7

|27| = 27 , |-34| = 34 , 34 > 27

27 – 34 = -7

6. (-36) – (29)

Partimos de la resta dada (-36) – (29)


= (-36) + (-29)

(-36) + (-29)

-36 + -29 = -65


|-36| = 36 , |-29| = 29

(-36) – (29) = -65

7. -43 – 31

Partimos de la resta dada -43 – 31

Transformamos la resta en una suma cambiando el signo del sustraendo. El sustraendo es 31 se

cambia por -31.

= -43 + (-31)

-43 + (-31)

-43 + -31 = -74


|-43| = 43 , |-31| = 31

-43 – 31 = -74


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Cálculos en Z y Q

9. 75 – (+39)

Partimos de la resta dada 75 – (+39)

Transformamos la resta en una suma cambiando el signo del sustraendo. El sustraendo es +39 se cambia por -39.

= 75 + (-39)

75 + (-39)

75 + (-39) = 36


positivo, la suma será positiva. • Valor Numérico: La resta de 75 y 39, es 36. Resultado: 36

|75| = 75 , |-39| = 39 , 75 > 39

75 – (+39) = 36


1. -17 + 3 + 21 – (4 + 9 – 2) + (-5 + 18 + 25) 2. 25 + (-2) – 17 + (-8 + 5 – 13 + 20 + 3) + 29 3. -(-6) – 14 + (-11) + (13 + (-21) + 4) – (26 – 40)

NÚMEROS ENTEROS. Suma y Resta de Enteros. Ejercicios 1 al 3.

1. -17 + 3 + 21 – (4 + 9 – 2) + (-5 + 18 + 25)

Recuerda: La presencia de los paréntesis indica que debe realizarse en primer lugar la operación que esté encerrada entre ellos. Ver NÚMEROS ENTEROS. Símbolos de Agrupación.

Para revisar la teoría de estas operaciones ver: NÚMEROS ENTEROS. Resta.

1ro. Efectuamos las operaciones dentro de los paréntesis.

-17 + 3 + 21 – (4 + 9 – 2) + (-5 + 18 + 25)

Sumamos los números de igual signo primero, y luego los de diferentes signos.

= -17 + 3 + 21 – (13 – 2) + (-5 + 43)

= -17 + 3 + 21 – 11 + 38

Efectuamos las sumas de signos iguales. = 62 – 28

= 34 Efectuamos la resta

-17 + 3 + 21 – (4 + 9 – 2) + (-5 + 18 + 25) = 34

Reunimos los números positivos y los números negativos.

= (3 + 21+ 38) + (–11 – 17)

https://www.youtube.com/watch?v=CkizAt4WWjE&index=17&list=PLTDunuLIi6ogN-5b6G_mqbgzUOZLrg505

https://www.youtube.com/watch?v=pyLSbXHYUr4&index=8&list=PLTDunuLIi6ogN-5b6G_mqbgzUOZLrg505


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Cálculos en Z y Q

3. -(-6) – 14 + (-11) + (13 + (-21) + 4) – (26 – 40)

1ro. Efectuamos las operaciones dentro de los paréntesis.

-(-6) – 14 + (-11) + (13 + (-21) + 4) – (26 – 40)

Ahora efectuamos la suma del paréntesis que queda.

= -(-6) – 14 + (-11) + (17 + (-21)) – (–14)

= 6 – 14 + (-11) – 4 + 14

Efectuamos las sumas de signos iguales. = 20 – 29

= -9 Efectuamos la resta

-(-6) – 14 + (-11) + (13 + (-21) + 4) – (26 – 40) = -9


= (6 + 14) + (–14 – 11 – 4)

2. 25 + (-2) – 17 + (-8 + 5 – 13 + 20 + 3) + 29

1ro. Efectuamos las operaciones dentro

del paréntesis. 25 + (-2) – 17 + (-8 + 5 – 13 + 20 + 3) + 29

Efectuamos la resta del paréntesis

25 + (-2) – 17 + (-8 + 5 – 13 + 20 + 3) + 29 = 42


En el 1er paréntesis sumamos los números positivos. Y en el 2do paréntesis efectuamos la resta.

= -(-6) – 14 + (-11) + (13 + (-21) + 4) – (26 – 40)

= -(-6) – 14 + (-11) + (17 + (-21)) – (–14)

Efectuamos el producto de signos del 1er y último término.

= -(-6) – 14 + (-11) + (-4) – (–14)

= 25 + (-2) – 17 + (-8 + 5 – 13 + 20 + 3) + 29 Sumamos los números positivos y los números negativos. = 25 + (-2) – 17 + (28 – 21) + 29

= 25 + (-2) – 17 + (7) + 29

= (25 + 7 + 29) + (-2 – 17)

Efectuamos las operaciones = (61) + (– 19)

Efectuamos la suma = 42


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Cálculos en Z y Q


NÚMEROS ENTEROS. Multiplicación de Enteros. Ejercicios 1 al 3.

1. (-5)(-3 + 4 – 6) + (11 – 15 + 7)(-9) + 23

2. -2[(-5 + 11 – 9) + 5(4 – 1)] + 8(-15) 3. -{4(-2 + 19 - 7) – (6 – 9)(3 + 5 + 12)}

En el 1ro y 2do término tenemos el producto de un número por una suma y, una suma por un número.

(-5)(-3 + 4 – 6) + (11 – 15 + 7)(-9) + 23

Efectuamos las sumas de los paréntesis

= (-5)(-3 + 4 – 6) + (11 – 15 + 7)(-9) + 23

Sumamos los números positivos y los números negativos.

Efectuamos las multiplicaciones

Sumamos los dos términos positivos

1. (-5)(-3 + 4 – 6) + (11 – 15 + 7)(-9) + 23

Tenemos dos opciones para proceder: • Efectuamos la suma del paréntesis y luego el producto por el número. • Aplicamos propiedad distributiva. Tomaremos la primera opción.

Efectuamos las operaciones de los paréntesis:

= (-5)(-9 + 4) + (18 – 15)(-9) + 23

= (-5)(-5) + (3)(-9) + 23

= 25 – 27 + 23

= 48 – 27

Efectuamos la resta = 21

(-5)(-3 + 4 – 6) + (11 – 15 + 7)(-9) + 23 = 21

-2[(-5 + 11 – 9) + 5(4 – 1)] + 8(-15)

Efectuamos la suma del paréntesis

= -2[(-5 + 11 – 9) + 5(4 – 1)] + 8(-15) En el 1er paréntesis sumamos los números negativos. Y en el 2do efectuamos la resta.

Efectuamos las multiplicaciones 5(3) y 8(-15)

2. -2[(-5 + 11 – 9) + 5(4 – 1)] + 8(-15)

Efectuamos las operaciones de los paréntesis:

= -2[(-14 + 11) + 5(3)] + 8(-15)

= -2[(-3) + 5(3)] + 8(-15)

= -2[(-3) + 15] + (-120)


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Cálculos en Z y Q

Efectuamos la suma del corchete

-2[(-5 + 11 – 9) + 5(4 – 1)] + 8(-15) = -144

= -2[(-3) + 15] + (-120)

= -2[12] + (-120)

= -24 + (-120)

= -144

Multiplicamos -2[12]

Efectuamos la suma

Entre las llaves hay tres paréntesis que

contienen sumas y restas. Efectuamos las sumas y restas dentro de ellos.

-{4(-2 + 19 - 7) – (6 – 9)(3 + 5 + 12)}

Transformamos la resta en suma y calculamos.

3. -{4(-2 + 19 - 7) – (6 – 9)(3 + 5 + 12)}

Efectuamos los productos:

= -{40 – (-60)}

10 -3 20

= -{4(10) – (-3)(20)}

= -{40 + 60}

= -100

Nota: al efectuar todas las operaciones dentro de las llaves y obtener un solo número se desvanecen las llaves.

-{4(-2 + 19 - 7) – (6 – 9)(3 + 5 + 12)} = -100

Eliminar los símbolos de agrupación y efectuar los cálculos:

1. {-6 + [(9 – 5 + 12) – (35 – 39 + 11) + 23 – 18] + 20} 2. -[-(45 + 111 - 78) + (89 – 102 + 13)] + (-25 + 47) 3. 9 – 4 – {63 – [(41 + 10 – 5) – (53 + 12)] – 91 + 11}

NÚMEROS ENTEROS. Eliminación de Símbolos de Agrupación. Ejercicios 1 al 3.

La teoría de lo que son símbolos de agrupación, tipos, significado operativo y cómo eliminarlos podemos encontrarla en detalles en:

NÚMEROS ENTEROS. Símbolos de Agrupación

NÚMEROS ENTEROS. Eliminación de Símbolos de Agrupación

NÚMEROS ENTEROS. Eliminar Símbolos de Agrupación. Ejercicio 1




A continuación te presentamos el desarrollo de los ejercicios propuestos como complemento al repaso de las operaciones en los números enteros.


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Cálculos en Z y Q

1. -[-(45 + 111 - 78) + (89 – 102 + 13)] + (-25 + 47)

Tenemos dos paréntesis dentro de un corchete, y un paréntesis fuera del corchete.

-[-(45 + 111 - 78) + (89 – 102 + 13)] + (-25 + 47)

Antes del 1er paréntesis tenemos signo negativo, antes del 2do paréntesis tenemos positivo, y antes del 3er paréntesis tenemos positivo.

Reunimos los sumandos positivos y los sumandos negativos.

Efectuamos las sumas parciales y la suma total, obtenemos 100.

-[-(45 + 111 - 78) + (89 – 102 + 13)] + (-25 + 47) = 100

= (45 + 111 + 102 + 47) + (– 78 – 89 – 13 – 25)

= (305) + (–205)

= 100

-[-(45 + 111 - 78) + (89 – 102 + 13)] + (-25 + 47)

= –[– 45 – 111 + 78 + 89 – 102 + 13] – 25 + 47

= + 45 + 111 – 78 – 89 + 102 – 13 – 25 + 47

Antes del corchete tenemos signo negativo. Cambian los signos de todos los términos contenidos en el al eliminarlo.

2. {-6 + [(9 – 5 + 12) – (35 – 39 + 11) + 23 – 18] + 20}

Tenemos dos paréntesis dentro de un corchete, y el corchete con otros sumandos dentro de llaves.

{-6 + [(9 – 5 + 12) – (35 – 39 + 11) + 23 – 18] + 20}

Error Común: multiplican por menos todos los signos de números que están delante del signo menos.

El signo menos afecta sólo a los signos de los números que están dentro del paréntesis que tienen justo delante.

–[– 45 – 111 + 78 + 89 – 102 + 13] – 25 + 47

= + 45 + 111 – 78 – 89 + 102 – 13 + 25 – 47

Antes del 1er paréntesis tenemos signo positivo sobreentendido, y antes del 2do paréntesis tenemos negativo.

Recordemos: Para eliminar un paréntesis multiplicamos el signo que le precede (el signo que tiene antes) por cada sumando contenido en ellos.


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Cálculos en Z y Q

Justo antes del corchete tenemos signo positivo, así que eliminamos el corchete sin alterar el signo de los sumandos contenido en él.

Antes de la llave tenemos signo positivo, así que eliminamos la llave sin alterar el signo de los sumandos contenido en ella.



{-6 + [(9 – 5 + 12) – (35 – 39 + 11) + 23 – 18] + 20} = 28

= {-6 + 9 – 5 + 12 – 35 + 39 – 11 + 23 – 18 + 20}

= -6 + 9 – 5 + 12 – 35 + 39 – 11 + 23 – 18 + 20

= (9 + 12 + 39 + 23 + 20) + (– 6 – 5 – 35 – 11 – 18)

= (103) + (– 75)

= 28

3. 9 – 4 – {63 – [(41 + 10 – 5) – (53 + 12)] – 91 + 11}

Recordemos: • Cuando se multiplica por signo positivo se mantienen los signos de cada número. • Cuando se multiplica por signo negativo cambia el signo de cada número entero

que sale de los paréntesis.

{-6 + [(9 – 5 + 12) – (35 – 39 + 11) + 23 – 18] + 20}

= {-6 + [9 – 5 + 12 – 35 + 39 – 11 + 23 – 18] + 20}

Tenemos dos paréntesis dentro de un corchete, y el corchete con otros sumandos dentro de llaves.

9 – 4 – {63 – [(41 + 10 – 5) – (53 + 12)] – 91 + 11}

Antes del 1er paréntesis tenemos signo positivo sobreentendido, entonces los números salen del paréntesis con los mismos signos con que están. Antes del 2do paréntesis tenemos negativo, entonces los números salen del paréntesis con el signo contrario.

= 9 – 4 – {63 – [41 + 10 – 5 – 53 – 12] – 91 + 11}

Antes del corchete tenemos signo negativo, así que eliminamos el corchete cambiando el signo de cada sumando contenido en él.

= 9 – 4 – {63 – 41 – 10 – 5 + 53 + 12 – 91 + 11}

Antes de la llave tenemos signo negativo, así que eliminamos la llave cambiando el signo de cada sumando contenido en ella.

= 9 – 4 – 63 + 41 + 10 + 5 – 53 – 12 + 91 + 11


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Cálculos en Z y Q



9 – 4 – {63 – [(41 + 10 – 5) – (53 + 12)] – 91 + 11} = 35

= (9 + 41 + 10 + 5 + 91 + 11) + (– 4 – 63 – 53 – 12)

= (167) + (– 132)

= 35

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