1

Cálculo Integral: libro de texto

Ramírez Chávez, A.

Silva Osoria, A.

Instituto Tecnológico de San Juan del Río

RESUMEN

En respuesta a los nuevos modelos de enseñanza de las matemáticas para la

educación superior, se considera de suma importancia la elaboración de un libro

de texto de cálculo integral que se adecue a los nuevos modelos de enseñanza, para

que de esta manera tanto profesores como estudiantes estén a la vanguardia en los

métodos de aprendizaje más actuales. Se busca que el alumno construya un

conocimiento integral, es decir, que aplique los conocimientos y destrezas

adquiridos en esta asignatura a problemas de la vida real y vea su relación con

otras asignaturas. Se pretende que el libro sea accesible a todos los estudiantes y se

convierta en un referente de la asignatura.

INTRODUCCIÓN

Uno de los mayores problemas dentro de la enseñanza de las matemáticas es la

complejidad de los temas tratados, además de que con respecto a material

didáctico muchas veces no se cuenta con lo necesario para llevar un curso como se

debe. Otra dificultad a la que se enfrentan la mayoría de los estudiantes es la poca

comprensión que tienen hacia los grandes volúmenes de cálculo que existen en el

mercado, los consideran libros muy grandes y complejos en cuanto a contenido; es

por ello que el libro de cálculo que se elaborará tendrá un lenguaje más accesible

2

para los estudiantes, aunque no perderá el rigor matemático que se exige para la

enseñanza del cálculo, esto les ayudará un poco en la comprensión de conceptos

que tal vez ellos no entienden dentro del aula, cabe aclarar que el libro no pretende

sustituir el trabajo del profesor, pero sí hacer que un estudiante se sienta

identificado dentro de la asignatura y tenga una mejor comprensión de los temas

abordados en el curso.

Una característica que será notable a lo largo de todo el libro será el uso formal

de software matemático, pues aunque existe una gran variedad de paquetes, los

estudiantes aún no están familiarizados con su uso; otra característica a resaltar

son los ejercicios de aplicación a las diversas áreas del conocimiento humano, pus

de nada sirva aprender a dominar una técnica cuando ésta no es aplicada, para los

estudiantes es una cualidad muy positiva, pues se dan cuanta de que el

conocimiento que se adquiere en el aula es de utilidad para su formación

profesional. Se quiere motivar a los estudiantes a estudiar el cálculo no solamente

como requisito para aprobar una asignatura, sino para irse forjando diferentes

destrezas a lo largo de su formación profesional y poder aplicarlas cuando se

encuentre en el campo laboral.

MÉTODOS Y MATERIALES

Para la elaboración del libro de cálculo integral se desarrollaron las siguientes

actividades:

1. Selección de fichas bibliográficas en base a cada unidad del temario de la

asignatura de cálculo integral.

3

2. Selección de referencias webgráficas (páginas de internet) en base a cada unidad

del temario de la asignatura de cálculo integral.

3. Búsqueda de información (teoría y ejercicios) de cada subtema de todas las

unidades del programa.

4. Organización y clasificación de la información obtenida.

5. Captura de información por computadora.

6. Revisión técnica.

Para el desarrollo de las actividades mencionadas se requirió del siguiente

material: acceso a Internet, red local debidamente instalada, equipo de cómputo,

impresora, material bibliográfico (libros), paquete de software (Derive, Wplotsp) y

temario de la asignatura.

RESULTADOS

A continuación se presenta un resumen de la Unidad 1: Teorema fundamental del

cálculo del libro de Matemáticas II: Cálculo Integral.

Notación sumatoria

Dentro del cálculo de áreas se requiere expresar la suma de una gran cantidad de

números, pero esta actividad resulta tediosa y muchas veces aburrida. Se pude

expresar la suma de muchos números de una forma compacta gracias a la notación

sumatoria. Supóngase un conjunto numérico de n elementos:

naaaa ,,,, 321 (1)

4

La suma de los elementos mediante la notación sumatoria queda expresada de la

siguiente manera:

n

n

k

k aaaaa

321

1

(2)

Resulta más fácil realizar algunas sumatorias cuando se conocen algunas de sus

propiedades:

Si n es un entero positivo, {a1, a2, a3, ..., an} y {b1, b2, b3, ..., bn} dos conjuntos de

números y c una constante, entonces se tiene:

n

k

k

n

k

k acca11

(3)

cncn

k

1

(4)

n

k

k

n

k

k

n

k

kk baba111

(5)

Éstas son algunas fórmulas de sumatorias especiales:

2

1

1

nnk

n

k

(6)

6

121

1

2

nnnk

n

k

(7)

2

1

3

2

1

nnk

n

k

(8)

5

Suma de Riemann

La suma de Riemann nos ayuda a aproximar el área bajo una función y=f(x)

respecto a eje x en un intervalo cerrado [a, b]. Consideremos una partición P del

intervalo [a, b], la cual se va a dividir en n subintervalos:

bxxxxxxa nnn 12210 (9)

La longitud de cualquier subintervalo k, o k–ésimo subintervalo [xk–1, xk] viene dado

por la ecuación:

1 kkk xxx (10)

De cada subintervalo de la partición se selecciona un punto arbitrario al cual se le

llamará punto muestra y se denota por:

kx (11)

Para poder aproximar el área bajo una función mediante sumas de Riemann, se ha

ce uso de rectángulos, a los cuales se les calcula el área para poder acercarnos al

área de la función. La longitud de la base de cada rectángulo las la longitud del

subintervalo sobre la cual se encuentra dicho rectángulo, es decir:

kxB (12)

Y la altura es el valor que tiene la función en el punto muestra, es decir:

6

kxfH (13)

Y para calcular el área de cada rectángulo se multiplica la base por la altura.

Representamos las semas de las áreas de todos los rectángulos de la partición P,

dicha suma de áreas se denota por RP:

nnP xxfxxfxxfR 2211 (14)

Representamos la suma anterior de una forma reducida mediante la notación

sumatoria:

n

k

kkP xxfR1

(15)

Ésta es la suma de Riemann para el área RP.

Integral definida

Por medio de la suma de Riemann se hace uso de rectángulos para calcular el área

bajo una función y=f(x) en el intervalo [a, b]; sin embargo, la suma de Riemann nos

da solo una aproximación al área exacta de la función en el intervalo.

Un punto interesante en este aspecto es que entre mayor número de

rectángulos se use en la suma de Riemann, su resultado se aproxima cada vez más

al área exacta de la función, además, conforme aumenta la cantidad de rectángulos

la longitud de la base de los mismos va disminuyendo; podríamos decir entonces

7

que si el número de rectángulos n aumenta, la base de éstos ∆x disminuye,

simbólicamente decimos que si:

0 xn (16)

De lo anterior deducimos la definición de integral definida.

Definición de integral definida: Si f(x) está definida en el intervalo [a, b] y el límite de

la suma de Riemann de f(x) existe, entonces decimos que f(x) es integrable en [a, b]

y denotamos este límite mediante:

b

a

n

k

kkx

n

k

kkn

dxxfxxflímxxflímk 1

01

(17)

Llamamos integral definida de f(x) de a hasta b, al valor de este límite. El valor de a

es el límite inferior de integración y el valor de b es el límite superior de integración.

Propiedades de la integral definida

Es conveniente saber algunas propiedades de la integral definida para cuando sea

el momento de resolverlas. Dos integrales definidas especiales:

1.– Si f(x) está definida en x=a, entonces

0a

a

dxxf (18)

8

Asumimos que a<b, pero cuando a>b usamos:

2.– Si f(x) es integrable en [a, b] entonces:

b

a

a

b

dxxfdxxf (19)

Propiedad aditiva de los intervalos:

Consideremos dos regiones R1 y R2 bajo una función y=f(x) y sea RT=R1+R2, la

fórmula para el área RT viene dada por:

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf (20)

Si el área RT estuviera dada por más de dos regiones, también se podría aplicar esta

fórmula. No importa el orden de a, b o c; en este caso c es un punto dentro de [a, b].

Teorema de existencia para integrales

Este teorema menciona que si una función cualquiera f(x) es continua en el intervalo

cerrado [a, b], entonces la función es integrable en dicho intervalo.

Función primitiva

Una primitiva de la función f(x) es otra función F(x), tal que:

xfxF ´ (21)

9

El proceso para obtener una primitiva se llama antiderivación, puesto que es un

proceso inverso a la derivación.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental nos dice que las dos principales ramas del cálculo

(diferencial en integral) están dadas por operaciones inversas, pues para aproximar

la pendiente de una recta a una curva se usa el cociente:

x

ym

(22)

Mientras que para poder aproximar el área bajo una curva se usa el producto:

xyA (23)

Si una función f(x) es continua (o integrable) en el intervalo cerrado [a, b], entonces:

aFbFdxxf

b

a

(24)

Donde F(x) es una primitiva de f(x), tal que F´(x)=f(x) para todo x en el intervalo [a,

b].

1

0

Cálculo de integrales definidas

Hay dos maneras de calcular integrales definidas: una es mediante la propia

definición de integral definida (es decir, como el límite de una suma) y otra es con

el uso de propiedades básicas, las cuales se muestran a continuación:

Fórmulas de integración definida

Propiedad del múltiplo constante

b

a

b

a

dxxfkdxxkf (25)

Propiedad de suma y resta de funciones

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf (26)

Propiedad de las potencias:

111

1

1

1

nn

b

a

nb

a

n abnn

xdxx (27)

Integrales impropias

Existen dos tipos de integrales impropias. El primer tipo de integral es aquella en

la que uno o ambos límites de integración son infinitos. Un ejemplo podría ser:

11

b

dxxf (28)

El segundo tipo de integral es aquella en la que f(x) presenta una o más

discontinuidades en el intervalo cerrado [a, b]; si c representa una discontinuidad,

un ejemplo de integral de este tipo podría ser:

c

a

dxxf (29)

CONCLUSIONES

En la elaboración del libro de cálculo se aprendieron técnicas importantes; se vio el

proceso que se requería para la elaboración de un libro, desde la selección de la

bibliografía, pasando por la búsqueda de la información requerida hasta la

selección de aplicaciones para los conceptos; de manera particular fue un

recordatorio de algunos temas que se habían olvidado y se adquirió un poco más

de destreza con el uso de software tanto matemático como de redacción. Se espera

que las técnicas aprendidas durante la estancia puedan ser utilizadas para el

desarrollo de trabajos futuros.

BIBLIOGRAFÍA

Larson, Ronald E., Hostetler, Robert P. y Edwards Bruce H. (1995). Cálculo con

geometría analítica, Mc Graw–Hill, 299–299 p.

Leithold, Louis (1992). El cálculo con geometría analítica, Harla, 376–395 p.

Morales Lizama, Fausto (2003). Matemáticas V: Cálculo integral, FCE–DGETI, 19–125 p.

1

2

Potter, Murray H., Charles B. (1986). Cálculo con geometría analítica, Addison Wesley

Iberoamericana, 219–221 p.

Purcell, Edwin J, Valberg, Dale y Ringdon, Steven E. (2001). Cálculo, Pearson, 221–

228 p.

Thomas Jr., George B. y Finney Ross L. (1998). Cálculo de una variable, Pearson–

Addison Wesley Longman, 312–320 p.

http://calculo.unimayab.edu.mx/Integral/Tema6.8.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/calculo_integral/integral_defini

da.htm

http://www.itpuebla.edu.mx/Alumnos/Cursos_Tutoriales/Carlos_Garcia_Franchin

i_Calculo/Teor%C3%ADa/TeoriaC14100.htm

http://www.itpuebla.edu.mx/Alumnos/Cursos_Tutoriales/Carlos_Garcia_Franchin

i_Calculo/Focalizacion/Focaliza/C16.htm