clase geomecánica

Fundamentos de GeotecniaDepartamento de

Ingeniera en Minas

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 1

3.4 ECUACIONES DE TENSIONES PLANAS

Problemas en Teora de Elasticidad son considerablemente simplificados si todos los esfuerzos son

paralelos a un plano. Hay muchos problemas en los cuales la distribucin de esfuerzos es

esencialmente plana. El ejemplo clsico para tensiones planas es una placa delgada sujeta a fuerzas

paralelas al plano de sta y uniformemente distribuidas sobre su espesor.

La condicin de tensiones planas es obtenida cuando sz, txz y tyz y todas las variaciones deesfuerzos con respecto a z son cero. Luego, las relaciones de esfuerzo deformacin para el estado de

tensiones planas estar dado por las siguientes ecuaciones:

yxz

xyy

yxx

E

)27.3(E

1

E

1

ssu

uss

uss

G

xy

xy

t


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Las condiciones de equilibrio, relaciones de deformacin desplazamiento y las ecuaciones de

compatibilidad son en este caso:

)28.3(0Yyx

0Xyx

yxyyxx

s

t

t

s

y

v

x

uyx

)29.3(

x

v

y

uxy

)30.3(yxxy

xy2

2

y2

2

x2

Sustituyendo las ecuaciones (3.27) en (3.30) se tiene:

)31.3(yx

12xy

xy2

xy2

2

yx2

2

tusus

sus

Diferenciando la primera ecuacin de equilibrio con respecto a x, la segunda respecto a y, y sumando

estos resultados se tiene:

y

Y

x

X

yxyx2

2

y2

2

x2

xy2

s

s

t


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Reemplazando:

)32.3(y

Y

x

X1

yxyx2

2

2

2

uss

Si las fuerzas msicas son constantes o cero:

)33.3(0yx

yx2

2

2

2

ss

Hay tres componentes de esfuerzos desconocidas. Las ecuaciones necesarias para obtener una

solucin son las ecuaciones de equilibrio (3.28) y las ecuaciones de compatibilidad (3.32 3.33), junto

a las condiciones de borde.


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3.5 ECUACIONES DE DEFORMACIONES PLANAS

Simplificaciones de problemas en Teora de Elasticidad tambin ocurren cuando un estado de

deformaciones planas existe. Si los desplazamientos de todos los puntos de un cuerpo deformado

estn en planos normales al eje longitudinal del cuerpo, un estado de deformacin plana existe. El

problema no se complica si una extensin uniforme en la direccin de este eje longitudinal es sobre

impuesta a la deformacin plana. Un buen ejemplo de deformacin plana es un tnel horizontal de gran

longitud a cierta profundidad en el macizo rocoso.

Para que exista deformacin plana, xz y yz deben ser cero a travs del cuerpo y todas las

variaciones de z con respecto a z deben ser cero. Luego z es cero o una constante. Si z es igual acero en la ltima ecuacin de esfuerzo deformacin (3.4) el resultado es:

)35.3(11E

1

11E

1

xy2

y

yx2

x

suusu

suusu

xy

xy

xyE

12

Gt

ut

)34.3(yxz ssus

Luego, las relaciones de esfuerzo deformacin con z igual a cero son:


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Las condiciones de equilibrio, relaciones de deformacin desplazamiento y las ecuaciones de

compatibilidad son las mismas que en el caso de las tensiones planas:

Sustituyendo las ecuaciones (3.35) en (3.30) se tiene:

yx

2xyxy

1xy

2

2

x2

2

y2

2

y2

2

x2

t

s

su

s

su

Diferenciando de manera similar las ecuaciones de equilibrio a lo antes indicado y sumando estos

resultados se tiene:

)36.3(y

Y

x

X

1

1

yxyx2

2

2

2

uss

Si las fuerzas msicas son constantes o cero:

)37.3(0yx

yx2

2

2

2

ss

Cabe destacar que ninguna ecuacin de compatibilidad o equilibrio contiene las constantes elsticas

del cuerpo. Por lo que la distribucin de esfuerzos es la misma para todos los materiales isotrpicos

que proporcionen un estado de tensiones o deformaciones bidimensional.

Nuevamente, las ecuaciones necesarias para obtener una solucin son las ecuaciones de equilibrio

(3.28) y las ecuaciones de compatibilidad (3.36 3.37), junto a las condiciones de borde.


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3.6 FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY

Ha sido demostrado que problemas en dos dimensiones en Teora de Elasticidad se reducen a resolver

las dos ecuaciones diferenciales de equilibrio y las ecuaciones diferenciales de compatibilidad. Las

constantes de integracin son evaluadas mediante las condiciones de borde. La tcnica habitual para

resolver esas ecuaciones cuando las fuerzas msicas son cero o constantes es introducir una nueva

funcin conocida como la FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY.

Considerando las fuerzas msicas igual a cero; entonces la funcin de esfuerzos de Airy es definidacomo:

2

2

xy

s

2

2

yx

s )38.3(

yx

2

xy

t

)39.3(0yx

0yx

yxyyxx

s

t

t

s

Las ecuaciones de equilibrio en 2D para fuerzas msicas igual a cero son:

Sustituyendo la ecuacin (3.38) en (3.39) se demuestra que la funcin de esfuerzos de Airy satisface

las ecuaciones de equilibrio. La ecuacin de compatibilidad 2D es:

)40.3(0yx

yx2

2

2

2

ss


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Sustituyendo la ecuacin (3.38) en (3.40) se obtiene:

)41.3(0yyx

2xyxyx 4

4

22

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

Cualquier funcin que satisfaga la ecuacin (3.41) tambin satisface las condiciones de

compatibilidad y las condiciones de equilibrio. Luego, problemas bidimensionales que involucren

fuerzas msicas igual a cero se reducen a resolver la ecuacin diferencial de cuarto grado, bi-armnica

dada en (3.41)


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3.7 PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

El resolver grupos de ecuaciones diferenciales parciales simultneas es una difcil tarea. Mtodos

directos para obtener las soluciones no estn siempre disponibles; por lo tanto, recurriremos a otros

mtodos. Una tcnica adecuada es suponer una solucin final posible. La solucin supuesta es

verificada contra las ecuaciones bsicas y condiciones de borde. Si todas las condiciones no son

satisfechas, se revisa la solucin asumida y el proceso de chequeo se repite hasta encontrar una

solucin que satisfaga todas las condiciones del problema.

En la prctica, las condiciones de borde no siempre pueden ser especificadas matemticamente.

Soluciones para estos problemas a veces pueden ser encontradas por otras condiciones de borde. En

tales casos, un principio propuesto por Saint Venant es utilizado. Brevemente este principio establece:

Si un sistema de fuerzas actuando sobre una porcin del borde es reemplazado por un sistema

de fuerzas estticamente equivalente actuando en la misma porcin del borde, entonces los

esfuerzos, deformaciones y desplazamientos del cuerpo no rgido en partes del cuerpo

suficientemente alejadas de esta porcin del borde son aproximadamente las mismas. Este

principio ha sido verificado terica y experimentalmente, tanto que hoy es aceptado como una ley

fundamental de la teora de elasticidad.

En otras palabras, el principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un

slido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicacin de las cargas, depende muy poco

del modo concreto de aplicacin de las mismas. Por lo tanto, a suficiente distancia del punto de

aplicacin de cargas, los efectos de las mismas dependen slo de su resultante y no de su

distribucin, es decir, que sistemas estticamente equivalentes producen los mismos efectos.


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3.7 SOLUCIONES CLSICAS EN TEORA DE ELASTICIDAD

FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY EN COORDENADAS POLARES

2

2

2r r

1

rr

1

s

)42.3(r 2

2

s

t

rr

1

r

1 2

2r


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r

v

r

vu

r

1

)43.3(v

r

1

r

u

r

u

r

r

tu

sus

sus

rr

r

rr

E

12

)44.3(E

1

E

1

Relaciones de deformacin desplazamiento en coordenadas polares

Relaciones de esfuerzo - deformacin en coordenadas polares


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3.7.1 CILINDRO DE PARED GRUESA

ir ps

0r ps

aren0y r t

bren0y r t

rlogCAr 2

2

2

2r r

1

rr

1

s

2

2

r

s

t

rr

1

r

1 2

2r

Condiciones de borde:

Funcin de esfuerzos:

Esfuerzos en coordenadas polares:


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)ab(r

PPba

ab

PaPb222

0i22

22

i2

02

r

s

)45.3(

)ab(r

PPba

ab

PaPb222

0i22

22

i2

02

s

0r t

Resolviendo se tiene:

Caso especial si Pi = 0 :

2

2

22

02

rr

a1

ab

Pbs )46.3(0r t

2

2

22

02

r

a1

ab

Pbs

Cuando r = a, sr = 0 :

22

02

ab

Pb2

s

Cuando r = b, sr = P0 :

22

220

ab

abP

s


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Distribucin de esfuerzos para un cilindro de

razn a/b = 0.8

Distribucin del esfuerzo tangencial mximo con la

razn a/b

220

2

abE

pba2u

Desplazamiento radial generado en el cilindro de pared gruesa:

DEMOSTRAR!!


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Condiciones de borde (Ecuaciones de Esfuerzos en 2D,

2.11 y 2.12):

s 2cosPPPP 2121

2121

rr

t 2senPP 2121

rr

0arrarr

ts

Funcin de esfuerzos:

2cosFErDrCrBrrlogA 2422

3.7.2 PLACA INFINITA CON UNA PERFORACIN CIRCULAR


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Reemplazando se tiene:

s 2cosr

a4

r

a31PP

r

a1PP

2

2

4

4

2121

2

2

2121

r

)47.3(2cosr

a31PP

r

a1PP

4

4

2121

2

2

2121 s

t 2senr

a2

r

a31PP

2

2

4

4

2121

r

Si P1 = P2 = P :

2

2

rr

a1Ps )48.3(0r t

2

2

r

a1Ps


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A partir de las ecuaciones desplazamiento Esfuerzo es posible determinar los desplazamientos:

u

2cosr

ar

2

PP

r

ar

2

PP

E

2cosr

a4

r

ar

2

PP

r

ar

2

PP

E

1u

3

421

221

2

3

421

221

)49.3(2senr

a

r

a2r

2

PP

E

2senr

a

r

a2r

2

PP

E

1v

3

4221

3

4221

u

DEMOSTRAR!!


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3.7.3 OTRAS SOLUCIONES ELSTICAS

CARGA CONCENTRADA EN EL BORDE DE UNA PLACA SEMI INFINITA

rt

senoF2r

s

0r t

0s


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CARGA CONCENTRADA DIAMETRALMENTE SOBRE UN DISCO CIRCULAR

Dt

F2r

s

0r t

0s


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CILINDRO DE PARED DELGADA EN UN CAMPO DE ESFUERZOS TRIAXIAL

)ab(r

PPba

ab

PaPb222

0i22

22

i2

02

r

s

)ab(r

PPba

ab

PaPb222

0i22

22

i2

02

s

0r t


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3.8 INFLUENCIA DE LA FORMA DE LA EXCAVACIN

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