clase fact

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

¿Qué es Factorizar?

Si un número está escrito como el producto de otros, entonces está factorizado, y cada número en el producto se llama factor del número original

EJEMPLOS

1) 30 = 2 3 5 2, 3 y 5 son factores de 30

2) 12 = 3 4 3 y 4 son factores de 12

Si una expresión algebraica está escrita como el producto de otras expresiones, entonces está factorizada, y cada expresión en el producto es un factor de la expresión original

EJEMPLOS

1) x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) y (x+2) y (x-2) son factores de la expresión x2 – 4

2) x2 + 4x + 4 = ( x + 2)2 y (x+2) y (x+2) son factores de x2 + 4x + 4

Un polinomio se llama irreductible o primo cuando no se puede expresar en factores, en caso contrario decimos que es reducible o compuesto

EJEMPLOS

1) x + 7 es un polinomio primo, porque no podemos expresarlo como el producto de 2 o más factores

2) x2 + 4 es un polinomio primo

EJERCICIOS

Indica cuál de las siguientes expresiones algebraicas está factorizada

1) 3x(x – 5)

2) 4ab – 3a

3) (a – b)2

4) m(m-3) + 5m

¿Cómo verificarías si una factorización es correcta?

Factorizar una expresión algebraica es expresarla como el producto de 2 o más expresiones equivalentes a la original

Verifica las siguientes factorizaciones

1) x2 – 3x = x(x + 3)

2) x2 – 9 = (x+3)(x-3)

3) x2 – 6x + 8 = (x-4)(x-2)

4) ¿Cuál de las siguientes alternativas es la mejor factorización de la expresión 6x2 – 24x?

a) 2x(3x – 12)

b) 3(2x2 – 8x)

c) 6x(x – 4)

5) El área de un rectángulo es (x2 + 3x) cm2, y uno de sus lados mide x ¿Cuál es la medida del otro lado?

6) ¿Puedes completar las siguientes factorizaciones?

a) 3x2 + 6y – 9 = 3(x2 + ........ - .......)

b) a2 – 25 = (a +5)(.... - ....)

c) m + 5 =

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

factor común monomio

Esta regla se usa cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común. Este factor común puede ser:

Una letra Un coeficiente Un monomio Puede estar explícito o implícito

Si es un número se saca el mayor número que contenga a todos los coeficientes de los términos (el máximo común divisor)

Si es letra se saca la que tiene menor exponente y se repite en todos los términos de la expresión a factorizar

EJEMPLOS

Factoriza las siguientes expresiones

1) 2x + 2y = 2(x + y)

2) 3m + 6mp – mn= m( 3 + 6p – n)

3) 10b – 30ab =

4) 4ax + 8xy =

5) 5xy2 + 10xy4 – 30xy5 =

6) 10a2 – 5a + 15a3 =

7) 18m2x2y2 + 36my2 – 54m2x2y2 =

EJERCICIOS

Encuentra el factor común entre los términos de cada polinomio

1) 6ab + 5ac + 3ax

2) 3a + 9a3 + 6a2

3) a2x2 + a5x4 + a2x3

4) 7a2 + 9b – 8c4

5) Al factorizar el polinomio 2a4b3 – 4a5b4. Guillermo obtiene 2ab(a3b2 – 2a4b3) y Daniela obtiene

2a4b3 (1 – 2ab) ¿Qué factorización es mejor? ¿por qué?


1) a2 + ab =

2) b + b2 =

3) ab – bc =

4) 5m2 + 15m3 =

5) 2a2x + 60x2 =

6) 15a - 27b + 9c =

7) 14x2y2 – 28x3 + 56x4 =

Factoriza las siguientes expresiones numéricas

1) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 =

2) 22 + 24 + 26 + 28 + 210 =

factor común polinomio

Esta regla se usa cuando todos los términos del polinomio tienen un factor polinomio igual o común

EJEMPLOS

Factorizar las siguientes expresiones

1) 3(a + b) + x(a + b) = (a + b)(3 + x)

2) 2x(a – 1) – y(a – 1) = (a –1)(2x – y)

3) m(x + 2) + x + 2 = (x+2) (m + 1)

4) a(x +1) - x – 1 = a(x+1) – (x +1) = (x+1)(a-1)

5) 2x(x+y+z) – x –y –z =

6) (x-a)(y+2) + b(y+2) =

7) (x+2)(x-1) – (x-1)(x-3) =

8) (4a-3)x – (5x+2)(4a-3) – 2(4a-3) =

EJERCICIOS

Completa cada una de las siguientes factorizaciones

1) m(a+1) – n(a+1) = (a+1)( )

2) (x+y)(n+1) – 3(n+1) = (n+1)( )

3) x2 + 1 – b(x2 + 1) = (x2 + 1)( )

4) x(a+2) – a- 2 + 3(a+2) = (a+2)( )


1) x(4x-1) – 4(4x-1) =

2) 4n(m2 + p + 1) +3m(p – 1 + m2) =

3) (a2 + 1)(x-y) + 2(x-y) =

4) 4x2(x-3)3 – 6x(x-3)2 + 4(x-3) =

5) (a+b+1)(x2+1) – x2 – 1 =

RECORDEMOS el concepto de cuadrado perfecto, pues, lo usaremos en las siguientes factorizaciones

Un cuadrado perfecto es un número o expresión que es igual al producto de dos factores iguales

EJEMPLOS de cuadrados perfectos

1) 16 , pues 16 = 44

2) 4x4, pues 4x4 = 2x22x2

FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Para factorizar binomios que sean una diferencia de cuadrados, usamos el producto notable suma por diferencia

(a + b)( a - b) = a2 – b2

diferencia de cuadrados perfectos

EJEMPLOS


1) 1 – y2 = (1 + y)(1 – y) 12 y2

2) x2 – 49 = (x + 7)(x – 7) x2 (7)2

3) 225a6 – 81b4 = (15a3 + 9b2)(15a3 – 9b2)

(15a3)2 (9b2)2

La diferencia de cuadrados perfectos, se factoriza como el producto notable suma por diferencia

X2 – y2 = (x+y)(x-y)

4) (x + y)2 – z2 = (x+y) + z(x+y) - z

EJERCICIOS

Marca con una cruz los binomios que se pueden factorizar como suma por diferencia

1) x2 – 25 2) a2 – 7

3) m2 – 16 4) ab2 – 16

5) 6) m18 -

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados

1) x2 – y2 =

2) 9 – r2 =

3) a10 – 121b22 =

4) 4x2n -

5) (x + 4)2 - 64 =

6) El área de un rectángulo es (x2 – 16) cm2. Si uno de sus lados mide x + 4 ¿Cuánto mide el otro lado?

Factoriza completamente las siguientes expresiones

1) 2x4y – 2x2y3 =

2) 3m5 – 12mn7 =

3) x2 – 4a2 + ax2 – 2a2x =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADADO PERFECTO

Los trinomios cuadrados perfectos corresponden al desarrollo del cuadrado de un binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 trinomio cuadrado perfecto

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 trinomio cuadrado perfecto

¿Cómo reconocemos un trinomio cuadrado perfecto?

El trinomio debe estar ordenado( Los términos del trinomio están ordenados en forma ascendente o descendente según el exponente de una variable)

El primer y tercer términos son cuadrados perfectos (ambos positivos)

El segundo término es el doble producto de las bases de estos cuadrados perfectos

Por lo tanto:

IMPORTANTE

Todo trinomio cuadrado perfecto, se factoriza como el cuadrado de un binomio

a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

Antes de factorizar un trinomio, es conveniente comprobar qué tipo de trinomio es

EJEMPLOS Factoriza las siguientes expresiones

1) x2 – 14x + 49 x2 72 Son cuadrados perfectosEl 2º término ¿es igual al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos? 2x7 = 14x SíLuego el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como un cuadrado de binomio, en este caso del binomio ( x – 7)2 o (7 – x)2 Observa que el signo que separa los términos del binomio es el signo del segundo término del T.C.P

Luego x2 – 14x + 49 = ( x – 7)2

2) x2 + 18x + 36 x2 62 Son cuadrados perfectosEl 2º término ¿es igual al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos? 2x6 = 12x .Pero como 12x 18x . NO podemos factorizar el trinomio dado como un cuadrado de binomio

3) El trinomio 9x2 + 30xy + 25y2 ¿Se puede factorizar como el cuadrado de un binomio? Compruébalo

4) x2 – 14x – 49 El trinomio dado No es un trinomio cuadrado perfecto, porque el tercer término es negativo. Por lo tanto No se factoriza como el cuadrado de binomio

EJERCICIOS

Marca con una cruz los trinomios cuadrados perfectos

1) x2 + 3x + 8 4) x2 – 2x - 1

2) 25x2 – 30x – 9 5) 4x2 + 8x + 16

3) 25x2 – 30x + 9 6) 1 – 2a3 + a6

Factoriza los siguientes trinomios

1) a2 – 2a + 1 =

2) 9 – 6x + x2 =

3) 16 + 40x2 + 25x4 =

4) 1 + 40ª2 – 14a =

5) x2y2 + 6ayx + 9a2 =

6) =

7) 9m2 + 16n10 + 24mn5 =

8) El área de un cuadrado es x2y2 + 6axy + 9a2 ¿Qué expresión algebraica corresponde a la medida de su lado?

Factoriza completamente las siguientes expresiones

1) 2x – 12x2 + 18x3 =

2) x2 + 2x + 1 – 4z2 =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + px + q

Este trinomio corresponde al desarrollo del producto de dos binomios con un término en común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab trinomio de la forma x2 + px + q donde p = a + b y q = a b

Luego

Un trinomio de la forma x2 + px + q, se puede factorizar como el producto de dos binomios con un término en común

x2 + px + q = ( x + a) (x +b)

a y b son tales que sumados den p, y multiplicados den q

EJEMPLOS


1) a2 – 5a - 24 El término en común lo leemos en el segundo término del trinomio es a

(a )(a ) El signo del primer binomio es igual al del segundo término del trinomio , y

el signo del segundo binomio se obtiene multiplicando los dos signos del trinomio

(a - )(a + ) Buscamos dos números que multiplicados den -24 y restados den –5 Esos números son -3 y 8, pues 3-8= - 24 y 3 – 8 = -5. El mayor de los números (en valor absoluto) encontrados se ubica siempre

en el primer binomio (a – 8)(a + 3)

Luego a2 – 5a - 24 = (a – 8)(a + 3)

2) a2 – 10a + 21 El término en común lo leemos en el segundo término del trinomio es a

(a )(a ) El signo del primer binomio es igual al del segundo término del trinomio , y

el signo del segundo binomio se obtiene multiplicando los dos signos del trinomio

(a - )(a - ) Buscamos dos números que multiplicados den 21 y sumados den –10 Esos números son -3 y -7, pues -3-7= 21 y -3 – 7 = -10. El mayor de los números (en valor absoluto) encontrados se ubica siempre

en el primer binomio(a – 7)(a - 3)

Luego a2 – 10a + 21 = (a – 7)(a - 3)

3) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

4) x6 – 7x3 + 12 = (x3 – 3)(x3 – 4)Leemos el término en común en el 2º término de la expresión dada, y buscamos dos números que multiplicados den 12 y sumados –7

5) a2 + a – 20 = (a + 5 )(a - 4 )Buscamos dos números que multiplicados den –20 y sumados den 1, esos números son –5 y 4

IMPORTANTE

Observa que el coeficiente de x2 en este tipo de trinomio es siempre 1

EJERCICIOS

Completa las siguientes factorizaciones

1) x2 – 5x – 14 = (x - 7)(x ..... 2)

2) x2 - 8x + 12 = (x – 2)(x ..........)

3) b2 – 8b + 16 = (b – 4)( b .........)


4) a2 + a – 30 =

5) b2 + 7b + 12 =

6) x2 – 2x – 15 =

7) c2 – 13c + 36 =

Completa cada polinomio de tres maneras distintas de modo que el nuevo polinomio pueda factorizarse, luego factorízalos

8) x2 + 8x + ......

9) x2 + .....x – 10

10) Calcula el valor de k, si x+7 es un factor de x2 – 2x – k

10)El área de un rectángulo es a2 – 3a –18, si el ancho mide (a – 6) ¿Cuál es el largo?

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c (a 1)

Son trinomios del tipo 2x2 + 11x + 5 10n2 – n – 2

3a2 + 7a – 6 7m2 – 23m + 6

Se diferencian de los trinomios estudiados, porque no son trinomios cuadrados perfectos y porque el primer término tiene un coeficiente distinto de 1

¿Cómo podemos factorizar este tipo de trinomio?

Algunos de estos trinomios se pueden factorizar como el producto de dos binomiosLos binomios los formamos así

EJEMPLOS

Factorizar las siguientes expresiones

1) 2x2 + 11x + 12 Multiplicamos los coeficientes del primer y tercer término, resulta 24. Buscamos

dos números que multiplicados den 24 y sumados den 11 (coeficiente del segundo término). Estos números son 8 y 3

Descomponemos el término 11x como suma de los números hallados 11x = 8x + 3x, y lo reemplazamos en la expresión original

2x2 + 11x + 12= 2x2 + 10x + x + 12 factorizamos agrupando términos 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 8x + 3x + 12 = 2x(x+4) + 3(x + 4) = (x + 4)(2x + 3)

Luego 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3)

2) 3a2 + 7a – 6 Multiplicamos los coeficientes del primer y tercer término, resulta -18.

Buscamos dos números que multiplicados den - 18 y sumados den 7 (coeficiente del segundo término). Estos números son 9 y -2

Descomponemos el término 7a como suma de los números hallados 7a = 9a – 2a, y lo reemplazamos en la expresión original

3a2 + 7a - 6 = 3a2 + 9a – 2a - 6 factorizamos agrupando términos 3a2 + 7a - 6 = 3a2 + 9a – 2a - 6 = 3a(a + 3) – 2(a + 3) = (a + 3)(3a - 2)

Luego 3a2 + 7a – 6 = (a + 3)(3a - 2)

EJERCICIOS


1) 2x2 + 5x – 12 = (2x – 3)(x + ........)

2) 4x2 + 4x – 3 = (2x – 1)( ........ + 3)

3) 6b2 – 23b + 20 = (3b – 4)(2b - .......)


4) 10n2 – n – 2 =

5) 7m2 – 23m + 6 =

6) 5x2 + 4x – 1 =

Verifica si las siguientes factorizaciones son verdaderas

7) 3a2 – 4a - 4 = (3a - 2)(a – 2)

8) 2c2 + c – 3 = (2c – 1)(c + 3)

RECORDEMOS qué es un cubo perfecto antes de ver cómo factorizamos una suma y una diferencia de cubos perfectos

Un cubo perfecto es un número o expresión que es igual al producto de tres factores iguales

EJEMPLOS

1) 8 = 222 8 es un cubo perfecto

2) 27x9y12z15 = 3x3y4z53x3y4z53x3y4z5 . Luego 27x9y12z15 es un cubo perfecto

3) 64a18b36c3 = 4a6b12c4a6b12c4a6b12c Luego 64a18b36c3 es un cubo perfecto

8) 1000m6n7 no es un cubo perfecto

Los factores del cubo perfecto los calculamos así: Buscamos un número que elevado a tres nos dé el coeficiente del factor Dividimos el exponente de cada potencia por tres, ésta debe ser exact

FACTORIZACION DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

EJEMPLOS Factoriza las sumas de cubo

1) x3 + 27 =

(x)3 ( 3)3

Luegox3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = (x + 3)(x2 – 3x + 9)

2) 8m3 + 125 = (2m)3 (5)3

Luego8m3 + 125 = (2m + 5)( (2m)2 – 2my + 52) = (2m +5)(4m2 –2my + 25)

Factoriza las siguientes diferencias de cubos

1) x3 – 8 = (x – 2)( x2 + 8x + 22) = (x – 2)(x2 + 8x + 4)

2) m12 – m6 =

(m4)3 (m2)3

m12 – m6 = ( m4 – m2)( (m4)2 + m4 m2 + (m2)2) = (m4 – m2)(m8 + m10 + m4)

3) 512 – 27b21 = 83 (3b7)3

512 – 27b21 = (8 + 3b7)(82 + 83b7 + (3b7)2) = (8 + 3b7)(64 + 24b7 + 9b14)

EJERCICIOS


1) 8 + y3 = (2 + y)(...... - ...... + ...... )

La suma de dos cubos se factoriza como el producto de un binomio y un trinomio

x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)

La diferencia de dos cubos se factoriza como el producto de un binomio y un trinomio

x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)

2) 27y3 – 64 = ( 3y – 4)(...... - ...... + ...... )


3) x6 – 1 =

4) 216m18 + 8n9 =

5) p3q12 + 125p24 =

6) 27a3 – 81b12 =

RESUMEN

1) El producto de expresiones algebraicas se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

K( a + b) = ka + kb (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

2) Los productos notables son

Cuadrado de un binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por diferencia

( a + b)(a – b) = a2 – b2

Binomios con un término en común

(x + a)(x + b) = x2 + (a +b)x + ab

Cubo de un binomio

(a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Factorizar una expresión algebraica es escribirla como el producto de dos o más factores equivalentes a la expresión dada.

Las expresiones que no se pueden factorizar, se llaman expresiones primas, y decimos que están en su forma irreductible

Para factorizar un polinomio, podemos usar distintas técnicas. Es fundamental observar la expresión antes de factorizarla

Si la expresión posee un factor común: número, letra, monomio o polinomio, usamos la técnica del factor comúnEJEMPLOS

2x + 2xy + 4x2 = 2x(1 + y + 2x)(x +19)(x – 3) + 3y(x – 3) = (x – 3)(x + 19 + 3y)

Si es una diferencia de cuadrados perfectos, la factorizamos como el producto notable suma por diferencia

EJEMPLO 100x2 – 81m4n10 = (10x+8m2n5)(10x-8m2n5)

Si es una suma de cubos perfectos, la factorizamos como el producto de un binomio por un trinomio, de igual forma factorizamos una diferencia de cubos perfectos

EJEMPLOS

m3 + 8 = (m + 2)(m2 – 2a + 4)m3 - 8 = (m - 2)(m2 + 2a + 4)

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