clase de estimacion puntual y intervalo

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ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS

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Page 1: Clase de estimacion puntual y intervalo

ESTIMACIÓN

PUNTUAL Y POR INTERVALOS

Page 2: Clase de estimacion puntual y intervalo

Cálculo de valores críticos

Page 3: Clase de estimacion puntual y intervalo

Cálculo de valores críticos

Page 4: Clase de estimacion puntual y intervalo

Cálculo de valores críticos

Page 5: Clase de estimacion puntual y intervalo

Estimación

Apuntes.-

Hasta ahora: conocidos los parámetros de la población, hemos

calculado la probabilidad de que en una muestra se obtenga

cierto resultado (media o proporción)

Pero lo más usual es que: conocidos los resultados de una muestra,

queramos obtener algún conocimiento sobre los parámetros de la

población. Eso es la ESTIMACIÓN.

Page 6: Clase de estimacion puntual y intervalo

Estimación puntual

• Parámetro: es un valor numérico que describe una característica de la población.

• Estadístico: es un valor numérico que describe una característica de la muestra.

• Estimador puntual: es el estadístico que se toma en una muestra determinada y que se usa para estimar un parámetro poblacional.

En general, se verifica que, cualquier parámetro poblacional que

se quiere estimar (p, .... etc.) tiene siempre en la muestra un

estadístico paralelo (–x, s, p, ..., etc.)

Page 7: Clase de estimacion puntual y intervalo

Propiedades de los estimadores

Estimador insesgado: es aquel estimador para el que se cumple que su media coincide con el valor del parámetro que se va a estimar.

Ejemplos: lo son la media muestral y la proporción muestral.

Estimador eficiente: es aquel estimador para el que su varianza es mínima. Ejemplos: tanto la media muestral como la proporción muestral son más

eficientes cuanto mayor es el tamaño de la muestra. En ambos casos, si aumenta n disminuye σ2 .

Page 8: Clase de estimacion puntual y intervalo

Propiedades de los estimadores

una comparación…

Cuatro tiradores han efectuado 10 disparos sobre una diana. Si traducimos cada disparo en una estimación, efectuada por un determinado estimador, sobre una muestra, podemos interpretar las propiedades de los estimadores de la siguiente forma:

Estimador insesgado y no eficiente

Estimador sesgado y no eficiente

Estimador sesgado y eficiente

Estimador insesgado y eficiente

Page 9: Clase de estimacion puntual y intervalo

Estimadores puntuales más probables

Apuntes.- _ para la media de una población μ, se toma la media de la muestra x

para la varianza de la población σ2, se toma s2·n / (n – 1), cuasivarianza muestral

^ para una proporción de la población p, se toma la proporción de la muestra p

Page 10: Clase de estimacion puntual y intervalo

En la estimación puntual se obtiene un valor concreto como estimación del parámetro

poblacional; pero ese método no permite tener una medida de la confianza que puede

depositarse en el resultado de dicha inferencia.

Para resolver ese problema se utiliza la estimación por intervalos, que consiste en:

obtener un intervalo (intervalo de confianza) tal que haya una determinada probabilidad

conocida (nivel de confianza) de que contenga al verdadero valor del parámetro

poblacional.

Así, si nos referimos a la media μ, se trata de encontrar un intervalo (a , b) tal que:

P ( a < μ < b) = 1 - α

Ejemplo.- Si se nos pide que estimemos la media poblacional con un nivel de confianza

del 95%, se tratará, a partir de una muestra, de encontrar un intervalo (a , b) en el cual

podamos asegurar que está contenida μ con una probabilidad de 0'95.

En tal caso, la probabilidad de que μ no pertenezca a dicho intervalo será de 0'05; ése

será por lo tanto el riesgo asumido con esa estimación (nivel de significación).

Estimación por intervalos

Page 11: Clase de estimacion puntual y intervalo

• Intervalo de confianza: intervalo (a , b) tal que hay una determinada probabilidad

conocida de que contenga al verdadero valor del parámetro poblacional.

• Nivel de confianza: es la probabilidad de que el parámetro poblacional pertenezca al

intervalo de confianza. Generalmente se representa por 1 – α.

Es decir: P ( a < μ < b) = 1 - α

• Nivel de significación o de riesgo: es la probabilidad de que el parámetro

poblacional no pertenezca al intervalo de confianza; es decir, 1 – (1 – α) = α.

• Valor crítico: es el valor de la abscisa que deja a su derecha un área igual a α/2,

siendo 1 – α el coeficiente de confianza. Se representa por z α/2 .

• Margen de error: es la diferencia entre el extremo superior y el extremo inferior del

intervalo de confianza: b – a.

Error máximo admisible: es la semiamplitud del intervalo de confianza; es decir, la

mitad del margen de error. Se denomina E = (b – a) / 2

Estimación por intervalos

Apuntes.-

Page 12: Clase de estimacion puntual y intervalo

Valores críticos más usuales

Pr

– z/2 < Z z/2 = 1 –

1 - 0,8 0,9 0,95 0,99

0,2 0,05 0,01

0,1 0,05 0,025 0,005

z 1,28 1,64 1,96 2,58

Page 13: Clase de estimacion puntual y intervalo

Intervalo de confianza para la media poblacional

• Sea una población de partida N(). Pretendemos estimar . • Tomamos una muestra aleatoria de tamaño n. Calculamos la media muestral x.

La variable aleatoria –X sigue una N(,

n )

Por tanto

–X –

n

se aproxima a una N(0, 1)

Entonces: Pr

– z /2 <

–X –

n

z /2 = 1 – .Y de aquí se obtiene

El intervalo de confianza para el parámetro de una población N( ) al nivel

de confianza 1 – viene dado por IC =

x z /2

n

Si es desconocida y n es grande (n 30), el intervalo de confianza viene dado

por IC =

x z /2

^ s

n

donde s 2 es la cuasivarianza muestral

Page 14: Clase de estimacion puntual y intervalo

Intervalo de confianza para una proporción p

• Sea una población donde pretendemos estimar una proporción p. • Tomamos una muestra aleatoria de tamaño n donde hay una proporción p^.

Entonces p se distribuye en el muestreo según una N

p, p(1 – p)

n

En consecuencia p – p

p(1 – p)

n

se aproxima a una N(0, 1) para n muy grande

Entonces: Pr

– z/2 < p – p

p(1 – p)

n

z/2 = 1 –

Page 15: Clase de estimacion puntual y intervalo

Por tanto: Pr

p – z/2 p(1 – p)

n < p p + z/2

p(1 – p)

n = 1 –

Como p es desconocido podemos tomar ^p como valor estimado próximo a p:

Pr

p – z/2 p (1 – p)

n < p p + z/2

p (1 – p)

n = 1 –

Luego IC =

p z/2 p (1 – p)

n

Intervalo de confianza para una proporción p

Page 16: Clase de estimacion puntual y intervalo

Si n es muy grande, lo que equivale a decir np > 5 y n(1 – p) > 5, el intervalo de

confianza para el parámetro p de una B(n, p) viene dado por

IC =

p z/2 p (1 – p)

n

donde z /2 es el valor crítico para el nivel de confianza y p =

x

n

Intervalo de confianza para una proporción p

Page 17: Clase de estimacion puntual y intervalo

Tamaño de la muestra • Una forma de aumentar la confianza es ampliando el tamaño del intervalo, pero esto

tiene el inconveniente de que aumenta el margen de error.

• Otra forma es aumentar el tamaño de la muestra, ya que el ancho del intervalo depende de n.

• ¿Hasta dónde debe aumentar n para tener una confianza predeterminada?

Por ejemplo: el intervalo de confianza para el parámetro de una población N() al nivel

de confianza 1 – viene dado por IC =

x z/2

n

E Es decir: E = z/2

n

Despejando n obtenemos: n =

z/2

E

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