clase 11 mgjp
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Método Gauss-JordanClase 9
20-Junio-2014
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Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en eliminar todas las incógnitas de cada
ecuación, excepto aquella que se encuentra ubicada en la
diagonal principal. Para ilustrar como funciona se resolverá el
siguiente ejemplo.
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Ejemplo
Emplear el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente
sistema
1 2 1
1 2 3
1 2 3
3 2
4 2 1
4 15
x x x
x x x
x x x
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Solución
Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:
3 1 1 2
1 4 2 1
1 1 4 15
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Solución
Para normalizar el primer renglón y transformar en ceros los
elementos de la columna que se encuentran debajo del elemento
, se utiliza el mismo procedimiento que se utilizo en eliminación
Gaussiana, por lo que se efectúan las siguientes operaciones:
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Solución
Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:
1 1
2 2 1
3 3 1
1 1 / 3 1 / 3 2 / 3/ 31 4 2 1
1 1 4 15
(1) 1 1 / 3 1 / 3 2 / 3
0 13 / 3 7 / 3 5 / 3(1)
0 2 / 3 13 / 3 43 / 3
R R
R R R
R R R
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Solución
Para normalizar el segundo renglón y transformar en ceros los
elementos que se encuentran arriba y abajo del elemento se
hacen las siguientes operaciones:
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Solución
2 2
1 1 2
2 2 1
1 1 / 3 1 / 3 2 / 3
0 13 / 3 7 / 3 5 / 3
0 2 / 3 13 / 3 43 / 3
1 1 / 3 1 / 3 2 / 3(3 /13)
0 1 7 /13 5 /13
0 2 / 3 13 / 3 43 / 3
(1 / 3) 1 0 2 /13 7 /13
0 1 7 /13 5 /13(2 / 3)
0 0 61 /13 183 /13
R R
R R R
R R R
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Solución
Para normalizar el tercer renglón y transformar en ceros los
elementos de la columna que se encuentra arriba del elemento
se efectúan las siguientes operaciones:
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Solución
3 3
2 2 3
1 1 3
1 0 2 /13 7 /13 1 0 2 /13 7 /13(13 / 61)
0 1 7 /13 5 /13 0 1 7 /13 5 /13
0 0 61/13 183 /13 0 0 1 3
(7 /13)
(2 /13)
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
R R
R R R
R R R
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Solución
La matriz anterior contiene la solución del sistema lineal, el
ultimo vector , para , la solución del sistema, de esta forma el
vector solución es:
1
2
3
1
2
3
x
x x
x
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Solución
Este método tiene la ventaja de proporcionar directamente la
solución, sin necesidad de despejar y sustituir hacia atrás, como
ocurre con el método de eliminación Gaussiana. La desventaja
del método Gauss-Jordan es que el numero de operaciones que
se efectúan para llegar a la solución es aproximadamente el
doble que el método de eliminación gaussiana.
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Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel
1. Introducir el sistema anterior a resolver en forma de matriz
aumentada y normalizar el elemento , tal como se muestra en
la figura 1.
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Figura 1. Normalización del primer renglón de la matriz aumentada de un sistema lineal De ecuaciones
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Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel
2. Transformar en ceros los elementos de la columna debajo del
elemento normalizado de la diagonal principal, tal como se
muestra en la figura 2. Cabe aclarar que se hace la misma
operación a lo largo de todo el renglón, para no cometer
ninguna violación algebraica.
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Figura 2. Generación de ceros debajo del primer elemento de la diagonal principal
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Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel
3. Normalizar el renglón dos y transformar en ceros los elementos
de la columna que se encuentra arriba y abajo del elemento
normalizado de la diagonal principal. Tal como se muestra en la
figura 3.
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Figura 3. Normalización del segundo renglón y generación de ceros arriba y abajo del elemento
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Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel
4. Normalizar el tercer reglón y transformar en ceros los elementos
de la columna que se encuentra arriba del elemento , tal como
se muestra en la figura 4.
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Figura 4. Normalización del tercer renglón y generación de ceros arriba del elemento